Solución de un problema de PlaneaciónAgregada Multicriterio a través deEstrategias de Ampliación de Capacidad
Camilo Bernal & otros
Resumen
Este artículo desarrolla un plan óptimo de producción haciendo uso de planeacióntáctica y estratégica con modelos de programación lineal bajo distintos criterios de decisión.
La ampliación de capacidad se realiza a través de tiempo extra, turnos, subcontrata-ción, compra de máquinas y modelos combinados. Estos modelos constituyen una poderosaherramienta en la toma de decisiones, especialmente en las empresas manufactureras.
Keywords: Planeación agregada, Capacidad disponible, Aumento de capacidad, Progra-mación lineal, Capacidad requerida.
1
1 Introducción 2
1. Introducción
Los sistemas de producción se gestionan teniendo en cuenta múltiples criteriosde decisión, y son estos criterios los que muchas veces condicionan que la capacidaddisponible de producción cumpla con las demandas del mercado, por lo que se deberecurrir a estrategias de ampliación de capacidad que se adapten mejor a cada sistemae,n particular. Estas decisiones de gestión revelan un factor diferenciador entre lasempresas que consiguen los mas altos rendimientos y las que no.
A continuación se presenta un análisis detallado de un caso de planeación agrega-da de la producción, abordado desde múltiples criterios de decisión, en el que se buscaescoger la estrategia o combinación de ellas, que más se adecue a las necesidades delsistema.
2 Análisis de capacidades 3
2. Análisis de capacidades
Con el fin de establecer la necesidad de ampliar o no la capacidad del sistema deproducción y determinar los ocios productivos, se calculan y analizan las capacidadesinstalada, disponible y neta requerida teniendo en cuenta los datos particulares delproblema de planeación.
2.1. Capacidad Instalada por etapa de proceso, por periodoCijk:
Cik = DHk ∗NT ∗HT ∗Nmi − gi ∗Nmi (2.1)
Donde:
DHk Días hábiles para el período k
NT Número de turnos
HT Horas por turno
2.2. Capacidad Disponible de maquinaria por etapa de proceso,por periodo CDMjk:
CDMjk = DH ∗HT ∗NT ∗NM−(gkj ∗
(G1+G2+G3∑n
j=1 NMj
))∗NMj
(2.2)
Donde:
NM Número de máquinas
gkj Tiempo perdido por mantenimiento en cada etapa
G Pérdida por factores organizacionales
2 Análisis de capacidades 4
2.3. Capacidad neta requerida por período CNjk:
CNjk =n∑
i=1tsij ∗Dik (2.3)
Donde:
tsij Tiempo estándar del producto i en la etapa j
Dik Demanda del producto i en el período k
2.4. Ocio productivo por período Ok:El ocio productivo es la sub-utilización de la capacidad disponible de cualquier
recurso utilizado en la producción, se halla como la diferencia entre la capacidaddisponible y la capacidad neta requerida.
Ok = CDMk − CNjk (2.4)Donde:
CDMk Capacidad disponible para el período k
2.5. Capacidad Disponible del recurso de mano de obraCDMOk:
CDMOk = DHk ∗NT ∗HT ∗Nopk−(G2 +G3 +G4)k
(2.5)
Donde:
Nopk Número de operarios en el período k
2.6. Ocio productivo de la mano de obra por periodo Omk:
Omk = CDMOk − CRMOk (2.6)Donde:
CRMOk Capacidad requerida mano de obra en el período k
3 Descripción del modelamiento 5
3. Descripción del modelamiento
El modelo se plantea para sistemas que no cuentan con la capacidad suficientepara cumplir con los requerimientos de demanda mínima.
Es por esto que se presentan diferentes estrategias de ampliación de la capacidadcon el fin de dar factibilidad al problema de producción.
A continuación se mencionan las consideraciones básicas que se tienen en cuentapara la formulación matemática del problema, y para cada estrategia en particularse agregarán las variables, parámetros y restricciones pertinentes al igual que seilustrará sus respectivas funciones objetivos.
Para resolver cada una de las estrategias de ampliación de la capacidad se re-comienda el paquete de Linux GLPK, que es básicamente un conjunto de rutinasescritas en ANSI C, y que facilita el desarrollo de problemas de programación linealy programación entera mixta, entre otros.
