Pauta de Desarrollo Solemne 01 FMF 003 01-2012 Pregunta 01) Hallar dos números positivos tales que su producto sea x y uno sea el quíntuplo del otro.
Desarrollo: Sean a y b los números a calcular:
• Su producto es x ⇒ a b = x⋅
• Uno es el quíntuplo del otro ⇒ a = 5 b⋅ Combinando las ecuaciones:
2 2 x x5 b b = x 5 b = x b b =
5 5⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⇒ = ⇒
Reemplazando el resultado de b:
xa = 5
5⋅
1 x a b
a 1 2,24 0,45
b 3 3,87 0,77
c 5 5,00 1,00
d 6 5,48 1,10
e 10 7,07 1,41
Pregunta 02) Para armar una tienda de campaña en un terreno horizontal, un grupo de excursionistas insertan en el suelo ganchos en los puntos A y B de la figura. En el punto D, instalan un palo vertical de altura H = 1,2 [m] que en su extremo superior C tiene un aro. Luego, amarran el extremo de una cuerda en el gancho A, se pasa la cuerda por el aro de C y se amarra el otro extremo en el gancho B. Si se asume que las dos
porciones de la cuerda están totalmente rectas y estiradas (sin “pandeo”) y se sabe que α = ααααº y β
= ββββº, la longitud total de la cuerda es:
Desarrollo: De la figura, la longitud de la cuerda está dada por:
21L ℓℓ +=
Por definición de seno y coseno:
• ( ) ( )αα
senHH
sen 11
=⇒= ℓℓ
• ( ) ( )ββ
cosHH
cos 22
=⇒= ℓℓ
Finalmente
( ) ( ) ( ) ( )
+⋅=+=βαβα cos
1sen
1H
cosH
senH
L
2 ααααº ββββº L [m] a 10 20 8,19 b 15 20 5,91 c 30 30 3,79 d 45 60 4,10 e 20 65 6,35
Pregunta 03) Se ha rodeado un terreno de forma cuadrada por un muro de 0.2 [m] de espesor, con lo cual su área disminuyó en A [m2]. ¿Cuál era el área original del terreno?
Desarrollo:
Sea “a” el lado del terreno cuadrado primitivo. El área original es 20A = a
Al construir el muro, cada lado del terreno disminuye en 0.4 [m]. Luego, el área final es
( )2
fA = a - 0.4
Del enunciado 0 fA A = A−
Reemplazando y despejando el valor de “a”:
( )22 2 2a a - 0.4 = A a a 0.8 a 0.16= A
0.8 a 0.16 = A 0.8 a 0.16 A
a 0.2 + 1.25 A
− ⇒ − + ⋅ −⇒ ⋅ − ⇒ ⋅ = +⇒ = ⋅
Finalmente, el área original del terreno es:
( )2
0A = 0.2 + 1.25 A⋅
3 A [m2] A0 [m2]
a 10 161,29
b 20 635,04
c 30 1421,29
d 40 2520,04
e 50 3931,29
Pregunta 04) Considere el vector A representado en la figura, cuyo módulo es ||A|| = a y
forma un ángulo α = ααααº con respecto al eje x. Las componentes cartesianas del vector son:
Desarrollo:
Gráficamente las componentes del vector A�
se aprecian en la figura adjunta
Considerando el triángulo rectángulo xOAA y usando
trigonometría básica y el ángulo = ° -180° β α se tiene
( ) ( )yy
Asin = A = a sin
Aβ β⇒ ⋅�
( ) ( )xx
Acos = A = a cos
Aβ β⇒ ⋅�
Luego, el vector A�
se escribe en términos de sus componentes de la siguiente forma:
( )( ) ( )( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆA= a cos -i + a sin -j = -a cos i - a sin jβ β β β⋅ ⋅ ⋅ ⋅�
Por lo tanto las componentes cartesianas son:
( ) ( )x yA = -a cos ,A = -a sinβ β⋅ ⋅
Nota: También se puede aplicar el cambio de coordenadas de polares a cartesianas usando el
ángulo °α .
a ºα xA yA
a) 3 190 -2.95 -0.52
b) 4 200 -3.76 -1.37
c) 8 250 -2.74 -7.52
d) 2 230 -1.29 -1.53
e) 5 210 -4.33 -2.50
y
xºα
A�
xA
yA
O
A
β
Pregunta 05)
El vector M, de magnitud M [cm] forma un ángulo de 36° en sentido contrario al de las manecillas del reloj sobre el eje positivo de las “x”. Se le suma un vector de magnitud N y la resultante es un vector de magnitud 5 [cm] en dirección -x. Encontrar el valor de N.
