UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLA0
FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA
SECCION POSTGRADO
MAESTRIA EN CIENCIAS DE LA ELECTRONICA CON MENCION EN
CONTROL Y AUTOMATIZACION
Diseño de un Sistema de Control Optimo para un
Péndulo Invertido Rotante
Pre Proyecto de Tesis elaborado por el
Ingeniero Russell Córdova Ruiz
Curso
METODOLOGIA DE INVESTIGACION II
Profesor
Dr. Ing. Marcelo Damas Niño
CALLAO – PERU
2009
INFORMACION BASICA
Facultad : Ingeniería Eléctrica y Electrónica
Titulo : Diseño de un Sistema de Control Optimo para un Péndulo
Invertido Rotante
Ejecutor : Ing. Russell Córdova Ruiz
Asesor : M.Sc.Ing. Ricardo Bustinza
Lugar de Ejecución : Universidad Nacional del Callao
Unidades de Análisis : Laboratorio de Control y Automatización
de la FIEE-UNAC
Tipo de Estudio : Orientado al diseño de un sistema de control
utilizando técnicas avanzadas de control
INTRODUCCION
Este trabajo de investigación sintetiza el diseño de un sistema de control
óptimo de un péndulo invertido rotante, usando para efectos de simulación
MATLAB. Se usa como actuador un servomotor de corriente continua, cuyo
encoder incremental permite sensar el ángulo del brazo rotatorio y un sensor
magnético resistivo para el control del ángulo del péndulo.
Conocido el sistema físico, lo modelamos matemáticamente, utilizando las
ecuaciones de Lagrange-Euler. Una vez obtenido el modelo, procedemos al diseño
del Control Optimo Proporcional Integral con Observador de Estados. El diseño
de un observador de estados es útil para estimar aquellas variables que no
podemos medir. Una vez diseñado el observador, las variables estimadas son
tomadas por el controlador, obteniéndose el desempeño deseado, el cual es
mantener el péndulo en posición vertical.. Se demostrará que el uso del
Controlador Optimo Proporcional Integral es de alto rendimiento y precisión,
según se puede observar en los resultados gráficos de la simulación, cuyos
programas se adjuntan en el Apéndice.
El autor
PROBLEMA DE INVESTIGACION
I. SELECCION
1.1 General:
Los péndulos invertidos no solo ha sido objeto de muchas discusiones de control
sin embargo, los péndulos han sido usados como sistemas para modelos
matemáticos y teoría de cinemática.
El problema a resolver, es controlar el brazo en una posición determinada.
Aquí el problema de control clásico se dificulta dado que varilla rápidamente se
puede caer.
1.2 Especifica
El objetivo que vamos a tener en cuenta a la hora del diseño del controlador es
minimizar el error de seguimiento a una referencia r y garantizar que cuando la
referencia es constante, el error en el régimen permanente es nulo: Dado que
nuestro actuador se trata de un motor de corriente continua, necesitamos que la
acción de control se mantenga acotada. Suponiendo que la planta tiene
incertidumbre en los parámetros del sistema, consideraremos los siguientes
parámetros nominales:
m=0.05 l=0.3 L=0.9 r=0.27 g=9.8
I=0.06 b=-0.3 R=3.36 K= 1.2 M=0.5
El sistema de control debe tener una respuesta rápida, que permita lograr el
objetivo propuesto, por lo que el tiempo de asentamiento debe ser
II. DEFINICION
El péndulo invertido rotante consiste en un brazo giratorio horizontal, el cual posee
en su extremo una barra vertical la cual gira libremente alrededor de un eje
paralelo al brazo, como podemos apreciar en la Figura 1.
g
Figura 1: Diagrama del péndulo invertido rotante.
III. JUSTIFICACION DEL ESTUDIO
La ejecución del presente trabajo de investigación, se justifica por su:
3.1 Naturaleza
Dado que nuestra Universidad no cuenta con un Péndulo Invertido Rotante, por su
alto costo, nos propusimos en principio, hacer el diseño del sistema de control y la
correspondiente simulación; para que en posteriores trabajos se logre su
implementación.