Teniendo en cuenta que para las estrategias en que es aplicable y viable la pro-gramación fraccional se le dio un tratamiento a las funciones que consiste en aplicarel teorema de Charnes y Cooper a fin de linealizar la función objetivo.
Según este teorema, los modelos de programación lineal fraccional, en general,tienen la estructura dada por la definición 3.
Teorema de Charnes y Cooper
MaxF =∑n
j=1 CjXj+c0∑n
j=1 djXj+d0; c0, d0 6= 0
s.a :∑nj=1 aijXj ≤ bi ∀i = 1, 2, . . .mXj ≥ 0∀j = 1, 2, . . . n
(3.1)
Donde:
F Es la función objetivo, compueta por la relación de dos funciones unacóncava y la otra convexa
Cj Vector paramétrico que acompaña a las variables de decisión en el nume-rador de la función objetivo
dj Vector paramétrico que acompaña a las variables de decisión en el deno-minador de la función objetivo
aij Matriz de coeficientes tecnológicos
bi Vector del lado derecho
3 Descripción del modelamiento 6
c0 Término independiente en el numerador de la función objetivo
d0 Término independiente en el denominador de la función objetivo∑nj=1 aijXj ≤ bi ∀i = 1, 2, . . .m Son las restricciones del sistema
Xj ≥ 0 Son las restricciones lógicas de no-negatividad
Para resolver los problemas de programación fraccional lineal es necesario realizarun proceso de transformaciones lineales definiendo (3.2) y (3.3) así:
t = 1∑nj=1 djXj + d0
(3.2)
Yj = t ∗Xj ∀j = 1, 2, . . . n (3.3)
Y luego sustituyendo se obtiene (3.4):
MaxF ∗ = ∑nj=1 CjYj + c0t
s.a :∑nj=1 aijYj − bit ≤ 0∀i = 1, 2, . . .m∑n
j=1 djYj + d0t = 1t, Yj ≥ 0∀j = 1, 2, . . . n
(3.4)
4 Ampliación de la capacidad mediante inventario y déficit. 7
4. Ampliación de la capacidad mediante inventario y déficit.
4.1. Nuevos parámetros:Cmanti: Costo de mantener producto tipo i
Cdefi: Costo de déficit del producto tipo i
4.2. Nuevas variables de decisión:Iik: Inventario a generar del producto tipo i en el trimestre k
Sik: Déficit a generar
NBb: Numero de bodegas a utilizar tipo b
Hbk: Holgura en bodega
4.3. Restricciones:Equilibrio
Dminik ≤ Xik + Ii,k−1 + Sik − Iik − Si,k−1 ≤ Dmaxik (4.1)
Capacidad disponiblem∑
i=1Xik ∗ tsij ≤ CDjk (4.2)
Mano de obram∑
i=1
n∑j=1
tsij ∗Opj ∗Xik ≤ CDMOk (4.3)
Disponibilidad de materialm∑
i=1TCim ∗Xik ≤ DMkm (4.4)
Área disponible en bodega
4 Ampliación de la capacidad mediante inventario y déficit. 8
m∑i=1
Tcai ∗ (Xik + Iik) ≤ CBb (4.5)
Número de bodegas a utilizarm∑
i=1Tcai ∗ (Xik + Iik) ≤ CantBb ∗ CBb (4.6)
Subutilización de bodegam∑
i=1Tcai ∗ (Xik + Iik) +Hbk = CantBb ∗ CBb (4.7)
Restricciones lógicas
Xik, CantBb εN (4.8)
