¨ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL¨
FACULTAD DE INGENIERIA MECÁNICA
ASIGNATURA DE ¨METROLOGÍA¨
NOMBRE: Morejón Ruales Kevin Alexander.
PROFESOR Ing. Carlos Jaramillo.
FECHA: 28/4/2016
DEFINICION DE INCERTIDUMBRE
El Vocabulario Internacional de Metrología (VIM) define la incertidumbre de
medida como un parámetro, asociado al resultado de una medición, que
caracteriza la dispersión de los valores que razonablemente podrían ser
atribuidos al mensurando.
Esto significa que las mediciones deben expresarse en la forma y ± U, donde y
es el resultado más probable (normalmente el valor medio de una serie de
mediciones) y U es la incertidumbre de medida asociada al mismo. Cuanto
menor sea U, más calidad tendrá el resultado de medida.
La incertidumbre de la medición no implica duda acerca de la validez de un
mensurando; por el contrario, el conocimiento de la incertidumbre implica el
incremento de la confianza en la validez del resultado de una medición.
La incertidumbre, por otro lado, toma la forma de un rango, y, si es estimada para
un procedimiento de medición, puede aplicarse a todas las determinaciones
descritas en dicho procedimiento. En general, el valor de la incertidumbre no
puede utilizarse para corregir el resultado de una medición
La incertidumbre de medida comprende, en general, varias componentes. Algunas pueden ser evaluadas a partir de la distribución estadística de los resultados de series de mediciones, y pueden caracterizarse por sus desviaciones típicas experimentales. Es imprescindible que el método de evaluación y expresión de la incertidumbre sea uniforme en todo el mundo, de manera que las mediciones realizadas en diferentes países puedan ser comparadas fácilmente. El método ideal para evaluar y expresar la incertidumbre del resultado de una medición debe ser:
1.-Universal El método debe ser aplicable a toda clase de mediciones y a todo tipo de datos de entrada empleados en mediciones. 2.- Consistente internamente La magnitud utilizada para expresar la incertidumbre debe poder obtenerse directamente a partir de las componentes que contribuyen a ella, así como ser independiente de como estén agrupadas dichas componentes y de la descomposición de sus componentes en subcomponentes.
3.-Transferible Debe ser posible utilizar directamente la Incertidumbre obtenida para un resultado, como componente en la evaluación de la incertidumbre de otra medición en la que intervenga ese primer resultado.
Fuentes de incertidumbre
En la práctica la incertidumbre del resultado puede originarse de muchas fuentes
posibles,
Entre ellas podemos mencionar:
a) Definición incompleta del mensurando.
b) Realización imperfecta de la definición del mensurando.
c) Muestreo.
d) Conocimiento inadecuado de los efectos de las condiciones ambientales
sobre las mediciones, o mediciones imperfectas de dichas condiciones
ambientales.
e) Errores de apreciación del operador en la lectura de instrumentos analógicos.
f) Resolución finita del instrumento o umbral de discriminación finito.
g) Valores inexactos de patrones de medición y materiales de referencia.
h) Valores inexactos de constantes y otros parámetros obtenidos de fuentes
externas y usadas en los algoritmos de reducción de datos.
i) Aproximaciones y suposiciones incorporadas en los métodos y procedimientos
de medición.
j) Variaciones en observaciones repetidas del mensurando bajo condiciones
aparentemente iguales.
El resultado de una medición está completo únicamente cuando está
acompañado por una declaración cuantitativa de la incertidumbre, que expresa
la calidad del mismo y permite valorar la confiabilidad en este resultado.
TIPOS DE INCERTIDUMBRE
Incertidumbre estándar
Es la incertidumbre del resultado de una medición expresado como una desviación estándar. La evaluación tipo A es el método de evaluación de la incertidumbre por medio del análisis estadístico de una serie de observaciones. La evaluación tipo B es el método de evaluación de la incertidumbre por medios distintos al análisis estadístico de una serie de observaciones.
