МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ
«КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ»
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ТА ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
ЗБІРНИК ЗАВДАНЬ
ДО ТИПОВОЇ РОЗРАХУНКОВОЇ РОБОТИ
Київ
«ПОЛІТЕХНІКА»
2001
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ
«КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ»
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ТА ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
ЗБІРНИК ЗАВДАНЬ
ДО ТИПОВОЇ РОЗРАХУНКОВОЇ РОБОТИ
ДЛЯ СТУДЕНТІВ І КУРСУ ТЕХНІЧНИХ ФАКУЛЬТЕТІВ
Затверджено Методичною радою НТУУ «КПІ»
Київ
«ПОЛІТЕХНІКА»
2001
Диференціальне та інтегральне числення функцій однієї змінної: Збірник завдань до
типової розрахункової роботи для студентів І курсу технічних факультетів / Уклад.:
Л.Б. Федорова, Н.Р. Коновалова, І.В. Алексєєва та ін. — К.: ІВЦ «Політехніка», 2001. — 65 с. Гриф надано Методичною
радою НТУУ «КПІ»
(Протокол № 4 від 20.12.2001)
Навчальне видання
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ТА ІНТЕГРАЛЬНЕ
ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
Збірник завдань
до типової розрахункової роботи
для студентів І курсу технічних факультетів
Укладачі: Федорова Лідія Борисівна
Коновалова Наталія Романівна
Алексєєва Ірина Віталіївна
Кіндибалюк Адріана Юріївна
Трофимчук Олена Петрівна
Гайдей Віктор Олександрович
Відповідальний
редактор
В.В. Булдигін, д-р фіз.-мат. наук, проф.
Рецензент В.Г. Лозовик, канд. фіз.-мат. наук, доц.
Темплан 2001 р., поз. 138 Редактор К.Г. Левчук
Підп. до друку Формат 60×84 1/16.
Інформаційно-видавничий центр «Політехніка» НТУУ «КПІ»
Лабораторія офсетного друку НТУУ «КПІ»
03056, Київ-56, просп. Перемоги, 37.
Зам. № . Тираж 200. Ум. друк. арк. 3,78.
Папір офсетний. Різограф.
3
Вступ
Дотепер накопичено багаторічний досвід використання типових індивідуальних
розрахункових робіт для організації й контролю самостійної роботи студентів. Ре-
зультатом цього є створена нова зручна форма типового варіанта.
Запропонований збірник містить 30 варіантів індивідуальних завдань і додаткові
задачі, а кожний варіант — завдання з розділів: комплексні числа, теорія границь і
неперервність функції, похідна функції, геометричний зміст похідної, дослідження
функцій і побудова графіків функцій, методи інтегрування, визначений інтеграл, за-
стосування визначеного інтегралу. Наявність додаткових задач, які вміщено в кінці
збірника, і які ілюструють теоретичний матеріал курсу, дає змогу заохотити сумлін-
них студентів. Частину задач узято зі збірників завдань Л.А. Кузнецова «Сборник
заданий по высшей математике» (М., 1994) і А.П. Рябушка «Сборник индивидуальных
заданий по высшей математике» (Минск, 1990). Крім того, укладачі пропонують
використовувати збірники задач [1—8].
Передбачається, що перед виконанням завдань типового варіанта розрахункової
роботи, студент ознайомиться з відповідними розділами методичних вказівок, які
містять:
1. Стислий виклад теоретичного матеріалу з вказівками шляхів поглиблення
знань.
2. Приклади розв’язання типових задач з використанням ефективних, оригіна-
льних методик.
3. Довідковий матеріал, зібраний і організований у зручній формі.
4. Зразок розв’язання типового варіанта та деяких додаткових задач, а також
поради щодо розв’язання останніх.
5. Відповіді до частини завдань.
6. Список рекомендованої літератури.
Список рекомендованої літератури
1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.: Наука, 1985.
— 446 с.
2. Гудименко Ф.С. Збірник задач з вищої математики. — К.: КДУ, 1967. — 352 с.
3. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — М.:
МГУ, 1999. — 624 с.
4. Вища математика: Збірник задач / В.П. Дубовик, І.І. Юрик, І.П. Вовкодав та ін. —
К.: Вища шк., 1999. — 480 с.
5. Сборник задач по математике для втузов: Линейная алгебра и основы математиче-
ского анализа: В 3 ч. / В.А. Болгов, Б.П. Демидович, В.А. Ефименко и др. — М.:
Наука, 1993. — Ч. 1. — 461 с.
6. Сборник задач по курсу высшей математики / Г.И. Кручкович, Н.И. Гутарина,
П.Е. Дюбюк и др. — М.: Высш. шк., 1973. — 576 с.
7. Сборник задач по математическому анализу. Предел. Непрерывность. Дифферен-
цируемость / Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. — М.:
Наука, 1984. — 592 с.
8. Сборник задач по математическому анализу. Интегралы. Ряды / Л.Д. Кудрявцев,
А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. — М.: Наука, 1986. — 528 с.
4
Варіант 1
1. Побудувати графіки функцій:
( ) ( )2
11) sin 2 . 4) tg 2 .2 3 4
2) 2arcsin( 1). 5) 2 .
13) arcctg( 1). 6) ln( 3).2
x
y x y x
y x y
y x y x
+
π π= + = +
= + =
= + = +
2. Знайти:
а) алгебричну форму 3132
2 ;z
z iz + −
б) тригонометричну форму 3;z
в), г) 81 2( )z z та ( )101
2;
zz
д), е) всі значення 31z та 4
2z , якщо:
1 2 33 3 , 3 , 1 5 .z i z i z i= − + = − = − −
3. Зобразити множину точок :z ∈ ℂ
3 2
1) 1 1 2,0 arg .4
2) , Re 1.
3) 3 6 4 0.
z z
z i z i z
z z z
π< − ≤ < ≤
− > + >
− + − =
Знайти границі (4—7):
3 42 8
2
2 2
2
2 22 0
2 2
2 3 23 0
3
( 2)! ( 1)!4.1) lim .
( 3)!
5 9 12) lim .
( ) 7
3) lim ( 1 1).
5 6 1 cos 85.1) lim . 6.1) lim .
12 20 3
2 11 15 ln(1 3 )2) lim . 2) lim .
3 5 12 5
3 53) lim
n
n
n
x x
x x
x
n n n nn
n n n
n n n n
n n n
x x x
x x x
x x x
x x x x
x x
→∞
→∞
→∞
→ →
→− →
→∞
+ − ++
+ +
+ − +
+ − −
− + −− ++ + ++ − −−
( )
2
3 2 0
5 2
4 2 1
2 2 3
3 2 0
24 0
3
2 ln(1 sin ). 3) lim .
sin 42 5
2 4 14) lim . 4)lim .
ln2 3 1
2 3 5 7 55) lim . 5) lim .
2 arctg 37 2 1
1 2 3 26) lim . 6) lim .
2 sin
4 ln7) lim . 7) lim
8
x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x e
xxx x x
x x xxx x
x xx xx x
x e ex x
x xx
→
→−∞ →
→∞ →
−
→ →
−
→∞ →
+ ++ −− + −+ ++ − −
−− ++ − + −
−
++ ( )
( ) ( )3
sin2
111
1
1.
2 3 3 18) lim . 8)lim .
5 7 1
xe
xx
x x
x e
x xx x
π
+−
→∞ →
−−
+ −+ +
sin4 0
1
30
ln( 5)7.1) lim . 3) lim .
3arcsin 4 4
2) lim . 4) lim ( 2 ) .5 5 15
x
x x
x xxx x
xâ x
xx x
ë xe x
→∞ →+
−→ →+∞
++
−+
− −
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу ( )xα відносно ( ) :xβ
3 4
3
1) ( ) tg2 , ( ) arcsin , 0.
2) ( ) , ( ) 3 , 0.
3) ( ) sin , ( ) , 0.
x x x x x
x x x x x x x
Ó x x x x x
α = β = →
α = − β = − →
α = β = →
9. Дослідити функцію на неперервність:
2
1) ( ) .sin
4, 1,
2) ( ) 2, 1 1,
2 , 1.
xf x
xx x
f x x x
x x
=
+ < −= + − ≤ < ≥
133) ( ) 2 1xf x −= + у точках 1 23, 4.x x= =
Знайти похідні функцій (10—13):
2
5 53 3
43 4
3 52
arccos2
4 3 tg 3
4arcsin
5
log (3 7)410. 1) .
( 2) ctg7
arcctg 52) 3 sin 3 .
sh
9arctg( 7)3) sin 2 cos 8 .
( 1)
4) ln arctg 5 .5
5) tg 3 arcsin2 (arccos ) .
( 1) 76) (cth 3 )
( 2) (
x
x
x
xy x
x x
xy x x
xx
y x xx
ey x x
x
y x x x
x xy x
x x
−= − +
−
= + − −
+= ⋅ +
−
= −+
= ⋅ +
− += −
+ + 2 .3)
2 2 arctg 211.1) . 2) sin 8 .yxx y e y y x+ = + =
3
cosln ,? , 1 2cos
12. : 1) 2)sin? ln . .
1 2 cos
x
xx
tt xy x tt
ty y t t yt
= ′ = = + ′′ = = = +
2 (5)
( )
13.1) (2 7)ln( 1), ?
2) , ?ax n
y x x y
y xe y
= − − =
= =
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі
до кривої у заданій точці: 2
01) 7 3, 1.y x x x= − + =
5
3 30
2 30
2) sin , cos , .3
1 13) , , , (6 ,18 ,72 ).2 3
x a t y a t t
x at y at z at M a a a
π= = =
= = =
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції 3 22 9 12 9.y x x x= − + − 2
maxmin 2[ , ]
1) ln( 2 2),[0;3].
16. ( ) ? 162) 16,[1;4].a b
y x xf x
y xx
= − +=
= + −
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік:
2
23 2
3 23
2( 1)2
sin cos
171) 1 2 . 5) .
4 5
2) 3 6 (2 ) . 6) .
43) (2 3) . 7) .
4
14) . 8) .
1
x x
x
x x
xy x x y
x
y x x y e
xy x e y
x
y e y xx
−
− +
+
−= − − =
−
= − + − =
= + =+
= = +−
Знайти інтеграли (18—21):
2
2
2 2
2 7 4
3 5
2 2
3 4
2
2
18.1) 3 . 7) sin(2 3 ) .
32) . 8) .
3 9 32
3) . 9) .5 4 2 5
4) . 10) sin 2 cos2 .
tg arctg 35) . 11) .
cos 1 9
sin26) . 12) .
1 3 cos2
2 3 (3 20 9)19.1) . 5)
2
x
x
xdx x dx
dx dxx xxdx dx
x x
e dx x xdx
x xdx dxx x
xdx xdxxe
x x x ddx
x
−
+
+ −
− −
− −
+
+
− + ++
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
( )
2
3 3
2 3 2
2 2
2 4 2
2 4 2
2
.( 4 3)( 5)
1 2 12) . 6) .
1
3 133) . 7) .
4 5 4 ( 1)( 2 5)
( 1) 54) . 8) .
2 3 4 3 4
20.1) tg . 4) cos 3 sin 3 .
2) sin (1 ) . 5) .5 2 sin 3cos
3) sin 3 cos
xx x x
x x xdx dx
x x xdx x dx
x x x x x
x dx xdxx x x x
xdx x xdx
dxx dx
x x
x xd
+ + +
− − ++ −
+− + − + +++ + + −
−+ +
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫. 6) .
8 sin (sin 2 cos )
dxx
x x x−∫ ∫
.2 2
32
2
2
4 7
22
2
1 2 1321 1) . 5) .
7 4 3 3 16
12) . 6) .
(1 )4 8
13) . 7) .
1
14) . 8) .
2 3
ln(cos )22.1) . 4) cos2 .
cos
2) ( 1) . 5) 1 arccos .
3) ln( 5) . 6) arctg2
x
x xdx dx
x x xdx x
dxx xx x
x dxdx
x x x
dx xdx
x xxdx x xdx
x
x e dx x xdx
x dx xdx
− −
+ − −−
++ −
−
++
+ +
+ −
−
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫∫ .∫
23. Обчислити інтеграли:
3
8 8
22
1 24 22 2
20 0
29 22 33
233
4
1) ln( 1) . 4) 2 sin .
3 3 12) . 5) 4 .
1
( 2) cos3) . 6) .
sin3 ( 2)
x x dx xdx
x xdx x x dx
x
x xdx dx
xx
π
π
π
π
−
+ +−
+
−
+ −
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність: 1
341 0
1) . 2) .2 416 1
xdx dxxx
∞
−−∫ ∫
25. Обчислити площу фігури, обмеженої
кривими: 3
3
3
1) ( 2) , 4 8.
4 2 cos ,2) 2( 2).
2 2 sin ,
3) 4 cos 3 , 2( 2).
y x y x
x tx x
y t
= − = −
= = ≥ =ρ = ϕ ρ = ρ ≥
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими
0,x = 2 4 ,y x= − навколо осі Ox .
27. Обчислити площу поверхні, утвореної
обертанням кривої 31 1 1, ;3 2 2
y x x = ∈ −
навколо осі .Ox
6
Варіант 2
1. Побудувати графіки функцій:
( )
( )
21) 2 cos 3 . 4) 3 .2
12) arccos( 3). 5) 2arctg( 1).3
13) ctg . 6) lg( 3).4 8
xy x y
y x y x
y x y x
−π= − − =
= + = −
π= − = − −
2. Знайти:
а) алгебричну форму 4132
2 ;z
z iz + +
б) тригонометричну форму 3;z
в), г) 81 2( )z z та ( )101
2;
zz
д), е) всі значення 31z та 4
2z , якщо:
1 2 32 2 , 1 3 , 2 3 .z i z i z i= − = − + = +
3. Зобразити множину точок :z ∈ ℂ
3 2
21) 1 1 3, arg .3 3
2) 1 , Im 2.
3) 2 2 1 0.
z z
z z i z
z z z
π π< + ≤ < ≤
− < + >
− + − =
Знайти границі (4—7):
2
3 43 5
2
3 2
20 0
2
31 0
3
3 2
(2 1)! (2 2)!4.1) lim .
(2 3)!
1 12) lim .
3 3 1
3) lim ( ( 2) 3).
2 sin 3 sin5.1) lim . 6.1) lim .
5
2 5 7 arcsin 52)lim . 2) lim .
tg 31
4 73) lim . 3) l
2 4 5
n
n
n
x x
x x
x
n nn
n n
n n
n n n n
x x x x xxx x
x x xxx
x xx x
→∞
→∞
→∞
→ →
→ →
→∞
+ + ++
− − +
+ + +
− − −
− + −+
+ −−+
− +
( )( )
20
4 2
2 1
2 3 2
4 0
1
24
2 1 1
0
1 cos10im .
1
3 2 5 2 1 14) lim . 4)lim .
ln2 7
3 7 25) lim . 5) lim .
2arcsin2 4
12 8 sin6) lim .6) lim .
sin2 8
7) lim . 7) lim(cos ) .1
8) lim
xx
x x
x x
x x
x a
x x a
xx
x x
x
x
e
x x xxx x
x x e ex xx x
x xax x
xx
x
→
→∞ →
−
→−∞ →
−
→− →
−
→∞ →
→∞
−
−
+ − − −+ +− + −
−+ −
+ −+ −
+
( ) 20
2 1 1 sin cos2. 8) lim .
1 sin
x
x
x x x xx x→
+ + −−
( )( )
ln
1 0
sin
0 0
1 17.1)lim . 3) lim .
1 sin
12) lim . 4) lim ln .
x
x x
xx
x x
a xx x x
x x
→ →
→+ →+
−−
−
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу ( )xα відносно ( ) :xβ
2
2
3
1) ( ) 1 cos , ( ) 3 , 0.
2) ( ) 3 2, ( ) 2, 2.
3) ( ) 1, ( ) , 0.x
x x x x x
x x x x x x
x e x x x
α = − β = →
α = − − β = − →
α = − β = →
9. Дослідити функцію на неперервність:
2
2
2
sin1) ( ) .
1, 0,
) ( ) ( 1) , 0 2,
4 , 2.
xf x
xx x
f x x x
x x
=
+ ≤= + < ≤ − >
133) ( ) 5 1xf x −= − у точках 1 23, 4.x x= =
Знайти похідні функцій (10—13): 2
3arcctg4
3 44
35 3
3 ln
4 43
5 3ctg
2 3
2 ( 4)10.1) 4 .
ln(5 3)2) 2 cos ln2 .
4 tg 3
arcctg 23) cos 3 tg .
ch
4) ln arctg 2 (cos ) .
arctg(2 3)5) ( 2) arcsin 5 .
8( 1)
( 3) ( 2)6) (arcsin2 ) .
( 1) ( 1)
x
x
x
xy x
exx
y xx
xy x x
x
y x x x
xy x x
x
x xy x
x x
−= + −
−= − +
= ⋅ −
= +
+= − −
+
− += +
+ −
2 2
11.1) 1. 2) tg( ).5 7
x yy x y+ = = +
2 2
2
? 2 cos , 1 ,12. : 1) 2)
? 3 sin . tg 1 .
x
xx
y x t x t
y y t y t
′ = = = − ′′ = = = +
2 (4)
( )
13.1) (3 )ln , ?
2) sin2 cos( 1), ?n
y x x y
y x x y
= − =
= + + =
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі
до кривої у заданій точці: 2
0
0
1) 16 7, 1.
2) 3 cos , sin , .3
y x x x
x t y t t
= − + =
π= = =
7
( )0
3) sin , 1 cos , 4 sin ,2
1,1,2 2 .2
tx t t y t z
M
= − = − =
π −
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції 33 .y x x= −
2maxmin[ , ]
2
31) ,[0;5].
116. ( ) ?
42) 4 ,[1;4].a b
xy
xf xy x
x
=+=
= − −
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік: 2
3 2
233
2
22
2( 1)
11) . 5) 2 3 .
1
12) ( 3) 3 9. 6) .
4 31
3) ln( 4). 7) .( 1)
sin cos4) arctg . 8) .
2( 1)2
x
x xy y x x
xx
y x x yxx
y x x yx
x x ey y
x
+
− += = −
−+
= + − − =−
+= + − =
−
+= =
+
Знайти інтеграли (18—22):
2
3
2
2 2
233 5
3
2 3 4
3
3 4
2 2
18.1) 1 . 7) sin(3 2 ) .
2) . 8) .3 92 5
3) . 9) .9 3 5 3
ln (1 )4) . 10) .
1
arcsin5) . 11) .
1
cos2 36) . 12) .
sin 2 11 2 12
19.1) . 5)5 1 ( 2)( 2
x
x
xdx x dx
dx dxxx
dx xdx
x x
xe dx dx
xx xdxdx
x ex xdx dxx xx dxdx
x x x x
+
+
+ −
+−
+ −
−−
−
−−
− − −
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫2 3 2
3 2
2
2 3
5
2 4
3 5 2
3
35
.3)
7 2 2 12) . 6) .
1
6 83) . 7) .
4 10 8
6 2 2 14) . 8) .
3 1 1
20.1) ctg 2 . 4) sin 2 cos 2 ;
2) sin (1 ) . 5) .8 sin (2 sin cos )
3) sin cos . 6)5 4 s
x x x xdx dxx x xdx x x
dxx x x
x x xdx dx
x x x
xdx x xdx
dxx dx
x x x
dxx xdx
+
− − − +− −
− +− + +
+ − ++ + −
−−
−
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ .in 2 cosx x+∫
.2 2
4
2 2
2 3
3 2
2
3 5 321 1) . 5) .
1 2 4 1
2) . 6) .13
3) . 7) .3 4 1 ( 1) 1
1 14) . 8) .
22.1) cos(ln ) . 4) 1 arcsin .
2) ( 2) . 5) sin .
3) arctg2 . 6) cos6 .
x
x xdx dx
x x xxdx x x
dxxx
dx dx
x x x x
x xdx dx
x x x
x dx x xdx
x e dx x xdx
xdx x xdx
− −
− − −+++
− + + −
− +
−
−
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫∫ ∫
23. Обчислити інтеграли:
2
0
2 4 6 2
2 0
32 4 2
20 2
1 ln 22
202
1) . 4) 2 sin cos .
2 5 42) . 5) .
2 cos 1
43) . 6) .
(3 )
x
x x
x e dx x xdx
dx x xdx
x x
x dxdx
e ex
π−
−π
−
− ++ −
−+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність: 3 8
4 2 20 0
1) . 2) .16 1
ax dx x dx
x a x
∞
+ −∫ ∫
25. Обчислити площу фігури, обмеженої
кривими: 21) 9 , 0, [0;3].
2 cos ,2) 2( 2).
2 2 sin ,
3) cos2 .
y x x y x
x ty y
y t
= − = ∈
= = ≥ =ρ = ϕ
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими
0, 0, 2,x y x y= = + = навколо осі
.Ox
27. Обчислити площу поверхні, утворе-
ної обертанням кривої 2cosρ = ϕ навко-
ло полярної осі.
8
Варіант 3
1. Побудувати графіки функцій:
( ) ( )( ) 1
1) 3 sin 2 . 4) tg 2 .4 4
12) 2arcsin( 1). 5) .2
13) arcctg( 2). 6) ln(2 ).3
x
y x y x
y x y
y x y x
+
π π= + = +
= + =
= − = −
2. Знайти:
а) алгебричну форму 3132
2 ;z
z iz + −
б) тригонометричну форму 3;z
в), г) 81 2( )z z та ( )101
2;
zz
д), е) всі значення 31z та 4
2z , якщо:
1 2 34 4 , 3 , 3 4 .z i z i z i= − − = + = −
3. Зобразити множину точок :z ∈ ℂ
3 2
1) 1 3, arg .4
2) 1 , Re 3.
3) 2 6 9 0.
z i z
z i z z
z z z
π< − ≤ < ≤ π
+ > − <
+ + − =
Знайти границі (4—7):
3
3 3
3 3
2
3 23 0
3
21 0
4 2
4 3
1 3 ... (2 1) 2 14.1) lim .
1 2
1 12) lim .
1 1
3) lim ( 5).
6 cos cos 55.1) lim . 6.1) lim .
27 2
3 2 sin 72)lim . 2) lim .
tg24 3
5 3 73) lim
2
n
n
n
x x
x x
x
n nn
n n
n n
n n n n
x x x x
x x
x x xxx x
x xx x
→∞
→∞
→∞
→ →
→ →
→∞
+ + + − + − +
+ − −
+ − −
− −
+ − −−
− +− +
− ++
( )
2
0
2
5 2
4 2 2
2 0
3
23 1
4
0
3 5. 3) lim .
sin 31
3 7 4 1 cos 34) lim . 4) lim .
2 1 sin 7
7 3 4 6 75) lim . 5) lim
sin 3 23 2 1
10 7 16) lim . 6) lim .
sin( 1)2 21
2 1 27) lim . 7) lim
1 2 1 3
x
x x
x x
x x
x x
x x
xx x
x xx
x x xx x x
x xx xx x
x xxx x
x xx
→
→−∞ →π
−
→∞ →
→− →−
−
→∞ →
−+
+ − ++ −− + −
−− ++ − +
+− −
++ +
( ) ( )
12
313
1.
1
.
1 2 18) lim . 8) lim
2 1
x
xx
x x
x
x xx x
−
→∞ →
+ −−
( )
2
0 1
21
2102
tg7.1) lim . 3) lim ln ln( 1).
sin
12) lim . 4) lim (2 3 ) .
cos 1
x x
xx x
x x
x xx x
x x
e xx
x x
→ →
→ →∞
−−
−
− −+
− +
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу ( )xα відносно ( ) :xβ 2 2
2 3 2
1) ( ) arctg 3 , ( ) 4 , 0.
1 12) ( ) , ( ) , .2 2
3) ( ) ln(1 ), ( ) , 0.
x x x x x
x x xx x x x
x x x x x
α = β = →
α = β = → ∞+ −
α = + β = →
9. Дослідити функцію на неперервність:
2
1) ( ) .
2, 1,
2) ( ) 1, 1 1,
3, 1.
xf x
xx x
f x x x
x x
=
+ ≤ −= + − < ≤− + >
73) ( )
2
xf x
x+
=−
у точках 1 22, 3.x x= =
Знайти похідні функцій (10—13):
2
2
42 2
5
43
2
2 4 4
arccos4
3 5cos2
410.1) 3 .
5 1
ln(7 2)2) ( 4) tg lg 3 .
5 cos 42
arccos 33) sh 4 arccos .
th
4) ln( 1)arccos 2 arctg7 .
7 arccos(4 1)5) (sin 3 ) .
( 2)
( 2) ( 1)6) (arctg6 )
( 1
x
x
x
x
ey x
x x xx
y xxx
y x xx
y x x x
xy x
x
x xy x
x
−
−
= − −+ −
+= − + +
= ⋅ −
= − +
−= −
+
− += +
+ 3 2 .) ( 4)x −
11.1) arctg . 2) .x yy x y e xy−= + =
3
3
? 6 cos , cos ,12. : 1) 2)
? sin .2 sin .
tx
txx
y x t x e t
y y e ty t
′ = = = ′′ = ==
2 (5)
5 7 1 ( )
13.1) cos , ?
2) , ?x n
y x x y
y e y−
= =
= =
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі
до кривої в заданій точці:
0
0
1) 4, 8.
2) ( sin ), (1 cos ), .3
y x x
x a t t y a t t
= − =
π= − = − =
9
4 3 20
1 1 13) , , , (1;1;1).4 3 2
x t y t z t M= = =
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції 2 2( 2) .y x x= −
2maxmin[ , ] 23
2 1 11) , ;0 .2( 1)16. ( ) ?
2) 2( 2) (8 ),[0;6].a b
xy
xf x
y x x
− = − −== − −
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік:
15
23
2
2
333
2
2
12 6( 2)1) . 5) .
82
2) 3 ln 1. 6) .3 2
43) ( 2) 3 6. 7) .
3 4
2( 1)4) ln(cos sin ). 8) .
2
xx
y y exx
y yx x x
x xy x x y
xx
y x x yx
+−
= =+
= − =− +
−= + − − =
−+
= + =−
Знайти інтеграли (18—22):
23
2
2 2
2 34
23
2 4
2
2
2
18.1) (1 ) . 7) sin(5 3 ) .
2) . 8) .2 39 3
33) . 9) .
4 1 7 3sin 3
4) . 10) .cos 3
ln (1 )5) . 11) .
(1 )sin ctg
arccos 3 sin 36) . 12) .
3 cos 31 9
2 119.1) . 5
5 1
x
x dx x dx
dx dxxx
xdx dxx x
xe dx dx
x
dx xdx
xx x
x xdx dx
xxx
dxx
−
+ −
−+
+ −
−−
−−++
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
( )
2
3 3 2
2 2
2 2
3 2
2 4 2
4 3 8
4
(43 67)) .
( 1)( 12)
2 2 22) . 6) .
1 ( 1)( 1)
12 63) . 7) .
2 7 10 ( 1)( 4 13)
(2 1) 3 24) . 8) .
3 2 6 5 4
20.1) tg 3 . 4) cos sin .
2) sin . 5)4 1
x dxx x x
x x x xdx dx
x x x
dx x dxx x x x x
x dx x x xdx
x x x x
xdx x xdx
x dxdx
−− − −
+ + − +− − −
−− + + − +
− − + −− + + +
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ 2
2 2
.3 cos
3 sin 2 cos3) sin 3 cos 3 .6) .
1 cos
xx x
x xdx dxx
+−
+
∫
∫ ∫
2 2
2 2
2
3 6
2 3
2
2
8 13 121.1) . 5) .
1 3 5
2) . 6) .2 3 2 1
4 1 13) . 7) .
1 1
14) . 8) .
3ln
22.1) . 4) arctg2 .
2) sin cos . 5) ( 7)cos2 .
3) . 6) arcsin 3 .x
x xdx dx
x x xdx dx
x x x x
x xdx dx
x x x
x dx xdx
x xxxdx x xdx
x
x x xdx x xdx
x e dx xdx−
− −
− − +
− − −
+ + ++ + +
+−
−
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
23. Обчислити інтеграли:
224 4
0 0
3 6 2
2 42 3
543
0 0
1) cos . 4) sin cos .
2 92) . 5) .
( 1)
3) sin 2 . 6) .2 3 1
x xdx x xdx
x xdx dx
x x x
dxxdx
x x
π π
π
+ −−
+ +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність: 1
13 3
4 21 0
161) . 2) .
16 1
xxdx edx
x x
∞ +
−∫ ∫
25. Обчислити площу фігури, обмеженої
кривими: 2 21) 4 , 2 .
4( sin ),2)
4(1 cos ),
4 (0 8 , 4).
3) 3 cos , sin .
y x y x x
x t t
y t
y x y
= − = −
= − = −= < < π ≥
ρ = ϕ ρ = ϕ
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими
sin , 3 sin , 0,0 ,y x y x y x= = = ≤ ≤ π на-
вколо осі .Ox
27. Обчислити площу поверхні, утворе-
ної обертанням кривої 10( sin ),x t t= −
10(1 cos ) (0 2 )y t t= − ≤ ≤ π навколо осі
.Ox
10
Варіант 4
1. Побудувати графіки функцій:
( ) ( )( ) 1
1 31) cos 3 . 4) ctg 3 .2 4 4
12) 2arccos( 1). 5) .3
3) 3arctg( 2). 6) lg( 2).
x
y x y x
y x y
y x y x
−
π π= + = +
= − =
= + = − +
2. Знайти:
а) алгебричну форму 3132
2 ;z
z iz + −
б) тригонометричну форму 3;z
в), г) 81 2( )z z та ( )101
2;
zz
д), е) всі значення 31z та 4
2z , якщо:
1 2 33 3 , 3 , 1 5 .z i z i z i= − + = − = − −
3. Зобразити множину точок :z ∈ ℂ
3 2
51) 1 2,0 arg .4
2) 1 , Im 1.
3) 2 0.
z i z
z z i z
z z
π< + ≤ < ≤
+ < − <
+ − =
Знайти границі (4—7):
( )
4
3 2 3
4 12
2 2 4
2
21 0
2 3
3 32 0
3 2
3 0
1 2 ...4.1) lim .
9 1
1 72) lim .
1
3) lim ( 1)( 4) 9 .
2 1 tg 35.1)lim . 6.1) lim .
2 sin3 2
3 2 1 12) lim . 2) lim .
8 27
7 2 4 1 c3) lim . 3) lim
2 5
n
n
n
x x
x
x x
x x
n
n
n n
n n n
n n n
x x xxx x
x x ex x x
x x xx
→∞
→∞
→∞
→ →
→ →
→∞ →
+ + +
+
− +
+ + −
+ − − −
− −− −
+ + −− +
− + −+
( ) 2 2
6
2 24
2 5 3
4 2 0
22
3arctg
sin0
os2.
cos 7 cos 3
3 1 sin24) lim . 4) lim .
2 5 ( 4 )
2 75) lim . 5) lim .
sin2 sin3 5 1
2 2 tg tg6) lim . 6) lim .
ln ln6
17) lim . 7) lim(2 3 ) .
8
x x
x x
x x
x x a
xx x
x x
xx x
x x xx x x
x x e ex xx x
x x ax ax x
xx
π→∞ →
→−∞ →
→− →
−
→∞ →
−
− −− + π −
− + −−− +
− − −−− −
−−
( ) ( )13 12
2
2 1 cos) lim . 8) lim .
4 1 cos2
xx
x x
x xx
−−
→−∞ →
−+
1
2
20 1
tg ln0 0
1 1 127.1) lim . 3) lim .1 1cos 12
2) lim (arcsin ) . 4) lim(ctg ) .
x
x x
x xx x
e x x x
xx x
x x
α
β→ →
→+ →
− − − −−− −
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу ( )xα відносно ( ) :xβ
2
3
1) ( ) sin 3 sin , ( ) 5 , 0.
2) ( ) 2, ( ) 16, 4.
3) ( ) tg , ( ) sin , 0.
x x x x x x
x x x x x
x x x x x
α = − β = →
α = − β = − →
α = β = →
9. Дослідити функцію на неперервність:
2
2
11) ( ) .
, 0,
2) ( ) ( 1) , 0 2,
3, 2.
xef x
xx x
f x x x
x x
−=
− ≤= − − < < − ≥
53) ( )
3
xf x
x−
=+
у точках 1 22, 3.x x= − = −
Знайти похідні функцій (10—13):
ctg 5
5 2 2
32 35
33 4
5
2 2 arcsin( 1)
25sin 4
210.1) 7 .