4.4. Función objetivoMinimizando costo de producción
MinZ = ∑mi=1
∑Kk=1
∑Mm=1 (Ci + CMkm ∗ TCim) ∗Xik
+Cmanti ∗ Iik + Cdefi ∗ Sik + Cnuebb ∗ FoBbk
+CantBb ∗ CBb + CSBm2 ∗Hbk
(4.9)
Maximizando el ingreso
MaxZ =m∑
i=1
K∑k=1
PV ∗ (Xik + Sik + Iik) (4.10)
Maximizando la utilidadMinZ = ∑m
i=1∑K
k=1∑M
m=1 [PV ∗ (Xik + Sik + Iik)]−[(Ci + CMkm ∗ TCim) ∗Xik + Cmanti ∗ Iik + Cdefi ∗ Sik
+Cnuebb ∗ FoBbk + CantBb ∗ CBb + CSBm2 ∗Hbk](4.11)
Maximizando el volumen de producciónm∑
i=1
K∑k=1
Xik (4.12)
Minimizar el ocio productivom∑
i=1
n∑j=1
K∑k=1
tsij ∗Xik (4.13)
5 Ampliación de la capacidad mediante tiempo extra 9
5. Ampliación de la capacidad mediante tiempo extra
5.1. Nuevos parámetros:Cdipejk Capacidad disponible en tiempo extra para la etapa j para el trimestre k
Cexti Costo de producción unitario en tiempo extra para producto tipo i
5.2. Nuevas variables de decisión:Xeik Cantidad a producir en tiempo extra del producto tipo i en el trimestre
tipo k
Hextjk Horas extras a contratar en la etapa j en el trimestre k
5.3. RestriccionesEquilibrio
Dminik ≤ Xnik +Xe
ik ≤ Dmaxik (5.1)
Capacidad disponible en tiempo normalm∑
i=1Xn
ik ∗ tsij ≤ CDnjk (5.2)
Capacidad disponible en tiempo extram∑
i=1Xe
ik ∗ tsij ≤ CDejk (5.3)
Mano de obra en tiempo normalm∑
i=1
n∑j=1
tsij ∗Opj ∗Xnik ≤ CDMOn
k (5.4)
Mano de obra en tiempo extram∑
i=1
n∑j=1
tsij ∗Opj ∗Xeik ≤ CDMOe
k (5.5)
5 Ampliación de la capacidad mediante tiempo extra 10
Disponibilidad de materialm∑
i=1TCim ∗ (Xn
ik +Xeik) ≤ DMkm (5.6)
Área disponible en bodega1
m∑i=1
Tcai ∗ (Xnik +Xe
ik) ≤ CBb (5.7)
Número de bodegas a utilizarm∑
i=1Tcai ∗ (Xn
ik +Xeik) ≤ CantBb ∗ CBb (5.8)
Subutilización de bodegam∑
i=1Tcai ∗ (Xn
ik +Xeik) +Hbk = CantBb ∗ CBb (5.9)
Horas extra a contratar
Hextk ≤Maximo de hrs extra a contratar (5.10)
Restricciones lógicas
Xnik, X
eik, Hextk, CantBb εN (5.11)
5.4. Función objetivoMinimizando costo de producción
MinZ = ∑mi=1
∑Kk=1
∑Mm=1 Ci ∗Xn
ik + (Ci +Recargo) ∗Xeik
+ (Xnik +Xe
ik) ∗ TCim ∗ CMkm + Cmanti ∗ (Xnik +Xe
ik)+Cnuebb ∗ FoBbk + CantBb ∗ CBb + CSBm2 ∗Hbk
(5.12)
Maximizando el ingreso1 Para el uso de bodegas se considera que se produce y se va acumulando en bodegas y al final
del período se despacha todo
5 Ampliación de la capacidad mediante tiempo extra 11
MaxZ =m∑
i=1
K∑k=1
PV ∗ (Xnik +Xe
ik) (5.13)
Maximizando la utilidad
MinZ = ∑mi=1
∑Kk=1
∑Mm=1 [PV ∗ (Xn
ik +Xeik)]−
[Ci ∗Xnik + (Ci +Recargo) ∗Xe
ik + Cmanti ∗ (Xnik +Xe
ik)+ (Xn
ik +Xeik) ∗ TCim ∗ CMkm + Cnuebb ∗ FoBbk
+CantBb ∗ CBb + CSBm2 ∗Hbk]
(5.14)
Maximizando el volumen de producción
