Matemticas!
Conjuntos
Primera edicin
Versin beta
Noviembre de 2011
ii Conjuntos
Matemticas!
Conjuntos Primera edicin
Versin beta
Noviembre de 2011
Documento gratuito
www.nacho.unicauca.edu.co
Algunas pginas de este documento electrnico se han dejado en blanco
intencionalmente para efectos de impresin en papel.
En este documento casi no hay nada original. Quizs alguien note algn sutil rasgo de
originalidad en mi visin de algunos aspectos de las matemticas, o en la forma de
presentarlas.
Pero lo cierto es que prcticamente todo lo que aqu escrib lo tom de, o se basa en, libros,
apuntes, pginas de internet, etc. Quizs lo nico que finalmente logr fue efectuar una muy
mala reproduccin de cosas bien planteadas en otras fuentes. Mis disculpas y mi
reconocimiento a todos los autores de esas fuentes.
Por lo anterior, y por otras razones, de ninguna manera presentar este documento para
efectos de reconocimiento como productividad acadmica o produccin intelectual ante la universidad para la cual trabajo. En cambio, estar disponible como documento gratuito
para todo aquel que desee conocerlo o utilizarlo, o ambos.
Hacer las cosas de ese modo tiene su costo: No figurar en las bases de datos de mi
universidad como autor de nada, nunca ser Profesor Titular, y mi sueldo no se
incrementar como yo quisiera.
Pero, por otro lado, hacer las cosas de ese modo tiene su recompensa: No tengo que
presentar ningn proyecto de lo que quiero escribir y no estoy sometido a compromisos,
plazos ni informes. Ningn evaluador secreto recomendar acogerme al manual de autores
de algn medio de publicacin, ni escribir en estilo impersonal, ni modificar algn ttulo, ni
cambiar alguna palabra que considere inapropiada, ni utilizar el usual estilo acadmico,
muy elegante pero tambin muy acartonado. Tampoco tengo que aceptar las sugerencias de
ninguna editorial como, por ejemplo, utilizar fuentes de 10 puntos o menos para bajar costos
de impresin, o evitar el uso del color y procurar que las imgenes sean pequeas para
economizar. Todo esto con el beneficio adicional de que no tengo que hacer ningn
lanzamiento de mi obra, ni hacer tediosas gestiones de difusin aqu y all. Basta hacer un clic con el botn izquierdo del ratn y el material est de inmediato en la maravillosa
internet, disponible para quien desee, como ya dije, conocerlo o utilizarlo, o ambos.
La mejor recompensa es la de que puedo disfrutar del placer de escribir con plena libertad,
en los momentos que escoja, en las condiciones que me plazca, sin estrs ni presiones.
iv Conjuntos
Prefacio
La discusin matemtica de los conjuntos puede considerarse como una muestra
elemental e ilustrativa, entre varias posibles, de la naturaleza de las matemticas. En
efecto, tal discusin le dar a usted la oportunidad de experimentar un primer
acercamiento a la forma bastante particular en que los matemticos tratan los asuntos
que les conciernen. En particular, tendr la ocasin de familiarizarse con los aspectos
tcnicos del mtodo estndar de las matemticas. Desde el comienzo, reconocer el
lenguaje con el cual se comunican los matemticos y confirmar que no es otro sino
el lenguaje de la lgica. De hecho, constatar el uso intensivo de ciertos tipos de
argumentos vlidos en la elaboracin continua de razonamientos propios de las
matemticas. Todo esto se revelar ante usted como una asombrosa fuente de
complejas ideas construidas a partir de conceptos extremadamente elementales.
Desde otra perspectiva, el tema es de carcter fundamental puesto que en la
actualidad prcticamente todas las reas de las matemticas hacen uso, ms o menos
extenso, del lenguaje, la notacin y los resultados bsicos en relacin con los
conjuntos.
La forma en que presento el tema en este documento presupone el conocimiento del
documento anterior titulado Matemticas! Lgica. En particular, presupone el conocimiento de las reglas de inferencia, incluida su nomenclatura, presentadas all.
Como una pequea novedad, utilizo la denominada Tumba de Halmos (un pequeo cuadrado que indica la finalizacin de la demostracin de un teorema) en forma un tanto liberal: indicar la finalizacin de todo bloque de texto que, a semejanza de
las demostraciones de teoremas, exprese la justificacin total no solo de teoremas
sino tambin de ejemplos.
Contenido
Prefacio ................................................................................................................... v
1. El concepto de conjunto ................................................................................... 1
1.1. Conjuntos ............................................................................................................................................... 1
1.2. Elementos .............................................................................................................................................. 1
1.3. Formas de definir un conjunto ............................................................................................................... 2
1.4. Igualdad de conjuntos ............................................................................................................................ 4
1.5. El conjunto vaco ................................................................................................................................... 6
1.6. Conjuntos unitarios ................................................................................................................................ 7
1.7. Parejas .................................................................................................................................................... 7
1.8. Ternas .................................................................................................................................................... 8
1.9. Diagramas de Venn ................................................................................................................................ 8
1.10. Ejercicios ............................................................................................................................................... 9
John Venn .......................................................................................................................................................... 11
El smbolo del conjunto vaco ............................................................................................................................ 12
2. Inclusin ......................................................................................................... 15
2.1. Inclusin .............................................................................................................................................. 15
2.2. Propiedades bsicas de la inclusin ..................................................................................................... 17
2.3. Inclusin propia ................................................................................................................................... 18
2.4. Pertenencia e inclusin ........................................................................................................................ 19
2.5. Conjuntos universales .......................................................................................................................... 20
2.6. Ejercicios ............................................................................................................................................. 21
Aunque usted no lo crea ..................................................................................................................................... 22
3. Colecciones .................................................................................................... 23
3.1. Colecciones .......................................................................................................................................... 23
4. Conjuntos de partes ........................................................................................ 27
4.1. Conjuntos de partes .............................................................................................................................. 27
4.2. Ejercicios ............................................................................................................................................. 28
5. Unin ............................................................................................................. 31
5.1. Unin ................................................................................................................................................... 31
5.2. Propiedades bsicas de la unin ........................................................................................................... 34
5.3. Otras propiedades de la unin .............................................................................................................. 42
5.4. Uniones generalizadas ......................................................................................................................... 46
5.5. Ejercicios ............................................................................................................................................. 49
vii Contenido
6. Interseccin .................................................................................................... 51
6.1. Interseccin .......................................................................................................................................... 51
6.2. Propiedades bsicas de la interseccin ................................................................................................. 54
6.3. Dos leyes distributivas .......................................................................................................................... 59
6.4. Intersecciones generalizadas ................................................................................................................. 63
6.5. Ejercicios .............................................................................................................................................. 66
7. Diferencia ....................................................................................................... 69
7.1. Diferencia ............................................................................................................................................. 69
7.2. Ejercicios .............................................................................................................................................. 76
8. Diferencia simtrica ....................................................................................... 79
8.1. Diferencia simtrica .............................................................................................................................. 79
8.2. Propiedades de la diferencia simtrica .................................................................................................. 82
8.3. Ejercicios .............................................................................................................................................. 91
9. Complementacin .......................................................................................... 95
9.1. Complementacin ................................................................................................................................. 95
9.2. Propiedades de la complementacin ..................................................................................................... 98
9.3. Ejercicios ............................................................................................................................................ 107
10. Producto cartesiano ...................................................................................... 109
10.1. Parejas ordenadas ............................................................................................................................... 109
10.2. Producto cartesiano ............................................................................................................................ 111
10.3. tuplas ordenadas ............................................................................................................................ 114
10.4. Producto cartesiano generalizado ....................................................................................................... 116
10.5. Ejercicios ............................................................................................................................................ 118
Respuestas a los ejercicios .................................................................................. 121
1. El concepto de conjunto
1.1. Conjuntos Los seres humanos adquirimos intuitivamente el concepto de conjunto cuando
observamos un rebao de ovejas en una pradera, o una bandada de pjaros volando, o
un banco de arenques en el mar, o un grupo de ciclistas pedaleando por una carretera,
o una multitud de rboles en un bosque, o un grupo de estudiantes en un saln
asistiendo a clase, etc.
Intuitivamente, un conjunto es una agrupacin, o colectividad, o totalidad, o
congregacin, de objetos de cualquier naturaleza.
Letras como , , , representarn conjuntos. Eventualmente, otros tipos de smbolos podrn tambin representar conjuntos. Por ejemplo, un poco ms adelante
usaremos letras como A ,B ,C, para representar cierto tipo de conjuntos.
1.2. Elementos Cada uno de los objetos que constituyen un conjunto se denomina un elemento (o un
miembro) de dicho conjunto. El smbolo
significa que es un elemento de . Por su parte, el smbolo
significa que no es un elemento de . La relacin entre objetos y conjuntos simbolizada por se denomina la relacin de pertenencia y el smbolo se llama el smbolo de pertenencia.
