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Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Sandra Vergara CardozoProbabilidad y Estad́ıstica Fundamental Grupo I
Universidad Nacional de Colombia
28 de febrero de 2016
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Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Tabla de Contenido
Elementos del analisis combinatorio
Principios de conteo
Formula de la multiplicación
Permutaciones con Repetición
Permutaciones
Permutaciones sin Repetición
Combinación
Combinación sin repetición
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Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Tabla de Contenido
Probabilidad
Conceptos iniciales
Espacio de medida de probabilidadMedida de probabilidad condicional
Probabilidad Subjetiva
Regla de la Suma
Regla de la Multiplicación
Probabilidad Conjunta
Teorema de Bayes
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Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Bibliografia
Lind, Marchal, Mason. Estad́ıstica para administración y
econoḿıa.
Mongomery D. Estad́ıstica aplicada a la Ingenieŕıa.
Blanco, Liliana. Probabilidad.
Canavos. Probabilidad y Estad́ıstica
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Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Elementos del análisis combinatorio
Podŕıamos contar
Número de alumnos por grupo
Número de llamadas telefónicas recibidas en una oficina pord́ıa.
Número de autos que transitan en la semana en la ciudaduniversitaria, sede Bogotá
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Elementos del análisis combinatorio
Podŕıamos contar
Número de alumnos por grupo
Número de llamadas telefónicas recibidas en una oficina pord́ıa.
Número de autos que transitan en la semana en la ciudaduniversitaria, sede Bogotá
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Elementos del análisis combinatorio
Podŕıamos contar
Número de alumnos por grupo
Número de llamadas telefónicas recibidas en una oficina pord́ıa.
Número de autos que transitan en la semana en la ciudaduniversitaria, sede Bogotá
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Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Elementos del análisis combinatorio
Podŕıamos contar
Número de alumnos por grupo
Número de llamadas telefónicas recibidas en una oficina pord́ıa.
Número de autos que transitan en la semana en la ciudaduniversitaria, sede Bogotá
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Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Cuántos números de 3 (tres) cifras se pueden formar con los
d́ıgitos : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 si no se pueden repetir losd́ıgitos. . .
Frecuentemente es necesario determinar cantidades comoestas para calcular las probabilidades. . . ..
Para responder las preguntas
“Cuántos”
“ Cuál es el número“
Supongamos que un cuarto tiene 4 puertas , llamadasW,T,U,I , de las que estamos interesadas en saber de cuantasformas podemos entrar por una puerta y salir por otra.
Hay varias posibilidades cuales son ?
C B´ d P b b l d d U d d III
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Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Cuántos números de 3 (tres) cifras se pueden formar con los
d́ıgitos : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 si no se pueden repetir losd́ıgitos. . .
Frecuentemente es necesario determinar cantidades comoestas para calcular las probabilidades. . . ..
Para responder las preguntas
“Cuántos”
“ Cuál es el número“
Supongamos que un cuarto tiene 4 puertas , llamadasW,T,U,I , de las que estamos interesadas en saber de cuantasformas podemos entrar por una puerta y salir por otra.
Hay varias posibilidades cuales son ?
C B´ i d P b bilid d U id d III
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Cuántos números de 3 (tres) cifras se pueden formar con los
d́ıgitos : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 si no se pueden repetir losd́ıgitos. . .
Frecuentemente es necesario determinar cantidades comoestas para calcular las probabilidades. . . ..
Para responder las preguntas
“Cuántos”
“ Cuál es el número“
Supongamos que un cuarto tiene 4 puertas , llamadasW,T,U,I , de las que estamos interesadas en saber de cuantasformas podemos entrar por una puerta y salir por otra.
Hay varias posibilidades cuales son ?
C B´ i d P b bilid d U id d III
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Cuántos números de 3 (tres) cifras se pueden formar con los
d́ıgitos : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 si no se pueden repetir losd́ıgitos. . .
Frecuentemente es necesario determinar cantidades comoestas para calcular las probabilidades. . . ..
Para responder las preguntas
“Cuántos”
“ Cuál es el número“
Supongamos que un cuarto tiene 4 puertas , llamadasW,T,U,I , de las que estamos interesadas en saber de cuantasformas podemos entrar por una puerta y salir por otra.
Hay varias posibilidades cuales son ?
C t B´ i d P b bilid d U id d III
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Cuántos números de 3 (tres) cifras se pueden formar con los
d́ıgitos : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 si no se pueden repetir losd́ıgitos. . .
Frecuentemente es necesario determinar cantidades comoestas para calcular las probabilidades. . . ..
Para responder las preguntas
“Cuántos”
“ Cuál es el número“
Supongamos que un cuarto tiene 4 puertas , llamadasW,T,U,I , de las que estamos interesadas en saber de cuantasformas podemos entrar por una puerta y salir por otra.
Hay varias posibilidades cuales son ?
C e t s B´si s de P b bilid d U id d III
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Cuántos números de 3 (tres) cifras se pueden formar con los
d́ıgitos : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 si no se pueden repetir losd́ıgitos. . .
Frecuentemente es necesario determinar cantidades comoestas para calcular las probabilidades. . . ..
Para responder las preguntas
“Cuántos”
“ Cuál es el número“
Supongamos que un cuarto tiene 4 puertas , llamadasW,T,U,I , de las que estamos interesadas en saber de cuantasformas podemos entrar por una puerta y salir por otra.
Hay varias posibilidades cuales son ?
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Cuántos números de 3 (tres) cifras se pueden formar con los
d́ıgitos : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 si no se pueden repetir losd́ıgitos. . .
Frecuentemente es necesario determinar cantidades comoestas para calcular las probabilidades. . . ..
Para responder las preguntas
“Cuántos”
“ Cuál es el número“
Supongamos que un cuarto tiene 4 puertas , llamadasW,T,U,I , de las que estamos interesadas en saber de cuantasformas podemos entrar por una puerta y salir por otra.
Hay varias posibilidades cuales son ?
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Conceptos Básicos de Probabilidad Unidad III
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Supongamos que el tren de pasajeros de la sabana tiene 4vagones disponibles y necesitamos saber el número de formasen que 3 pasajeros pueden ser asignados a los cuatro vagones,de manera que dos de los pasajeros no viajen juntos
4 × 3 × 2 = 24
Son 24 formas las que tenemos que asignar los cuatrosvagones a los tres (3) pasajeros, de manera que no viajen dosde ellos juntos.
Halle los números de cinco cifras que se pueden formar con losd́ıgitos del 0 al 9 que sean múltiplos de 5 y donde no sepueden repetir los d́ıgitos
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Supongamos que el tren de pasajeros de la sabana tiene 4vagones disponibles y necesitamos saber el número de formasen que 3 pasajeros pueden ser asignados a los cuatro vagones,de manera que dos de los pasajeros no viajen juntos
4 × 3 × 2 = 24
Son 24 formas las que tenemos que asignar los cuatrosvagones a los tres (3) pasajeros, de manera que no viajen dosde ellos juntos.
Halle los números de cinco cifras que se pueden formar con losd́ıgitos del 0 al 9 que sean múltiplos de 5 y donde no sepueden repetir los d́ıgitos
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Supongamos que el tren de pasajeros de la sabana tiene 4vagones disponibles y necesitamos saber el número de formasen que 3 pasajeros pueden ser asignados a los cuatro vagones,de manera que dos de los pasajeros no viajen juntos
4 × 3 × 2 = 24
Son 24 formas las que tenemos que asignar los cuatrosvagones a los tres (3) pasajeros, de manera que no viajen dosde ellos juntos.
Halle los números de cinco cifras que se pueden formar con losd́ıgitos del 0 al 9 que sean múltiplos de 5 y donde no sepueden repetir los d́ıgitos
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Supongamos que el tren de pasajeros de la sabana tiene 4vagones disponibles y necesitamos saber el número de formasen que 3 pasajeros pueden ser asignados a los cuatro vagones,de manera que dos de los pasajeros no viajen juntos
4 × 3 × 2 = 24
Son 24 formas las que tenemos que asignar los cuatrosvagones a los tres (3) pasajeros, de manera que no viajen dosde ellos juntos.
