Probabilidad y Estadística 2
[Aplicaciones con Texas Instruments Voyage 200]
2010 En este manual encontrarás aplicaciones para diversos temas de Probabilidad y Estadística 2, hipótesis de prueba, intervalos de confianza, regresión lineal, bondad de ajuste, gráfica de distribuciones de probabilidad, todo con ayuda de la Texas Instruments Voyage 200.
Materia para: Todas las Ingenierías
EELLAABBOORRAADDOO PPOORR::
II..II.. ÁÁNNGGEELL GGAARRCCÍÍAAFFIIGGUUEERROOAA HHEERRNNÁÁNNDDEEZZ
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Tabla de funciones matemáticas poco usadas para la TI-V200 Página 3
Tabla de funciones matemáticas poco usadas para la TI-V200
Función Forma de
escritura en HOME
Descripción simple Ejemplo.
Valor absoluto
abs(expr)
Sólo debes teclear esta combinación de letras seguido de los respectivos paréntesis de apertura y cierre con la expresión dentro.
Logaritmo log(expr) ó log(expr,base)
Sólo debes teclear esta combinación de letras seguido de los respectivos paréntesis de apertura y cierre con la expresión dentro, seguido de una coma y la base del logaritmo, si se omite se toma como base 10.
Raíz de cualquier
orden
�������
(expr)^(n/m)
Debes teclear primero la expresión que va a elevarse a la raíz dada, luego el símbolo de potencia y entre paréntesis la división correspondiente de la raíz que tengas.
Cosecante csc(expr) Sólo debes teclear esta combinación de letras seguido de los respectivos paréntesis de apertura y cierre con la expresión dentro.
Secante sec(expr)
Cotangente cot(expr)
arc coseno cos-1(expr)
Para las primeras tres funciones simplemente teclea “2nd” + tecla seno coseno ó tangente correspondiente. Para las últimas 3 debes entrar al menú de funciones trigonométrica con “2nd” + número 5 de la parte numérica y entrar al submenú Trig. y dar ENTER sobre la opción deseada.
arc seno sen-1(expr)
arc tangente
tan-1(expr)
arc cosecante
csc-1(expr)
arc secante sec-1(expr)
arc cotangente
cot-1(expr)
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Índice General Página 4
Índice General
I. Introducción…………………………………………………………………………….5
II. Detalle Técnico………………………………………………………………………..7
III. Detalle General de Teclas………………………………………………………..9
IV. Introduciendo datos y expresiones correctamente…………………11
V. Índice de Probabilidad & Estadística 2…………………………………….21
VI. Contenido…………………………………………………………………………24-70
VII. Ejercicios propuestos……………………………………………………………..71
VIII. Bibliografía……………………………………………………………………………..81
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Introducción Página 5
Introducción
Bienvenido al curso Texas Instruments Voyage200, éste curso tiene la finalidad de que aprendas
el manejo eficiente y práctico de esta calculadora graficadora muy poderosa, ya que posee un gran
campo de aplicación en todas las ingenierías y por ende en la mayoría de las materias que verás a
lo largo de tu carrera, para que estudies como ingeniero y trabajes como tal.
Esta calculadora si bien tiene mucha funcionalidad y gran ventaja, es importante dejar en claro
que no debe ser usada como un medio de hacer trampa o como un sustituto del aprendizaje
impartido por el maestro, sino de un apoyo claro y específico en cada materia para agilizar
cálculos y para entender mejor los temas vistos en clase. Las materias en las que te puede ayudar
grandemente de tronco común (1°, 2° y 3° semestre) son las siguientes:
1. Química General
2. Algebra Lineal
3. Calculo Diferencial
4. Calculo Integral
5. Ecuaciones Diferenciales
6. Probabilidad y Estadística 1
7. Probabilidad y Estadística 2
8. Física 1
9. Física 2
10. Física 3
11. Fisicoquímica
12. Termodinámica
Y de las demás materias disciplinarias
(Programa Académico de Ingeniería Industrial):
13. Diseño de Experimentos
14. Computación 2
15. Resistencia de Materiales 1
16. Circuitos Eléctricos 1
17. Investigación de Operaciones 1
18. Investigación de Operaciones 2
19. Tecnología de los Materiales
20. Ingeniería Económica 1
21. Ingeniería Económica 2
22. Control Estadístico del Proceso
23. Medición del Trabajo
24. Metrología
25. Administración Financiera
Las materias en Negritas son las
que recomiendo fuertemente para
el uso de esta calculadora porque
facilita mucho el trabajo y también
existen programas específicos y
didácticos para cada una.
