Organización Industrial. Gestión de Stocks en
contexto determinista
Joaquín Bautista Valhondo, Rocío Alfaro Pozo y Alberto Cano Pérez
D-03/2012
Publica: Universitat Politècnica de Catalunya www.upc.edu
Edita:
Cátedra Organización Industrial www.prothius.com
Departamento de Organización de Empresas
Universidad Politécnica de Cataluña
Universitat Politècnica de Catalunya UPC
IO-T-10
Gestión de Stocks en contexto determinista
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Contenido
§ Concepto de Stock. § Una clasificación de los stocks. § Costes asociados a la gestión de stocks. § Gestión de Stocks. Nomenclatura. § Gestión por punto de pedido. § Gestión por aprovisionamiento periódico. § Análisis ABC. § Modelo de Harris-Wilson. § Rebajas uniformes. § Múltiples artículos sujetos a una restricción. § Demanda no homogénea. Preliminares. § Demanda no homogénea. Heurística de Silver y Meal. § Demanda no homogénea. Procedimiento Wagner – Whitin.
IO-T-20
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Concepto de Stock
Un stock es una reserva no empleada que posee valor económico
Entrada Salida
De proveedor
De una etapa
De producción
Material
Obra en curso
Productos
Stock
A proceso productivo
A etapa siguiente
A cliente
IO-T-30
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Una clasificación de los stocks
§ Motivación: • Especulativos • De equilibrado
• De tránsito • Amortiguador • De anticipación • De desacoplamiento • De ciclo
§ Naturaleza: • Materia prima • Repuestos y suministros • Obra en curso • Productos semielaborados • Componentes • Productos acabados • Subproductos, residuos y
materiales de desecho • Envases y embalajes
IO-T-40
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§ Coste de Lanzamiento (cA) • Independiente de las unidades
adquiridas (cA) – um/lanz. - § Coste de adquisición unitario (cu)
• Puede depender de las unidades adquiridas (cu) – um/up -
§ Coste de posesión (ch) • Creación y mantenimiento de la
capacidad de almacenaje • Movimiento de artículos en stock • Variación del valor de los bienes
(obsolescencia, caducidad, robos,...) • Costes de seguridad • Cargas financieras del capital
inmovilizado • – um/(up·ut) -
Costes asociados a la gestión de stocks
§ Costes de insatisfacción de la demanda • Demanda insatisfecha diferida. Coste de
diferir (cb) - um/(up·ut) - • Demanda insatisfecha perdida. Coste de
rotura (cr) - um/(up·ut) -
§ Otros costes • Costes de información y control • Costes asociados a la variación de
capacidad • ...
IO-T-50
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Gestión de stocks. Nomenclatura
Nomenclatura básica: § Q Tamaño de lote o cantidad a pedir § Q* Tamaño óptimo de lote
§ Coste total de gestión del stock por unidad de tiempo (función de Q) § Coste óptimo total de gestión del stock por unidad de tiempo § d Tasa de demanda en unidades por unidad de tiempo § s, R Punto de pedido en unidades § L Plazo de entrega (lead time) § Is Nivel de stock de seguridad § I Nivel de stock § N Número de lanzamientos por unidad de tiempo § p Tasa de producción en unidades por unidad de tiempo § T Periodo: tiempo entre lanzamientos consecutivos
)(QC
)( ** QCC =
IO-T-60
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Gestión por punto de pedido
R
Q
L L L
T1 T2
Q Q
Punto de pedido
Política (R, Q)
IO-T-70
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Gestión por aprovisionamiento periódico
Q1 Q3
L L L
T
Q2
S
T
Política (T, S)
Cobertura
Otras políticas (s, S) IO-T-80
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Análisis ABC
A B
C
15 40 100
80
95 100
% V
alor
anu
al d
e ad
quisi
ción
Productos
IO-T-90
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Modelo de Harris-Wilson (1/6)
§ Hipótesis: • Tasa de demanda constante y homogénea en el tiempo, d (up/ut).
• Entrada instantánea del lote.
• Plazo de entrega constante, L.
• Coste de lanzamiento cA (um/lanz.) independiente del tamaño de lote.
• Coste unitario de adquisición, cu (um/up), constante e independiente del tamaño del lote.
• No se aceptan roturas.