3.2 Magnitud
La magnitud de este problema será resuelto por estas nuevas técnicas avanzadas
que ofrecen mejores prestaciones dado que en los momentos actuales existen
dispositivos con alta velocidad de procesamiento de datos que ejecutan algoritmos
con mucha precisión.
3.3 Vulnerabilidad
El problema de investigación es vulnerable por que es posible diseñar sistemas de
control avanzados para el control del péndulo invertido rotante. Una vez que ha
sido posible demostrar los resultados de la utilización de los métodos avanzados
de control, tendrá amplia generalización.
3.4 Práctica
Los resultados de la investigación serán aplicados en beneficio de nuevos
investigadores que tratan temas similares. Así mismo servirá a los estudiantes de
pregrado de la UNAC y otras Universidades como medio de investigación hacia
otros temas del área.
IV. AGENDA DE TRABAJO
PROYECTO DE INVESTIGACION
TITULO: Diseño de un Sistema de Control Optimo para un Péndulo Invertido Rotante
Actividades Año Meses
E F M A M J J A S 0 N D
1. Planteamiento del problema. 2009 x
2. Elaboración del Marco Teórico y
conceptual de referencia.
2009 x
3. Formulación y operacionalización
de la hipótesis.
2009 x
4. Modelo matemático de la planta y
pruebas de estabilidad.
2009 x x
5. Controlabilidad y Observabilidad 2009 x x
6. Diseño del controlador optimo 2009 x x
7. Diseño del controlador deslizante 2009 x x
8. Diseño del controlador difuso 2009 x x
9. Constrastación de resultados 2009 x x
10. Edición del trabajo 2009 x x
11. Presentación de los resultados y
sustentación
2009 x
V. PLANTEAMIENTO
5.1 Implicancias. La ejecución del proyecto de investigación tendrá las
siguientes implicancias:
5.1.1 Económica. En cuanto a la bibliografía especializada y necesaria para el
sustento teórico y práctico, es muy escasa asi como de difícil adquisición. Estos
libros son costosos y de poco tiraje.
5.1.2 Sociopolítica. Como la Biblioteca especializada de la Universidad no
cuenta con libros especializados; esto hace que el proceso de investigación o
desarrollo de la Tesis de Maestría se vea afectado en el tiempo de elaboración. Por
lo que el desarrollo del presente trabajo paliará esta dificultad presente.
5.1.3 Técnica. La técnica utilizada para diseñar sistemas de control optimo,
pasara a formar parte de los conceptos teóricos de mecánica clásica y de sistemas
de control no lineal.
5.1.4 Científica. La hipótesis demostrada y comprobada, originara la creación
de nuevos planteamientos matemáticos con relación a la estabilización del
sistema.
5.2 Limitantes. El término limitantes no se refiere a los factores que
obstaculizan el desarrollo de la investigación, sino a parámetros establecidos por
el investigador para la mejor ejecución del proyecto de investigación. Dichas
limitantes son:
5.2.1 Teórica. Para la ejecución del presente proyecto de investigación, se
aplicarán las teorías científicas que a continuación se indica:
a. Mecánica para Ingenieros, Dinámica. De este libro se utilizara las
técnicas de plantear las ecuaciones de Lagrange-Euler para un sistema de
partículas.
b. Vibraciones. De este libro se utilizara las consideraciones de las
ecuaciones de Lagrange-Euler para el movimiento considerando la energía
cinética del sistema, la energía potencial del sistema, la función de disipación de
Rayleigh y la fuerza generalizada que actúa sobre el elemento de inercia. Con esta
teoría se encontrara las ecuaciones diferenciales del movimiento.
c. Control no lineal aplicado. De este libro se tomara las técnicas de control
por deslizamiento y controlabilidad de sistemas no lineales.
d. Sistemas de control óptimo lineal. De este libro se consideraran las
teorías para encontrar un controlador óptimo.