m∑i=1
K∑k=1
(Xnik +Xe
ik) (5.15)
Minimizar el ocio productivo
m∑i=1
n∑j=1
K∑k=1
tsij ∗ (Xnik +Xe
ik) (5.16)
6 Ampliación de la capacidad mediante aumento de turnos 12
6. Ampliación de la capacidad mediante aumento de turnos
6.1. Nuevo parámetro:CN Costo de planeación de turno
6.2. Nueva variable de decisión:NTAjk Numero de turnos adicionales en la etapa j en el trimestre k
6.3. RestriccionesEquilibrio
Dminik ≤ Xnik ≤ Dmaxik (6.1)
Capacidad disponible
m∑i=1
Dh ∗Ht ∗Ntjk ∗NMj −m∑
i=1Xik ∗ tsij ≥
[gj + G2 +G3 +G4∑n
j=1 NMj
]∗NMj (6.2)
Mano de obram∑
i=1
n∑j=1
tsij ∗Opj ∗Xnik ≤ CDMOn
k (6.3)
Disponibilidad de materialm∑
i=1TCim ∗Xik ≤ DMkm (6.4)
Área disponible en bodegam∑
i=1Tcai ∗Xik ≤ CBb (6.5)
Número de bodegas a utilizarm∑
i=1Tcai ∗Xik ≤ CantBb ∗ CBb (6.6)
6 Ampliación de la capacidad mediante aumento de turnos 13
Subutilización de bodegam∑
i=1Tcai ∗Xik +Hbk = CantBb ∗ CBb (6.7)
Restricciones lógicas
Xik, CantBb, NTjk εN (6.8)
6.4. Función objetivoMinimizando costo de producción
MinZ = ∑mi=1
∑Kk=1
∑Mm=1 (Ci + CMkm ∗ TCim) ∗Xik
+CN ∗NTj,k−1 + Cnuebb ∗ FoBbk + Cmanti ∗Xik
+CantBb ∗ CBb + CSBm2 ∗Hbk
(6.9)
Maximizando el ingreso
MaxZ =m∑
i=1
K∑k=1
PV ∗Xik (6.10)
Maximizando la utilidad
MinZ = ∑mi=1
∑Kk=1
∑Mm=1 [PV ∗Xik]−
[(Ci + CMkm ∗ TCim) ∗Xik + Cmanti ∗Xik + CN ∗NTj,k−1+Cnuebb ∗ FoBbk + CantBb ∗ CBb + CSBm2 ∗Hbk]
(6.11)
Maximizando el volumen de producción
m∑i=1
K∑k=1
Xik (6.12)
Minimizar el ocio productivo
m∑i=1
n∑j=1
K∑k=1
tsij ∗Xik (6.13)
7 Ampliación de la capacidad mediante subcontratación 14
7. Ampliación de la capacidad mediante subcontratación
7.1. Nuevos parámetros:CapMaxSik Capacidad máxima posible a subcontratar del producto tipo i en el
trimestre tipo k
Csci Costo de sub contratar producción para producto tipo i
7.2. Nueva variable de decisión:Xsik Cantidad a sub contratar del producto tipo i en el trimestre tipo k
7.3. RestriccionesEquilibrio
Dminik ≤ Xik +Xsik ≤ Dmaxik (7.1)
Capacidad disponiblem∑
i=1Xik ∗ tsij ≤ CDjk (7.2)
Mano de obram∑
i=1
n∑j=1
tsij ∗Opj ∗Xik ≤ CDMOk (7.3)
Disponibilidad de materialm∑
i=1TCim ∗Xik ≤ DMkm (7.4)
Área disponible en bodegam∑
i=1Tcai ∗Xik ≤ CBb (7.5)
Número de bodegas a utilizar
7 Ampliación de la capacidad mediante subcontratación 15
m∑i=1
Tcai ∗Xik ≤ CantBb ∗ CBb (7.6)
Subutilización de bodegam∑
i=1Tcai ∗Xik +Hbk = CantBb ∗ CBb (7.7)
Restricciones lógicas
Xik, Xsik, CantBb εN (7.8)
7.4. Función objetivoMinimizando costo de producción
MinZ = ∑mi=1
∑Kk=1
∑Mm=1 (Ci + CMkm + TCim) ∗Xik
+Csc ∗Xsik + Cnuebb ∗ FoBbk + Cmanti ∗Xik