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Introducción Página 6
PRÉSTAMO
Existen 54 calculadoras TI-V200 disponibles para préstamo en el resguardo de ésta facultad, tú
puedes pedir que se te preste de forma inmediata una calculadora, se te presta gratuitamente por
espacio de 1 mes y puedes renovar el préstamo cuantas veces desees. Para esto debes acudir con
el encargado del material tecnológico y audiovisual, él se encuentra en el segundo piso de la
facultad casi enfrente del centro de cómputo junto a la jefatura de Ingeniería Industrial, se atiende
de 7:00 A.M. a 2:00 P.M., lo único que necesitas para que te presten la calculadora es lo siguiente:
• Copia de tu credencial de la Universidad
• Copia de tu toma de materias actual
• Copia de tu Inscripción/Reinscripción actual
Como verás es muy sencillo y en definitiva recibes a cambio una gran ayuda.
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Detalle Técnico Página 7
Detalle Técnico
Cuando pidas prestada una calculadora debes fijarte que contenga:
� 1 Calculadora
� 1 Carcasa
� 4 Pilas AAA recargables ó alcalinas (en caso de estar disponibles)
� 1 Bolsita protectora
Este es el préstamo básico, sin embargo si tú deseas instalarle algún programa desde tu
computadora debes solicitar también:
� 1 Cable TI-USB Silver-Link
Para instalación de programas complementarios ó extras, consultar el MANUAL DE INSTALACIÓN
DE SOFTWARE PARA CALCULADORA TEXAS INSTRUMENTS VOYAGE 200.
Pasos al Iniciar sesión:
1. Coloca las 4 pilas AAA adecuadamente. Estas se encuentran dentro de la bolsa protectora de la
calculadora. La parte donde se colocan las pilas es en la parte posterior de la misma.
IMPORTANTE: No muevas la pila de botón.
2. Retira la carcasa de la calculadora:
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Detalle Técnico Página 8
3. Colócala por atrás para protegerla mejor.
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Detalle General de Teclas Página 9
Detalle General de Teclas
La tecla DIAMANTE (una tecla verde al lado de la tecla ON), al presionarla una vez activa todas las
teclas que tengan leyenda verde sobre las teclas normales. Su función es múltiple y generalmente
te permite desplazarte entre programas y configurar ciertas aplicaciones de la parte gráfica.
La tecla 2nd (tecla azul al lado de la tecla DIAMANTE), al presionarla una vez activa todas las teclas
que tengan leyenda azul. Su función principal es complementar las expresiones numéricas, y en
algunos casos entrar a menús avanzados.
Las teclas F1-F8, se pueden utilizar cuando en la pantalla aparezcan opciones variadas en la parte
superior, generalmente se usan sólo para abrir menús en los programas.
Las teclas del Cursor sirven para moverte en gráficas, sobre la línea de entrada y en el historial de
Home, así como en otros programas, te irás familiarizando con el poco a poco.
La tecla APPS, despliega el menú general de la calculadora, donde se encuentran todas las
aplicaciones y programas de la misma.
La tecla MODE, despliega la pantalla para modificar la configuración general de la calculadora.
La tecla Shift, tiene la misma funcionalidad que la tecla shift del teclado de una computadora, al
dejarlo presionado y desplazarte con el cursor de un lado a otro puedes seleccionar una serie de
Cursor
Parte Numérica
Teclado Extendido Teclas especiales Shift,
DIAMANTE, 2nd
Teclas F1-F8
Tecla APPS
Tecla CLEAR Tecla ESC
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Detalle General de Teclas Página 10
datos o expresiones para después copiarlos con la combinación DIAMANTE + letra C, y pegarlos en
cualquier otra aplicación con la combinación DIAMANTE + letra V.
La tecla CLEAR sirve de forma general para borrar la línea de entrada de la calculadora y en
algunas otras aplicaciones borra gráficas y elementos marcados para graficar.
La tecla ESC se usa para cancelar opciones hechas o errores cometidos dentro de un programa.
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Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 11
Introduciendo datos y
expresiones
correctamente
Se ha dedicado un capítulo completo a la
explicación de cómo introducir datos y
expresiones correctamente debido a que se
han identificado numerosos errores de
escritura en muchos estudiantes a la hora de
teclear los datos, lo cual es de vital
importancia ya que de teclear
incorrectamente la información nos puede
arrojar resultados incorrectos o muy
diferentes a lo que queremos en realidad,
independientemente del programa en el que
estemos éstas reglas son para cualquier
aplicación en el que se esté trabajando, es
conveniente tomarse un tiempo para
entender y practicar estos sencillos ejercicios
para que escribas correctamente la
información en cada tarea que resuelvas.