Incertidumbre absoluta
En general se representa con una letra delta mayúscula (Δ) inmediatamente
antes del símbolo que represente a la variable de interés. No es más que el valor
absoluto de la diferencia entre el valor real y el valor medido. Sin embargo como
el valor real es por definición desconocido, se utilizan las reglas para
asociar una incertidumbre a cada medición. La incertidumbre absoluta
tiene las mismas unidades que la variable a la que está asociada y no depende
de la magnitud de esta sino solamente de la resolución del instrumento
utilizado. Así por ejemplo si utilizamos un flexómetro (instrumento continuo,
de resolución=1mm) para medir tanto la longitud de un lápiz como la altura de
una puerta, las incertidumbres absolutas de ambas mediciones serán idénticas.
Incertidumbre relativa
Representa que proporción del valor reportado es dudosa. En estas notas
utilizaremos el símbolo ΔR inmediatamente antes del símbolo que represente
a la variable de interés para representar la incertidumbre relativa. Para
ilustrar más claramente este concepto utilizaremos de nuevo los ejemplos del
largo del lápiz y el alto de la puerta.
Como puede apreciarse las incertidumbres relativas son adimensionales (no
tienen unidades) y dependen de la magnitud de la variable medida. Mientras
mayor sea el valor central menor será la incertidumbre relativa (para
incertidumbres absolutas iguales)
Incertidumbre porcentual
También representa que proporción del valor reportado es dudosa, pero en este
caso en tanto porciento. En estas notas utilizaremos el símbolo Δ%
inmediatamente antes del símbolo que represente a la variable de interés para
representar la incertidumbre porcentual. Utilicemos una vez más los ejemplos
del largo del lápiz y el alto de la puerta para ilustrar este concepto.
Al igual que las incertidumbres relativas, las incertidumbres porcentuales
son adimensionales) y dependen de la magnitud de la variable medida.
Mientras menor sea el valor central mayor será el error porcentual cometido (para
incertidumbres absolutas iguales)
Incertidumbre típica combinada
Incertidumbre típica del resultado de una medición, cuando el resultado se
obtiene a partir de los valores de otras magnitudes, igual a la raíz cuadrada
positiva de una suma de términos, siendo éstos las varianzas o covarianzas de
esas otras magnitudes, ponderadas en función de la variación del resultado de
medida con la variación de dichas magnitudes.
Incertidumbre expandida
Magnitud que define un intervalo en torno al resultado de una medición, y en el que se espera encontrar una fracción importante de la distribución de valores que podrían ser atribuidos razonablemente al mensurando.
RELACIÓN ENTRE INCERTIDUMBRE Y TOLERANCIA DE MEDIDA
Tolerancia de una magnitud es el intervalo de valores en el que debe encontrarse
dicha magnitud para que se acepte como validado.
La tolerancia expresa el margen o campo de valores admisibles de las piezas o
elementos que se miden.
Cada vez que hay que decidir si el valor concreto de una magnitud está dentro
de tolerancia, es preciso medir, y si la medida de comprobación no se asegura
con la calidad necesaria (incertidumbre) aquella decisión puede ser errónea.
Cuando el intervalo de incertidumbre está contenido en el intervalo de tolerancia,
se está en condiciones de afirmar, casi con seguridad, que el valor verdadero del
mensurando es admisible. Cuando los intervalos de incertidumbre y de tolerancia
son disjuntos, hay seguridad casi total en rechazar el mensurando. Cuando los
intervalos de incertidumbre y de tolerancia se solapan en parte, es decir, cuando
poseen una parte común y otra no común, la determinación de aceptación o
rechazo es dudosa.
En la práctica se opta por un criterio de seguridad que consiste en rechazar
cualquier mensurando en situación dudosa, lo que resulta adecuado siempre que
el intervalo de incertidumbre sea varias veces inferior al de tolerancia. Esto
equivale a definir como intervalo de decisión para los valores medidos el
correspondiente a: T - 2U (tolerancia efectiva), limitando el valor del cociente de
ambos intervalos (tolerancia e incertidumbre). En medidas dimensionales, suele
ser frecuente considerar admisible:3 ≤ T / 2U ≤ 10
En la relación anterior, valores mayores que diez exigirían medios de medida
muy costosos, y la reducción del límite inferior por debajo de tres supondría un
rechazo importante de elementos correctos.