( 1) (3 4 )
sin 52) 7 ctg 5 .
ln(2 3)
arcsin 53) arcsin 2 ctg7 .
ch6arcsin2
4) 3 arccos2 .( 2)
5) th arctg 3 (th 5 ) .
( 3) ( 2)6) (arcctg5 )
(
x
x
x
x
ey x
x x x
xy x
x
xy x x
xx
y xx
y x x x
x xy x
−
−
−
= − −− −
= + +−
= ⋅ −
= +−
= ⋅ −
+ −= + 7 2 .
1) ( 1)x x+ −
2 24 4 2 211.1) 1. 2) .
5 3
x yx y x y+ = + =
2
2
22
1 , sh ,? 212. : 1) 2) 1? ..
ch( 2)
x
xx
x x ty tty yy
tt
= =′ = + ′′ = == +
2 (5)
( )
13.1) ( 1) ln( 1), ?
4 72) , ?
2 3n
y x x y
xy y
x
= − − =
+= =
+
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі
до кривої в заданій точці:
0
2 30
1) 4, 3.
2) 2 , 3 , 1.
y x x
x t t y t t t
= + = −
= − = − =
11
( )0
33) cos , sin , ,2
1 1 3; ; .82 2
x y z
M
= ϕ = ϕ = π
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції 3 21 ( 9 ) 6 9.4
y x x x= − + −
1
max2min
[ , ]2
1) ( 2) ,[ 2;2].
16. ( ) ? 2( 3)2) ,[ 3;3].
2 5
x
a b
y x e
f x xy
x x
−= + −= +
= −− +
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік: 2 23
2
22
2
33
2
12 6( 1) 4 91) . 5) .
4 82 9
42) (3 ) . 6) .
3
3) ( 1) 3 3. 7) .9
14) . 8) ln .
sin cos
x
x xy y
xx x
xy x e y
xx
y x x yx
y y x xx x
−
− += − =
++ +
= − =+
= + − − =−
= =+
Знайти інтеграли (18—22):
( )
2
22
2 1 cos
5
23
3
2
2
2
18.1) . 7) cos(2 3 ) .1
92) . 8) .
1 49 34
3) . 9) .5 23 4
4) . 10) sin .
sin ctg 25) . 11) .
cos sin 2
arctg 26) . 12) .
2 31 4
7 12 76 119.1) . 5)
2 1 (
x x
x
x
dxx dx
xdx dx
xxxdx dx
xx
e dx e xdx
x xdx dxx xx e dxdx
ex
x x dxxdx
x x
+
++
−−
+−
+++ −+
+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ 2
3
3 2
2
2 2
4 2
2 4 2
2 4 3
22 2
.2)( 3)
8 1 22) . 6) .
2 1
(2 2 20)3) . 7) .
2 6 ( 1)( 2 5)
3 14) . 8) .
2 5 3 4
20.1) tg 7 . 4) cos sin .
2 tg 32) cos 5 . 5) .
sin 2 cos
x x
x xdx dx
x x x
dx x x dxx x x x x
xdx x xdx
x x x x
xdx x xdx
xxdx dx
x x
+ − +
− ++ −
+ ++ − − + +
+ ++ + + −
++
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
2 2
2 2
2 3
4
3 3
9 4
2
3) cos5 sin . 6) .5 3 cos 5 sin
3 2 121.1) . 5) .
4 1 3
2) . 6) .6 8 1
1 13) . 7) .
1
14) . 8) .
2 4
arcsin22.1) ln( 2) . 4) .
1
2) cos5 . 5) (sin2 3)
dxx xdx
x xx x
dx dxx x xdx dx
x x x x
x xdx dx
xx
xdx xdx
x x xx
x dx dxx
x xdx x x
+ −+ +
+ + −
+ + −
− ++
++ +
++
−
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫4
.
3) ( 1) . 6) arccos2 .x
dx
x e dx xdx−+
∫∫ ∫
23. Обчислити інтеграли:
2
2 2 6
0 0
3 1
22
2 0
8
5
0 3
1) sin . 4) sin cos .4 4
2) . 5) 4 .( 1)
1 13) sin . 6) .
2 1 1
x xx xdx dx
dxx dx
x x
x xdx dx
x
π π
π
−−
+ ++ −
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність: 3
4 530 1
1) . 2) .16 1 (3 )
xdx dx
x x
∞
+ −∫ ∫
25. Обчислити площу фігури, обмеженої
кривими:
( )2
3
3
1) sin cos , 0 0 .2
16 cos ,2) 2 ( 2).
2 sin ,
3) 4 sin 3 , 2 ( 2).
y x x y x
x tx x
y t
π= = ≤ ≤
= = ≥ =ρ = ϕ ρ = ρ ≥
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими
0, 5 cos , cos , 0,x y x y x x= = = ≥ навколо
осі .Ox
27. Обчислити площу поверхні, утворе-
ної обертанням кривої ( )21 32 2
y x y= ≤
навколо осі .Oy
12
Варіант 5
1. Побудувати графіки функцій:
( ) ( )2
11) 2 sin 3 . 4) tg .4 2 8
2) 3arcsin( 2). 5) .
13) arcctg( 3). 6) ln(2 3).2
x
y x y x
y x y e
y x y x
−
π π= − − = −
= + =
= − = +
2. Знайти:
а) алгебричну форму 3132
2 ;z
z iz + −
б) тригонометричну форму 3;z
в), г) 81 2( )z z та ( )101
2;
zz
д), е) всі значення 31z та 4
2z , якщо:
1 2 36 6 , 2 2 3 , 1 2 .z i z i z i= − + = − = − −
3. Зобразити множину точок :z ∈ ℂ
3 2
1) 2 2 3,0 arg .2
2) 2 2 , Re 2.
3) 3 12 16 0.
z z
z i z z
z z z
π< − ≤ < ≤
− > + >
+ + − =
Знайти границі (4—7):
4
3 3
5
5 2
2
2 22 0
4 2
4 21 0
3 2
1 3 ... (2 1)4.1) lim .
4 3
3 1 1252) lim .
8 ( 5)3) lim .
2 7 6 tg sin5.1) lim . 6.1) lim .
5 6 3
1 arctg62) lim . 2) lim .
1 2 3
4 283) lim
n
n
n
x x
x x
x
n
n
n n nn n
n n n nn
x x x xx x x
x x x xx x x
x x
→∞
→∞
→∞
→ →
→− →
→∞
+ + + − +
− − +−
− − +
− + −− +
− + +− −
− +
( )
3 2 0
3
4 21
3 2 2 3
2 30
21 0
5 3
8
4. 3) lim .
tg(2 )5 3 1
2 7 1 1 cos4) lim . 4)lim .
3 2 5 tg
4 2 3 55) lim . 5) lim .
3 2 arctg
3 2 5 1 tg 16)lim . 6) lim .
3 4 1
2 5 27) lim . 7) lim
2 1
x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x xxx x
x x xx x x
x x xx x x x
x xxx x
x xx
→
→∞ →
→−∞ →
→ →
−
→∞ →
π + π+ +
+ − + π+ + π
− + −− + +
+ − + −− +
+ −+ ( )
( )
3
3
12
ctg
0
7.
1
5 8 1 sin cos8) lim . 8) lim .
2 1 sin cos
x
xx
x x
x
x x xx x x
−
→∞ →
+
+ + α − + β
tg
0 0
1cos ln
02
1 sin7.1) lim . 3) lim .
tg
2) lim ( 2 ) . 4) lim (ln2 ) .
x a x
x ax x
x xxx
e x x ax x a a
x x
→ →
π →∞→ −
− − −− −
π −
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу ( )xα відносно ( ) :xβ 2
3
3
1) ( ) cos 3 cos , ( ) 7 , 0.
2) ( ) 2, ( ) 1, 1.
3) ( ) arcsin ( 2), ( ) 4,
4.
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x
α = − β = →
α = + − β = − →
α = − β = −
→
9. Дослідити функцію на неперервність: 2
3
6 11) ( ) .2 1
2( 1), 1,
2) ( ) ( 1) , 1 0,
, 0.
x xf xxx x
f x x x
x x
− −= −− + ≤ −= + − < < ≥
133) ( ) 4 2xf x −= + у точках 1 22, 3.x x= =
Знайти похідні функцій (10—13):
37 4
cos2
24 2
32
cos 24
3 2 arcsin 3
7arcsin2
5 7 5 110.1) .
cos 32) 3 cos sin 5 .
lg(3 4)
cth ( 1)3) ctg 3 arccos 3 .
arccos23arcctg(2 5)
4) 3 ln( 3 ) .( 1)
5) cth 5 arcsin (ctg 3 ) .
( 2) (6) (sh 3 )
x
x
x
x
x xy x
exx
y xx
xy x x
xx
y x xx
y x x x
xy x
− += − +
= − −−
+= ⋅ +
−= − −
+
= ⋅ +
+= −
3
2 5
3).
( 1) ( 1)
x
x x
−− +
2 sin11.1) sin 25 . 2) .y xy y x x ye+ = =
2
4
? , sin ,12. : 1) 2)
2 cos .? .
tx
txx
y x e x t t
y ty y e
−′ = = = + = −′′ = =
2 (6)
( )
13.1) cos(2 1), ?
2) lg(5 2), ?n
y x x y
y x y
= − =
= + =
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі
до кривої в заданій точці: 3 2
01) 2 4 7, 2.y x x x x= − + − =
13
( )
2 2
03 3
60
2 22) , , 1.1 1
3 13) cos , sin , , ; ; .2 2
t
t t t tx y tt t
x t y t z e M eπ
+ −= = =+ +
= = =
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції 2 32 3 .y x x= − −
2
maxmin[ , ]
31) ln( 2 4), 1; .216. ( ) ?
2) 2 ,[0;4].a b
y x xf x
y x x
= − + − == −
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік:
2
23 2
3 2
2
233
32 sin
2
4 41) 1 2 . 5) .
4 3 8 22) .6) 4 .
2 3
3) ( 1) 3 3. 7) .2
44) . 8) .
1
x
x
x
x xy x x y
xx x x
y y ex
ey x x y
xx
y e yx
−
−
− −= − + =
+ − −= = −
−
= − − + =−+
= =+
Знайти інтеграли (18—22):
3
3
2
22
37 2
3
5 2
2 1 22
2 2
18.1) . 7) cos(3 2 ) .(1 )
2) . 8) .2 3 3 9
23) . 9) .
2 38 9
ln (1 )4) . 10) .
1
sin tg 45) . 11) .
cos cos 4sin2
6) . 12) .cos 4
3 2 819.1) . 5)
2 7 ( 6
x
x
dxx dx
x
dx dxx xxdx dx
xxx
e dx dxx
x xdx dxx x
xe x dx dx
xx xdx
dxx x x
−
−
+−
+ −
+−−
−
−−+ +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫5 2
2 3 2
3 2
2 2
3
2 4 2
35
3 4
32 2
.5)( 3)
2 4 3 32) . 6) .
4 2
( 8 22 7)3) . 7) .
5 2 7 ( 1)( 6 13)
( 5) 8 24) . 8) .
2 4
cos20.1) tg 2 . 4) .
sin
2) cos (1 ) . 5) .3 cos 4 sin
3) si
x
x x xdx dx
x x x x
dx x x x dxx x x x x
x dx x xdx
x x x x
xxdx dx
xdx
x dxx x
+ +
− + +− + +
+ + ++ + + + +
+ + −+ − +
−+
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
n cos . 6) .2 4 5cos 10 sin
x x dxdx
x x+∫ ∫
2 2
2 2
6 52 2
66 5 7
3 33 2
9 8
2
2
2 2
2 2 521.1) . 5) .
2 4 8 9
2) . 6) .2 8 2 1
13) 4 . 7) .
14) . 8) .
1
ln(cos ) arcsin22.1) . 4) .
1sin
2) (sin 1) . 5) ( 2)cos 3 .
3) .x
x xdx dx
x x xdx dx
x x x x
x xx x dx dx
x x
x dx xdx
x x xx xdx dx
xx
x x dx x xdx
x e dx−
− +
− + +
+ − +
+ +−
+
++
−
+ +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫∫ 6) arctg 8 .xdx∫
23. Обчислити інтеграли: 12
4 8
1 02
3 13 5
2 21 1
8 33
3 0
1) arccos . 4) 2 cos .2
12) . 5) .
24
3) . 6) cos sin2 .1
xxdx dx
x x dxdx
xx x
xdxx xdx
x
π
−
−π
++−
+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність: 0 1
2 313
ln(3 1)1) . 2) .
3 1( 4)
xdx xdx
xx−∞
−−+∫ ∫
25. Обчислити площу фігури, обмеженої
кривими: 21) 4 , 0, 0, 1.
2 cos ,2) 3 ( 3).
6 sin ,
3) 2 cos , 2 3 sin .
y x y x x
x ty y
y t
= − = = =
= = ≥ =ρ = ϕ ρ = ϕ
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими
0,y = 2sin , ,2
y x xπ
= = навколо осі .Ox
27. Обчислити площу поверхні, утвореної
обертанням кривої 23 (0 2)y x x= ≤ ≤
навколо осі .Ox
14
Варіант 6
1. Побудувати графіки функцій:
( ) ( )2
11) 3 cos 2 . 4) ctg .3 3 6
2) 3arccos( 2). 5) .
3) 2arctg( 3). 6) ln( 2).
x
y x y x
y x y e
y x y x
−
π π= + = −
= − =
= + = − −
2. Знайти границі (4—7):
а) алгебричну форму 3132
2 ;z
z iz + −
б) тригонометричну форму 3;z
в), г) 81 2( )z z та ( )101
2;
zz
д), е) всі значення 31z та 4
2z , якщо:
1 2 32 2 , 2 3 2 , 2 3 .z i z i z i= + = − − = − +
3. Зобразити множину точок :z ∈ ℂ
3 2
1) 1 2 3, arg .2
2) 2 2 , Im 3.
3) 3 4 8 0.
z z
z z i z
z z z
π< + ≤ < ≤ π
− > − >
− + + =
Знайти границі:
3 6 25
24
2
2
33 0
2
41 0
2
2
1 3 ... (2 1)4.1) lim .
1 2 ...
272) lim .
( ) 9
3) lim ( 3 2 ).
12 arcsin 55.1) lim ; 6.1) lim .
sin 327
2 3 1 arctg 32)lim . 2) lim .
21
3 10 33) lim .3) l
2 5 3
n
n
n
x x
x x
x
nn
n n n n
n n n
n n n
x x xxx
x x xxx
x x
x x
→∞
→∞
→∞
→ →
→ →
→∞
+ + + −+ + +
− +
+ +
− + −
− −−
− −−
+ ++ − ( )
( ) ( )( )1
0
3 2
42
4 2 3
2 20
2
2 0
5
0
2im .
tg 2
2 7 tg 34) lim . 4) lim .
tg5 1
3 2 15) lim . 5) lim .
3 2 5 arctg
3 26) lim . 6) lim .
sin sin5 3
37) lim . 7) lim tg .
4
18) lim
3
x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
xx
x x xxx x
x x e ex x x x
x x e ex xx
xx
x
x
→
π→−∞ →
→∞ →
α β
→ →
→−∞ →
→−∞
π + π
++ −
− + −+ − −
− + −α − β− −
+ π−
+( ) ( ) 2
12 1
sin 3
0
4. 8) lim 5 .
1 cos
xx
xx x
+
→−
−
1 0
0
ln(1 ) tg27.1)lim . 3) lim .
ctg sin
2) lim ( 2arctg )ln . 4) lim (sin ) .
ax bx
x x
x
x x
xx e ex x x
x x x
→ →
→∞ →+
π− + −π −
π −
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу ( )xα відносно ( ) :xβ 2 2
2
1) ( ) 1 cos2 , ( ) 6 , 0.
2) ( ) sin( 2), ( ) 4, 4.
3) ( ) , ( ) , 0.
x x x x x x
x x x x x
x x x x x x x
α = + − β = →
α = − β = − →
α = + − β = →
9. Дослідити функцію на неперервність:
3
2
11) ( ) .
, 0,
2) ( ) , 0 2,
1, 2.
xef x
xx x
f x x x
x x
−=
− ≤= < ≤ + >
123) ( ) 9 xf x −= у точках 1 20, 2.x x= =
Знайти похідні функцій (10—13):
2
tg 33 4
3 2
34
52
2
32
arctg2
4 2arccos2
410.1) .
( 2) 3 4
tg (2 1)2) 3 sin cos 3 .
lg(5 1)
th 33) ln( 1)arccos 4 .
arctg 3
arctg(3 2)4) 5 arcsin 3 .
2( 3)
5) log arctg (ch5 ) .
( 1) ( 2)6) (tg 4 )
x
x
x
x
ey x
x x x
xy x
x
xy x x
x
xy x
x
y x x y x
x xy x
−
= − ++ − +
−= + −
+
= − +
+= −
−
= + =
− −= −
5
2 23.
( 1) ( 4)x x+ −
11.1) arctg 5 .2) 2 2 sin 2 .x y x yy x y x += + + =
5
arcctg ,,?12. : 1) 2)
..?
x
txx
x tx ty
y ey ty
=′ == ′′ ===
2 2 1 (5)
3 ( )
13.1) (4 5) , ?
2) , ?
x
x n
y x e y
y a y
+= + =
= =
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі
до кривої у заданій точці: 3 2
0
2 2
0
1) 5 7 2, 1.
12) arcsin , arccos ,1 1
1.
y x x x x
tx yt t
t
= − + − =
= =+ +
= −
15
( )01 13) sin , cos , tg , ; ;1 .2 2
x t y t z t M= = =
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції 2 2( 1) ( 1) .y x x= + − 3
2maxmin[ , ] 23
1) ,[ 1;1].116. ( ) ?
2) ( 1) ( 7),[ 1;5].a b
xy
x xf x
y x x
= −− +=
= − − −
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік:
( )
223
2
2 2
2
23 23
31) 2 3 ( 3) . 5) .
3 2
3 32) . 6) .
1 4 1
3) ( 3) 3 9.7) exp .2
4) arctg sin . 8) ln 1.2
xy x x y
xx x x
y yx x
xy x x y x
xy x y
x
−= − + =
−− +
= =− −
= − − + = −
= = ++
Знайти інтеграли (18—22):
( )
3
2
2 2
5 7
37
2
2 3
3 2
2
18.1) . 7) sin(4 2 ) .2
2) . 8) .2 57 4
43) . 9) .
4 3 5 1
ln(2 1)4) . 10) .
2 1
tg55) . 11) cos 2 sin2 .
cos 5
6) . 12) .4 3 (1 )arctg
5 20519.1) . 5)
3 1
x
x
x
dxx dx
xdx dx
xxxdx dx
x x
xe dx dx
xxdx x xdxx
e dx dxe x x
x x xxdx
x
−
−+
−−
+ +−
−
− +
+ −−−
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
( )
2
4
2 3 2
2
2 3
3 2
2 2 2
52 2 2 3
32
.( 5 6)( 1)
2 3 22) . 6) .
1
3 23) . 7) .
2 2 1 1
3 2 2 2 54) . 8) .
5 3 2 ( 1) ( 4)
20.1) tg . 4) sin 2 cos 2 .
tg2) sin 3 . 5) .
1 ctg
3) cos sin 9 .
dx
x x x
x xdx dx
x x x
dx x xdx
x x x
x dx x xdx
x x x x
x x dx x xdx
xxdx dx
x
x xdx
− + +
− ++ +
+ +− + −− − +− + − +
−
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ 6) .3 2 cos sin
dxx x+ −∫
2 2
2 2
2
3
23 3
9 5
2
3 7 2 1021.1) . 5) .
1 4 1
2) . 6) .3 2 2 1
93) . 7) .
2 1 2 1
1 (1 )4) . 8) .
2
ln(ln ) arcsin22.1) . 4) .
1
2) ( ) . 5) arctg 3 .
3) ( 2)cos 4 . 6) si
x
x xdx dx
x x xdx dx
x x x x
x dxdx
x x x
x xdx dx
x x x xx xdx dx
x x
x x e dx xdx
x xdx x
−
− −
− + −
+ − −
+− − −
+ ++
−
+
−
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫∫ n( 2) .x dx−∫
23. Обчислити інтеграли:
2 0
8 8
12
3 322
32 0
ln 532
0 0
1) ( 1)ln . 4) 2 sin .
3 2 32) . 5) 3 .
13) tg . 6) .
3
x x
x
x xdx xdx
x xdx x dx
x x
e exdx dx
e
π−
π
−
+ −−
−
−+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність: 12
23 43104
1) . 2) .20 9 1( 8)
x dx dxx xx
∞
− ++∫ ∫
25. Обчислити площу фігури, обмеженої
кривими: 2 21) 4 , 0 (0 2).
2( sin ),2) 3 (0 4 ).
2(1 cos ),
3) sin 3 .
y x x y x
x t ty x
y t
= − = ≤ ≤
= − ≥ < < π = −ρ = ϕ
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими 31, 1, 2,x y x y= = = − навколо осі .Ox
27. Обчислити площу поверхні, утворе-
ної обертанням кривої ,y x y x= = на-
вколо осі .Ox
16
Варіант 7
1. Побудувати графіки функцій:
( ) ( )( ) 1
11) sin 3 . 4) tg 2 .2 2 4
1 12) arcsin . 5) 5 .2 2
3) 3arcctg( 1). 6) lg(2 5).
x
y x y x
y x y
y x y x
+
π π= − − = +
= + =
= − = −
2. Знайти:
а) алгебричну форму 3132
2 ;z
z iz + −
б) тригонометричну форму 3;z
в), г) 81 2( )z z та ( )101
2;
zz
д), е) всі значення 31z та 4
2z , якщо:
1 2 33 3 , 3 , 3 4 .z i z i z i= − + = − − = −
3. Зобразити множину точок :z ∈ ℂ
3 2
31) 1 2 2, arg .4 4
2) 2 2 , Re 1.
3) 2 4 0.
z i z
z i z z
z z z
π π< − ≤ < ≤
+ > + <
− + + =
Знайти границі (4—7):
2
34 4 4
3 3
2
31 13
2
22 0
2 4
4
1 3 ... (2 1)4.1) lim .
3
2 22) lim .
4 1 1
3) lim ( 4 ).
3 2 15.1) lim . 6.3)lim(1 )tg .
227 1
2 sin52) lim . 2) lim .
arctg23 10
33) lim
3
n
n
n
xx
x x
x
nn
n
n n
n n
n n
x x xxx
x x xxx x
x x xx x
→∞
→∞
→∞
→→
→ →
→∞
+ + + − − +
+ − +
+ − −
+ −
+ − π−−
− −+ −+ −+ −
( ) ( )
2
3
20
6 2 2 2
3 4
2 5
4 2 0
2 2
sin1 0
2 1 sin
3
1 cos. 3) lim .
2 4
3 5 sin tg4) lim . 4) lim .
2 4 5 ( )
2 5 2 3 25) lim . 5) lim .
sin 93 9
3 4 1 1 16) lim . 6) lim .
3 2 1
27) lim . 7) lim 2
1 3
x
x x
x x
x x
xx x
x x
x x
xx
x x x xx x x
x xx xx x
x x xx e
x xx
→
→−∞ →π
→∞ →
→− →
− π
→∞ →
−
− −+ − − π
− + −−+ −
+ + + −+ − −
+−
+
( ) ( )514
1
1
.
2 1 2 18) lim . 8)lim .
1
xx
x x
x xx x
−
→−∞ →
+ −−
202
ln
1
ln(1 )7.1) lim . 3) lim .
ctg 2 costg
cos ln( )2) lim . 4)lim(1 ) .
ln( )
x x
xx ax a x
x x xx xx
x x ax
e e
π→ →
→ →
+ − π −
−−
−
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу ( )xα відносно ( ) :xβ
2
2 3
1) ( ) 1 1, ( ) 2 , 0.
2) ( ) tg( ), ( ) , 0.
3) ( ) , ( ) , 0.x x
x x x x x
x x x x x x
x e e x x x
α = + − β = →
α = − β = →
α = − β = →
10. Дослідити функцію на неперервність:
11) ( ) .
3, 0,
2) ( ) 1, 0 4,
3 , 4.
xf x xe
x x
f x x x
x x
−=
− <= + ≤ ≤ + >
153) ( ) 2 1xf x −= + у точках 1 24, 5.x x= =
Знайти похідні функцій (10—13):
sin3
5 7
3 5 3
75 4
5
552
3 2 arcctg 3
2arctg 5
3 7
1010.1) .
( 5)
log (4 5)2) 5 cos ln 7 .
2 ctg
arccos (2 5)3) ln arctg7 .
th4 sh 3
4) log arctg .( 2)
5) ch 4 arccos 4 (3 ) .
( 3) 46) (cos2 ) .
( 1) ( 2)
x
x
x
ey x
x x
xy x
x
xy x x
xx
y x xx
y x x x
x xy x
x x
= + +−
+= + −
−= +
= −+
= ⋅ +
− += −
+ +
2
2
2
2
11.1) cos . 2) ln .
2 , 1,? 112. : 1) 2) 1? .. 11
y
x
xx
y x y e xy y
tx x ty t
ty yy tt
− = + =
= = − ′ = + ′′ = = = −+
2 (6)
( )
13.1) sin(5 3), ?
2) , ?6 4
n
y x x y
xy y
x
= − =
= =+
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі
до кривої у заданій точці:
0
0
11) , 4.
1
2) cos , sin , , (1;0;1).t t t
xy x
xx e t y e t z e M
+= =
−= = =
17
0
3) cos 2 sin , sin 2 cos ,
.4
x t t t y t t t
t
= − = +
π=
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції 3 22 3 4.y x x= − −
( )3
maxmin[ , ]
11) ,[1;2].
16. ( ) ?
2) 4 5,[1;9].a b
xy
xf xy x x
+=
== − +
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік:
( )
2 23
2
3
12 23
2
6 6( 3) 2 61) . 5) .
22 9
ln2) ( 2) . 6) .
3) ( 4 3) . 7) .
44) ln 2 sin . 8) .
1
x
x
x xy y
xx xx
y x e yx
y x x y xe
xy x y
x
−
− −= =
−− +
= − =
= − + =
= =+
Знайти інтеграли (18—22):
( )
2
7
2
22
35 7
23
2
27 2
3
2
2
18.1) (1 4 ) . 7) cos(5 2 ) .
32) . 8) .
3 2 7 4
3) . 9) .2 99 8
ln(3 1)4) . 10) .
3 1
cos ctg5) . 11) .
sin 2 sin
6) . 12) .7 5
2 33 61519.1) . 5)
3 1 (
x
x
x dx x dx
dx dxx xxdx dx
xx
xe dx dx
x
xdx xdx
x x
x dxe xdx
x
x x dxxdx
x
+
+
− −
− −
+−+
+
+
−+ ++
+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
( )
2
3 2
2
2 2
4 3
2 4 2
33
3 2
22 2
.1)( 5 6)
1 42) . 6) .
2 1 ( 2 1)( 1)
363) .7) .
2 11 20 ( 2)( 2 10)
4 34) . 8) .
2 6 8
cos20.1) ctg 2 . 4) .
sin3
2) sin . 5) .2 4 sin 5 cos
3) sin 5 c
x x x
x x dxdx
x x x x
dx dxx x x x x
x dx x x xdx
x x x xx
xdx dxx
x dxdx
x x
x
− + +
−+ − + +
− + + − +
+ + − −− − −
−
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫os2 . 6) .
5 3 cos
dxxdx
x−∫ ∫
2
2 2
2 2
2 3
2 6
3 23
2 9
2
2
2
5 3 2 821.1) . 5) .
2 1 1
2) . 6) .2 2 3 1
4 13) . 7) .
1 1
(1 )4) . 8) .
3arctg
22.1) ln . 4) .1
2) ( ) . 5) cos 8 .
3) ( 4)sin2 . 6) arcsin 8
x
x xdx dx
x x xdx dx
x x x x
x x dxdx
xx
dx xdx
x x x xx x
xdx dxx
x x e dx x xdx
x xdx xdx
− −
+ − +
− − +
+ −− +
++
+
+
−
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫∫ .∫
23. Обчислити інтеграли:
12
0
2 6 2
2
13 2
2 23
133
1 2 ln 2
21 ln22
1) . 4) sin cos .
2) 9 . 5) .( 1)
3) . 6) .18 2
x
x
xe dx x xdx
xdxx x dx
x
dx dxex x
π−
π−
−
−
−−
−+ −
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність: 1
22 54102
1) . 2) .(1 )ln (1 )(16 )
xdx dxx xx
∞
− −+∫ ∫
25. Обчислити площу фігури, обмеженої
кривими:
( )
( )
2
3
3
1) cos sin , 0 0 .2
16cos ,2) 6 3 6 3 .
sin ,
3) 6 sin 3 , 3 ( 3).
y x x y x
x tx x
y t
π= = ≤ ≤
= = ≥ =ρ = ϕ ρ = ρ ≥
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими
1,x = , 0,xy xe y= = навколо осі .Ox
27. Обчислити площу поверхні, утвореної
обертанням кривої 2( sin ),x t t y= − =
2(1 cos ) (0 2 )t t= − ≤ ≤ π навколо осі .Ox
18
Варіант 8
1. Побудувати графіки функцій:
( ) ( )12
41) 2cos 2 . 4) ctg 3 .3 3
12) arccos( 2).5) 2 .213) arctg( 2). 6) ln(2 3).3
x
y x y x
y x y
y x y x
−
π π= + = −
= + =
= + = − −
2. Знайти:
а) алгебричну форму 3132
2 ;z
z iz + −
б) тригонометричну форму 3;z
в), г) 81 2( )z z та ( )101
2;
zz
д), е) всі значення 31z та 4
2z , якщо:
1 2 34 4 , 1 3 , 4 5 .z i z i z i= − − = − = +
3. Зобразити множину точок :z ∈ ℂ
3 2
41) 2 2 3, arg .3 3
2) 2 , Re 2
3) 3 3 2 0.
z i z
z z i z
z z z
π π< + ≤ < ≤
+ < − <
− + − =
Знайти границі:
4
4
4 4
2
2
212
2
22 0
2
2
1 4 ... (3 2)4.1) lim .
5 1
2 22) lim .
2 2
3) lim ( ( 2) 2 3).
4 5 1 sin5.1) lim . 6.1) lim .
22 3
2 ln(1 3 )2) lim . 2) lim .
sin24 4
2 7 33) lim .
5 3 4
n
n
n
x x
x x
x
n
n n
n n
n n
n n n n
x x xxx x
x x xxx x
x xx x
→∞
→∞
→∞
π→− →
→− →
→∞
+ + + −
+ +
+ + −
+ + −
+ − − +
− − −π −− −
+ ++ ++ +− +
( )3
0
7 2 2
2 1
2 4 2
3 0
2 2
14 0
4
0
arcsin 33) lim .
2 2
5 1 14) lim .4) lim .
tg3 11 7
5 4 25) lim . 5) lim .
2arctg sin4 2 5
2 9 4 ( )6) lim . 6) lim .
5 1
37) lim . 7) lim(2
1
x
x x
x x
x x
x x
xx x
x
x x
xx
x x x xxx x
x x e ex xx x
x x x e ex e e
xe
x
→
→∞ →
−
→−∞ →
−
+→ →
−
→∞ →
+ −
+ − + −π+ −
− + −−+ −
− + −− − −+
−−
( ) ( )
2 3arcsin
5 tg2
) .
18) lim . 8) lim 2 .
2 1
x x
xxa
x x a
x xx a
π
→∞ →
+−
−
12
tg ln
0 0
17.1) lim . 3) lim( )tg .
2ln
2) lim (arctg ) . 4) lim (ctg ) .
x
x x
x xx x
x xxx
x x
→ →π
→+ →+
−π −
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу ( )xα відносно ( ) :xβ
3 3 10
1) ( ) sin sin 5 , ( ) 2 , 0.
1 12) ( ) , ( ) , .2
3) ( ) ln(1 1), ( ) 1,
1.
x x x x x x
x x xx x x
x x x x
x
α = + β = →
α = β = → ∞+ +
α = + + β = +
→ −
9. Дослідити функцію на неперервність:
3
tg2 sin21) ( ) .
1 , 0,
2) ( ) 1, 0 4,
3, 4.
x xf x
x
x x
f x x x
x x
−=
− <= + ≤ ≤ + >
143) ( ) 5 2xf x −= − у точках 1 23, 4.x x= =
Знайти похідні функцій (10—13):
3 75 2
36 35
sin 33
2
3 3 2
3 2 sin
10arcctg( 1)
2
4 ln(7 3)10.1) .