Signo Menos
Es importante que a la hora de teclear una
expresión en la calculadora se teclee el signo
menos adecuado en cada caso. Se debe
seguir la siguiente regla:
“Cuando se escriba una expresión en la que
se inicie con signo negativo debe usarse la
tecla con signo negativo entre paréntesis
”. Esto mismo se usa con las
calculadoras científicas habituales. Veremos
un par de ejemplos. Enciende tu calculadora,
tecla ON:
Muévete con el cursor a través de las
aplicaciones y posiciónate en HOME y da
ENTER:
Por ejemplo, si queremos escribir:
�7� 8
Damos ENTER :
Vemos que se despliega correctamente y se
reacomoda en la línea de entrada. Este error
del uso del signo menos es muy común y
debe usarse ya sea en el inicio de una
expresión o en la de un exponente que
queramos a una potencia negativa o después
de que se ha cerrado un paréntesis. Para
borrar la línea de entrada teclea CLEAR.
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 12
Si se hubiera puesto el otro signo menos
hubiera salido un resultado completamente
diferente e incorrecto. Otro ejemplo:
��
Vemos que se lee correctamente, si
hubiéramos puesto el signo contrario:
Vemos que nos indica que hay un error de
sintaxis en la línea de entrada.
“En cualquier otra posición de una
expresión que no sea el inicio, el signo
negativo que debe usarse es el de la tecla
blanca .”
Por ejemplo:
��� 8� � 13
Para el primer término como esta al inicio se
usa el signo menos de la tecla negra y para el
último término se usa el signo menos de la
tecla blanca:
Como tip podemos decir que en la línea de
entrada el signo menos de la tecla negra está
un poco más pequeño y más arriba que el de
la tecla blanca.
Paréntesis
El uso correcto de los paréntesis es muy
importante ya que de igual manera va a
definir nuestras expresiones. Los paréntesis
dividen expresiones completas en la línea de
entrada de la calculadora, hay algunas
funciones como la función exponencial,
logaritmo natural o las trigonométricas que
cuando lo tecleas inmediatamente te abre un
paréntesis y lo hace con la finalidad de que
definas correctamente lo que va dentro de
esa función. Es importante recordar que
“Todo paréntesis que se abre debe
cerrarse”. Por ejemplo supongamos que
deseamos escribir:
sin 7� 8�� � ln �
Al teclear la función de seno se abre
automáticamente el paréntesis e
inmediatamente después debemos escribir
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 13
el argumento del seno para después cerrarlo
con el paréntesis de cierre:
Es importante también cerrar
ordenadamente cada paréntesis que se abra,
veamos otro ejemplo:
√cos � � sin 2�
Abrimos la raíz dando en 2nd + tecla de
signo de multiplicación y si te fijas se
abre el paréntesis inmediatamente después
del símbolo de la raíz y luego debemos
escribir la expresión de adentro y cerrar con
el paréntesis final para indicar que todo va
dentro de la raíz:
Fíjate en el orden de los paréntesis, el
primero es el que encierra a todos los demás,
damos ENTER:
Signo de División
Este es otro error algo común a la hora de
escribir las expresiones, y hay que seguir otra
regla muy simple cuando usamos el signo de
división:
“Cuando haya más de un término en el
numerador o denominador en una división,
estas expresiones deben encerrarse entre
paréntesis”
Por ejemplo si deseamos escribir:
3�9� 13
Como hay un solo término en la parte de
arriba no es necesario teclear el paréntesis,
pero como en la parte de abajo hay más de
uno, debemos teclear los paréntesis en la
parte de abajo, la forma de escritura se
podría resumir con este tip:
� �� � !é�#$ %&/� �� � !é�#$ %&
Vemos en la pantalla como se ve
correctamente la escritura de la expresión
que queremos. ¿Qué hubiera pasado si no
ponemos los paréntesis? Observa:
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Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 14
Vemos que al dar ENTER la calculadora
entiende otra cosa completamente distinta.
Es un muy buen tip que observes lo que
escribiste al dar ENTER en la parte izquierda
de la pantalla y veas si esa expresión es la
que quieres.
Otro ejemplo:
�� 8��7�� 3� � 15
Como en el numerador y denominador hay
más de un término deben escribirse ambos
paréntesis al inicio y al final de cada
expresión, damos ENTER:
Nótese que en el denominador como la
expresión inicia con un término con signo
negativo se empieza usando el menos de la
tecla negra, y el siguiente es con la tecla
menos blanca. Recordemos que los
paréntesis dividen expresiones completas,
por eso aunque este en medio de la línea de
entrada se usa el signo negativo negro.