El conjunto de las piezas o elementos resultantes de una fabricación queda
dividido en tres subconjuntos: El de los que se encuentran dentro del campo de
tolerancia o elementos buenos y los que comprenden a los que salen del mismo
por defecto y por exceso, que son los elementos malos.
MODELO MATEMÁTICO
Supone aproximaciones originadas por la representación imperfecta o limitada
de las relaciones entre las variables involucradas.
Considerando a la medición como un proceso, se identifican magnitudes de
entrada denotadas por el conjunto {Xi} expresión en la cual el índice i toma
valores entre 1 y el número de magnitudes de entrada N. La relación entre las
magnitudes de entrada y el mensurando Y como la magnitud de salida se
representa como una función Y = f({Xi})= f(X1, X2, ... , XN) representada por una
tabla de valores correspondientes, una gráfica o una ecuación.
En la mayor parte de los casos, un mensurando Y no se mide directamente, sino
que se determina a partir de otras N magnitudes X1,X2, ...,XN, por medio de una
relación funcional f:
Las magnitudes de entrada X1,X2,. . . , XN, de las que depende la magnitud de
salida Y pueden ser consideradas a su vez como mensurados, pudiendo
depender de otras magnitudes, junto con las correcciones factores de corrección
de los efectos sistemáticos, llegándose así a una relación funcional f compleja,
la función f puede determinarse experimentalmente o existir solamente en forma
de algoritmo calculable numéricamente.
El conjunto de magnitudes de entrada X1,X2, . . . ,XN puede clasificarse en:
Cantidades cuyos valores e incertidumbres se determinan directamente
en la medición actual. Se pueden obtener de una sola observación,
mediciones repetidas, o juicios basados en la experiencia;
Cantidades cuyos valores e incertidumbres se introducen en la medición
a través de fuentes externas, como cantidades asociadas a patrones de
medición calibrados, materiales de referencia certificados, o datos de
referencia obtenidos de manuales.
Una estimación del mensurando Y, representada por y, se obtiene a partir de la
ecuación anterior utilizando las estimaciones de entrada x1,x2,. . . , xN para los
valores de N magnitudes X,X2, ...,XN .
Así, la estimación de salida y, que es el resultado de la medición, viene dada por
y=f(x1,2, . . . ,xN)
En algunos casos, la estimación y puede obtenerse a partir de
Es decir, que lo cual no es sino una media aritmética de n determinaciones
independientes Yk de Y, donde Xi,k es la observación k de Xi, y cada
determinación tiene la misma incertidumbre. Esta forma de promediar, y no
Es la media aritmética de las observaciones individuales Xik , esta otra forma de
calcular la media puede ser preferible cuando f sea una función no lineal de las
magnitudes de entrada X1,X2, . . . ,XN , pero las dos aproximaciones son
idénticas si f es una función lineal de las Xi
La desviación estándar estimada, asociada con la estimación de la cantidad y,
llamada la incertidumbre estándar combinada y denotada por uc(y), se calcula de
la desviación estándar estimada que se asocia a cada estimación xi, denominada
incertidumbre estándar y designada con u(xi.) Esta última cantidad se puede
calcular con una distribución de valores posibles de la cantidad Xi, la cual a su
vez se obtiene de una serie de observaciones o de una distribución conocida a
priori. La evaluación tipo A de la incertidumbre se basa en el primer caso (una
distribución de frecuencias), mientras que la evaluación tipo B de la
incertidumbre resulta de una distribución establecida a priori. Ambas reflejan
nuestro conocimiento del proceso de medición
Evaluación tipo A de la incertidumbre estándar
En la mayor parte de los casos, la mejor estimación del valor esperado μq de una
cantidad q, y para la cual se han hecho n mediciones independientes qk es la
media aritmética o promedio q:
Las observaciones individuales qk difieren en valor debido a variaciones
aleatorias. La varianza experimental de las observaciones, que es un estimador
de la varianza σ2
de la distribución de probabilidad de q es:
Esta cantidad, junto con su raíz cuadrada positiva s(qk) (conocida como la
desviación estándar experimental), caracterizan la variabilidad de los valores
observados qk, es decir, su dispersión alrededor de la media q.