• Coste de posesión ch (um/(up·ut)) [en muchas circunstancias ch = i· cu , donde i es una tasa de posesión].
IO-T-100
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§ Planteo y resolución:
Modelo de Harris-Wilson (2/6)
T = Q/d
Q
2)( Qcdc
QdcQC huA +⋅+=
=Q/2 I
Coste medio por unidad de tiempo (ut) = coste de lanzamiento por ut + coste de adquisición por ut +
coste de posesión por ut
A
h
h
A
hAu
h
A
ccd
QdN
cdcT
ccddcQCC
cdcQ
⋅⋅==
⋅⋅=
⋅⋅⋅+⋅==
⋅⋅=
2
2
2)(
2
**
*
**
*
IO-T-110
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§ Fórmula general sin posibilidad de diferir y sin roturas. Planteo: • Relajación de hipótesis:
• La entrada del lote en stock es progresiva con una la tasa de p up/ut, siendo p>d.
Modelo de Harris-Wilson (3/6)
Imax
t1 t2 t
Nivel
2/maxII =
p-d -d
T T
IO-T-120
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Modelo de Harris-Wilson (4/6)
§ Fórmula general sin posibilidad de diferir y sin roturas. Resolución:
A
h
h
A
hAu
h
A
huA
c
dpdc
TN
dpdc
cdQT
pdccddcQCC
pdc
dcQ
pdQcdc
QdcQC
⋅
⋅⎟⎠⎞⎜⎝
⎛ −⋅==
⋅⎟⎠⎞⎜⎝
⎛ −⋅
⋅==
⎟⎠⎞⎜⎝
⎛ −⋅⋅⋅⋅+⋅==
⎟⎠⎞⎜⎝
⎛ −⋅
⋅⋅=
−+⋅+=
2
11
1
2
12)(
1
2
)1(21)(
**
**
**
*
IO-T-130
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§ Fórmula general. Relajación de hipótesis: • Se puede diferir la entrega y la penalizamos con cb - um/up·ut -.
Modelo de Harris-Wilson (5/6)
t1 t2
t3 t4
T
t
Nivel
TttII max )(
221 +=
++
−maxI
+maxI
TIttI
⋅+=
−−
2)( max43
IO-T-140
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Modelo de Harris-Wilson (6/6)
§ Relaciones:
§ Coste medio por unidad de tiempo:
§ Razón de carencia o fallo:
§ Obtendremos que el óptimo es:
§ El modelo se reduce al modelo de Harris Wilson si:
⎟⎠⎞⎜⎝
⎛ −⋅⋅⋅⋅⋅+⋅=
⎟⎠⎞⎜⎝
⎛ −⋅−⋅⋅⋅=
⎟⎠⎞⎜⎝
⎛ −⋅⋅⋅⋅=
⎟⎠⎞⎜⎝
⎛ −⋅⋅⋅⋅=
−
+
pdccddcC
pd
ccdI
pd
ccdI
pdc
cdQ
hAu
b
Amax
h
Amax
h
A
12
1)1(2
12
1
12
*
*
*
*
φ
φ
φ
φ
! =1; p!"
Imax+ = (p ! d) " t1 = d " t2Imax! = d " t3 = (p ! d) " t4Q = d "T = p "(t1 + t4 )Q = d "(t1 + t2 + t3 + t4 ) = d "(t1 + t4 )+ Imax
+ + Imax!
Imax+ + Imax
! =Q " 1! d p( )
TttIC
TttIcdc
QdCIQC bhuA
)(2
)(2
),( 43max21maxmax
+⋅⋅++⋅⋅+⋅+⋅=−+
−
hb
b
ccc+
=φ
IO-T-150
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Coste de adquisición en función del lote (1/2)
§ Coste:
§ Optimizando:
§ Resolución por procedimiento iterativo:
• P1. Se supone Q[k]
• P2. Se determina
• P3. Se determina Q[k+1]
• P4. Si Si_no Se vuelve a P2
2)()( QcdQc
QdcQC huA +⋅+=
02
)(2 =+
∂∂+−=
∂∂ hu
Ac
Qcd
Qdc
QQC
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛∂∂⋅⋅+
⋅⋅=
Qcdc
dcQu
h
A
2
2*
02
2]0[
][
]1[ =ΔΔ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΔΔ⋅⋅+
⋅⋅=+
Qc
Qcdc
dcQ u
ku
h
Ak
][ku
Qc
ΔΔ
FINQQ kk →<− + ε]1[][
1+→kk
IO-T-160
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Coste de adquisición en función del lote (2/2)
§ Situación: Costes por tramo
§ Resolución: • Obtener los lotes óptimos por tramo:
• Evaluar los costes por tramo: • Retener el tramo k* tal que:
Tramo 1: de 0 a 1.000 10 u.m.