3 tg 4
arcsin 42) ctg 5 .
sh(3 1)
arcsin(3 8)3) 3 arctg 4 .
( 7)
4) log arccos 3 .2 3
5) sh arcctg 5 (ln ) .
( 7) 3 16) (sin 7 )
( 1) (
x
x
x
x
xy x
x x
xy x
x
xy x
x
ey x x
x xy x x x
x xy x
x x+
−= + +
= + −+
+= +
−
= −−
= ⋅ +
− −= −
+ + 5 .3)
( )211.1) ln arctg ; 2) 3 sin 5 .y
x y x y yx+ = + =
2
2
1 ,? sin ,112. : 1) 2)
sec .1? .1
x
xx
xy x tty tty y
t
=′ = = − =+ ′′ = = −
2 (5)
( )
13.1) ( 1) ln( 2), ?
4 72) , ?
2 3n
y x x y
xy y
x
= − − =
+= =
+
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі
до кривої в заданій точці:
0
2 30
1) 4, 3.
2) 2 , 3 , 1.
y x x
x t t y t t t
= + = −
= − = − =
19
3 2 2 3
0
3) 5, 3 1, 2 16,
( 1;13;0).
x t t y t z t
M
= − − = + = −
−
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції 2 33 2.y x x= − −
3
maxmin[ , ]
2
1) 4 ,[ 2;2].
16. ( ) ? 102) ,[0;3].
1a b
y x xf x x
yx
= − −=
=+
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік:
3 22
3 2
2
2 2 2
2 23
21) 1 4 3. 5) .
( 1)
2 2 3 1 ln2) .6) .
2 4
4 13) . 7) .
4 2 21
4) . 8) ( 2) .sin cos
x
xy x x y
x
x x x xy y x
xxx x e
y yx x
y y x xx x
−
+= − + + =
+
+ − −= = +
−− +
= =− −
= = +−
Знайти інтеграли (18—22):
( )
2
52
2 2
237 2
2
2 3
32
2
2
18.1) . 7) cos(7 3) .2 3
2) (1 4 ) . 8) .5 3
33) . 9) .
3 2 9 2
arctg4) . 10) .
1
cos5) . 11) .
3 sinsin ctg
sin26) . 12) .
3 sin 4
22 452 519.1) . 5)
7 3
x
x
dxx dx
xdx
x dxx
xdx dx
x x
xe dx dx
xdx xdx
xx xx
e xdx dxx
x xxdx
x
−
−
++
++
− −
+
−
++ +−
+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
( )
2
5 3 2
3 2 3
2 2
3
2 4 2
32
3 4
22 2
.( 4 3)( 5)
2 12) . 6) .
19 9
3) . 7) .2 2 ( 1)( 4 13)
( 4) 54) . 8) .
2 7 3 3 4
sin20.1) tg . 4) .
2 cos
2) (cos 3) . 5) .7 cos 2 sin
3) sin2
dx
x x x
x x x xdx dx
x x xdx x dx
x x x x x
x dx x xdx
x x x x
xx dx dxxdx
x dxx x
x
+ + +
+ − −− −
−+ + + − +
+ − −− + + −
++
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫3cos . 6) .2 8 4 sin 7 cos
dxx dxx x− +∫ ∫
( )
2 2
6
62
2
4 2
23
6 5
2
2
121.1) . 5) .
2 1
1 22) . 6) .
1 21
4 3 43) . 7) .
6 13
2 (1 )4) . 8) .
3
ln arcsin22.1) . 4) .
1
2) arctg 4 . 5) ( 1) .
3) ( 3)cos . 6) sin
x
x dxdx
x x x x
dx xdx
xx x
x x dxdx
x x x
x xdx dx
x x xx x xdx dxx x
xdx x x e dx
x xdx x
−
+
− − +− −− ++ −
− +
+ +
+ +−
−
− +
−
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫∫ ( 3) .x dx+∫
23. Обчислити інтеграли:
4 4 4
0
5 1 2
6142
2 ln 2
21 0
1) sin cos . 4) 2 sin cos .
12) . 5) .
( 1)( 2)
3) . 6) 1 .5 4
x
x x xdx x xdx
dx xdx
x x x
dxe dx
x x
π π
−π
−− +
−+ +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність: 1
2 44 0
21) . 2) .
4 1 1
xdx xdx
x x x
∞
− + −∫ ∫
25. Обчислити площу фігури, обмеженої
кривими:
1) 1, 0, ln2.
6 cos ,2) 3( 3).
2 sin ,
3) cos 3 .
xy e y x
x ty y
y t
= − = =
= = ≥ =ρ = ϕ
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими 2 32, ( 1) ,x y x= = − навколо осі .Ox
27. Обчислити площу поверхні, утворену
обертанням кривої cos , 3 sinx t y t= = +
навколо осі .Ox
20
Варіант 9
1. Побудувати графіки функцій:
( ) ( )3
11) 3 sin 2 . 4) tg .4 2 8
2) 2arcsin( 3). 5) 3 ;
3) 2arcctg( 2). 6) ln(5 ).
x
y x y x
y x y
y x y x
−
π π= − − = +
= − =
= − = −
2. Знайти:
а) алгебричну форму 3132
2 ;z
z iz + −
б) тригонометричну форму 3;z
в), г) 81 2( )z z та ( )101
2;
zz
д), е) всі значення 31z та 4
2z , якщо:
1 2 35 5 , 3 , 5 6 .z i z i z i= − = + = − +
3. Зобразити множину точок :z ∈ ℂ
3 2
1) 1 1 2,0 arg .2
2) 3 2 , Re 3.
3) 4 12 9 0.
z i z
z i z z
z z z
π< − + ≤ < ≤
− > + >
+ + + =
Знайти границі (4—7):
( )
3 5
6
2
2 21 0
2 3
21 0
2
2
( 4)! ( 2)!4.1) lim .
( 3)!
6 12) lim .
4 3
3) lim ( 2)( 1) ( 1)( 3) .
3 2 1 tg2 sin25.1) lim .6.1) lim .
2
1 12) lim . 2) lim .
tg 33 2
3 13) lim . 3) l
3 5
n
n
n
x x
x
x x
x
n n
n
n n
n n
n n n n
x x x xx x x
x exx x
x x
x x
→∞
→∞
→∞
→− →
→− →
→∞
+ − +
+
− +
+ −+ + − − +
+ − −− + +
− −+ +
− + ++ −
( )
0
2
3 2
3 2 3
2 0
253
3 1
0
2 1im .
ln(1 2 )
7 5 9 cos5 cos 34) lim . 4) lim .
1 4 sin
2 3 2 12 55) lim .5) lim .
2arcsin7 1
2 1 11 1 2 cos6) lim . 6) lim .
sin( 3 )2 7 15
27) lim . 7) lim(
2 3
x
x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x
x x x x
x x x
x x xx xx x
x xxx x
xx
→
→−∞ →π
−
→∞ →
π→ →
+
→∞ →
−+
+ + −+ −− + −
−+ ++ − −
π −− −
−
( )
1sin
ctg2sin 3
2
cos ) .
38) lim . 8) lim (cos ) .
2 4
x x
x xx
x x
x
xx
x
π
→−∞ → π
π
+−
( )
( )1
ln( 1)
30
tg
0 0
arctg 27.1) lim . 3) lim ln arctg .
12) lim . 4) lim .xe
x x
x
x x
x xx x
x
x x−
→ →+∞
→ →
−π
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу ( )xα відносно ( ) :xβ
31) ( ) , ( ) , 0.1 4
2) ( ) sin( ), ( ) 2 , 0.
13) ( ) 3 cos , ( ) ,1
0.
x xx x xx x
x x x x x x
x x x x xx
x
α = β = →− +α = − β = →
α = − + β =+→
9. Дослідити функцію на неперервність:
3
tg sin1) ( ) .
1 , 0,
2) ( ) 0, 0 2,
2, 2.
x xf x
x
x x
f x x
x x
−=
− ≤= < ≤ − >
133) ( ) 6 3xf x −= + у точках
1 23, 4.x x= =
Знайти похідні функцій (10—13):
33 4
3
22
4cos 3
2 2 32
5 ctg 72
8 2ln( 3)
4 5210.1) .
tg(11 3)2) 5 ctg cos2 .
cos 5
th (2 5)3) 2 arcctg5 .
arccos 3
arctg(4 1)4) arccos ctg 7 .
7( 4)
5) th 3 arcsin (log ) .
( 1) ( 3)6) (arcsin2 )
(
x
x
x
x
x xy xexx
y xx
xy x x
xy x x
x
y x x x
x xy x +
+ −= − −
+= + +
+= −
+= ⋅ +
−
= ⋅ −
+ −= +
3 5.
4) ( 2)x x+ +
11.1) tg 3 5 . 2) arctg .y x y y xy= + =
3
3 22
tg ,? 3 ,12. : 1) 2) 1 .? 5 3 .
sin
x
xx
x ty x t t
yy y t tt
=′ = = − =′′ = = −
2 (5)
( )
13.1) (2 3)ln , ?
2) sin2 cos( 1), ?n
y x x y
y x x y
= + =
= + + =
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі
до кривої в заданій точці: 2
0
0
1) 2 3 1, 1.
2) 2 ln ctg 1, tg ctg , .4
y x x x
x t y t t t
= − + =π= + = + =
21
2 303) , 1 , , (1;0;1).x t y t z t M= = − =
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції 2 2( 1) ( 3) .y x x= − − 2
maxmin 23[ , ]
1) 4 ,[0;1].16. ( ) ?
2) ( 1) (5 ),[ 3;3].
x
a b
y ef x
y x x
−= −=
= + − −
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік: 3
232
32
2
2
sin cos 2 23
51) 3 ( 3) . 5) .5 3
(1 )2) ln(1 ). 6) .
( 2)
2 13) 3 3 ln . 7) .4
4) . 8) ( 2) .x x
x xy x yxx
y x x yx
xxy yx x
y e y x x−
−= − =−−
= − + =−+= − =+
= = −
Знайти інтеграли (18—22):
( )
2
4
2
2 2
3 4
5
2 4 2
24 5
2
2
2
18.1) (1 3 ) . 7) .3 4
2) sin(8 3) . 8) .5 3
23) . 9) .
3 2 9 2
sin4) . 10) .
cos 3
arcsin 25) . 11) .
cos 3 tg 3 1 4
6) . 12) .5
6 6 63 219.1) . 5)
2 1
x
xx
x
dxx dx
xdx
x dxx
xdx dx
x xxdx
e dxx
dx xdx
x x x
ee xdx dx
e
x x dxxdx
x
−
+
−−
−−
− +
+
−
++ −+
+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
( )
2
3 2
2 3 2
2 3
3
2 4 2
33
4
34 4
.( 1)( 2)
2 5 12) . 6) .
3 2
7 103) .7) .
3 12 13 8
5 2 14) . 8) .
2 5 2
3 sin20.1) tg . 4) .
2 cossin2
2) cos ( 3) . 5) .sin cos
3) cos 5 cos . 6)
x x x
x x xdx dx
x x x xdx x
dxx x x
x dx x xdx
x x x x
xx dx dxxx
x dx dxx x
x xdx
+ + −
− ++ − +
−− + +− − −− + +
++
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ .3 5 cos
dxx+∫
( )2 2
3
62
2 3 2
3 2
2
2
2 3 3 121.1) . 5) .
9 2 5 1
32) . 6) .
3 15 10 4
3) . 7) .(1 ) 1
14) . 8) .
31
22.1) ln . 4) arctg .1
2) ( 1) . 5) arcsin 5 .
3) ( 4)sin2 . 6) cos(
x
x x dxdx
x x x
xdxdx
xx xdx dx
x x x x
dx xdx
x xx
x dx x xdxx
x x e dx xdx
x xdx x x
− −
− − ++
+ +− +
+ + −
++
−+
− +
+ +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫∫ 4) .dx∫
23. Обчислити інтеграли: 1
233 2 6
2 03
2 1
2 32
0 0
5
0 0
1) . 4) sin cos .
2) . 5) (1 ) .3 2
3) cos cos . 6) .2 3 4
xxe dx x xdx
xdxx dx
x x
xdxx x dxx
− π−
−
π
−+ +
+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність: 1
2 41 0
1) . 2) .( 4 5) 1
dx xdxx x x
∞
−π + + −∫ ∫
25. Обчислити площу фігури, обмеженої
кривими:
( )( )
311) , 0 (1 ).
1 ln
3( sin ),2) 3 ( 3,0 6 ).
3(1 cos ),
3) cos , 2 cos ,4
.4 2
y y x ex x
x t ty y x
y t
= = ≤ ≤+
= − = ≥ < < π = −πρ = ϕ ρ = ϕ −
π π− ≤ ϕ ≤
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного обе-
ртанням фігури, обмеженої кривими
2 30, 1 , ,2
y x y y x= = − = навколо осі .Ox
27. Обчислити площу поверхні, утвореної
обертанням кривої 33x y= (0 2)y≤ ≤
навколо осі .Oy
22
Варіант 10
1. Побудувати графіки функцій:
( ) ( )2
1 11) cos 3 . 4) ctg .2 3 3 3
2) 3arccos( 1). 5) 3 .
3) 3arctg( 2). 6) lg( 3).
x
y x y x
y x y
y x y x
+
π π= + = −
= − =
= + = +
2. Знайти:
а) алгебричну форму 3132
2 ;z
z iz + −
б) тригонометричну форму 3;z
в), г) 81 2( )z z та ( )101
2;
zz
д), е) всі значення 31z та 4
2z , якщо:
1 2 36 6 , 1 3 , 6 7 .z i z i z i= + = − + = − −
3. Зобразити множину точок :z ∈ ℂ
3 2
1) 2 1 3, arg .2
2) 3 , Im 1.
3) 3 4 2 0.
z i z
z z i z
z z z
π< + − ≤ < ≤ π
− > − >
+ + + =
Знайти границі (4—7):
2 2
3 3
4
2 4 5
2 2
23 0
2
3 44 2
3
(3 1)! (3 1)!4.1) lim .
(3 )!( 1)
5 2 8 52) lim .
7
3) lim ( ( 1) 8).
3 11 6 1 cos5.1) lim . 6.1) lim .
tg2 5 3
2 7 4 sin7 sin 32) lim . 2) lim .
64
3) lim
n
n
n
x x
xx x
x
n nn n
n nn n
n n n n
x x xx xx x
x x x xx e e
x
→∞
→∞
→∞
→ →
π→− → π
→∞
− + +−
+ − ++ −
− − −
− + −− −
+ − −+ −
−
( )
2
3 0
4 2
2 23
2 7 2
5 3 0
2
25 1
2
3 10 arctg2. 3) lim .
sin(2 20 )7 2 1
3 6 sin( 3)4) lim . 4) lim .
2 3 1 5 6
3 7 55) lim . 5) lim .
sin 24 3 2
3 17 2 16) lim . 6)lim .
sin8 15
77) lim
x
x x
x x
x x
x x
x
x
x xxx x
x x xx x x x
x x e ex xx x
x xxx x
xx
→
→∞ →
−
→−∞ →
→− →
→∞
+π + π+ +
+ − −+ + − +− + −
−− ++ − −
π+ +−
( )
21
sin 22
1 12 ln cos
0
. 7) lim (cos ) .
2 18) lim . 8) lim(1 sin 3 ) .
3 1
xx
xx
x x
x
xx
x
→ π
−
→−∞ →
++
−
3
5 21 0
0
5 2 tg7.1)lim ; 3) lim .
112) lim sin ln ctg . 4) lim .
xx x
xx x
x x x x xe xx
x x x
→ →
→ →∞
− − −− −−
⋅
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу ( )xα відносно ( ) :xβ 2
2
2
31) ( ) , ( ) 7 , 0.2
2) ( ) arcsin(2 ), ( ) 4 , 4.
1 13) ( ) , ( ) , .7
xx x x xx
x x x x x
x x xxx x
α = β = →+α = − β = − →
α = β = → ∞− +
9. Дослідити функцію на неперервність:
2
1) ( ) .sin
2 , 0,
2) ( ) , 0 1,
2 , 1.
xf x x
x x
f x x x
x x
=
≤= < ≤ + >
153) ( ) 7 1xf x −= + у точках 1 24, 5.x x= =
Знайти похідні функцій (10—13):
2
ctg 53 74 3
223 3
34
4 2
44
2 arctg(2 1)
3 4tg5
710.1) .( 4)
ctg 52) 4 ctg2 .
ln(7 2)
arctg23) log arcsin .
sh
arcsin(2 7)4) 5 arccos5 .
3( 2)
15) cth arccos (sh 3 ) .
( 2) ( 7)6) (arccos 3 )
( 1)
x
x
x
x
ey xx x
xy x
x
xy x x
xx
y xx
y x xx
x xy x
x
−
+
= − ++
= − −−
= +
−= −
+
= ⋅ +
+ −= −
+ 2 43.
( 1)x −
11.1) 4 . 2) cos ln .yy e x xy x= + =
1,? cos ,12. : 1) 2)
? .sin .1
tx
txx
x ty x e t
ty yy e tt
= −′ = = ′′ = == −
2 (6)
( )
13.1) (1 )sin(2 1), ?
2 52) , ?3 1
n
y x x y
xy yx
= + + =
+= =+
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі
до кривої у заданій точці:
02
2 4 2 30
3 61) 1 , 3.
1 1 1 12) , , 0.2 4 2 3
y xx x
x t t y t t t
= − + =
= − = + =
23
103) , , 2, ( ; ; 2).t tx e y e z t M e e− −= = =
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції 3 23 5.
4x xy += −
2maxmin
2[ , ]
41) ,[1;2].
16. ( ) ?1082) 2 ,[2;4].a b
y xxf x
y x x
= +=
= +
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік: 23 2
2
32( 1)
2
2 23
2
2
6 46 61) . 5) .3 24 12
2) (2 1) . 6) .1
3) ( 2 3) . 7) .
sin cos ( 1)4) arctg . 8) .
2
x
x
x xxy yxx x
xy x e yx x
y x x y xe
x x xy y
x
+
− += − = −+ +
= − + =− +
= − − =
− −= =
Знайти інтеграли (18—22):
( )
2
22
2510 2
23
3
4 2 arcsin
2
18.1) 1 3 . 7) .4 3
2) sin(3 4 ) . 8) .3 5
23) . 9) .
5 47 2
ln ( 1)4) . 10) .
1
sin ctg75) . 11) .
cos 1 sin 7
46) . 12) .
7 2 11 5 37 85
19.1) . 5)1 25
x
x
dxxdx
xdx
x dxx
xdx dxxx
xe dx dx
x
xdx xdx
x x
x dxdx
x x ex x ddx
x
+
+−
+−
−−
++
+
+ −− −
−
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
( )
( )
2
2 4 3
2
2
2 2
2
2 2 2
2 5 4
3
.( 2 3)( 4)
4 2 1 4 8 22) .6) .
2 1 ( 1)
4 3 173) . 7) .
2 3 ( 1)( 2 5)
4 1 (2 7 10)4) . 8) .
4 4 5 ( 1) ( 4)
20.1) tg 4 . 4) sin cos .
42) sin . 5)5 cos si
x
x x x
x x x x xdx dx
x x x
x x dxdxx x x x x
x dx x x dx
x x x x
xdx x xdx
dxx dxx
+ − −
− + + − −− +
+ ++ − + +
− − +− + − +
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ 3 .n
3) cos2 cos 3 . 6) .2 sin 3 cos 3
xdx
x xdxx x+ +
∫
∫ ∫
2 2
2 2
2
4 6 3
2
2 2
3 2 5 221.1) . 5) .
3 1 3 4
2) . 6) .2 3 1
43) . 7) .
1 1
14) . 8) .
( 3)
22.1) sin 3 . 4) arcctg .
2) ctg . 5) ln( 1 ) .
3) ( 1) . 6) arccos7 .x
x xdx dx
x x xdx dx
x x x x x
x dxdx
x xx
dx xdx
x x x x
x xdx x xdx
x xdx x x dx
x e dx xdx−
− +
+ + −
+ − − −
+− + −+
+
+ +
+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫∫ ∫
23. Обчислити інтеграли:
228
21 0
1 1
32 2 31 03
2 4
21 0
ln1) . 4) cos .
4
2 32) . 5) .
( 2)(1 )
53) . 6) .
1 2 12 2
ex xdx dx
x
dx xdx
xx x
x dxdx
xx x
π
+−+
−+ +− +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність:
6
2 561 0
cos 31) . 2) .
4 5 (1 sin 3 )
xdx xdxdx
x x x
π∞
−+ + −∫ ∫
25. Обчислити площу фігури, обмеженої
кривими:
( )( )
3
3
1) arccos , 0, 0.
8 2 cos ,2) 4 ( 4).
2 sin ,
3) sin , 2 cos ,4
30 .4
y x y x
x tx x
y t
= = =
= = ≥ =πρ = ϕ ρ = ϕ −
π≤ ϕ ≤
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного обер-
танням фігури, обмеженої кривими 0,y =
sin ,0 ,y x x= ≤ ≤ π навколо осі .Ox
27. Обчислити площу поверхні, утворе-
ної обертанням кривої 31 , [ 1;1]3
y x x= ∈ −
навколо осі .Ox
24
Варіант 11
1. Побудувати графіки функцій:
( ) ( )( )( )
1
11) 2 sin 3 . 4) tg .4 4 16
1 12) arcsin . 5) 4 .2 31 13) arcctg . 6) lg(3 ).2 2
x
y x y x
y x y
y x y x
−
π π= − − = +
= + =
= − = − −
2. Знайти:
а) алгебричну форму 6132
2 ;z
z iz + −
б) тригонометричну форму 3;z
в), г) 81 2( )z z та ( )101
2;
zz
д), е) всі значення 31z та 4
2z , якщо:
1 2 39 9 , 3 , 2 3 .z i z i z i= − − = − = +
3. Зобразити множину точок :z ∈ ℂ
3 2
31) 4, arg .4 4
2) 3 , Re 1.
3) 5 20 16 0.
z z
z z i z
z z z
π π> < ≤
+ < + <
+ + + =
Знайти границі (4—7):
( )2 1 1 12 4 2
4 24
23
3 3
3
22 0
2
25 0
( 1) ...4.1) lim .
1 3 ... (2 1)
3 1 81 12) lim .
( ) 5
3) lim ( 5 8 2 ).
8 1 15.1) lim . 6.1) lim .
tg sin6
4 19 5 cos 3 cos2) lim . 2) lim
2 11 5
n
n
n
n
x x
x x
n
n
n n n n
n n n n
n n n
x
x xx x
x x x x
x x
→∞
→∞
→∞
→ →
→− →
+ + + ++ + + −
+ + − +
+ − +
+ −
− − + −+ − −+ + 2
2
2 0
2
4 2 2
5 4 3
24
2 5 7
20 0
.tg2
4 5 7 ln(1 7 )3) lim . 3) lim .
sin( ( 7))2 10
2 5 7 sin 74) lim . 4) lim .
sin 83 2
7 6 sin cos5) lim .5) lim .
ln tg2 6 1
2 2 3 26) lim . 6) lim
arcsin21 1
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x x
xx x
x x x
xx x x
x x x x x
xx x
x
x
→∞ →
→∞ →
π→∞ →
→ →
+ − −π +− +
+ + ππ− +
+ − −+ +
+ − −
+ −
( ) ( )( ) ( )( )
3 2 tg6
3
3 ctg
0
.
1 67) lim . 7) lim .
4 3
5 38) lim . 8) lim tg .
4 4
xx
x x
x x
x x
x x
x x
x
xx
x
π+
→∞ →
+
→∞ →
−
− −+
− π−
+
( )
2
2
1
26
12 sin
0
1 1 2 sin7.1) lim . 3) lim .
cos 32arctg
2) lim(sin ) . 4) lim 3 2 .
x
x x
xx x
x x
e x
xx
x x
π→∞ →
→ →+∞
− −− π
+
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу ( )xα відносно ( ) :xβ 3
3
2
3
51) ( ) 2 , ( ) , 0.4
2) ( ) 1, ( ) , 0.
3) ( ) 10 3 , ( ) , 0.
x
xx x x xx
x e x x x
x x x x x x
α = β = →−α = − β = →
α = − β = →
9. Дослідити функцію на неперервність:
1) ( ) .2
sin , 0,
2) ( ) , 0 2,
0, 2.
xf xx
x x
f x x x
x
= − <= ≤ ≤ >
33) ( )4
xf xx
−= + у точках 1 25, 4.x x= − = −
Знайти похідні функцій (10—13):
23
5
22
2tg 4
4 44
14 2 ctg
2 35log2
2 210.1) 2 .
tg ( 2)1 12) 2 cos tg .3 2 lg( 3)
arcsin (4 1)3) 3 arcsin 7 .
th(5 3)
2 lg(4 5)4) arctg cos7 .
( 6)
5) sh 2 arccos (ch 3 ) .
( 1) ( 4)6) (arctg5 )
( 1)
x
x
x
x
x xy xex
xy x
x
xy x
x
xy x x
x
y x x x
x xy x
x
−= − −
−= + +
+
−= −
−+
= ⋅ ++
= ⋅ −
+ += +
− 2 5.
( 3)x +
( )11.1) ctg . 2) .ax
y xxy y a y= =
3
1,? ln ,12. : 1) 2)
ln .? 1.
x
xx
x ty x t
y t ty y t
′ = −= = =′′ = = −
3 (5)
3 5 ( )
13.1) ln , ?
2) 2 , ?x n
y x x y
y y+
= =
= =
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі
до кривої в заданій точці: 3
0
0
1) 3 , 64.
2) cos , sin , .2
y x x x
x at t y at t t
= − =
π= = =
25
2
20
3) 4 sin , 4 sin cos ,
2 cos , .4
x t y t t
z t t
= =
π= =
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції 36 8 .y x x= −
maxmin[ , ] 3
1) ,[ 2;0].
16. ( ) ? 42) ,[ 1;2].( 2)
x
a b
y xe
f xy x
x
= −=
= + −+
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік: 2
2
2
12
22 23
2
2( 2)23
21) . 5) 2 ln .9 4
2) ln(sin cos ). 6) .
3) ( 4) . 7) .( 1)
4) 4 6 ( 2) . 8) .2( 2)
x
x
xy y x xx
y x x y x e
xy x x yx
ey x x yx
+
−= = −−
= − =
= + =−
= + + =+
Знайти інтеграли (18—22):
( )
2
2
22
52 10
5 3
35
2 2
2
2
18.1) 5 4 . 7) .3 4
2) sin(3 4 ) . 8) .3 7
3) . 9) .2 75 3
ln ( 1)4) . 10) .
1cos
5) . 11) .4 sin
ctg 3 arccos 26) . 12) .
sin 3 1 4
3 3 244 319.1) . 5)
3 4
x
x
dxxdx
x
dxx dx
x
dx xdx
xx
xe dx dx
xx
e xdx dxx
x xdx dxx x
x xxdx
x
−
−
−+
−−
−+
++
−
−+ −−
−
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
( )
( )
2
4
2 2
2 2
5 3
2 4 2
33
5 3
2
.( 2)( 3)
4 12) . 6) .
3 ( 1)
3 133) . 7) .
5 6 ( 1)( 2 5)
1 4 4 24) . 8) .
2 1 4
sin20.1) ctg . 4) .
cos
2) sin 5 sin 7 . 5) .1 sin
dx
x x x
x xdx dx
x x x
dx x dx
x x x x x
x dx x x xdx
x x x x
xxdx dx
x
dxx xdx
x
− − −
−− −
+− + − + +
+ + + ++ + +
+
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
( )
2
2 2
2 2
2 3
6 3
34
8 7
2
2
3) (1 cos ) . 6) .5 4 sin
1 421.1) . 5) .
5 2 2 7
2) . 6) .4 8 3 1
(4 ) 33) . 7) .
1 3
1 (1 )4) . 8) .
arccos222.1) ln( 4) . 4) .
1 4
2) . 5) ( 5x
dxx dx
x
x x dxdx
x x x
dx dx
x x x x x
x xdx dx
xx
x xdx dx
x x x x
x xx dx dx
x
x e dx x−
−+
− −
− − +
− + + −
− ++ +
+ ++
+−
+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ )sin .
3) arctg . 6) cos( 7) .
xdx
x xdx x x dx−
∫∫ ∫
23. Обчислити інтеграли: 2
4 8
1 0
3 2 2
22 1
72 3
2203
1) ln . 4) 2 sin .2
12) . 5) .
( 1) ( 1)
cos3) . 6) .
2 3sin 1
ex
x xdx dx
dx xdx
xx x
xdx xdx
xx
π
π
−− +
++
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність: 23 3
20 0
arctg2 ln(2 3 )1) . 2) .
2 3(1 4 )
x xdx dx
xx
∞−
−π +∫ ∫
25. Обчислити площі фігур, обмежених
кривими: 2 21) ( 1) , 1.
2 2 cos ,2) 3 ( 3).
3 2 sin ,
3) 6 cos 3 , 3 ( 3).
y x y x
x ty y
y t
= + = +
= = ≥ =ρ = ϕ ρ = ρ ≥
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими 2 4 ,y x=
2 4 ,x y= навколо осі Ox .
27. Обчислити площу поверхні, утвореної
обертанням кривої cos , 1 sinx t y t= = +
навколо осі .Ox
26
Варіант 12
1. Побудувати графіки функцій:
( ) ( )( ) 1
1) 2 cos 2 . 4) ctg 2 .3 3
1 12) arccos( 1). 5) .3 4
3) arctg( 1). 6) ln(2 5).
x
y x y x
y x y
y x y x
−
π π= + = +
= − =
= − + = −
2. Знайти:
а) алгебричну форму 8132
2 ;z
z iz + −
б) тригонометричну форму 3;z
в), г) 81 2( )z z та ( )101
2;
zz
д), е) всі значення 31z та 4
2z , якщо:
1 2 37 7 , 2 3 2 , 7 8 .z i z i z i= − + = − − = −
3. Зобразити множину точок :z ∈ ℂ
3 2
31) 1 2, arg .2 2
2) 3 3 , Im 2.
3) 6 16 16 0.
z z
z z z
z z z
π π− > < ≤
+ > − <
− + − =
Знайти границі (4—7):
1 13 31 15 5
2
3 45 4
3 32 3 3
2 2 2
3 21 0
3 2
3 21 0
4
4 3
1 ...4.1) lim .
1 ...
3 32) lim .
4 1
3) lim ( 5 3 ).
2 sin 3 tg5.1) lim . 6.1) lim .
1
1 1 cos62)lim . 2) lim .
2 4
3 2 13) lim
2
n
nn
n
n
x x
x x
x
n n
n n
n n n
x x x x
x x
x x x x
x x x
x x
x x x
→∞
→∞
→∞
→− →
→ →
→∞
+ + ++ + +
+ − −
− − +
+ − +
− − −+
− + − −+ −+ +
− +
( )
52
20
3 2
2 2
2 5
4 30
0
2 13
0
cos( )tg. 3) lim .
arcsin2
3 4 7 ln(5 2 )4) lim . 4) lim .
10 3 22 7 3
4 3 25) lim . 5) lim .
4 5 arcsin
7 76) lim . 6)lim .
7
2 17) lim . 7) lim(1 )
2 1
x
x x
x x
x x
x b
x x b
x
x x
x x
x
x x x x
xx x
x x e e
x x x x
x a a
x bx
xx
x
π
→
→∞ →
→−∞ →
→ →
+
→∞ →
+
+ − −− −+ −
− − −+ +
− − −−
+−
−
( )
3ln(1 )
ctgsin 4
4
.
2 38) lim . 8) lim (cos ) .
7 4
x
x xx
x x
xx
x
+π
→−∞ → π
−+
( )
20 2
301 0
tgcos2
1 0
2 1 1 27.1) lim . 3) lim .
ln(1 2 ) 22 1
2)lim(1 ) . 4) lim arctg .
x
x x
x x
x x
x x e x
x xx x
x x
→ →
π
→ →+
− + − −+ −− +
−
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу ( )xα відносно ( ) :xβ 2 2
3
3
41) ( ) , ( ) , 0.5 1
2) ( ) ln(1 ), ( ) 1 1,
0.