Por otro lado, la mejor estimación de la varianza de la media
La varianza experimental de la media, junto con su raíz cuadrada positiva, s(q),
denominada la desviación estándar experimental de la media, cuantifican qué
tan bien que estima el valor esperado de que y se puede utilizar como una
medida de la incertidumbre de q. En otras palabras, la evaluación tipo A de la
incertidumbre estándar de un conjunto de mediciones xk, tal como se definió
previamente, se logra con la ecuación:
Evaluación tipo B de la incertidumbre
Cuando se tiene una estimación xi de una cantidad Xi que no se ha obtenido de
observaciones repetidas, la varianza estimada u2(xi) o la incertidumbre estándar
u(xi) se evalúan por un juicio científico basado en toda la información disponible
acerca de la variabilidad de Xi. Entre ésta se pueden incluir:
datos de mediciones anteriores ;
experiencia o conocimiento general acerca del comportamiento y
propiedades de materiales de referencia, patrones o instrumentos ;
especificaciones del fabricante ;
datos provistos en calibraciones u otros certificados ;
Por conveniencia, cuando u2(xi) y u(xi) se calculan con estos procedimientos se
conocen en ocasiones como la varianza tipo B y la incertidumbre estándar B.
En otras ocasiones sólo se sabe que hay una probabilidad igual a uno de que el
valor caiga en el intervalo dado, y es cero fuera de él. Así, se tiene una
distribución rectangular o uniforme, y el valor esperado de Xi es el punto medio
de la distribución, y tiene una varianza asociada
También puede darse el caso de distribuciones asimétricas con respecto al valor
esperado la aproximación más simple será
Evaluación de la incertidumbre estándar combinada
Existen diversos procedimientos para calcular la incertidumbre estándar
combinada, dependiendo de si las cantidades de entrada son independientes o
no, es decir, si existe alguna correlación entre ellas.
1.-Cantidades de entrada no correlacionadas
Cuando no existe correlación entre las cantidades que aparecen en una
medición, se debe utilizar un procedimiento para obtener la incertidumbre
estándar combinada basado en las incertidumbres estándares de las cantidades
originales y alguna relación funcional entre ellas, de la cual se obtiene la nueva
cantidad.
Para calcular esta cantidad, se utiliza la siguiente ecuación:
Cada una de las u(xi) puede ser una incertidumbre estándar evaluada según el
procedimiento tipo A o el tipo B. A esta ecuación se le conoce como la ley de
propagación de la incertidumbre.
Las derivadas parciales que aparecen en la ecuación están evaluadas en Xi =
xi, y frecuentemente se les llama coeficientes de sensibilidad, y describen cómo
cambia la estimación de salida y con cambios en las estimaciones de entrada
x1, x2,...,xN. Así, es posible escribir:
en donde
Se tendrá lo siguiente:
.2.-Cantidades de entrada correlacionadas
En el caso en que las cantidades de entrada sí se encuentren correlacionadas,
el procedimiento para evaluar la incertidumbre estándar combinada es diferente.
Así, la ley de propagación de la incertidumbre estándar se convierte en:
Donde xi y xj son las estimaciones de Xi y Xj, respectivamente, y u(xi, xj) = u(xj,xi)
es la covarianza estimada asociada con las variables ya mencionadas. El grado
en que xi y xj se correlacionan se caracteriza por el coeficiente de correlación
estimado:
Cuando las variables son independientes, el coeficiente de correlación es igual a cero, mientras que para valores cercanos a ± 1, la dependencia entre ambas Variables es lineal, decreciente o con pendiente negativa con el valor -1, y creciente o pendiente positiva si el coeficiente de correlación es +1. En este sentido, como el coeficiente de correlación es más fácilmente comprensible que la covarianza, el último término de la ecuación. Se puede escribir en la forma
La estimación de la covarianza s entre dos variables p y q se calcula con la
Ecuación
Evaluación de la incertidumbre en regresión lineal
Frecuentemente es necesario hacer ajustes de modelos lineales a los resultados
de mediciones, cuando una de las variables medidas depende de otra de ellas.
