8/16/2019 Presentasi Kel.6 Luas Permukaan Benda
1/20
Luas Permukaan
Oleh Kelompok
6
Anggota Kelompok:1. Desinta Yosopranata(4101414008)
2. Tika Nurlaeli (4101414012)
3. onika D!i "ar#anti(41014140$0)
4. u%amma& Nur '%alim(4101414101)
. atima% *o+ko%
8/16/2019 Presentasi Kel.6 Luas Permukaan Benda
2/20
,e-erapa kasus k%usus tentang luaspermukaan seperti luas aargenang&alam ruang &an luas permukaan -ola
#aitu 4/r2 tela% &i-a%as pa&apertemuan se-elumn#a.
engem-angkan se-ua% rumus luas
se-ua% permukaan #ang &i&e+nisikan&engan
Luas permukaan benda
atas &aera% spesi+k.
z = f (x , y)
8/16/2019 Presentasi Kel.6 Luas Permukaan Benda
3/20
₪
Asumsikan a&ala%permukaan se-ua%&aera% #ang tertutup&an ter-atas pa&a-i&ang Y
₪
Asumsikan fmempun#ai turunanparsial pertama kontinuf x &an f y
₪ em-uat partisi pa&a
&aera% &engan garisgaris seaar &engansum-u x &an sum-u y
₪ isalkan Rm , m = 1 , 2,
…, n men#atakan
persegi panang persegi panang #ang
5m (m6 Ym6 7m)
Tm
m
Tm
Y
*m
#
9
Sistem koordinat kartesi
8/16/2019 Presentasi Kel.6 Luas Permukaan Benda
4/20
₪ ;ntuk setiap m6 misalkan
Gm a&ala% -agian &aripermukaan #ang&ipro#eksikan ke *m6 &an
misalkan 5m a&ala% suatu
titik &ari m #ang
&ipro#eksikan ke su&ut *m
&engan koor&inat x &ankoor&inat y #ang terke
8/16/2019 Presentasi Kel.6 Luas Permukaan Benda
5/20
Mencari luas jajaran genjang Tm yang
proyeksinya adalah R m.
=m5m (m6 Ym6 7m)
m
*m
Ym
;m
#
(m6 Ym6 0)
Ym> #(m6Ym)
m> 9(m6Ym)
Tm
8/16/2019 Presentasi Kel.6 Luas Permukaan Benda
6/20
isalkan um &an ?m men#atakan ?ektor?ektor
#ang mem-entuk sisi Tm 6 maka :
=m5m (m6 Ym6 7m)
m
*
m
Ym
;m
#
(m6 Ym6 0)
m> 9(m6Ym)
Tm Ym> #(m6Ym)
k y y x f j yv mmm ymm ∆+∆= ),(
k x y x f i xummm xmm
∆+∆= ),(
8/16/2019 Presentasi Kel.6 Luas Permukaan Benda
7/20
&imana
Tela% &iketa%ui -a%!a luas aarangenang Tm a&ala%|u
m x v
m
|
mmm ym
mmm xmmm
y y x f y
x y x f x
k ji
vu
∆∆
∆∆=×
),(0
),(0
)0()0),((
)),(0(
−∆∆+−∆∆
−∆∆−=
mmmmmm y
mmmm x
y x j y x y x f
i y x y x f
[ ]k j y x f i y x f y x mm ymm xmm +−−∆∆= ),(),(
[ ]k j y x f i y x f R A mm ymm xm +−−= ),(),()(
8/16/2019 Presentasi Kel.6 Luas Permukaan Benda
8/20
Dengan &emikian luas Tm
a&ala%
Kemu&ian &engan menumla%kan luas &ari-i&ang-i&ang singgung aaran genang
Tm ini. m@ 16266n. &an mengam-il
limitn#a agar sampai pa&a luas permukaan
[ ] [ ] 1),(),()()( 22 ++=×= mm ymm xmmmm y x f y x f R AvuT A
8/16/2019 Presentasi Kel.6 Luas Permukaan Benda
9/20
∑=→
=n
m m P
T AG A10
)(lim)(
[ ] [ ] )(1),(),(lim1
22
0 m
n
m
mm ymm x P
R A y x f y x f ∑=