3) ( ) 2, ( ) 8, 8.
x xx x xx x
x x x x
x
x x x x x
α = β = →+ −α = + β = + −
→
α = + β = + → −
9. Дослідити функцію на неперервність:
1) ( ) arctg .1
cos , ,2
2) ( ) 0, ,2
2, .
xf x
x
x x
f x x
x
=−
π ≤ π= < < π ≥ π
53) ( )2
xf xx
+= − у точках 1 23, 2.x x= =
Знайти похідні функцій (10—13):
22
5 22 2
325
33
32
3 tg
2 73lg( 1)
3610.1) .3 4 7
sin (5 1)12) 3 ln sin .2 tg(3 2)
ch (4 2)3) 5 arccos2 .
arctg
5 ln(5 7)4) ctg 5 arctg .
( 7)
5) ch arctg 3 (arcsin 5 ) .
( 2) ( 1)6) (arctg7 )
( 1
x
x
x
xey xx x x
xy x
x
xy x
x
xy x x
x
y x x x
x xy x
x+
= + −− −
+= + +
−
+= −
+= ⋅ +
−
= ⋅ −
+ −= +
+ 5 3 .) ( 5)x −
11.1) ln 7. 2) 2 ln .y
y y y xx− = =
4 cos ,? , 1 2 cos12. : 1) 2)
sinln .? .1 2 cos
x
xx
txy x t t
ty ty yt
′ == = + ′′ == = +
(5)
( )
13.1) (4 3)2 , ?
2) sin( 1) cos2 , ?
x
n
y x y
y x x y
−= + =
= + + =
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі
до кривої в заданій точці: 3
0321) , 2.2
xy xx
+= =−
27
( )
2 20
2 3 40
2) sin , cos , .6
1 1 1 83) , , , 2; ;4 .2 3 4 3
x t y t t
x t y t z t M
π= = =
= = =
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції 2 216 ( 1) .y x x= −
maxmin 23[ , ]
1) ( 2) ,[ 2;1].16. ( ) ?
2) 2 ( 3),[ 1;6].
x
a b
y x e
f xy x x
= − −=
= − −
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік:
( )
2
2
23 2
3
2 2
3
2 232
3 6( 4)1) . 5) .
2 24 12
84 32) . 6) .4 1 ( 1) 4
3) ln 2. 7) .21
4) .8) ( 4) .(cos sin )
x
x xy yxx x
x xy yx x
xy y x ex
y y x xx x
−
−= = +− +
−= =− − +
= − =−
= = −+
Знайти інтеграли (18—22):
2
3
2
27
2
7
2 2
4 32
41 4
2
4 3
2
18.1) . 7) cos(4 3) .5 3
2) . 8) .4 2 3 8
ln ( 1)3) . 9) .
14 7
arctg 34) . 10) .
3 7 1 9sin 3
5) . 11) .cos 3
tg 76) . 12) .
cos 7
2 3 2 7 319.1) . 5)
1 3
x
x
dxx dx
x
dx xdx
x x
dx xdx
xx
dx xdx
x x
xe dx dx
x
xe xdx dx
x
x x xdx
x
+
−
++
− +
++−
+ +
+ − +−
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
( )
( )
2
3 2
2 2
2
2 2
3
2 4 2
32 2 3
2
20.
( 2)( 2 3)
5 3 22) . 6) .
1 ( 1)
5 403) . 7) .
2 3 4 ( 2)( 2 10)
1 24) . 8) .
3 2 8
20.1) ctg 5 . 4) cos sin .
2) sin (2 1) . 5)4 sin (sin 2 co
xdx
x x x
x x x xdx dx
x x x
x x dxdx
x x x x x
x dx x xdx
x x x x
xdx x xdx
dxx dx
x x
+− − −
+ − −+ +
− +− − + − +
+ − +− − −
−+
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ .s )
3) sin 4 cos2 . 6) .8 4 cos
x
dxx xdx
x+
∫
∫ ∫
( )2 2
2 2
3
62 5
34 3
12 7
2 3
2
2 2
5 1 2 121.1) . 5) .
6 3 4
2) . 6) .1 2 2
3) . 7) .(1 )
(1 )4) . 8) .
1
22.1) . 4) arccos2 .
ln( 1 )2) . 5) .
sin 1
3) sin( 5) . 6) ( 5)c
x
x x dxdx
x x x
dx dx
x x x x x
dx x xdx
x xx
xdx xdx
x x x
x e dx xdx
xdx x x xdx
x x
x x dx x
+ −
− − +
+ − + −+++
+−
+ +
+
− −
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ os .xdx∫
23. Обчислити інтеграли:
( )
1 0
8 6 2
0
1 5 2
3 2220 3
ln 334
ln 24
1) arctg . 4) 2 sin cos .
22) . 5) .
( 1) ( 1)( 3)
3) tg . 6) .x x
xdx x xdx
x dxdx
x xx
dxxdx
e e
−π
π
−π
++ −+
−
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність: 0
2 31 12 3
161) . 2) .
1 3(4 4 5)
dx dx
xx x
∞
−+π + +∫ ∫
25. Обчислити площі фігур, обмежених
кривими: 2 21) 2 3, 4 3.
6( sin ),2) 9 (0 12 ).
6(1 cos ),
13) sin .
2
y x x y x x
x t ty x
y t
= − + = − +
= − ≥ < < π = −
ρ = + ϕ
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного обе-
ртанням фігури, обмеженої кривою 2 2( 2) 1,x y+ − = навколо осі .Ox
27. Обчислити площу поверхні, утворе-
ної обертанням кривої 2 4 , 2x y y= + =
навколо осі .Oy
28
Варіант 13
1. Побудувати графіки функцій:
( ) ( )1
1 1 31) sin . 4) tg 3 .2 2 3 4
2) 2arcsin( 2). 5) .
3) arcctg( 1).6) lg( 2).2
x
y x y x
y x y e
y x y x
−
π π= − + = −
= + =π= + − = − +
2. Знайти:
а) алгебричну форму 7132
2 ;z
z iz + −
б) тригонометричну форму 3;z
в), г) 81 2( )z z та ( )101
2;
zz
д), е) всі значення 31z та 4
2z , якщо:
1 2 32 2 , 2 2 3 , 8 9 .z i z i z i= − − = − = +
3. Зобразити множину точок :z ∈ ℂ
3 2
21) 3, arg .3 3
2) 4 , Re 3.
3) 4 8 8 0.
z i z
z z i z
z z z
π π− > < ≤
− < − >
− + − =
Знайти границі (4—7):
2
5
5 5
2 23 3
2
24 0
2
21 0
2
1 3 5 ... (2 1)4.1) lim .
1 1
3 32) lim .
3 3
3) lim ( ( 2) ( 3) ).
16 sin 7 sin 35.1) lim . 6.1) lim .
sin20
2 1 arctg 32)lim . 2) lim .
ln(1 2 )2 7 5
3 23) lim
n
n
n
x x
x x
x
n
n n n
n n
n n
n n
x x x
x xx x
x x x
xx x
x
→∞
→∞
→∞
→ →
→ →
→∞
+ + + + −
+ + +
+ − −
+ + −
+ − −
− +++ −
− ++− +
+
( )
( )
2
23
2 0
3 2
4 2 3 12
4 7
3 2 0
cosec
0 0
2 3
9 9 ln(1 2 ). 3) lim .
4 arctg 32 4
5 3 7 tg ln(3 5)4) lim .4) lim .
2 3 1
7 3 4 25) lim . 5) lim .
tg 32 3 5
36) lim . 6) lim 2 5 .
1 1
27) lim . 7)li
1
x
x xx x
x x
x x
xxx
x x
x
x
x x
xx x
x x x
x x e e
x
x xx x
x
x
x
x
→
+ +→−∞ →
→−∞ →
→ →
−
→∞
+ −− +− + −+ + −− −
−+ −
−+ −−+
( )
tg2
1
22
.0
m(3 2 ) .
5 1 cos2 tg8) lim . 8) lim
3 4 sin 3
x
x
x
x x
x
x x x
x x x
π
→
→−∞ →
−
− − ++
( )0 0
2
02
ln 1 17.1) lim . 3) lim .
ln sin arcsin
1 sin ln2) lim . 4) lim(tg ) .
1 tg
x x
xx
xx x
x
x x x
a x ax
e x
→+ →
−ππ→ →
−
− −− −
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу ( )xα відносно ( ) :xβ
2
3
3
1) ( ) sin 8 , ( ) arcsin 5 , 0.
2) ( ) 3, ( ) 27 , 27.
3) ( ) cos , ( ) , 0.x
x x x x x
x x x x x
x e x x x x
α = β = →
α = − β = − →
α = − β = →
9. Дослідити функцію на неперервність: 2
3
2
41) ( ) .8
1, 0,
2) ( ) , 0 2,
2 , 2.
xf xx
x x
f x x x
x x
−=+
− ≤= < < ≥
233) ( ) 5xf x −= у точках 1 23, 4.x x= =
Знайти похідні функцій (10—13):
sin 2
3 4
443
54 3
3
cos 4 32
3 4 ln
3arcsin
4
810.1) 4 .( 5)
cos (7 1)2) 5 8 sin ctg 3 .
lg( 5)
arcsin 43) sin 3 arctg2 .th
4 log (3 1)4) arcctg7 .
( 1)
5) th 4 arcctg (arccos5 ) .
( 3) ( 1)6) (log 2 )
x
x
x
x
ey xx x
xy x
x
xy x xx
xy e x
x
y x x x
x xy x
−
−
= + −+
−= + +
+
= ⋅ −
+= +
+
= ⋅ −
+ −= +
4
2 7 .( 1) ( 2)x x+ +
2 211.1) cos . 2) sin sin .y x xy y x x y+ = =
35cos ,? 1,12. : 1) 2)
4 sin .? ln .
x
xx
x ty x t
y ty y t
′ == = − = ′′ = =
1 2 (5)
( )
13.1) sin(2 3 ), ?
2) lg( 4), ?
x
n
y e x y
y x y
−= + =
= + =
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі
до кривої в заданій точці: 2
01) 2 3, 1.y x x= + = −
29
02
0
2) arcsin , arccos , 1.1
3) ch , sh , , 0.
tx y t t
t
x t y a t z at t
= = =+
= = = =
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції 3 22 3 5.y x x= + −
max2min
[ , ] 2
1) ( 1) ,[0;3].
16. ( ) ? 7 72) ,[1;4].2 2
x
a b
y x e
f xx xyx x
−= −= − −=
− +
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік: 2
3
21
2
22( 2)
2
2 cos 23
3 71) ( 2). 5) .2 1
12) . 6) ( 2) .2
12 33) (2 5) . 7) .12
4) . 8) ( 3) .
x
x
x
xy x x yx
x xy y x ex x
xy x e yx
y e y x x
−
− +
−
−= + = +− −= = +
−−= + =+
= = +
Знайти інтеграли (18—22):
2
53
2
2 2
34 5
53 4
2
2
2
2
18.1) . 7) .5 3 (1 4 )
52) . 8) cos(3 4 ) .
3 42
3) . 9) .3 7 6 7
ln ( 1)4) . 10) .
1
ctg 65) . 11) .
sin 6arccos 4 cos 3
6) . 12) .2 sin 31 16
3319.1) . 5)
9 7
x
x
dx dx
x x
dxx dx
x
xdx dx
x x
xe dx dx
x
xdx e xdxx
x xdx dx
xx
xxdx
x
+
+
− −
−−
− −
++
−−−
+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫( )
( )
2
2 3
2 2
2
2 3
2
2 4 2
33 2 3
34 4
15.
( 1)( 5 6)
5 6 2 12) . 6) .
4 ( 1)
4 123) . 7) .
3 8 3 8
4 5 2 44) . 8) .
4 6 10 5 4
20.1) tg . 4) sin cos .3
sin22) sin 6 . 5) .
4 sin cos
3) cos 4
dx
x x x
x x xdx dx
x x x
dx x xdx
x x x
x dx x xdx
x x x x
x dx x xdx
xdxxdx
x x
−− + +
− + ++ +
− −− − +
+ + ++ − + +
+
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
sin 5 . 6) .3 sin 4 cos
dxx xdx
x x−∫ ∫
2 2
2 2
2
3 6
3 2 34
2 6
2
2
2 3 4 121.1) . 5) .
5 2 2
2) . 6) .4 4 ( 1) 1
93) . 7) .
3 3
(1 )4) . 8) .
1
ln(sin )22.1) . 4) arctg .
sin
2) . 5) ( 9)sin .cos
3) cos( 4) . 6) (
x xdx dx
x x x
dx dx
x x x x x
x dxdx
x x x
xdx xdx
x x x
xdx xdx
x
xdxx xdx
x
x x dx x
+ +
+ + −
− + + − +
−+ + +
+−
+
+ −
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ 4) .xe dx∫
23. Обчислити інтеграли:
8 4 4
02
1 24 32
20 1
32 4
2102
1) ( 2)cos . 4) 2 sin cos .2
3 12) . 5) 2 .
( 1)
33) cos cos . 6) .2 2
xx dx x xdx
x xdx x dx
x
dxx x dxx x
π π
π
π
+
+ −−
+
−
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність: 1
52304
1) . 2) .3 44 4 5
xdx dx
xx x
∞
−+ +∫ ∫
25. Обчислити площі фігур, обмежених
кривими:
( )
2
3
3
1) 36 , 0 (0 6).
32 cos ,2) 4 ( 4).
sin ,
3) cos , sin , 0 .2
y x x y x
x tx x
y t
= − = ≤ ≤
= = ≥ =πρ = ϕ ρ = ϕ ≤ ϕ ≤
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного обе-
ртанням фігури, обмеженої кривими 20, 1, 1 , 2,x x y x x y= = = − = − на-
вколо осі .Ox
27. Обчислити площу поверхні, утвореної
обертанням кривої 3( sin ),x t t y= − =
3(1 cos ) (0 2 )t t= − ≤ ≤ π навколо осі .Ox
30
Варіант 14
1. Побудувати графіки функцій:
( ) ( )1
2 11) 2 cos 2 . 4) ctg .3 2 6
2) 2arccos( 1). 5) .
3) arctg( 1) . 6) ln(2 5).3
x
y x y x
y x y e
y x y x
+
π π= − = +
= + =π= + − = − +
2. Знайти:
а) алгебричну форму 3132
2 ;z
z iz + −
б) тригонометричну форму 3;z
в), г) 81 2( )z z та ( )101
2;
zz
д), е) всі значення 31z та 4
2z , якщо:
1 2 33 3 , 3 , 9 8 .z i z i z i= − = + = − +
3. Зобразити множину точок :z ∈ ℂ
3 2
21) 4, arg .2 3
2) 4 2 , Im 1.
3) 2 0.
z z
z i z z
z z z
π π> < ≤
− > − >
+ − + =
Знайти границі (4—7):
2
23
4 8
3
2
2 23 0
3
22 0
2
2
1 2 ... (2 1) 24.1) lim .
3
92) lim .
3 9 1
( 1) ( 1)( 3)3) lim .
4 11 3 1 cos55.1) lim .6.1) lim .
2 3 2
8 arcsin 42) lim . 2) lim .
tg52 9 10
3 5 73) lim .
3 1
n
n
n
x x
x x
x
n n
n
n n
n n
n n n n
n
x x x
x x x
x x
xx x
x x
x x
→∞
→∞
→∞
→− →
→ →
→∞
+ + + − +
+−
− +
+ − − −
+ − −+ −
−− +
+ −+ + ( )
( )
0
2
4 sin22
4 3
2 0
4 0
5
4
1 3 13) lim .
cos ( 1)2
5 3 1 ln cos4) lim . 4) lim .
1 2 3 1
8 7 35) lim . 5) lim .
tg2 sin3 5 1
2 1 3 sin2 2 sin6) lim . 6) lim .
ln cos52 2
7) lim . 7) lim (cos3
x
xx x
x x
x x
x x
x
x x
x
x
x x x
x x
x x e e
x xx x
x x x
x xx
x
x
→
→∞ → π
−
→∞ →
→ →−
→∞ → π
− +π +
− ++ − −
+ − −−− +
+ − −− −
−
( ) 2
5tg5 sin2
2 1ln(1 )
0
) .
38) lim . 8) lim(2 cos 3 ) .
4 5
x x
x
x
x x
x
xx
x+
→∞ →
+−
−
( )
520
34 ln
0
( )7.1) lim . 3) lim .
22) lim . 4) lim arctg .
x xx
x x
xx
x x
a x ax e
x
x x
−→∞ →
+→ →∞
+ −
π
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу ( )xα відносно ( ) :xβ
2
1) ( ) sin 3 sin , ( ) 10 , 0.
2 42) ( ) , ( ) , 4.2 4
3) ( ) arcsin( 9 3), ( ) ,
0.
x x x x x x
x xx x xx x
x x x x
x
α = + β = →
− −α = β = →+ +
α = + − β =
→
9. Дослідити функцію на неперервність:
21
2
1) ( ) .
1, 0,
2) ( ) 1, 0 1,
, 1.
xf x e
x x
f x x x
x x
=
+ <= + ≤ <− ≥
213) ( ) 4 3xf x −= − у точках 1 21, 2.x x= =
Знайти похідні функцій (10—13): cos 53 4
3 2
327
33
sin 3 4 45
4 sin
arccos(2 3)5
910.1) .5 2
sin (4 3)2) cos ctg 3 7 .
ln(7 1)
arctg (2 1)3) cos 4 arcctg .
ch
7 log (2 5)4) 2 arcsin .
( 1)
5) cth 7 arcsin (arctg 3 ) .
( 26) (log 3 )
x
x
x
x
ey xx x x
xy x
x
xy x x
x
xy x
x
y x x x
xy x
−
−
= + −− −
+= − +
+
+= ⋅ −
−= +
−
= ⋅ −
−= −
5 23
4 3
) ( 3).
( 1) ( 7)
x
x x
++ −
11.1) 4 7 . 2) ln .y n n ne x y x y a y= − + =
2
22
sh ,? 5 cos ,12. : 1) 2)
th .? 3 sin .
x
xx
x ty x t
y ty y t
′ == = ′′ == =
3 2 (5)
( )
13.1) sin(2 3 ), ?
32) , ?7
x
n
y e x y
xy y
x
+= + =
+= =−
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі
до кривої в заданій точці: 29
04
02
61) , 1.1
1 ln 3 2 ln2) , , 1.
xy x
x
t tx y ttt
+= =+
+ += = =
31
2 303) 1, 5, , (0;6;1).x t y t z t M= − = + =
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції 2 32 12 8 .y x x= − −
2maxmin[ , ]
1) ,[ 2;2].916. ( ) ?
2) 4 2,[ 1;7].a b
xyxf x
y x x
= −−=
= − + −
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік: 3
3 2
22
223
2
1) 4 3. 5) .3
( 2)162) . 6) .129 8
9 6 33) ( 1)( 2) .7) .2 13
ln4) arctg cos . 8) .
xey x x yx
xxy y
xx
x xy x x yx x
xy x y x
−= + + = −
−+= = +−+ −= − + =
− +
= − =
Знайти інтеграли (18—22):
23
2
22
6 2
5
5 43
2 2
3 2
2
18.1) . 7) .4 7 (3 4 )
2) . 8) cos(2 5 ) .2 92
3) . 9) .7 62 5
4) . 10) .( 1) ln( 1)
tg 4 arcsin5) . 11) .
cos 4 1cos 4 sin2
6) . 12) .sin 4 1 cos
( 3)19.1) .
4 1
x
dx dx
x x
dxx dx
x
xdx dx
xx
dxe dx
x x
x xdx dxx x
x xdx dxx x
x dx
x
+
− −
+−
++
+ +
−
+−
+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
( )
( )
2
2
3 3
2
2
2 2
5 3 2
2 4
53 3 3
2
( 19 6)5) .
( 1)( 5 6)
1 32) . 6) .
3 ( 1)( 1)
13 403) . 7) .
8 2 ( 1)( 4 13)
5 1 2 24) . 8) .
4 1 1
20.1) tg 2 . 4) cos 2 sin 2 .
2) sin . 5)2 1 4 cos
x x dx
x x x
x xdx dx
x x x
x x dxdx
x x x x x
x dx x x xdx
x x x
xdx x xdx
x dxdx
x
− +− + +
− −+ − −
− +− − + − +
+ − +− + −
+
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ .(cos sin )
3) cos cos5 .6) .7 sin 3 cos
x x
dxx xdx
x x
−
−
∫
∫ ∫
2 2
2 2
6 5
6 52 3 3
4 3
2 8
2
2
5 3 5 321.1) . 5) .
4 3 2 4 5
2) . 6) .2 4 3 ( 1) 1
13) . 7) .
(1 )( 1)
14) . 8) .
3 5arccos
22.1) tg . 4) .1
2) ln( 1) . 5) ( 7)sin2 .
3) cos( 2)
x xdx dx
x x x
dx dx
x x x x x
dx x xdx
x xx
dx xdx
x x xx
x xdx dxx
x x dx x xdx
x x
− −
− + −
+ − + − −
+ ++−
++ +
−
+ +
−
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫6. 6) .xdx xe dx−∫ ∫
23. Обчислити інтеграли:
82 4 2 6
0 0
0 0 5 2
231 1
04
2102
1) sin 4 . 4) 2 sin cos .
2 32) . 5) .
1 1 ( 2)
2 83) sin 3 cos 5 . 6) .
1
x xdx x xdx
dx x xdx
x x
xx xdx dx
x x
π π
− −π
−
− ++ + −
−
− −
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність:
2 tg
22 430 0
( 2)1) . 2) .
cos( 4 1)
xx dx e dx
xx x
π∞+
+ +∫ ∫
25. Обчислити площі фігур, обмежених
кривими:
( ) ( )( )
1) arccos , 0, 0.
3 cos ,2) 4 ( 4).
8 sin ,
3) 2 cos , 2 sin ,4 4
3 .4 4
x y x y
x ty y
y t
= = =
= = ≥ =π πρ = ϕ − ρ = ϕ −
π π≤ ϕ ≤
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими 2, 1,y x y= = 2,x = навколо осі Ox .
27. Обчислити площу поверхні, утвореної
обертанням кривої 3 3cos , sinx t y t= =
навколо осі .Ox
32
Варіант 15
1. Побудувати графіки функцій:
( ) ( )2
11) 3 sin 3 . 4) tg .3 3 12
2) 3arcsin( 2). 5) 2 .
3) arcctg( 2). 6) lg( 3).
x
y x y x
y x y
y x y x
+
π π= + = −
= − = −
= + = −
2. Знайти:
а) алгебричну форму 9132
2 ;z
z iz + +
б) тригонометричну форму 3;z
в), г) 81 2( )z z та ( )101
2;
zz
д), е) всі значення 31z та 4
2z , якщо:
1 2 34 4 , 3 3 3 , 8 7 .z i z i z i= + = − + = − −
3. Зобразити множину точок :z ∈ ℂ
3 2
1) 3 4, arg .4 2
2) 4 , Re 2.
3) 5 15 18 0.
z z
z z i z
z z z
π π+ > < ≤
+ < − <
+ + + =
Знайти границі (4—7):
3 3 4
3 3
3 54
2 2
2
2 23 0
2 5
22 0
3
5 3 24.1) lim .
1 3 ... (2 1)
4 1 27 42) lim .
3) lim ( 3 2 3).
3 7 6 cos2 cos 45.1) lim . 6.1) lim .
2 7 3 3
9 17 2 12) lim . 2) lim .
sin22
2 7 23) lim
3
n
n
n
x x
x
x x
x
n n
n
n n
n n n
n n n
x x x x
x x x
x x e
xx x
x x
→∞
→∞
→∞
→ →
→− →
→∞
+ − ++ + + −
+ − +
− +
+ − − −
− − −− +
+ − −+
+ −
( )
2
3 20
3 2 5 3 2
2 1
3 2
2 1
2
1 0
2s
0
sin 7. 3) lim .
4
2 3 5 3 34) lim . 4) lim .
tg3 4 1
3 7 1 ln 15) lim . 5) lim .
1 cos2 3 4
5 2 10 76) lim . 6) lim .
2 tg arctg8 3
3 47) lim . 7) lim 2
3 2
x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x
x x x x
x x
xx x
x x
xx x
x
x xx
xe
x
→
−
→∞ →
→∞ →
−
→− →
→∞ →
− − + π
+ + −π− +
+ + −+ π− +
+ − −−− −
−−
+( )
( ) ( )
ctgin
5 tg6
3
.
2 9 28) lim . 8) lim .
3 1 3
xx
xx
x x
x x
x
π
π
→−∞ →
− −+
( )
31 0
tg2 tg
1 0
1 ( 1) 2( 1)7.1) lim ; 3) lim .
1 sin2
2)lim tg . 4) lim .4
x x
x x
xx
x x
x x e ex x
x x
→ →
π
→ →+
− + − −π−
π
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу ( )xα відносно ( ) :xβ 2
3
3 2
1) ( ) cos7 cos , ( ) 2 , 0.
2) ( ) sin , ( ) , 0.
3) ( ) arctg( 27 2 3),
( ) , 0.
x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x x
α = − β = →
α = β = →
α = − − −
β = →
9. Дослідити функцію на неперервність: 1
1
2
2 11) ( ) .2 1
, 0,
2) ( ) 1, 0 1,
1, 1.
x
x
f x
x x
f x x x
x x
−=+
− <= + ≤ < + ≥
513) ( ) 2 1xf x −= − у точках 1 20, 1.x x= =
Знайти похідні функцій (10—13):
35 2
tg5
354
3
33 5
4
sin 44
3 2 arctg2
64ctg2
5
(2 5)410.1) .
ctg (2 3)12) 4 cos tg .3 log ( 2)
arccos 43) tg 2 arcsin .sh
ln(7 2)4) 2 arcctg .
2( 6)
5) sh 2 arcsin 7 (lg ) .
8( 2)6) (ln( 7))
( 1) (
x
x
x
x
xy x
ex
xy x
x
xy x xx
xy x
x
y x x x
x xy x
x
+= − −
−= − +
+
= ⋅ −
+= +
−
= ⋅ −
− += + +
− 2 .3)x +
211.1) 4 sin ( ) . 2) tg .tgxx y y xyy
+ = =
2
1,arctg ,?12. : 1) 2) 1ln(1 ).? .
x
xx
x tx ty
y ty yt
= −=′ = ′′ = += =
3 (5)
( )
13.1) (2 1)cos , ?
2) lg(3 1), ?n
y x x y
y x y
= + =
= + =
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі
до кривої в заданій точці:
011) 2 , 1.y x xx= + =
33
02 2
20
1 3 22) , , 2.2
3) , cos , 1, (1;1; 1).t
tx y ttt t
x e y t z t M
+= = + =
= = = + −
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції 2 2(2 1) (2 1) .y x x= + −
maxmin
23[ , ]
1 ln 11) , ; .16. ( ) ?
2) ( 2) (5 ),[1;5].a b
xy ex ef x
y x x
+ = == − −
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік:
( )
3 2
2
23
2
232 23
2
3 2 21) . 5) 2 ln .12
3 6( 1) 12) . 6) ln .16 17
23) ( 1) . 7) .1
84) ln( 2 cos ). 8) .4
x x x xy yxx
x xy yxx x
xy x x yx
xy x yx
+ − −= = +−
+ += = − −+ +
−= − − = +−= − =
+
Знайти інтеграли (18—22):
2
3
2
2 2
75 2
43
2
34
2
2 3 2
18.1) . 7) .5 3 2 5
2) . 8) cos(3 5) .2 7
3) . 9) .7 3 7 3
ln ( 1)4) . 10) .
1
ctg 35) . 11) sin 4 cos 4 .
sin 3
arcsin 26) . 12) .
1 43 6
19.1) . 5)1 4 2
x
x
dx dx
x x
dxx dx
x
xdx dx
x x
xe dx dx
x
xdx x xdxx
xe xdx dx
x
x xdxdx
x x x
−
−
− −
++
− −
++
−−
− +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
( )
3 2
2 3 2
2 3
4
2 4 2
35
5 3
22 2
.2
3 22) . 6) .
1 2
3 93) . 7) .
5 6 1
4) . 8) .2 2 5 5 4
cos20.1) tg 2 . 4) .
sin
2) sin 1 . 5) .2 4 cos 3 sin
3) cos sin 9 . 6) .2 4 sin 3cos
x
x x xdx dx
x x x x
dx xdx
x x x
xdx x dx
x x x x
xxdx dx
x
dxx dxx x
dxx xdx
x x
− −− +
− + +−
− − −
+ + + +
++
+ +
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
2 2
2 2
3 23
3 4 3
2
2
2
4 2 3 221.1) . 5) .
1 4 4 2
2) . 6) .4 2 4 ( 1) 1
13) 9 . 7) .
( 1)
14) . 8) .
1 1
arccos ln ln(ln )22.1) . 4) .
1
2) ( 2) . 5) ( 4)sin 3 .
3) cos( 3)
x
x xdx dx
x x x
dx dx
x x x x x
xx x dx dx
x x
dx xdx
x x
x x x xdx dx
xx
x e dx x xdx
x x d
−
− +
− + −
+ + + + +−
−+
++ −
−
+ +
+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫. 6) arctg7 .x xdx∫ ∫
23. Обчислити інтеграли:
2 2
2 8
1 0
1 6
2 2 20 2 3
113 83
4 2304
1) ln . 4) cos .
2) . 5) .3 2 9
sin3) . 6) .
cos 2 3 2
x xdx xdx
xdx dx
x x x x
x dxdxx x x
π
π
+ + −
+ −
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність: 1 2arcsin2 1
2 20 0
3 21) . 2) .
4 1
xx edx dx
x x
∞ − π−+ π −∫ ∫
25. Обчислити площі фігур, обмежених
кривими:
1) arctg , 0, 3.
6( sin ),2) 6 (0 12 ).
6(1 cos ),
3) 4 sin 3 , 2 ( 2).
y x x y x
x t ty x
y t
= = =
= − ≥ < < π = −ρ = ϕ ρ = ρ ≥
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими 3, ,y x y x= = навколо осі .Ox
27. Знайти площу поверхні, утвореної
обертанням кривої 2 cos2ρ = ϕ навколо
полярної осі.
34
Варіант 16
1. Побудувати графіки функцій:
( )( )
( )
111) 2cos .4) 3 .2 4
1 12) arccos .5) 2arctg( 3).2 2
13) ctg . 6) ln( 5).4 24
xy x y
y x y x
y x y x
−π= − − =
= + = −
π= + = +
2. Знайти:
а) алгебричну форму 3132
2 ;z
z iz + −
б) тригонометричну форму 3;z
в), г) 81 2( )z z та ( )101
2;
zz
д), е) всі значення 31z та 4
2z , якщо:
1 2 35 5 , 2 3 2 , 7 6 .z i z i z i= − + = − − = −
3. Зобразити множину точок :z ∈ ℂ
3
31) 2 3, arg .4
2) 4 3 , Im 3.
3) 2 4 0.
z i z
z i z z
z z
π− > < ≤ π
+ > − <
− − =
Знайти границі (4—7):
4 83
2
2
22 0
3
3 2 21 2
2
(3 )! (3 1)!4.1) lim .
(3 1)! (3 2)!
7 81 12) lim .
( 4 ) 5
3) lim ( 2 3).
4 7 2 arctg25.1) lim . 6.1) lim .
tg 33 8 4
2 tg( 2)2)lim . 2) lim .
1 4
18 53) lim
n
n
n
x x
x x
x
n n n
n n
n n n
n n n
n n n
x x x
xx x
x x x
x x x x
x x
→∞
→∞
→∞
→− →
→ →−
→∞
− −− + −
− −
+ −
+ − −
+ −+ +
+ − +− − + −
+
( )
2 0
2
3 4
3 2
0
5 12
3 1ln(1 sin
0
4 2. 3) lim .
3arctg8 3 9
6 5 2 2 164) lim . 4) lim .
sin4 2 1
2 3 15) lim . 5) lim .
7 5 sin 3 sin5
4 3 16) lim . 6)lim .
log1 2
2 17) lim . 7) lim(cos )
2 4
x
x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x
xx x
x x
xx x
x x e e
x x x
x x
xx
xx
x
→
→∞ →
→−∞ →
→ →
+→∞ →
+ −− −
− + −π+ −
− + −+ −
+ − −− −
−+
( )
2 )
1tg tg 3
2
.
3 48) lim . 8) lim(sin ) .
6
x
xx x
x x
xx
x
−
π→−∞ →
−+
( )( )
tg2
3 1
sin30 0
ln7.1) lim . 3)lim ctg .
4
arcsin2 2arcsin2) lim .4) lim ctg .
x
x x
x
x x
x xx
x xx
x
π
→∞ →
→ →+
π
−
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу ( )xα відносно ( ) :xβ 3
1( 1)1) ( ) , ( ) 1, 0.
ln
2) ( ) sin , ( ) , 0.
