GEOGEBRASegundo día
REDEFINIR OBJETOS
Doble clic en un objeto permite redefinirlo.
O en propiedades del objeto
O seleccionar el objeto y pulsar F2 (F3?)
Esto es particularmente útil, ya que permite liberar o relacionar objetos ya definidos sin necesidad de reiniciar la construcción.
Probémoslo con un punto y una recta.
PRACTICA 5Iniciar con un documento nuevo
Trazar una recta que pase por dos puntos (herramienta Recta).
Ubicar un punto que no quede sobre la recta (herramienta Punto) y elegir la herramienta Elije y Mueve.
Doble clic sobre el punto y cambiar su definición ingresando en la caja de diálogo emergente el comando Punto(f), luego aplicar y OK. Observar el cambio en la posición del punto.
Para liberar el punto (de la recta), redefinirlo de nuevo escribiendo dos coordenadas cualesquiera (entre paréntesis).
PRACTICA 5, CONTINUACIÓN
Seleccionar la recta y abrir la caja de diálogo de la definición (doble clic sobre la recta).
Redefinir cambiando el contenido por el comando Segmento(A,B) en la caja de diálogo emergente.
UN POCO DE LA ENTRADA ALGEBRAICA
Definiendo funciones y asignándoles nombres.
Definiendo y nombrando implícitas (circ, elipses, etc)
Puntos y otras construcciones.
Historia de la barra de entrada.
Copiar nombre (F5), valor (F4) o definición (F3) de un objeto.
Teclas rápidas: ALT+<> (CTRL+<> en Mac)
FUNCIONES Y SUS CURVASTrabajemos ahora con la definición de funciones en la línea de comandos y algunos comandos relacionados con algunas de sus características.
Gráficas
Puntos de intersección.
Extremos
Extremos
Funciones en secciones
Areas, otros
PRACTICA 6
Definir la función f (x) = x3-x+1
Determinar sus extremos (herramienta o comando).
Determinar ceros reales (herramienta o comando).
Determinar intersección eje vertical ( herramienta o comando).
Determinar puntos de inflexión (comando).
PRACTICA 6, CONTINUACIÓN
Definir la función g(x) = x2 +1x −1
Obtener las intersecciones entre las dos curvas (herramienta y comando).
Obtener área bajo f para -1≤x≤1.
Obtener el área entre f y g para -1≤x≤1.
Definir un punto en g y moverlo.
ANIMAR OBJETOS
Un deslizador es un objeto que toma un valor numérico, ese valor numérico se puede modificar al mover el cursor del deslizador.
El deslizador se puede animar, esto es, que su valor se modifique automáticamente entre un mínimo y un máximo.
Si algún objeto depende del valor del deslizador, ese objeto será modificado de acuerdo al valor de ese deslizador permitiendo la creación de animaciones.
EL OBJETO DESLIZADOR
PRACTICA 7, DESLIZADORES
Vamos a utilizar dos deslizadores para mover un punto sobre la pantalla. Posteriormente animaremos el punto.
después incluiremos otras herramientas.
PRACTICA 7, CONTINUACION
Iniciar con un documento nuevo.
Seleccionar la herramienta deslizador y hacer clic en la parte superior de la Vista Gráfica para incluir un deslizador con parámetros por defecto.
Cerrar la ventana emergente de definición del deslizador (Geogebra lo autonombra a).
Hacer clic justo debajo del deslizador ya definido para definir otro deslizador (de nombre b) y cerrar la ventana de definición.
Seleccionar la herramienta Elige y mueve.
PRACTICA 7, CONTINUACIÓN
En la barra de entrada, definir un punto con coordenadas a,b.
Mover los deslizadores alternadamente y observar como ese modifica la posición del punto A.
Abrir el menú de propiedades del deslizador b y cambiar la velocidad a 2 y la repetición a Creciente.
Seleccionar ambos deslizadores (mas sencillo en la vista gráfica) y en el menú contextual (clic derecho) iniciar la animación (clic sobre Animación).
Vamos ahora a introducir una herramienta de medición y definición de puntos en coordenadas polares.
Iniciar con un documento nuevo.
vamos a definir un deslizador de ángulo.
Colocar un deslizador en la parte superior de la Vista Gráfica.
Seleccionar la opción ángulo y animación Creciente.
Luego cerrar el cuadro de diálogo.
PRACTICA 8
PRACTICA 8, CONTINUACION
En la barra de entrada escribir (3;𝛂) (y pulsar Enter) para definir un punto (A) en coordenadas polares, de módulo 3 y ángulo 𝛂. Nota. El punto y coma se refiere a que las coordenadas son polares.
Hacer clic derecho sobre el deslizador y activar (con un clic) la opción Animación en el menú contextual.
Usar el botón Pausa-reproduce.
Deterner la anmación.
Aprovechar la construcción para introducir la herramienta para medir ángulos: Ángulo.