Tramo 2: de 1.001 a 5.000 9 u.m.
Tramo 3: de 5.001 a 10.000 8 u.m.
Tramo 4: desde 10.000 7 u.m.
a0=0 a1=1.000 a2=5.000 a3=10.000
10 u.m. 9 u.m. 8 u.m. 7 u.m.
kcidcQku
Ak tramoelen ,2ˆ
⋅⋅⋅=
kkkk
kkkk
kkkkk
aQaQSi
aQaQSi
noSiQQaQaSi
=→>
=→<
=→≤≤
−−
−
*1
*1
*1
ˆ
ˆ:_
ˆˆ
)}({ *min* kkk
QCC =
IO-T-170
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Múltiples artículos sujetos a una restricción (1/2)
§ Problema: disponemos de múltiples artículos sujetos a una restricción.
§ Resolución: • P1: Determinar
• P2: Determinar
a) Si b) Si
JjQ
RQQQQgas
Qcdc
Qd
cCC
j
Jj
J
j
J
j
jhju
j
jAj jjj
,...,10
),...,,...,,(:..
2min
21
1 1
=∀≥
≤
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⋅+== ∑ ∑
= =
Jjc
cdQ
j
j
h
Ajj ,...,1
2ˆ =∀
⋅⋅=
gQQg J ˆ)ˆ,...,ˆ( 1 =
JjQQRg jj ,...,1ˆˆ * =∀=⇒≤LagrangeAplicar ˆ ⇒> Rg
IO-T-180
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Múltiples artículos sujetos a una restricción (2/2)
§ Planteamiento Lagrange:
§ Resolución del sistema:
Sistema de n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas. Condicionado a
[ ]∑=
−+=J
jJj RQQgC
11 ),...,(min λL
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=∂∂
=∀=∂∂
0
,...,10
λL
L JjQj
JjQj ,...,10* =∀≥
IO-T-190
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Ejemplo: Modelo Harris-Wilson con restricciones en el valor de la cantidad inmovilizada media (1/2)
§ Problema: Modelo Harris Wilson sujeto a restricción
§ Hipótesis:
JjQ
cQc
as
Qcdc
Qd
cCC
j
J
jIju
J
j
J
j
jhju
j
jAj
j
jjj
,...,1021
:..
2min
1
1 1
=∀≥
≤⋅⋅
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⋅+==
∑
∑ ∑
=
= =
∑=
>⋅⋅
⋅⋅=
J
jIju
h
Ajj
cQc
c
cdQ
j
j
j
1
ˆ21
2ˆ
IO-T-200
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Ejemplo: Modelo Harris-Wilson con restricciones en el valor de la cantidad inmovilizada media (2/2)
§ Planteamos el nuevo problema:
§ Procedimiento:
§ Solución: resolver
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⋅⋅+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⋅+= ∑∑
==
J
jIju
J
j
jhju
j
jA cQc
Qcdc
Qd
cjjjj 11 2
12
min λL
0;,...,10 =∂∂=∀=
∂∂
λLL Jj
Qj
I
J
jI
uh
jAu
cg
ccc
dcc
jj
jj
=
=⋅+
⋅⋅⋅⋅ ∑
=
)(
2
21
*
1
λ
λλ*
cI
g(λ)
),...,( **1 JQQg
λ
IO-T-210
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Fabricación de varios tipos de piezas en una máquina (1/3)
§ Vocabulario: • J: conjunto de piezas • j: índice de pieza (1,..., |J|) • dj : Tasa de consumo para la pieza j. • pj : Tasa de producción para la pieza j. • sj : Tiempo de preparación (máquina) para un lote de la pieza j (setup).
§ Hipótesis: • No se admiten roturas.