+CantBb ∗ CBb + CSBm2 ∗Hbk
(7.9)
Maximizando el ingreso
MaxZ =m∑
i=1
K∑k=1
PV ∗ (Xik +Xsik) (7.10)
Maximizando la utilidad
MinZ = ∑mi=1
∑Kk=1
∑Mm=1 [PV ∗ (Xik +Xsik)]−
[(Ci + CMkm ∗ TCim) ∗Xik + Cmanti ∗Xik + Csc ∗Xsik
+Cnuebb ∗ FoBbk + CantBb ∗ CBb + CSBm2 ∗Hbk](7.11)
Maximizando el volumen de producción
m∑i=1
K∑k=1
Xik (7.12)
Minimizar el ocio productivo
m∑i=1
n∑j=1
K∑k=1
tsij ∗Xik (7.13)
8 Ampliación de la capacidad mediante subcontratación e inventario y déficit 16
8. Ampliación de la capacidad mediante subcontratación einventario y déficit
8.1. Restricciones:Equilibrio
Dminik ≤ Xik +Xsik + Ii,k−1 + Sik − Iik − Si,k−1 ≤ Dmaxik (8.1)
Capacidad disponiblem∑
i=1Xik ∗ tsij ≤ CDjk (8.2)
Mano de obram∑
i=1
n∑j=1
tsij ∗Opj ∗Xik ≤ CDMOk (8.3)
Disponibilidad de materialm∑
i=1TCim ∗Xik ≤ DMkm (8.4)
Área disponible en bodegam∑
i=1Tcai ∗ (Xik + Iik) ≤ CBb (8.5)
Número de bodegas a utilizarm∑
i=1Tcai ∗ (Xik + Iik) ≤ CantBb ∗ CBb (8.6)
Subutilización de bodegam∑
i=1Tcai ∗ (Xik + Iik) +Hbk = CantBb ∗ CBb (8.7)
Restricciones lógicas
Xik, Xsik, CantBb εN (8.8)
8 Ampliación de la capacidad mediante subcontratación e inventario y déficit 17
8.2. Función objetivoMinimizando costo de producción
MinZ = ∑mi=1
∑Kk=1
∑Mm=1 (Ci + CMkm ∗ TCim) ∗Xik
+Cmanti ∗ Iik + Cdefi ∗ Sik + Cnuebb ∗ FoBbk
+CantBb ∗ CBb + CSBm2 ∗Hbk + Csc ∗Xsik
(8.9)
Maximizando el ingreso
MaxZ =m∑
i=1
K∑k=1
PV ∗ (Xik +Xsik + Sik + Iik) (8.10)
Maximizando la utilidad
MinZ = ∑mi=1
∑Kk=1
∑Mm=1 [PV ∗ (Xik +Xsik + Sik + Iik)]−
[(Ci + CMkm ∗ TCim) ∗Xik + Cmanti ∗ Iik + Cdefi ∗ Sik
+Cnuebb ∗ FoBbk + CantBb ∗ CBb + CSBm2 ∗Hbk + Csc ∗Xsik](8.11)
Maximizando el volumen de producción
m∑i=1
K∑k=1
Xik (8.12)
Minimizar el ocio productivo
m∑i=1
n∑j=1
K∑k=1
tsij ∗Xik (8.13)
9 Ampliación de la capacidad mediante subcontratación y aumento de turnos 18
9. Ampliación de la capacidad mediante subcontratación yaumento de turnos
9.1. RestriccionesEquilibrio
Dminik ≤ Xik ≤ Dmaxik (9.1)
Capacidad disponiblem∑
i=1Dh ∗Ht ∗Ntjk ∗NMj −
m∑i=1
Xik ∗ tsij ≥[gj + G2 +G3 +G4∑n
j=1 NMj
]∗NMj (9.2)
Mano de obram∑
i=1
n∑j=1
tsij ∗Opj ∗Xnik ≤ CDMOn
k (9.3)
Disponibilidad de materialm∑
i=1TCim ∗Xik ≤ DMkm (9.4)
Área disponible en bodegam∑
i=1Tcai ∗Xik ≤ CBb (9.5)
Número de bodegas a utilizarm∑
i=1Tcai ∗Xik ≤ CantBb ∗ CBb (9.6)
Subutilización de bodegam∑
i=1Tcai ∗Xik +Hbk = CantBb ∗ CBb (9.7)
Restricciones lógicas
Xik, Xsik, CantBb, NTjk εN (9.8)
9 Ampliación de la capacidad mediante subcontratación y aumento de turnos 19
9.2. Función objetivoMinimizando costo de producción
