Ecuaciones Diferenciales Ordinariasde Orden SuperiorCristina Morales A.NRC: 1790
Para resolver ecuaciones diferenciables de orden superior se pueden utilizar diferentesreemplazos segun sea la necesidad y el orden de la funcion, existiendo as diferentesmetodos a utilizarse.
Deduccion
dy
dx= p
d2y
dx2=
dp
dy dydx
= py p
d3y
dx3=
dp
dx
(dp
dy
)dy
dy+
d
(dp
dy
)p
dx
(dy
dy
)= pp2 + p2p)
Reduzca el orden de las siguientes ecuaciones difereciales. Resuelva si son de primer orden:
Ejercicio 0.1.
yyy + 2y2y = 3yy2
R
eemplazos
s = yy
y = py = pp
y = p(p2 + pp)
Solucions
ppp(p2 + pp) + 2p2pp = 3
s
p(p2p2)
spp + 2p2p = 3sp2 sp2spp + 2p2p = 2sp2
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Ejercicio 0.2.
y2(yy 2y2) = 1
R
eemplazos
s = y2
y = py = pp
y = p(p2 + pp)
Solucion
s(p2(p2 + pp) 2p2p2) = 1sp2(pp p2) = 1
Ejercicio 0.3.
(yy 3y2)y = y5
R
eemplazos
s = y
y = py = pp
y = p(p2 + pp)
Solucion
(sp(p2 + pp) 3p2p2)s = p5sp(s(pp + p2) 3pp2) = p5
Ejercicio 0.4.
yy2 + y3 + y4 = 0
R
eemplazos
s = y
y = py = pp
y = p(p2 + pp)
Solucion
sp2 + pp3 + p4(p2 + pp)4
= 0
s+ pp3 + p2(p2 + pp)4
= 0
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Ejercicio 0.5.
xy y2
y= ey
R
eemplazos
y = py = p
Solucion
xp p2
p= ep
xp2 p2 = pep
x =pep
+ p2
p2
Reduzca el orden de las siguientes ecuaciones diferenciables homogeneas y homogeneas generalizadas.Solucione la ecuacion de primer orden obtenida.
Ejercicio 0.6.
yy y2 yy
1 + x2
= 0
Solucion
(z + z2) z2 z1 + x2
= 0
dz
z=
dx1 + x2
cz = (x+
(1 + x2))
c
zdx =
(x+
(1 + x2))dx
zdx = C1 1
2(x2 + x
1 + x2 + ln|x+
1 + x2|) + C2
y = ezdx
y = eC1
1
2(x2+x
1+x2+ln|x+1+x2|) eC2
y = eC3x(x+1+x2)
((x+
1 + x2)
)C4
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(%i20)
wxdraw2d(color=magenta,implicit(y=(x+sqrt(1+x^2))*(%e^(x*(x+sqrt(1+x^2)))),x,-3,1,y,-4,4),
color=green,implicit(y=-(x+sqrt(1+x^2))^2*(%e^(2*x*(x+sqrt(1+x^2)))),x,-3,1,y,-4,4),
color=dark-cyan,implicit(y=3*(x+sqrt(1+x^2))^3*(%e^(3*x*(x+sqrt(1+x^2)))),x,-3,1,y,-4,4),
grid=true);
(%t20)
Rojo, verde, azulC4 = 1,1, 3C3 = 1, 2, 3
Ejercicio 0.7.
yy y2 xyy
1 + x2= 0
Solucion
(z + z2) z2 xz1 + x2
= 0
dz
z=
(1
2
)2xdx
1 + x2
z = C1
1 + x2
zdx = C1
(1 + x2)dx
zdx = C1
1
2(x
1 + x2 + ln|x+
1 + x2|) + C2
y = ezdx
y = eC3(x1+x2+ln|x+1+x2|) eC2
y =
(eC3x
1+x2
((x+
1 + x2)
)C3)C4
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(%i22)
wxdraw2d(color=magenta,implicit(y=(x+sqrt(1+x^2))*(%e^(x*(sqrt(1+x^2)))),x,-2,1,y,-4,4),
color=green,implicit(y=-(x+sqrt(1+x^2))^2*(%e^(2*x*(sqrt(1+x^2)))),x,-2,1,y,-4,4),
color=dark-cyan,implicit(y=3*(x+sqrt(1+x^2))^3*(%e^(3*x*(sqrt(1+x^2)))),x,-2,1,y,-4,4),
grid=true);
(%t22)
Rojo, verde, azulC4 = 1,1, 3C3 = 1, 2, 3
Ejercicio 0.8.