§ Problemas: 1. Tiempos de ciclo independientes entre las piezas. 2. Tiempo de ciclo común para todas las piezas.
IO-T-220
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Fabricación de varios tipos de piezas en una máquina (2/3)
1. Tiempos de ciclo independientes entre las piezas:
∑∑== ⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅⋅+⋅+⋅==
J
j j
jjhju
j
jA
J
jj p
dQcdc
Qd
cCCjjj
111
2min
JjQCj
,...,10 =∀=∂∂
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −⋅⋅⋅⋅+⋅=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −⋅⋅
⋅==
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −⋅
⋅⋅=
j
jhAjjuj
j
jjh
A
j
jj
j
jh
jAj
pdccddcC
pddc
c
dQ
T
pdc
dcQ
jjj
j
j
j
j
12
1
2
1
2
*
**
*
IO-T-230
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Fabricación de varios tipos de piezas en una máquina (3/3)
2. Tiempo de ciclo común para todas las piezas:
∑ ∑
∑∑
= =
==
=≤⋅+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅
⋅⋅+⋅+==
J
j
J
j j
jj
J
j j
jjhju
AJ
jj
NTT
pd
sas
pdTd
cdcT
cCC
jjj
1 1
11
1:.
12
min
∑
∑
=
=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −⋅⋅
⋅= J
j j
jjh
J
jA
pddc
cT
j
j
1
1
1
2ˆ min
1
1
1T
pd
sT J
j j
j
J
jj
=−
≥∑
∑
=
=
{ }min* ,ˆmax TTT =
IO-T-240
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Demanda no homogénea. Preliminares
0 1 2 3 4
d1
H-1 H
d2
d3
d4
d5 dH
dH-1
H-2
Instante t-1
dt
dt+1
Período t
Instante t
Convenio para contabilizar
IO-T-250
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Demanda no homogénea. Heurística de Silver-Meal (1/4)
))1((1)(
))1((1)(
...
)2(31)3(
)(21)2(
)1(
1
1
32
2
ττ
ττ
τ
τ
dccH
HC
dcct
tC
dcdccC
dccC
cC
HhA
thA
hhA
hA
A
⋅−⋅+=
⋅−⋅+=
⋅⋅+⋅+=
⋅+=
=
∑
∑
=
=
)ˆ()1ˆ(:ˆ* tCtCt >+
P1.
P2. Determinar consecutivamente, para t-creciente, el valor de
P3. Parar en
P4.
Volver a P2.
)(tC
0=t
0;0ˆ =← tt
IO-T-260
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Demanda no homogénea. Heurística de Silver-Meal (2/4)
§ Ejemplo:
§ El periodo 4 pasa a ser el primer periodo
Periodo t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 dt 5 6 9 7 3 10 6 4 8 2
utupumcolanzamient
umc hA ⋅== 130
3ˆen parar 1875,18)7392630(41)4(
1818)92630(31)3(
3018)630(21)2(
30)1(
=>=⋅+⋅++=
≤=⋅++=
<=+=
=
tC
C
C
C
IO-T-270
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Demanda no homogénea. Heurística de Silver-Meal (3/4)
§ El periodo 6 pasa a ser el primer periodo.
§ El periodo 9 pasa a ser el primer periodo.
§ El último pedido se hace en el periodo 9.
