UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALAFACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES
PRE-NIVELACIÓN Y ADMISIÓN (SNNA)
PORTAFOLIO DE
MATEMÁTICASNOMBRE:
JEISON CASTILLO
PROFESOR
ING. SARA CRUZ NARANJO
CURSO:
ADMINISTRACIÓN
PARALELO: “E”
MACHALA - EL ORO – ECUADOR
2012 -2013
INTRODUCCION
1
La matemática es ciencia, conocimiento, aprendizaje, que estudia las cantidades y
las formas, sus relaciones, así como su evolución en el tiempo, se puede usar el
término matemáticas, que es la forma más habitual
Aunque no es la considerada una ciencia natural definen e investigan estructuras y
conceptos abstractos de resolución de problemas, debido a que tales estructuras
pueden proveer, por ejemplo, una generalización elegante, o una herramienta útil
para cálculos.
Además consideran la matemática es como una forma de arte práctico o aplicado.
La matemática es un arte, pero también una ciencia de estudio. Informalmente, se
puede decir que es el estudio de los "números y símbolos". Es decir, es la
investigación de estructuras abstractas, utilizando la lógica y la notación
matemática.
Es también la ciencia de las relaciones espaciales y cuantitativas. Se trata de
relaciones exactas que existen entre cantidades y magnitudes, y de los métodos
por los cuales, de acuerdo con estas relaciones, las cantidades buscadas son
deducibles a partir de otras cantidades conocidas o presupuestas.
No es infrecuente encontrar a quien describe la matemática como una simple
extensión de los lenguajes naturales humanos, que utiliza una gramática y un
vocabulario definidos con extrema precisión, cuyo propósito es la descripción y
exploración de relaciones conceptuales y físicas.
Recientemente, sin embargo, los avances en el estudio del lenguaje humano
apuntan en una dirección diferente y los lenguajes formales son estructuras de
naturaleza básicamente diferente.
ÍNDICE
2
CAPITULO 1
1. Lógica de conjuntos…………………………………………………………...61.1. Proposiones…………………………………………………………………..81.2. Operadores lógicos………………………………………………………...121.3. Proposiciones simples y compuestas……………………………………141.4. Formas proposicionales……………………………………………………161.5. Propiedades de los operadores lógicos………………………………….181.6. Razonamientos……………………………………………………………..201.7. Demostraciones…………………………………………………………….221.8. Conjuntos……………………………………………………………………241.9. Cuantificadores……………………………………………………………..261.10. Operadores entre conjuntos……………………………………………...281.11. Propiedades de las operaciones entre conjuntos……………………...301.12. Predicados………………………………………………………………….331.13. Pares ordenados y producto cartesiano………………………………..361.14. Relaciones…………………………………………………………………401.15. Funciones…………………………………………………………………..42
CAPITULO 2
2.1. Representación decimal…………………………………………………...442.2. Operaciones binarias………………………………………………………482.3. Operaciones entre numero reales………………………………………..502.4. Relaciones de orden……………………………………………………….532.5. Conceptos asociados al conjunto de los números enterados…………582.6. Expresiones algebraicas…………………………………………………..602.7. Valor absoluto………………………………………………………………622.8. Ecuaciones………………………………………………………………….652.9. Inecuaciones………………………………………………………………..672.10. Inducción matemática…………………………………………………….682.11 Técnicas de conteo………………………………………………………..702.12. Teorema del binomio……………………………………………………..742.13. Sucesiones…………………………………………………………………78
CAPITULO 4
4.1. Ángulos con sus medidas………………………………………………….784.2. Funciones trigonométricas…………………………………………………804.3. Graficas de funciones trigonométricas……………………………………814.4. Funciones trigonométricas…………………………………………………824.5. Identidades trigonométricas……………………………………………………………………83
3
4.6. Ecuaciones e inecuaciones trigonométricas……………………………..84
CAPITULO 11
11.1. Estadística y probabilidades……………………………………………...8511.2. Estadística descriptiva………………………………………………….....8711.2. Organización de datos…………………………………………………….9011.3. Gráficos de representación……………………………………………....9111.4. Medidas de tendencia central y no central……………………………...9211.5. Medidas y dispersión……………………………………………………...9311.6. Probabilidades……………………………………………………………..9411.7. Conjuntos y probabilidades……………………………………………....95
Conclusiones Recomendaciones
Bibliografía
CAPITULO 14
LÓGICA Y CONJUNTOS
1.1 PROPOSICIÓN
Es un método en la cual no acepta conclusiones erróneas. Esto se puede lograr
definiendo en forma estricta cada uno de los conceptos.
Es una oración en la cual puede ser Verdadero o solo es Falsa.
Ejercicios:
a) Oraciones que son proposiciones.
a) El atardecer en la playa es romántico.
b) La edad de gloria es de 17 años.
b) Representación simbólica de proposiciones.
a) 5 es un número primo.
b) Los números divisibles para 8 son divisibles para 2.
1.2 OPERADORES LÓGICOS
Valor de Verdad: Es la cualidad que describe la proposición en la cual puede
ser verdadero o falso. El valor verdadero siempre se lo asocia con: 1, V, T, True;
mientras que el valor falso se lo asocia con: 0, F, False.
Tabla de verdad: Es en donde se representa los posibles valores de
verdad que se podría tomar una proposición.
Construcción de la tabla d verdad.
5
Operadores Lógicos:
Se lo usa frecuentemente para proposiciones más complejas.
Negación: Es cuando está representada simbólicamente por ¬a y este valor de
verdad viene con una tabla de verdad.
Conjunción: Esta representada por el símbolo ^, es una nueva proposición, en
español, la disyunción se presenta con el término gramatical “y”.a continuación su
tabla de verdad.
Disyunción: En este operador lógico relaciona dos proposiciones para formar una
nueva, En español, la disyunción se presenta con el término gramatical “o”.
Disyunción Exclusiva: Relaciona dos proposiciones para formar una nueva, en la
cual la proposición resultante será verdadera cuando solamente una de ellas sea
verdadera. En español, la disyunción exclusiva se presenta con el término
gramatical “o”, “o sólo”, “o solamente”, “o..., o...”.