También notamos que la calculadora
factoriza la parte de arriba y cambia signos
por comodidad, siendo esto una igualdad
exacta.
Exponentes
Otro error relativamente común son los
exponentes. Por ejemplo si queremos
escribir:
���)
Como veras a simple vista en la calculadora
no existe una tecla con raíz cúbica, solo esta
la de raíz cuadrada, para escribir una raíz del
orden que sea se debe usar el exponente con
la sencilla regla:
√��� * �� +⁄
Cuando se escribe un exponente en
fracciones en la calculadora, de igual
manera debe ponerse entre paréntesis
después del símbolo de exponente:
Al dar ENTER vemos la expresión correcta de
la equis con su exponente. De igual manera
se recalca la importancia de poner entre
paréntesis esta expresión ya que de no
hacerlo la calculadora entenderá otra cosa,
observa:
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 15
Vemos que al no ponerlo la calculadora
entiende que se trata de una equis cuadrada
entre tres y no es la expresión adecuada. Por
eso es MUY IMPORTANTE el escribir
correctamente la información en la
calculadora ya que de no hacerlo nos dará
resultados incorrectos.
Listas ó Matrices
Cuando escribas en listas o matrices
(generalmente las usaras en materias como
Algebra Lineal, Investigación de Operaciones
1, Ingeniería Económica 1, Ingeniería
Económica 2) es importante que recuerdes
que las comas “,” también dividen
expresiones y por lo tanto si por ejemplo
escribes un dato con signo negativo es como
si iniciara una nueva expresión y debe
teclearse con el signo menos de la tecla
negra.
Por ejemplo al escribir la lista:
-5, �6,8, �2,10
Se abren y cierran las llaves tecleando “2nd”
+ paréntesis de apertura o cierre
:
Vemos que al dar ENTER la lista se crea con
los datos de signo correctos, de poner el otro
signo menos ocurriría un error de sintaxis.
Funciones solve, factor, expand
Si estás trabajando en materias como calculo
diferencial, cálculo integral, algebra lineal es
posible que te sean útiles éstas funciones. En
general se te explicarán en el curso de la
materia que tomes si es que te son de ayuda.
De todas maneras aquí se te explica un poco
de cómo usarlas. Todas estas funciones están
en el menú F2 Algebra, al dar ENTER sobre
cada una se copia a la línea de entrada para
usarse:
Función Solve
La función solve resuelve igualdades o
inecuaciones en la línea de entrada de HOME
lo único que necesitas es introducir la
ecuación en la línea de entrada, la respectiva
igualdad o inecuación, luego la respectiva
coma e inmediatamente después la variable
que deseas que la calculadora encuentre, de
esta forma:
1%23���4�54$ó , 35�$572�&
Por ejemplo nos piden encontrar los valores
de X que satisfacen la expresión:
�� 6�� 5� 30 * 75
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Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 16
En la línea de entrada de HOME se debe
introducir de esta forma:
1%23���� 6�� 5� 30 * 75, �&
Ahora simplemente damos ENTER:
Y se llega al resultado.
Función Factor
La función factor como su nombre lo indica
factoriza expresiones (de ser posible) y
devuelve la multiplicación adecuada que
daría como resultado esa expresión. Su
forma de escritura es:
954!%�������1$% &
Como te puedes dar cuenta no tiene ni coma
ni variable a buscar ya que no necesita de
una variable para encontrar, sino que va a
factorizar con las variables que tengas dentro
de la expresión. Por ejemplo te piden
factorizar la siguiente expresión:
�� 9�� � 7� � 63
Para introducirlo en la línea de entrada de
HOME sería así:
954!%���� 9�� � 7� � 6&
Damos ENTER y vemos:
Nos devuelve la factorización adecuada de
binomios que daría como resultado ese
polinomio.