3) ( ) tg( 2), ( ) 4, 4.
xxx x e x
x
x x x x x x
x x x x x
−−α = β = − →
α = − β = →
α = − β = − →
9. Дослідити функцію на неперервність:
2
1) ( ) arctg .1
3, 0,
2) ( ) 4 , 0 2,
2, 2.
xf xx
x x
f x x x
x x
= − + ≤= − < ≤ − >
423) ( ) 8 1xf x −= − у точках 1 22, 3.x x= =
Знайти похідні функцій (10—13):
2
tg 33
3 2
335
2
27 3
57
5 4 3
75arcctg
4
810.1) 4 .4 3 5
lg12) sin tg .7 sin 5
cth ( 2)3) ctg arccos2 .
arccos 3
4 lg(3 7)4) 3 arctg2 .
( 1)
5) th 4 arccos 3 (ctg7 ) .
1( 3)6) (ln(5 4))
( 2) (
x
x
x
x
ey xx x x
xy x
x
xy x x
x
xy x
x
y x x x
x xy x
x x
−
−
+
= − +− +
= + −
−= ⋅ +
+= −
+
= ⋅ +
+ −= − −
− + 3 .8)
2711.1) sin 3 . 2) 2 sin .y xy y x yx= + =
2
2 2
arcsin ,? cos ,12. : 1) 2)
? 1 . tg .
x
xx
x ty x t
y y t y t
= ′ = = ′′ = = − =
2 (5)
( )
13.1) ( 3)ln( 3), ?
2) sin2 cos( 1), ?n
y x x y
y x x y
= + − =
= + + =
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі
до кривої в заданій точці: 8
04
3 30
2( 2)1) , 1.
3( 1)
2) sin , cos , .6
xy x
x
x a t y a t t
− += =
+π= = =
35
3 2 2
0
3) , ( 1) , 1,
( 8;1; 5).
x t y t z t
M
= = + = +
−
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції 3 22 9 12 .y x x x= + + 24
maxmin[ , ] 2
1) ,[1;3];16. ( ) ?
42) ,[ 4;2].4
x x
a b
y e
f xxyx
−==
= −+
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік:
( )
223
323
2
23
22
211) 6 ( 2) 4 . 5) .7 9
2) ( 6) . 6) .9
13) (4 ) . 7) .1
14) . 8) ln( 1).
(sin cos )
x
xy x x yx
xy x x yx
xy x e yx
y y xx x
−
−= − − = +
= + =−
−= − = +
= = +−
Знайти інтеграли (18—22):
5
2
2 2
4 3
3
tg3
2
2 2 7
2
2
18.1) 3 2 . 7) .3 2
2) . 8) sin(5 3) .3 1
3) . 9) .2 9 6 1
4) . 10) .( 2) ln( 2)
5) . 11) sin 2 cos2 .cos
6) .12) .cos 4 tg 4 (1 )arctg
4 323 119.1) . 5)
4
x
x
dxxdx
x
dxx dx
x
xdx dx
x x
dxe dx
x x
edx x xdxx
dx dx
x x x x
x xxdx
x
−
−−
−+
+ +
+ +
+
+ +−−
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫( )
2
4
2 3 2
2 3
4 3
2 4
3 4 2
22
52.
( 6 5)( 3)
1 22) . 6) .
1 2
6 93) . 7) .
4 25 8
( 3) 2 44) . 8) .
5 4 1
20.1) tg 7 . 4) cos 2 sin 2 .
2) cos 2 . 5) .3 cos 2
3) sin 4 cos2 . 6)4 cos
dx
x x x
x xdx dx
x x x x
dx xdx
x x x
x dx x x xdx
x x x
xdx x xdx
dxxdx
x
dxx xdx
x
+ + +
+ ++ − +
−+ + +
− + − +− + −
−
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ .3 sinx+∫
( )
2 2
2 2
32 2 3
4 7
2
2 2
2
5 721.1) . 5) .
2 3 2 1
2) . 6) .2 3 2 ( 1) 1
3 1 23) . 7) .
3 1 2 3 1( 1)
14) . 8) .
7arccos
22.1) ln( 1) . 4) .1
2) sin . 5) ( 3)sin 5 .
3) . 6) ax
x xdx dx
x x x
dx dx
x x x x x
x dxdx
x xx x
dx xdx
x x xx
x dx dxx
x xdx x xdx
xe dx+
− −
+ − +
+ − + + −
+ ++ + +−
+−
+−
+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫∫ rcsin 5 .xdx∫
23. Обчислити інтеграли:
2 2
82
1 0
10 12
3 2 2 2183
26
2106
ln( 1)1) . 4) sin .
4( 1)
32) . 5) .
6 1
3) . 6) .cos 3 1
x xdx dx
x
x dxdx
x x x x x
dx dx
x x x
π
π
++
+− − +
− +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність: 2
2 5 20 1
2 arctg21) . 2) .
1 4 4 4
xdx dx
x x x
∞
π + − −∫ ∫
25. Обчислити площі фігур, обмежених
кривими: 3
3
3
1) ( 2) , 4 8.
4 2 cos ,2) 2 ( 2).
2 2 sin ,
3) 4 cos 3 , 2 ( 2).
y x y x
x tx x
y t
= − = −
= = ≥ =ρ = ϕ ρ = ρ ≥
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими 2 4 , 0,y x x= − = навколо осі .Ox
27. Обчислити площу поверхні, утворе-
ної обертанням кривої 2 4 , 2y x x= + =
навколо осі .Ox
36
Варіант 17
1. Побудувати графіки функцій:
( ) ( )( ) 2
11) 3 sin 2 . 4) tg .3 3 3
1 12) arcsin . 5) 3 .2 313) arcctg( 3). 6) lg(3 2).2
x
y x y x
y x y
y x y x
+
π π= − + = −
= − =
= + = − −
2. Знайти:
а) алгебричну форму 5132
2 ;z
z iz + −
б) тригонометричну форму 3;z
в), г) 81 2( )z z та ( )101
2;
zz
д), е) всі значення 31z та 4
2z , якщо:
1 2 36 6 , 1 3 , 6 5 .z i z i z i= − − = − = +
3. Зобразити множину точок :z ∈ ℂ
3 2
1) 2 4, arg .3
2) 5 2 , Re 1.
3) 2 8 32 0.
z i z
z i z z
z z z
π+ > < ≤ π
− < + >
+ + − =
Знайти границі (4—7):
( )3 33 2
4 5
5 4 2
2
2 21 0
3 2
2 30 2
4 2
4
2 24.1) lim .
1 2 ... 3
7 42) lim .
5
( 9) ( 1)( 5)3) lim .
5 4 1 tg 3 sin 35.1) lim . 6.1) lim .
3 2 2
4 2 5 sin( 2)2) lim . 2) lim .
3 7 8
3 6 23) lim
n
n
n
x x
x x
x
n
n
n n
n n
n n n n
n
x x x x
x x x
x x x x
x x x
x x
x
→∞
→∞
→∞
→− →
→ →−
→∞
+−
+ + +
− + +
+ +
+ − − +
+ − −+ −
− + ++ +
− +
( )
0
3
22
sin2 sin
4 3 0
3 2
37 0
3
2 sin( ( 1)). 3) lim .
ln(1 2 )4 3
11 3 1 ln2 ln4) lim . 4) lim .
52 7 sin cos2
10 75) lim . 5) lim .
tg3 2 1
3 2 7 36) lim . 6) lim .
2 3 tg
2 47) lim . 7) lim
2
x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x
xx
x x x
xx x x
x e e
xx x
x
x x x
x
x
→
π→∞ →
→∞ →
→ →
−
→∞
π +++ −
+ + − π− −
− −+ +
− − −+ − +
− ( )
( )
12 2ln 1 tg
30
31 1.
1
(2 ) .
28) lim . 8)lim(2 1)
3 10
xx
x xx x
x x
e
xe
x
π+
→
− −→∞ →
−
−−
+
( )
( ) ( )
sin
3002
tgtg
0 0
7.1) lim ln ctg . 3) lim .2
12) lim . 4) lim sin2 .
x x
xx
xx
x x
a ax x
x
xx
π →→ +
→ →+
−π−
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу ( )xα відносно ( ) :xβ 2
31
4 5
1) ( ) 2 1, ( ) tg , 0.
( 1)2) ( ) , ( ) 1, 1.
ln
3) ( ) 4 sin , ( ) ln(1 ),
0.
x
x
x x x x
xx x e x
x
x x x x x
x
−
α = − β = →
−α = β = − →
α = − β = +
→
9. Дослідити функцію на неперервність:
2
11) ( ) .
2
, 1,
2) ( ) ( 2) , 1 4,
3 , 4.
xf x
x
x x
f x x x
x x
+=
− ≤= − < ≤ − >
433) ( ) 5 1xf x −= + у точках 1 22, 3.x x= =
Знайти похідні функцій (10—13):
sin 43 73 4
243
4
3cos 2
24 2
4
2 arctg2
3 47
22 5
410.1) .
(2 5)
ln ( 1)12) ctg sin .3 cos 3
th (2 2)3) 3 arcsin 3 .
arcsin 5
log ( 1)4) ln arccos 3 .
5( 3)
5) ch 5 arctg (th ) .
( 1) ( 2)6) (log
( 1) ( 6)
x
x
x
ey xx x
xy x
x
xy x
x
xy x x
x
y x x x
x xy
x x
−= − −
−
+= − +
+= −
+= ⋅ +
−
= ⋅ −
− −= +
+ −arcsin26 ) .xx
211.1) tg 4 5 . 2) sin( ) .y y x x y y= − + =
? 3( sin ), ,12. : 1) 2)
ln .3(1 cos ).?
x
xx
y x t t x t
y ty ty
′ = = − = ′′ == −= 2 2 (5)
( )
13.1) (1 ) , ?
2) , ?9(4 9)
x
n
y x x e y
xy y
x
= − − =
= =+
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі
до кривої в заданій точці: 5
04
11) , 1.
1
xy x
x
+= =
+
37
0
20
2) ( sin cos ), (sin cos ),
.4
3) ( cos ) , , sin , (1;0;0).
x a t t t y a t t t
t
x t t y t z t M
= + = −π
=
= + = =
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції 2 312 8 2.y x x= − − 5
4maxmin 2[ , ]
81) ,[ 3; 1].16. ( ) ?
82) ,[ 4; 1].2
a b
xyxf xxy x
−= − −=
= − + − −
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік: 23 2
2 2
22
2
423
3
2( 2)sin cos
3 6( 5) 61) . 5) .6 17 1
2 12) . 6) ( 1) .2
3 13) ( 4)( 2) . 7) .
4) . 8) .2( 2)
x
xx x
x xy yx x x
xy y x ex
xy x x yx
ey e yx
− +− −
− += =− + +
−= = +−
+= − + =
= = −+
Знайти інтеграли (18—22):
44
3
2 3
3
2
2 32
33 5
2
2
2
18.1) . 7) sin(5 3 ) .3 5
ln (3 1)2) 1 3 . 8) .
3 1
3) . 9) .3 2 5
54) . 10) cos 2 sin2 .
3 5
5) . 11) .sin 3 ctg 35 1
arctg26) . 12) .
1 4
2 415 219.1) . 5)
9
x
x
x
dxx dx
x
xxdx dx
x
dx edx
x e
xdxx xdx
x
dx dx
x xx
xe dx dx
x
xxdx
x
−
−+
++
+
+ −
−
−
++−
+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫( )
( )
2
4 2 4 3
2 2
2 2
3
2 4 2
34
3 2
42
91.
( 4)( 2 3)
2 1 4 8 12) . 6) .
1 ( )( 1)
4 103) . 7) .
2 8 30 ( 2)( 2 10)
2 1 4 34) .8) .
2 8 6 4
2 sin20.1) tg . 4) .
3 cos
2) cos . 5)2 7 cos 1
x dx
x x x
x x x xdx dx
x x x x
dx x dx
x x x x x
x x xdx dx
x x x x
x xdx dx
x
x dxdx
x
−− + −
− − + −+ + +
−− + + − +
− + −+ + +
+
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ 2 .6 sin x∫
2 2
2 2
2 2 23
3
3 2
3
2 sin 3cos3) sin 3 cos2 . 6) .
1 cos
1 3 521.1) . 5) .
1 4 3 6
2) . 6) .2 8 1 ( 1) 1
3) . 7) .1 (2 1) 2 1
1 14) . 8) .
1
ln22.1) . 4) ( 4)cos2 .
2) arctg
x xx xdx dx
x
x xdx dx
x x x
dx dx
x x x x x
dx dx
x x x x
x xdx dx
x x x x
xdx x xdx
x
− ++
+ +
+ − −
− + + + −
− + − +
+ +−
−
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫2
7
2 . 5) (cos2 3) .
3) . 6) ln( 7) .x
xdx x x dx
xe dx x dx−
+
−
∫ ∫∫ ∫
23. Обчислити інтеграли:
32
2
4 6 2
0
33 2
24 2
112
42 23
23
6
1) arctg(2 3) . 4) 2 sin cos .2 2
2) . 5) 1 .
3) ctg . 6) .6 10
x xx dx dx
dxx dx
x x
x dxxdx
x x
π
π
π
−
−+
− +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність:
2 7 21
2
4 sin1) . 2) .
(1 ln ) cos
dx xdx
x x x
∞ π
π+∫ ∫
25. Обчислити площі фігур, обмежених
кривими: 21) 9 , 0, [0;3].
2 cos ,2) 2 ( 2).
2 2 sin ,
3) cos2 .
y x x y x
x ty y
y t
= − = ∈
= = ≥ =ρ = ϕ
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими
2, 0, 0,x y x y+ = = = навколо осі .Ox
27. Обчислити площу поверхні, утворе-
ної обертанням кривої 2 32 ,2
y x x= = на-
вколо осі .Ox
38
Варіант 18
1. Побудувати графіки функцій:
( ) ( )( ) 1
1 31) cos 3 . 4) ctg 3 .2 3 4
12) 2arccos( 2). 5) .5
13) arctg( 1). 6) ln(2 ).3
x
y x y x
y x y
y x y x
−
π π= − = +
= + =
= − = − −
2. Знайти:
а) алгебричну форму 5132
2 ;z
z iz + +
б) тригонометричну форму 3;z
в), г) 81 2( )z z та ( )101
2;
zz
д), е) всі значення 31z та 4
2z , якщо:
1 2 37 7 , 2 3 2 , 5 4 .z i z i z i= − = + = − +
3. Зобразити множину точок :z ∈ ℂ
3 2
21) 1 2, arg .3
2) 5 3 , Im 2.
3) 2 16 0.
z i z
z z i z
z z
π− + > < ≤ π
− > + >
− + =
Знайти границі (4—7):
6
5 6
2
214
4 2
21 0
2
2
5 13 3 24.1) lim ... .
6 36 6
4 42) lim .
6 6
3) lim ( ( 5) ).
4 5 1 sin25.1) lim . 6.1) lim .
43 2 1
4 5 1 arcsin22)lim . 2) lim .
tg 41
8 4 53) lim
4 3
n n
nn
n
n
x x
x x
x
n n
n n
n n n
x x x
xx x
x x x
xx
x x
x x
→∞
→∞
→∞
π→− →
→ →
→∞
+ + + +
+ + −
+ − −+ −
− − −π −+ −
− +−
+ −−
( ) 2
0
2
3 24
4 2 4 2
2 0
23 1
3 4cosec
0
cos2 cos. 3) lim .
1 cos2
8 3 5 ln tg4) lim . 4) lim .
cos24 2 1
5 35) lim . 5) lim ,
2 tg sin1 2 3
4 3 3 2 26) lim . 6)lim .
ln9
57) lim . 7) lim(3 2cos )
x
x x
x x
x x
x
x x
xx
x x
x x
x
x x x
xx x
x x e e
x xx x
x
xx
xx
x
→
π→∞ →
→−∞ →
→ →
+
→∞ →
−−+
+ +− +
− −−+ +
− − −−
+−
( ) ( )6 1 1
2
2
.
2 38) lim . 8) lim tg .
24
xx
x x
x xx
+π−
π→−∞ →
−+
2
0 01
tg2 11
4
17.1) lim sin ln ctg . 3) lim .
sin2
2) lim(tg ) . 4)lim( 1) .x
x
x x
x e
xx
e xx x
x
x x
→ →
−π →→
− −⋅
−
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу ( )xα відносно ( ) :xβ
2
2
2
2
1) ( ) 1 tg 2 1, ( ) arctg ,
0.
2) ( ) cos2 , ( ) arctg , 0.
3) ( ) tg2 sin2 , ( ) ln(1 ),
0.
x
x x x x
x
x e x x x x
x x x x x x
x
α = + − β =
→
α = − β = →
α = − β = +
→
9. Дослідити функцію на неперервність:
1
2
11) ( ) .
1
2, 1,
2) ( ) 1, 1 2,
5, 2.
xx
f xe
x x
f x x x
x x
−=
+ − ≤ −= − − < ≤− + >
33) ( )
4
xf x
x=
− у точках 1 24, 5.x x= =
Знайти похідні функцій (10—13):
( )
2
25
4
2 25
2cos 3
2
3 32 2
arcsin 74 3
2 25arccos 4
4
5 3 510.1) 3 .
log (7 5)2) 4 ctg2 .
tg
cth (3 1)3) ctg 8 .
arccos
6 log (2 9)4) log arctg 4 .
( 4)
15) cth 2 arctg cth .
( 2) ( 1)6) (lg(4 3))
( 3)
x
x
x
x
x xy xx e
xy x
x
xy e x
x
xy x x
x
y x x x
x xy x
x
−−= − +
−= + −
−= +
+= −
+
= ⋅ +
− += − −
− 3 .( 4)x −
11.1) 7 ctg . 2) arcsin .y x y x y y= − + =
sin ,? sin cos ,12. : 1) 2)
cos sin . ln cos .?
x
xx
x ty x t t t
y t t t y ty
′ == = − = + =′′ = 2 (6)
( )
13.1) ( 2 )sin 5 , ?
2) lg(1 ), ?n
y x x x y
y x y
= − =
= + =
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі
до кривої в заданій точці:
116
02
9) , 1.
1 5
xy x
x
+= =
−
39
( )
0
2
0
1 12) , , 1.
3) sin , cos , sin cos ,
1 1 1; ; .2 22
t tx y tt t
x t y t z t t
M
+ −= = = −
= = =
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції 2 2(2 1) (2 3) .y x x= − −
maxmin 23[ , ]
1) ,[ 1;2].16. ( ) ?
2) 2 ( 6),[ 2;4].
x x
a b
y e e
f xy x x
−= + −=
= − −
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік: 3 2
2
32
2 23 3
32
2 3 2 11) . 5) ln .1 3
42) 2 8 ( 2). 6) .4
33) ( 1) ( 2) .7) 2 ln .
44) sin . 8) .( 1)
x x xy y x xx
xy x x yx
xy x x y x
xy x yx
− − += =−
= + + =+
+= − − − =
= =+
Знайти інтеграли (18—22):
3
2
22
1 43 2
2 4
6 2
2 3
2
2
18.1) . 7) 1 3 .3 5
22) . 8) sin(3 6) .
7 2
3) . 9) .3 53 8sin 4
4) . 10) .cos 4
tg65) . 11) .
cos 6 ( 3)ln ( 3)
arctg 36) . 12) .
1 9 7 3
2 510 519.1) . 5)
5 1
x
dxxdx
x
dxx dx
x
xdx dx
xx
xe dx dx
x
x dxdxx x x
x xdx dx
x x
x xxdx
x
−
+−
+−
−+
− −
+ +++
+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫( )
( )
2
4 4 3
2 2
2
2 2
2 2 2
54 4 3
42
5.
( 2)( 2 3)
2 4 8 12) . 6) .
4 ( 1)( 1)
( 23)3) . 7) .
3 9 6 ( 1)( 6 13)
2 7 24) . 8) .
4 16 9 ( 1) ( 4)
20.1) ctg 2 . 4) cos sin .
2) cos 3 . 5) .1 3 cos
dx
x x x
x x xdx dx
x x x
dx x dx
x x x x x
x dx xdx
x x x x
xdx x xdx
dxxdx
x
++ + −
+ + −− − +
+− + + + +− −
+ − − +
+
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
3) cos cos7 . 6) .5 sin 3 cos
dxx xdx
x x+ +∫ ∫
2 2
2 2
2 3
2 3 6
3 3
2
2
2
5 4 2 421.1) . 5) .
1 3 5
2) . 6) .5 6 ( 1) 1
93) . 7) .
1
14) . 8) .
7arctg
22.1) ln ; 4) .1
2) ( 2) . 5) ( 4)cos2 .
3) arcsin2 . 6) cos(
x
x xdx dx
x x x
dx dx
x x x x x
x x xdx dx
x xx
x dx xdx
x xx
x xx xdx dx
x
x e dx x xdx
xdx x x
−
− +
− + −
− + − + +
− −− −+
−
+
+ −
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫∫ 6) .dx+∫
23. Обчислити інтеграли:
3 27
42 0
3 0
8 4 43220
2
5 2
2 33,5 0
1) . 4) ( 3)sin .1
2) . 5) 2 sin cos .(9 )
3) . 6) .7 13 1 ( 1)
x dxx xdx
x
dxx xdx
x
xdx dx
x x x x
π
π−
+−
+
− + + + +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність: 0
3 2304
1) . 2) .4 35
dx dx
xx
∞
−++∫ ∫
25. Обчислити площі фігур, обмежених
кривими:
( )
2 21) 4 , 2 .
4( sin ),2)
4(1 cos ),
4, (0 8 , 4).
3) 3 cos , sin 0 .2
y x y x x
x t t
y t
y x y
= − = −
= − = −= < < π ≥
πρ = ϕ ρ = ϕ ≤ ϕ ≤
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими
3 sin , sin , 0, 0 ,y x y x y x= = = ≤ ≤ π на-
вколо осі .Ox
27. Обчислити площу поверхні, утвореної
обертанням кривої 33 (0 1)y x x= ≤ ≤
навколо осі .Ox
40
Варіант 19
1. Побудувати графіки функцій:
( ) ( )( ) 1
1 2 11) sin 3 .4) tg .2 3 2 12
12) 2arcsin( 2). 5) .3
3) 3arcctg( 1). 6) lg(3 2).
x
y x y x
y x y
y x y x
+
π π= − − = −
= − =
= + = − +
2. Знайти:
а) алгебричну форму 7132
2 ;z
z iz + −
б) тригонометричну форму 3;z
в), г) 81 2( )z z та ( )101
2;
zz
д), е) всі значення 31z та 4
2z , якщо:
1 2 32 2 , 2 2 3 , 4 3 .z i z i z i= + = − + = − −
3. Зобразити множину точок :z ∈ ℂ
3 2
1) 1 3, arg .2
2) 5 2 , Re 3.
3) 5 10 12 0.
z i z
z i z z
z z z
π− + > < ≤ π
+ < − <
− + − =
Знайти границі (4—7):
42 3
3 6 3
3 3 3
2 2
2 21 0
2 3
23 4
4 2
2 5 ... 2 (2 3)4.1) lim .
( 3)
42) lim .
1 5
3) lim 8( 2 1).
7 4 3 cos 4 sin 45.1) lim . 6.1) lim .
2 3 1 3
3 5 12 642) lim . 2) lim .
tg( 4)5 6
8 43) lim
n
n
n
x x
x x
x
n n
n n
n n
n n n
n n n
x x x x
x x x
x x x
xx x
x x
→∞
→∞
→∞
→− →
→ →
→∞
+ + + + ++
−
+ + −
+ + − −
+ − ⋅+ +
− − −−− +
−
( )
( )
4 0
3 2
2
2
3 2 0
sin2 tg2
232
4 2
3 1 1. 3) lim .
sin( ( 2))2 1
6 5 34) lim .4) lim .
sin 5 sin 32 7
5 3 3 75) lim . 5) lim .
arcsin 3 54
5 1 46) lim . 6) lim .
22 15 ln
77) lim .
1
x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
x
xx
x x e e
x xx x
x
x xx x x
x e e
xx x
x
x
→
π
→−∞ →π
→∞ →
π→ →
−
→∞
+ + −π ++
+ − −−− +
+ −−− −
+ − −+ − π
−+ ( )
( ) ( )
21
sin ln cos
0
2 3 11 1 .
1
7) lim 2 3 .
38) lim . 8) lim 2 1
3 1
x x
x
x xx x
x x
xe
x
→
−− −
→−∞ →
−
+−
−
( ) 2
2
04
1sin
0 0
sec 2 tg7.1) lim . 3) lim ln .
1 cos 4
tg2) lim(ctg ) . 4) lim .
xx
xx
x x
x xx x
x
xx
x
π →+→
→ →
−+
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу ( )xα відносно ( ) :xβ 53 2 3
2
3 3
1) ( ) cos , ( ) arcsin , 0.
2) ( ) ln(2 3 8), ( ) 3,
3.
3) ( ) ln(1 sin ), ( ) tg , 0.
xx e x x x x
x x x x x
x
x x x x x x
α = − β = →
α = − − β = −
→
α = + β = →
9. Дослідити функцію на неперервність:
2
1) ( ) .tg
2, 2,
2) ( ) , 2 1,
2, 1.
xf x
x
x x
f x x x
x
=
+ ≤ −= − < ≤ >
2
23) ( )
1
xf x
x=
− у точках 1 21, 2.x x= =
Знайти похідні функцій (10—13):
53 2 2
2 3
55
5 25
4 2 arcsin(3 2)
2 2arctg 5
7
410.1) .( 4)
log (4 2)2) tg ln2 2
ctg2
sh3) cos arccos 4 .arccos 4
3 log (5 4)4) lg( 2) arcsin .
( 3)
5) sh 5 arccos 3 (cos ) .
( 1) 26) (ln )
( 3)
x
x
x
ey xx x x
xy x
x
xy x xx
xy x x
x
y x x x
x x xy x
x
−
−
= + +− +
−= − −
= ⋅ +
−= − ⋅ −
−
= ⋅ +
+ += −
+ 2.
( 4)x −
311.1) 6 cos . 2) 3 4 0.xy y y y x− = − + =
2
sin2 ,? sin ,12. : 1) 2)
2 cos .cos .?
x
xx
x ty x t t
y ty ty
=′ = = + = +′′ == (5)
( )
13.1) ( 7)ln(3 4), ?
2) , ?5
n
y x x y
xy y
x
= + + =
= =+
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі
до кривої в заданій точці: 3
0
3 30
1) 3( 2 ), 1.
2) 1 , , 2.
y x x x
x t y t t t
= − =
= − = − =
41
2
0
3) 2 1, 3 2, 1,
(9; 13;26).
x t y t z t
M
= − = − + = +
−
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції 3 227 ( ) 4.4
y x x= − −
[ ]2
maxmin[ , ]
2
1) ln , ;1 .
16. ( ) ? 2 (2 3)2) ,[ 2;1].
4 5a b
y x x e
f x x xy
x x
−== +
= −+ +
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік: 2
23
2 3 13
42(1 )
3
2
111) 6 6 9 ( 1) . 5) .4 3
2) ( 1)( 2) . 6) ( 1) .
3) (2 1) . 7) .1
8( 1)4) ln( sin cos ). 8) .
( 1)
x
x
xy x x yx
y x x y x e
xy x e yx
xy x x y
x
+
−
−= − − − = −
= + − = −
= − =−
−= − − =
+
Знайти інтеграли (18—22):
2
5
2
2 2
2 53
32 3
35 3
2
2
2
18.1) . 7) .5 4 (3 )
142) . 8) cos(5 8) .
2 75
3) . 9) .5 3 2 3
4) . 10) .( 5)ln ( 5)
5) . 11) sin 5 cos5 .sin ctg
arctg6) . 12) .
1
1 2 ( 1019.1) . 5)
3 2
x
x
dx dx
x x
dxx dx
x
xdx dx
x x
dxe dx
x x
dxx xdx
x x
xe xdx dx
x
x x xdx
x
−
−
+ −
−−
+ −
+ +
+− +
+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ 2
3 4 3 2
3 2
2
2 2
3 2
2 4 2
4 4 2
4
17).
( 8 15)( 1)
3 2 12) . 6) .
5
(2 7 7)3) . 7) .
2 2 5 ( 1)( 2 5)
(2 1) 2 4 24) .8) .
3 6 9 3 4
20.1) ctg 2 . 4) sin 2 cos 2 .
2) sin 2 . 5)2 sin
dx
x x x
x x x xdx dx
x x x
dx x x dx
x x x x x
x dx x x xdx
x x x x
xdx x xdx
dxxdx
++ + +
− + − −+ +
+ +− + − + +
− + + −− − + −
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ 2
3
.3 sin cos 1
sin23) . 6) .
5 3 cos 4 sincos 2
x x x
x dxdx
x xx
+ −
+ +
∫
∫ ∫
2 2
2 2
43 2
2 3 3
9 4
2
5 1 7 221.1) . 5) .
3 5 1
2) . 6) .3 2 ( 1) 1
3) . 7) .11
14) . 8) .
4
122.1) ln . 4) arcsin2 .
1
2) arctg . 5) ( 4)cos 3 .2
3) sin( 7) . 6) ( 3)sin
x xdx dx
x x x
dx dx
x x x x x
dx xdx
xx x
x dx xdx
x x x
xdx xdxx
xdx x xdx
x x dx x xd
− −
− − +
− − − +
−−+
−−+
+
+ +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ .x∫
23. Обчислити інтеграли:
2 8 2 6
12
3 4 2
42 2
3 0
22 ln 3
1) ln . 4) 2 sin cos .
42) . 5) .
1
3 2 13) . 6) .
14 5
e
x
x
x xdx x xdx
dx xdx
xx
x edx dx
ex x
π
π
−−
− −+− +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність: 1 2
2 2 31
71) . 2) .
( 4 )ln5 ( 1) ln2
dx xdx
x x x
−
−∞− −∫ ∫
25. Обчислити площі фігур, які обмежені
кривими:
( )2
3
3
1) sin cos , 0 0 .2
16 cos ,2) 2 ( 2).
2 sin ,
3) 4 sin 3 , 2 ( 2).
y x x y x
x tx x
y t
π= = ≤ ≤
= = ≥ =ρ = ϕ ρ = ρ ≥
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими
5 cos , cos , 0, 0,y x y x x x= = = ≥ навколо
осі .Ox
27. Обчислити площу поверхні, утворе-
ної обертанням кривої 2 4 cos2ρ = ϕ на-
вколо полярної осі.
42
Варіант 20
1. Побудувати графіки функцій:
( ) ( )2
11) 2cos 2 . 4) ctg .4 3 12
12) arccos( 3). 5) 2 .313) arctg( 2). 6) ln(2 3).2
x
y x y x
y x y
y x y x
+
π π= + = +
= + =
= + = +
2. Знайти:
а) алгебричну форму 3132
2 ;z
z iz + −
б) тригонометричну форму 3;z
в), г) 81 2( )z z та ( )101
2;
zz
д), е) всі значення 31z та 4
2z , якщо:
1 2 33 3 , 3 , 3 2 .z i z i z i= − + = − − = −
3. Зобразити множину точок :z ∈ ℂ
3 2
31) 1 2, arg .4 4
2) 5 , Im 1.
3) 2 2 3 0.
z i z
z z i z
z z z
π π+ − > < ≤
+ > + <
+ − + =
Знайти границі (4—7):
44
2
3 2 4
2
24 0
2
35 0
(2 1)! (2 2)!4.1) lim .
(2 3)! (2 2)!
11 25 812) lim .
( 7 ) 1
( 1)( 3) ( 2)3) lim .
2
3 3 4 1 15.1) lim .6.1) lim .
sin2 tg212
30 cos22) lim . 2) lim
125
n
n
n
x x
x x
n n
n n
n n n
n n n n
n n n n
n
x x
x xx x
x x
x
→∞
→∞
→∞
→ →
→− →
+ + ++ − +
+ −
− − +
+ + − +
− − − − −− −
+ 2
2
2 30
2 2
4 3 2
4 2 5
2 0
2
20 0
cos 4.
3
3 4 2 sin(5( ))3) lim . 3) lim .
6 5 1 1
3 4 7 ln(9 2 )4) lim . 4) lim .
sin22 1
3 55) lim . 5) lim .