Condicional: Se la denomina hipotética o implicación. Es utiliza como hipótesis y
la proposición resultante será falsa solamente cuando el valor de verdad del
6
antecedente sea verdadero, y se representa de la siguiente manera: “→”.
Bicondicional: Se denomina también de doble implicación. La proposición
a↔b será verdadera cuando los valores de verdad de ambas proposiciones sean
iguales.
Ejercicios:
A) Como espinaca b) la lógica es fácil c) me divierto con este deber.
Parafrasee las siguientes proposiciones:
a) (a ∧ b) ↔ c
B) Como espinaca y la lógica es fácil si solo si me divierto con este deber.
C) (b ∧ c) → a
1.3 PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS
Proposiciones simples son aquellas que no poseen operador lógicoalguno. Las
proposiciones compuestas están formadas por otrasproposiciones y operadores
lógicos.
Ejemplos:
7
1.4 FORMAS PROPOSICIONALES
Nos permitirá identificar la diferencia entre proposiciones y formas proposicionales
al igual que las implicaciones y equivalencias lógicas. Son representadas con
letras mayúsculas. A, B, C…
Ejercicios:
A)Si la forma proposicional f (p, q, r) es tautológica, entonces f (0, 0, 0) es una
proposición falsa.
a) Verdadero b) Falso
B)Si p, q y r son variables proposicionales, entonces ¬ p → (q ∨ ¬ r) es una
contradicción.
a) Verdadero b) Falso
1.5 PROPIEDADES DE LOS OPERADORES LÓGICOS
Tautología: Es cuando una proposición es únicamente Verdadera.
Contradicción: Es cuando una proposición siempre va a ser Falsa.
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Contingencia: Cuando la proposición puede ser verdadera o falsa.
Implicación Lógica: Sean A y B dos formas proposicionales, se dice que A
implica lógicamente a B, denotado por A⇒B, si y sólo si A→B es una tautología.
Equivalencia lógica: Las sentencias p y q son lógicamente equivalentes si
poseen el mismo contenido lógico.
Propiedades de los operadores lógicos
Ejercicios
a) Empleando álgebra proposicional, identifique cuál de las siguientes formas
proposicionales NO es tautológica.
a) [(p → q) ∧ (r → s)] → [(p ∧ r) → (q ∧ s)]
b) [p ∧ (p → q)] → q
c) [(p → q) ∧ (q → r)] → (p ∧ r)
d) [(p → q) ∧ p] → q
e) (p → 0) → ¬ p
¬[¬(pvq)] v ¬q
(pvq) v ¬q
qv¬q
1
B) Dada la proposición: “No estoy satisfecho, puesto que no me dieron el aumento
de sueldo”, identifique cuál de las siguientes proposiciones no es equivalente.
a) Si me dan aumento de sueldo, estoy satisfecho.
b) Si no me dan aumento de sueldo, no estoy satisfecho.
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c) Si estoy satisfecho, me dan aumento de sueldo.
d) Me dieron aumento de sueldo o no estoy satisfecho.
e) No me dieron aumento de sueldo sólo si no estoy satisfecho.
1.6 RAZONAMIENTOS
Son proposiciones compuestas que son representadas por la conjunción de
proposiciones denominadas hipótesis.
Validez de un razonamiento:
Es cuando la forma proposicional que se representa es una tautología.
Ejercicios:
A) Un razonamiento es válido si y sólo si su estructura lógica es una forma
proposicional tautológica.
a) Verdadero b) Falso
B) El razonamiento “Si trabajo arduamente gano un buen sueldo, pero no gano un
buen sueldo. Por lo tanto, no trabajo arduamente”, es válido.
a) Verdadero b) Falso
1.7 DEMOSTRACIONES
Demostraciones
A partir de las demostraciones se puede deducir por razonamientos validos otras
afirmaciones para poder llegar a demostrar algo.
Demostraciones Directas
Se examinan los elementos que hay y a partir de una secuencia de pasos lógicos
se podrá determinar.
Demostraciones por contraejemplo
Esto pone en evidencia que existe al menos un caso en el cual la proposición no
es verdadera.
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Demostraciones por reducción al absurdo
Con este método la estructura del razonamiento p→q no es tautológica. Debido a
que el operador principal de un razonamiento es la implicación, la estructura no es
tautológica si existe al menos un caso 1→0,
Ejemplos:
a) Para demostrar que p → q es verdadero, por el método de reducción al
absurdo, suponemos que ¬ p es verdadero y obtenemos una contradicción con q.
a) Verdadero b) Falso
b) Utilice el método de reducción al absurdo para demostrar las siguientes
proposiciones:
a) Llueve
b) Hay producción
a) Si (a → b) y a, entonces b.
b) Si ( a∨ b) y ¬ b, entonces a.
c) Si a se cumple, entonces ( a∨b) se cumple.
1.8 CONJUNTOS
Conjuntos
Se basa en una colección, reunión de objetos que poseen una característica
común.
Descripción de conjuntos
Cardinalidad
Es la cantidad de elemento de un conjunto. Se denota por el símbolo N(A).
Cardinalidad de conjuntos
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Conjuntos relevantes
Ejercicios
a)Determine cuál de los siguientes conjuntos es vacío:
a) A = ∅ b) D = ∅ c) B = ∅,∅ d) C = ∅, ∅ e) M = x/x ≠ x
b) Sean A, B, C, D y M como en el ejercicio anterior.
Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a) N(A) = N(D)
b) N(D) = N(C)
c) N(C) = N(M)
d) N(C) = 1
e) N(B) = N(C) + 1
1.9 CUANTIFICADORES
Cuantificadores
Parte de una serie de Cálculos Matemáticos mediante la vinculación de una
cantidad de Variables. Uno de los ejemplos más conocidos de su aplicación es sin
lugar a dudas la de Verdadero o Falso.