Definir un punto (B) en el origen y otro punto (C) sobre el lado positivo del eje x.
Seleccionar la herramienta Ángulo.
Hacer clic sobre los puntos C, B y finalmente A (el orden es importante).
Mover o animar el deslizador.
MAS DE FUNCIONES
El comando Función permite definir funciones con un dominio restringido.
g(x) =−1, x <1x +1, x ≥1
⎧⎨⎪
⎩⎪
El comando SI permite definir funciones por partes.
f (x) = x2 +2, −1 ≤ x ≤ 2
GEOMETRIA DINÁMICA
Trabajemos con construcciones geométricas dinámicas.
Vamos a construir una circunferencia circunscrita a un triángulo de dos maneras distintas:
Por medio de herramientas.
Por medio de comandos en la barra de entrada.
PRACTICA 9
Iniciar con un documento nuevo.
Usar la herramienta Polígono para construir un triángulo en la Vista gráfica (se crearán los puntos A, B y C).
Seleccionar la herramienta Mediatriz para construir mediatrices sobre dos de los lados del triángulo.
Seleccionar la herramienta Intersección, a continuación hacer clic en una de las mediatrices y luego clic sobre la otra. El punto obtenido (D) es el centro de la circunferencia.
PRACTICA 9, CONTINUACIÓN
Para construir la circunferencia, usamos la herramienta Circunferencia (centro,punto).
El centro de la circunferencia es la intersección de las mediatrices y el punto es cualquiera de los vértices de triángulo.
Ocultar las mediatrices.
Seleccionar la herramienta Elige y mueve y cambiar la posición de cualquiera de los vértices del triángulo.
Observar que siempre tenemos una circunferencia circunscrita al triángulo.
PRACTICA 10
La misma construcción con comandos.
En un documento nuevo, introducir en secuencia cada uno de los comandos indicados. Recuerde que debe pulsar la tecla Enter al final de cada comando.
PRACTICA 10, CONTINUACION
A = (2,1)
B = (12, 5)
C = (8,-2), ajustar la ventana para que se vean todos los puntos.
Polígono[A,B,C]
f = Mediatriz(a)
g = Medriatriz(b)
M = Interseca(f, g)
Circunferencia(M,A)
Usar el comando Visibilidad
RETO 1 CREACIÓN DE FIGURAS
Si requerimos de dibujos para nuestra notas o exámenes los podemos crear con Geogebra.
Y los podemos hacer a escala.
PRACTICA 11
Crear un dibujo que requirieron para un examen o para sus notas.O alguno de los mostrados.
PRACTICA 11, OTROS
VECTORES
Trabajemos con vectores
Con la herramienta y con el comando.
Definición de vectores y operaciones (práctica 12).
Suma de vectores (práctica 13) y resta de vectores (14).
Animar un vector (práctica 15) y usarlo para trasladar un objeto
Los vectores se pueden definir con herramienta o con comando.
Vamos a definir dos vectores, uno con la herramienta y otro con el comando, ambos con el mismo punto origen.
Al definirlo con la herramienta, se definen los puntos origen y destino.
Al definirlo con el comando no necesariamente se definen los puntos origen y destino.
Probemos.
PRACTICA 12
Definir un vector con la herramienta.
Definir un vector con el comando, usando como punto inicial el mismo del vector anterior y cualquier ubicación como final.
Crear un vector como la suma de los dos anteriores.
Crear un vector como la resta de los dos primeros vectores.
Crear un múltiplo del vector anterior.
PRACTICA 13
Definir dos vectores que compartan el punto inicial, usar la herramienta.
Usar la herramienta recta paralela para formar el paralelogramo.
Definir el punto final de la suma de los vectores (intersección de las rectas que forman el paralelogramo.
Definir el vector suma.
Ocultar las rectas creadas y completar el paralelogramo con segmentos punteados.
Vamos a implementar la suma de vectores por medio del método del paralelogramo
PRACTICA 14
Definir dos vectores que compartan el punto inicial, usar la herramienta.
Definir el vector diferencia de los vectores como el vector entre los puntos finales.
Definir el punto final diferencia (observar que tiene como punto inicial el origen del sistema de coordenadas).
Vamos a implementar la diferencia de vectores por medio del método del triángulo
PRACTICA 15
Definir un vector (u) con punto inicial A y punto final B.
Definir un vector unitario (v) en la dirección de u.
Colocar un deslizador (a) con valores de 0 a 5.
Definir un punto (C) con coordenadas A + a v.
Definir un vector (w) con punto inicial A y punto final C.
Definir un vector con magnitud variable (definida por un deslizador)
PRACTICA 15, CONTINUACIÓN
Ocultar los objetos excepto el deslizador y el vector w.
Mover el deslizador y observar el resultado en el vector w.
Colocar un punto (D) en la vista gráfica (que no esté sobre el vector w).