Halle los números de cinco cifras que se pueden formar con losd́ıgitos del 0 al 9 que sean múltiplos de 5 y donde no sepueden repetir los d́ıgitos
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Hay 6048 números de cinco (5) cifras todas diferentes y que sonmúltiplos de cinco (5).
6 × 7 × 8 × 9 × 2 = 6048
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Principios de conteo
Si el número de resultados posibles de un experimento es pequeño,resulta relativamente fácil contarlos.
Ejemplo del dado :
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p
Principios de conteo
Si el número de resultados posibles de un experimento es pequeño,resulta relativamente fácil contarlos.
Ejemplo del dado :
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p
Formula de la multiplicación
Si hay m formas de hacer una cosa y n formas de hacer otra
existiran mxn formas de hacer ambas.
Numero total de arreglos = (m) × (n)
Para tres eventos :
Numero total de arreglos = (m) × (n) × (o )
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p
Formula de la multiplicación
Si hay m formas de hacer una cosa y n formas de hacer otra
existiran mxn formas de hacer ambas.
Numero total de arreglos = (m) × (n)
Para tres eventos :
Numero total de arreglos = (m) × (n) × (o )
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Formula de la multiplicación
Si hay m formas de hacer una cosa y n formas de hacer otra
existiran mxn formas de hacer ambas.
Numero total de arreglos = (m) × (n)
Para tres eventos :
Numero total de arreglos = (m) × (n) × (o )
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Formula de la multiplicación
Si hay m formas de hacer una cosa y n formas de hacer otra
existiran mxn formas de hacer ambas.
Numero total de arreglos = (m) × (n)
Para tres eventos :
Numero total de arreglos = (m) × (n) × (o )
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Un vendedor de automóviles desea anunciar que por $23.000.000,
usted puede comprar un auto convertible, sedan 2 puertas o unmodelo de 4 puertas, y además puede elegir si desea que los rinessean sólidos o deportivos. Cuantos arreglos diferentes de modelos yrines puede ofrecer el comerciante?
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Podemos utilizar la formula de la multiplicación para verificar (m:número de modelos, n: tipo del rin)
Total de arreglos posibles = (m) × (n) = (3) × (2) = 6
Si el orden no importa, es una combinación.
Si el orden śı importa es una permutación.
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Podemos utilizar la formula de la multiplicación para verificar (m:número de modelos, n: tipo del rin)
Total de arreglos posibles = (m) × (n) = (3) × (2) = 6
Si el orden no importa, es una combinación.
Si el orden śı importa es una permutación.
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Podemos utilizar la formula de la multiplicación para verificar (m:número de modelos, n: tipo del rin)
Total de arreglos posibles = (m) × (n) = (3) × (2) = 6
Si el orden no importa, es una combinación.
Si el orden śı importa es una permutación.
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Podemos utilizar la formula de la multiplicación para verificar (m:número de modelos, n: tipo del rin)
Total de arreglos posibles = (m) × (n) = (3) × (2) = 6
Si el orden no importa, es una combinación.
Si el orden śı importa es una permutación.
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“ Si una operación o un proceso consiste de n diferentes pasos , delos cuales el primero puede ser realizado de p 1 formas, el segundo
de p
2 formas , el tercero de p
3 formas ,. . . , y el k-ésimo de p
k formas.
La operación se puede realizar
p 1 × p 2 × . . . . × p k formas
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“ Si una operación o un proceso consiste de n diferentes pasos , delos cuales el primero puede ser realizado de p 1 formas, el segundo
de p
2 formas , el tercero de p
3 formas ,. . . , y el k-ésimo de p
k formas.
La operación se puede realizar
p 1 × p 2 × . . . . × p k formas
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“ Si una operación o un proceso consiste de n diferentes pasos , delos cuales el primero puede ser realizado de p 1 formas, el segundode p
2 formas , el tercero de p
3 formas ,. . . , y el k-ésimo de p
k formas.
La operación se puede realizar
p 1 × p 2 × . . . . × p k formas
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Un estudiante tiene 8 pantalones diferentes y 10 camisas diferentes¿ De cuantas maneras puede vestirse de manera diferente ?
Rta. a
Un restaurante ofrece tres sopas diferentes, 5 carnes, 4 postres, y 4tipos de bebida . ¿De cuantas formas podemos ordenar una comidacompleta consistente en una sopa, una carne, un postre y unabebida ?
Rta. b
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Un estudiante tiene 8 pantalones diferentes y 10 camisas diferentes¿ De cuantas maneras puede vestirse de manera diferente ?
Rta. a
Un restaurante ofrece tres sopas diferentes, 5 carnes, 4 postres, y 4tipos de bebida . ¿De cuantas formas podemos ordenar una comidacompleta consistente en una sopa, una carne, un postre y unabebida ?
Rta. b
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Un estudiante tiene 8 pantalones diferentes y 10 camisas diferentes¿ De cuantas maneras puede vestirse de manera diferente ?
Rta. a
Un restaurante ofrece tres sopas diferentes, 5 carnes, 4 postres, y 4tipos de bebida . ¿De cuantas formas podemos ordenar una comidacompleta consistente en una sopa, una carne, un postre y unabebida ?
Rta. b
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Un estudiante tiene 8 pantalones diferentes y 10 camisas diferentes¿ De cuantas maneras puede vestirse de manera diferente ?
Rta. a
Un restaurante ofrece tres sopas diferentes, 5 carnes, 4 postres, y 4tipos de bebida . ¿De cuantas formas podemos ordenar una comidacompleta consistente en una sopa, una carne, un postre y unabebida ?
Rta. b
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Rta. A ( 8 × 10 = 80)
Rta. B (3 × 5 × 4 × 4 = 240)
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Rta. A ( 8 × 10 = 80)
Rta. B (3 × 5 × 4 × 4 = 240)
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Permutaciones con repetición
Si elegimos n situaciones y elegimos r de ellas, las permutaciones
posibles son:
n ∗ n ∗ n ∗ ...(r − veces ) = nr
Seŕıan n posibilidades para la primera elección, consiguientemente
hay n posibilidades para la segunda elección, y aśı sucesivamente.
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Permutaciones con repetición
Si elegimos n situaciones y elegimos r de ellas, las permutaciones
posibles son:
n ∗ n ∗ n ∗ ...(r − veces ) = nr
Seŕıan n posibilidades para la primera elección, consiguientemente
hay n posibilidades para la segunda elección, y aśı sucesivamente.
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Permutaciones con repetición
Si elegimos n situaciones y elegimos r de ellas, las permutaciones
posibles son:
n ∗ n ∗ n ∗ ...(r − veces ) = nr
Seŕıan n posibilidades para la primera elección, consiguientemente
hay n posibilidades para la segunda elección, y aśı sucesivamente.
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Hace algunos años la empresa Wendy’s Hamburgers anunció queteńıa 256 formas de preparar un hamburguesa. Usted puede elegiru omitir, cualquier combinación de lo siguiente para su
hamburguesa: mostaza, salsa de tomate, cebolla, pepinillos,tomate en rebanadas, aderezo, mayonesa y lechuga.
¿Es cierto lo que dice el anuncio? Indique cómo obtuvo surespuesta
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Hace algunos años la empresa Wendy’s Hamburgers anunció queteńıa 256 formas de preparar un hamburguesa. Usted puede elegiru omitir, cualquier combinación de lo siguiente para su
hamburguesa: mostaza, salsa de tomate, cebolla, pepinillos,tomate en rebanadas, aderezo, mayonesa y lechuga.
