POLARES
Teorema: Si el polo y el eje polar del sistema de coordenadas polares
coinciden, respectivamente, con el origen y la parte positiva del
eje X de un sistema de coordenadas rectangulares, el paso de
uno a otro de estos dos sistemas puede ejecutarse por medio de
las siguientes fórmulas de transformación.
I) x=r cosθ , y=r senθ , x2+ y2=r 2 ,arctan ( yx )=θ
II)cosθ=± x
√x2+¿ y2, senθ=±x
√ x2+¿ y2 , r=±√x2+ y2 , tan θ= yx¿¿
Demostración: En OHP:
i) OH=OPcosθ⟹x=rcosθ…(1) ii) H P=OP senθ⟹ y=rsenθ…(2)
iii) tanθHPOH
⟹ yx=tanθ…(3)
iv) OH 2+HP2=OP2⟹ x2+ y2=r2…(4)
Ejemplos:
I) Halle las coordenadas rectangulares del punto P cuyas coordenadas
polares son:
1¿P1(2 ,π4) 2¿P2(4 ,
2π3
) 3¿P3(4 ,3 π4
) 4 ¿P4(−2 ,π3
)
5¿P5(8 ,5 π12
) 6¿P6(2 ,5 π4
) 7¿P7(−3 ,5π6
)
8¿P8(3√2 ,3π4
)
Solución: Un punto P(x,y) en coordenadas polares se expresa como
P(r , θ) donde:
x=rcosθ y y=rsenθ , luego, si :
1) P1(2 , π4 )⟹ r=2 y θ= π4, entonces :a¿ x=rcosθ=2cos π
4=2. √2
2⟹ y=√2