En estas situaciones, la información que debe obtenerse son los parámetros que
caracterizan a la función que debe relacionar ambas variables. Sin duda, el caso
más simple es una relación lineal, en la que deben determinarse como
parámetros la pendiente y la ordenada al origen de una recta.
El método más simple para el ajuste de una recta a un conjunto de parejas de
datos experimentales se refiere a la regresión lineal, también conocido como el
de mínimos cuadrados lineales. En este método, se hace una minimización de
la suma cuadrática de las distancias verticales entre los datos experimentales y
la recta por ajustar, considerando como variables a la pendiente m y la ordenada
al origen b [3, 4]. Esto da como resultado un sistema de ecuaciones para dichas
variables, a partir del cual se obtiene la solución:
En estas ecuaciones, N es el número de parejas de datos experimentales, con
(xi, yi) las coordenadas del punto i. Estos parámetros, por haberse obtenido a
partir de resultados experimentales, deben tener además una incertidumbre
asociada. Ésta se puede evaluar a partir de las desviaciones entre los puntos
experimentales y las predicciones de la recta caracterizada por los parámetros
de las ecuaciones (21) y (22.) Así, se utilizaría un equivalente de la desviación
estándar, Sy
Una vez calculada esta desviación estándar, se determinan las incertidumbres
en la pendiente, Sm, y en la ordenada al origen, Sb, con las expresiones:
RESUMEN DE LA CONSULTA
DEFINICION DE Y FUENTES DE INCERTIDUMBRE
La incertidumbre de medida se define como un parámetro, asociado al resultado
de una medición, comprende, en general, varias componentes. Algunas pueden
ser evaluadas a partir de la distribución estadística de los resultados de series
de mediciones, y pueden caracterizarse por sus desviaciones típicas
experimentales.
El método ideal para evaluar y expresar la incertidumbre del resultado de una medición debe ser: universal y aplicable a toda clase de mediciones, consistente internamente a partir de las componentes que contribuyen a ella y transferible en la evaluación de la incertidumbre de otra medición en la que intervenga ese primer resultado. En la práctica la incertidumbre del resultado puede originarse de muchas fuentes
posibles podemos mencionar:
a).- Errores de apreciación del operador en la lectura de instrumentos analógicos.
b).- Valores inexactos de patrones de medición y materiales de referencia.
C.-Aproximaciones y suposiciones incorporadas en los métodos y
procedimientos de medición.
TIPOS DE INCERTIDUMBRE
Incertidumbre estándar
Es la incertidumbre del resultado de una medición expresado como una desviación estándar.
Incertidumbre absoluta
Es el valor absoluto de la diferencia entre el valor real y el valor medido. La
incertidumbre absoluta tiene las mismas unidades que la variable a la que está
asociada y no depende de la magnitud.
Incertidumbre relativa
Las incertidumbres relativas representan en que proporción del valor reportado
es dudoso, son adimensionales y dependen de la magnitud de la variable
medida. Mientras mayor sea el valor central menor será la incertidumbre relativa.
Incertidumbre porcentual
Representa que proporción del valor reportado es dudosa, pero en este caso en
tanto por ciento. Mientras menor sea el valor central mayor será el error
porcentual cometido
Incertidumbre típica combinada
Incertidumbre típica del resultado de una medición, cuando el resultado se
obtiene a partir de los valores de otras magnitudes
Incertidumbre expandida
Magnitud que define un intervalo en torno al resultado de una medición
RELACIÓN ENTRE INCERTIDUMBRE Y TOLERANCIA DE MEDIDA
La tolerancia expresa el margen o campo de valores admisibles de las piezas o
elementos que se miden.