2 sin tg2 3 7
2 4 2 26) lim . 6) lim .
sin 33
7) l
xx x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x x
x x e
x x x
xx x
x x e e
x xx x
x x
xx
→∞ →
→∞ →
−
→−∞ →
→ →
−
− + + π+ + −+ − −
π− ++ −
−− −
− + + −
( )( )
23 2
0
sec
2
2im . 7) lim 2 cos .
6 58) lim . 8) lim(1 cos 3 ) .
10
xx
x x
x
x x
xx
x
xx
x
−
→∞ →
π→∞ →
+−
++
−
( )( )
20 0
1
0
3 ln 1 17.1) lim . 3) lim .
2 3 ln sin sin
2) lim (ln ) . 4) lim 4 1 .
x x
xxxx x
x
x x x x
x
→+ →
→∞ →
+−
−
−
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу ( )xα відносно ( ) :xβ
6 61) ( ) 1 1, ( ) 1, 0.
1 1 12) ( ) sin , ( ) arctg , .1
3) ( ) ln cos6 , ( ) 1, 0.
x
x
x x x e x
x x xx x x
x x x e x
α = + − β = − →
α = β = → ∞+α = β = − →
9. Дослідити функцію на неперервність:
2
1) ( ) .arctg
, 1,
2) ( ) ( 2) , 1 3,
6, 3.
xf x
x
x x
f x x x
x x
=
≤= − < ≤− + >
323) ( ) 2xf x += у точках 1 22, 1.x x= − = −
Знайти похідні функцій (10—13):
a43 7
4 3
323
33 2
25 5
3 3
3 arccos(3 1)
2 43arcsin
3
710. ) .(3 5)
ln (5 5)2) ctg cos5 4 .
1tg
ch3) sin 7 arcctg5 .arctg5
log ( )4) log arctg 7 .
7( 3)
5) ch 9 arctg 3 .
( 1) ( 2)6) (lg2 )
( 5) ( 1)
x
x
x
ey xx x
xy x
x
xy x xx
x xy x x
x
y x x x
x xy x
x x
−
= + −+
−= − +
= ⋅ −
+= +
+
= ⋅ −
+ −= −
− + 7 .
3 3 311.1) 3 7 . 2) cos 3.y xy x xy= + + =
3
3
? , sin ,11. : 1) 2)
2 cos .? 3 .
tx
txx
y x e x t t
y ty y t e
′ = = = − = −′′ = = +
(5)
( )
14.1) (3 7)3 , ?
5 12) , ?
13(2 3)
x
n
y x y
xy y
x
−= − =
+= =
+
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі
до кривої в заданій точці:
0
11) , 2.
3 2y x
x= =
+
43
20
0
2) ln(1 ), arctg , 1.
3) cos , sin , ln cos , (1;0;0).
x t y t t t
x t y t z t M
= + = − =
= = =
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції 21 (12 ).8
y x x= −
3 1
max3min
[ , ]2
1) ,[ 4;0].
16. ( ) ? 2( 2)2) ,[ 5;1].
2 5
x
a b
y x e
f x xy
x x
+= −= +
= −+ +
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік: 2
3 2
2 3
22
( 2)2
23
3 21) 6 8. 5) .1
2 9 1 22) . 6) .1
3) ln( 2 6). 7) .2
sin cos4) . 8) ( 3) .
2
x
x xy x x y
x
x xy yxx
ey x x yx
x xy y x x
− +
− += + + = +− −= =−
= − + = − +−
= = −
Знайти інтеграли (18—22):
2
3
2
2 2
3
3
2 2
6 4 5 2
2
2 2
18.1) . 7) .6 33
2) . 8) cos(3 7) .8 9
3) . 9) .3 6 8 3
ln ( 5) cos54) . 10) .
5 sin 5
ctg 45) . 11) .
sin 4 (1 ) arctg
6) . 12) .
1 3 619.1) . 5)
4 1 ( 3
x x
dx dx
xx
dxx dx
x
xdx dx
x x
x xdx dx
x x
x dxdxx x x
e dx e xdx
x x dxdx
x x x
− −
−+
−+
− −−
−
+
−− + +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫3 3 2
2 3 2
2
2 2
2
2 4 2
33
3 2
32 2
.2)( 1)
1 4 2 12) . 6) .
1
( 3 6)3) . 7) .
2 3 2 ( 1)( 6 13)
(2 1) 4 24) . 8) .
3 2
cos 220.1) ctg 3 . 4) .
sin 2sin2
2) cos (1 ) . 5) .sin 4 cos
3) co
x
x x x xdx dx
x x x
dx x x dx
x x x x x
x dx xdx
x x x x
xdxxdx
x
xdxx dx
x x
−
+ − + −+ −
+ −− − + + +
− −+ − −
−+
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫2 sin
s 3 cos5 . 6) .1 cos
xx xdx dx
x
++∫ ∫
( )
2 2
2 2
62
4 3
3 3 2
9 8
2
2
2
2 4 821.1) . 5) .
16 4 5
2) . 6) .2 3 ( 1) 1
3 1 193) . 7) .
3 1 3 1
4 14) . 8) .
arcsin222.1) .4) ( 1)ln .
1 4
2) ( 3)cos . 5) ( 8)sin 3 .
3)
x xdx dx
x x x
dx dx
x x x x x
x dxxdx
x xx
x xdx dx
x x x
x xdx x x xdx
x
x xdx x xdx
x
− −
− + −
− + − + −
+ +−+ − +
+ +
− +−
− +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫cos( 4) . 6) ln( 8) .x dx x dx− +∫ ∫
23. Обчислити інтеграли:
32
0
4 83
3 0
10 2
3 2112
22 25
2302
1) ( 2) . 4) 2 cos .
2) . 5) .1 (1 )
( 1)3) sin . 6) .
3 4
x
x e dx xdx
xdx dx
x x
x dxxdx
x x
π−
−
− −
π
−
−
− −
−+ +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність: 13
2 2 21 03
1) . 2) .(1 9 )arctg 3 9 9 2
dx dx
x x x x
∞π
+ − +∫ ∫
25. Обчислити площі фігур, обмежених
кривими:
( )
21) 4 , 0, 0, 1.
2 cos ,2) 3 ( 3).
6 sin ,
3) 2 cos , 2 3 sin , 0 .2
y x y x x
x ty y
y t
= − = = =
= = ≥ =πρ = ϕ ρ = ϕ ≤ ϕ ≤
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими
2sin , , 0,2
y x x yπ
= = = навколо осі .Ox
27. Обчислити площу поверхні, утворе-
ної обертанням кривої 6 sinρ = ϕ навко-
ло полярної осі.
44
Варіант 21
1. Побудувати графіки функцій:
( ) ( )2
1 11) 3 sin .4) tg .2 3 4 24
2) 2arcsin( 3). 5) 2 .
3) arcctg( 2). 6) ln(3 2).
x
y x y x
y x y
y x y x
−
π π= − + = −
= − =
= − − = − −
2. Знайти:
а) алгебричну форму 913
22 ;
zz iz + −
б) тригонометричну форму 3;z
в), г) 81 2( )z z та ( )101
2;
zz
д), е) всі значення 31z та 4
2z , якщо:
1 2 34 4 , 3 3 3 , 2 .z i z i z i= − − = − = +
3. Зобразити множину точок :z ∈ ℂ
3 2
31) 2 1 3, arg .4 4
2) 2 , Re 2.
3) 3 18 0.
z z
z i z z
z z z
π π< − < < <
− < + >
+ + − =
Знайти границі (4—7):
( )
2
3 3
5 54
4 2 2 2
2 3
2 32 0
2 2 2
3 24 0
3
3
1 2 ...4.1) lim .
3
3 8 32) lim .
4 5
3) lim 3 ( 1)( 2) .
2 9 10 ln(1 4 )5.1) lim . 6.1) lim .
2 3 10 2
3 28 cos cos 22) lim . 2) lim .
64
7 43) lim
3
n
n
n
x x
x x
x
n
n n
n n
n n
n n n n
x x x
x x x
x x x x
x x
x x
x x
→∞
→∞
→∞
→ →
→ →
→∞
+ + +− +
+ − ++ − +
+ − − −
− + ++ −
+ − −−+
− +
( ) ( )
2
2
0
5 3 4
3 2
122 1
4 2 1
2 5 2
320 0
c
0
1 cos. 3) lim .
sin2
8 4 3 1 24) lim .4) lim .
2( 2 2)2 7
2 5 35) lim . 5)lim(ln ) .
3 2
4 2 4 96) lim . 6) lim .
sin tg16 4
2 3 57) lim . 7) lim 6 cos5 3
x
x
x x
x
x x
x x
x x
x
x x
x
x x
x x
xx x
x xex
x x x
x
x xx
xxx
→
−
→−∞ →
+→∞ →
−
→ →
→∞ →
−
− + −−+ −
− +− +
+ − −−+ −
−−
−
( )
2tg
4 3 22 2
2
.
3 78) lim . 8) lim(2 1) .
4
x
x xx x
x x
xe
x
+− −
→−∞ →
+−
+
50 61 2 ln .1000
cos2 2
0 1
50 497.1) lim . 3) lim
100 99
2) lim(1 2 )ctg . 4)lim(1 ) .
x
x x
xx
x x
x xx
x x
e x x x
+→ →∞
π
→ →
− +− +
− − −
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу ( )xα відносно ( ) :xβ 9 5
4 6
1) ( ) cos2 , ( ) arctg , 0.
12) ( ) 1 , ( ) ,1
.
3) ( ) ln 1 sin , ( ) tg , 0.
xx e x x x x
x x x xx
x
x x x x x x
α = − β = →
α = + − β =+
→ ∞
α = + β = →
9. Дослідити функцію на неперервність: 2
1) ( ) .1 2
cos , ,4
2) ( ) 1, 3,4
2 5, 3.
xf x
x x
f x x
x x
=−
π < π= < < − ≥
323) ( ) 4 2xf x −= + у точках 1 22, 3.x x= =
Знайти похідні функцій (10—13):
5 4
245
23 2
243 7
2
14 arctg
3 4cth( 3)
ctg5410.1) 3 .(3 5)
lg( 2)2) 5 tg 4 .
sin2
th ( 3)3) ln( 9)arcctg 2 .
arcctg
log (2 5)4) 4 arcsin 5 .
( 4)
15) th arcctg (cos(2 1)) .
( 4) ( 2)6) (sin 8 )
(
x
x
xey xx x
xy x
x
xy x x
x
xy x x
x
y x xx
x xy x
x
+
= + +−
+= − −
+= + +
+= − −
−
= ⋅ + −
+ −= −
2 53.
1) ( 2)x+ −
211.1) ln . 2) .x yyy x e y e xx= + + = +
3
2
cos ,? ln ,12. : 1) 2)
ln sin .? ln .
x
xx
x ty x t t
y ty y t t
′ == = = ′′ = = 2 (5)
2 3 ( )
13.1) ( 3)ln(2 5), ?
2) , ?x n
y x x y
y a y+
= − + =
= =
14. Скласти рівняння дотичної та норма-
лі до кривої в заданій точці:
021) , 2.
1
xy x
x= = −
+
45
( )0
2 30
2) (1 sin ), cos , 0.
13) 20 , 16 , , 10;4; .8
x t t y t t t
x t y t z t M
= − = =
= = =
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції 2 21 ( 4) .16
y x x= −
2
maxmin 23[ , ]
21) 2 ,[ 1;3].116. ( ) ?
2) 2( 1) ( 4),[0;4].a b
y x xx
f xy x x
= − + −−== − −
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік:
( )
23 2
2
3 2
2
2 23 32
2 sin
3 6( 1) 3 21) . 5) .18 24
2 3 2 12) . 6) ln 1 .21
43) ( 2) ( 3) .7)2 324). . 8) 2 ln .4
x
x x xy yxx x
x x xy yxx
y x x yx x
y e yx
−
+ − += − = ++ +− − += = −
−
= − − − =+ −
= = −
Знайти інтеграли (18—22):
3
2
2
cos2
5 7 7
3
2 2 3
4
2 2
18.1) . 7) sin(4 2 ) .2
42) . 8) .
2 5 4 3
ln(2 1)3) . 9) .
2 17 4sin
4) . 10) .5 1
5) . 11) cos 2 sin2 .
tg56) . 12) .
cos 5 (1 )arctg
5 619.1) . 5)
3 2 (
x
x
dxx dx
x
dx xdx
x x
dx xdx
xx
dx xdx
ex
e dx x xdx
x dxdxx x x
x x dxdx
x x
−
−+
− +−
−−
+
+
−−
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫4 2
2 3 2
2
2 2
3
2 4 2
34
3 2
42 2
.1)( 2)
1 2 6 2 12) . 6) .
1 2
(4 38)3) . 7) .
2 6 11 ( 2)( 2 10)
( 4) 2 2 54) . 8) .
3 2 3 4
sin 220.1) ctg . 4) .
cos 2
2) sin 4 . 5) .7 cos 16 sin
3) co
x
x x xdx dx
x x x x
dx x dx
x x x x x
x dx x xdx
x x x x
xxdx dx
x
dxxdx
x x
− +
− − −+ − +
+− + + − +
− − −+ − + −
+
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
s2 cos5 . 6) .3 cos sin
dxx xdx
x x+ +∫ ∫
2 2
2 2
32 2 2
3 23 3
9 5
2
5 3 421.1) . 5) .
3 1 2 3
2) . 6) .2 2 ( 1) 1
3) . 7) .9 4
(1 )4) . 8) .
2arccos
22.1) ln . 4) .1
2) ( 1) . 5) ( 6)cos 4 .
3) sin( 4) . 6) arctg
x
x xdx dx
x x x
dx dx
x x x x x
dx xdx
x x x x
x dx xdx
x x xx
x xdx dxx
x e dx x xdx
x x dx
−
− +
+ + −
− − − − −
+ −
++
+
+ +
+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫∫ .
5
xdx∫
23. Обчислити інтеграли: 2 2
8
1 0
3 3 22
30 2
1ln 52
21 02
1) ( 1)ln . 4) sin ;
3 2 32) 3 . 5) .
13) . 6) .
34 4 5
x x
x
x xdx xdx
x xx dx dx
x x
dx e edx
ex x
π
−
−
+ −−
−
−++ +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність: 12
23 43104
1) . 2) .20 9 1( 8)
x dx dx
x xx
∞
− ++∫ ∫
25. Обчислити площі фігур, обмежених
кривими: 2 21) 4 , 0 (0 2).
2( sin ),2) 3 (0 4 ).
2(1 cos ),
3) sin 3 .
y x x y x
x t ty x
y t
= − = ≤ ≤
= − ≥ < < π = −ρ = ϕ
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими 3 2,x y= − 1, 1x y= = , навколо осі .Ox
27. Обчислити площу поверхні, утворе-
ної обертанням кривої sin ,x t t= −
1 cos (0 2 )y t t= − ≤ ≤ π навколо осі .Ox
46
Варіант 22
1. Побудувати графіки функцій:
( ) ( )1
1 21) 3 cos 2 . 4) ctg .6 2 3
2) 3arccos( 1). 5) 5 .
3) 2arctg( 3).6) 2 lg(2 4).
x
y x y x
y x y
y x y x
+
π π= − − = +
= + =
= − + = −
2. Знайти:
а) алгебричну форму 6132
2 ;z
z iz + −
б) тригонометричну форму 3;z
в), г) 81 2( )z z та ( )101
2;
zz
д), е) всі значення 31z та 4
2z , якщо:
1 2 35 5 , 2 3 2 , 2 3 .z i z i z i= − = + = − −
3. Зобразити множину точок :z ∈ ℂ
3 2
1) 2 1 4, arg .2
2) 2 , Im 3.
3) 4 6 4 0.
z z
z i z z
z z z
π< + < < < π
+ > − >
+ + + =
Знайти границі (4—7): 2
3 2 2
5 7
5 2 4
2
2 21 0
3
21 02
4
2 4
14.1) lim .
2 7 ... (5 3)
52) lim .
1
( 1)( 1) ( 1)3) lim .
4 5 arcsin 55.1) lim . 6.1) lim .
2 1
8 1 arctg52) lim . 2) lim .
1 tg24
1 43) lim .3
3 2
n
n
n
x x
xx
x
n n
n
n n
n n
n n n n n
n
x x x
x x x x
x x
xx
x x
x x x
→∞
→∞
→∞
→ →
→→
→∞
+ −+ + + −
− +
− +
+ − − +
+ −− + −−
−
+ −+ +
( ) ( ) 2
30
2 3
3 2 41
5 3 3 2
2 0
0 0
13 1
sin
0
arcsin2) lim ln2.
2 1
2 7 1 14) lim . 4)lim .
14 3
25) lim .5) lim .
sin 3 tg24 3 6
3 1 cos6) lim . 6) lim .
5 5 1 cos
1 27) lim . 7) lim 3 .
2 cos
8) lim
xx
x x
x x
x x
x x
xx
x x
x
x x x
xx x
x x e e
x xx x
x x
x x
x
x x
−→
→∞ →
→−∞ →
→ →
−
→∞ →
−− + −
−+ −− −
−+ −−
− − −
−−
−
( )3
sin 2
1 ln(2 cos ). 8) lim .
4 5 (3 1)
x
xx x
x x
x→∞ →π
− ++ −
( ) ( )
2 0,01
111
2 ln
0
ln 17.1)lim . 3) lim .
1
2) lim 1 . 4) lim arcsin .
xx
x x
x xx
x x
x xx e
x
e x
−→ →∞
+→∞ →
− +−
−
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу ( )xα відносно ( ) :xβ
4
4
3
1) ( ) 1 sin 1, ( ) ln(1 ),
0.
1 12) ( ) , ( ) , .
1
3) ( ) 2 sin , ( ) 1, 0.x
x x x x x
x
xx x x
xx
x x x x e x
α = + − β = +
→
+α = β = → ∞
+α = β = − →
9. Дослідити функцію на неперервність:
3
1) ( ) .cos
, 0,
2) ( ) , 0 2,
4, 2.
xf x
x
x x
f x x x
x x
=
− ≤= < ≤ + >
213) ( ) 3 2xf x += − у точках
1 21, 0.x x= − =
Знайти похідні функцій (10—13): 7
35 2
35 2
245
27
3 4
6 3th( 7)
2
(2 3)410.1) .
tg 72) cos ln13 .
ln(3 2)
arcsin 33) cos arctg .ch( 5)
2 ln(3 10)4) lg( 2)arcsin 3 .
( 5)
5) cth 4 arcsin(3 1) (tg 3 ) .
( 1) ( 2)6) (cos 4 )
( 1) (
x
x
x
xy x
x e
xy x
x
xy x xx
xy x x
x
y x x x
x xy x
x
−
−
−= − −
= + ++
= ⋅ −−
−= + +
+
= ⋅ + −
− += +
+ 25.
3)x +
2 311.1) 4 5. 2) tg .x yxy y x xy e e− = − = +
2
arccos ,? cos sin ,12. : 1) 2)
sin cos .? 1 .
x
xx
x ty x t t t
y t t ty y t
=′ = = + = −′′ = = −
(5)2
( )
13.1) sin2 , ?
2) sin(3 1) cos5 , ?
x
n
y e x y
y x x y
= =
= + + =
14. Скласти рівняння дотичної та норма-
лі до кривої в заданій точці: 2
0
3 31) , 3.
3
x xy x
− += =
47
3
02 2
0
12) , , 2.1 1
3) cos , sin , ln cos ,
( ;0;0).
t tx y tt t
x a t y a t z a t
M a
+= = =− −
= = =
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції 3 227 ( ) 5.4
y x x= + −
3 2
maxmin 2[ , ]
41) ( 1) , ;3 .5
16. ( ) ?162) 2 ,[2;5].
1a b
y x xf x
y x xx
= + − == − + −
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік: 2 5
42
3 13
232
23
2 11) . 5) .11
2) 4 ( 1). 6) .
43) ( 2)( 4) .7) .3 2
4) cos . 8) ( 1) .
x
x
x x xy yxx
y x x y x e
y x x yx x
y x y x e
+
+
+ −= =−−
= − =
= + − =+ −
= = − +
Знайти інтеграли (18—22):
53
3
2 2
2
7
2 2
52 6
6
2
2
18.1) . 7) cos(7 1) .1 7
ln ( 7)2) 5 2 . 8) .
7
tg73) . 9) .
4 3 cos 7
4) . 10) cos7 sin 7 .3 2
5 arccos5) . 11) .
5 3 1
6) . 12) .3 7
2 1 (2 26)19.1) . 5)
3 5 (
x
dxx dx
x
xxdx dx
x
dx xdx
x x
dxx xdx
x
xdx xdx
x x
x dxe dx
x
x x dxdx
x
−
+−
−−
−
+
+
− −
−− −+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ 2
3 3 2
3 2
2 2
2 2 2
3 4 3
22
2
.5)( 4 3)
2 3 2 2 4 32) . 6) .
2
83) . 7) .
2 3 2 ( 1)( 6 13)
(3 1) 3 84) . 8) .
4 5 ( 1) ( 4)
20.1) tg . 4) sin cos .2
22) cos . 5) .
5 2 cos 3
3) sin 2 cos
x x x
x x x xdx dx
x x x
dx dx
x x x x x
x dx xdx
x x x x
xdx x xdx
x dxdx
x
x xdx
+ + +
− + + +− +
− + + + +
+ −− − − +
+
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫6 sin cos
.6) .1 cos
x xdx
x
++∫ ∫
2
2 2
2 2
62 2
6 5
3 23
2 9
22
2
5 3 621.1) . 5) .
2 1 3 2
2) . 6) .3 1 ( 1) 1
13) 1 . 7) .
(1 )4) . 8) .
( 1) 4
ln(sin )22.1) . 4) arctg .
cos
2) ( 1) . 5) ( 6)sin .2
3) cos(
x
x xdx dx
x x x
dx dx
x x x x x
x xx x dx dx
x x
dx xdx
x x x x
xdx x xdx
xx
x e dx x dx
x x
− −
+ − −
+ − − + −
+ +−
+
++ +
− −
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫9) . 6) ln( 12) .dx x dx+ +∫ ∫
23. Обчислити інтеграли: 0 2
2 6 2
1 02
132
2 23
1 33
1 2 ln 2
21 ln22
1) . 4) sin cos .4 4
2) . 5) 9 .( 1)
3) . 6) .18 2
x
x
x xxe dx dx
xdxx x dx
x
dx dx
ex x
π−
−
−
−
−−
−+ −
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність: 1
22 54102
ln21) . 2) .
(1 )ln (1 )(16 )
xdxdx
x xx
∞
− −+∫ ∫
25. Обчислити площі фігур, обмежених
кривими:
( )2
3
3
1) cos sin , 0 0 .2
16 cos ,2) 6 3 ( 6 3).
sin ,
3) 6 sin 3 , 3 ( 3).
y x x y x
x tx x
y t
π= = ≤ ≤
= = ≥ =ρ = ϕ ρ = ρ ≥
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими
, 0, 1,xy xe y x= = = навколо осі .Ox
27. Обчислити площу поверхні, утворе-
ної обертанням кривої 2 sinρ = ϕ навко-
ло полярної осі.
48
Варіант 23
1. Побудувати графіки функцій:
( ) ( )( )1
2 11) 2 sin 3 . 4) tg .3 3 4
1 12) arcsin( 1). 5) .2 313) arcctg( 1). 6) ln(2 3).3
x
y x y x
y x y
y x y x
−
π π= + = −
= − =
= − = − −
2. Знайти:
а) алгебричну форму 513
22 ;
zz iz + +
б) тригонометричну форму 3;z
в), г) 81 2( )z z та ( )101
2;
zz
д), е) всі значення 31z та 4
2z , якщо:
1 2 36 6 , 3 3 3 , 3 4 .z i z i z i= + = − + = −
3. Зобразити множину точок :z ∈ ℂ
3 2
31) 2 3, arg .3 2
2) 1 3 , Re 1.
3) 6 24 32 0.
z i z
z z i z
z z z
π π< − < < <
− < + <
+ + + =
Знайти границі (4—7):
7
7 7
4 2 6
2 2
22 0
3
24 0
3 5 1 24.1) lim ... .
4 16 4
5 52) lim .
5 5
( 1)( 1) 13) lim .
5 11 2 1 cos 25.1) lim .6.1) lim .
arcsin3 10
3 28 sin 32) lim . 2) lim .
ln(1 2 )4
23) lim
n
nn
n
n
x x
x x
x
n n
n n
n n n
n
x x x
x xx x
x x x
xx x
→∞
→∞
→∞
→ →
→ →
→∞
+ + + +
+ − −
+ + −
+ − − −
− + − −− −
+ −+−
( )
2
3 2 4
3 02
4 3
2 2
3 3
3 2 sin
2 3
29 0
2
7 2 1. 3) lim .
sin( ( 1))6 4 3
5 2 3 tg4) lim . 4) lim .
22 3 7
3 1 ( )sin 55) lim . 5) lim .
5 4 1
2 7 5 5 26) lim . 6) lim .
3 sin sin
4 17) lim
4 1
x
xx
x x
xx x
x x
x x
x
x
x x e
x x
x x x
xx x
x x x
x x x e
x
x x x
x
x
→
→−∞ →−
→∞ →π
→ →
→∞
+ − −π +− +
− + π++ −
+ − π− + −+ − −− +
−+ ( )
( )
1ln(2 )
1
2 1 3
3
2. 7)lim .
5 7 5 28) lim . 8) lim .
6 sin
x
x
x
x x
x
x
x x
x x
−
→
−
→−∞ →
−
− + −+ π
2 3
1 0
1ln(2 2)
0
17.1)lim(1 )tg . 3) lim .
2 sin
2) lim ( 1) . 4) lim(arcsin ) .
x
x x
xx
x x
e xxxx x
x x
→ →
−→∞ →
− −π−−
−
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу ( )xα відносно ( ) :xβ 10 2 9
3
9
1) ( ) cos 3 , ( ) arctg , 0.
2) ( ) 1 , ( ) 1, 1.
3) ( ) ln(1 tg ), ( ) arcsin , 0.
xx e x x x x
x x x x x
x x x x x x
α = − β = →
α = − β = − →
α = + β = →
9. Дослідити функцію на неперервність: arcsin
1) ( ) .sin2
2, 1,
2) ( ) 1 , 1 1,
ln , 1.
xf x
x
x x
f x x x
x x
=
+ ≤ −= − − < ≤ >
343) ( ) 5 1xf x += + у точках
1 25, 4.x x= = −
Знайти похідні функцій (10—13): 4
5 44 3
3
36 2
sin5
2 4 3 sin
4 2ch(2 1)
2 53
(3 1) 810.1) .
ctg 212) 7 ln cos .3 lg(3 5)
arcctg3) tg 2 cos7 .
sh(2 5)
8 lg(4 5)4) 4 arctg 3 .
( 1)
5) ch 5 arctg (ctg2 ) .
( 1) ( 7)6) (tg2 )
( 1) ( 2)
x
x
x
x
xy x
e x
xy x
x
xy x x
x
xy x
x
y x x x
x xy x
x x
−
−
+= − +
−= − ++
= ⋅ −−
+= +
−
= ⋅ −
− −= +
+ +.
2 2 3 2 2 211.1) 5 . 2) sin .x y x y x y y r+ = + =
( )21 ,? ,1
12. : 1) 2)? arcsin ..
1
tx
txx
xy x et
ty y eyt
= ′ = = + ′′ = = = +
2 (5)
6 ( )
13.1) ( ) ln , ?
2) , ?x n
y x x x y
y xe y
= − =
= =
14. Скласти рівняння дотичної та норма-
лі до кривої в заданій точці:
02
0
21) , 1.
1
2) 3 cos , 4 sin , .4
xy x
x
x t y t t
= =+
π= = =
49
03) 2sin , 2 cos , tg , ( 2; 2;1).x t y t z t M= = =
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції 2 31 (16 6 ).8
y x x= − −
26
maxmin[ , ]
1) ,[ 3;3].16. ( ) ?
2) 2 1 ,[1;5].
x x
a b
y ef x
y x x
−= −=
= − −
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік: 3
32
3 22
2
223
2
3
41) ( 2). 5) .
3 12) .6) ln(1 ).2 2
2 73) ( 6) . 7) .2 3
4) ln( 2 sin ). 8) .3
x
xy x x yx
x x xy y x xx
x xy x x yx x
ey x yx
+
+= − =
+ − −= = − +−
+ −= − =+ −
= − = +
Знайти інтеграли (18—22):
2
3
6
2
25
2 2
2 4
2
1 62
2
2
18.1) 5 4 . 7) cos(7 3) .
ln ( 3)2) . 8) .
1 6 3
3) . 9) sin 3 cos 3 .4 3
tg 34) . 10) .
2 7 cos 3
arccos25) . 11) .
1 4
6) . 12) .2 7
2 7 (2 12 6)19.1) . 5)
5
x
x
xdx x dx
dx xdx
x x
dxx xdx
x
xdx xdx
x x
xe dx dx
x
dxe xdx
x
x x xdx
x
−
−
− +
++ +
+
−
−
+− + −−
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ 2
2 3
2
2
2 2
2
2 4 2
4 2 4
32
.( 1)( 8 15)
2 5 4 52) . 6) .
1 ( 1)( 1)
(2 4 20)3) . 7) .
7 6 ( 1)( 4 13)
( 5)4) . 8) .
2 1 5 4
20.1) tg 3 . 4) sin cos .
2) sin 5 . 5) .3 2 sin
3) cos co
dx
x x x
x x xdx dx
x x x
dx x x dx
x x x x x
x dx x dx
x x x x
xdx x xdx
dxxdx
x
x
+ + +
+ − ++ − −
+ ++ + + − +
−+ + + +
−
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫s 7 . 6) .
3 cos 4 sin
dxxdx
x x−∫ ∫
2 2
2 2
3 26
3 5 4
215
2 2
2
3 4 2 321.1) . 5) .
2 5 2 6
2) .6) .5 7 3 ( 1) 1
3) 1 . 7) .
14) . 8) .
( 1)
22.1) arcsin . 4) arctg2 .5
2) cos . 5) ( 1)cos7 .
3) ( 3) . 6) ln(x
x xdx dx
x x x
dx dx
x x x x x
dxx x dx
x x
dx xdx
x x x x
x dx x xdx
x xdx x xdx
x e dx x x−
+ +
+ − +
− − + − −
−−
+−
+
+ +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫∫ 1) .dx∫
23. Обчислити інтеграли:
4
3 2
4 4 4
1 0
2 2 3
2 4 20 2
10 3
27 1
11) arctg . 4) 2 sin cos .
2 2
2) . 5) .( 1)( 4) 3
3) . 6) .1 ln3 2
e
x xdx dxx
dx dx
x x x x
x dx dx
x xx x
π
+ + −
+− +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність: 1 4
33 5
0 0
1) . 2) .1
x x dxe xdx
x
∞−
−∫ ∫
25. Обчислити площі фігур, обмежених
кривими:
2 21) , 0, 1.
( 1)
9 cos ,2) 2 ( 2).
4 sin ,
3) sin 6 .
xy y x
x
x ty y
y t
= = =+
= = ≥ =ρ = ϕ
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими 2 22 , ,y x y x= − = навколо осі .Ox
27. Обчислити площу поверхні, утворе-
ної обертанням кривої 2cos
3ρ = ϕ навко-
ло полярної осі.
50
Варіант 24
1. Побудувати графіки функцій:
( ) ( )( )
( )
1
11) 2cos 2 . 4) ctg .3 2 4
1 12) arccos( 2). 5) .3 21 13) arctg . 6) 3 ln(5 ).3 2
x
y x y x
y x y
y x y x
+
π π= − = +
= + =
= − = −
2. Знайти:
а) алгебричну форму 6132
2 ;z
z iz + −
б) тригонометричну форму 3;z
в), г) 81 2( )z z та ( )101
2;
zz
д), е) всі значення 31z та 4
2z , якщо:
1 2 37 7 , 2 3 2 , 4 5 .z i z i z i= − + = − − = +
3. Зобразити множину точок :z ∈ ℂ
3 2
1) 2 3,0 arg .
2) 1 3 , Im 2.
3) 7 24 18 0.
z i z
z z i z
z z z
< + < < < π
+ > − <
− + − =
Знайти границі (4—7):
3 2 2
4
2
27 0
2
22 0
2
2 4 ... 24.1) lim .
1 3 ... (2 1)
2 52) lim .
1
3) lim ( ( 1)).