x2yy (y xy)2 = 0
Solucion
x2(z + z2) (1 xz)2 = 0
z +2
xz =
1
x2
z =1
x2(x+ C1)
zdx =
1
x2(x+ C1)dx
zdx = ln|x| C1x
+ C2
y = C4xeC3x
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(%i24)
wxdraw2d(color=magenta,implicit(y=x*%e^(1/x),x,-10,10,y,-10,10),
color=green,implicit(y=-x*%e^(2/x),x,-10,10,y,-10,10),
color=dark-cyan,implicit(y=3*x*%e^(3/x),x,-10,10,y,-10,10),grid=true);
(%t24)
Rojo, verde, azulC4 = 1,1, 3C3 = 1, 2, 3
Ejercicio 0.9.
xyy y(y + xy) = 0
Solucion
x(z + z2) z(1 + xz) = 0
z
z=
1
x
z = C1xzdx = C1
xdx
zdx =
C12x2 + C2
y = eC2+C12 x
2
y = C4eC3x
2
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(%i27)
wxdraw2d(color=magenta,implicit(y=%e^(x^2),x,-5,5,y,-5,5),
color=green,implicit(y=-%e^(2*x^2),x,-5,5,y,-5,5),
color=dark-cyan,implicit(y=3*%e^(3*x^2),x,-5,5,y,-5,5),grid=true);
(%t27)
Rojo, verde, azulC4 = 1,1, 3C3 = 1, 2, 3
Ejercicio 0.10.
x2yy (y + xy)2 = 0
Solucion
x2(z + z2) (1 + xz)2 = 0
z 2xz =
1
x2
z = x2( 1
3x3+ C1
)zdx =
( 1
3x+ C1x
2
)dx
zdx = 1
3ln|x|+ 1
3x3 + C2
y = e
1
3ln|x|+
1
3x3+C2
y = C3x 13 eC4x
3
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(%i32)
wxdraw2d(color=magenta,implicit(y=x^(-1/3)*%e^(x^3),x,-2,2,y,-10,10),
color=green,implicit(y=-x^(-1/3)*%e^(2*x^3),x,-2,2,y,-10,10),
color=dark-cyan,implicit(y=3*x^(-1/3)*%e^(3*x^3),x,-2,2,y,-10,10),grid=true);
(%t32)
Rojo, verde, azulC4 = 1,1, 3C3 = 1, 2, 3
Ejercicio 0.11.
xyy xy2 + yy = 0
Solucion
x(z + z2) xz2 + z = 0
z
z= 1
x
z =C1x
zdx =
C1x
zdx = C1ln|C2x|
y = (C2x)C1
y = C3xC1
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(%i33)
wxdraw2d(color=magenta,implicit(y=x^(1),x,-2,2,y,-10,10),
color=green,implicit(y=-x^(2),x,-2,2,y,-10,10),
color=dark-cyan,implicit(y=3*x^3,x,-2,2,y,-10,10),grid=true);
(%t33)
Rojo, verde, azulC4 = 1,1, 3C3 = 1, 2, 3
Ejercicio 0.12.
