P(x) = 3x4 +2x3 – x2 + 8x +10
Q(x;y) = 5xy3 +10x
R(x;y;z) = 2zy4 + 2x3 – xy2 + 8xz + z
PolinomioSe denomina así a una expresión algebraica racional entera.
Ejemplos
Todo polinomio puede constar de uno o más monomios
M(x) = 3x4
Q(x;y) = 5xy3
R(x;y;z) = -xy4z2
MonomioEs la expresión algebraica racional en la que se prevén solamente dos operaciones respecto a sus variables: multiplicación y elevación a la potencia natural.
Ejemplos
NOTACIÓN DE UN POLINOMIO
Un polinomio en variable X y Y se puede representar así:
Se lee:“P de x e y” el cual significa:“P” depende de x e yY además:x;y Son variablesa,b,c Son constantesm,n,p,s Son exponentes
Grado relativo con respecto a una variable
(mayor exponente de la variable)
84653 2081);;( yzxzyxzyxP
GR(x)= GR(y)= GR(z)=4 5 8
GA = 10 GA = 8 GA = 3
8x7y3 – 3x4y4 + 6xy2
GA = 10
Grado absoluto de un polinomio(mayor grado absoluto de los
términos)
Ejemplo 1
214224 435);( yxyxyxyxQ mm
Si se sabe que el grado relativo a x es 5 halla:
a)El valor de m
b)El grado absoluto del polinomio
Solución:
Ejemplo 2
2124324 435);( yxyxyxyxQ n
Si se sabe que el grado absoluto del polinomio es 9 halla: n2 + 1
Por lo tanto:
2 1 2 92 63
nnn
Solución:
2 2 1
9 1 10
1 3n
2 1 10n
Ejercicio 1
5 2 3 5 1( ; ) 3 5a a a a aP x y x y x y x y
Si se sabe que el grado del polinomio es 11 halla: 3GR(x) - GR(y)
Respuesta: 17
CONCEPTO
• Son aquellas expresiones enteras cuyas características (grado, coeficientes y variables) y por la forma cómo se representan, guardan ciertas propiedades implícitas que las hacen notables.
Polinomio ordenado
x4y3 + 2x2y5 – 3xy8
Polinomio ordenado respecto a “x” en forma decreciente
Polinomio ordenado respecto a “y” en forma creciente.
La variable que presenta esta característica se denomina ORDENATRIZ
Ejemplo:
La variable “x” es ordenatriz decreciente de P.
La variable “y” es ordenatriz creciente de P.
x4y3 + 2x2y5 – 3x1y8
7 2 5 4 3 6 9( , ) 6 5 8 4P x y x y x y x y y
Polinomio completo
Polinomio completo con respecto a x.
Es incompleto respecto a y
x4y + 3x2y5 – 3x3 +xy4 – 5x0
x4y + 3x2y5 – 3x3 +xy4 – 5
x4y + 3x2y5 – 3x3 +xy4 – 5x0
COROLARIOSCOROLARIO 1:
En todo polinomio completo de una variable, el número de términos es igual al grado de la expresión aumentado en 1
Ejemplo:
# de términos = G(P) + 1
# de términos = 4 + 1=5
3 5 2 4( ) 4 7 5 6 2 8P x x x x x x
COROLARIOSCOROLARIO 2:
En todo polinomio ordenado y completo de una variable, la diferencia de grados (en valor absoluto) de dos términos consecutivos, es igual a la unidad:
Ejemplo:
1( ) ( ) 1k kgrado t grado t
6 5 4 3 21 2 3 4 5 6( ) oP x a x a x a x a x a x a x a
1T 2T 3T 4T 5T 6T 7T
3 4( ) ( ) 4 3 1grado t grado t
Polinomio homogéneo
Polinomio homogéneo de grado 8
6x5y3 – 3x4y4 + 6x6y2
GA = 8 GA = 8 GA = 8
Un polinomio de dos o más términos y más de una variable es homogéneo, si dichos términos presentan el mismo grado absoluto, denominado grado de homogeneidad
Polinomios idénticos
Si P y Q son idénticos,
entonces a = 5; b = 2; c = -8
P(x) = ax3 + bx2 + c
Q(x) = 2x2 +5x3 – 8
PQ
Polinomio opuesto
Si P(x;y) = x4y3 + 2x2y5 – 3xy8
el polinomio opuesto de P es:
-P(x;y) = – x4y3 – 2x2y5 + 3xy8
Ejercicio 1
caabb xxxxR 272 25)(
Si se sabe que el polinomio es completo y ordenado en forma ascendente, calcula el valor de 2abc. Indica el grado del polinomio.
Respuestas:a)2abc = 160b)GA = 2
Ejercicio 2
xcbxaxxxxdxP 12392642)( 2323
Si se sabe que el polinomio es idénticamente nulo, calcula el valor de -7(a+b+c+d)
Respuesta: 84
Ejercicio 3
yxyxxyxR abb 22712 262);(
Si se sabe que el polinomio es homogéneo, calcula el valor de a – b.
Respuesta: -1
PRACTICA Calcular la suma de los valores de “n” para los cuales la
expresión es un polinomio:
Para que valor o valores de “n” la expresión de las variables “x” y “y” es racional entera.
Del polinomio: si el GA(P) =11; GR(x) – GR(y)=5. Hallar el valor de 2m+n.
Determinar el valor de a + b si el polinomio:
Es de grado 28 y la diferencia de grados relativos a: x e y sea igual a 6.
12810 2
2 2( , ) 4 3n
nP x y x y
7 2 10( 3) ( 2)n n nn x x y n y
3 2 2 3( , ) 15 n m n mP x y x y x y
2 3 1 2 4 2 2 2( , ) a b a b a b a b a b a bQ x y x y x y x y
PRACTICA Hallar ab(a+b) si el polinomio:
Es homogéneo Determinar la suma de coeficientes si el polinomio:
Es completo y ordenado. De un polinomio Q(x,y) completo, homogéneo de grado
8 y ordenado crecientemente respecto a x, se han tomado tres términos consecutivos que son:
Obtener el GR(y) en el término M
2 2 8( , ) 5a b a b b a b a bP x y x y x y x y
( ) ( ) ( ) ( )m n n p m pQ x p x y m x y n x y mnp
2 2... ...a b b ax y M x y