Usar la herramienta traslación con el punto D y el vector w (se crea un punto D’).
Mover el deslizador y observar la posición de D’.
EL LUGAR GEOMÉTRICO
Si la posición de un punto se define respecto a otro objeto, podemos usar un comando para trazar la trayectoria del punto.
Por ejemplo la gráfica de la derivada de una función.
PRACTICA 16Definir la función x3/10 - x + 1.
Definir un punto (A) sobre el eje x.
Definir un punto (B) sobre la función, con abscisa igual a la de A y ordenada igual a a la función evaluada en la abscisa de A.
Definir el punto (C) con abscisa igual a la del punto B y ordenada igual a la derivada de la función evaluada en la abscisa de B.
Mover el punto A y observar.
Activar el rastro de C, mover el punto A y observar.
PRACTICA 16, CONTINUACION
Desactivar el rastro de C, y limpiar el rastro (CTRL+F).
Usar la herramienta Lugar Geométrico del punto C con el punto A.
Definir el punto (C) con abscisa igual a la del punto B y ordenada igual a la derivada de la función evaluada en la abscisa de B.
PRACTICA 17, CURVA RARA
Punto (A) en el origen.
Circunferencia (c) con centro en el origen y radio 4.
Punto (B) en la intersección de la circunferencia con el lado positivo del eje x.
Deslizador (𝛂) de 0 a 360º con repetición creciente.
Rotación del punto B con centro en A y ángulo 𝛂.
Circunferencia (d) con centro en el punto girado (B’) y radio uno.
PRACTICA 17, CONTINUACIÓN
Recta (f) que pase por el origen (A) y el centro de la circunferencia de radio (B’).
Punto de intersección de la recta (f) y la circunferencia de radio uno (d). Se generan dos puntos C y D.
Rotación del Punto D con centro en el punto B’ con ángulo 𝛂.
Ocultar la recta y todos los puntos excepto D’.
Mover el deslizador del mínimo al máximo o animarlo.
PRACTICA 17, CONTINUACIÓN
Activar rastro del punto D’ y mover el deslizador de mínimo a máximo o animarlo.
Detener la animación.
Crear el lugar geométrico del punto D’ con 𝛂.
Adicionalmente, construir una parábola.
Deseamos crear un escenario que nos permita observar los cambios en la trayectoria de un tiro parabólico al cambiar la velocidad inicial del proyectil o del ángulo de disparo, o ambos.
Para modificar los valores señalados usaremos deslizadores.
Para animar la trayectoria usaremos otro deslizador.
Usaremos dos vistas gráficas, en una colocaremos los deslizadores y en la otra la gráfica.
EL TIRO PARABÓLICO PRACTICA 18
Sus ecuaciones (lanzado desde y=0):
vx = v0 ⋅cosθ0 x = v0 ⋅cosθ0 ⋅ t
vy = v0 sinθ0 − g ⋅ t y = v0 ⋅sinθ0 ⋅ t − 12 g ⋅ t
2
La trayectoria:
y = x ⋅ tanθ0 −g ⋅ x2
2v0 cos2θ0
Alcance: xmax =v02 ⋅sin(2θ0 )g
Altura máxima: ymax =v02 ⋅sin2θ02g
Pero antes de crear el escenario, debemos definir los rangos de nuestros valores.
Velocidad inicial de 10 a 20 m/seg.
Ángulo de 10 a 80o
El alcance máximo
La altura máxima
El tiempo de vuelo
xmax =v02 ⋅sen(2θ )g
ymax =v02 ⋅sen2(θ )2g
tmax =2 ⋅v0 ⋅sen(θ )
9.8
≅ 40.8m
≅ 10.2m
≅ 2.88s
PRACTICA 18, ESCENARIO INICIAL DEL TIRO PARABOLICO
a) Iniciar un documento nuevo
b) Activar la vista gráfica 2 (ajustar ventana para darle espacio y ocultar ejes y cuadrícula).
c) Usar la herramienta Deslizador y crear uno en la vista gráfica 2. Este será para la velocidad inicial. Ponerle como nombre v_0, rango de 10 a 20 y orientación vertical
d) Definir otro deslizador a la derecha del anterior. De tipo ángulo y nombre 𝜽, rango de 10º a 80º y orientación vertical
e) Definir otro deslizador de nombre “tiempo”, rango de 0 a 3, orientación vertical y repetición creciente una sola vez.
Ahora vamos a definir algunos valores útiles.
Primero el valor de la coordenada horizontal, para esto, ingresamos en la Barra de Entrada lo siguiente:
Luego el valor de la coordenada vertical
Y por último, el punto que representa el proyectil.
Seleccionamos la vista Gráfica, para que el objeto definido quede sobre ésta y no sobre la Vista Gráfica 2 que es donde están los deslizadores.
En la barra de entrada definimos el punto:
Movemos los deslizadores v0 y tiempo a su valor mínimo.