Cuantificador Universal
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A= Ø B=Ø,Ø C=Ø,Ø D= Ø M= x/x ≠X = N (A)= N(D) N (D) = N(C) N(C)=N(M) N(C)=11=1 Verdadero 1=1 1=Ø F 1=1 VN(B)= N(C)+1 2= 1+1 2=2
En el cuantificador universal se usa la expresión de la forma “para todo”, “todo”,
“para cada”, “cada” se simboliza ∀Cuantificador Existencial
Las expresiones de la forma “existe”, “algún”, “algunos”, “por lo menos uno”, “basta
que uno” son un lenguaje formal y se simboliza ∃.Subconjunto
El conjunto A es subconjunto de B si y solo si los elementos de A están contenidos
en B. simbólicamente, este concepto se representa por:
(A ⊆ B)⇔∀x[(x ∈A)→(x ∈B)]
Conjunto Potencia
Es el que está formado por todos los subconjuntos posibles de A. y se simboliza
con P(A).
Relaciones entre conjuntos
Igual entre conjuntos
Es cuando 2 conjuntos A y B son iguales si y solo si tienen los mismo elementos.
Y se representa así:
(A = B)⇔[(A ⊆ B)∧(B ⊆ A)]
Conjuntos disjuntos e intersecantes
Los conjuntos A y B son disjuntos si y solo si A y B no tienen elementos en común.
Ejercicios
a) Identifique cuál de las siguientes proposiciones es verdadera:
a) 5 = 5 F
b) ∉∅ Fc) 1 ∈1, 4, 2, 4 F
d) 4, 8, 23, 3= (−2)2, 8, 3 V
e) 2, 4= 2, 4 F
b) Dado el referencial Re =x/x es una letra del alfabeto castellano y los conjuntos
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A, B, C y D definidos por:
A = x/x es vocal de la palabra COMPUTACION
B = x/x es vocal de la palabra ELECTRONICA
C = x/x es consonante de la palabra BARCELONA
D = x/x es consonante de la palabra ENUMERACION
a) Tabule A, B, C y D.
b) Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I) N(A) = N(B)
II) A = B
III) E ∈ A
1.10 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Operación entre conjuntos
Nos sirve para representarla con el lenguaje simbólico respectivo, es posible
realizar operaciones entre conjuntos para formar otros nuevos. Lo mas utilizados
son la Unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complementación.
Unión
Es la unión entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formados por
elementos que pertenecen al conjunto A o B se denota por A∪B y se define
como: A∪B = x/(x ∈A)∨(x ∈B)
Intersección entre conjuntos
La intersección entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los
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AC,O,M,P,U,T,A,C,I,O,NBE,L,E,C,T,R,O,N,I,C,ACB,A,R,C,E,L,O,N,ADE,N,U,M,E,R,A,C,I,O,N
elementos que perteneces al conjunto A y B se denota: A∩B y se define:
A∩B = x/(x ∈A)∧(x ∈B)
Diferencia entre conjuntos
Entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que
perteneces al conjunto A, pero no pertenecen al conjunto B. Se denota por A−B y
se define como: A−B = x/(x ∈A)∧¬(x ∈B)
Diferencia simétrica entre conjuntos
Los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que
pertenecen o al conjunto A o al conjunto B. Se denota por A∆B y se define como:
A∆B = (A−B)∪(B−A), o también: A∆B = x/[(x ∈A)∧¬(x ∈B)]∨[(x ∈B)∧¬(x ∈A)]
Complementación de conjuntos
La complementación de un conjunto A es un nuevo conjunto formado por los
elementos del referencial que no pertenecen al conjunto A. Se denota por AC y se
define como: AC = x/(x ∈Re)∧¬(x ∈A)
Ejercicios
a) Si A = ∅, ∅, entonces ∅ ∈ A ∩ P(A).
a) Verdadero b) Falso
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b) Sean A, B y C conjuntos no vacíos. Respecto del siguiente
diagrama de Venn:
1.11 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Propiedades de las operaciones entre conjuntos
Algunas de sus mas importantes propiedades se incluyen en las denominadas
leyes de algebra de conjuntos.
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A= ∅,∅P(A)= (∅),((∅)), (∅(∅),((∅,∅)
La región sombreada corresponde a:
a) AC ∪ (B ∩ C) b) B − (A ∪ C)c) A ∩ (B ∪ C)d) A − (B ∪ C)e) B ∩ (A ∪ CC)
Ejercicios:
a) • p.d. A∪B=B∪A (Conmutatividad)
x∈(A∪B)⇔(x ∈A)∨(x ∈B) Definición de Unión.⇔(x ∈B)∨(x ∈A) Ley Conmutativa de la Disyunción.⇔x ∈(B∪A) Definición de Unión.
b) • p.d. N(A∪B) = N(A) + N(B)−N(A∩B)
A= (A−B)∪(A∩B) Expresado mediante conjuntos disjuntos.
N(A) = N(A−B)+N(A∩B) Su cardinalidad es la suma.
N(A−B) = N(A)−N(A∩B) Se obtiene esta expresión útil.
A∪B = (A−B)∪(A∩B)∪(B−A) Expresado mediante conjuntos disjuntos.
N(A∪B) = N(A−B)+N(A∩B)+N(B−A) Su cardinalidad es la suma.
N(A∪B) =N(A)−N(A∩B)+N(A∩B)+N(B)−N(B∩A) Cardinalidad de la diferencia.
N(A∪B) = N(A)+N(B)−N(A∩B) Se completa la demostración.
N(A∪B∪C) =N(A)+N(B)+N(C)−N(A∩B)−N(A∩C)−N(B∩C)+N(A∩B∩C)
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1.12 PREDICADOS
Predicados de una variable
Son expresiones en términos de una variable que al ser reemplazadas por los
elementos de un conjunto referencial, se convierte en proposiciones. La notación
para los predicados será: p(x), q(x), r(x), etc.
Conjunto de verdad de un predicado
Conjunto formado por todos los elementos de Re para los cuales el predicado se
convierte en una proposición verdadera. La notación a utilizar para este conjunto
es Ap(x), y se define como:Ap(x) = x/(x ∈Re)∧(p(x)⇔1)
Valor de verdad de proposiciones con cuantificadores
Se contiene un cuantificador universal es verdadera si y solo si el conjunto de e
verdad del predicado es igual al conjunto referencial de la expresión abierta.
xp(x)⇔(Ap(x) = Re)
Conjunto vacío
Si Re=∅, entonces ∀xp(x)⇔1, debido a que Ap(x)=Re=∅ y ∃xp(x)⇔0, por lo
tanto: ∃xp(x) ⇒∀xp(x) es una proposición verdadera.