Tolerancia de medida tiene una ligada relación con los valores establecidos en
la incertidumbre del mesurado de medida ya que si una medición se halla en
discordancia entre el rango de tolerancia y el de incertidumbre puede decirse
que el resultado de esa magnitud es erróneo
EL MODELO MATEMÁTICO
Es el procedimiento seguido en para evaluación y expresión de la
incertidumbre de medida,
Algunas fórmulas para encontrar la incertidumbre se denotaran dependiendo del
tipo del que se trate:
1.- Evaluación tipo A de la incertidumbre estándar
La evaluación tipo A es el método de evaluación de la incertidumbre por medio
del análisis estadístico de una serie de observaciones
Evaluación tipo B de la incertidumbre
se evalúan por un juicio científico basado en toda la información disponible
acerca de la variabilidad de Xi.
Evaluación de la incertidumbre estándar combinada
Depende de si las cantidades de entrada son independientes o no, es decir, si
existe alguna correlación entre ellas.
1.-Cantidades de entrada no correlacionadas
Cuando no existe correlación entre las cantidades que aparecen en una
medición. Para calcular esta cantidad, se utiliza la siguiente ecuación:
.2.-Cantidades de entrada correlacionadas
La ley de propagación de la incertidumbre estándar se convierte en:
Evaluación de la incertidumbre en regresión lineal
Se hace una minimización de la suma cuadrática de las distancias verticales
entre los datos experimentales y la recta por ajustar, se obtiene la solución:
CONCLUCIONES
Podría decirse que la incertidumbre es un parámetro asociado al
resultado de una medición, que permite valorar la confiabilidad del
mismo. Siendo así, el conocimiento de la incertidumbre el incremento de
la veracidad en su validez. Cuanto menor sea la incertidumbre más alta
será la calidad de medida.
La tolerancia de medida posee una estrecha relación con la
incertidumbre, ya que si el intervalo de incertidumbre no está contenido
dentro del intervalo de tolerancia, la medida puede ser incorrecta
.
Los diferentes tipos de incertidumbres pueden depender o no de la
magnitud de la variable medida, y son varios los medios y procesos a
seguir al momento del cálculo de su incertidumbre, por ejemplo:
incertidumbre de Tipo A, cuando se determina como la desviación
estándar obtenida a través de métodos experimentales, o de Tipo B, para
métodos no experimentales distintos al análisis estadístico
Al momento de determinar la incertidumbre en un proceso de medición,
esta de ser universal y aplicable a toda clase de mediciones sin descuidar
el hecho de poder obtenerse a partir de las componentes que contribuyen
a la misma
Para poder aseverar en la correcta obtención de una medida esta debe ir
conjunto a una declaración cuantitativa de la incertidumbre, que exprese
la calidad de la misma y permite valorar la confiabilidad en el resultado.
WEBGRAFIA
http://depa.fquim.unam.mx/amyd/archivero/GUIAPARAESTIMARLAINCERTID
UMBRE%28CENAM%29_26566.pdf
https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=5&cad=rj
a&uact=8&ved=0ahUKEwjZibu4nabMAhXC5CYKHTqtA-
IQFggwMAQ&url=http%3A%2F%2Fwww.fisica.uson.mx%2Fmanuales%2Fmec
yfluidos%2Fmecyflu-
lab001.pdf&usg=AFQjCNEbIy6aWX3EwyRMLEw_kmfOIb2K5w&sig2=sBvIGYsl
odFcKY61aKG7yA
https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=8&cad=rj
a&uact=8&ved=0ahUKEwjZibu4nabMAhXC5CYKHTqtA-
IQFghEMAc&url=http%3A%2F%2Fwww.usc.es%2Fgir%2Fdocencia_files%2Ft
dd%2Fincertidumbres.pdf&usg=AFQjCNEvd34NuLdkJSUTizgCpwEArOEjhQ&s
ig2=aqfakFSg-i3ZiA0pka-GDQ
http://www.cem.es/sites/default/files/gum20digital1202010.pdf
http://depa.fquim.unam.mx/amyd/archivero/eval_incert_11208.pdf
http://www.metrycal.com/Main/Estimacion_de_la_incertidumbre_de_medida.pdf