En lugar de la expresin es un elemento de se usan tambin las siguientes:
es un miembro de
2 Conjuntos
pertenece a
est en
posee a
est contenido en
contiene a
No es muy recomendable el uso de las dos ltimas expresiones ya que ms adelante
usaremos las palabras contenido y contiene con otro sentido.
Ortografa matemtica: El smbolo de pertenencia
Observe con atencin el smbolo de pertenencia:
Note que tiene la forma de una herradura abierta hacia la derecha con una barrita adicional
en el centro. Es como la cabeza de un tridente. No debe confundirse con ninguno de los
dos smbolos
los cuales son dos versiones de la letra griega psilon que tambin se usa en matemticas
pero con otros fines. Tampoco debe confundirse con la letra e mayscula:
E Si usted se est preguntando qu tienen que ver estas observaciones con el tema en
discusin, considere lo siguiente: Qu tal si todos tuvisemos la libertad de escribir los
smbolos matemticos como nos gustase a cada uno? Las matemticas se convertiran en
una torre de Babel! Tenemos que procurar escribir los smbolos matemticos lo mejor que
podamos, aproximndonos cuanto podamos a su forma correcta. En otras palabras, quizs
le resulte inesperado pero el lenguaje escrito de las matemticas tiene su propia ortografa.
1.3. Formas de definir un conjunto
Hay dos formas de definir un conjunto. La primera se denomina por extensin. Se
dice que un conjunto se define por extensin cuando se hace un listado explcito de
todos sus elementos. Estos se escriben entre llaves separados por comas. Por ejemplo,
Correcto
Incorrectos
Incorrecto
3 1. El concepto de conjunto
es un conjunto definido por extensin. La segunda se denomina por comprensin o
por abstraccin. Se dice que un conjunto se ha definido por comprensin cuando sus
elementos, en lugar de listarse explcitamente, se especifican mediante una condicin
que los caracteriza. Por ejemplo,
es un conjunto definido por comprensin. Observe la forma en que est escrito este
smbolo: Dentro de un par de llaves se escriben sucesivamente una variable (en este
caso ), dos puntos y, finalmente, la condicin que caracteriza los elementos del conjunto escrita en forma de proposicin abierta en dicha variable (en este caso x es uno de los evangelistas). En lugar de los dos puntos tambin se usa una barrita vertical:
Note que la intuicin nos dice que el conjunto es en realidad el mismo conjunto . En efecto, se trata del mismo conjunto definido de dos maneras distintas. Algo as no siempre es posible. Lo
cierto es que la mayora de conjuntos solo pueden definirse por comprensin. Por
ejemplo, el conjunto
es un conjunto definido por comprensin, pero que no puede definirse por extensin
por la sencilla razn de que posee una cantidad infinita de elementos! y por tanto es
imposible para nosotros hacer un listado explcito de todos esos elementos. No
obstante, en casos como este se hace uso de una notacin que parece por extensin
pero que en realidad no lo es y, adems, tampoco es por comprensin:
La idea es escribir explcitamente una cantidad suficiente de elementos del conjunto
de tal manera que ellos sugieran cules son todos los elementos de dicho conjunto.
Ortografa matemtica: La notacin de los conjuntos
El uso de parntesis en modalidad de llaves es obligatorio en la notacin de los conjuntos.
As, el conjunto
no debe escribirse como
Correcto
4 Conjuntos
ni como
ya que estas notaciones, adems de ser incorrectas en el caso de los conjuntos, se usan
para otros fines. Igualmente incorrecta es la notacin
en la que se han omitido las comas que separan los elementos del conjunto. Estas deben
escribirse en todos los casos.
1.4. Igualdad de conjuntos Dado que lo que finalmente caracteriza a un conjunto son sus elementos y nada ms,
la igualdad de conjuntos se define precisamente con base en ese hecho.
Definicin Se dice que es igual a , y se escribe
si posee exactamente los mismos elementos que . En caso contrario, se dice que es diferente de , o que es distinto de , y se escribe
Puesto que el conjunto
posee exactamente los mismos elementos que el conjunto
entonces
Ejemplo
Incorrecto
Incorrecto
Incorrecto
5 1. El concepto de conjunto
El orden en que se escriban los elementos de un conjunto es irrelevante. As, tenemos
que
Tambin son irrelevantes las repeticiones de elementos:
etc. En consecuencia, una igualdad como
es correcta.
Los tres teoremas siguientes establecen propiedades fundamentales de la relacin de
igualdad entre conjuntos.
Teorema (Propiedad reflexiva de la igualdad)
Demostracin posee exactamente los mismos elementos que .
Teorema (Propiedad simtrica de la igualdad)
Si entonces
Demostracin Si posee exactamente los mismos elementos que entonces posee exactamente los mismos elementos que .
Teorema (Propiedad transitiva de la igualdad)
Si y entonces
Demostracin Si posee exactamente los mismos elementos que y posee exactamente los mismos elementos que entonces los tres conjuntos, , y ,
6 Conjuntos
poseen exactamente los mismos elementos. En particular, posee exactamente los mismos elementos que .
1.5. El conjunto vaco
Definicin El conjunto vaco es aquel que no posee elementos. Se nota por
cualquiera de los dos smbolos
Lo cierto es que actualmente el smbolo es mucho ms utilizado que . Tan solo ocasionalmente, algunos autores prefieren . Resulta curioso observar que el smbolo no representa otra cosa sino la definicin por extensin! del conjunto vaco. Por otra parte, tambin es posible definirlo por comprensin en forma por dems ingeniosa como
Conjunto vaco? Es una broma? Cmo puede ser un conjunto si
no posee elementos?
El papel del conjunto vaco en matemticas se parece un poco al
del nmero natural cero. Los nmeros naturales , , , ... , etc., se originaron en el proceso de contar. Podramos preguntarnos:
Entonces, qu hace el nmero en la lista de nmeros naturales si l no se usa para contar? Bueno, la verdad es que, histricamente,
al comienzo los nmeros naturales no incluyeron al cero. Pero ms
adelante fue incluido para ciertos propsitos que tienen que ver con el proceso de contar.
Por ejemplo, en el proceso de contar, comenzamos con 1, 2, 3, ... , etc., y despus del sigue el . Ah est el cero! 10 significa 1 decena y 0 unidades. El cero aqu est contando el nmero de unidades que llevamos cuando completamos la primera decena. Y,
de ah en adelante, el cero est presente, por ejemplo, en cada mltiplo de . Se puede ver que, en tratamientos rigurosos del concepto de conjunto, el conjunto vaco est
presente en la construccin de muchos conjuntos.
Por otra parte, en matemticas el conjunto vaco no se entiende como nada (como podra sugerir la palabra vaco) sino como algo que simplemente no posee elementos. Quizs una analoga til es pensar en los conjuntos como en cajas (de cartn, si usted desea) que
contienen a sus propios elementos. En el contexto de esta analoga podemos pensar en el
conjunto vaco como en una caja ... vaca! De este modo, estamos pensando en el
conjunto vaco como en un objeto concreto, una situacin muy diferente a la pensarlo
como nada. (No obstante, conviene advertir que este tipo de analogas deben tomarse con cuidado. Por ejemplo, mientras que en el mundo real hay muchas cajas vacas
diferentes, en el mundo de las matemticas hay un nico conjunto vaco.)
7 1. El concepto de conjunto
1.6. Conjuntos unitarios
Definicin Un conjunto se llama unitario (o singular) si posee un nico elemento.
Por consiguiente, todo conjunto unitario es de la forma
donde es su nico elemento.
es un conjunto unitario. Entonces podemos escribir y afirmar que es el nico elemento del conjunto .
1.7. Parejas
Definicin Una pareja es un conjunto de la forma
donde los objetos y no necesariamente son distintos.
es una pareja que posee exactamente dos elementos:
Note que todo conjunto unitario es, al mismo tiempo, una pareja! En efecto:
Aqu no hay ninguna contradiccin. La definicin de pareja incluye esta posibilidad.
Ejemplo
Ejemplo
8 Conjuntos
1.8. Ternas
Definicin Una terna es un conjunto de la forma
donde los objetos , y no necesariamente son todos distintos entre s.
El conjunto es una terna que posee exactamente tres elementos:
Note que todo conjunto unitario es, al mismo tiempo, una terna. En efecto:
Note tambin que toda pareja es, al mismo tiempo una terna:
1.9. Diagramas de Venn Resulta til disponer de una forma general de representar grficamente los conjuntos.
La posibilidad de visualizarlos, por medio de dibujos, constituye un valioso apoyo a
la intuicin. En ocasiones, un dibujo es capaz de sugerir, en forma instantnea y con
claridad meridiana, una idea abstracta, difcil de captar de otra manera, acerca de los
conjuntos.
Un diagrama de Venn (o de VennEuler) es una representacin grfica de un conjunto mediante una regin plana limitada por una curva cerrada. Lo usual es que
dicha curva cerrada sea una circunferencia, o una elipse o un rectngulo. Cada punto
de la regin plana representa un elemento del conjunto. En particular, cada punto de
la curva que limita dicha regin representa un elemento del conjunto. Se acostumbra
escribir la letra que identifica al conjunto en el interior o fuera de la regin plana. As
Ejemplo
9 1. El concepto de conjunto
mismo, las letras que representan elementos del conjunto se escriben cerca de los
puntos respectivos.