5.2.2 Temporal. El estudio tiene un cronograma de ejecución de 12 meses.
5.3 Interrogantes. Además de las limitantes establecidas, el planteamiento del
problema se realiza a base de las siguientes interrogantes:
5.3.1 Generales:
¿Cuál es la planta a controlar?
¿Es el sistema no lineal?
¿Qué técnicas de control estabilizaran el proceso?
5.3.2 Especificas
¿Cuáles son las ecuaciones diferenciales del movimiento rotacional?
¿Cuáles son sus ecuaciones de estado?
¿Cuál es la respuesta a una entrada escalón?
¿Cuál es su controlabilidad del sistema?
¿Qué método de control escoger en el caso que el sistema sea no lineal?
¿Cómo determinar el controlador óptimo?
5.4 Objetivos.
5.4.1 Generales. Diseñar controladores utilizando técnicas avanzadas de control
para la estabilización un péndulo invertido rotante.
5.4.2 Específicos.:
a. Modelar la planta
b. Observar su respuesta en el tiempo, ante una señal de prueba
c. diseñar el controlador óptimo
VI. MARCO TEORICO CONCEPTUAL DE REFERENCIA
El péndulo invertido rotante contiene tres enlaces, el primer enlace lo maneja el
motor DC, el segundo enlace es libre en su rotación y el tercer enlace libre para
rotar es no modelado, tal como se muestra en la figura 1.1.
Muchas Universidades poseen un péndulo invertido para demostrar resultados de
control. Dado que nuestra Universidad no cuenta con un Péndulo Invertido
Rotante, por su alto costo, entonces la propuesta del presente trabajo de tesis es el
diseño de controladores avanzados utilizando las técnicas de control óptimo
teniendo como planta un Péndulo Invertido Rotante que se muestra en la figura
1.1.
Figura 1.1: Esquema del péndulo invertido rotante
6.1 Situación actual
Modelos actuales de trabajo con sistemas dinámicos para usar en clase dan tanto
beneficio como demostraciones visuales de sistemas de control, para la
verificación de modelos matemáticos derivados de teorías. Este trabajo propone
un modelo de trabajo con el Péndulo Invertido como una ayuda para mejorar el
interés en dinámicas y sistemas de control dinámico. Un diseño especial
introducido constituye un reto a la aplicación de estas teorías.
Cursos de Dinámica usa el péndulo invertido clásico para ilustrar la cinemática.
Luego de haber modelado el sistema, puede ser usado como un modelo de trabajo
para verificar teorías con mediciones actuales y simulaciones.
Cursos de control elemental pueden usar teoría clásica de control para diseñar un
controlador para el modelo lineal, y para evaluarlo balanceando el péndulo en la
posición recta.
Cursos de control avanzado pueden usar el sistema con todos sus resaltantes
rasgos , como su dinámica altamente no lineal y elementos no lineales fuertes,
para aplicar la teoría de diseño de control avanzado.
Robustez y rasgos de ejecución de diseños de control alternativos pueden ser
verificados. Además de retos como llevar el péndulo a la posición vertical de
posición baja de inicio, y balancear un doble péndulo invertido hay otras dos
posibilidades para aplicar modelos dinámicos y teorías de diseño de control.
6.3 Hipótesis
“Los controladores avanzados tales como el optimo, estabilizan al péndulo
invertido rotante no lineal e inestable.”
6.4 Operacionalización
En el caso del péndulo invertido rotante; es un sistema con dos grados de libertad.
De acuerdo con el diagrama de cuerpo libre de la planta, las variables que actúan
sobre el sistema serán:
Variables independientes (variables de entrada):
El torque rotacional del motor
Variables dependientes (variables de salida):
= posición angular de la varilla 1
= posición angular de la varilla 2
En la figura mostrada se observa la acción de otras fuerzas tales como: la fuerza
gravitacional (peso) de cada varilla, las fuerzas de rozamiento viscoso; pero estas
son funciones de la posición angular; es por ello que la fuerza de entra es el torque
entregado por el motor y las salidas serán las posiciones angulares de las varillas.