5 14 1 cos 45.1) lim . 6.1) lim .
sin2 9 35
3 11 10 arcsin 82) lim . 2) lim .
tg 45 14
14 33) lim
1 2
n
n
n
x x
x x
x
n
n
n n
n n n
n n n
x x x
x xx x
x x x
xx x
x x
x
→∞
→∞
→∞
→ →
→− →
→−∞
+ + ++ + + −
+ −
− − +− −
− − −− −+ +− −
++
( )3 3 2
2
2 3 20
3 2
2
2 3
3 0
4 64 1
2 1
0
1 cos. 3) lim .
7 ( 1)
1 sin8 7 24) lim . 4) lim .2 5 3
2 35) lim . 5) lim .
sin 3 tg216
2 tg( 1)6) lim . 6) lim .
6 1 5
3 47) lim . 7) lim(2 )
3
xx
x x
x x
x x
x xx x
xx
x x
x
x e
xx x
xx x
x x e e
x xx
x x
x e e
xe
x
→
→∞ →π
→−∞ →
− +→ →−
−
→∞ →
−+ −
−+ −π −− +
− − −−−
− ++ − −+
−
( ) ( )
1 cos .
6 1cos
2
3 48) lim . 8) lim ctg .
22
x
xx
x x
x xx
− π
π→∞ →
−−
2
2
20 0
log sin
1 0 1 0
ln( 1) 1 17.1) lim .3) lim .
tg arctg
2) lim (1 ) . 4) lim (ctg ) .
x x
x x
x x
x x x
x x x x x
x x
→ →
π→ − → +
+ − − −
− π
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу ( )xα відносно ( ) :xβ 23 6
3
2
1) ( ) 1 1, ( ) 1, 0.
2) ( ) 1 2 1 3 , ( ) ,
0.
3) ( ) ln cos2 , ( ) sin , 0.
xx x x e x
x x x x x
x
x x x x x
α = + − β = − →
α = − − − β =
→
α = β = →
9. Дослідити функцію на неперервність: 1
1) ( ) .lg
1, 0,
2) ( ) cos , 0 ,
1 , .
f xx
x
f x x x
x x
=
− <= ≤ ≤ π − > π
43) ( )
2
xf x
x
−=
+ у точках 1 22, 1.x x= − =
Знайти похідні функцій (10—13): 2
7 24
432
3 34
3cos 3
4 3 5 2
2 5sh 3
2
5 4 2710.1) .
tg(3 5)12) 8 ctg sin .13 ln ( 3)
2 log (4 7)3) ctg 4 arcsin .
( 3)
arccos 54) 2 arcctg .th( 2)
5) th 7 arccos 3 (tg7 ) .
( 7) ( 3)6) (ctg7 )
( 1)
x
x
x
x
x xy x
ex
xy x
x
xy x x
x
xy xx
y x x x
x xy x
x
−
+
+ −= + −
−= − +
+
−= ⋅ −
+
= +−
= ⋅ −
+ −= +
+ 2.
3 1x x+ −
4 2 2 311.1) 4. 2) ln 1.x x y y xy y+ + = − =
3
4 3
cos ,? 5 sin ,12. : 1) 2)
sin .? 3 cos .2
x
xx
x ty x t
tyy y t
= ′ = = ′′ == = 2 (5)
( )
13.1) ln(1 3 ), ?
11 122) , ?
6 5n
y x x y
xy y
x
= − =
+= =
+
14. Скласти рівняння дотичної та норма-
лі до кривої в заданій точці: 3
0
4 2 30
1) 2( 3 ), 1.
2) , , 1.
y x x x
x t t y t t t
= − + =
= − = − =
51
2 203) , 3 , 1 2 , (1; 3;3).x t y t z t M= = = − −
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції 2 21 ( 4) .16
y x= − −
maxmin 23[ , ]
ln1) ,[1;4].16. ( ) ?
2) ( 2) (1 ),[ 3;4].a b
xy xf x
y x x
==
= + − −
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік. 33 2 2
23
3 2 234
11) 4 3. 5) ( 5).3
6 92) . 6) 1 ln .4
13) ( 1) .7) .1
4) cos . 8) ln 1.5
y x x y x x
x xy y xx
y x x yx
xy x yx
= − + = −
+ += = −+
= − − =−
= = −+
Знайти інтеграли (18—22):
3
252
43
2
3
2 2
3 6 1 2
4
3 2
2
18.1) . 7) sin(7 4 ) .2 7
92) (6 5 ) . 8) .
1 9
ln ( 5)3) . 9) .
53 4
ctg 54) . 10) .
4 3 sin 5
5) . 11) .
cos6 arcctg 56) . 12) .
sin 6 1 25
3 3 (519.1) . 5)
1
x x
dxx dx
x
xdxx dx
x
dx xdx
xx
dx xdx
x x
e dx e x dx
x xdx dxx x
x xdx
x
− +
−+
−−
−−−
−
+−
−
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫2
2
3 2
2 2
2 2
4 2
2 4 2
3 4 2
4
5 58).
( 2 3)( 4)
3 1 3 22) .6) .
2 ( 1)
(5 13)3) . 7) .
2 3 4 ( 1)( 6 13)
(2 3) 2 8 8 24) . 8) .
3 2 8 4
20.1) tg 4 . 4) sin cos .
(3 tg 1)2) sin . 5)
x dx
x x x
x x xdx dx
x x x
dx x dx
x x x x x
x dx x x xdx
x x x x
xdx x xdx
x dxxdx
+ −+ − −
+ + ++ +
+− + + + +
+ + − ++ − +
−
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ 2 2 .sin 4 cos
3) sin2 sin 3 . 6) .5 3 cos
x x
dxx xdx
x
+
+
∫
∫ ∫
2 2
2 2
2 3
4 6
5 4 23
2 3
2
2
7 2 921.1) . 5) .
1 4 2
2) . 6) .3 5 ( 1) 1
(4 )3) . 7) .
3
(1 )4) . 8) .
1 2
22.1) ln . 4) arctg( 5) .
2) ( )sin . 5) ( 2)sin .2
3) arccos . 6) ln(2
x xdx dx
x x x
dx dx
x x x x x
x dxdx
x xx
dx xdx
x x x
x xdx x dx
xx x xdx x dx
xdx
− −
− + −
− + − − −
−+
++ −
+
+ +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫ 1) .x dx−∫
23. Обчислити інтеграли: 0 0
8 2 6
12
9 42 2
4 2 47 2
4,5 ln 32
24 ln 2
1) ln(1 ) . 4) 2 sin cos .
2 162) . 5) .
5 4
3) . 6) .18 15
x
x x dx x xdx
x x xdx dx
x x x
x dx dx
ex x
π− −
−
− + −− +
+− −
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність: 0 22 2
3 2 60
1) . 2) .1 1 64
x x x dxdx
x x x−∞
− − + −∫ ∫
25. Обчислити площі фігур, обмежених
кривими: 2 21) 4 , 2 .
8( sin ),2)
8(1 cos ),
12 (0 16 , 12).
3) 2 cos , 3 cos .
x y x y y
x t t
y t
y x y
= − = −
= − = −= < < π ≥
ρ = ϕ ρ = ϕ
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими 2 28 , ,y x y x= − = навколо осі .Ox
27. Обчислити площу поверхні, утворе-
ної обертанням кривої 33cos ,x t= 33 siny t= навколо осі .Ox
52
Варіант 25
1. Побудувати графіки функцій:
( ) ( )
( )
2
1 11) sin 2 . 4) tg .2 4 3 6
2) 2arcsin( 2). 5) 3 .
1 13) arcctg .6) 2 lg( 3).2 2
x
y x y x
y x y
y x y x
+
π π= − = −
= − = −
= + = − +
2. Знайти:
а) алгебричну форму 713
22 ;
zz iz + +
б) тригонометричну форму 3;z
в), г) 81 2( )z z та ( )101
2;
zz
д), е) всі значення 31z та 4
2z , якщо:
1 2 38 8 , 3 , 5 6 .z i z i z i= − − = − = − +
3. Зобразити множину точок :z ∈ ℂ
3 2
1) 1 2 3, arg .4 2
2) 2 1 , Re 3.
3) 4 4 3 0.
z z
z i z z
z z z
π π< − < < <
− < + >
− + − =
Знайти границі (4—7):
3 3
5 57
3 2 6 83 3
2
2 25 0
2 5
22 0
1 5 ... (4 3) 4 14.1) lim .
1 2
2 22) lim .
2 2
3) lim ( ( 4) ( 1)).
3 6 45 cos5 cos5.1) lim . 6.1) lim .
2 3 35 4
4 12) lim . 2) lim .
tg23 10
3) lim
n
n
n
x x
x
x x
n n
n
n n
n n
n n n n
x x x x
x x x
x e
xx x
→∞
→∞
→∞
→ →
→− →
+ + + − + − +
+ − ++ − +
+ − −
− − −− −− −
+ −
( )
2 4 2 2
2 4 40
4 2
33
2 3
3 0
3
3 10
1
2 5 sin tg. 3) lim .
2 3
3 2 8 1 2 cos4) lim . 4) lim .
38 4 5
4 10 7 9 25) lim . 5) lim .
arctg2 72 3
27 lg 16) lim . 6) lim .
3 9 1
2 17) lim . 7)l
2 4
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
x x x x x
x x x
x x x
xx x
x x
x xx x
x x
x x x
x
x
→∞ →
π→−∞ →
→∞ →
→ →
−
→∞
− + −+ +
+ − −π −− +
− + −−−
− −− − −
−+
( )
sin2
ln(2 )1
2
im(2 ) .
1 2 ln cos28) lim . 8) lim .
3 ln cos 4
x
x
x
x
x x
x
x x
x x
π
−→
−
→∞ →π
−
−−
( )
2
0
12 tgln
0 0
tg7.1) lim . 3) lim .
arcsin ln(1 )
2) lim ctg2 . 4) lim .
n x
x x
xx
x x
x xx e
x x
x x
−→ →∞
→ →
−− +
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу ( )xα відносно ( ) :xβ 3
2
5
5
1) ( ) cos 4 , ( ) arcsin , 0.
1 2 12) ( ) , ( ) sin , .
3) ( ) ln(1 sin ), ( ) tg ; 0.
xx e x x x x
x xx x xxx
x x x x x x
α = − β = →
+ +α = β = → ∞
α = + β = →
9. Дослідити функцію на неперервність:
21
2
1) ( ) 4 .
0, 1,
2) ( ) 1, 1 2,
2 , 2.
x
xf x
x
f x x x
x x
−=
≤ −= − − < ≤ ≥
43) ( )
3
xf x
x
−=
+ у точках 1 23, 2.x x= − =
Знайти похідні функцій (10—13): 2
5 43 4
25
2
22
3 42
5 cos
53cos( 4)
5 1 510.1) .
1 cos2) 4 sin ln .2 lg( 2 1)
arccos 33) lg( 3)arcsin 5 .sh 2
3 log (2 9)4) tg arcctg 3 .
( 7)
5) cth 4 arccos2 (arccos ) .
3( 7)6) (ch 3 )
( 1)(
x
x
x
x xy xe x
xy xx x
xy x xx
xy x x
x
y x x x
x xy x
x x
+
− += − +
= + −− +
= − +
+= ⋅ −
−
= ⋅ +
− += −
+ 2 .4)−
211.1) sin 5. 2) 1 .xyy xy y e= + = +
23
3 2
ch ,? ,12. : 1) 2)
? ln(1 ). sh .
tx
txx
x ty x e
y y e y t
− ′ == = ′′ = = + =
2 3 2 (5)
( )
13.1) ( 3 1) , ?
2) lg(2 7), ?
x
n
y x x e y
y x y
+= + + =
= + =
14. Скласти рівняння дотичної та норма-
лі до кривої в заданій точці: 2
02
3 20
1 31) , 1.
3
2) 1, 1, 1.
xy x
x
x t y t t t
+= =
+= + = + + =
53
03) 3 cos , 4 sin , , (3;0;1).tx t y t z e M= = =
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції 3 216 36 24 9.y x x x= − + − 4 3
max2min
[ , ]
1) 3 16 2,[ 3;1].
16. ( ) ?82) 2 ,[ 2;1].22
a b
y x x
f xx
y xx
= − + −=
= − + −−
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік:
( )
2 23 3
2 3
42
24 2
2( 2) cos sin
1) 9 ( 1) 6 . 5) ( 3) .
3 102) . 6) .14 1
3) ( 1) . 7)2
4) (2 3) . 8) .
x
x x x
y x x y x x
x xy yxx
xy x e yx
y x e y e
+
+ −
= + − = −
−= =−−
= − = − +
= − + =
Знайти інтеграли (18—22):
42
42
arctg
2 2
4 5 3
2
2 4 25
2
18.1) . 7) cos(3 7) .7 3
32) 2 5 . 8) .
9 2
3) . 9) .( 3)ln ( 3)9 8
4) . 10) .3 4 1
5) . 11) cos 2 sin2 .
arcsin 56) . 12) .
sin ctg 1 25
5 2 (19.1) . 5)
9
x
x
dxx dx
x
xdxxdx
x
dx dx
x xx
dx edx
x x
e dx x xdx
dx xdx
x x x
x xdx
x
−
−−
−+
+ +−
+ +
−
++
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫3
2
2
3 2
2
2 3
3 2
2 4
4 3 8
42
12 13).
( 5 6)( 1)
( 5)2) . 6) .
2 1
4 103) .7) .
5 10 25 8
( 3) 44) . 8) .
4 2 6 1
20.1) tg . 4) sin cos .4
2) cos . 5) .5 3 sin
3) sin2 cos 3
x dx
x x x
x x x dxdxx x x x
dx x xdx
x x x
x dx x x xdx
x x xxdx x xdx
dxxdx
x
x xdx
− +− + +
+ +− − − +
+ +− + +− − ++ − −
+
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
. 6) .4 sin 6 cos
dx
x x−∫ ∫
2 2
2 2
32 3
5 4 34
52 2
2 2
2
2
1 3 2 721.1) . 5) .
1 5 4
2) . 6) .1 1
3) . 7) .1(4 )
(1 )4) . 8) .
2
22.1) ln . 4) arctg .
2) ( )cos . 5) sin .5
3) ( 3) . 6) ln(2 3) .x
x xdx dx
x x x
dx dx
x x x x x
dx xdx
xx
dx xdx
x x x x
x xdx x xdx
xx x xdx x dx
x e dx x dx
+ +
+ + −
− − − −
−+
+−
+
− +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
23. Обчислити інтеграли:
3
2
1
8 8
02
76 3
3 23 2
4 0
1
2 20
1) arcsin . 4) 2 cos .2 2
2) . 5) 7 .6 16 16
ln3) . 6) .
4 5 (1 ln )
e
e
x dxxdx
x
xdxx x dx
x x x
dx xdx
x x x x
π
π−
+− + −
+ + −
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність: 1
2 9102
1) . 2) .1 22 2 1
dx dx
xx x
∞
−− +∫ ∫
25. Обчислити площі фігур, які обмежені
кривими:
3
3
11) , 0, 1.
1 ln
24 cos ,2) 9 3 ( 9 3).
2 sin ,
3) cos sin .
x x yy y
x tx x
y t
= = =+
= = ≥ =ρ = ϕ + ϕ
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими 2 3( 4) , 0,y x x= + = навколо осі .Ox
27. Обчислити площу поверхні, утворе-
ної обертанням кривої 2cos ,x t=
3 2 siny t= + навколо осі .Ox
54
Варіант 26
1. Побудувати графіки функцій:
( ) ( )1
11) 3cos 3 . 4) ctg .3 4 4
2) 3arccos( 3). 5) 4 .
3) 2arctg( 3). 6) lg(6 2 ).
x
y x y x
y x y
y x y x
−
4π π= + = +
= − =
= − + = − −
2. Знайти:
а) алгебричну форму 513
22 ;
zz iz + −
б) тригонометричну форму 3;z
в), г) 81 2( )z z та ( )101
2;
zz
д), е) всі значення 31z та 4
2z , якщо:
1 2 32 2 , 2 2 3 , 6 7 .z i z i z i= − = + = − −
3. Зобразити множину точок :z ∈ ℂ
3 2
1) 2 2 4, arg .3
2) 2 1 , Im 1.
3) 6 18 27 0.
z z
z i z z
z z z
π< + < < < π
+ > − >
+ + + =
Знайти границі (4—7):
3 6 4
3 6
23
2
20 0
2
23 0
4
1 2 3 ...4.1) lim .
2 2
71 64 92) lim .
( ) 11
3) lim ( ( 1)( 2)).
3 sin 5 sin5.1) lim . 6.1) lim .
arcsin4 5 1
4 7 15 ln(1 4 )2) lim .2) lim .
sin26 27
33) lim
n
n
n
x x
x x
x
n
n n
n n n
n n n
n n n n n
x x x x
xx x
x x x
xx x
x
→∞
→∞
→∞
→ →
→− →
→∞
+ + + +
+ +
− +
− +
− + +
+ +− ++ − +− −
2
4 0
4 2
2 2
3 2
5 3 20
2 1
3 20 0
2 7 arcsin2. 3) lim .
ln( ) 13 3 5
3 2 4 arctg( 2 )4) lim . 4) lim .
sin 33 4 1
2 3 15) lim . 5) lim .
4 sin
1 3 1 3 36) lim . 6) lim .
ln(1 1 )
3 47) lim
x
x x
x x
x x
x
xx x
x
x x
e xx x
x x x x
xx x
x x e e
x x x x
x
x x x xe
x
→
→∞ →
−
→−∞ →
+
→ →
→∞
− −− −+ +
+ − −π− +
− + −+ +
+ − −+ + +
+( )( ) ( )
311
.0
173
3
1 tg cos2. 7) lim
3 5 1 tg cos5
4 3 sin8) lim . 8) lim .
5 sin 3
xx
x
xx
x x
x x
x x x
x x
x
+
→
−
→−∞ →
+ + +
++
2 5
0
11
12
ln27.1) lim . 3) lim .
ln tg
2) lim ln2 ln(2 1). 4) lim .
x
x x
x
xx
xe x
x
x x x
−→ →∞
+→∞→
−
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу ( )xα відносно ( ) :xβ
3 2
4
2
1) ( ) 1 1, ( ) sin , 0.
1 12) ( ) , ( ) tg , .1
3) ( ) ln cos2 , ( ) tg , 0.
x x x x x
x x xxx x
x x x x x
α = + − β = →
α = β = → ∞+ +
α = β = →
9. Дослідити функцію на неперервність: 3
1
2
1) ( ) 2 .
, 2,
2) ( ) 1 , 2 1,
1, 1.
xxf x
x x
f x x x
x x
− +=
≤ −= − − < ≤ − ≥
53) ( )
3
xf x
x
+=
− у точках 1 23, 4.x x= =
Знайти похідні функцій (10—13): 2
4 35 7
32 5 26
25
22
2 4
4 sh(2 3)
3tg( 5)
410.1) .(2 5)
log (3 7)2) (2 1) cos 2 .
tg 3
arcsin 33) tg arcctg 3 .th
lg( 2 )4) log ( 3) arccos .
( 8)
5) cth 3 arcsin 2 (ctg 7 ) .
10( 8)6) (ch2 )
( 1
x
x
x
ey xx x
xy x
x
xy x xx
x xy x x
x
y x x x
x xy x
x
−
+
+
= − +−
+= − − −
= ⋅ +
+= + ⋅ −
+
= ⋅ +
+ −= −
+ 2 5 .) ( 1)x −
3 311.1) 5 . 2) cos( ).x y xy y x y+ = = +
3
23
arctg ,1,?12. : 1) 2) 1? .1.
2
x
xx
x tx ty
y y ty t
=′ = −= ′′ = == − (5)
( )
13.1) (5 8) 2 , ?
2) ln(5 2 ), ?
x
n
y x y
y x y
−= − ⋅ =
= + =
14. Скласти рівняння дотичної та норма-
лі до кривої в заданій точці: 3
0
0
1) 14 15 2, 1.
2) 2 cos , sin , .3
y x x x
x t y t t
= − + =
π= = = −
55
03) cos , sin , , (1;0;1).t t tx e t y e t z e M− − −= = =
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції 2 31 (6 16).8
y x x= − −
5 4 3
maxmin[ , ] 2
1) 5 5 ,[ 1;2].16. ( ) ? 4 12) 8 , ;2 .
2a b
y x x x
f xy x
x
= − + −= = +
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік: 23 2
2
2
323
2
2( 1)3
6 6( 3) 2 21) . 5) .310 33
2 4 22) . 6) ln .2
323) ( 3) . 7) .
sin cos4) . 8) .
2( 1)2
x
x x xy yxx x
x xy y x xx
xy x x yx
x x ey yx
−
+ − += = ++ ++ += =−
−= + =
+= = −
−
Знайти інтеграли (18—22):
3
32
5
2
4
2
5 2
2 25
3 2
2
2
2
18. 1) . 7) sin(8 5) .5 2
52) 4 2 . 8) .
7 1
ln ( 8)3) . 9) .
84 3
4) . 10) sin 8 cos 8 .8 9
5) . 11) .cos tg
6) . 12) .1 25 arcsin 5
5 (9 3 )19.1) . 5)
7 (
x
x
dxx dx
x
xdxxdx
x
dx xdx
xx
dxx xdx
x
dxe dx
x x
dxe x dx
x x
x x x dxdx
x x
−
−−
−−−
−−
−
−− ++
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ 2
2 2
2
2
2 2
3 2
2 4 2
24
4
23
.2)( 1)
2 5 3 7 22) . 6) .
7 ( )( 1)
(4 7 5)3) . 7) .
2 6 7 ( 1)( 2 5)
( 2) 2 8 3 274) . 8) .
3 5 13 36
3cos20.1) tg ( 5) .4) .
sin
cos2) cos 4 . 5)
1 si
x x
x x xdx dx
x x x x
dx x x dx
x x x x x
x dx x x xdx
x x x x
xx dx dx
x
xxdx
+ − +
+ − +− − −
+ ++ + − + +
+ + − −− + + +
+
+
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ 2 .n
3) sin 5 cos . 6) .3 5 sin 3 cos
dxx
dxx xdx
x x+ +
∫
∫ ∫
2 2
2 2
2 3
4 3
2 3 4
3
2
2
4
3 2 3 421.1) . 5) .
8 2 6 1
2) . 6) .1 2 3
9 13) . 7) .
14) . 8) .
2
22.1) ln( 1) . 4) arctg .
2) ( 1) . 5) ( 4)cos .2
3) . 6) arccos .5
x
x
x xdx dx
x x x
dx dx
x x x x x
x xdx dx
x xx
x dx xdx
x xx
x x dx x xdx
xx e dx x dx
xxe dx dx−
− −
− − +
− − + −
+ −−+
−
+
+ +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
23. Обчислити інтеграли: 2
4 8
1 0
2 8 2
3 41 24
3
0 9
21 43
1) ln(3 2) . 4) 2 sin .
82) . 5) .
1
3) . 6) .12 6 9
x dx xdx
dx x
x x
dx xdx
xx x
π
−
+
−+
−− −
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність: 5 2
2 31 1
1) . 2) .( 1) 31( 1)
dx x dx
x x x
∞
+ −∫ ∫
25. Обчислити площі фігур, обмежених
кривими: 121) , 0, 2, 1.
3 cos ,2) 4 3 ( 4 3).
8 sin ,
3) 2 sin 4 .
xy x e y x x
x ty y
y t
−= = = =
= = ≥ =ρ = ϕ
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими 3, 0, 8,y x x y= = = навколо осі .Oy
27. Обчислити площу поверхні, утворе-
ної обертанням кривої 2 9cos2ρ = ϕ на-
вколо полярної осі.
56
Варіант 27
1. Побудувати графіки функцій:
( ) ( )( ) 2
11) 2 sin . 4) tg 2 .2 8 4
12) 3arcsin . 5) 5 .2
13) arcctg( 1). 6) 2 ln(2 5).2
x
y x y x
y x y
y x y x
−
π π= − − = −
= + =
= − = −
2. Знайти:
а) алгебричну форму 313
22 ;
zz iz + −
б) тригонометричну форму 3;z
в), г) 81 2( )z z та ( )101
2;
zz
д), е) всі значення 31z та 4
2z , якщо:
1 2 34 4 , 1 3 , 7 8 .z i z i z i= − + = − − = −
3. Зобразити множину точок :z ∈ ℂ
3 2
21) 2 2 3, arg .2 3
2) 2 , Re 2.
) 4 6 0.
z i z
z z i z
c z z z
π π< − < < <
− < − <
− − − =
Знайти границі (4—7):
( )
2
3 43 3
3 23 3
2
2 252
2
2 36 3
(2 )! (2 1)!4.1) lim .
(2 1)! (2 )!
6 52) lim .
3 1
3) lim ( ( 1)).
2 35 1 sin5.1) lim . 6.1) lim .
2 11 52
2 11 6 sin( 3)2) lim . 2) lim .
3 20 12 27
3) lim
n
n
n
x x
x x
x
n n n
n n n
n n
n n
n n n n
x x x
x x x
x x x
x x x
→∞
→∞
→∞
π→− →
→ →
→
− +− +
+ − −
+ + +
− −
− − −+ + π −
− − −− + −
( )
2 2
2 5
5 0
3 2
2 1
7 5
5 7
34 0
1 2
4 5 3 tg sin. 3) lim .
(1 cos2 )6 8
7 2 4 14) lim . 4)lim
sin2 5
2 13 15) lim . 5) lim .
tg ln3 4
20 4 3 26) lim . 6) lim .
2 tg64
1 27) lim . 7)
3 2
x
x x
x a
x x a
x x
x x
x
x
x x x x
x xx x
x x x
xx x
x axx x x a
x
x xx
x
x
∞ →
→−∞ →
−
→∞ →
−
→− →
−
→∞
− − −−+ +
− + −π+ −
− −− −
+ − −−+
++
( )2
20
ctg3
0
cos 1lim .
sin 2
3 1 1 38) lim . 8) lim .
2 5 1 7
x
xx x
xx x
x
x
x x
x x
→
→−∞ →
−
− + + +
( )
2
71
45 2 ln
1 03
1 ln( 7)7.1)lim . 3) lim .
ln 1 33 1
2) lim . 4) lim .3 1 ln 3
x
x x
x
xx
x x
x x x
xx x
→ →+∞
+→→
− ++ − −
−−
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу ( )xα відносно ( ) :xβ 5 3
2
8
1) ( ) cos , ( ) sin , 0.
2) ( ) ln(2 2 3), ( ) 2,
2.
3) ( ) ln( 1), ( ) sin , 0.
xx e x x x x
x x x x x
x
x x x x x
α = − β = →
α = − − β = −
→
α = + β = →
9. Дослідити функцію на неперервність:
sin21) ( ) .
sin , 0,
2) ( ) , 0 2,
0, 2.
xf x
x
x x
f x x x
x
=
<= ≤ ≤ >
113) ( ) 3 xf x −= у точках 1 21, 2.x x= =
Знайти похідні функцій (10—13): cos 3 3 5
5 4
353 7
23 3
3
23
2
5 arctg( 2)
3 35sin(3 2)
2
210.1) .(2 4)
ln2) 4 tg cos2 .ctg( 3)
arctg 53) tg 2 arccos2 .
cth
3 ln( 5)4) 2 arctg 4 .
( 7)
5) th 3 arcctg (sh 5 ) .
( 2) ( 1)6) (th7 )
( 1) (
x
x
x
x
ey xx x
xy xx
xy x x
x
xy x
x
y x x x
x xy x
x
−
+
+
= − −+
= + −−
= ⋅ +
+= −
−
= ⋅ +
− −= −
+ 4.
3)x +
3 3311.1) . 2) arcsin .xyy e x y xy= + =
2? 2( sin ), ln ,12. : 1) 2)
4(2 cos ). ln .?
x
xx
y x t t x t
y t y t ty
′ = = − = ′′ = + = += 2 (5)
( )
13.1) ln( 1), ?
2) , ?1
n
y x x y
xy y
x
= − =
= =+
14. Скласти рівняння дотичної та норма-
лі до кривої у заданій точці: 4
01) 3 , 1.y x x x= − =
57
20
0
2) 2 tg , 2 sin sin2 , .4
3) 3 cos , 3 sin , 5 , ( 3;0;5 ).
x t y t t t
x t y t z t M
π= = + =
= = = − π
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції 2 21 ( 2) ( 6) .16
y x x= − − −
maxmin 23[ , ]
1) (3 ) ,[0;5].16. ( ) ?
2) ( 2) ( 4),[ 4;2].
x
a b
y x e
f xy x x
−= −=
= + − −
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік: 2 23
2
3 22
2
22 23 3
2
11) 8 6 12 ( 2) . 5) .
2 2 9 32) . 6) ln .2 3
4( 1)3) ( 2) ( 3) .7) .
2 454) ln(cos sin ). 8) ln 2.
y x x y xx
x x xy y x xx
xy x x y
x x
xy x x y x
= − − − = +
+ − −= = −−
+= + − + =
+ +−= − = +
Знайти інтеграли (18—22):
5
2
3
2
67 3
2
5
2
84 1
2
2
2
18.1) . 7) cos(8 4) .2 7
32) 3 4 . 8) .
9 5
ln ( 6)3) . 9) .
68 9
tg 24) . 10) .
cos 2
5) . 11) sin 4 cos 4 .5 4
arctg 36) . 12) .
1 9
3 7 (3 13 319.1) . 5)
1
x
x
dxx dx
x
xdxxdx
x
dx xdx
xx
xe dx dx
x
dxx xdx
x
xx e dx dx
x
x x xdx
x
+
− −
−+
−+
++−
−
+− − −+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ 2
2 3 2
3 2
2
2 3
3 2
2 4 2
53 5 3
22
8).
( 5 4)( 3)
2 3 2 3 22) . 6) .
1
3 2 13) . 7) .
6 8 1
(3 2) 5 21 94) . 8) .
5 7 10 9
20.1) tg 3 . 4) sin cos .
2) cos 7 . 5) .sin sin2 1
3) sin
dx
x x x
x x x xdx dx
x x x
dx x xdx
x x x
x dx x x xdx
x x x x
xdx x xdx
dxxdx
x x
− + +
+ + + +− +
+ +− + −− − + −
+ + + +
− +
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
cos 4 . 6) .cos 3 sin
dxx xdx
x x−∫ ∫
2 2
2 2
42 3
23 4
12 5
2
2
2
5 2 521.1) . 5) .
8 4 3 9 4
2) . 6) .4 3 ( 1) 2
3) . 7) .1(9 )
1 (1 )4) . 8) .
2
22.1) sin(ln ) . 4) cos .3
2) ( 1) . 5) ( 1)sin .3
3) ( 1) . 6) ar
x
x
x xdx dx
x x x
dx dx
x x x x x
dx xdx
xx
x xdx dx
x x x xx
x dx x dx
xx e dx x dx
x e dx
−
− +
− + −
− − + + −
++
− +−
− +
+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ctg .4
xdx∫
23. Обчислити інтеграли:
23
4 2
3 2 6 2
0 0
3 25
6 4 5 21 2
262 35
20 7
1) 9 . 4) sin cos .
12) 5) .
1
3) cos . 6) .( 1)
x x dx x xdx
x dxdx
x x x x
xxdx dx
x
π
π
+
++ −
+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність: 32
2 22 1
1) . 2) .(ln 1) 3 2
e
dx dx
x x x x
∞
− − −∫ ∫
25. Обчислити площі фігур, обмежених
кривими: 2 21) 16 , 0 (0 4).
2( sin ),2)
2(1 cos ),
2 (0 4 , 2).
3) 2 cos6 .
y x x y x
x t t
y t
y x y
= − = ≤ ≤
= − = −= < < π ≥
ρ = ϕ
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривою 3 3cos , sin ,x t y t= = навколо осі .Ox
27. Обчислити площу поверхні, утворе-
ної обертанням кривої 3 2,
3y x x= = ±
навколо осі .Ox
58
Варіант 28
1. Побудувати графіки функцій:
( ) ( )
( )
11) 2 cos 2 . 4) ctg .4 3 4
11 12) arccos( 2). 5) .2 3
3) 2arctg( 2). 6) lg(2 4).
y x y x
xy x y
y x y x
π π= + = −
+= − =
= + = − +
2. Знайти:
а) алгебричну форму 313
22 ;
zz iz + +
б) тригонометричну форму 3;z
в), г) 81 2( )z z та ( )101
2;
zz
д), е) всі значення 31z та 4
2z , якщо:
1 2 35 5 , 2 3 2 , 8 9 .z i z i z i= − − = − = +
3. Зобразити множину точок :z ∈ ℂ
3 2
1) 1 2 3,0 arg .4
2) 2 , Im 3.