Conjunto unitario
Si Re = a y p(a) ⇔ 1, ∀xp(x) ⇔ 1 y ∃xp(x) ⇔ 1, por lo tanto ∃xp(x) ⇒∀xp(x) es una proposición verdadera y ∀xp(x) ⇒∃xp(x)
también lo es. Luego, se puede concluir que ∃xp(x) ⇔∀xp(x).
N(Re)>1
En este caso siempre se cumple que: ∀xp(x) ⇒∃xp(x).
Leyes de los cuantificadores
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Ejercicios:
a)Sea Re = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y los predicados:
p(x): x es divisor de 284.
q(x): x + 3 < 9
r(x): x + 2 = 8
m(x): x es primo
Encuentre:
a) Ap(x) e) A[p(x) ∨ r(x)]
b) Aq(x) f) A[q(x) ∧ m(x)]
c) Ar(x) g) A[m(x) → ¬ r(x)]
d) Am(x) h) A[¬ r(x) ∧ q(x)]
e) A[p(x) ∨ r(x)]
f) A[q(x) ∧ m(x)]
g) A[m(x) → ¬ r(x)]
h) A[¬ r(x) ∧ q(x)]
b)
A[(p(x) → s(x)→(q(x)→r(x)]
A (p(x)→s(x)) U A(q(x)→r(x)
A¬(p(x)→s(x)) U A(q(x)UAr(x)
Re Ar (x) ∩As(x)
∩1,3,5
1.13 PARES ORDENADOS Y PRODUCTO CARTESIANO
Pares Ordenados y Producto Cartesiano
Un par ordenado es un conjunto de dos elementos, a y b, que tiene un orden; al
elemento a se lo denomina primera componente y al elemento b se lo denomina
segunda componente. Se representa simbólicamente por: (a, b).
Producto cartesiano
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a) AP(x)=1,2,3,4b) Aq(x)
Aq(x) 1,2,3,4,5c) r(x)= 6d) Ar(x)=2,3,5,7e) A[p(x) v r(x)] ∩ [p(x) U q(x)]
(2,6,9) U (1,2,3,4,5) (1,2,3,4,5,6,9)
f) A[p(x) v r(x)][q(x) ∩ m(x)](1,2,3,4,5) ∩(2,3,5,7,9,)
g) A[m(x)¬(x)]A(m)x U Ar (x)(1,4,6,8) U (1,2,3,4,5,6,7,8,9)(1,2,3,4,5)
h) Acm(x)→r
A[q(x) ∩ m(x)A[q(x) ∩ m (x)]1,2,3,4,5 ∩1,2,3,4,5,6
Sean dos conjuntos A y B, no vacíos, denominaremos producto cartesiano entre
A y B, al conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente
pertenece al conjunto A, y la segunda al conjunto B. Simbólicamente, lo
representaremos como: A x B.
A x B = (x, y)/(x ∈A)∧(y ∈B)
Producto cartesiano entre dos conjuntos
Producto cartesiano entre tres conjuntos
Ejercicios
A)
A = *, &, #
B = @, $, ♣
A x B = (*,@), (*,$), (*,♣), (&,@), (&,$), (&,♣), (#,@), (#,$), (#,♣)
En este ejemplo la cardinalidad del conjunto resultante es N(A x B) = 9.
b)
Si A, B, C son conjuntos tales que: N(A) = 2, N(B) = 3, N(C) = 4 y
20
N(B∩C) = 2, determine N[A x (B∪C)].
Solución:
En base a la definición de N(A x B), tenemos que:
N[A x(B∪C)] = N(A)N(B∪C)
Por otra parte:
N(B∪C) = N(B) + N(C) − N(B∩C) = 3 + 4 − 2 = 5
Luego:
N[A x(B∪C)] = (2)(5) =10
1.14 RELACIONES
Relaciones
Es la cual establece la correspondencia entre los elementos de 2 conjuntos vacíos
A y B. El conjunto A es el de partida y B de llegada. Y representa asi:R⊆ A x B
Relación Vacía
Es cuando la relación no tiene elementos.
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Dominio de una Relacion
Los elementos del conjunto A que establecen correspondencia constituyen el
22
dominio de la relación. Se representa simbólicamente por: dom R.
Rango de una Relación
Los conjuntos A y B, los elementos del conjunto B que se relacionan con
elementos del dominio de R constituyen el rango de la relación. Se representa
simbólicamente por: rg R.
Ejercicio 1: En una relación, el dominio siempre es igual al conjunto de partida.
a) Verdadero b) Falso
Ejercicio 2: Dominio y rango de una relación
A B A B
Funciones
En una relación A en B es una función si y solo si el dominio de la relación es todo
el conjunto de partida, esto quiere decir que en una función no puede existir dos
elementos del conjunto de llegada relacionado con un mismo elemento del
dominio.
23
245
1354
Don Ra = 1,3,5
1356
2367
Rg= 2,3,7
A=3,6,7,8 B=0,5,6,7 R=(x,y) / x<y
2= (3,5) (3,6) (3,7) (6,7)Dom R= 3,6Rg= 5,6,7
A C
3678
0567
Tipos de funciones
Tienen diversas características, las cuales deben ser tipificadas para su análisis y
estas dependen de la cardinalidad de los conjuntos de partida y de llegada
Función Inyectiva
f es inyectiva si cada elemento del rango es imagen exclusiva de un único
elemento del dominio. Es necesario que N(A) ≤ N(B) para poder construir
funciones inyectivas.
Función Sobreyectiva
f es sobreyectiva si rg f = B. Es necesario que N(A) ≥ N(B) para poder construir
funciones sobreyectivas.
Función Biyectiva
Estas funciones tienen propiedades importantes como las siguientes:
Función Inversible
f : A→B es inversible si y sólo si su relación inversa es una función de B en A
Teorema
f es una función inversible si y sólo si es biyectiva.