→++=
[ ] [ ]∫∫ ++=S
mm ymm x y x f y x f 1),(),( 22
[ ] [ ]∫∫ ++=S
mm ymm x y x f y x f G A 1),(),()( 22
8/16/2019 Presentasi Kel.6 Luas Permukaan Benda
10/20
am-ar ta&i &i-uat seola%ola% &aera% pa&a -i&ang 9# a&ala% se-ua% persegipanang6 tetapi praktekn#a ti&ak selalu&emikian. am-ar -erikut menunukkan&aera% -ukan merupakan persegi panang
#
8/16/2019 Presentasi Kel.6 Luas Permukaan Benda
11/20
8/16/2019 Presentasi Kel.6 Luas Permukaan Benda
12/20
. !enggambar benda " #. Pr$yeksi benda " pada
bidang %&'
Catatan : pr$yeksi
permukaan " pada bidang%&' adalah yang berupa
daerah lingkaran dengan
pusat &(*) dan +ari,+ari -.
3 X
Y
S
8/16/2019 Presentasi Kel.6 Luas Permukaan Benda
13/20
3. Daera% integrasin#a
. Luas daerah
/ungsi permukaan adalah .ehingga dan .
Dengan demikian luas " yang di0ari adalah
.
•
8/16/2019 Presentasi Kel.6 Luas Permukaan Benda
14/20
1arena * maka penyelesaian
dalam k$$rdinat kutub adalah θ
•
8/16/2019 Presentasi Kel.6 Luas Permukaan Benda
15/20
/ind the sur2a0e area $2 the p$rti$n $2 the parab$l$id lying
between the planes z = and z = 9. (sumber: Berkey, hal889)
Penyelesaian:
Diketahui : parab$l$id * z=* z=9
Ditanya : Luas permukaannya3
Jawab:
•
Contoh 1
8/16/2019 Presentasi Kel.6 Luas Permukaan Benda
16/20
. !enggambar bangun
parab$l$ida yang ter+adi*
• ubstitusikan z = ke z = 4 ,5# 6 y#* diper$leh
= 4 , 5# 6 y#
5# 7 y# = #
• ubtitusikan z = 9 ke z = 4 , 5# 6 y#* diper$leh
9 = 4 , 5# 6 y#
5# 7 y# = 8
•
Z
Y
X
8/16/2019 Presentasi Kel.6 Luas Permukaan Benda
17/20
#. Jika benda parab$l$ida dipr$yeksikan pada bidang %&'* akan
diper$leh daerah D
-. D =
•
Y
XD
8/16/2019 Presentasi Kel.6 Luas Permukaan Benda
18/20
8/16/2019 Presentasi Kel.6 Luas Permukaan Benda
19/20
Soal
. 2 S is re0tangular regi$n in the xy ,plane that is b$unded by the lines x = * x = * y = * and y = #* 2ind the area $2 the part $2 the
0ylindri0al sur2a0e that pr$+e0t $nt$ S. !sumber : Purcell" Pearson
International Edition Calculus" #al $%&'
#. /ind the sur2a0e area $2 the p$rti$n $2 the parab$l$id z = 6 5# 6 y# lying ab$e the 5y plane" ! sumber: Berkey" Calculus(second
edition)" Pa(e 88$'
-. Diketahui b$la dengan persamaan . ;entukan luas daerah b$la
yang terletak di dalam silinder dengan "!Sumber: )ono SetyaBudhi, Kalkulus peubah banyak dan penggunaannya.*+B,
Bandun(, 2%%& halaman 2$'
•
8/16/2019 Presentasi Kel.6 Luas Permukaan Benda
20/20
. Carilah luas permukaan yang berada di bawah bidang mendatar .
!Su(iman" 2%%3" Kalkulus Lanjut " #al" &3%'"