Polinomios y Teoría de ecuaciones278
Ejercicios resueltos
6 –10 – 4 –3 6 2
12 4 0 – 6
6 2 0 –3 0
Bajo la línea horizontal se obtienen los coefi cientes del cociente, cuyo grado es inferior en una unidad al grado del dividendo y el último número representa el resto de la división. En este caso es 0.
Así, el cociente es 6x3 + 2x2 – 3 y el resto es 0.
8. Efectuar la división entre los siguientes polinomios:
P(x) = 5x5 – 3x2 + 6x + 12 y Q(x) = x + 1
Solución:
Usaremos división sintética (ver explicaciones del ejercicio anterior).
Dividendo P(x) = 5x5 – 3x2 + 6x + 12
Divisor Q(x) = x + 1
Coefi cientes del dividendo
5 0 0 –3 6 12 –1 O
–5 5 –5 8 –14 5 –5 5 –8 14 –2
X coefi cientes del cociente resto
Luego cociente C (x) = 5x4 – 5x3 + 5x2 – 8x + 14y el resto R (x) = – 2
Observar que el resto es independiente de x pues su grado debe ser menor que el del divisor que en este caso es uno.
9. Determinar el resto que se produce al dividir
P(x) = x6 – 3x2 + 2x – 5 por x – 1
Solución:
Para hallar la solución basta con evaluar P(1). (Solución de la ecuación x – 1 = 0, divisor igual a cero).
P(1) = 16 – 3(1)2 + 2(1) – 5
= 1 – 3 + 2 – 5 = – 5
10. Sean P(x) = x3 – ax2 + x – b y Q(x) = x3 – 2x2 + ax + b dos polinomios. Determinar a y b para que P(x) + 2 sea divisible por
x – 1 y Q(x) – 3 sea divisible por x + 1.
Solución:
P(x) + 2 = x3 – ax2 + x – b + 2
Dividiendo P(x) + 2 por x – 1:
término independiente del divisor con signo contrario.
278-279. 20/11/02, 12:53 PM278
Polinomios y Teoría de ecuaciones 279
CAPÍTULO 5
Ejercicios
1 –a 1 –b + 2 1
1 1 – a 2 – a
1 1 – a 2 – a – a – b + 4
– a – b + 4 = 0 (1) El resto debe ser cero.
Q(x) – 3 = x3 – 2x2 + ax + b – 3
Dividiendo Q(x) – 3 por x + 1
1 –2 a b – 3 –1
–1 3 – a – 3
1 –3 a + 3 – a + b – 6
– a + b – 6 = 0 (2) El resto debe ser cero.
Resolviendo el sistema (1) y (2).a + b = + 4 fi a = – 1 y b = 5a – b = – 6
1. Dados los siguientes polinomios, determine su valor para el nú mero real indicado:
a) P(x) = 5x6 – 3x4 + 2x2 – 1 x = 2
b) P(x) = –x5 – 2x4 + x3 + x2 – 3x – 1 x = –1
c) P(x) = 4x4 – 3x + 4 x = 0
d) P(x) = 36x6 – 2x5 – x – 3 x = 1
2
e) P(x) = 2x4 – x3 + 3x2 – x + 2 x = 4
f) P(x) = x3 – x + 2 x = –3
g) P(x) = 3x3 + x2 + 5x x = –2
h) P(x) = 2x2 – x + 5 x = 5
i) P(x) = 1
2 x4 – x2 + 2
3x – 1 x = 2
j) P(x) = x5 – x4 – x3 + x2 + x – 1 x = 1
k) P(x) = x5 – x4 + x3 – x2 + x – 1 x = –1
l) P(x) = x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 x = 1
m) P(x) = x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 x = –1
278-279. 20/11/02, 12:53 PM279