Función Inversa
24
A= 2,4,5B= 8,64, 125,216
f : A→B, “y es el cubo de x”f = (2, 8), (4, 64), (5, 125)
Es f –1: B→A, lo cual indica que el orden de los conjuntos cambia.
Adicionalmente, se puede notar que el dominio de f es el rango de f –1 y el rango
de f es el dominio de f –1.
Función Compuesta
Sean las funciones f : A→B y g : C→D, la función compuesta denotada por gof es
una función que relaciona A con D, es decir, que a partir de un elemento x de A,
se obtiene un elemento g( f (x)) de D.
Composición de Funciones
Ejercicios
A)
A = 1, 2, 3
B = a, b, c
f : A→B
f = (1, a), (2, b), (3, b)
B)
25
A = −1, 0, 1
B = 0, 1
f : A→B, “y es el cuadrado de x”
f = (−1, 1), (0, 0), (1, 1)
CAPITULO 2
NUMEROS REALES
2.1 REPRESENTACION DECIMAL
Son aquellos que pueden representarse en cifras enteras y cifras decimales con
una cantidad finita de dígitos, o con cierto número de dígitos que aparecen
indefinidamente siguiendo patrón de repetición, para lograr la representación
decimal , en el caso de números racionales es suficiente dividir el numerador para
el denominador
Ejemplos:
26
2.2 OPERACIONES BINARIAS
Son aquella que tiene cierta particularidad, si tomamos dos elementos de un
conjunto numérico, la operación general tendrá un tercer número dentro o fuera
del conjunto al cual se está haciendo referencia, es la unión y la intersección de
conjuntos también generan nuevos conjuntos, las operaciones toman 2 elementos
de un conjunto
Ejemplos
27
2.3 OPERACIONES ENTRE NUMEROS REALES
Es el conjunto de números reales, s definen las operaciones de adición (+) y
multiplicación (.)
Es importante anotar que existen algunas expresiones que no están definidas
en , algunas de ellas son:
Ejemplos:
2.4.1 RELACION DE ÓRDENES DE UN NUMERO ENTERO
Son aquellos enteros que se ordenan de mayor a menor y representados por el
signo > , que significa “mayor que” otra relación es el de “menor que “cuyo símbolo
es < y menor igual que <_ y mayor que o igual cuyo símbolo es _>
Ejemplos:
2.4.2 RELACION DE ORDEN DE NUMEROS REALES
Son números reales siempre que es posible relacionar su orden, de tal manera
que uno es mayor que el otro son iguales
Además, se puede observar que el conjunto Z cumple con las siguientes
propiedades:
28
Y Además, se puede observar que el conjunto R cumple con las siguientes
propiedades:
Cumple con las siguientes
Ejemplos:
2.5 CONCEPTOS ACOCIADOS A NUMEROS ENTEROS Y NUMEROS PRIMOS
En muchas ocasiones es necesario saber si un número es entero dividendo a otro
sin necesidad de efectuar la división para ellos se aplica ciertas reglas de
divisibilidad y los números primos es un número natural mayor que 1 que tiene
únicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1. Los números primos se
contraponen así a los compuestos, que son aquellos que tienen algún divisor
natural aparte de sí mismos y del 1. El número 1, por convenio, no se considera ni
primo ni compuesto.
Ejemplos:
29
2.5.1NUMEROS COMPUESTOS
Todo número natural no primo, a excepción del 1, se denomina compuesto, es
decir, tiene uno o más divisores distintos a 1 y a sí mismo. También se utiliza el
término divisible para referirse a estos números.
Ejemplos:
2.5.2MAXIMO COMUN DIVISOR (M.C.D)
Se define el máximo común divisor (abreviado MCD) de dos o más números
enteros al mayor número que los divide sin dejar resto. Por ejemplo, el MCD de 42
30
y 56 es 14. En efecto, y 3 y 4 son primos entre sí (no existe ningún
número natural aparte de 1 que divida a la vez al 3 y al 4).
Ejemplo:
2.5.3 MINIMO COMUN MULTIPLO (M.C.M)
El mínimo común múltiplo (abreviado MCM), de dos o más números naturales es
el menor número natural que es múltiplo de todos ellos. Sólo se aplica
con números naturales, es decir, no se usan decimales, números negativos o
números complejos.
31
Ejemplos:
A)
B)
2.5.4 NUMEROS PARES
es un número entero que se puede escribir de la forma: 2k, donde k es un entero (los
números pares son los múltiplos del número 2).
Los números enteros que no son pares, se llaman números impares (o nones), y se
pueden escribir como 2k+1.1
Ejemplos:
32
2.6 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y PORPIEDADES DE LAS FRACCIONES
Son parte elemental de las matemáticas que trata del cálculo con símbolos
literales y con operaciones abstracta que generalizan cuatro operaciones
fundamentales .Es una colección de variables y números reales. Sobre ellas se
pueden aplicar sumas, divisiones, multiplicaciones, divisiones, potencias y
extracción de raíces.
Ejemplos:
2.6.2 PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES
33
Una potencia forma parte abreviada de escribir una multiplicación en que se repite
un mismo factor un cierto número de veces, para simplificar estas se deben dar
las siguientes leyes
Ejemplos:
2.6.3 PRODUCTOS NOTABLES
es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado se
puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen
ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas
multiplicaciones habituales.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la
factorización de una diferencia decuadrados perfectos es un producto de dos binomios
conjugados, y recíprocamente.
34
Ejemplos:
2.6.4 FACTORIZACION
Es una expresión algebraica que consiste en escribirla como el producto mas
simple de sus factores. Existen diferentes técnicas de factorización, dependiendo
35
de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o
reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre
de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio
enpolinomios irreducibles.
Ejemplos:
2.6.5
RACIONALIZACION
Es convertir una fracción cuyo denominador es irracional en una fracción
36
equivalente, cuyo denominador sea racional. Cuando se racionaliza el dominador
irracional de una fracción desaparece todo signo radical del denominador
Ejemplos:
2.7 VALOR ABSOLUTO
Todo número se caracteriza por dos elementos: su valor y signo El valor absoluto
está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes
contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real
puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son
los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
Ejemplos:
37
2.8 ECUACIONES
Dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen
valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante
operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden
ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se
haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas,
representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende
hallar. Por ejemplo, en la ecuación:
Ejemplos:
38
2.8.1 ECUACIONES LINEALES
Significa que es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera
potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra
solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.