x2(yy y2) + xyy y
(y2 + x2y2) = 0
Solucion
x2(z + z2 z2) + xz
1 + x2z2 = 0
x2z + xz
1 + x2z2 = 0 (1)
u = xz (2)
u = z + xz (3)
2, 3 en 1
xu xux
+ u
1 + u2 = 0
du1 + u2
=dx
x
(4)
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ln|u+
1 + u2| = ln|x|
u+
1 + u2 = xC1
xz +
1 + x2z2 = xC1 (5)
z =1
2
(C1 1
x2C1
)zdx =
1
2
(C1 1
x2C1
)dx
zdx =
1
2
(C1x+
1
xC1+ C2
)
y = e
1
2
(C1x+
1
xC1
)C3 (6)
(%i3)
wxdraw2d(color=magenta,implicit(y=1*%e^(x/2+1/(2*x)),x,-5,5,y,-4,4),
color=green,implicit(y=2*%e^(-x/2-1/(2*x)),x,-5,5,y,-4,4),
color=dark-cyan,implicit(y=3*%e^(3*x/2+1/(2*x*3)),x,-5,5,y,-4,4),grid=true);
(%t3)
Rojo, verde, azulC1 = 1,1, 3C3 = 1, 2, 3
Ejercicio 0.13.
x2(yy y2) + xyy y
(y2 + xy2) = 0
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Solucion
x2(z + z2 z2) + xz +
1 + x2z2 = 0
x2z + xz +
1 + x2z2 = 0 (7)
u = xz (8)
u = z + xz (9)
7, 8 en 6
xu xux
+ u+
1 + u2 = 0
du1 + u2
= dxx
ln|u+
1 + u2| = ln|x|
u+
1 + u2 =C1x
xz +
1 + x2z2 =C1x
(10)
z =1
2
(C1x2 1C1
)zdx =
1
2
(C1x2 1C1
)dx
zdx = 1
2
(C1x
+x
C1
)+ C2
y = e
1
2
C1x
+x
C1
C3 (11)
(%i4)
wxdraw2d(color=magenta,implicit(y=1*%e^((-1/2)*(1/x+x)),x,-5,5,y,-4,4),
color=green,implicit(y=2*%e^((-1/2)*(-1/x-x)),x,-5,5,y,-4,4),
color=dark-cyan,implicit(y=3*%e^((-1/2)*(3/x+x/3)),x,-5,5,y,-4,4),grid=true);
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(%t4)
Rojo, verde, azulC1 = 1,1, 3C3 = 1, 2, 3
Ejercicio 0.14.
y2y 3yyy + 2y2 3y2y + 3yy2 + 2y2y xy3 = 0
Solucion
y = 1
y = z
y = z + z2
y = z + 3zz + z3
z + 3zz + z3 3zz 3z3 + 2z3 3z 3z2 + 2z x = 0 (12)
z 3z + 2z x = 0 (13)
r2 3r + 2 = x (14)
donde :
r1 = 2 (15)
r2 = 1 (16)
zh = C1e2x + C2e
x (17)
(18)
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sol. particular ax+ b
zp = ax+ b
zp = azp = 0
0 3a+ 2ax+ 2b = 0
a =1
2
b =3
4
zp =x
2+
3
4(19)
Entonces :
z = C1e2x + C2e
x +x
2+
3
4zdx =
C1e2x
2+ C2e
x +x2
4+
3x
4+ C3
y = C4eC1e
2x
2 +C2ex+ x
2
4 +3x4 (20)
(%i10)
wxdraw2d(color=magenta,implicit(y=%e^((%e^(2*x))/2+1*%e^x+x^2/4+3*x/4),x,-5,5,y,-4,4),
color=green,implicit(y=-1*%e^((%e^(2*x))/2+2*%e^x+x^2/4+3*x/4),x,-5,5,y,-4,4),
color=dark-cyan,implicit(y=3*%e^((%e^(2*x))/2+3*%e^x+x^2/4+3*x/4),x,-5,5,y,-4,4),
grid=true);
(%t10)
Rojo, verde, azulC4 = 1,1, 3C3 = 1, 2, 3
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Reducir el orden de la siguiente ecuacion diferencial por el metodo de exclusiones sucesivas de derivadasde alto orden. Escoja un factor integrante de ser necesario.
Ejercicio 0.15.