¿Es cierto lo que dice el anuncio? Indique cómo obtuvo surespuesta
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Usted puede elegir u omitir.
mostaza
salsa de tomate
Cebolla
pepinillostomate en rebanadas
Aderezo
mayonesa
lechuga
n es el número de cosas que puedes elegir, eliges r de ellas. (Sepuede repetir, el orden importa)
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Usted puede elegir u omitir.
mostaza
salsa de tomate
Cebolla
pepinillostomate en rebanadas
Aderezo
mayonesa
lechuga
n es el número de cosas que puedes elegir, eliges r de ellas. (Sepuede repetir, el orden importa)
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Usted puede elegir u omitir.
mostaza
salsa de tomate
Cebolla
pepinillostomate en rebanadas
Aderezo
mayonesa
lechuga
n es el número de cosas que puedes elegir, eliges r de ellas. (Sepuede repetir, el orden importa)
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Usted puede elegir u omitir.
mostaza
salsa de tomate
Cebolla
pepinillostomate en rebanadas
Aderezo
mayonesa
lechuga
n es el número de cosas que puedes elegir, eliges r de ellas. (Sepuede repetir, el orden importa)
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Usted puede elegir u omitir.
mostaza
salsa de tomate
Cebolla
pepinillostomate en rebanadas
Aderezo
mayonesa
lechuga
n es el número de cosas que puedes elegir, eliges r de ellas. (Sepuede repetir, el orden importa)
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Usted puede elegir u omitir.
mostaza
salsa de tomate
Cebolla
pepinillostomate en rebanadas
Aderezo
mayonesa
lechuga
n es el número de cosas que puedes elegir, eliges r de ellas. (Sepuede repetir, el orden importa)
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Usted puede elegir u omitir.
mostaza
salsa de tomate
Cebolla
pepinillostomate en rebanadas
Aderezo
mayonesa
lechuga
n es el número de cosas que puedes elegir, eliges r de ellas. (Sepuede repetir, el orden importa)
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Usted puede elegir u omitir.
mostaza
salsa de tomate
Cebolla
pepinillostomate en rebanadas
Aderezo
mayonesa
lechuga
n es el número de cosas que puedes elegir, eliges r de ellas. (Sepuede repetir, el orden importa)
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Si se tiene el evento 1, ocurre n1 formas distintas y por cada unade ellas un evento 2 ocurre en n2 formas diferentes y aśısucesivamente hasta el evento k, el número de formas totalesposibles distintas de ocurrencia de todos los k eventos es.
n1 ∗ n2 ∗ ... ∗ nk
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Permutaciones sin repetición
¿ Cómo puedes ordenar el número de sillas en el salón de clases ?
60 ∗ 59 ∗ ... ∗ 1 =
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Sean n enteros positivos:
Se define el factorial de n, denotado por n!, como:
n! = n ∗ (n − 1) ∗ ... ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1
Por definicion 0! = 1
n! = n ∗ (n − 1)! = n ∗ (n − 1) ∗ (n − 2)!
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Sean n enteros positivos:
Se define el factorial de n, denotado por n!, como:
n! = n ∗ (n − 1) ∗ ... ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1
Por definicion 0! = 1
n! = n ∗ (n − 1)! = n ∗ (n − 1) ∗ (n − 2)!
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Sean n enteros positivos:
Se define el factorial de n, denotado por n!, como:
n! = n ∗ (n − 1) ∗ ... ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1
Por definicion 0! = 1
n! = n ∗ (n − 1)! = n ∗ (n − 1) ∗ (n − 2)!
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Sean n enteros positivos:
Se define el factorial de n, denotado por n!, como:
n! = n ∗ (n − 1) ∗ ... ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1
Por definicion 0! = 1
n! = n ∗ (n − 1)! = n ∗ (n − 1) ∗ (n − 2)!
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Sean n enteros positivos:
Se define el factorial de n, denotado por n!, como:
n! = n ∗ (n − 1) ∗ ... ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1
Por definicion 0! = 1
n! = n ∗ (n − 1)! = n ∗ (n − 1) ∗ (n − 2)!
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Permutación
Un arreglo o disposición de r objetos seleccionados de un sologrupo de n objetos posibles.
Observe que los arreglos a, b, c y el b, a, c son permutacionesdiferentes . La formula que se utiliza para contar el número total
de permutaciones distintas es:
nP r = n!(n−r )!
n, número total de objetos.
r , número de objetos seleccionados
el número de permutaciones de n objetos distintos tomando r a lavez.
Si el orden śı importa es una permutación.
Una permutación es una combinación ordenada.
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Permutación
Un arreglo o disposición de r objetos seleccionados de un sologrupo de n objetos posibles.
Observe que los arreglos a, b, c y el b, a, c son permutacionesdiferentes . La formula que se utiliza para contar el número total
de permutaciones distintas es:
nP r = n!(n−r )!
n, número total de objetos.
r , número de objetos seleccionados
el número de permutaciones de n objetos distintos tomando r a lavez.
Si el orden śı importa es una permutación.
Una permutación es una combinación ordenada.
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Permutación
Un arreglo o disposición de r objetos seleccionados de un sologrupo de n objetos posibles.
Observe que los arreglos a, b, c y el b, a, c son permutacionesdiferentes . La formula que se utiliza para contar el número total
de permutaciones distintas es:
nP r = n!(n−r )!
n, número total de objetos.
r , número de objetos seleccionados
el número de permutaciones de n objetos distintos tomando r a lavez.
Si el orden śı importa es una permutación.
Una permutación es una combinación ordenada.
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Permutación
Un arreglo o disposición de r objetos seleccionados de un sologrupo de n objetos posibles.
Observe que los arreglos a, b, c y el b, a, c son permutacionesdiferentes . La formula que se utiliza para contar el número total
de permutaciones distintas es:
nP r = n!(n−r )!
n, número total de objetos.
r , número de objetos seleccionados
el número de permutaciones de n objetos distintos tomando r a lavez.
Si el orden śı importa es una permutación.
Una permutación es una combinación ordenada.
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Permutación
Un arreglo o disposición de r objetos seleccionados de un sologrupo de n objetos posibles.
Observe que los arreglos a, b, c y el b, a, c son permutacionesdiferentes . La formula que se utiliza para contar el número total
de permutaciones distintas es:
nP r = n!(n−r )!
n, número total de objetos.
r , número de objetos seleccionados
el número de permutaciones de n objetos distintos tomando r a lavez.
Si el orden śı importa es una permutación.
Una permutación es una combinación ordenada.
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Permutación
Un arreglo o disposición de r objetos seleccionados de un sologrupo de n objetos posibles.
Observe que los arreglos a, b, c y el b, a, c son permutacionesdiferentes . La formula que se utiliza para contar el número total
de permutaciones distintas es:
nP r = n!(n−r )!
n, número total de objetos.
r , número de objetos seleccionados
el número de permutaciones de n objetos distintos tomando r a lavez.
Si el orden śı importa es una permutación.
Una permutación es una combinación ordenada.
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Permutación
Un arreglo o disposición de r objetos seleccionados de un sologrupo de n objetos posibles.
Observe que los arreglos a, b, c y el b, a, c son permutacionesdiferentes . La formula que se utiliza para contar el número total
de permutaciones distintas es:
nP r = n!(n−r )!
n, número total de objetos.
r , número de objetos seleccionados
el número de permutaciones de n objetos distintos tomando r a lavez.
Si el orden śı importa es una permutación.
Una permutación es una combinación ordenada.
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Permutación
P (n, r ) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1)
P (n, n) = n(n − 1)(n − 2) . . . (3)(2)(1) = n!
nP r = P (n, r ) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1) . . . (2)(1)
(n − r ) . . . (2)(1) =
n!
(n − r )!
n, número total de objetos.r , número de objetos seleccionados
el número de permutaciones de n objetos distintos tomando r a lavez.
Si el orden śı importa es una permutación.
Una permutación es una combinación ordenada.
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Permutación
P (n, r ) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1)
P (n, n) = n(n − 1)(n − 2) . . . (3)(2)(1) = n!
nP r = P (n, r ) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1) . . . (2)(1)
(n − r ) . . . (2)(1) =
n!
(n − r )!
n, número total de objetos.r , número de objetos seleccionados
el número de permutaciones de n objetos distintos tomando r a lavez.
Si el orden śı importa es una permutación.
Una permutación es una combinación ordenada.
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Permutación
P (n, r ) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1)
P (n, n) = n(n − 1)(n − 2) . . . (3)(2)(1) = n!
nP r = P (n, r ) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1) . . . (2)(1)
(n − r ) . . . (2)(1) =
n!