La figura siguiente muestra algunos diagramas de Venn:
Diagramas de Venn
1.10. Ejercicios Respuestas
1.
Para cada una de las afirmaciones siguientes determine si es verdadera o falsa y
justifique su respuesta:
a. b. c.
d. e. f.
g. h. i.
j. k. l.
2. De nuevo sea
A
B
C
x
y
z
D
w
10 Conjuntos
Para cada una de las afirmaciones siguientes determine si es verdadera o falsa y
justifique su respuesta:
a. posee exactamente tres elementos que son , y .
b. posee exactamente cuatro elementos que son , , y .
c. posee exactamente dos elementos que son y .
d. posee exactamente tres elementos que son , y
e. posee un nico elemento que es .
f. posee un nico elemento que es .
3. Sea
(Analice cuidadosamente este pequeo conjunto porque tiene una estructura
complicada.) Para cada una de las afirmaciones siguientes, responda si es
verdadera o falsa y justifique su respuesta:
a. b. c.
d. e. f.
g. h. i.
4. De nuevo sea
Para cada una de las afirmaciones siguientes, responda si es verdadera o falsa y
justifique su respuesta:
a. tiene en realidad un nico elemento que es 1.
b. tiene en realidad exactamente dos elementos distintos que son y .
c. tiene en realidad exactamente tres elementos distintos que son , y .
d. tiene en realidad exactamente tres elementos distintos que son , y
e. tiene exactamente cuatro elementos distintos que son , , y .
11 1. El concepto de conjunto
f. A tiene exactamente cuatro elementos distintos que son , , y .
John Venn (1834 1923) Lgico y matemtico conocido ante todo por los diagramas que
llevan su nombre. Naci y creci en el
seno de una familia britnica con slida
tradicin cristiana evanglica. Realiz su
educacin secundaria primero en Sir Roger
Cholmleys School in Highgate y luego en Islington Preparatory School. En cuanto a
su educacin superior, en 1853 ingres al
Gonville and Caius College Cambridge.
No fue muy buena la primera impresin
que caus ya que no pareca estar
familiarizado con ningn libro en
particular. No obstante, en el segundo ao
obtuvo una beca en matemticas. Se
gradu en 1857 destacndose como uno de
los mejores estudiantes en matemticas. En
1859, continuando con la tradicin
familiar, se orden sacerdote. Al parecer,
por esta poca, comenz a interesarse en la filosofa, especialmente en la lgica y la
metafsica. Entre otros autores, se familiariz con las obras de Boole y De Morgan. En 1862,
retorn a Cambridge University, esta vez como catedrtico en ciencias de la moral.
Paralelamente estudi y ense lgica y teora de la probabilidad.
Venn contribuy a la ampliacin de las fronteras de la lgica matemtica creada por Boole.
En 1866 escribi Logic of Chance, obra de la cual Keynes destac tanto su originalidad como
su influencia en el desarrollo de la teora de la estadstica. En 1881 escribi Symbolic Logic
tambin destacado por Keynes como probablemente su trabajo ms duradero en lgica. En 1889 public The Principles of Empirical Logic.
En 1883 Venn fue elegido miembro de la Royal Society. Ese mismo ao Cambridge le otorg
el ttulo de Sc. D. (Scientiae Doctor). Entonces ocurre un giro tan inesperado como
sorprendente en la vida de Venn. En el mismo 1883, deja el sacerdocio. Sus intereses
cambian radicalmente y se dedica, hasta el momento de su muerte, a la historia. Escribe
varias obras relacionadas con la historia de Cambridge University y de su propia familia.
Algunas de ellas representan un descomunal esfuerzo de cuidadosa y metdica investigacin. Hacia 1913, con la ayuda de su hijo John Archibald, Venn se embarc en la gigantesca empresa de
escribir Alumni Cantabrigienses, trabajo en el que compil una resea biogrfica de todos y cada uno
de los estudiantes, graduados y empleados administrativos de Cambridge University desde el comienzo
de la institucin hasta el ao 1900. El primer tomo contena 76 000 nombres correspondientes al
John Venn
12 Conjuntos
periodo hasta 1751. El segundo tomo, en calidad de manuscrito a la muerte de Venn, correspondiente
al periodo 17521900, contena ms de 60 000 nombres.
Se cuenta que Venn posea, entre otras, una rara habilidad para construir mquinas. En cierta ocasin
construy una para lanzar bolas de cricket. En 1909, la seleccin de cricket de Australia visit
Cambridge y la mquina de Venn fue puesta a prueba contra uno de los bateadores estrella del equipo
australiano. La mquina result ser formidable hasta el punto de eliminar limpiamente al bateador
australiano cuatro veces.
El smbolo del conjunto vaco Aunque oficialmente hay dos smbolos para representar el conjunto vaco, la verdad es que el
uso de uno de ellos es prcticamente universal y por eso nos referimos a l como el smbolo
del conjunto vaco. Se trata de la letra . Letra? En efecto, es una letra de los alfabetos de lenguas de pases del norte de Europa como Noruega y Dinamarca.
El smbolo del conjunto vaco
en el campeonato mundial
de ftbol de Sudfrica 2010
El primer uso registrado de este smbolo para representar el conjunto vaco data de 1939 en
una pequea obra sobre teora de conjuntos publicada por el seminario Bourbaki en Francia.
Uno de sus integrantes, el famoso matemtico Andr Weil (1906 1998), afirma en su autobiografa haber sido l precisamente quien sugiri al seminario la adopcin del smbolo.
Ortografa matemtica: El smbolo del conjunto vaco
Observe con atencin el smbolo del conjunto vaco:
Note que tiene la forma de una pequea elipse cruzada por una barra diagonal sin
adornos. No debe confundirse con el smbolo
Correcto
13 1. El concepto de conjunto
Incorrectos
el cual es en realidad la letra griega fi mayscula. Por supuesto, tampoco debe
confundirse con ninguno de los dos smbolos
que son dos variantes de la letra griega fi minscula. Mucho menos con
que es la letra griega psi en sus versiones minscula y mayscula, respectivamente. Por
ltimo, aunque no ocurre con frecuencia, algunos creen que el smbolo del conjunto
vaco es
que en realidad es la letra griega omega mayscula.
Incorrectos
Incorrecto
Incorrecto
14 Conjuntos
2. Inclusin
2.1. Inclusin
Definicin Se dice que es subconjunto de , y se escribe
si cada elemento de es elemento de . El smbolo
significa que no es subconjunto de .
es subconjunto de
La relacin entre conjuntos simbolizada por se llama la relacin de inclusin (o de contenencia). El smbolo se denomina el smbolo de inclusin (o de contenencia). En lugar de la expresin es subconjunto de se usan tambin las siguientes:
est incluido en
est contenido en
16 Conjuntos
es una parte de
Adems, el smbolo
significa lo mismo que , en cuyo caso se usan las expresiones siguientes:
es superconjunto de
incluye a
contiene a
Podemos expresar la definicin de la relacin de inclusin y su negacin mediante el
lenguaje simbolizado de la lgica:
Los dos enunciados cuantificados involucrados son traducciones literales de las respectivas definiciones originales en lenguaje natural. En ocasiones resulta ms
apropiado expresar estas mismas traducciones en forma menos literal:
Ortografa matemtica: El smbolo de la inclusin
Observe con atencin el smbolo de la inclusin:
Note que tiene la forma de una pequea herradura, abierta hacia la derecha, con una
rayita horizontal en su parte inferior. La herradura no es una letra c (como creen algunos que piensan que proviene de la inicial de la palabra contenido), ni minscula ni mayscula:
c C
Incorrectos
Correcto
17 2. Inclusin
Sean
Entonces puesto que cada elemento de es elemento de :
En cambio, porque hay elementos en que no estn en . Por ejemplo, pero .
Cuidado! Algunos autores prefieren usar el smbolo en lugar de para representar la relacin de inclusin. En el presente documento
usaremos el smbolo para representar otro concepto (la inclusin propia) que estudiaremos un poco ms adelante. Mi preferencia por el
smbolo para la inclusin se basa en que, en un contexto apropiado, tanto como son smbolos que representan relaciones de orden dbil y, por su parte, tanto como son smbolos que representan las respectivas relaciones de orden fuerte. Me gusta la analoga tanto en el significado como en la forma de estos smbolos.
Este desacuerdo en asuntos de notacin es un ejemplo de algo que desafortunadamente
ocurre con alguna frecuencia en matemticas. No debera pasar algo as pero el hecho es
que pasa y, en consecuencia, no nos queda otro camino que convivir con ello. Cuando
usted consulte otras fuentes sobre el tema de los conjuntos deber tener la precaucin de
indagar, en el momento oportuno, sobre las preferencias del autor en materia de
conceptos, notaciones, etc.