3) 5 12 18 0.
z i z
z z i z
z z z
π< + < < <
+ > + <
− + − =
Знайти границі (4—7):
( )
8
8 8
2
282
2
2 26 5
3 2
! ( 2)!4.1) lim .
( 1)! ( 2)!
6 62) lim .
6 6
3) lim 2( 3 4).
2 15 85.1) lim .6.1) lim tg .
23 25 8
2 24 tg( 5)2) lim . 2) lim .
2 15 18 25
5 7 33) lim
2 2
n
n
n
x x
x x
x
n n
n n
n n
n n
n n n
x xx x
x x
x x x
x x x
x x
x
→∞
→∞
→∞
π→− →
→− →−
→∞
+ +− + +
+ − −+ + −
+ + − −
+ − π −+ +
+ − ++ + −− +
+
( )
2
2
3 20
3 2
2 1
2 3 3
3 2 2 sin
2 2
1 0
2
0
ln( 1). 3) lim .
1 1
cos4 5 3 24) lim . 4)lim .13 10
2 3 1 ( )sin 35) lim . 5) lim .
2 5 1
3 36)lim . 6) lim .
sin2 sin8 3
37) lim . 7) lim(1
3 2
x
x x
xx x
x x
x x
x
x x
x
x xx
x x x
xx x
x x x x
x x e
x e e
x xx
x
x
→
→∞ →
→−∞ →π
→ →
−
→∞ →
+− − +
π+ −
−+ −− + − π
+ + −− −
−+ −
+
( )
21
2 ln(1 3 )
5 18 sinctg
2
tg ) .
18) lim . 8) lim(sin ) .
2 10
x
x xx
x x
x
xx
x
+
π→∞ →
+
−−
( )2
sin 2
0 0
1ln
0
tg2 27.1) lim . 3) lim .
sin
2) lim(arcsin )ctg . 4) lim 4 .
x
x x
x x
x x
x xx
x x
x x x x
→ →+
→ →∞
−−
− −
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу ( )xα відносно ( ) :xβ
4 4
2
3 3
1) ( ) 1 1, ( ) arcsin2 , 0.
2) ( ) sin( 9 3), ( ) tg , .
3) ( ) cos cos , ( ) ln(1 ),
0.
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x
α = + − β = →
α = + − β = → ∞
α = − β = +
→
9. Дослідити функцію на неперервність: 1
1) ( ) .
1, 0,
2) ( ) 2 , 0 2,
3, 2.
x
x
f x e
x
f x x
x x
−=
≤= < ≤ + ≥
43) ( )
5
xf x
x=
+ у точках 1 25, 4.x x= − =
Знайти похідні функцій (10—13): sin 5
33 2
47 3
2tg 5
3 22
4 4 th(3 1)
3 54cos(3 4)
210.1) .(3 2)
tg 52) 3 sin tg2 .
ln( 7)
arctg 53) 2 arctg 3 .
th( 3)
4 log (3 5)4) arcsin 4 ctg 3 .
( 2)
5) sh 3 arccos 4 (arctg ) .
( 1) ( 2)6) (ch2 )
(
x
x
x
x
ey xx x
xy x
x
xy x
x
xy x x
x
y x x x
x xy x
x
+
+
= + −−
= + ++
= −+
−= ⋅ +
−
= ⋅ −
+ −= +
2 3.
3) ( 1)x− −
211.1) sin . 2) tg( ).x y
y y x yx y
−= = ++
? , sin cos ,12. : 1) 2)
cos sin .? .
tx
txx
y x e x t t t
y t t ty y te−
′ = = = − = +′′ = = 2 (5)
( )3
13.1) (2 3), ?
2) log (2 1), ?
x
n
y e x y
y x y
−= − =
= − =
14. Скласти рівняння дотичної та норма-
лі до кривої в заданій точці: 3
0
3 20
3 21) , 1.
3
2) 1, , 2.
x xy x
x t y t t
−= =
= + = = −
59
03) cos , sin , , (0;0;0).x t t y t t z t M= = =
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції 3 216 12 4.y x x= − − 2
maxmin 2[ , ]
1) ln( 2 2),[0;3].16. ( ) ?
162) 4 ,[ 1;2].2
a b
y x x
f xy x x
x
= − +=
= + + −+
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік: 23 2
2
4( 3)
2 23
3
6 6( 6) 3 101) . 5) .3 28 24
5 32) ( 4) . 6) .
3) ( 6) . 7) 2 ln .
3 24) sin . 8) .
x
x xy yxx x
xy x e y x
y x x y x x
xy x yx
− +
− −= − = −− ++= + =
= − = −
−= =
Знайти інтеграли (18—22):
2
52
52
32
2 3
5 2
2 2
2
2
18.1) . 7) sin(9 1) .2 9
2) 3 2 . 8) .1 3
3) . 9) .( 4)ln ( 4)4 7
24) . 10) .
5 3sin 4
5) . 11) .cos 43 4
ctg arccos 76) . 12) .
sin 1 49
4 (7 1719.1) . 5)
7 3
x
dxx dx
x
dxxdx
x
dx dx
x xx
xdxxe dx
x
dx xdxxx
x xdx dx
x x
x x xdx
x
−
−+
+−
− −+
−
−
−+ −+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ 2
4
2 3 2
2 3
5 3 2
2 4
3 4 5
32
).
( 2)( 2 3)
12) . 6) .
4
63) . 7) .
1 2 3 1
( 7) 2 24) . 8) .
4 3 1 1
20.1) tg 5 . 4) sin cos .
2) sin 4 . 5) .6 3 cos
3) cos 3 cos . 6) .4 4 sin 3 cos
dx
x x x
x dxdx
x x x
dx xdx
x x x
x dx x x xdx
x x x
xdx x xdx
dxxdx
x
dxx xdx
x x
− − −
−+ −
− − −− − −+ − −
−
− +
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
2 2
2 2
2
32
3 4 3
12 5
2 2
2
5
8 2 4 321.1) . 5) .
1 3 2 5
2) . 6) .5 1 3 2
( 3 1 1)3) . 7) .
3 1 3 19
14) . 8) .
6
22.1) sin . 4) arctg .
2) ( 4)sin . 5) ( 2)cos .4
3) . 6) ax
x xdx dx
x x x
dx dx
x x x x x
x dx x dx
x xx
x dx xdx
x x x
x xdx x xdx
xx xdx x dx
xe dx−
− +
− − +
+ + − ++ −
+ + +−+
+
− +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫ rcsin .7
xdx∫
23. Обчислити інтеграли: 0 2
2 4 4
1 0
3 33 24 2
2 22 0
56
5
21
2 3
1) ( 1) . 4) sin cos .4 4
22) . 5) 9 .
( 1)
3) cos . 6) .8 6 9
x x xx e dx dx
x xdx x x dx
x x
dxxdx
x x
π−
−
π
π
+
+ +−
−
+ −
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність: 4
2 32 41 0
101) . 2) .
3 (16 )(6 5 1)ln4
dx xdx
xx x
∞
−− +∫ ∫
25. Обчислити площі фігур, обмежених
кривими: 2
3
3
1) 4 , 0, 0, 1.
4 2 cos ,2) 2 ( 2).
2 sin ,
3) cos sin .
x y x y y
x tx x
y t
= − = = =
= = ≥ =ρ = ϕ − ϕ
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими 22 ,2 2 3 0,y x x y= + − = навколо осі .Ox
27. Обчислити площу поверхні, утворе-
ної обертанням дуги кривої 32cos ,x t=
32 siny t= навколо осі .Ox
60
Варіант 29
1. Побудувати графіки функцій:
( ) ( )2
1 3 11) sin 3 . 4) tg .2 4 2 8
2) 2arcsin( 3). 5) .
13) arcctg( 2). 6) ln(2 3).3
x
y x y x
y x y e
y x y x
−
π π= − = +
= + = −
= − = − −
2. Знайти:
а) алгебричну форму 813
22 ;
zz iz + +
б) тригонометричну форму 3;z
в), г) 81 2( )z z та ( )101
2;
zz
д), е) всі значення 31z та 4
2z , якщо:
1 2 36 6 , 3 3 , 9 8 .z i z i z i= − = + = − +
3. Зобразити множину точок :z ∈ ℂ
3 2
21) 2 3 4, arg .2 3
2) 3 2 , Re 1.
3) 5 2 78 0.
z z
z i z z
z z z
π π< − < < <
− < − >
− + + =
Знайти границі (4—7):
2
2 3
3 6
4 4
2
24 0
3
2 22 0
3
3 2 0
3 6 9 ... 34.1) lim .
4
12) lim .
2
3) lim ( 3 2).
3 2 40 75.1) lim . 6.1) lim .
sin sin 73 4
2 4 1 cos 82) lim . 2) lim .
11 18 2
t4 2 13) lim . 3) lim
2 3 2
n
n
n
x x
x x
x x
n
n
n n
n n
n n n
x x x
x xx x
x x x
x x x
x x
x x
→∞
→∞
→∞
→ →
→ →
→∞ →
+ + + ++
− +
+ −
+ − −
− −+− −
− − −− +
− ++ +
( )( )
( ) 2
2
4 1
3 2
2 20
3
2 202
3 2ctg
0
g 12 .
ln( 1)
2 10 11 3 104) lim .4)lim .
sin 33 2 5
815) lim . 5) lim .
3 4 2 tg
9 3 1 sin6) lim . 6) lim .
cos
7) lim . 7) lim(1 ln cos ) .1
38) lim
9
x x
x x
x x
x x
xx
x x
x
x
x
x x x
xx x
x e e
x x x x
x x
x x x
xx
x
x
x
→−∞ →
→∞ →
π→ →
−
→∞ →
→∞
π +
+
+ − − −π− +
− −+ + +
+ − −+
−−
+( ) ( )ln( 1)2ln(2 )
1
1. 8)lim .4
xxx
x x
+−
→−
( )
( )
2 cos2
12
tg
0
ln27.1) lim . 3) lim(1 ) ;
tg 5
22) lim ( 2arctg ) . 4) lim .
x
xx
x
x x
xx
x
x x x
π
π →→
→+∞ →
π−−
π −
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу ( )xα відносно ( ) :xβ 4 3 2
2 2
6
1) ( ) cos 4 , ( ) tg , 0.
2) ( ) 4 2, ( ) arcsin ,
0.
3) ( ) ln(1 sin tg ), ( ) , 0.
xx e x x x x
x x x x x
x
x x x x x x
α = − β = →
α = − + − β =
→
α = + ⋅ β = →
9. Дослідити функцію на неперервність:
2 3
2
11) ( ) .
3 4, 1,
2) ( ) 2, 1 2,
, 2.
xf x
x x
x x
f x x x
x x
−=
− + ≤ −= − − < < ≥
243) ( ) 6 xf x −= у точках 1 23, 4.x x= =
Знайти похідні функцій (10—13):
3
5 3 353
3 2 2
35
22
4
cos sin( 3)
5 26tg
4
log ( 4)410.1) .cos
2) 2 cos sin 3 3 7.
sh3) sin 3 arctg .arcctg5
2 ln(2 3)4) lg( 3)arcctg 5
( 7)
5) arcsin2 (cth ) .
( 1) ( 1)6) (ln(7 4))
( 2) (
x
x x
x
xy x
xx
y x e x x
xy x xx
xy x x
x
y e x x
x xy x
x x
− +
+= − −
= − + − −
= ⋅ −
+= + +
−
= −
− += + +
+ − 7.
5)
2211.1) sin . 2) .x yxy y y x= =
22
5
2
1 ,? 6 4,12. : 1) 2)
1? 3 . .1
x
xx
xy x tt
y y t yt
=′ = = − ′′ = = = +
(5)
( )
13.1) (5 1)ln2 , ?
12) , ?
1n
y x x y
xy y
x
= − =
+= =
−
14. Скласти рівняння дотичної та норма-
лі до кривої в заданій точці: 2
01) 3, 2.10
xy x= + =
61
0
20
2) sin , , 0.
3) 2 , ln , , (2;0;1).
tx t y a t
x t y t z t M
= = =
= = =
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції 2 31 (11 9 3 ).8
y x x x= + − −
4
maxmin[ , ] 2
1) 108 ,[ 1;4].16. ( ) ? 4 12) 8 , 2; .
2a b
y x x
f xy x
x
= − −= = − − −
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік: 23
2 2
2 12
2 3
2
2 cos 23
3 6( 1) 4 21) . 5) .2( 2 9) 1
4 132) . 6) .4 3
6 93) . 7) .3( 1)
4) . 8) ( 6) .
x
x
x
x xy yx x x
x xy y ex
x x ey yxx
y e y x x
+ −
−
− −= =+ + −
−= =+− += = −−
= = +
Знайти інтеграли (18—22):
2
634
2 3 4
25
2 2
35
22
8 1 2 1
4
2
18.1) . 7) cos(10 3) .7 3
ln ( 9)2) (3 5 ) . 8) .
9
2 sin23) . 9) .
4 3 cos 2
ctg4) . 10) .
3 2 sin
arctg5) . 11) .
14 5
6) . 12) .
3 7 6 319.1) . 5)
4
x x
dxx dx
x
xx dx dx
x
dx xdx
x x
xdx xdx
x x
dx xdx
xx
e dx xe dx
x xdx
x
+ − −
−−
++
+
+
−
++
+ −+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫2
2
2 2
3 2
2
2 2
3 2
2 4 2
2 4 2
32
0 30.
( 1)( 2)
4 2 12) . 6) .
3 2
(5 17 36)3) . 7) .
2 3 6 ( 1)( 6 13)
(2 1) 14) . 8) .
5 2 10 5 4
720.1) tg . 4) sin 3 cos 3 .
4
2) sin 4 . 5)sin 3
xdx
x x
x xdx dx
x x x x
dx x x dx
x x x x x
x dx x x xdx
x x x x
xdx x xdx
dxxdx
x
+− +
+ +− − +
+ ++ + + + +
+ + + −+ + + +
+
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ 2 .cos
3) cos2 sin 3 . 6) .3 sin cos
x
dxx xdx
x x−
∫
∫ ∫
2 2
2 2
2
4 6
3 5
15 4
2
2
3
3 2 3 721.1) . 5) .
2 1 5 1
2) . 6) .3 ( 1) 2
163) . 7) .
4
14) . 8) .
3 6
22.1) ln( 5) . 4) arcctg .
2) ( )cos . 5) sin .5
3) . 6) arccos .x
x xdx dx
x x x
dx dx
x x x x x
x dxdx
x xx
dx xdx
x x x
x dx x xdx
xx x xdx x dx
xe dx xdx+
+ −
− − +
− − + − −
−−
++ −
+
+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
23. Обчислити інтеграли:
42 4 2 6
0 0
5 33 2 3
3 2 23 0
3ln122
22 ln 5
1) tg . 4) 2 sin cos .2 2
2 42) . 5) .
( 2) 9
3) . 6) .44 3
x
x xx xdx dx
x x x dxdx
x x x
dx dx
ex x
π π
− +− +
+− −
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність: 14
2 31 0
1) . 2) .1 49 9 2
dx dx
xx x
∞
−− +∫ ∫
25. Обчислити площі фігур, обмежених
кривими: 2 21) ( 1) , 1.
2 2 cos ,2) 5 ( 5).
5 2 sin ,
3) 3 sin , 5 sin .
y x y x
x ty y
y t
= − = −
= = ≥ =ρ = ϕ ρ = ϕ
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими 2, 0,y x x y= − = навколо осі .Ox
27. Обчислити площу поверхні, утворе-
ної обертанням кривої cos ,x t=
2 siny t= + навколо осі .Ox
62
Варіант 30
1. Побудувати графіки функцій:
( ) ( )( ) 2
1 11) cos 2 . 4) ctg .2 3 3 12
12) 2arccos . 5) .2
3) 3arctg( 1). 6) lg(5 3 ).
x
y x y x
y x y e
y x y x
+
π π= − + = +
= − =
= + = −
2. Знайти:
а) алгебричну форму 513
22 ;
zz iz + −
б) тригонометричну форму 3;z
в), г) 81 2( )z z та ( )101
2;
zz
д), е) всі значення 31z та 4
2z , якщо:
1 2 37 7 , 3 , 8 7 .z i z i z i= + = − + = − −
3. Зобразити множину точок :z ∈ ℂ
3 2
1) 1 3 4, arg .3
2) 3 2 , Im 2.
3) 5 8 6 0.
z z
z i z z
z z z
π< + < < < π
+ > + >
+ + + =
Знайти границі (4—7):
3 3
5 54
3 3
2 3
2 23 0
3
24 0
7 29 2 54.1) lim ... .
10 100 10
1 12) lim .
1 1
3) lim ( 1)( 2)( 3 2).
2 5 3 cos cos5.1) lim . 6.1) lim .
3 10 3 5
64 ln(1 5 )2) lim . 2) lim .
sin 37 27 4
n n
nn
n
n
x x
x x
n n
n n
n n n n n
x x x x
x x x
x x
xx x
→∞
→∞
→∞
→− →
→ →
+ + + +
+ − ++ − +
+ + − − −
+ − −+ +
− +− −
2
2 30
3
2
3 3cos2
3 2
3 32 0
5 3 1 2( 1)3) lim . 3) lim .
3( 1 1)3 5
7 3 4 sin 54) lim . 4) lim .
tg 32 5 1
7 4 tg(3 3)5) lim . 5) lim .
3 5 1 3 1
4 1 3 2 36) lim . 6) lim .
8 arcsin
4 27) lim
1
x
x x
x x
x
xx x
x x
x x
x
x x e
xx x
x x x
xx x
x
x x
x
x x x
x
π
→∞ →
→∞ →π
π
→−∞ →π
→ →
→∞
− + −+ −+ −
+ −− +
+ −− + −
+ − −− +
−( )( ) ( ) 2
13
3
132 ln(1 tg )
0
log 1. 7) lim .
2 tg
58) lim . 8) lim 1 sin .
24 2
x
x
xx
x x
x
x x
x xx
+
→
+→−∞ →
−− π
+−
−
3
2
22
4
cos sin2
1 0
sec 2 tg7.1) lim . 3) lim .
1 cos 4
2)lim( 1) . 4) lim(ctg ) .
x
xx
x x
x x
x xx e
x
x x
−π →∞→
π
→ →
−+
−
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу ( )xα відносно ( ) :xβ
4 3
2
1) ( ) 1 1, ( ) arctg , 0.
2) ( ) ln( 7 11), ( ) 2,
2.
3) ( ) ln cos2 , ( ) arcsin , 0.
x x x x x
x x x x x
x
x x x x x
α = + − β = →
α = + + β = +
→ −
α = β = →
9. Дослідити функцію на неперервність:
2
2
11) ( ) .
1
2, 1,
2) ( ) 1, 1 1,
3, 1.
xf x
x
x x
f x x x
x x
−=
− + ≤ −= + − < ≤− + >
13) ( )
2
xf x
x
+=
− у точках 1 22, 3.x x= =
Знайти похідні функцій (10—13): tg
74 2
43 5 3
2
54 2
2 35 3
3 arccos2
2tg5
610.1) .4 7 5
tg 32) 5 sin cos2 .
lg( 4)
ch 33) cos 3 arcsin 3 .arctg( 2)
4 lg(3 7)4) log ( 1)arctg .
( 5)
5) th 5 arcctg(2 5) (sh 3 ) .
( 1)6) (lg(8 3))
x
x
x
ey xx x x
xy x
x x
xy x xx
xy x x
x
y x x x
xy x
−= − +
+ −
= − −− +
= ⋅ +++
= + −−
= ⋅ − +
+= + −
35
4 5
( 2).
( 1) ( 3)
x
x x
+− −
2 3 311.1) ctg ( ) 5 . 2) 15 .x y y x y xy+ = + =
arcsin ,? cos sin ,12. : 1) 2)
sin2 . ln .?
x
xx
x ty x t t
y t y ty
′ == = + = =′′ =
2 (5)
( )
13.1) ( 2 1)sin2 , ?
7 12) , ?
4 3n
y x x x y
xy y
x
= + − =
+= =
+
14. Скласти рівняння дотичної та норма-
лі до кривої в заданій точці: 2
0
2 31) , 4.
4
x xy x
− −= =
63
0
3 2 30
2) sin , cos2 , .6
3) 1, 3 , 2 1, (0;3;1).
x t y t t
x t y t z t M
π= = =
= − = = −
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції 2 21 ( 1) ( 3) .16
y x x= − + −
4 3
maxmin 23[ , ]
11) 6 7,[16;20].416. ( ) ?
2) ( 1) ( 2),[ 2; 5].a b
y x xf x
y x x
= − +=
= + − − −
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік: 23 2
2 2
3
3 2
2 2 23 3
3 6( 1) 81) . 5) .2( 2 9) 4
27 51 52) . 6) .4
3) ( 1) ( 2) .7) ln(4 ).
sin cos 64) . 8) ln .2
x xy yx x x
x x xy yx x
y x x y x
x x xy y x
− − −= =+ + −
− += =−
= + − + = −
+ += =
Знайти інтеграли (18—22):
2
23
2 4
7
22
4
2 2
4 7 4 5
2
2
18.1) . 7) sin(9 7).6 1
ln(3 5)2) ( 2) . 8) .
3 5
cos63) . 9) .
3 2 sin 6
2 tg 34) . 10) .
cos 34 3
7 arctg 85) . 11) .
7 1 1 64
6) . 12) .
5 (3 1719.1) . 5)
9 4
x x
dxx
x
xx dx dx
x
dx xdx
x x
dx xdxxx
xdx xdx
x x
e dx e xdx
x x x
x
− −
++
+−
+
−
−
+ +
− − ++
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ 2
3 3 2
2 3 2
2 2
2 2 2
35
3 4
22
2
2).
( 1)( 5 6)
2 3 2 5 12) . 6) .
2 1
(2 22)3) . 7) .
3 5 2 ( 2)( 2 10)
( 4) (2 3)4) . 8) .
5 1 ( 1) ( 4)
sin20.1) tg 4 . 4) .
cos
3 sin2) sin . 5)
4 3 sin co
dx
x x x
x x xdx dx
x x x
dx x dx
x x x x x
x dx x dx
x x x x
xxdx dx
x
x xdx
x
− + +
+ + −− +
++ + + − +− +− + − +
−
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ 2.
s
3) cos 7 cos 5 . 6) .2 3 cos sin
dxx
dxx xdx
x x− +
∫
∫ ∫
2 2
2 2
2
2 3
5 5
15 4
2 2
2 1 7 121.1) . 5) .
3 4 2 3
2) . 6) .4 1 1 3 2
16 ( 1 1)3) . 7) .
( 1 1) 1
14) . 8) .
2 8
222.1) ln . 4) ( 4) .
2
2) arctg2 . 5) ( 9)sin .2
3) cos( 2)
x
x xdx
x x x
dx dx
x x x x x
x x dxdx
x xx
dx xdx
x x x
xdx x e dxx
xx xdx x dx
x x dx
− −
− − −
+ + − −
− + −+ + +
++ −
−+
+
−
−
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫. 6) arccos .
3
xdx∫ ∫
23. Обчислити інтеграли. 1 0
8 8
02
13 2
44
0 0
6 1
22
0 1
1) arctg . 4) 2 cos .
2) . 5) sin .21
3) 6 . 6) .2 3
x xdx xdx
x dx xdx
x
dxx dx
x x
π−
π
−
−
−+ +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність: 12
2 23 0
1) . 2) .3 2 (2 1)
dx dx
x x x
∞
− + −∫ ∫
25. Обчислити площі фігур, обмежених
кривими:
( )21) cos , 0 0 .2
4( sin ),2)
4(1 cos ),
6 (0 3 , 6).
3) 2 sin , 4 sin .
y x x y x
x t t
y t
y x y
π= = ≤ ≤
= − = −= < < π ≥
ρ = ϕ ρ = ϕ
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими 2
2 , 2,2
xy x y= − + = навколо осі .Oy
27. Обчислити площу поверхні, утвореної
обертанням кривої cos , 4 sinx t y t= = +
навколо осі .Ox
64
Додаткові задачі 1. Описати множини , , \ ,A B A B A B∪ ∩
\ ,B A A B△ переліком всіх елементів якщо:
1) {1,2, 3,4}, {2, 3, 4}.
2) {4,5,6}, {5,6,7}.
3) ( 2,3], [2,4).
A B
A B
A B
= =
= =
= − =
2. Вважаючи [0,2]U = універсальною
множиною, знайти і зобразити ,A якщо :A
( )11) {0,1,2}. 2) ,1 . 3) (0,1].2
3. Знайтиmax ,min , sup , infX X X X , якщо:
{ }11) , . 2) [0,1).
5nX n X= ∈ =N
4. Знайти множину точок :z ∈ C
3
4 4
1) 1 Re . 4) 2 Im .
12) arg( 2 ) .5) Im 0.
11 1
3) Re 0. 6) arg 0.1 1
z z z z
zz i
z
z z
z z
π π
− = > +
−≤ + − ≤ =
+− −
= =+ +
5. Довести, що:
21) (2 3 1) 6.
1 12) 1 ... 2 .
23) (1 ) 1 , 1.n
n n n
n nn
x nx x
− +
< + + + <
+ ≥ + > −
⋮
6. Довести, користуючись означенням, що: 2
3
2
1
3 2 3 2 5 31) lim . 3) lim 7.
2 1 2 3
4 1 5 4 12) lim 2. 4)lim 6.
2 1 1
n x
n x
n x x
n x
n x x
n x
→∞ →−
→∞ →
− + −= = −
− +− − −
= =+ −
7. Знайти границі.
( )2 2 2
2
1 4 3 21) lim ... .
1 1 1 1 3 22) lim ... .
2 3 4 9 6
( 2)! ( 1)!3) lim .
( 1)! !
(2 )! (2 1)!4) lim .
(2 2)! (2 1)!
n
n n
nn
n
n
n
n n n
n n n
n n
n n n
n n n
→∞
→∞
→∞
→∞
−+ + +
+ + + + + + + − +
+ ++ −
− − −
8. При яких значеннях α і β функція ( )f x
буде нескінченно малою при 0 :x → +
1 ln(1 )1) ( ) sin . 3) ( ) .
12) ( ) arctg . 4) ( ) (1 ) .x
xf x x f x
x x
f x x f x xx
β
αα
β β
α αβ
+= =
= = −
9. Визначити порядок нескінченно великої: 2 3
5
2
4
2
1) ( ) ctg , 0.
2) ( ) , .1 2
3) ( ) 1, .
ln4) ( ) , 1.
( 1)
f x x x
xf x x
x x
f x x x x
xf x x
x
= →
= → ∞+ +
= + + → ∞
= →−
10. Які з пар функцій є функціями одного
порядку:
3
3 2 3
2
2
2
1) ( ) 1, ( ) ;
1, .
12) ( ) 1 , ( ) ; .
arctg) ( ) , ( ) 1, ;
11
4) ( ) cos , ( ) , 0?
f x x x x g x x x
x x
f x x x g x xx
x xf x g x x
x x
f x x g x x xx
= − − + = −
→ → ∞
= + − = → ±∞
= = → ∞+ +
= = →
11. Визначити при яких значеннях α та
β функції ( )f x та ( )g x x β= α є еквівале-
нтними:
( )
4
3
2 5
1
1) ( ) 2 ; 0, .
2) ( ) 1 2 1 3 , 0.
3) ( ) 2 (cos 1) 2, 0.
4) ( ) 1 cos 1 cos .
x
x
f x x x x x
f x x x x
f x e x x x
f x
= + → + → +∞
= − − − →
= + − + − →
= − −
12. Знайти корені рівнянь на інтервалах з
точністю до 0,1 : 3
3
3 2
1) 3 1,(1;2).
2) 6 2 0,( 3; 2),(0;1),(2;3).
3) 3 3 0,( 1;0),(1;2),(2;3).
x x
x x
x x
− +
− + = − −
− + = −
13. Наближено обчислити:
31) arcsin 0,6. 2) arctg 0,95. 3) 26,19.
14. Перевірити теорему Ролля: 2
3 2
3 2
1) ( ) ( 1), [ 1;1], [0;1].
2) ( ) 5 6, [2;3].
3) ( ) 6 11 6, [1;3].
f x x x x x
f x x x x
f x x x x x
= − ∈ − ∈
= − + ∈
= − + − ∈
15. Перевірити теорему Лагранжа: 3 21) ( ) 3 1, [1;3].
2) ( ) arctg , [1; 3].
f x x x x x
f x x x
= − + + ∈
= ∈
65
16. Довести нерівності:
2
3
3
1) 1 , 0.
12) ln ,0 .
1 1 1
3) ln (1 ) , 0.1
2( 1)4) ln , 1.
1
5) ln(1 ) 2 arctg .
arctg6) ln(1 ), 0.
1
7) sin , 0.6
8) tg , 0; .23
xe x x
b a b b aa b
b a ax
x x x xx
xx x
x
x x x
xx x
x
xx x x
xx x x
> + ≠
− + −< < < <
+ + +
< + < >+
−>
++ ≤
< + >+
− < >
π + < ∈
17. Перевірити теорему Коші: 4 2
;6 3
1) ( ) , ( ) ,[ ; ], 0 .
2) ( ) sin , ( ) cos , .
f x x x x a b a b
f x x x x x π π
= ϕ = < <
= ϕ = ∈
18. Розвинути ( )f x за степенями ( ) :g x
3 2
4
1) ( ) 2 3 1, ( ) 1.
2) ( ) 2 3, ( ) 1.
f x x x x g x x
f x x x g x x
= + − + = +
= − + = −
19. Наближено обчислити з похибкою
меншою 310− : 431) 127. 2) 83. 3) sin 85 . 4)ln(1,3).°
20. Оцінити абсолютну похибку набли-
жених формул:
0
3 5
2 4 6
3
2 3 4
1) , [0;1].!
2) sin , 1.3! 5!
3) cos 1 , 0,5.2! 4 ! 6!
4) tg , 0,1.3
5) ln(1 ) , 0,1.2 3 4
n kx
k
xe x
k
x xx x x
x x xx x
xx x x
x x xx x x
=≈ ∈
≈ − + <
≈ − + − ≤
≈ + ≤
+ ≈ − + − ≤
∑
21. Дослідити функцію в околі заданих
точок: 2
0
2 3 20
2 20
1) 4 ( 2)ln( 1), 2.
2) 6 3 6 , 2.
3) sin ( 2) 4 4, 2.
x
y x x x x x
y e x x x x
y x x x x
−
= − − − − =
= − + − =
= + − − − =
22. Дослідити функцію на екстремум:
2
211) ( ) . 3) ( ) (2 ).
2) ( ) cos . 4) ( ) .x x
f x x f x x xx
f x e x f x xe−
= + = −
= =
23. Знайти найменше та найбільше зна-
чення функції:
2
31) 2 sin sin2 , 0; .2
92) 4 sin , [ ;2 ].
y x x
y x x xx
π = + π
= + + ∈ π π
24. Дослідити функцію на опуклість: 2
2
3
4 22
2 2
3 2
1) ( ) 1. 5) ( ) .
2) ( ) 6 2. 6) .1
3) ( ) ln . 7) ( ) .
4) ( ) 6 2 10.
x
x x
f x x f x e
xf x x x y
x
f x x x f x e
f x x x x
−
−
= + =
= − + =+
= =
= − + +
25. Знайти асимптоти графіка функції:
( )
2 2 3
2
1
1) 1. 3) ( ) .25 4 1
2) ( ) arctg . 4) ( ) 1 .x
x
x y xf x
x
f x x x f x x
− = =−
= = −
26. Побудувати графік функції:
( )
cos
arctg
1sin cos
2
1
1) cos 3 3 cos . 6) .
2) cos ln cos . 7) .
3) . 8) (1 ) .
arcsin4) ln(cos sin ). 9) .
1sin cos
5) arctg . 10) 1 .2
x
x
x x x
x
x
y x x y e
y x x y e
y e y x
xy x x y
x
x xy y
−
+
= + =
= − =
= = +
= + =−
+= = +
27. Обчислити інтеграли:
52 22 2
42 30 2
3
2 62 31 0
41) . 3) .
(5 )
2) . 4) .(1 )(1 )
dx xdx
xx
dx dx
xx
+∞
−
−
++
∫ ∫
∫ ∫
29. Дослідити інтеграли на збіжність: 17
3 30 0
5 4
30 0
1) . 3) .cos( 1)
sin2) . 4) .
ln
x
x dx dx
e xx x
dx xdx
x x
+∞
π
−+ +∫ ∫
∫ ∫