(n − r )!
n, número total de objetos.r , número de objetos seleccionados
el número de permutaciones de n objetos distintos tomando r a lavez.
Si el orden śı importa es una permutación.
Una permutación es una combinación ordenada.
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Permutación
P (n, r ) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1)
P (n, n) = n(n − 1)(n − 2) . . . (3)(2)(1) = n!
nP r = P (n, r ) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1) . . . (2)(1)
(n − r ) . . . (2)(1) =
n!
(n − r )!
n, número total de objetos.r , número de objetos seleccionados
el número de permutaciones de n objetos distintos tomando r a lavez.
Si el orden śı importa es una permutación.
Una permutación es una combinación ordenada.
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Permutación
P (n, r ) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1)
P (n, n) = n(n − 1)(n − 2) . . . (3)(2)(1) = n!
nP r = P (n, r ) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1) . . . (2)(1)
(n − r ) . . . (2)(1) =
n!
(n − r )!
n, número total de objetos.r , número de objetos seleccionados
el número de permutaciones de n objetos distintos tomando r a lavez.
Si el orden śı importa es una permutación.
Una permutación es una combinación ordenada.
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Permutación
P (n, r ) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1)
P (n, n) = n(n − 1)(n − 2) . . . (3)(2)(1) = n!
nP r = P (n, r ) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1) . . . (2)(1)
(n − r ) . . . (2)(1) =
n!
(n − r )!
n, número total de objetos.r , número de objetos seleccionados
el número de permutaciones de n objetos distintos tomando r a lavez.
Si el orden śı importa es una permutación.
Una permutación es una combinación ordenada.
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Permutación
P (n, r ) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1)
P (n, n) = n(n − 1)(n − 2) . . . (3)(2)(1) = n!
nP r = P (n, r ) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1) . . . (2)(1)
(n − r ) . . . (2)(1) =
n!
(n − r )!
n, número total de objetos.r , número de objetos seleccionados
el número de permutaciones de n objetos distintos tomando r a lavez.
Si el orden śı importa es una permutación.
Una permutación es una combinación ordenada.
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Permutación
P (n, r ) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1)
P (n, n) = n(n − 1)(n − 2) . . . (3)(2)(1) = n!
nP r = P (n, r ) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1) . . . (2)(1)
(n − r ) . . . (2)(1) =
n!
(n − r )!
n
, número total de objetos.r , número de objetos seleccionados
el número de permutaciones de n objetos distintos tomando r a lavez.
Si el orden śı importa es una permutación.
Una permutación es una combinación ordenada.
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Ej: Con referencia al grupo de tres partes electrónicas que debenensamblarse en cualquier orden. ¿ De cuantas maneras diferentesse pueden ensamblar ?
n=3, son 3 partes para ensamblar
r=3, porque las tres partes se van a colocar en la unidad modular
nP r = n!(n−r )! =
3!0! = 3 ∗ 2 ∗ 1 = 6
Las seis formas en que se pueden disponer las tres parteselectrónicas, denotadas por A, B, C
ABC , BAC , CAB , ACB , BCA, CBA
Si el orden śı importa es una permutación.
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Ej: Con referencia al grupo de tres partes electrónicas que debenensamblarse en cualquier orden. ¿ De cuantas maneras diferentesse pueden ensamblar ?
n=3, son 3 partes para ensamblar
r=3, porque las tres partes se van a colocar en la unidad modular
nP r = n!(n−r )! =
3!0! = 3 ∗ 2 ∗ 1 = 6
Las seis formas en que se pueden disponer las tres parteselectrónicas, denotadas por A, B, C
ABC , BAC , CAB , ACB , BCA, CBA
Si el orden śı importa es una permutación.
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Ej: Con referencia al grupo de tres partes electrónicas que debenensamblarse en cualquier orden. ¿ De cuantas maneras diferentesse pueden ensamblar ?
n=3, son 3 partes para ensamblar
r=3, porque las tres partes se van a colocar en la unidad modular
nP r = n!(n−r )! =
3!0! = 3 ∗ 2 ∗ 1 = 6
Las seis formas en que se pueden disponer las tres parteselectrónicas, denotadas por A, B, C
ABC , BAC , CAB , ACB , BCA, CBA
Si el orden śı importa es una permutación.
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82/360
Ej: Con referencia al grupo de tres partes electrónicas que debenensamblarse en cualquier orden. ¿ De cuantas maneras diferentesse pueden ensamblar ?
n=3, son 3 partes para ensamblar
r=3, porque las tres partes se van a colocar en la unidad modular
nP r = n!(n−r )! =
3!0! = 3 ∗ 2 ∗ 1 = 6
Las seis formas en que se pueden disponer las tres parteselectrónicas, denotadas por A, B, C
ABC , BAC , CAB , ACB , BCA, CBA
Si el orden śı importa es una permutación.
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83/360
Ej: Con referencia al grupo de tres partes electrónicas que debenensamblarse en cualquier orden. ¿ De cuantas maneras diferentesse pueden ensamblar ?
n=3, son 3 partes para ensamblar
r=3, porque las tres partes se van a colocar en la unidad modular
nP r = n!(n−r )! =
3!0! = 3 ∗ 2 ∗ 1 = 6
Las seis formas en que se pueden disponer las tres parteselectrónicas, denotadas por A, B, C
ABC , BAC , CAB , ACB , BCA, CBA
Si el orden śı importa es una permutación.
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Ej: Con referencia al grupo de tres partes electrónicas que debenensamblarse en cualquier orden. ¿ De cuantas maneras diferentesse pueden ensamblar ?
n=3, son 3 partes para ensamblar
r=3, porque las tres partes se van a colocar en la unidad modular
nP r = n!(n−r )! =
3!0! = 3 ∗ 2 ∗ 1 = 6
Las seis formas en que se pueden disponer las tres parteselectrónicas, denotadas por A, B, C
ABC , BAC , CAB , ACB , BCA, CBA
Si el orden śı importa es una permutación.
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Ej: Con referencia al grupo de tres partes electrónicas que debenensamblarse en cualquier orden. ¿ De cuantas maneras diferentesse pueden ensamblar ?
n=3, son 3 partes para ensamblar
r=3, porque las tres partes se van a colocar en la unidad modular
nP r = n!(n−r )! =
3!0! = 3 ∗ 2 ∗ 1 = 6
Las seis formas en que se pueden disponer las tres parteselectrónicas, denotadas por A, B, C
ABC , BAC , CAB , ACB , BCA, CBA
Si el orden śı importa es una permutación.
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Ej: La empresa XYZ, tiene 8 tornos pero solo hay disponibles 3espacios en la zona de producción. ¿En cuantas formas diferentesse pueden colocar los ocho tornos en los tres espacios disponibles ?
n=8, r=3
nP r = n!(n−r )! =
8!5! = 8 ∗ 7 ∗ 6 = 336
Hay un total de 336 acomodos diferentes.
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Ej: La empresa XYZ, tiene 8 tornos pero solo hay disponibles 3espacios en la zona de producción. ¿En cuantas formas diferentesse pueden colocar los ocho tornos en los tres espacios disponibles ?
n=8, r=3
nP r = n!(n−r )! =
8!5! = 8 ∗ 7 ∗ 6 = 336
Hay un total de 336 acomodos diferentes.
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
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Ej: La empresa XYZ, tiene 8 tornos pero solo hay disponibles 3espacios en la zona de producción. ¿En cuantas formas diferentesse pueden colocar los ocho tornos en los tres espacios disponibles ?
n=8, r=3
nP r = n!(n−r )! =
8!5! = 8 ∗ 7 ∗ 6 = 336
Hay un total de 336 acomodos diferentes.
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89/360
Ej: La empresa XYZ, tiene 8 tornos pero solo hay disponibles 3espacios en la zona de producción. ¿En cuantas formas diferentesse pueden colocar los ocho tornos en los tres espacios disponibles ?
n=8, r=3
nP r = n!(n−r )! =
8!5! = 8 ∗ 7 ∗ 6 = 336
Hay un total de 336 acomodos diferentes.