MinZ = ∑mi=1
∑Kk=1
∑Mm=1 (Ci + CMkm ∗ TCim) ∗Xik
+CN ∗NTj,k−1 + Cnuebb ∗ FoBbk + Cmanti ∗Xik
+CantBb ∗ CBb + CSBm2 ∗Hbk + Csc ∗Xsik
(9.9)
Maximizando el ingreso
MaxZ =m∑
i=1
K∑k=1
PV ∗ (Xik +Xsik) (9.10)
Maximizando la utilidad
MinZ = ∑mi=1
∑Kk=1
∑Mm=1 [PV ∗ (Xik +Xsik)]−
[(Ci + CMkm ∗ TCim) ∗Xik + Cmanti ∗Xik + CN ∗NTj,k−1+Cnuebb ∗ FoBbk + CantBb ∗ CBb + CSBm2 ∗Hbk + Csc ∗Xsik]
(9.11)
Maximizando el volumen de producción
m∑i=1
K∑k=1
Xik (9.12)
Minimizar el ocio productivo
m∑i=1
n∑j=1
K∑k=1
tsij ∗Xik (9.13)
10 Ampliación de la capacidad mediante subcontratación y horas extra 20
10. Ampliación de la capacidad mediante subcontratación yhoras extra
10.1. RestriccionesEquilibrio
Dminik ≤ Xnik +Xe
ik +Xsik ≤ Dmaxik (10.1)
Capacidad disponible en tiempo normalm∑
i=1Xn
ik ∗ tsij ≤ CDnjk (10.2)
Capacidad disponible en tiempo extram∑
i=1Xe
ik ∗ tsij ≤ CDejk (10.3)
Mano de obra en tiempo normalm∑
i=1
n∑j=1
tsij ∗Opj ∗Xnik ≤ CDMOn
k (10.4)
Mano de obra en tiempo extram∑
i=1
n∑j=1
tsij ∗Opj ∗Xeik ≤ CDMOe
k (10.5)
Disponibilidad de materialm∑
i=1TCim ∗ (Xn
ik +Xeik) ≤ DMkm (10.6)
Área disponible en bodegam∑
i=1Tcai ∗ (Xn
ik +Xeik) ≤ CBb (10.7)
Número de bodegas a utilizar
10 Ampliación de la capacidad mediante subcontratación y horas extra 21
m∑i=1
Tcai ∗ (Xnik +Xe
ik) ≤ CantBb ∗ CBb (10.8)
Subutilización de bodegam∑
i=1Tcai ∗ (Xn
ik +Xeik) +Hbk = CantBb ∗ CBb (10.9)
Horas extra a contratar
Hextk ≤Maximo de hrs extra a contratar (10.10)
Restricciones lógicas
Xnik, X
eik, Xsik, Hextk, CantBb εN (10.11)
10.2. Función objetivoMinimizando costo de producción
MinZ = ∑mi=1
∑Kk=1
∑Mm=1 Ci ∗Xn
ik + (Ci +Recargo) ∗Xeik
+ (Xnik +Xe
ik) ∗ TCim ∗ CMkm + Cmanti ∗ (Xnik +Xe
ik)+Cnuebb ∗ FoBbk + CantBb ∗ CBb + CSBm2 ∗Hbk + Csc ∗Xsik
(10.12)
Maximizando el ingreso
MaxZ =m∑
i=1
K∑k=1
PV ∗ (Xnik +Xe
ik +Xsik) (10.13)
Maximizando la utilidadMinZ = ∑m
i=1∑K
k=1∑M
m=1 [PV ∗ (Xnik +Xe
ik)]−[Ci ∗Xn
ik + (Ci +Recargo) ∗Xeik + Cmanti ∗ (Xn
ik +Xeik)
+ (Xnik +Xe
ik) ∗ TCim ∗ CMkm + Cnuebb ∗ FoBbk
+CantBb ∗ CBb + CSBm2 ∗Hbk + Csc ∗Xsik]
(10.14)
Maximizando el volumen de producciónm∑
i=1
K∑k=1
(Xnik +Xe
ik) (10.15)
Minimizar el ocio productivom∑
i=1
n∑j=1
K∑k=1
tsij ∗ (Xnik +Xe
ik) (10.16)
11 Ampliación de la capacidad mediante subcontratación y compra de maquinaria 22
11. Ampliación de la capacidad mediante subcontratación ycompra de maquinaria
11.1. Nuevos parámetros:CAmork Costo de amortización de maquina en cada periodo k
11.2. Nuevas variables de decisión:MaqCjk Número de maquinas a comprar para la etapa j en el periodo k