5'ˆ;2ˆen parar 5,166,17)102330(31)3(
305,16)330(21)2(
30)1(
==>=⋅++=
<=+=
=
ttC
C
C
8''ˆ;3ˆen parar 6,1417)8342630(41)4(
186,14)42630(31)3(
3018)630(21)2(
30)1(
==>=⋅+⋅++=
<=⋅++=
<=+=
=
ttC
C
C
C
10'''ˆ;2ˆen parar 3016)230(21)2(
30)1(
==<=+=
=
ttC
C
IO-T-280
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Demanda no homogénea. Heurística de Silver-Meal (4/4)
§ Solución:
Periodo t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 dt 5 6 9 7 3 10 6 4 8 2 Q 20 - - 10 - 20 - - 10 -
163)230(36,1425,16318coste =++⋅+⋅+⋅=
163)230()8630()330()18630(coste =+++++++++=
IO-T-290
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Demanda no homogénea. Algoritmo de Wagner-Within (1/2)
§ Sean: fk = coste mínimo para cubrir la demanda hasta el periodo k (1≤ k ≤ H) fk,t = coste mínimo para cubrir la demanda hasta el periodo k (1≤ k ≤ H)
cuando el último pedido se ha realizado en el periodo t (1≤ t ≤ k)
§ En tales condiciones, se cumple:
(1) fk =min1!t!kfk,t{ }
(2) fk,t = ft"1 + cA + ch (dt+1 + 2 #dt+2 + ... + (k " t) #dk ) =
= ft"1 + cA + ch # ! #dt+!! =1
k"t
$
IO-T-300
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Demanda no homogénea. Algoritmo de Wagner-Within (2/2)
§ Ejemplo:
§ Soluciones:
Periodo t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 dt 5 6 9 7 3 10 6 4 8 2
k = t 30 60 66 84 103 109 137 145 153 177 k = t + 1 36 69 73 87 113 115 141 153 155* k = t + 2 54 83 79 107 125 123 157 157 k = t + 3 75 92 109 125 137 147 163 k = t + 4 87 133 141 155* k = t + 5 153
utupumc
olanzamientumc
h
A
⋅=
=
1
30
15510 =f
Periodo t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q (solución 1)
11 - 19 - - 20 - - 10 -
Q (solución 2) 11 - 19 - - 30 - - - -
IO-T-310
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Al oeste del Edén
Entonces el faraón mandó llamar a José, y lo sacaron inmediatamente de la cárcel. José se cortó el pelo, se cambió de ropa y se presentó ante el faraón. Y el faraón le dijo: - He tenido un sueño y no hay quien lo interprete; pero he sabido que tú, si oyes un sueño, lo puedes interpretar. - Eso no depende de mí –contestó José–; pero Dios dará a Su Majestad una contestación favorable. El faraón contó a José: - En mi sueño, yo estaba de pie a la orilla del río Nilo, y del río subieron siete vacas gordas y hermosas, que comían hierba entre los juncos. Detrás de ellas subieron otras siete vacas, muy feas y flacas. ¡Jamás había visto yo vacas tan feas en todo Egipto! Estas vacas flacas y feas devoraron a las primeras siete vacas gordas; pero, aun después de haberlas devorado, nadie habría podido advertirlo, porque seguían tan flacas como antes. “Me desperté, y después tuve otro sueño, en el que siete espigas de trigo, llenas y hermosas, crecían de un mismo tallo. Detrás de ellas crecían otras siete espigas, secas, delgadas y quemadas por el viento del este. Y estas espigas secas devoraron a las siete espigas hermosas. Yo he contado esto a los adivinos, pero ninguno de ellos ha podido explicarme su significado." Entonces José dijo al faraón: - Los dos sueños que tuvo Su Majestad son uno solo. Dios ha anunciado a Su Majestad lo que él va a hacer. Las siete vacas hermosas son siete años, lo mismo que las siete espigas hermosas. Es el mismo sueño. Las siete vacas flacas y feas que subieron detrás de las otras, también son siete años; lo mismo que las siete espigas secas y quemadas por el viento del este. Significan siete años de escasez. Es tal como yo he dicho: Dios ha anunciado a Su Majestad lo que él va a hacer. Van a venir siete años de mucha abundancia en todo Egipto, y después vendrán siete años de gran escasez. Nadie se acordará de la abundancia que hubo antes en Egipto, porque la escasez arruinará al país. Será tan grande la escasez, que no quedarán señales de la abundancia que antes hubo. Su Majestad tuvo el mismo sueño dos veces, porque Dios está decidido a hacer esto, y lo va a hacer muy pronto. “Por lo tanto, sería bueno que Su Majestad buscara un hombre inteligente y sabio que se hiciera cargo del país. Haga esto Su Majestad, y también nombre gobernadores que vayan por todo el país y recojan la quinta parte de todas las cosechas de Egipto, durante los siete años de abundancia. Que junten todo el trigo de los buenos años que vienen y lo pongan en un lugar, bajo el control de Su Majestad, y que lo guarden en las ciudades para alimentar a la gente. Así el trigo quedará preservado para el país, para que la gente no muera de hambre durante los siete años de escasez que habrá en Egipto."
Génesis 41, 14-36 [450 a.n.e]
IO-T-320