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Si nueve bolas distinguibles entre si son colocadas al azar encatorce (14) cajas, la probabilidad de que ninguna caja reciba masde una bola es :
Un ascensor inicia el recorrido con 10 personas y se detiene en 15pisos . Cual es la probabilidad de que máximo una persona deje elascensor en el mismo piso ?
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Si nueve bolas distinguibles entre si son colocadas al azar encatorce (14) cajas, la probabilidad de que ninguna caja reciba masde una bola es :
Un ascensor inicia el recorrido con 10 personas y se detiene en 15pisos . Cual es la probabilidad de que máximo una persona deje elascensor en el mismo piso ?
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Permutaciones sin repetición de n elementos tomadostodos a la vez
De cuantas formas diferentes se pueden ordenar las letras delalfabeto PROBABILIDAD
12 × 11 . . . × 1 = 12! = 479001600
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Permutaciones sin repetición de n elementos tomadostodos a la vez
De cuantas formas diferentes se pueden ordenar las letras delalfabeto PROBABILIDAD
12 × 11 . . . × 1 = 12! = 479001600
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Permutaciones sin repetición de n elementos tomados de ren r
De cuantas formas diferentes se pueden sentar 6 alumnos en unsalón de clase de 45 puestos?
45P 6
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Permutaciones sin repetición de n elementos tomados de ren r
De cuantas formas diferentes se pueden sentar 6 alumnos en unsalón de clase de 45 puestos?
45P 6
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Combinaciones
Recordando, el orden no importa, es una combinación.
Con repetición:
como billetes en tu billetera (10000,10000,50000,50000,50000)
Sin repetición: como números del baloto (13,1,25,7,3,32,52)
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97/360
Combinaciones
Recordando, el orden no importa, es una combinación.
Con repetición:
como billetes en tu billetera (10000,10000,50000,50000,50000)
Sin repetición: como números del baloto (13,1,25,7,3,32,52)
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98/360
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Combinaciones
Recordando, el orden no importa, es una combinación.
Con repetición:
como billetes en tu billetera (10000,10000,50000,50000,50000)
Sin repetición: como números del baloto (13,1,25,7,3,32,52)
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Combinaciones sin repetición
Aśı funciona el baloto. Los números se eligen de uno en uno, y sitienes los números de la suerte (en el mismo orden) GANASTE!
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Combinaciones sin repetición
Aśı funciona el baloto. Los números se eligen de uno en uno, y sitienes los números de la suerte (en el mismo orden) GANASTE!
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Si el orden śı importa (permutaciones).
Si el orden no importa (combinaciones).
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104/360
Se tomaron 3 colores diferentes
Amarillo
Rojo
Azul.
Las posibilidades son:
El orden importa : (1 3 2,2 1 3,2 3 1,3 1 2,3 2 1)
El orden no importa: (1 2 3)
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Se tomaron 3 colores diferentes
Amarillo
Rojo
Azul.
Las posibilidades son:
El orden importa : (1 3 2,2 1 3,2 3 1,3 1 2,3 2 1)
El orden no importa: (1 2 3)
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106/360
Se tomaron 3 colores diferentes
Amarillo
Rojo
Azul.
Las posibilidades son:
El orden importa : (1 3 2,2 1 3,2 3 1,3 1 2,3 2 1)
El orden no importa: (1 2 3)
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Se tomaron 3 colores diferentes
Amarillo
Rojo
Azul.
Las posibilidades son:
El orden importa : (1 3 2,2 1 3,2 3 1,3 1 2,3 2 1)
El orden no importa: (1 2 3)
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Se tomaron 3 colores diferentes
Amarillo
Rojo
Azul.
Las posibilidades son:
El orden importa : (1 3 2,2 1 3,2 3 1,3 1 2,3 2 1)
El orden no importa: (1 2 3)
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Las permutaciones son 6 posibilidades.
Una manera fácil de saber de cuántas maneras ”1 2 3”se pueden
ordenar.3! = 3x 2x 1
Realicemos para 5 colores diferentes
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Las permutaciones son 6 posibilidades.
Una manera fácil de saber de cuántas maneras ”1 2 3”se pueden
ordenar.3! = 3x 2x 1
Realicemos para 5 colores diferentes
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112/360
Las permutaciones son 6 posibilidades.
Una manera fácil de saber de cuántas maneras ”1 2 3”se pueden
ordenar.3! = 3x 2x 1
Realicemos para 5 colores diferentes
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
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Las permutaciones son 6 posibilidades.
Una manera fácil de saber de cuántas maneras ”1 2 3”se pueden
ordenar.3! = 3x 2x 1
Realicemos para 5 colores diferentes
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Combinación
Si el orden de los objetos seleccionados no es importante, acualquier selección se le llama una combinación.
nC r = n!
r !(n − r )!
nC r (r !) =n P r = n!
(n − r )!
El número de formas posibles de seleccionar r objetos de un totalde n, sin importar el orden.
Si el orden no importa, es una combinación.
Coeficiente binomial.
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Combinación
Si el orden de los objetos seleccionados no es importante, acualquier selección se le llama una combinación.
nC r = n!
r !(n − r )!
nC r (r !) =n P r = n!
(n − r )!
El número de formas posibles de seleccionar r objetos de un totalde n, sin importar el orden.
Si el orden no importa, es una combinación.
Coeficiente binomial.
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
C b ´
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Combinación
Si el orden de los objetos seleccionados no es importante, acualquier selección se le llama una combinación.
nC r = n!
r !(n − r )!
nC r (r !) =n P r = n!
(n − r )!
El número de formas posibles de seleccionar r objetos de un totalde n, sin importar el orden.
Si el orden no importa, es una combinación.
Coeficiente binomial.
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
C bi i´
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Combinación
Si el orden de los objetos seleccionados no es importante, acualquier selección se le llama una combinación.
nC r = n!
r !(n − r )!
nC r (r !) =n P r = n!
(n − r )!
El número de formas posibles de seleccionar r objetos de un totalde n, sin importar el orden.
Si el orden no importa, es una combinación.
Coeficiente binomial.
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
C bi i´
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Combinación
Si el orden de los objetos seleccionados no es importante, acualquier selección se le llama una combinación.
nC r = n!
r !(n − r )!
nC r (r !) =n P r = n!
(n − r )!
El número de formas posibles de seleccionar r objetos de un totalde n, sin importar el orden.
Si el orden no importa, es una combinación.
Coeficiente binomial.
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Si se tiene un subconjunto con n objetos distintos: si se deseantener subconjuntos , de dicho conjunto , de tamaño r
0 ≤ r ≤ n
El número de subconjuntos que pueden formarse puede hallarse
con la formula:
nC r = n!
r !(n − r )!
4C 3 = 4!
3!(4 − 3)! = 4
El número de formas posibles de seleccionar 3 objetos de un total
de 4, sin importar el orden.
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
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Si se tiene un subconjunto con n objetos distintos: si se deseantener subconjuntos , de dicho conjunto , de tamaño r
0 ≤ r ≤ n
El número de subconjuntos que pueden formarse puede hallarse
con la formula:
nC r = n!
r !(n − r )!
4C 3 = 4!
3!(4 − 3)! = 4
El número de formas posibles de seleccionar 3 objetos de un total
de 4, sin importar el orden.
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
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Si se tiene un subconjunto con n objetos distintos: si se deseantener subconjuntos , de dicho conjunto , de tamaño r
0 ≤ r ≤ n
El número de subconjuntos que pueden formarse puede hallarse
con la formula:
nC r = n!
r !(n − r )!
4C 3 = 4!
3!(4 − 3)! = 4
El número de formas posibles de seleccionar 3 objetos de un total
de 4, sin importar el orden.
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Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
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Si se tiene un subconjunto con n objetos distintos: si se deseantener subconjuntos , de dicho conjunto , de tamaño r
0 ≤ r ≤ n
El número de subconjuntos que pueden formarse puede hallarse
con la formula:
nC r = n!
r !(n − r )!
4C 3 = 4!