11.3. RestriccionesEquilibrio
Dminik ≤ Xik +Xsik ≤ Dmaxik (11.1)
Capacidad disponible
∑mi=1 Xik ∗ tsij +
(gj + G∑n
j=1 NMj
)∗ (NMj +MaqCj)
≤ CDjk +Dhk ∗HT ∗MaqCj
(11.2)
Mano de obram∑
i=1
n∑j=1
tsij ∗Opj ∗Xik ≤ CDMOk (11.3)
Disponibilidad de materialm∑
i=1TCim ∗Xik ≤ DMkm (11.4)
Área disponible en bodegam∑
i=1Tcai ∗Xik ≤ CBb (11.5)
Número de bodegas a utilizar
11 Ampliación de la capacidad mediante subcontratación y compra de maquinaria 23
m∑i=1
Tcai ∗Xik ≤ CantBb ∗ CBb (11.6)
Subutilización de bodegam∑
i=1Tcai ∗Xik +Hbk = CantBb ∗ CBb (11.7)
Restricciones lógicas
Xik, Xsik, CantBb,MaqCj εN (11.8)
11.4. Función objetivoMinimizando costo de producción
MinZ = ∑mi=1
∑Kk=1
∑Mm=1 (Ci + CMkm + TCim) ∗Xik
+Csc ∗Xsik + Cnuebb ∗ FoBbk + Cmanti ∗Xik
+CantBb ∗ CBb + CSBm2 ∗Hbk + CAmork ∗MaqCj
(11.9)
Maximizando el ingreso
MaxZ =m∑
i=1
K∑k=1
PV ∗ (Xik +Xsik) (11.10)
Maximizando la utilidad
MinZ = ∑mi=1
∑Kk=1
∑Mm=1 [PV ∗ (Xik +Xsik)]−
[(Ci + CMkm ∗ TCim) ∗Xik + Cmanti ∗Xik + Csc ∗Xsik
+Cnuebb ∗ FoBbk + CantBb ∗ CBb + CSBm2 ∗Hbk + CAmork ∗MaqCj](11.11)
Maximizando el volumen de producción
m∑i=1
K∑k=1
Xik (11.12)
Minimizar el ocio productivo
m∑i=1
n∑j=1
K∑k=1
tsij ∗Xik (11.13)
12 Ampliación mediante inventario en déficit, horas extras, turnos y subcontratación 24
12. Ampliación mediante inventario en déficit, horas extras,turnos y subcontratación
12.1. RestriccionesEquilibrio
Dminik ≤ Xnik +Xe
ik +Xsik + Ii,k−1 + Sik − Iik − Si,k−1 ≤ Dmaxik (12.1)
Capacidad disponible en tiempo normal
m∑i=1
Dh ∗Ht ∗Ntjk ∗NMj −m∑
i=1Xik ∗ tsij ≥
[gj + G2 +G3 +G4∑n
j=1 NMj
]∗NMj (12.2)
Capacidad disponible en tiempo extram∑
i=1Xe
ik ∗ tsij ≤ CDejk (12.3)
Mano de obra en tiempo normalm∑
i=1
n∑j=1
tsij ∗Opj ∗Xnik ≤ CDMOn
k (12.4)
Mano de obra en tiempo extram∑
i=1
n∑j=1
tsij ∗Opj ∗Xeik ≤ CDMOe
k (12.5)
Disponibilidad de materialm∑
i=1TCim ∗ (Xn
ik +Xeik) ≤ DMkm (12.6)
Área disponible en bodegam∑
i=1Tcai ∗ (Xn
ik +Xeik + Iik) ≤ CBb (12.7)
Número de bodegas a utilizar
12 Ampliación mediante inventario en déficit, horas extras, turnos y subcontratación 25
m∑i=1
Tcai ∗ (Xnik +Xe
ik + Iik) ≤ CantBb ∗ CBb (12.8)
Subutilización de bodegam∑
i=1Tcai ∗ (Xn
ik +Xeik + Iik) +Hbk = CantBb ∗ CBb (12.9)
Máximo número de hrs extra a contratar
Hextk ≤Max. hrs extra a contratar (12.10)Máximo número de turnos a contratar
NTk ≤Max. numero turnos a contratar (12.11)
Restricciones lógicas
Xik, Xsik, CantBb, NTjk, Hextk εN (12.12)
12.2. Función objetivoMinimizando costo de producción
MinZ = ∑mi=1
∑Kk=1
∑Mm=1 (Ci + CMkm ∗ TCim) ∗ (Xn