Ejemplos:
2.8.2 ECUACIONES CUADRATICAS
Es una ecuación que tiene la forma de una suma de términos, todos ellos con potencias inferiores
a las de un cuadrado, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio
de segundo grado o polinomio cuadrático. La expresión canónica general de una ecuación
cuadrática
39
2.8.1 ECUACIONES LINEALES
40
Una ecuación lineal o de primer
grado, corresponde al tipo más simple
de
Ecuación, pudiendo ser
reducida a un predicado de la forma:
x es la incógnita cuyo valor
hay que determinar. Donde La
solución de la ecuación
anterior la obtenemos así:
Ejemplos:
2.9 INECUACIONES
es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas en los
miembros de la desigualdad. Si la desigualdad es del tipo o se
denomina inecuación en sentido estricto y si es del tipo o se
denomina inecuación en sentido amplio.
41
Ejemplos:
2.9.1 INECUACIONES LINEALES
Es aquella representada con un predicado definido en el conjunto de los
reales,La solución de una inecuación lineal se puede representar haciendo uso de
intervalos en la recta numérica, la cual contiene infinito números reales.
Ejemplos:
42
2.9.2 INECUACIONES CUADRATICAS
Una inecuación cuadrática es una inecuación de la forma:a x 2 + b x + c < 0o cualquier
expresión de la forma anterior que, en lugar del símbolo < incluya cualquier otro símbolo
de desigualdad:> , ≤ o ≥.
Ejemplos:
43
2.9.3 INECUACION DE VALOR ABSOLUTO
Al inicio del semestre se señaló que el valor absoluto de valor absoluto de
un número real es la distancia entre ese número y el cero en la
recta numérica, esto es,a=-a.
Usamos este argumento para resolver ecuaciones con
valor absoluto. Por ejemplo, si x= 3, entonces x = 3 ó x = -3. Por lo tanto,
la solución de la ecuación x= 3 es -3 y 3.
Ejemplos:
44
2.10 INDUCCION MATEMATICA
Los axiomas de Peano o postulados de Peano son un conjunto
de axiomas aritméticos ideados por Giuseppe Peano en el siglo XIX. Estos
axiomas se han utilizado prácticamente sin cambios en diversas investigaciones
matemáticas, incluyendo cuestiones acerca de la consistencia y completitud de la
aritmética y la teoría de números.
Los cinco axiomas o postulados de Peano son los siguientes:
1. El 1 es un número natural.1 está en N, el conjunto de los números
naturales.
2. Todo número natural n tiene un sucesor n* (este axioma es usado para
definir posteriormente la suma).
3. El 1 no es el sucesor de ningún número natural.
4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor,
entonces n y m son el mismo número natural.
5. Si el 1 pertenece a un conjunto K de n. naturales, y dado un elemento
cualquiera k, el sucesor k* también pertenece al conjunto K, entonces
todos los números naturales pertenecen a ese conjunto K. Este último
axioma es el principio deinducción matemática.
45
Ejemplos:
46
2.11 TECNICAS DE CONTEO
Cuando en un experimento, el número de resultados posibles es pequeño, es
relativamente facil de listar y contar todos los posibles resultados.
Sea n,m enteros no negativos tales que n _> m, el símbolo (n m) que se lee “
combinatorias de n elementos comando de m de ellos a la vez se calcular de la
siguiente manera
(nm) = ____n!_______
m!( n – m)
Ejemplos:
47
2.11.1 PRINCIPIOS DE LA SUMA (ADITIVO)
Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser
realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M
maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas
…..y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas,
entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de:
M + N + ………+ W maneras o formas
Ejemplos:
48
2.11.2 PRINCIPIOS DE LA MULTIPLICACION (MULTIPLICACION)
Si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer otra cosa, hay m x
n formas da hacer ambas cosas
Utilizando una fórmula: Número total de arreglos = m x n
Esto puede ser extendido a más de 2 eventos, para 3 eventos, m, n, y o: Núm.
total de arreglos = m x n x o
Ejemplos:
a) Una mujer tiene tres sombreros y cuatro brazaletes. Si piensa usar sombrero y
brazalete para una fiesta, ¿cuántas diferentes combinaciones puede llevar?
Solución: 3 ´ 4 = 12 diferentes combinaciones sombrero-brazalete.
b) Tenemos tres diferentes lugares para comer pizza; dos para hamburguesa y
cuatro para pollo. ¿A cuántos diferentes lugares podemos ir a almorzar? Solución:
3 + 2 + 4 = 9 diferentes lugares.
2.11.3 PERMUTACION Y COMBINACION
Las permutaciones son la cantidad de ordenaciones de un conjunto de n
elementos.
la formula general es Pn= n!
Las combinaciones son las ordenaciones de n-k elementos sin importar el orden
La fórmula General seria combinaciones de n tomados de a k Cn,k= n!/[(n-k)!k!]
Ejemplo
cuantas palabras con o sin sentido puedo formar con las letras de la palabra ASDFG, la cantidad
de palabras serian P5= 5!
la formula general es Pn= n!
cuantas palabras de 4 letras puedo formar con la palabra ASDFG, el calculo seria el siguiente 5!/
[(5-4)!*4!]
2.12 TEOREMAS DEL BINOMIO
Este favorece los intercambios de correspondencia entre los científicos de su
49
época , es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia n-ésima de n
(siendo n, entero positivo) de un binomio. De acuerdo con el teorema, es posible
expandir la potencia (x + y)n en una suma que implica términos de la forma axbyc,
donde los exponentes b y c son números naturales con b + c = n, y
el coeficiente a de cada término es un número entero positivo que depende
de n y b. Cuando un exponente es cero, la correspondiente potencia es
usualmente omitida del término.
Ejemplos:
CAPITULO 4
TRIGONOMETRIA
4.1 ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS
50
Ángulos y sus medidas
Para la definición de una ángulo existe un elemento importante que se llama la
semirrecta.
Semirrecta
Es la parte de una recta que esta a lado de la misma desde un punto fijo que se
llama extremo y se extiende a una sola dirección.