3!(4 − 3)! = 4
El número de formas posibles de seleccionar 3 objetos de un total
de 4, sin importar el orden.
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
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Si se tiene un subconjunto con n objetos distintos: si se deseantener subconjuntos , de dicho conjunto , de tamaño r
0 ≤ r ≤ n
El número de subconjuntos que pueden formarse puede hallarse
con la formula:
nC r = n!
r !(n − r )!
4C 3 = 4!
3!(4 − 3)! = 4
El número de formas posibles de seleccionar 3 objetos de un total
de 4, sin importar el orden.
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Ej: Los ejecutivos C,D,F han se de ser elegidos como comité paranegociar una fusión de empresas, sólo existe una combinaciónposible de estos tres. El comité formado por C,D,F equivale al
integrado por D,F,C .
3C 3 = 3!
3!(0)! = 1
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Ej: Los ejecutivos C,D,F han se de ser elegidos como comité paranegociar una fusión de empresas, sólo existe una combinaciónposible de estos tres. El comité formado por C,D,F equivale al
integrado por D,F,C .
3C 3 = 3!
3!(0)! = 1
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Ej: A un departamento de mercadotecnia se le ha diseñado quediseñe códigos de colores para las 42 ĺıneas de discoscompactos(CD) que comercializa la empresa EWQ.
Se van a utilizar 3 colores en cada ĺınea de CD , pero unacombinación de tres colores que se utilizan en una ĺınea no puedenno puede reordenarse y utilizarse para identificar otra ĺıneadiferente.
Esto significa que si se usaran los colores amarillo, verde y violeta(o cualquier otra combinación de estos tres colores) no se podŕıa
emplear para identificar otra ĺınea. ¿Serán adecuados siete coloresformados tres a la vez para codificar adecuadamente las 42 ĺıneas ?
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129/360
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
8/18/2019 Probabilidad 28-02-2016
130/360
El número de formas posibles de seleccionar 3 objetos de un totalde 7, sin importar el orden.
7C 3 =
7!
3!(7 − 3)! = 35
7P 3 = 7!
(7 − 3)! =
7!
4!
8/18/2019 Probabilidad 28-02-2016
131/360
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
8/18/2019 Probabilidad 28-02-2016
132/360
Cuántos helados de dos sabores diferentes nos pueden servir enuna heladeŕıa que tiene el siguiente surtido de sabores : chocolate,vainilla, mamey, fresa, mango, coco ?
6C 2 = 6!
2!(6 − 2)! = 15
8/18/2019 Probabilidad 28-02-2016
133/360
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Combinaciones con repetición
8/18/2019 Probabilidad 28-02-2016
134/360
Combinaciones con repeticion
= (n+r −1)!r !(n−1)!
Coeficiente binomial negativa
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Ejercicios
8/18/2019 Probabilidad 28-02-2016
135/360
Ejercicios
1. Supóngase que se deben dividir 10 conejos usados en unlaboratorio de 3 jaulas, de tal forma que la jaula 1hayan 3 conejos,en la jaula 2 cuatro conejos y en la jaula 3, tres conejos.
De cuantas formas se pueden guardar los conejos en las jaulas?
Rta. 4200
Cinco jueces de un deporte determinado disponen de una cartulina
en la que por un lado hay un 1 y por el otro un 0.Cuantas combinaciones pueden darse ?
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Ejercicios
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136/360
Ejercicios
1. Supóngase que se deben dividir 10 conejos usados en unlaboratorio de 3 jaulas, de tal forma que la jaula 1hayan 3 conejos,en la jaula 2 cuatro conejos y en la jaula 3, tres conejos.
De cuantas formas se pueden guardar los conejos en las jaulas?
Rta. 4200
Cinco jueces de un deporte determinado disponen de una cartulina
en la que por un lado hay un 1 y por el otro un 0.Cuantas combinaciones pueden darse ?
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Ejercicios
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Ejercicios
1. Supóngase que se deben dividir 10 conejos usados en unlaboratorio de 3 jaulas, de tal forma que la jaula 1hayan 3 conejos,en la jaula 2 cuatro conejos y en la jaula 3, tres conejos.
De cuantas formas se pueden guardar los conejos en las jaulas?
Rta. 4200
Cinco jueces de un deporte determinado disponen de una cartulina
en la que por un lado hay un 1 y por el otro un 0.Cuantas combinaciones pueden darse ?
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Ejercicios
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138/360
Ejercicios
1. Supóngase que se deben dividir 10 conejos usados en unlaboratorio de 3 jaulas, de tal forma que la jaula 1hayan 3 conejos,en la jaula 2 cuatro conejos y en la jaula 3, tres conejos.
De cuantas formas se pueden guardar los conejos en las jaulas?
Rta. 4200
Cinco jueces de un deporte determinado disponen de una cartulina
en la que por un lado hay un 1 y por el otro un 0.Cuantas combinaciones pueden darse ?
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140/360
Un producto se arma en tres etapas. En la primera etapa hay 5ĺıneas de armado, en la segunda 4 ĺıneas de armado y en la tercera,6 ĺıneas de armado. ¿De cuantas formas puede moverse el productoen el proceso de armado ?
Rta. 120 formas
Un inspector visita 6 máquinas diferentes durante el d́ıa. Al fin deimpedir que los operadores sepan cuanto inspeccionará , varia elorden de las visitas.
¿ De cuantas maneras puede hacerlo ?Rta. 720
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141/360
Un producto se arma en tres etapas. En la primera etapa hay 5ĺıneas de armado, en la segunda 4 ĺıneas de armado y en la tercera,6 ĺıneas de armado. ¿De cuantas formas puede moverse el productoen el proceso de armado ?
Rta. 120 formas
Un inspector visita 6 máquinas diferentes durante el d́ıa. Al fin deimpedir que los operadores sepan cuanto inspeccionará , varia elorden de las visitas.
¿ De cuantas maneras puede hacerlo ?Rta. 720
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
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142/360
Un producto se arma en tres etapas. En la primera etapa hay 5ĺıneas de armado, en la segunda 4 ĺıneas de armado y en la tercera,6 ĺıneas de armado. ¿De cuantas formas puede moverse el productoen el proceso de armado ?
Rta. 120 formas
Un inspector visita 6 máquinas diferentes durante el d́ıa. Al fin deimpedir que los operadores sepan cuanto inspeccionará , varia elorden de las visitas.
¿ De cuantas maneras puede hacerlo ?Rta. 720
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143/360
Un producto se arma en tres etapas. En la primera etapa hay 5ĺıneas de armado, en la segunda 4 ĺıneas de armado y en la tercera,6 ĺıneas de armado. ¿De cuantas formas puede moverse el productoen el proceso de armado ?
Rta. 120 formas
Un inspector visita 6 máquinas diferentes durante el d́ıa. Al fin deimpedir que los operadores sepan cuanto inspeccionará , varia elorden de las visitas.
¿ De cuantas maneras puede hacerlo ?Rta. 720
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Un producto se arma en tres etapas. En la primera etapa hay 5ĺıneas de armado, en la segunda 4 ĺıneas de armado y en la tercera,6 ĺıneas de armado. ¿De cuantas formas puede moverse el productoen el proceso de armado ?
Rta. 120 formas
Un inspector visita 6 máquinas diferentes durante el d́ıa. Al fin deimpedir que los operadores sepan cuanto inspeccionará , varia elorden de las visitas.
¿ De cuantas maneras puede hacerlo ?Rta. 720
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145/360
Sin repeticion
Permutación nP r , Combinación nC r
Se seleccionan 3 colores sin repetición de los colores Rojo, Azul,Verde y Blanco
nP r =4 P 3 = 24
nC r =4 C 3 = 4
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146/360
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
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147/360
Sin repeticion
Permutación nP r , Combinación nC r
Se seleccionan 3 colores sin repetición de los colores Rojo, Azul,Verde y Blanco
nP r =4 P 3 = 24
nC r =4 C 3 = 4
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
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148/360
Sin repeticion
Permutación nP r , Combinación nC r
Se seleccionan 3 colores sin repetición de los colores Rojo, Azul,Verde y Blanco
nP r =4 P 3 = 24
nC r =4 C 3 = 4
8/18/2019 Probabilidad 28-02-2016
149/360
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Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
8/18/2019 Probabilidad 28-02-2016
151/360
Es de gran ayuda la teoŕıa de probabilidad, a la quefrecuentemente se denomina ciencia de la incertidumbre
El empleo de esta teoŕıa de la probabilidad permite -a quientoma decisiones con información limitada- analizar los riesgosy minimizar el azar inherente.