ik +Xeik + Iik)
+CN ∗NTj,k−1 + Cnuebb ∗ FoBbk + Cmanti ∗ (Xnik +Xe
ik + Iik)+CantBb ∗ CBb + CSBm2 ∗Hbk + Csc ∗Xsik + Cdefi ∗ Sik
(12.13)
Maximizando el ingreso
MaxZ =m∑
i=1
K∑k=1
PV ∗ (Xnik +Xe
ik + Iik + Sik) (12.14)
Maximizando la utilidad
MinZ = ∑mi=1
∑Kk=1
∑Mm=1 [PV ∗ (Xn
ik +Xeik + Iik + Sik)]−
[(Ci + CMkm ∗ TCim) ∗ (Xnik +Xe
ik + Iik) + Cmanti ∗ (Xnik +Xe
ik + Iik) + CN ∗NTj,k−1+Cnuebb ∗ FoBbk + CantBb ∗ CBb + CSBm2 ∗Hbk + Csc ∗Xsik + Cdefi ∗ Sik]
(12.15)
Maximizando el volumen de producción
12 Ampliación mediante inventario en déficit, horas extras, turnos y subcontratación 26
m∑i=1
K∑k=1
Xnik +Xe
ik (12.16)
Minimizar el ocio productivo
m∑i=1
n∑j=1
K∑k=1
tsij ∗ (Xnik +Xe
ik) (12.17)
12 Ampliación mediante inventario en déficit, horas extras, turnos y subcontratación 27
Conclusión
La planeación agregada es una útil herramienta de la Ingeniería Industrial usadaen múltiples contextos, que nos permite tener una visión más amplia del sistemaproductivo que se está analizando, proporcionándole además a la empresa la posibi-lidad de seleccionar el criterio que más se ajuste a sus condiciones y necesidades. Alrealizar una planeación táctica se reduce el tiempo de planeación así como aumentanlas diferentes alternativas de ampliación de capacidad del sistema, de esta forma, unmodelo multicriterio permite examinar con detalle todos los elementos de un proble-ma, lo que hace posible discernir la solución que mejor satisface una meta de manerarigurosa.
El planteamiento de modelos matemáticos deben tener en cuenta la escalabilidaddel sistema y la capacidad de cómputo con que cuenta la empresa, para lo cual serrecomienda inicialmente plantear un modelo general e ir profundizando en él segúnse necesite en la organización. Para empezar conviene que el nivel de agregación searelativamente alto y que permita calcular rápidamente la cantidad global de recursospara la ejecución de los planes. La desagregación debe hacerse con precaución ysólo hasta donde sea estrictamente necesario, debido a que la desagregación de losplanes de producción aumentan considerablemente la complejidad y capacidad deinterpretación de los sistemas.
Se recomienda fijar unos cuantos objetivos bien específicos antes de iniciar laconstrucción del modelo y no combinar demasiadas estrategias simultáneas. Los re-sultados del modelo han de servir para apoyar el proceso de toma de decisiones perono reemplazarán en ningún caso los conocimientos expertos y el sentido común delos analistas.
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