Angulo
Es la unión de 2 semirrectas que se intersecan en su extremo. Se puede designar
ángulo, por medio de puntosde las semirrectas o solo utilizando un vértice.
Unidades Angulares
Se utilizan las unidades de medida más conocidas, como son los grados
sexagesimales, minutos y segundos; tales unidades están basadas en la división
en partes iguales de una circunferencia.
Clase de Ángulos
Coterminales
Son aquellos ángulos que tienen los mismos lados iniciales y terminal
Consecutivos
Dos ángulos de un mismo plano son consecutivos cuando solo tienen un lado en
común.
Adyacentes
2 ángulos son adyacentes cuando son consecutivos y los lados no comunes son
semirrectas en la misma dirección, la suma de las medidas de los ángulos es de
180ª.
51
Complementarios
Dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus medidas constituye la
medida de un ángulo recto: α + β = 90º.
Suplementarios
Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus medidas constituye la
medida de dos ángulos rectos: α + β = 180º.
Opuestos por el vértice
Dos ángulos se dicen opuestos por el vértice cuando los lados de uno de ellos son
semirrectas opuestas a los lados del otro, verificándose que α = β.
Relación entre grados sexagesimales y radianes
Ya hemos visto que la longitud de una circunferencia es 2πr, y para el caso de una
vuelta completa, entonces podemos definir una equivalencia entre las medidas en
grados sexagesimales y radianes.
Ejercicios
a) Grados sexagesimales a radianes.
a) 15º
b) 390º
c) -75º
d) -150º
52
b) Un ángulo es la unión de dos semirrectas de origen común.
a) Verdadero b) Falso
Ejercicio 3
Dos ángulos son adyacentes si son consecutivos y son suplementarios.
a) Verdadero b) Falso
4.2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ELEMENTALES
Funciones trigonométricas elementales
Función Seno: Esta definida por sen(x)=b/1. Es una función de R en R.
Función Coseno: Esta definida por cos(x)= a/1.
Función Tangente: Si (a≠ 0), la función esta definida por Tan(x) = b/a.
Función Contangente: Si (b≠ 0), la función esta definida por sec(x)=1/a.
Función Secante: Si (a≠ 0), la función esta definida por sec(x)= 1/b.
Función Cosecante: Si (b ≠ 0), esta definida por csc(x)=1/b.
Ejercicios:
A) Determine el valor de la expresión:
Ejercicio 2
B) Determine el valor de la expresión:
53
4.5 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Identidades Trigonometricas
En esta sección veremos dada una expresión trigonométrica, es posible
simplificarla o transformarla en otra expresión equivalente a la original, empleando
las principales identidades trigonométricas del seno, coseno, tangente,
cotangente, secante, cosecante, ángulo doble, ángulo medio, productos de seno
y/o coseno.
Identidades Cocientes
Identidades Reciprocas
Identidades Pitagóricas
Identidades Pares o Impares
En base a las gráficas de las seis funciones trigonométricas, se puede deducir
que:
54
Identidades de suma y diferencia de medidas de ángulos
En esta sección vamos a demostrar las identidades correspondientes a cos(x+y),
cos(x-y), sen(x+y) y sen(x-y). Sean los ángulos cuyas medidas son a, b y a-b, en
la siguiente gráfica:
Ejercicios:
A) Demostrar la identidad sen(x + y) + sen(x - y) = 2sen(x) cos(y)
sen(x + y) + sen(x - y) = (sen(x) cos(y) + cos(x) sen(y)) + (sen(x) cos(y) - cos(x)
sen(y))
sen(x + y) + sen(x - y) = 2sen(x) cos(y)
B) Demostrar la identidad: sen(x + y) sen(x - y) = sen2(x) - sen2(y).
sen(x + y) sen(x - y) = [sen(x) cos(y) + cos(x) sen(y)][sen(x) cos(y) - cos(x) sen(y)
= sen2(x) cos2(y) - cos2(x) sen2(y)
= sen2(x)[1 - sen2(y)] - sen2(y)[1 - sen2(x)]
= sen2(x) - sen2(x) sen2(y) - sen2(y) + sen2(x) sen2(y)
sen(x + y) sen(x - y) = sen2(x) - sen2(y)
Identidades de ángulo doble
cos(2x) = cos(x + x)
cos(2x) = cos(x)cos(x) - sen(x)sen(x)
55
sen(2x) = sen(x + x)
sen(2x) = sen(x)cos(x) + cos(x)sen(x)
Ejercicios
Identidades de ángulo mitad
El signo del radical debe escogerse en relación con la ubicación de
(x/2). Si se encuentra en el primer cuadrante, cos (x/2)> 0 y así
sucesivamente.
56
Ejercicio
Identidades de suma a producto
El lector puede verificar que:
sen(x + y) + sen(x - y) = 2sen(x) cos(y)
cos(x - y) - cos(x + y) = 2sen(x) sen(y)
cos(x + y) + cos(x - y) = 2cos(x) cos(y)
sen(x + y) - sen(x - y) = 2cos(x) sen(y)
Es frecuente utilizar estas fórmulas de otra manera. Si hacemos:
Las cuales pueden ser expresadas como:
57
Identidades de producto a suma
Ejercicios
A) Demostrar la identidad:
sen(x) (sen(3x) + sen(5x)) = cos(x) (cos(3x) - cos(5x))
B)
Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas
En esta sección veremos que las ecuaciones o inecuaciones que involucran
funciones trigonométricas pueden ser resueltas utilizando las identidades
estudiadas en la sección anterior.
Ejercicios
A)
Sea Re = [0,/2π] y p(x): 2cos2(x) - cos(x) -1 = 0. Encuentre la suma de los
elementos de Ap(x) .
58
b)
Sea Re = [0, 2π] y p(x):tan(2x) + 2sen(x) = 0, encuentre la suma de los
elementos deAp(x).