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
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152/360
Es de gran ayuda la teoŕıa de probabilidad, a la quefrecuentemente se denomina ciencia de la incertidumbre
El empleo de esta teoŕıa de la probabilidad permite -a quientoma decisiones con información limitada- analizar los riesgosy minimizar el azar inherente.
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Introducción
Introducción
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153/360
El calculo de la posibilidad de que algo ocurra en el futuro .(Inferencia estad́ıstica o estad́ıstica inferencial)
La inferencia estad́ıstica se ocupa de obtener conclusionesacerca de la población basándose en una muestra.
Debido a que existe una incertidumbre considerable al tomardecisiones, resulta importante que se evalúen en forma
cient́ıfica todos los riesgos impĺıcitos conocidos
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Introducción
Introducción
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154/360
El calculo de la posibilidad de que algo ocurra en el futuro .(Inferencia estad́ıstica o estad́ıstica inferencial)
La inferencia estad́ıstica se ocupa de obtener conclusionesacerca de la población basándose en una muestra.
Debido a que existe una incertidumbre considerable al tomardecisiones, resulta importante que se evalúen en forma
cient́ıfica todos los riesgos impĺıcitos conocidos
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Introducción
Introducción
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155/360
El calculo de la posibilidad de que algo ocurra en el futuro .(Inferencia estad́ıstica o estad́ıstica inferencial)
La inferencia estad́ıstica se ocupa de obtener conclusionesacerca de la población basándose en una muestra.
Debido a que existe una incertidumbre considerable al tomardecisiones, resulta importante que se evalúen en forma
cient́ıfica todos los riesgos impĺıcitos conocidos
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Probabilidad
Probabilidad
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ProbabilidadValor que va desde cero hasta uno, inclusive, que describe laposibilidad relativa de que ocurra un evento.
ExperimentoProceso que conduce a que ocurra una ( y solamente una ) devarias observaciones posibles.ResultadoUn suceso particular proveniente de un experimento.
EventoConjunto de uno o mas resultados de un experimento.
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Probabilidad
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ProbabilidadValor que va desde cero hasta uno, inclusive, que describe laposibilidad relativa de que ocurra un evento.
ExperimentoProceso que conduce a que ocurra una ( y solamente una ) devarias observaciones posibles.ResultadoUn suceso particular proveniente de un experimento.
EventoConjunto de uno o mas resultados de un experimento.
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Probabilidad
Probabilidad
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158/360
ProbabilidadValor que va desde cero hasta uno, inclusive, que describe laposibilidad relativa de que ocurra un evento.
ExperimentoProceso que conduce a que ocurra una ( y solamente una ) devarias observaciones posibles.ResultadoUn suceso particular proveniente de un experimento.
EventoConjunto de uno o mas resultados de un experimento.
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Probabilidad
Probabilidad
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160/360
ProbabilidadValor que va desde cero hasta uno, inclusive, que describe laposibilidad relativa de que ocurra un evento.
ExperimentoProceso que conduce a que ocurra una ( y solamente una ) devarias observaciones posibles.ResultadoUn suceso particular proveniente de un experimento.
EventoConjunto de uno o mas resultados de un experimento.
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161/360
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Probabilidad
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162/360
ProbabilidadValor que va desde cero hasta uno, inclusive, que describe laposibilidad relativa de que ocurra un evento.
ExperimentoProceso que conduce a que ocurra una ( y solamente una ) devarias observaciones posibles.ResultadoUn suceso particular proveniente de un experimento.
EventoConjunto de uno o mas resultados de un experimento.
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Probabilidad
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163/360
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
8/18/2019 Probabilidad 28-02-2016
164/360
8/18/2019 Probabilidad 28-02-2016
165/360
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Conceptos iniciales de probabilidad
8/18/2019 Probabilidad 28-02-2016
166/360
Experimento aleatorio
Espacio muestral : w elementos de Ω
Espacios muestrales discretos
Espacios muestrales continuos
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Conceptos iniciales de probabilidad
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167/360
Experimento aleatorio
Espacio muestral : w elementos de Ω
Espacios muestrales discretos
Espacios muestrales continuos
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Conceptos iniciales de probabilidad
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168/360
Experimento aleatorio
Espacio muestral : w elementos de Ω
Espacios muestrales discretos
Espacios muestrales continuos
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Probabilidad
Conceptos iniciales de probabilidad
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169/360
Experimento aleatorio
Espacio muestral : w elementos de Ω
Espacios muestrales discretos
Espacios muestrales continuos
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Probabilidad
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170/360
FinitoΩF o tambíen Ω1Lanzar un dado Ω1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Infinito Enumerable
Número de autos que pasan por una autopista.Ω2 = {0, 1, 2,...}
Infinito No numerable
Peso de los estudiantes del curso de Probabilidad y Estad́ıstica.Ω3 = {x ∈ R/x ≥ 0}
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
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171/360
FinitoΩF o tambíen Ω1Lanzar un dado Ω1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Infinito Enumerable
Número de autos que pasan por una autopista.Ω2 = {0, 1, 2,...}
Infinito No numerable
Peso de los estudiantes del curso de Probabilidad y Estad́ıstica.Ω3 = {x ∈ R/x ≥ 0}
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
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172/360
FinitoΩF o tambíen Ω1Lanzar un dado Ω1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Infinito Enumerable
Número de autos que pasan por una autopista.Ω2 = {0, 1, 2,...}
Infinito No numerable
Peso de los estudiantes del curso de Probabilidad y Estad́ıstica.Ω3 = {x ∈ R/x ≥ 0}
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Probabilidad
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174/360
FinitoΩF o tambíen Ω1Lanzar un dado Ω1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Infinito Enumerable
Número de autos que pasan por una autopista.Ω2 = {0, 1, 2,...}
Infinito No numerable
Peso de los estudiantes del curso de Probabilidad y Estad́ıstica.Ω3 = {x ∈ R/x ≥ 0}
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Probabilidad
8/18/2019 Probabilidad 28-02-2016
175/360
FinitoΩF o tambíen Ω1Lanzar un dado Ω1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Infinito Enumerable
Número de autos que pasan por una autopista.Ω2 = {0, 1, 2,...}
Infinito No numerable
Peso de los estudiantes del curso de Probabilidad y Estad́ıstica.Ω3 = {x ∈ R/x ≥ 0}
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Probabilidad
8/18/2019 Probabilidad 28-02-2016
176/360
FinitoΩF o tambíen Ω1Lanzar un dado Ω1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Infinito Enumerable
Número de autos que pasan por una autopista.Ω2 = {0, 1, 2,...}
Infinito No numerable
Peso de los estudiantes del curso de Probabilidad y Estad́ıstica.Ω3 = {x ∈ R/x ≥ 0}
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177/360
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Probabilidad
8/18/2019 Probabilidad 28-02-2016
178/360
FinitoΩF o tambíen Ω1Lanzar un dado Ω1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Infinito Enumerable
Número de autos que pasan por una autopista.Ω2 = {0, 1, 2,...}
Infinito No numerable
Peso de los estudiantes del curso de Probabilidad y Estad́ıstica.Ω3 = {x ∈ R/x ≥ 0}
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Probabilidad
σ-álgebra
8/18/2019 Probabilidad 28-02-2016
179/360
Sea Ω = Φ. Una colección de subconjuntos de Ω es unaσ-álgebra sobre Ω, si
Ω ∈
A ∈ → Ac ∈
Si A1, A2,... ∈ →α
i =1 Ai ∈
Los elementos de se llaman eventos.= p (Ω)
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Espacio media de probabilidad
8/18/2019 Probabilidad 28-02-2016
180/360
Espacio de probabilidad : tripleta (Ω, ,P )
P : Medida de probabilidad.