2.2. Propiedades bsicas de la inclusin Vamos a discutir ahora algunas propiedades bsicas importantes de la relacin de
inclusin. La primera de ellas establece un hecho sorprendente: El conjunto vaco es
subconjunto de cada conjunto:
Teorema (Propiedad minimal del conjunto vaco)
Ejemplo
18 Conjuntos
Demostracin Supongamos que para algn se tiene . Entonces existe tal que . Pero esto es absurdo puesto que no posee elementos.
Teorema (Propiedad reflexiva de la inclusin)
Demostracin Cada elemento de es elemento de .
Teorema (Propiedad transitiva de la inclusin)
Si y entonces
Demostracin Supongamos que y . Sea . Como entonces y como entonces . Esto muestra que cada elemento de es elemento de . Por tanto, .
Teorema (Caracterizacin de la igualdad en trminos de la inclusin)
si y solo si y
Demostracin ( ) Supongamos . Entonces posee exactamente los mismos elementos que . En particular, cada elemento de es elemento de , esto es, . Por la misma razn, cada elemento de es elemento de , esto es, . Tenemos por consiguiente y .
( ) Supongamos y . Entonces cada elemento de es elemento de y cada elemento de es elemento de . Por tanto, posee exactamente los mismos elementos que , esto es, .
2.3. Inclusin propia
Definicin Se dice que es subconjunto propio de , y se escribe
o tambin
si se cumple que
19 2. Inclusin
y
El smbolo
significa que no es subconjunto propio de .
Entonces, en el lenguaje simbolizado de la lgica, tenemos
porque y
porque
porque
2.4. Pertenencia e inclusin El teorema siguiente formula una caracterizacin de la relacin de pertenencia en
trminos de la relacin de inclusin:
Teorema (Caracterizacin de la pertenencia en trminos de la inclusin)
si y solo si
Demostracin ( ) Supongamos . Sea . Dado que el nico elemento que posee es entonces . Ahora bien, por hiptesis, . En consecuencia, . Esto prueba que .
( ) Supongamos . Entonces cada elemento de es elemento de . Pero es elemento de . Por consiguiente, .
Ejemplo
20 Conjuntos
Algunos resumen la implicacin de izquierda a derecha en el teorema anterior
diciendo: Si en una relacin de pertenencia encerramos el elemento entre llaves, la relacin se convierte en inclusin.
Como entonces .
2.5. Conjuntos universales En cada tema de discusin en matemticas normalmente hay un cierto conjunto
denominado conjunto universal o conjunto referencial de la discusin. (Algunos lo
llaman tambin el universo de la discusin.) Este conjunto tiene la propiedad de que
muchos de los conjuntos que se mencionan en la discusin, si no se dice otra cosa, se
entienden como subconjuntos de l.
Supongamos que nuestro tema de discusin es nmeros naturales. Como conjunto universal tomemos, precisamente, el conjunto de todos los nmeros naturales.
(Generalmente, esto es lo que ocurre. Hay un conjunto que espontneamente todos
coincidimos en tomar como el conjunto universal obvio.) Supongamos que mencionamos un conjunto, como por ejemplo,
Este conjunto puede entenderse como subconjunto del conjunto de todos los nmeros
naturales pero tambin puede entenderse como subconjunto de todos los nmeros
enteros, o racionales, o reales, etc. Incluso puede entenderse como subconjunto del
conjunto de los totales, ao por ao, de alumnos que reprobaron Matemticas
Generales en los ltimos diez aos en la Universidad de la Vida. Sin embargo, como
ya hemos seleccionado un conjunto universal, a saber el conjunto de todos los
nmeros naturales, entonces solamente entendemos el conjunto
como subconjunto del conjunto de todos los nmeros naturales.
Una de las ventajas de disponer de un conjunto universal de la discusin es
simplificar la descripcin de muchos conjuntos. As, en el caso del Ejemplo anterior,
si no hubisemos seleccionado un conjunto universal de la discusin entonces el
conjunto tendra que describirse en forma ms explcita:
Ejemplo
Ejemplo
21 2. Inclusin
puesto que, de otro modo, no sabramos si la variable est representando nmeros naturales, o enteros, o racionales, o reales, o totales de alumnos reprobados en
Matemticas Generales, etc.
Es frecuente simbolizar el conjunto universal mediante la letra (algunos usan la letra griega ) y representarlo grficamente, en los diagramas de Venn, mediante una regin rectangular:
El conjunto universal y algunos de sus subconjuntos
2.6. Ejercicios Respuestas
1. Sea
Para cada una de las afirmaciones siguientes determine si es verdadera o falsa:
a. b. c. d.
e. f. g. h.
i. j. k. l.
m. n. o. p.
q.
2. Sea
22 Conjuntos
Para cada una de las afirmaciones siguientes determine si es verdadera o falsa:
a. b. c. d.
e. f. g.
h.
Aunque usted no lo crea
El concepto matemtico de conjunto parece inocente pero en ocasiones puede
burlarse de nuestra intuicin. Por ejemplo: Es posible que un elemento de un
conjunto sea, al mismo tiempo, un subconjunto del mismo conjunto? La intuicin de
muchas personas les dice que no es posible. Pero examinemos el conjunto
Observamos que este conjunto posee exactamente dos elementos:
En particular, el conjunto unitario es un elemento de . Pero, al mismo tiempo, es tambin un subconjunto de puesto que !
El mismo conjunto ilustra otro hecho que a primera vista podra parecer improbable: Un elemento, de un elemento, de un conjunto puede ser, al mismo
tiempo, elemento de dicho conjunto? (Asegrese de que ley correctamente.
Principalmente, note que la pregunta comienza diciendo: Un elemento, de un
elemento, ...) La respuesta es s. En efecto, en el conjunto ocurre que es un elemento del conjunto unitario que, a su vez, es otro elemento de . (Esto es, es un elemento, de un elemento, del conjunto .) Y es, al mismo tiempo, un elemento del mismo !
3. Colecciones
3.1. Colecciones
Definicin Un conjunto se llama una coleccin si todos sus elementos son
conjuntos. Letras como A ,B ,C, representarn colecciones.
El conjunto
es una coleccin. Ella posee exactamente tres elementos:
Es importante observar que
Un momento. Usted logr confundirme. Entonces, cmo
reconozco los elementos de una coleccin?
Observemos nuevamente la coleccin
Los elementos de A se reconocen porque son los que estn
separados por las comas ms externas. Volvamos a observar la
coleccin A, esta vez un poco ms grande:
Ejemplo
24 Conjuntos
Las dos comas en color rojo son las ms externas. Ellas estn separando los tres
elementos de A :
Los nmeros 1, 2 y 3 no son, en este caso, elementos de A. Lo nico que podemos decir
es que ellos son elementos de elementos! de A.
Tengo otra inquietud: Pienso que la coleccin es lo
mismo que la coleccin porque el conjunto vaco es vaco, o sea que donde est el conjunto vaco es como si no hubiera
nada. Estoy mal?
Ests mal. No debes olvidar que el conjunto vaco no es lo mismo
que nada. En realidad es algo que, por definicin, no posee elementos. Aqu de nuevo puede ser til la analoga de pensar en
los conjuntos como cajas que contienen sus propios elementos. As,
pensamos en la coleccin como en una caja que contiene tres cajas, una de
las cuales est vaca. En cambio, pensamos en la coleccin como en una caja
que contiene dos cajas ninguna de las cuales est vaca. En la caja hay
algo (la caja vaca!) que no est en la caja . Por eso las dos colecciones son diferentes:
El conjunto
es otra coleccin. Ella posee exactamente cuatro elementos:
El conjunto
Ejemplo
Ejemplo
25 3. Colecciones
es una coleccin muy particular. En primer lugar, se trata de una coleccin unitaria
puesto que posee un nico elemento, a saber el conjunto :
Por consiguiente, es una coleccin no vaca!:
Me est costando entender este asunto. Yo hubiera jurado que es lo mismo que . . .
Es porque sigues pensando en el conjunto vaco como en nada. Una vez ms la analoga de conjuntos con cajas te puede ayudar.
Piensa en como en una caja que solo contiene en su interior otra caja y esta ltima est vaca. Entonces no es una caja vaca puesto que tiene algo adentro: una caja vaca!
Conjuntos como
no son colecciones dado que contienen elementos que no son conjuntos como, por
ejemplo, en el conjunto y en el conjunto .
Ejemplo
26 Conjuntos
4. Conjuntos de partes
4.1. Conjuntos de partes
Definicin Se define el conjunto de partes de , notado
como la coleccin de todos los subconjuntos de . Tambin se llama el conjunto potencia de y se nota
El nombre conjunto potencia y el smbolo pueden parecer extraos para el concepto en cuestin. Pronto veremos que hay algo de razonable en ellos.
Una definicin por comprensin del conjunto de partes de es:
Sea donde los elementos , y son todos distintos entre s. Vamos a calcular el conjunto . [El trmino calcular significa aqu encontrar todos los elementos de y, si es posible, definir a por extensin.] Se trata entonces de hacer un listado completo de todos los elementos del conjunto o, en forma equivalente, de todos los subconjuntos del conjunto . Con el fin realizar esta tarea en una forma ordenada, comenzaremos por los subconjuntos ms sencillos
e iremos avanzando hacia los ms complejos. Concretamente, como criterio de
ordenamiento, tomaremos el tamao (el nmero de elementos) de los subconjuntos: iremos desde los ms pequeos hacia los ms grandes:
El conjunto vaco. El conjunto es un subconjunto de . (Ya sabemos que el conjunto vaco es subconjunto de todos los conjuntos.)
