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Chapter 2
Limits
Límites
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2.1
The Idea of Limits
La idea del limite
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Alt
ura
Tiempo(s)
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Alt
ura
Tiempo(s)A
ltura
Tiempo(s)
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Tiempo(s)
Alt
ura
Slide 2 - 8
A medida que el intervalo de tiempo es más pequeño,
la velocidad promedio se aproxima a 64ft/s (La
velocidad instantánea en t=1s)
Slide 2 - 9
Por el momento, imagine que hacemos zoom en un punto P. A medida que incrementamos el
zoom, la curva se parece más y más a una línea que pasa sobre P. Esta línea es la línea tangente.
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2.2
Definition of Limits
Definición de límites
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Definición del Límite:
Suponga que la función f es definida para toda x cerca de a, excepto posiblemente
a. Si f(x) esta arbitrariamente cerca de L (tan cerca de L como deseemos) para todo
x suficientemente cerca de a, escribimos
Y decimos el limite de f(x) a medida que x se aproxima a a es igual a L.
lim f(x)=Lx a
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Cerca de x=2
Cerca de x=3
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Cerca de x=1, f(x)
se aproxima a 2
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Cerca de x=12, f(x)
se aproxima a 3
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Cerca de x=3, f(x) se
aproxima a 4
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Definición Limite laterales
1. Limite derecho. Suponga que f es definida para toda x cerca
de a con x>a. Si f(x) esta arbitrariamente cerca de L para
todo x suficientemente cerca de a con x>a, .escribimos
Y decimos que el limite de f(x) a medida que x se aproxima a a
por la derecha es igual a L
lim f(x)=Lx a
Slide 2 - 18
A medida que x se aproxima a 2
por la derecha, f(x) se aproxima a 3
A medida que x se aproxima a 2 por
la izquierda, f(x) se aproxima a 3
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A medida que x se aproxima a 2
por la derecha, f(x) se aproxima a 3
A medida que x se aproxima a 2 por
la izquierda, f(x) se aproxima a 3
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Relación entre limites unilaterales y bilaterales
Asuma que f es definida para todo x cerca de a excepto
posiblemente a. Luego si y solo si y lim f(x)=Lx a
lim f(x)=Lx a
lim f(x)=Lx a
Slide 2 - 21
• El limite cuando x tiende a 2 por la derecha tiende a 1
• El limite cuando x tiende a 2 por izquierda tiende a 4
• El limite cuando x tiende a dos no existe
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Podríamos erróneamente
concluir que cos(1/x) se
aproxima a -1 a medida
que x se aproxima a 0 por
la derecha
Slide 2 - 23
Los valores de cos(1/x) oscilan entre -1 y 1,
en intervalos cada vez mas cortos, a medida
que x se aproxima a 0 por la derecha
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2.3
Techniques for Computing LimitsTécnicas para calcular límites
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Suponga que a,b y m son números reales.