Desarrollo:
Del enunciado, M + N = R� � �
, donde
• ( ) ( )ˆ ˆM = M cos 36° x + M sen 36° y⋅ ⋅�
• ˆ ˆx yN = N x + N y
�
• ˆR = -5x �
Para encontrar las componentes del vector N desarrollamos la suma en cada eje: Para el eje x
( ) ( )( )x xM cos 36° N -5 N - 5 M cos 36°⋅ + = ⇒ = + ⋅
Para el eje y
( ) ( )y yM sen 36° N 0 N M sen 36°⋅ + = ⇒ = − ⋅
Finalmente, el valor de N está dado por: 2 2x yN= N N + N=
�
5 M [cm] Nx [cm] Ny [cm] N [cm]
a 5 -9,05 -2,94 9,51
b 10 -13,09 -5,88 14,35
c 15 -17,14 -8,82 19,27
d 20 -21,18 -11,76 24,22
e 25 -25,23 -14,69 29,19
Pregunta 06) Dados los vectores espaciales A = (4,7,-4) y B = (Bx, By, Bz) Si estos vectores parten de un mismo punto, ¿Qué ángulo mínimo se forma entre ellos?.
Desarrollo: De la definición de producto punto
( ) ( ) -1A•B A•BA•B = A B cos cos cos
A B A Bθ θ θ
⋅ ⋅ ⇒ = ⇒ = ⋅ ⋅
� � � �� � � �
� � � �
Donde
• x y zA•B = 4 B 7 B 4 B⋅ + ⋅ − ⋅� �
• ( )22 2A = 4 +7 + -4 = 16 + 49 + 16 81 9= =�
• 2 2 2x y zB = B +B +B
�
6 Bx By Bz
A•B� �
B�
( )cos θ θ ° a) -3 0 -1 -8 3,16 -0,28 106,33 b) 0 2 -3 26 3,61 0,80 36,75 c) 2 -4 0 -20 4,47 -0,50 119,80 d) -2 2 0 6 2,83 0,24 76,37 e) -1 2 0 10 2,24 0,50 60,20
Pregunta 07) Sobre una superficie horizontal se encuentran dos bloques de igual material y distinto tamaño con masas Ma = 20 [kg] y Mb = 60 [kg] respectivamente. Los cubos están unidos por una cuerda de masa despreciable que forma con la horizontal un ángulo de 60°. A nivel del centro del cubo más grande se aplica una fuerza horizontal de magnitud F= F [N] que arrastra ambos cuerpos. No existe roce entre los bloques y la superficie. ¿Cuál será la tensión de la cuerda?
Desarrollo: Para el cuerpo a:
• Eje x: ( ) a s a s a s
1T cos 60º = M a T = M a T = 2 M a
2⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅
• Eje y: ( )a aN + T sen 60º = M g⋅ ⋅
Para el cuerpo b:
• Eje x:
( ) b s
b s b s
F - T cos 60º = M a
1F - T = M a 2 F - T = 2 M a
2
⋅ ⋅ ⇒
⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅
• Eje y: ( )b bN = M g + T sen 60º ⋅ ⋅
Donde as es la aceleración del sistema. Reemplazando ecuaciones:
( )a s b s a b s sa b
F2 F - 2 M a = 2 M a F M M a a
M M⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒ =
+
Finalmente, aa
a b a b
2 MFT = 2 M F
M M M M⋅⋅ ⋅ = ⋅
+ +
Evaluando los datos del enunciado, [ ]
( )[ ] [ ] [ ] 2 20 kg FT = F N N
20 60 kg 2
⋅⋅ =
+
7 F [N] T [N]
a) 30 15
b) 40 20
c) 50 25
d) 60 30
e) 70 35
Na
Ma·g
60º
T
Nb
Mb·g
F60º
T
Pregunta 08) La figura muestra dos cuerpos W y P cuyas masas son mW = M [kg] y mP = 3,5 [kg]. Si el sistema se encuentra en reposo, determine el módulo de la reacción normal entre el cuerpo P y la superficie que lo sostiene. Considere la aceleración de gravedad g = 10 [m/s2], y que las poleas y superficies están libres de fricción.
Desarrollo: En primer lugar determinemos la tensión de la cuerda, para esto consideremos el diagrama de cuerpo libre del cuerpo W Entonces la suma de las fuerzas verticales según la 2a Ley de Newton, es igual a la masa por la aceleración “vertical”. Es decir
v vF = M a⋅∑
Como el sistema se encuentra en reposo tenemos va = 0 , luego
vF = T - M g = M 0 = 0⋅ ⋅∑ ⇒ T = M g⋅
Por otro lado el diagrama de cuerpo libre del cuerpo P es el mostrado en la figura, en forma análoga a lo anterior se tiene
v vF = m a⋅∑
Como el sistema se encuentra en reposo tenemos va = 0 , luego
vF = T + N - mg = m 0 = 0⋅∑ ⇒ N = m g - T⋅
⇒ N = m g - M g = (m - M) g⋅ ⋅ ⋅
Reemplazando valores:
( )[ ] ( )[ ]2
mN = 3.5 - M kg 10 35 - 10 M N
s ⋅ = ⋅
8 M [kg] N [N] a) 1,1 24 b) 1,3 22 c) 1,5 20 d) 1,7 18 e) 1,9 16
Pregunta 09) Sobre un cuerpo actúan tres fuerzas, tal como indica la figura. La fuerza vertical F2 posee magnitud 5[N], la fuerza horizontal F3 magnitud 2[N] y la fuerza F1 tiene componentes (aî+3j) [N]. Si la fuerza neta sobre el cuerpo es (Xî+8j)[N] ¿cuál es el valor de “a”?.