59
CAPITULO 11
11.1 ESTADISTICA DESCRIPTIVA
Es una gran parte de la estadística que se dedica a recolectar, ordenar, analizar y
representar un conjunto de datos, con el fin de describir apropiadamente las
características de ese conjunto. Este análisis es muy básico. Aunque hay
tendencia a generalizar a toda la población, las primeras conclusiones obtenidas
tras un análisis descriptivo, es un estudio calculando una serie de medidas de
tendencia central, para ver en qué medida los datos se agrupan o dispersan en
torno a un valor central. Esto es lo que podria ser un concepto aproximado.
Ejemplos:
11.2 ORGANIZACIÓN DE LOS
DATOS
Una vez que las variables han sido medidas, estos valores pasan a constituir el
conjunto de datos estadísticos, que deberán ser procesados y analizados por el
investigador. Para el efecto, existen algunas técnicas que serán estudiadas en
60
esta sección.
Según el número de observaciones y el rango de la variable, podemos clasificar
las tablas de la siguiente manera:
Tablas de tipo I: El tamaño de la población o muestra es pequeño. Por ejemplo,
las edades de 6 personas: 15, 18, 19, 21, 24, 28. Sólo se ordenan de manera
creciente o decreciente.
Tablas de tipo II: El tamaño de la población o muestra es grande y el rango de la
variable es pequeño.
Tablas de tipo III (Tabla de intervalos): El tamaño de la población o muestra es
grande y el rango de la variable es grande.
Tablas de distribución de frecuencias: Generalmente, las tablas de tipo II y III se
completan con distintos tipos de frecuencias, tales como:
a) Frecuencia absoluta: Es el número de veces que aparece dicho valor, como
resultado de la medición de la variable. Se denota por fi.
b) Frecuencia absoluta acumulada: Es el resultado de sumar a la frecuencia
absoluta del valor correspondiente la frecuencia absoluta del valor anterior. Se
denota por Fi.
c) Frecuencia relativa: Es el cociente entre la frecuencia absoluta fiel tamaño de la
muestra o población: hi = , donde N = Tamaño de la N muestra o población. Se
denota por hi.
d) Frecuencia relativa acumulada: Es el resultado de sumar a la frecuencia relativa
del valor correspondiente la frecuencia relativa del valor anterior. Se denota por Hi.
Ejemplos:
61
11.3 GRAFICOS DE REPRESENTACION
Los gráficos permiten formarnos una impresión inmediata acerca del
comportamiento de las variables estudiadas, destacando sus características más
relevantes.
Histograma: Es un gráfico de barras (sin espacios entre ellas), formado por
rectángulos, cuya base está dada por la amplitud de cada intervalo y cuyas alturas
corresponden a las frecuencias (frecuencias absolutas o relativas) alcanzadas por
dichos intervalos.
Poligonal de frecuencias: Se obtiene al unir las marcas de clases con las
frecuencias respectivas, formando un par ordenado. La poligonal formada uniendo
estos puntos, se cierra juntando los extremos con las marcas de clase del intervalo
anterior al primero y del siguiente al último.
Ejemplos:
62
11.4 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y NO CENTRAL
Una medida de tendencia central es un número (estadígrafo) que se considera
representativo de todos los números en un conjunto de datos. Se dividen en 3
Media Aritmética:
la media aritmética (también llamada promedio o simplemente media) de un
conjunto finito de números es el valor característico de una serie de datos
cuantitativos objeto de estudio que parte del principio de la esperanza matemática
o valor esperado, se obtiene a partir de la suma de todos sus valores dividida
entre el número de sumandos. Cuando el conjunto es una muestra aleatoria recibe
el nombre de media maestral siendo uno de los principales estadísticos
muéstrales.
Mediana:
Representa el valor de la variable de posición central en un conjunto de datos
ordenados. De acuerdo con esta definición el conjunto de datos menores o iguales
que la mediana representarán el 50% de los datos, y los que sean mayores que la
mediana representarán el otro 50% del total de datos de la muestra. La mediana
coincide con el percentil 50, con el segundo cuartil y con el quinto decil. Su cálculo
no se ve afectado por valores extremos.
Moda:
Es una distribución bimodal de los datos adquiridos en una columna cuando
encontremos dos modas, es decir, dos datos que tengan la misma frecuencia
absoluta máxima. Una distribución trimodal de los datos es en la que encontramos
tres modas. Si todas las variables tienen la misma frecuencia diremos que no hay
moda.
63Media aritmeticaMediana
Ejemplos:
11.5 MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Las medidas de dispersión estudian la distribución de los valores de la serie,
analizando si éstos se encuentran más o menos concentrados, o más o menos
dispersos.
Existen diversas medidas de dispersión, entre las más utilizadas podemos
destacar las siguientes:
Rango: Mide la amplitud de los valores de la muestra y se calcula por la diferencia
entre el mayor valor y el menor.
Varianza: Mide la distancia existente entre los valores de la serie y la media
aritmética. Se calcula como la sumatoria de las diferencias al cuadrado entre cada
valor y la media, multiplicadas por el número de veces que se ha repetido cada
valor. La sumatoria obtenida se divide por el tamaño de la muestra.
Si el número de datos es pequeño, es recomendable utilizar en el denominador de
64
Moda
la expresión anterior.
La varianza siempre será mayor que cero. Mientras más se aproxima a cero, más
concentrados están los valores de la serie alrededor de la media. Por el contrario,
mientras mayor sea la varianza, más dispersos están.
Desviación típica o estándar: Se calcula como la raíz cuadrada de la varianza.
(n − 1) en vez de
Ejemplos:
Para una muestra (8,7,6,9,4,5), el dato menor es 4 y
el dato mayor es 9 (Valor unitario inmediatamente
posterior al dato mayor menos el dato menor). Sus
valores se encuentran en un rango de: RANGO = ( 9
– 4 ) = 5
11.6 PROBABILIDADES
La probabilidad por medio de la cual se
obtiene la frecuencia de un suceso
determinado mediante la realización de un
experimento aleatorio, del que se conocen
todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.
Se denomina espacio muestra (Ω) asociado a un experimento aleatorio, al
conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento.
Ejemplos:
65
11.7CONJUNTOS Y PROBABILIDADES
Conociendo que Ω constituye un espacio muestra, se pueden describir los
resultados posibles de un experimento aleatorio en términos de conjuntos, de la
siguiente manera:
Ejemplos:
66
67