Para funciones lineales f(x)=mx+b,
lim f(x)=f(a)=ma+bx a
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Limites de polinomios y funciones racionales. Asuma que p(x) y
q(x) son polinomios y a es una constante
Funciones poligonales
Funciones racionales
lim p(x)=p(a)x a
p(x) p(a)lim =
( ) ( )x a q x q a ( ) 0q a
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• El limite cuando x tiende a 1 por la derecha tiende a 1
• El limite cuando x tiende a 1 por izquierda tiende a 2
• El limite cuando x tiende a dos de f(x) no existe
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El limite cuando x tiende a 2 de f(x) es -0.5
Slide 2 - 32
2
2 1 2*2 1 5lim
3 2 3*2 2 8x
x
x
2
3 3 3
9 ( 3)( 3)lim lim lim( 3) 6
3 3x x x
x x xx
x x
Slide 2 - 34
3 2 2
22 .2 .2
8 ( 2)( 2 4) ( 2 4) 12lim lim lim 3
4 ( 2)( 2) ( 2) 4x x x
x x x x x x
x x x x
Slide 2 - 35
2 2 2 2 2
2 2 ( 2)( 2) ( 2)( 2) ( 2)lim lim lim lim lim 2
2 2 2( 2) 2( 2)( 2) 2( 2) 2x x x x x
x x x x x x x
x x x x x
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2.4
Infinite Limits
Límites infinito
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Límite cuando x tiende a 0 es
infinito
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• Límite cuando x tiende a infinito es 0
• Limite cuando x tiende a menos
infinito es 0
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• Límite cuando x tiende a infinito es M
• Limite cuando x tiende a menos
infinito es L
• Limite cuando x tiende a a es infinito
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• Límite cuando x tiende a a es infinito
• Limite cuando x
tiende a a es menos
infinito
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• Límite cuando x tiende a -1
es menos infinito
• Límite cuando x tiende a a
es infinito
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Definición: Limites unilaterales infinitos
Suponga que f es definida para toda x cerca a a con x>a. Si f(x)
se vuelve arbitrariamente grande para toda x suficientemente
cerca de a con x>a, escribimos
lim f(x)=x a
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Límite cuando x tiende a a por la
derecha
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Asíntota vertical
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2.5
Limits at Infinity
Límites al infinito
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Asíntotas horizontales
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• Limite cuando x tiende a infinito de f(x) es igual a L
• Limite cuando x tiende a menos infinito de f(x) es igual a M
Slide 2 - 52
Limites al infinito y asíntotas horizontales
Si f(x) esta arbitrariamente cerca a un numero finito L para
todo numero x lo suficientemente grande y positivo,
escribimos
Decimos que el limite de f(x) a medida que x se acerca a
infinito es L
lim f(x)=Lx
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Limites infinitos en el infinito
Si f(x) es arbitrariamente grande a medida que x se vuelve
muy grande
lim f(x)=x
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Limites al infinito de potencias y polinomios
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2.6
Continuity
Continuidad
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Continuidad en un puntoUna función es continua en un punto a si . Si f
no es continua en a, a es un punto de discontinuidad.
lim ( ) ( )x a
f x f a
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La función es
discontinua en
x=0,15,30,35
La fLa función es continua
en el intervalo de 0 a 4
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Es h(x) continua
en x=0?
x 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,00000001
x*sin(1/x) 0,841471 -0,0544 -0,00506 0,000827 -3,1E-05 3,57E-07 9,3164E-09
Si, porque el limite cuando x
tiende a cero es igual a f(0)
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Es continua la función es x=1,2,3?
No, porque el limite cuando x
tiende a 1 es diferente a f(1)
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Para que f sea continua en a, las siguientes condiciones
se deben satisfacer
esta definida
existe
(el valor de f en a es igual a el limite cuando es
tiende a a de f)
( )f a
lim ( )x a
f x
lim ( ) ( )x a
f x f a
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Si f y g son continuas en a, luego las siguientes funciones son
también continuas en a. Asuma c es una constante y n>0 es un
entero
f g f g
cf fg
/ g(a) 0f g ¨
( )n
f x
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Función polinomiales y racionales
Una función polinomial es continua para todo x.
Una función racional de la forma es continua
para todo x para el cual
( )
( )
p x
q x
( ) 0q x
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Continua en todo punto,
excepto x=3 y x=4
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Continuidad en los extremos
Una función es continua desde la izquierda en a si
Y una función es continua desde la derecha en a si
.lim ( ) ( )x a
f x f a
lim ( ) ( )x a
f x f a
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Continuidad en un intervalo
Una función es continua en el intervalo I si es continua
en todos los puntos de I. Si I contiene los extremos,
continuidad en I significa continuidad desde la derecha o
la izquierda de los extremos
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Continuidad de funciones con raíces
Asuma que m y n son enteros positivos sin factor común.
Si m es un entero impar, luego es continua en todos
los puntos en los cuales f es continua.
Si m es par, luego es continua en todos los puntos a
en los cuales es continua y f(a)>0
¨
( )n
mf x
¨
( )n
mf x
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La función seno es continua
en el intervalo ( , )
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Teorema del valor intermedio
Suponga que f es continua en el intervalo
y es un número entre f(a) y f(b). Luego hay
aunque sea un numero en que satisface
,a b
L
c ( , )a b ( )f c L