Subconjuntos de un elemento (es decir, subconjuntos unitarios). Tenemos exactamente tres:
Ejemplo
28 Conjuntos
Subconjuntos de dos elementos (es decir, parejas de elementos distintos). Tambin encontramos exactamente tres:
Subconjuntos de tres elementos (es decir, ternas de tres elementos distintos). Hay exactamente uno:
Es obvio que no hay subconjuntos de cuatro elementos, ni de cinco, etc., de modo que
hemos hecho una lista completa de todos los subconjuntos de . En consecuencia ya podemos definir por extensin el conjunto de partes de :
Esta coleccin posee exactamente elementos o, en forma equivalente, elementos. Es posible demostrar la siguiente afirmacin de carcter general:
Si posee elementos entonces posee elementos
Este puede ser el origen del nombre alternativo conjunto potencia para el conjunto
de partes de y del smbolo para representarlo.
Note que, por propiedades bsicas de la inclusin, y tambin . Esto significa que para todo conjunto , se tiene que y tambin . Dicho de otro modo, en cada conjunto de partes siempre tendremos dos elementos
notables: el conjunto vaco y el conjunto original, los cuales, de paso, son,
respectivamente, los subconjuntos ms pequeo y ms grande de .
4.2. Ejercicios Respuestas
1. Sea
Para cada uno de los literales siguientes, encuentre lo que se pide o responda la
pregunta respectiva. Explique sus respuestas a las preguntas de modo que todo
quede bien claro.
a. Calcule , esto es el conjunto de partes, del conjunto de partes, del conjunto .
b. Cuntos elementos tiene ?
c. Es cierto que ?
29 4. Conjuntos de partes
d. Es cierto que ?
30 Conjuntos
5. Unin
Una prctica rutinaria en matemticas es, una vez definida una totalidad de objetos
matemticos, definir operaciones con ellos. Por ejemplo, una operacin binaria en
una totalidad de objetos matemticos es una regla o correspondencia o asociacin que a cada par de objetos y de la totalidad le hace corresponder un nico tercer objeto de la misma totalidad. As, por ejemplo, en la totalidad de los nmeros naturales, la operacin suma, representada por el smbolo , es una operacin binaria puesto que ella hace corresponder a cada par de nmeros naturales y un nico nmero natural denominado la suma de y . Las operaciones binarias se llaman as porque en cada caso son dos objetos los que se operan para obtener el
tercero. De manera similar se describen las operaciones ternarias, cuaternarias y, en
general, arias. Un caso especial son las operaciones unarias, las cuales solo operan sobre un objeto para obtener un nico segundo objeto.
Las operaciones entre objetos matemticos son de gran importancia. Cuando
comenzamos a estudiar una totalidad de objetos matemticos, rpidamente notamos la
conveniencia de poder manipular, de diversas formas, grupos de ellos para obtener
otros. Las operaciones ponen tales formas de manipulacin en un contexto preciso,
mediante definiciones y simbologas apropiadas. De este modo, podemos explorar
confiable y seguramente muchas propiedades de dichos objetos.
En relacin con los conjuntos, discutiremos, en este y en los siguientes captulos, seis
operaciones bsicas, cinco de las cuales son binarias (unin, interseccin, diferencia,
diferencia simtrica y producto cartesiano) y solo una es unaria (complementacin).
5.1. Unin
Definicin Se define la unin de y como el conjunto de todos aquellos elementos que pertenecen a al menos uno de los dos conjuntos y . Se nota
Entonces, por comprensin,
32 Conjuntos
En otras palabras, tenemos que, dado cualquiera, la equivalencia
es verdadera y, en consecuencia, las implicaciones
son tambin ambas verdaderas.
El siguiente diagrama de Venn muestra dos conjuntos y :
Vamos calcular grficamente . Primero, coloreamos la regin que representa al conjunto . (En la figura siguiente he utilizado una tonalidad en amarillo para tal efecto.)
33 5. Unin
Ahora, coloreamos la respectiva regin que representa al conjunto :
La regin coloreada total representa entonces al conjunto . De este modo, el diagrama de Venn para es
Ortografa matemtica: El smbolo de la unin
Observe con atencin el smbolo de la unin:
Note que tiene la forma de una herradura, abierta hacia arriba, sin adornos. No se trata de
la letra u (como creen algunos que piensan que proviene de la inicial de la palabra unin), ni minscula ni mayscula,
u U
Correcto
Incorrectos
34 Conjuntos
Sean
El clculo de es un procedimiento muy sencillo: Abrir un par de llaves, dentro de estas llaves escribir todos los elementos de separados por comas, a continuacin escribir todos los elementos de tambin separados por comas y, por ltimo, simplificar las repeticiones que se presenten de elementos en el conjunto resultante:
Entonces
La operacin unin tiene varias propiedades bsicas muy importantes que
discutiremos mediante los teoremas siguientes.
5.2. Propiedades bsicas de la unin
Teorema (Ley conmutativa de la unin)
Demostracin Como mtodo de demostracin usaremos la caracterizacin de la
igualdad en trminos de la inclusin. Esta caracterizacin se puede resumir como
dos conjuntos son iguales si y solo si cada uno de ellos es subconjunto del otro. En consecuencia, probaremos las dos inclusiones
con lo cual quedar probada la igualdad . Para probar la inclusin aplicaremos la definicin de inclusin. Tomaremos, por tanto, un elemento arbitrario en el conjunto y probaremos que dicho elemento est en el conjunto .
Ejemplo
35 5. Unin
Sea
Entonces, por la definicin de unin,
Ahora bien, por la ley conmutativa de la disyuncin inclusiva,
Finalmente, de nuevo por la definicin de unin,
As, queda probada la inclusin . Anlogamente se prueba la inclusin .
Teorema (Ley asociativa de la unin)
Antes de proceder a demostrar formalmente este teorema, haremos una
demostracin grfica del mismo. En el diagrama siguiente tenemos tres conjuntos
, y :
Primero coloreamos la regin que representa a :
36 Conjuntos
Enseguida agregamos el coloreado de la regin que representa a . De este modo, obtenemos coloreada la totalidad de la regin que representa a :
Ahora, regresamos al diagrama original y reiniciamos el proceso de coloreado,
comenzando esta vez con la regin que representa a :
37 5. Unin
Enseguida agregamos el coloreado de la regin que representa a . Obtenemos entonces, coloreada en su totalidad, la regin que representa a :
Ambas regiones, la que representa a y la que representa a , son exactamente la misma.
Veamos ahora la demostracin del teorema.
38 Conjuntos
Demostracin Usaremos nuevamente la caracterizacin de la igualdad en trminos de
la inclusin, de modo que procederemos, como en la demostracin del teorema
anterior, a probar las dos inclusiones
Sea
Entonces, por la definicin de unin,
y, nuevamente por la misma definicin,
Aplicando ahora la ley asociativa de la disyuncin inclusiva, obtenemos
De nuevo, por la definicin de unin:
y una vez ms por la definicin de unin:
De este modo, hasta aqu hemos demostrado la inclusin . La segunda inclusin, se demuestra en forma similar.
Seamos claros: Me gust ms la demostracin con diagramas de Venn. Esa otra demostracin me pareci enredada. No puedo
hacer siempre las demostraciones con dibujitos?
Pongmonos de acuerdo. La demostracin con diagramas de Venn no es realmente una demostracin por dos motivos.
Primero, porque ese no es el formato adoptado por la comunidad
de matemticos para las demostraciones matemticas. Tal formato
consiste en una cadena de afirmaciones verdaderas cada una de las
cuales resulta de aplicar una definicin o una regla de inferencia o
un teorema ya demostrado, etc., de tal manera que la ltima afirmacin de la cadena es,
precisamente, aquella que se pretende demostrar. Por el momento, este es el nico formato
aceptado y es al que tendrs que acostumbrarte si deseas comunicarte con otros
matemticos. Segundo, porque la demostracin, por diagramas de Venn, de la ley a
39 5. Unin
asociativa de la unin, aunque quisiramos aceptarla en contra del resto del mundo
matemtico, tiene el inconveniente de que se tratara de una demostracin, mediante un
caso particular, de un enunciado cuantificado universalmente. En efecto, los matemticos
sabiamente acostumbran a omitir los cuantificadores universales con el fin de simplificar.
As el enunciado
es realmente una abreviatura del enunciado triplemente cuantificado
En consecuencia, este tipo de enunciados no pueden ser demostrados mediante casos
particulares. Y, si observas con cuidado, notars que el diagrama de Venn con el que se
inicia la demostracin corresponde precisamente a un caso particular puesto que solo se refiere a los tres conjuntos particulares dibujados. Existen infinitas ternas de conjuntos que
no son consideradas en la demostracin.