Def :
P (A) ≥ 0 ∀ ∈ P (Ω) = 1
A1, A2,... ∈ , disjuntos →α
i =1 =
α
i =1 P (Ai )
P: Medida de probabilidad sobre (Ω, )
8/18/2019 Probabilidad 28-02-2016
181/360
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Probabilidad como frecuencia relativa
8/18/2019 Probabilidad 28-02-2016
182/360
Espacio medible
Operaciones entre eventos
Mutuamente excluyentes
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Probabilidad como frecuencia relativa
8/18/2019 Probabilidad 28-02-2016
183/360
Espacio medible
Operaciones entre eventos
Mutuamente excluyentes
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Probabilidad como frecuencia relativa
8/18/2019 Probabilidad 28-02-2016
184/360
Espacio medible
Operaciones entre eventos
Mutuamente excluyentes
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Frecuencia relativa f r (A)
8/18/2019 Probabilidad 28-02-2016
185/360
Suponga un experimento aleatorio n veces.
Se mantienen condiciones mas o menos constantes.
f r (A) = n(A)
n
n(A): Número de veces que ocurre el evento A
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Frecuencia relativa f r (A)
8/18/2019 Probabilidad 28-02-2016
186/360
Suponga un experimento aleatorio n veces.
Se mantienen condiciones mas o menos constantes.
f r (A) = n(A)
n
n(A): Número de veces que ocurre el evento A
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Frecuencia relativa f r (A)
8/18/2019 Probabilidad 28-02-2016
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Suponga un experimento aleatorio n veces.
Se mantienen condiciones mas o menos constantes.
f r (A) = n(A)
n
n(A): Número de veces que ocurre el evento A
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Frecuencia relativa f r (A)
8/18/2019 Probabilidad 28-02-2016
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Suponga un experimento aleatorio n veces.
Se mantienen condiciones mas o menos constantes.
f r (A) = n(A)
n
n(A): Número de veces que ocurre el evento A
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Elementos con probabilidad desigual (No uniformes)
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Ω es finito
= ρ(Ω)
Elementos con probabilidades distintas
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Medida de probabilidad condicional P (•|A)
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(Ω, ,P ) espacio de probabilidad (tripleta) A, B ∈ con P (A) ≥ 0
Probabilidad del evento B , bajo la condición A
P (B |A) = P (A ∩ B )P (A)
También se demuestra que P (•|A) es una medida de probabilidad
A partir de P (B |A)P (A ∩ B ) = P (A)P (B |A)
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
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La Probabilidad de la certidumbre es 1.
P (sucesocierto ) = 1
P (sucesoimposible ) = 0
0 ≤ P (E j ) ≤ 1
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
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La Probabilidad de la certidumbre es 1.
P (sucesocierto ) = 1
P (sucesoimposible ) = 0
0 ≤ P (E j ) ≤ 1
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
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La Probabilidad de la certidumbre es 1.
P (sucesocierto ) = 1
P (sucesoimposible ) = 0
0 ≤ P (E j ) ≤ 1
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
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El proceso que da lugar a un suceso se llama experimento .Un experimento es toda acción bien definida la cual produceun único resultado.
Un conjunto es una colección de objetos.
Los objetos de un conjunto son sus elementos.
El conjunto de todos los resultado posibles de un experimentoes el espacio muestral.
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Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
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El proceso que da lugar a un suceso se llama experimento .Un experimento es toda acción bien definida la cual produceun único resultado.
Un conjunto es una colección de objetos.
Los objetos de un conjunto son sus elementos.
El conjunto de todos los resultado posibles de un experimentoes el espacio muestral.
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
El conjunto de todos los resultado posibles de un experimento es el
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El conjunto de todos los resultado posibles de un experimento es el
espacio muestral .
Para el dado, el espacio muestral es :
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Si 1 ∈ Ω, 2 ∈ Ω,... son llamados pntos muestrales.
6
i =1
P (E j ) = 1
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
El conjunto de todos los resultado posibles de un experimento es el
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El conjunto de todos los resultado posibles de un experimento es el
espacio muestral .
Para el dado, el espacio muestral es :
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Si 1 ∈ Ω, 2 ∈ Ω,... son llamados pntos muestrales.
6
i =1
P (E j ) = 1
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
El conjunto de todos los resultado posibles de un experimento es el
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El conjunto de todos los resultado posibles de un experimento es el
espacio muestral .
Para el dado, el espacio muestral es :
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Si 1 ∈ Ω, 2 ∈ Ω,... son llamados pntos muestrales.
6
i =1
P (E j ) = 1
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Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
El conjunto de todos los resultado posibles de un experimento es el
8/18/2019 Probabilidad 28-02-2016
202/360
El conjunto de todos los resultado posibles de un experimento es el
espacio muestral .
Para el dado, el espacio muestral es :
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Si 1 ∈ Ω, 2 ∈ Ω,... son llamados pntos muestrales.
6
i =1
P (E j ) = 1
Conceptos Básicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
La historia hace muchas referencias de probabilidad. En elsiglo XVII Jacob Bernoilli (1654 1705) miembro de una
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siglo XVII Jacob Bernoilli (1654-1705) miembro de una
familia Suiza de matemáticos estableció las leyes básicas de laprobabilidad moderna.
Thomas Bayes (1702-1761) y Joseph Lagrange (1736-1813) ,se cuentan como pioneros de la teoŕıa de la probabilidad .
La historia se remonta los juegos del azar.En la actualidad se observa que la probabilidad ocupa un lugardestacado en muchos asuntos de negocios, los seguros y laspracticas actuariales tienen una base firme en los principios dela teoŕıa de la probabilidad .
Las primas de los seguros de vida dependen de la tabla de lamortalidad , basándose en probabilidad de muerte a una edadconcreta
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Probabilidad
La historia hace muchas referencias de probabilidad. En elsiglo XVII Jacob Bernoilli (1654 1705) miembro de una
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siglo XVII Jacob Bernoilli (1654-1705) miembro de una
familia Suiza de matemáticos estableció las leyes básicas de laprobabilidad moderna.
Thomas Bayes (1702-1761) y Joseph Lagrange (1736-1813) ,se cuentan como pioneros de la teoŕıa de la probabilidad .
La historia se remonta los juegos del azar.En la actualidad se observa que la probabilidad ocupa un lugardestacado en muchos asuntos de negocios, los seguros y laspracticas actuariales tienen una base firme en los principios dela teoŕıa de la probabilidad .
Las primas de los seguros de vida dependen de la tabla de lamortalidad , basándose en probabilidad de muerte a una edadconcreta
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La historia hace muchas referencias de probabilidad. En elsiglo XVII Jacob Bernoilli (1654-1705) miembro de una
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siglo XVII Jacob Bernoilli (1654-1705) miembro de una
familia Suiza de matemáticos estableció las leyes básicas de laprobabilidad moderna.
Thomas Bayes (1702-1761) y Joseph Lagrange (1736-1813) ,se cuentan como pioneros de la teoŕıa de la probabilidad .
La historia se remonta los juegos del azar.En la actualidad se observa que la probabilidad ocupa un lugardestacado en muchos asuntos de negocios, los seguros y laspracticas actuariales tienen una base firme en los principios dela teoŕıa de la probabilidad .
Las primas de los seguros de vida dependen de la tabla de lamortalidad , basándose en probabilidad de muerte a una edadconcreta
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La historia hace muchas referencias de probabilidad. En elsiglo XVII Jacob Bernoilli (1654-1705) miembro de una
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siglo XVII Jacob Bernoilli (1654 1705) miembro de una
familia Suiza de matemáticos estableció las leyes básicas de laprobabilidad moderna.
Thomas Bayes (1702-1761) y Joseph Lagrange (1736-1813) ,se cuentan como pioneros de la teoŕıa de la probabilidad .
La historia se remonta los juegos del azar.En la actualidad se observa qu