Matematicas para Economistas 3MAT 138 (Hor 0936)

Prof. J. Cuadros Valle

2014 -II

Los siguientes dos ejercicios, deben ser entregados el viernes durante la practi-ca calificada. El trabajo es individual y se calificara tal cual. Tabajos fotocopiadoso trabajos repetidos seran calificados con nota cero.

1. (4 puntos) Un sistema

x = f(x, y)

y = g(x, y)

es llamado un sistema hamiltoniano si existe una funcion H(x, y) para la cual f = Hy y g = Hx. Lafuncion H se dice que es un hamiltoniano. Pruebe los siguientes hechos sobre sistemas hamiltonianos.

a) Si fx+gy = 0, entonces el sistema es hamiltoniano (recuerde el teorema de Clairaut para segundasderivadas!).

b) Muestre que a lo largo de cualquier curva solucion, H(x, y) es constante y por tanto todas lascurvas integrales estan dadas va H(x, y) = constante. (recuerde la regla de la cadena!)

c) Muestre que si un sistema hamiltoniano tiene un equilibrio, entonces este no puede ser ni asintoti-camente estable ni asintoticamente inestable (como son la races del jacobiano asociado? ).

d) Muestre que la ecuacion (ecuacion dinamica conservativa) x = h(x) puede expresarse como unsistema hamiltoniano.

e) Halle el hamiltoniano para el sistema x = y, y = x x2 y dibuje las curvas integrales de estesistema (esto es, segun el item b, las curvas de nivel del hamiltoniano).

f ) En un sistema hamiltoniano, el hamiltoniano esta dado por H(x, y) = x2 +4y4. Escriba el sistemay determine los equlibrios. Dibuje las curvas de nivel.

2. (4 puntos) Un sistema

x = f(x, y)

y = g(x, y)

es llamado sistema gradiente si existe una funcion G(x, y) para la cual f = Gx y g = Gy.

a) Si fy gx = 0, muestre que el sistema es un sistema gradienteb) Muestre que a lo largo de cualquier curva solucion, dG(x,y)dt 0.c) Explique por que la existencia de una curva solucion periodica equivale a la existencia de tiempos

t0 = T0 y t1 = T tal que G(x(T ), y(T ))G(x(T0), y(T0)) = 0.d) Del teorema fundamental del calculo uno puede escribir la igualdad

G(x(T ), y(T ))G(x(T0), y(T0)) = TT0

dG(x, y)

dtdt.

Use esto para concluir que no es posible para sistemas gradiente, la existencia de curvas solucionperiodicas.

e) Muestre que si un sistema gradiente tiene un equilibrio, entonces este no es ni un centro ni unaespiral.

f ) Muestre que el sistema x = 9x2 10xy2, y = 2y 10x2y es una sistema gradiente.g) Muestre que el sistema x = sen(y), y = x cos(y) no tiene curvas solucion periodicas.