(1 + x2)y + x(1 + x2)y + (1 x2)y = 0
Solucion
y +x
1 + x2y +
1 x21 + x22
y = 0
y = 1 (21)
y = y (22)
(x, y, y) = y + 1(x, y) (23)
y +x
1 + x2y +
1 x21 + x22
y =d(y + 1(x, y))
dx
y +x
1 + x2y +
1 x21 + x22
y = y + 1x + 1yy
y =x
1 + x2(24)
y =x
1 + x2y (25)
1(x, y) =x
1 + x2y + 1(x)
x
1 + x2y +
1 x21 + x22
y =d(
x
1 + x2y + 2(x))
dx
2x = 0 (26)
2x = C1 (27)
y +x
1 + x2y + C1 = 0 (28)
(29)
Resuelva las siguientes ecuaciones.
Ejercicio 0.16.
xy + (3 x2y)y 2xyy 4y2 = 0
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Solucion
(xy + 3y) (xy + 2y)2 = 0
z = xy + 2y (30)
z = xy + 3y
z z2 = 0 (31)
dz
z2= dx
1z
= x+ C1
z =1
x+ C1
xy + 2y =1
x+ C1(32)
p = xy + y (33)
p = xy + 2y
p =1x
+ C2 (34)
p = ln |x+ C1|+ C2
xy + y = ln |C2(x+ C1)| (35)
y +1
xy = ln |C2(x+ C1)|
x
v = edx
x
v =1
x
u =
ln | 1
C2(x+ C1)|dx
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u = x ln |C2(x+ C1)|+ x C1 ln |x+ C1|+ C3
y =1
x(x ln |C2(x+ C1)|+ x C1 ln |x+ C1|+ C3)
y = ln |C2(x+ C1)| C1x
ln |x+ C1|+ C3x
+ 1
y =C3x(
1 +C1x
)ln |C2(x+ C1)|+ 1
(%i1)
wxdraw2d(color=magenta,implicit(y=1/x-(1-1/x)*log((x-1))+1,x,-5,5,y,-4,4),
color=green,implicit(y=-1/x-(1-2/x)*log(2*(x-2))+1,x,-5,5,y,-4,4),
color=dark-cyan,implicit(y=1/x-(1-3/x)*log(3*(x-3))+1,x,-5,5,y,-4,4),grid=true);
(%t1)
Rojo, verde, azulC3 = 1,1, 1C2 = 1, 2, 3C1 = 1,2,3
Ejercicio 0.17.
xyy 2xy2 yy x3y2 = 0
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Solucion
x(z + z2) 2xz2 z x3 = 0
xz xz2 z x3 = 0
z = ux (36)
z = ux+ u (37)
x(ux+ u) x3u2 ux x3 = 0
u u2x x = 0
du
u2 + 1=
xdx
arctan(u) =x2
2+ C1
z
x= tan
(x2
2+ C1
)(38)
zdx =
x tan
(x2
2+ C1
)dx
zdx = ln|cosx
2
2+ C1|+ C2
y = sec
(x2
2+ C1
)C3 (39)
(%i5)
wxdraw2d(color=magenta,implicit(y=1*sec(x^2/2+1),x,-5,5,y,-4,4),
color=green,implicit(y=-1*sec(x^2/2+2),x,-5,5,y,-4,4),
color=dark-cyan,implicit(y=3*sec(x^2/2+3),x,-5,5,y,-4,4),grid=true);
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(%t5)
Rojo, verde, azulC3 = 1,1, 3C1 = 1, 2, 3
Ejercicio 0.18.