Desarrollo:
Los vectores implicados son [ ]ˆ ˆ1F = ai + 3j N�
, [ ]ˆ2F = 5j N�
y ˆ3F = -2i�
[ ]N
La suma de las fuerzas es:
( )[ ] ( )( )[ ]ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 2 3F + F + F = ai + 3j + 5j - 2i N = a - 2 i +8j N� � �
Igualando esto al vector resultante:
( )( )[ ] ( )[ ]ˆ ˆ ˆ ˆa - 2 i +8j N Xi +8j N= (Xî+8j)[N] = ((a-2)î + 8j)[N]
Concluimos que:
X = a - 2 a = X + 2⇒
9 X a
a) 1 3
b) 2 4
c) 3 5
d) 4 6
e) 5 7
Pregunta 10) Una masa m1 = 300 [g] cuelga del extremo de un cordón, el cual es sostenido por la mano de un estudiante como se muestra en la figura. Un segundo cordón, que sostiene una masa m2 = M [g], cuelga de la parte inferior de la primera masa. Calcular la tensión en cada cuerda cuando el sistema acelera hacia abajo con aceleración a= a [m/s 2]. Utilice g = 9.8 [m/s2].
Desarrollo: Considerando que la primera masa esta sometida a las siguientes fuerzas: su peso, una tensión T1 hacia arriba y a la tensión T2 hacia abajo. Aplicando la segunda ley de Newton:
2 1 1 1T + m g - T m a ⋅ = ⋅
Para la masa que esta colgando, las fuerzas presentes son: su peso y la tensión T2 hacia arriba. Aplicando la segunda ley de Newton:
2 2 2m g - T m a ⋅ = ⋅
De esta última expresión se puede determinar T2:
( )2 2T = m g - a⋅
Reemplazando en la otra ecuación:
( )( ) ( ) ( ) ( )
2 1 1 1
1 2 1 1 2
m g - a + m g - T m a
T m g - a + m g - a m m g - a
⋅ ⋅ = ⋅
= ⋅ ⋅ = + ⋅
Reemplazando valores
( ) ( )[ ]1T 0.3 M 9.8 - a N= + ⋅
( )[ ]2T = M 9.8 - a N⋅
11 M [g] a [m/s 2] T1 [N] T2 [N]
a) 100 0,3 3,80 0,95 b) 300 0,4 5,64 2,82 c) 500 0,5 7,44 4,65 d) 700 0,6 9,20 6,44
e) 900 0,7 10,92 8,19
m1
T1
T2
m1g
a m2
T2
m2g
a
Pregunta 11) Un alambre de longitud A = A [m] se divide en dos partes tal que la longitud de la menor es tres cuartas partes de la mayor. Determine la longitud (en metros) de la parte mayor.
Desarrollo:
Sean x = longitud de lado menor, y = longitud de lado mayor, ambas medidas en metros. Las relaciones que se establecen son:
3x = y
4x + y = A
⋅
Si reemplazo la primera ecuación en la segunda queda:
3y + y = A
47
y = A4
⋅
⋅
Al despejar y, que representa la longitud del lado mayor, queda:
4y = A
7⋅
11 A [m] y [m]
a) 14 8
b) 21 12
c) 28 16
d) 35 20
e) 42 24
Pregunta 12) Dados los vectores A = (3,-6,1), B =(1,5,0) y C = (a, b, c). Hallar el vector V = 2�B - A+ 3�C
Desarrollo: Resolvemos:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( )( )
V = 2 B - A + 3 C = 2 1,5,0 - 3,-6,1 + 3 a,b,c
V = 2,10,0 - 3,-6,1 + 3 a, 3 b, 3 c
V = 2 - 3 + 3 a,10- -6 +3 b, 0 - 1+3 c
V = 3 a -1, 3 b +16, 3 c - 1
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
a b c V a) 2 0 -1 (5, 16, -4) b) -2 -3 1 (-7, 7, 2) c) 3 3 2 (8, 25, 5) d) 0 -4 2 (-1, 4, 5) e) 5 2 1 (14, 22, 2)