VII. DISEÑO DE CONTROLADORES
Diseño del controlador optimo
Diseño del Control Optimo Proporcional Integral con Observador de Estados
VIII. MATERIALES Y METODOS
8.1 De los materiales.
Los materiales que se emplearan en este trabajo de investigación son de consulta,
ejecución e impresión.
8.1.1 De consulta.
Son los libros de Ingeniería aplicada de tipo básico y de tipo avanzado, revistas
con aplicaciones al área de investigación y tesis relacionadas.
8.1.2 De ejecución.
Los materiales de ejecución son:
- Computadora personal de última generación
- Software de simulación: última versión de Matlab
- Lenguaje de programación: última versión de C++.
- Calculadora científica.
8.1.3 De impresión.
Para presentar los resultados de la investigación se utilizara el siguiente material:
- Impresora Epson Stylus Photo R270
- Seis cartuchos de tinta a colores
- Papel bond formato A4, 80gr.
- Material de empaste
- CD para registro de la información.
8.2 De los métodos
Los métodos a aplicar en el presente trabajo de investigación son de tipo generales
y específicos.
8.2.1 Generales
Diseñar los controladores avanzados que estabilizaran a la planta
8.2.2 Específicos
a. Simulación
Durante el proceso de investigación, en forma continua se realizara análisis de las
respuestas que presenta el sistema a controlar. Las simulaciones se verificaran
utilizando el Software Matlab.
b. Matematización
El modelado es el primer paso en el diseño de un lazo de control. Cuanto mayor es
el conocimiento del proceso, mejores son los resultados que obtendremos, ya que el
diseño del control será basado en el modelo. Para conocer la dinámica del sistema,
podemos deducir su comportamiento a partir de las leyes físicas que lo rigen, tales
como: eléctricas, mecánicas, térmicas, etc.,o podemos utilizar técnicas de
identificación de sistemas, que tiene que ver con el problema de construir el modelo
matemático de sistemas dinámicos a partir de la observación de entradas y salidas
del sistema
Detallaremos la obtención del modelo matemático del péndulo invertido
rotante a partir de las leyes físicas que lo gobiernan. Para obtener el modelo
matemático utilizamos las ecuaciones de Lagrange-Euler, que proporcionan dos
ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden no lineales, las que
escribimos como cuatro funciones diferenciales de primer orden no lineales
(ecuaciones de estado). Dado que el modelo obtenido es no lineal, linealizamos el
sistema alrededor del punto de operación (equilibrio del sistema).
IX. PRESUPUESTO
Para la exposición lógica cuantificada de las necesidades económicas en la
ejecución de la presente investigación se requiere del siguiente presupuesto:
DESCRIPCION CANTIDAD PRECIO
UNITARIO
S/.
PARCIAL
S/.
SUBTOTAL
S/.
9.1 Recursos humanos
- Investigador responsable
- Apoyo secretarial
1x12
1x06
1000.00
500.00
10000.00
3000.00 13000.00
9.2 Materiales bibliográfico
- Libros
- Revistas
05
10
200.00
10.00
1000.00
100.00 1100.00
9.3 Útiles de escritorio
- Diskettes
- Papel bond 80 gr.