A ver si entend bien. Me queda claro lo de los diagramas. Pero
est usted diciendo que para demostrar una identidad como, por
ejemplo, , no puedo reemplazar y por dos conjunticos como, por ejemplo, y , calcular = y = , verificar que y ya? Porque yo estaba convencidsimo de que as estaba bien.
No puedes. Si eso se pudiera hacer, las matemticas seran muy
distintas de como son en realidad. Por ejemplo, la identidad
sera verdadera puesto que reemplazando y obtendras que . Pero sabemos que dicha identidad es falsa porque existen contraejemplos. Por ejemplo, si reemplazas y obtienes . De modo que no te queda otra alternativa. Si quieres demostrar una afirmacin cuantificada
universalmente, no puedes hacerlo mediante un caso particular. Tienes que elaborar tu
demostracin en forma completamente general.
Teorema (Ley modulativa de la unin)
Demostracin La igualdad se tiene por la ley conmutativa de la unin. Luego, ser suficiente probar que . Sea
40 Conjuntos
Por definicin de unin,
Pero, dado que no posee elementos,
Entonces, por modus tollendo ponens,
Esto prueba la inclusin
Ahora sea
Por la ley de adicin,
y, por la definicin de unin,
Queda as demostrada la segunda inclusin
y, en consecuencia, hemos demostrado la igualdad
Teorema (Ley de absorcin de la unin)
Demostracin La igualdad se tiene por la ley conmutativa de la unin. Luego ser suficiente demostrar que . Sea
Por definicin de unin,
41 5. Unin
Ahora bien, la implicacin
es verdadera por ser una tautologa. Por otra parte, dado que es el conjunto universal, se tiene que . Entonces, por definicin de inclusin, la implicacin
tambin es verdadera. Por consiguiente, en virtud del dilema constructivo,
de donde, por simplificacin trivial,
Esto prueba la inclusin
Ahora sea
Entonces, por la ley de adicin,
y, por la definicin de unin,
Queda as demostrada la inclusin
Por consiguiente,
Teorema (Ley de idempotencia de la unin)
Demostracin Sea
Por definicin de unin,
42 Conjuntos
y, por simplificacin trivial,
Luego,
Ahora, sea
Entonces, por la ley de redundancia,
y, por la definicin de unin,
Por tanto,
De este modo, hemos probado que
5.3. Otras propiedades de la unin
Adems de las bsicas, discutidas en la seccin anterior, hay muchas otras
propiedades interesantes y tiles de la unin. Los teoremas siguientes ilustran este
aspecto.
Teorema
Si entonces
Demostracin Supongamos
Sea
43 5. Unin
Entonces, por definicin de unin,
Ahora bien, puesto que hemos supuesto , la implicacin
es verdadera. Adems, la implicacin
tambin es verdadera por ser una tautologa. Luego, por dilema constructivo,
y, por simplificacin trivial,
Esto prueba la inclusin
Ahora, sea
Entonces, por ley de adicin,
As, por definicin de unin,
Se tiene por tanto la inclusin
En consecuencia,
con lo cual queda demostrada la implicacin enunciada.
44 Conjuntos
Teorema
Si y entonces
Demostracin Supongamos
Sea
Entonces, por definicin de unin,
Ahora bien, dado que ,
y, dado que ,
Luego, por dilema constructivo,
de modo que, por definicin de unin,
Esto prueba la inclusin
As queda demostrada la implicacin propuesta.
Teorema
Demostracin Sea
45 5. Unin
Entonces, por ley de adicin,
y, por definicin de unin,
Esto demuestra que todo elemento de es elemento de . En otras palabras,
Teorema
Demostracin Sea
Entonces, por definicin de unin
y, por definicin de conjunto de partes,
Supongamos que . Como, por el teorema anterior, entonces tenemos
y
Luego, por la propiedad transitiva de la inclusin,
y, por la definicin de conjunto de partes,
Por tanto, tenemos que la implicacin
es verdadera.
46 Conjuntos
Anlogamente tenemos que la implicacin
es verdadera. En consecuencia, por dilema constructivo,
y, por simplificacin trivial,
De este modo, hemos demostrado que todo elemento de es elemento de . En otras palabras, hemos demostrado que
5.4. Uniones generalizadas
Definicin Sean , , , , conjuntos. Se define la unin de los conjuntos , , , , como el conjunto de todos aquellos elementos que pertenecen a al menos uno de los conjuntos , , , , . Hay dos smbolos para representar esta unin. Uno que llamaremos expandido:
y otro que llamaremos compacto:
Ambos smbolos se utilizan dependiendo de las circunstancias. Si se desea abreviar
las notaciones, naturalmente el smbolo compacto resulta apropiado. Pero, en
ocasiones, el smbolo compacto esconde aspectos que queremos apreciar explcitamente. En tal caso, el smbolo expandido se adapta mejor a este ltimo
propsito.
El tipo de unin descrita en la Definicin anterior se llama generalizada.
Evidentemente, se trata de una generalizacin de la unin binaria ya que se reduce a
esta ltima cuando .
Tambin, hay dos maneras de definir la unin generalizada por comprensin. Una en
que se usa el conectivo generalizado de la disyuncin inclusiva:
47 5. Unin
y otra en que se usa el cuantificador existencial:
En el diagrama siguiente tenemos cuatro conjuntos , , y :
y en el siguiente tenemos la unin generalizada respectiva:
48 Conjuntos
Sean
Entonces
Sean
Entonces
Un caso especial importante de unin generalizada es la representada por el smbolo
que evidentemente no significa otra cosa sino :
Ejemplo
Ejemplo
49 5. Unin
5.5. Ejercicios Respuestas
1. Sean
Calcule
2. Demuestre las siguientes afirmaciones:
a.
b. Si entonces
c. Si entonces
d. Si entonces
e. Si y entonces
f. si y solo si y
g. si y slo si
3. Demuestre que la identidad
es falsa. Esto es, encuentre un contraejemplo (en este caso un par de conjuntos
particulares y que no satisfagan la identidad). Para su informacin, hay contraejemplos muy pequeos que usted puede encontrar rpidamente.
4. Considere la identidad
Si es verdadera, demustrela. Si es falsa, exhiba un contraejemplo.
50 Conjuntos
6. Interseccin
6.1. Interseccin
Definicin Se define la interseccin de y como el conjunto de todos aquellos elementos que pertenecen simultneamente a ambos conjuntos y . Se nota
Entonces, por comprensin,
En otras palabras, tenemos que, dado cualquiera, la equivalencia
es verdadera y, en consecuencia, las implicaciones
son tambin ambas verdaderas.
Consideremos ahora el siguiente diagrama de Venn en el que se muestran dos
conjuntos y :
52 Conjuntos
Vamos a calcular grficamente . Primero coloreamos la regin que representa a .
Ahora coloreamos la regin que representa a . (La idea aqu es colorear esta segunda regin usando un color distinto del anterior).
53 6. Interseccin
Aquella regin en donde se superponen ambos colores (coloreada en un tono de
amarillo en el diagrama anterior) es, precisamente, la regin que representa a . As, el diagrama de Venn para es entonces
Ortografa matemtica: El smbolo de la interseccin
Observe con atencin el smbolo de la interseccin:
Note que tiene la forma de una herradura, abierta hacia abajo, sin adornos. No se trata de
la letra n minscula:
n
Sean
El siguiente es un procedimiento para efectuar el clculo de :
Seleccionar el conjunto ms pequeo. En este caso es .
Abrir un par de llaves.
Recorrer uno por uno los elementos de y verificar, para cada uno de ellos, si pertenece o no a .
Escribir dentro de las llaves, separados por comas, aquellos elementos que, en el paso anterior, pertenezcan a .
Correcto
Incorrecto
Ejemplo
54 Conjuntos
El procedimiento termina cuando termine el recorrido por los elementos de .
Simplificar, si es necesario, las repeticiones en el conjunto resultante.
El conjunto simplificado es .
Aplicando este procedimiento a los dos conjuntos dados, obtenemos
6.2. Propiedades bsicas de la interseccin La operacin interseccin tiene tambin varias propiedades bsicas importantes.
Algunos de los enunciados como las respectivas demostraciones son muy parecidos a
los correspondientes en el caso de la unin.
Teorema (Ley conmutativa de la interseccin)
Demostracin Similar a la del Teorema que establece la ley conmutativa de la unin.
Teorema (Ley asociativa de la interseccin)
Demostracin Similar a la del Teorema que establece la ley asociativa de la unin.
Veamos una prueba grfica del teorema anterior. En el diagrama siguiente
observamos tres conjuntos , y :
55 6. Interseccin
Comenzamos coloreando la regin que representa a :
Enseguida coloreamos la regin que representa a :
56 Conjuntos
Ahora, reiniciamos el proceso de coloreado comenzando esta vez con :
Finalmente coloreamos la regin que representa a :
57 6. Interseccin
Ambas regiones, la que representa a y la que representa a , son exactamente la misma.