x2(2yy y2) + 2xyy = 1
Solucion
x2(2z + 2z2 z2) + 2xz = 1
2xz + xz2 + 2z =1
x
u = zx (40)
u = zx+ z(41)
2x
(u zx
)+u2
x+ 2
u
x=
1
x
2u =1
x u
2
x
2du
1 u2 =dx
x
ln|1 + u1 u | = ln|xC1|
1 + u
1 u = xC1(42)
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1 + zx = x(1 zx)C1
z =x 1
x(x+ 1)C1
zdx = C1
(1
x+ 1 1x(x+ 1)
)dx
zdx = C1 (2ln|x+ 1| ln|x|) + C2
y = C3 C4(x+ 1)
2
x
y = C5(x+ 1)
2
x(43)
(%i6)
wxdraw2d(color=magenta,implicit(y=1*(x+1)^2/x,x,-5,1,y,-4,4),
color=green,implicit(y=-1*(x+1)^2/x,x,-5,1,y,-4,4),
color=dark-cyan,implicit(y=3*(x+1)^2/x,x,-5,1,y,-4,4),grid=true);
(%t6)
Rojo, verde, azulC5 = 1,1, 3
Resuelva los siguientes problemas de valor inicial.
Ejercicio 0.19.
yy + 3yy = 0, y = 1, y = 0, y = 0 at x = 1
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Solucion
(p)(pp + p2) + 3ppp = 0 (44)
z + 2z2 +3z
y= 0 (45)
w =1z
(46)
w =z
z2
w 3yw = 2 (47)
v = e 3
ydy
= y3
u =
2y3dy =
1
y2+ C1
1z
= y + C1y3 (48)
zdy =
dy
y(1 + C1y2)zdy =
(1y
+y
y2 + 1
)dy
zdy = lny + 1
2|C1y2 + 1|+ C2
ydyC1y2 + 1
= C3dx (49)
y =
(C3x+ C4)
2 1C1
(50)
Sist con sol. particulares
C1 = 3
C3 = 0
C4 = 2
y = 1
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Ejercicio 0.20.
xy + (x 1)y = 0, y = 0, y = 0, y = 0 at x = 0
Solucion
y = p (51)
y = p (52)
p +x 1x
p = 0
p = C1xex
y = C1xex (53)
y = C1ex(x+ 2)(C2x+ C3) (54)
0 = 2C1 + C3
Sistema con sol. particulares
C1 = C2
y = C1(ex(x+ 2 + x 2)
y = C1(ex(x+ 2) + x 2) (55)
(%i6)
wxdraw2d(color=magenta,implicit(y=(%e^-x)*(x+2)+x-2,x,-5,5,y,-4,4),
color=green,implicit(y=-(%e^-x)*(x+2)+x-2,x,-5,5,y,-4,4),
color=dark-cyan,implicit(y=3*((%e^-x)*(x+2)+x-2),x,-5,5,y,-4,4),grid=true);
(%t6)
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Rojo, verde, azulC1 = 1,1, 3
Ejercicio 0.21.
y(y 2x) 2y(y x2) = 0, y = 1, y = 1, at x = 1
Solucion
y(p 2x) 2y(p x2) = 0
p 2p = 2x 2x2
p = x2 + C1e2x (56)
y = x2 + C1e2x (57)
y =x3
3+ C2e
22x+ C3
Sistema con sol. particulares
C1 = 0 C2 = 0 C3 =2
3
y =x3
3+
2
3(58)
(%i7)
wxdraw2d(color=magenta,implicit(y=(x^3)/3+(2/3),x,-5,5,y,-4,4),grid=true);
(%t7)
Reduzca el orden de las siguientes ecuaciones diferenciables lineales usando las soluciones particulares.Resuelva obteniendo ecuaciones de primer orden.
Ejercicio 0.22.
(1 + ex)y 2y exy = 0, y1 = ex 1
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Solucion
y 21 + e2
y ex
1 + exy = 0
u = ex (59)
u =1
1 + e22e
2
1 + exdx
u =C1e
2x
1 + ex2
v = e2x (60)
udx =
C1dv
2(v 1)2
y = (ex 1)(
C3e2x 1 + C2
)(61)
(%i9)
wxdraw2d(color=magenta,implicit(y=(%e^x-1)*((1/(%e^(2*x)-1))+1),x,-5,5,y,-4,4),
color=green,implicit(y=(%e^x-1)*((-1/(%e^(2*x)-1))+2),x,-5,5,y,-4,4),
color=dark-cyan,implicit(y=(%e^x-1)*((3/(%e^(2*x)-1))+3),x,-5,5,y,-4,4),grid=true);
(%t9)
Rojo, verde, azulC3 = 1,1, 3C2 = 1, 2, 3
Ejercicio 0.23.