- Impresora
- Tinta
1 caja
04 paquetes
01
06 unidades
50.00
20.00
500.00
50.00
50.00
80.00
500.00
300.00 930.00
9.4 Servicios
- Internet
- Fotocopiado
- uso de computadora
- Anillados
50 horas
1000 hojas
200 horas
2 unidades
2.00
0.10
0.50
100.00
100.00
100.00
100.00
200.00 500.00
9.5 Viáticos
- Refrigerio investigador
- Refrigerio personal de apoyo
- Movilidad
S/. 20x12 meses
S/. 20x06 meses
S/. 40x12 meses
5.00
5.00
5.00
1200.00
600.00
2400.00 4200.00
TOTAL S/. 19730.00
Nota: En dólares americanos (cambio US$ 1.00 = S/. 3.00 6576.67
X. ESQUEMA DE INVESTIGACION
Se refiere a la estructura del índice o sumario de la Tesis de Maestría, cuya
estructura es la siguiente:
INDICE
- Dedicatoria
- Agradecimiento
- Resumen
- Abstract
- Índice General
- Índice Analítico
- Introducción
CAPITULOS FUERA DE VARIABLES
CAPÍTULO I
MODELADO DEL SISTEMA
Ecuaciones de movimiento del péndulo invertido
Modelo matemático de un motor de corriente continua
Modelo del Sistema en Espacio de Estado
Linealización del sistema
Simulación de la Respuesta del Proceso en Lazo Abierto
CAPÍTULO II
DISCRETIZACION DEL PROCESO
Modelo Discreto del sistema
Simulación de la Respuesta del Modelo Discreto en Lazo Abierto
CAPITULOS DENTRO DE VARIABLES
CAPÍTULO III
DISEÑO DEL OBSERVADOR DE ESTADOS Y DEL CONTROL
OPTIMO CUADRATICO
Introducción al Control Optimo cuadrático en Tiempo Discreto
Diseño del Observador de Estados
Diseño del Sistema de Control Optimo Proporcional
Diseño del Sistema de Control Optimo Proporcional Integral
Simulación del Sistema de Control Optimo Proporcional
Integral con Observador de Estados
CAPÍTULO IV
PROPUESTA DE IMPLEMENTACION
El Hardware del Sistema de Control
El Software del Sistema de Control
CAPÍTULO V
CONCLUSIONES , RECOMENDACIONES Y APORTES
Conclusiones
Recomendaciones
Aportes
BIBLIOGRAFÍA
AGUADO BEHAR, ALBERTO, Identificación y Control Adaptivo, Prentice Hall,
2003.
BALAKUMAR BALACHANDRAN, Vibraciones, Thomson, 2006
DOMINGUEZ, SERGIO, Control en el Espacio de Estado, Prentice Hall, 2002
FERNANDEZ, ANTONIO, Dinámica Clásica, Fondo de Cultura Económica,
2005.
GREENWOOD, DONALD, Classic Dynamics, Prentice Hall, 1977.
HIBBELER, R. C., Ingeniería Mecánica, Dinámica, Prentice Hall, 1996.
HUANG, T.C., Mecánica para Ingenieros Dinámica, Fondo Educativo, 2000.
KHALIL, HASSAN, Nonlinear System, Prentice Hall, 2002
KWAKERNAAK, HUIBERT, Linear Optimal Control Systems, Wiley
Interscience, 1972
MURRAY, R., Ecuaciones Diferenciales, Prentice Hall, 1983.
ROSS, TIMOTHY, Fuzzy Logic with Engineering Applications, McGraw Hill
1995
SIRA RAMIREZ, HERBERTT, Control de Sistemas No Lineales, Prentice Hall,
2003.
- APENDICES
- ANEXOS
XI. BIBLIOGRAFIA
DOMINGUEZ, SERGIO, Control en el Espacio de Estado, Prentice Hall, 2002.
FERNANDEZ, ANTONIO, Dinámica Clásica, Fondo de Cultura Económica,
2005.
FRANKLIN, GENE, Control de Sistemas Dinámicos con Retroalimentación,
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GREENWOOD, DONALD, Classic Dynamics, Prentice Hall, 1977.
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GRAHAM C. GOODWIN,STEFAN F. GRAEBE AND MARIO E. SALGADO
Control System Design ,Ed. Prentice Hall International 2001.
JOHN S. BAY Linear Space Systems Mc Graw Hill,1999
LENNART LJUNG System Identification:Theory for the User, Ed. Prentice Hall,
1997