Teorema (Ley modulativa de la interseccin)
Demostracin La igualdad se cumple por la ley conmutativa de la interseccin. Luego, ser suficiente demostrar que . Sea
Por definicin de interseccin,
y, por ley de simplificacin,
Esto prueba la primera inclusin:
Ahora, sea
Dado que, por definicin del conjunto universal, entonces
58 Conjuntos
Ahora bien, por la ley de la conjuncin,
de donde, por la definicin de interseccin,
Esto prueba la inclusin
y, de este modo, hemos probado
Teorema (Ley de absorcin de la interseccin)
Demostracin La igualdad se tiene por la ley conmutativa de la interseccin. Luego ser suficiente demostrar que . Sea
Por definicin de interseccin,
y, por ley de simplificacin,
Esto prueba la inclusin
La segunda inclusin,
es una consecuencia inmediata del hecho de que el conjunto vaco es subconjunto de
todo conjunto. Por consiguiente, hemos demostrado
59 6. Interseccin
Teorema (Ley de idempotencia de la interseccin)
Demostracin Similar a la del Teorema que establece la ley de idempotencia para la
unin.
6.3. Dos leyes distributivas Los dos teoremas siguientes formulan identidades que relacionan entre s las
operaciones de unin e interseccin.
Teorema (Ley distributiva de la unin con respecto a la interseccin)
Haremos primero una demostracin grfica de este teorema. En el diagrama
siguiente tenemos tres conjuntos , y :
Primero coloreamos la regin que representa a :
60 Conjuntos
A continuacin agregamos el coloreado de la regin que representa a . De este modo obtenemos el coloreado de la regin que representa a :
Ahora, vamos a colorear la regin que representa a . Para ello, comenzamos coloreando la regin que representa a :
61 6. Interseccin
Coloreamos tambin (por separado y con otro color) la regin que representa a :
Finalmente coloreamos simultneamente las dos ltimas regiones. La regin en la que
se superponen los dos colores (coloreada en amarillo en el siguiente diagrama), es
entonces la que representa a :
62 Conjuntos
Esta es exactamente la misma regin que representa a .
Pasemos ahora a la demostracin del teorema en consideracin.
Demostracin Sea
Por definicin de unin,
y, por definicin de interseccin,
Ahora, aplicando la ley distributiva de la disyuncin inclusiva con respecto a la
conjuncin,
Enseguida aplicamos la definicin de unin,
y, a continuacin, la de interseccin,
Esto prueba la inclusin
63 6. Interseccin
Mediante el mismo razonamiento en reversa se prueba la inclusin
con lo cual queda probada la identidad
Teorema (Ley distributiva de la interseccin con respecto a la unin)
Demostracin Similar a la del Teorema anterior.
Debido a los dos ltimos teoremas, se dice que las operaciones de unin e
interseccin son mutuamente distributivas.
6.4. Intersecciones generalizadas
Definicin Sean , , , , conjuntos. Se define la interseccin de los conjuntos , , , , como el conjunto de todos aquellos elementos que pertenecen simultneamente a todos los conjuntos , , , , . Hay dos smbolos para representar esta interseccin. Uno que llamaremos expandido:
y otro que llamaremos compacto:
Ambos smbolos se utilizan dependiendo de las circunstancias. Si se desea abreviar
las notaciones, naturalmente el smbolo compacto es el ms apropiado. Pero, en
ocasiones, el smbolo compacto esconde aspectos que queremos apreciar explcitamente. En tal caso, el smbolo expandido es preferible.
El tipo de interseccin descrita en la definicin anterior se llama generalizada.
Evidentemente, se trata de una generalizacin de la interseccin binaria ya que se
reduce a esta ltima cuando .
Tambin, hay dos maneras de definir la interseccin generalizada por comprensin.
Una en que se usa el conectivo generalizado de la conjuncin:
64 Conjuntos
y otra en que se usa el cuantificador universal:
En el diagrama siguiente tenemos cuatro conjuntos , , y :
y en el siguiente tenemos coloreada en amarillo la regin que representa la
interseccin generalizada respectiva:
65 6. Interseccin
As, el siguiente es el diagrama de Venn de dicha interseccin generalizada:
Sean
Entonces
Ejemplo
66 Conjuntos
Sean
Entonces
Un caso especial importante de interseccin generalizada es la representada por el
smbolo
que evidentemente no significa otra cosa sino :
6.5. Ejercicios Respuestas
1. Sean
Demuestre que en este caso se tiene
calculando ambos lados de la igualdad por separado y verificando que en efecto
son iguales.
Ejemplo
67 6. Interseccin
2. Sean
Calcule
3. Sean
en donde se supone que los objetos , y son todos distintos entre s. Compruebe que en este caso se tiene
a. b.
4. Demuestre las siguientes afirmaciones:
a.
b.
c.
d. Si entonces y
e. Si y entonces
f. Si entonces
g. Si y entonces
h. Si entonces
i.
5. Demuestre, mediante un contraejemplo, que la siguiente afirmacin es falsa:
Si entonces
6. Demuestre que si , , y son conjuntos cualesquiera entonces
68 Conjuntos
7. Demuestre las siguientes generalizaciones de las leyes distributivas de la unin con respecto a la interseccin y de la interseccin con respecto a la unin:
a.
b.
7. Diferencia
7.1. Diferencia
Definicin Se define la diferencia entre y como el conjunto de todos aquellos elementos que pertenecen a pero no pertenecen a . Se nota por cualquiera de los tres smbolos
Entonces, por comprensin,
En otras palabras, tenemos que, dado cualquiera, la equivalencia
es verdadera y, en consecuencia, las implicaciones
son tambin ambas verdaderas.
El siguiente diagrama muestra dos conjuntos y :
70 Conjuntos
En el siguiente diagrama se ha coloreado en color amarillo la regin que representa la
diferencia entre y :
La curva segmentada indica que los puntos sobre ella no forman parte de la diferencia
entre y (puesto que pertenecen a ). As, el diagrama de Venn de dicha diferencia es
Sean
El siguiente es un procedimiento para efectuar el clculo de :
Abrir un par de llaves.
Recorrer uno por uno los elementos de y verificar, para cada uno de ellos, si pertenece o no a .
Escribir dentro de las llaves, separados por comas, aquellos elementos que, en el paso anterior, no pertenezcan a .
El procedimiento termina cuando termine el recorrido por los elementos de .
Simplificar, si es necesario, las repeticiones en el conjunto resultante.
Ejemplo
71 7. Diferencia
El conjunto simplificado es .
En el caso de los conjuntos y dados, obtenemos
En comparacin con las operaciones unin e interseccin, la operacin diferencia no
tiene, a primera vista, propiedades interesantes. Ella es el patito feo de las operaciones con conjuntos. (Lo cual no quiere decir que no sea una operacin
importante para ciertos propsitos como, por ejemplo, su intervencin en la
definicin de otras operaciones que s tienen propiedades interesantes.) Veamos:
La diferencia no satisface la ley conmutativa. Esto significa que la identidad
no es vlida.
En efecto, consideremos los dos conjuntos y del siguiente diagrama:
Coloreamos (con colores diferentes) las regiones que representan, respectivamente, a
y a :
72 Conjuntos
Vemos claramente que dichas dos regiones son distintas.
Ahora, para demostrar con ms formalidad la afirmacin de que la operacin
diferencia no satisface la ley conmutativa, bastar un contraejemplo. Sean
Entonces
As, .
La diferencia no satisface la ley asociativa. En otras palabras, la identidad
es falsa.
Consideremos, por ejemplo, los tres conjuntos , y representados en el diagrama siguiente:
Comenzamos por colorear la regin que representa a :
73 7. Diferencia
y, a continuacin coloreamos la regin que representa a :
Ahora, retomamos el diagrama original y comenzamos por colorear la regin que
representa a :
74 Conjuntos
Finalmente, coloreamos la regin que representa a :
Las regiones que representan a y a son distintas. Con esto concluimos una demostracin grfica de que la identidad es falsa, de modo que ciertamente la operacin diferencia no satisface la ley asociativa.
Por otra parte, como una demostracin formal de la afirmacin anterior, aqu tambin
ser suficiente exhibir un contraejemplo. Tomemos
75 7. Diferencia
Entonces
Tenemos as que, en este caso particular, . Por tanto, la operacin diferencia no satisface la ley asociativa.
La diferencia no satisface la ley modulativa. En otras palabras, no existe un
conjunto tal que
para todo conjunto .
En efecto, supongamos que tal existe. Entonces las dos identidades
(1) y
(2)
deben cumplirse para todo conjunto . En particular, (1) debe cumplirse para precisamente. Esto es
lo cual dice que necesariamente . Pero entonces la identidad (2) se convierte en
y debe cumplirse tambin para todo conjunto . En particular, debe cumplirse, por ejemplo, para :
Pero esto dice que
lo cual es un absurdo. Hemos demostrado que la suposicin de que existe conduce lgicamente a un absurdo. Por tanto, es imposible que exista y as queda demostrado que la operacin diferencia no satisface la ley modulativa.