xy y xy + y = 0, y1 = ex, y2 = x
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Solucion
y = y1
zdx (62)
y = ex(z +zdx)
y = ex(2z + z +zdx)
y = ex(3z + 3z + z +zdx)
x(3z + 3z + z +zdx) (2z + z +
zdx) x(z +
zdx) +
zdx = 0
xz + (3x 1)z + 2z(x 1) = 0 (63)
w = 2 (64)
z = e2xv (65)
z = e2x(v 2v)
z = e2x(v 4v + 4v)
(63)
x(v 4v + 4v) + (3x 1)(v 2v) + 2(x 1)v = 0 (66)
xv (x+ 1)v = 0
v = p (67)
v = p
p =x+ 1
xp (68)
p = ex+ln x+C1
v = C1xex (69)
v = C1ex(x 1) + C2
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z = e2x(C1(xex ex) + C2) (70)
z = C1ex(x 1) + C2e2x
y = ex
(C1ex(x 1) + C2e2x)dx
y = C1x+ C2ex + C3ex
(%i18)
wxdraw2d(color=magenta,implicit(y=x+%e^-x+%e^x,x,-5,5,y,-4,4),
color=green,implicit(y=-x+2*%e^-x-3*%e^x,x,-5,5,y,-4,4),
color=dark-cyan,implicit(y=x-%e^-x-%e^x,x,-5,5,y,-4,4),grid=true);
(%t18)
Rojo, verde, azulC1 = 1,1, 1C2 = 1, 2,1C3 = 1,3,1
Ejercicio 0.24.
x2(2x 1)y + (4x 3)xy 2xy + 2y = 0, y1 = x, y2 = 1x
Solucion
y = x
zdx
y = xz +zdx
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y = 2z + xz
y = 3z + xz
x3(2x 1)z + x2(10x 6)z + 6x(x 1)z = 0 (71)
(2x4 x3)z + (10x3 6x2)z + (6x2 6x)z = ddx(x, z, z) (72)
z = 2x4 x3
(x, z, z) = (2x4 x3)z + 2(x, z) (73)
(2x3 3x2)z + (6x2 6x)z = ddx2(x, z) (74)
2z = (2x3 3x2)
2(x, z) = (2x3 3x2)z + 3(x)
3(x) = k1
(76)
(2x4 x3)z + (2x3 3x2)z = k1
z +2x 3
x(2x 1)z =k1
x3(2x 1) (75)
v = e
2x3x(2x1)dx
v = e(3 ln |x|+2 ln |2x1|)
v =(2x 1)2
x3
u =
k1
(2x 1)3 dx
u =k1
4(2x 1)2 + k2
z =(2x 1)2
x3(k1
4(2x 1)2 + k2) (76)
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y = x
(k1x3
+)k2(2x 1)2
x3(77)
y = x(k12x2
+ k2(4 ln |x|+ 4x 1
2x2) + k3)
y =k12x
+ 4k2x ln |x|+ 4k2 k22x
+ k3x)
y = C1x1 + C2(x ln |x|+ 1) + C3x
(%i19)
wxdraw2d(color=magenta,implicit(y=x^-1+(x*log(x)+1)+x,x,-5,5,y,-4,4),
color=green,implicit(y=-x^-1+2*(x*log(x)+1)-x,x,-5,5,y,-4,4),
color=dark-cyan,implicit(y=x^-1-(x*log(x)+1)+x,x,-5,5,y,-4,4),grid=true);
(%t19)
Rojo, verde, azulC1 = 1,1, 1C2 = 1, 2,1C3 = 1,1, 1
References[1] ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Y CALCULO DE VARIACIONES, M.V.Makarets,
V.Yu. Reshetnyak
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