76 Conjuntos
La diferencia no satisface la ley de absorcin. Es decir que no existe un conjunto tal que
para todo conjunto .
Puede probarse esta afirmacin mediante un razonamiento completamente similar al
que acabamos de hacer para el caso de la ley modulativa.
La diferencia no satisface la ley de idempotencia. Esto es, la identidad
no es vlida.
Como contraejemplo, basta tomar . En efecto:
de modo que, en este caso particular,
y queda demostrado que la operacin diferencia no satisface la ley de idempotencia.
7.2. Ejercicios Respuestas
1. Sean
Calcule
Para este caso particular, cul de las cuatro afirmaciones siguientes es
verdadera?:
a. b.
c. d.
77 7. Diferencia
2. Sean
Calcule
Este ejercicio es muy fcil pero tenga cuidado! No se acelere y asegrese de
escribir bien y en orden todo lo que debe escribir. Si no saba escribir llaves, aqu
va a aprender.
3. Demuestre las siguientes identidades:
a. b.
c. d.
e.
f.
g.
4. Compruebe la validez del argumento
y selo en algn momento para demostrar la identidad
5. Compruebe la validez del argumento
y selo en algn momento para demostrar la identidad
6. Demuestre que la identidad
es falsa. Esto es, encuentre un contraejemplo (en este caso un par de conjuntos
particulares y que no satisfagan la identidad). Para su informacin, hay contraejemplos muy pequeos que usted puede encontrar rpidamente.
78 Conjuntos
7. Considere la identidad
Si es verdadera, demustrela. Si es falsa, exhiba un contraejemplo.
8. Demuestre las siguientes afirmaciones:
a.
b. Si entonces
c. Si y entonces
d. Si entonces
e. Si entonces
f. Si entonces
g. Si entonces
h. Si entonces
i.
8. Diferencia simtrica
8.1. Diferencia simtrica
Definicin Se define la diferencia simtrica entre y como el conjunto de todos aquellos elementos que pertenecen a alguno de los dos conjuntos y pero no pertenecen al otro. Se nota por el smbolo
Entonces, por comprensin,
En otras palabras, tenemos que, dado cualquiera, la equivalencia
es verdadera y, en consecuencia, las implicaciones
son tambin ambas verdaderas.
En el siguiente diagrama se muestran dos conjuntos y :
80 Conjuntos
y en el siguiente se ha coloreado la regin que representa la diferencia simtrica entre
y :
As, el diagrama de Venn de dicha diferencia simtrica es
81 8. Diferencia simtrica
Sean
El siguiente es un procedimiento para efectuar el clculo de :
Abrir un par de llaves.
Recorrer uno por uno los elementos de y verificar, para cada uno de ellos, si pertenece o no a .
Escribir dentro de las llaves, separados por comas, aquellos elementos que, en el paso anterior, no pertenezcan a .
Recorrer uno por uno los elementos de y verificar, para cada uno de ellos, si pertenece o no a .
Continuar escribiendo dentro de las llaves, separados por comas, aquellos
elementos que, en el paso anterior, no pertenezcan a .
El procedimiento termina cuando termine el recorrido por los elementos de los dos conjuntos y .
Simplificar, si es necesario, las repeticiones en el conjunto resultante.
El conjunto simplificado es .
Obtenemos
Ortografa matemtica: El smbolo de la diferencia simtrica
Observe con atencin el smbolo de la diferencia simtrica:
Note que tiene la forma de un pequeo tringulo issceles. Se trata de la letra griega delta
mayscula (cuya minscula es . La letra delta mayscula corresponde, en espaol, a la letra D, inicial de la palabra Diferencia. El smbolo no debe confundirse con otro smbolo parecido, llamado nabla,
Correcto
Ejemplo
82 Conjuntos
que se usa con otros fines en otras reas de las matemticas.
8.2. Propiedades de la diferencia simtrica En contraste con la operacin diferencia (que, como ya vimos, es el patito feo de las operaciones con conjuntos), la diferencia simtrica es una operacin muy bonita debido a que posee varias propiedades interesantes.
Diferencia Diferencia simtrica
En primer lugar, los dos teoremas siguientes muestran formas alternativas de entender
la diferencia simtrica. Dependiendo de las circunstancias y el propsito, una de las
tres formas (la original y las dos alternativas) puede resultar ms apropiada que las
otras dos.
Incorrecto
83 8. Diferencia simtrica
Teorema
Demostracin Sea
Entonces, por la definicin de diferencia simtrica,
y, por las leyes del significado de los conectivos,
As, por las definiciones de unin e interseccin,
Luego, por definicin de diferencia,
Esto prueba la inclusin
El mismo razonamiento anterior, aplicado en reversa, muestra que la inclusin
tambin es verdadera. En consecuencia,
El teorema siguiente justifica el nombre diferencia simtrica:
Teorema
Demostracin Sea
Entonces, por la definicin de diferencia simtrica,
84 Conjuntos
y, por las leyes del significado de los conectivos,
Ahora bien, por las definiciones de diferencia y unin,
Tenemos as demostrada la inclusin
El mismo razonamiento, aplicado en reversa, prueba la inclusin
Por consiguiente,
Los siguientes teoremas muestran que la diferencia simtrica satisface por lo
menos tres de las propiedades bsicas que satisfacen la unin y la interseccin.
Teorema (Ley conmutativa de la diferencia simtrica)
Demostracin Similar a la del teorema que establece la ley conmutativa de la
conjuncin
Teorema (Ley asociativa de la diferencia simtrica)
Demostracin Similar a la del teorema que establece la ley asociativa de la
conjuncin
Resulta ilustrativo efectuar una demostracin grfica de esta ley. En el siguiente
diagrama tenemos tres conjuntos , y :
85 8. Diferencia simtrica
Coloreamos primero la regin que representa a :
A continuacin, coloreamos la regin que representa a . Haremos esto en tres pasos. Primero coloreamos la regin que representa a , luego la que representa a y, finalmente, la que representa a :
86 Conjuntos
A continuacin, coloreamos la regin que representa a . Lo haremos en cuatro pasos. Primero, coloreamos la regin que representa a , luego la que representa a , luego la que representa a y, finalmente la que representa a :
87 8. Diferencia simtrica
88 Conjuntos
que es exactamente la misma regin que representa a .
Teorema (Ley modulativa de la diferencia simtrica)
Demostracin Por la ley conmutativa de la diferencia simtrica, la igualdad es verdadera. Luego, ser suficiente demostrar que la identidad es verdadera.
Sea
Por definicin de diferencia simtrica,
Pero, por definicin del conjunto vaco,
Entonces, por modus tollendo ponens,
Esto prueba la inclusin
89 8. Diferencia simtrica
Ahora, sea
Como, por definicin del conjunto vaco,
entonces, por la ley de la conjuncin,
y, por la ley de adicin,
De este modo, por la ley del significado de la disyuncin exclusiva,
y, por definicin de diferencia simtrica,
Esto prueba la inclusin
De este modo, queda probada la identidad
Teorema
Demostracin Por la ley conmutativa de la diferencia simtrica, la igualdad es verdadera. Luego, basta demostrar que la identidad es verdadera. Sea
Entonces, por definicin de diferencia simtrica,
(1)
Ahora bien, por la ley del tercio excluido,
90 Conjuntos
Vamos a probar ahora que es imposible que . Supongamos . Entonces, de (1), por modus ponendo tollens,
De este modo, por la ley de la conjuncin, tenemos
es decir, por definicin de diferencia,
Pero, por definicin de conjunto universal, y, en consecuencia, . Luego,
que es una contradiccin. Esto significa que, en realidad, es imposible que . Por consiguiente, en virtud del modus tollendo ponens,
Entonces, de (1), por modus tollendo ponens,
De este modo, por la ley de la conjuncin, tenemos
que, por definicin de diferencia, significa
Por consiguiente, hasta aqu hemos demostrado que
si entonces
Esto es, hemos demostrado la inclusin
Ahora, vamos a probar la inclusin . Supongamos que
Entonces, por definicin de diferencia,
91 8. Diferencia simtrica
y, por la ley de adicin,
As, por la ley del significado de la disyuncin exclusiva,
Luego, de acuerdo con la definicin de diferencia simtrica,
De este modo, hemos demostrado la inclusin
con lo cual queda demostrada la identidad
Teorema (Ley de nilpotencia de la diferencia simtrica)
Demostracin Basta probar que el conjunto no posee elementos. Supongamos que posee alguno:
Entonces, por definicin de diferencia simtrica,
Pero, dado el significado de las disyunciones exclusivas, esta es una contradiccin.
Por consiguiente, es imposible que posea elementos.
8.3. Ejercicios Respuestas
1. Sean
Calcule
2. Sean
92 Conjuntos
donde los objetos , , , , , y se suponen todos diferentes entre s. Calcule
3. Sean
donde los objetos , , y se suponen todos diferentes entre s. Calcule
4. Sean , y las colecciones definidas as:
Calcule
5. Sean , y las colecciones definidas as:
Calcule
6. La estudiante Porcincula sostiene que la frmula
es cierta porque tom
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