Función Expand
La función expand es la función inversa de
factor, cuando introduzcas una expresión
elevada a una potencia o una multiplicación
de expresiones lo que va a hacer es
desarrollar esa multiplicación para que la
visualices por completo. Su forma de
escritura es similar a la de factor:
���5 �������1$ó &
Por ejemplo supongamos que necesitas
desarrollar la expresión:
�2�� 9&�
En la línea de entrada de HOME se debe de
introducir así:
���5 ���2�� 9&�&
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Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 17
Damos ENTER y vemos:
Operador With
El operador “with” es un comando
condicionante, en la calculadora se puede
combinar con varias funciones de la misma
para restringir la búsqueda de una respuesta
ó para sustituir un valor en una variable en
una expresión dada. Su símbolo es |. Tú
puedes combinarlo de la siguiente forma:
1. Pidiéndole que sustituya un valor en una
variable, esto es útil cuando quieres sustituir
un valor cualquiera en una expresión grande
y tendrías que hacer varias operaciones a
mano, por ejemplo:
5� 7��
3�� 12�� � 5�
Y quieres sustituir digamos 7 en donde haya
equis y evaluarlo. Primero debes teclear la
expresión completa en la línea de entrada y
luego teclear este operador, el operador
“with” sale tecleando “2nd” + letra K del
teclado extendido. En la línea de entrada
quedaría así:
Damos ENTER y vemos:
Como puedes ver opera la expresión,
también antes de dar ENTER puedes
presionar DIAMANTE y te devolverá un valor
numérico aproximado.
2. También lo puedes usar para restringir la
búsqueda de respuestas. Por ejemplo buscas
sólo la solución positiva de X para:
�� � 2� � 15 * 0
Para ésta igualdad como sabemos ocupamos
la función solve y al finalizar de escribir la
función restringimos la búsqueda a X>0:
1%23���� � 2� � 15 * 0, �&|� ; 0
En la línea de entrada quedaría así:
Damos ENTER y vemos:
El símbolo de “>” sale con “2nd”+ símbolo de
punto de la parte numérica.
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Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 18
Mensajes de Error Comunes
Los mensajes de error comunes suceden
cuando en la línea de entrada cometiste un
error de sintaxis o que falta una variable o
alguna expresión necesaria.
Uno de los más comunes es el mensaje de
“Missing )”:
Nos indica que falta un paréntesis ya sea de
cierre o apertura en la línea de entrada. Este
error hace referencia a la regla que dice
“Cada paréntesis que se abre debe cerrarse”
Otro error común es el de “Syntax”:
Este error nos indica que hemos escrito algo
mal en la línea de entrada, generalmente se
debe a los signos negativos, es decir que
hemos usado los inadecuados.
También tenemos éste otro error, el de “Too
few arguments”
El cual nos indica que hacen falta
argumentos para la función, esto se explicará
con el uso mismo de los programas y
software para que sepas como y donde
ponerlos.
Un último factor importante en el uso de la
calculadora es que después de que le des
una orden ya sea dando ENTER o con
cualquier otra tecla de resolución dejes que
la calculadora “piense” o resuelva lo que le
has pedido, cuando esta “ocupada” lo dice
en la esquina inferior derecha, aparece el
recuadro de BUSY, lo cual indica que esta
ocupada y no debes teclear nada hasta que
te devuelva una respuesta.
Borrando Variables
Es importante que de cuando en cuando
después de haber usado tu calculadora
elimines las variables con valores asignados
que se hayan podido guardar en la memoria,
esto ocurre algunas veces cuando ocupas la
función solve ó cuando usas el Numeric
Solver, para eliminar las variables estando en
HOME simplemente teclea F6 CleanUp y da
ENTER sobre la primera opción “Clear a-z”:
Al hacer esto borras automáticamente todos
los valores que podrían contener las
variables de la “A” a la “Z”. Es importante
que hagas esto cuando inicias un nuevo
problema.
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 19
Multiplicación Implícita de Variables
Otro error bastante común a la hora de
teclear los datos es que nosotros al escribir a
mano damos por hecho la multiplicación
implícita de variables en una expresión, por
ejemplo al escribir:
�< 3�� � 2<=
Nosotros por intuición y por lo que nos han
enseñado sabemos sin problema que en la
primer y último termino hay una
multiplicación de variables X por Y y Y por Z.
En la Texas debemos especificar ésta división
de variables ya que si las tecleamos juntas la
Texas pensará que se trata de una variable
única llamada XY ó YZ:
La forma correcta es teclear el signo de
multiplicación entre ambas variables:
Podemos ver la diferencia, como tip puedes
observar el pequeño punto entre la X y la Y,
así como entre la Y y la Z indicando la
independencia de cada variable. Es
importante teclear esto correctamente, ya
que en el uso de alguna función podría no
reconocer la variable que quieres que
resuelva, por ejemplo:
Podemos ver que al resolver una igualación a
15 y pedirle encontrar Y, no existe ésta
variable ya que para la Texas solo hay
variables X, XY y YZ, lo correcto sería:
Cuando todo falla
Se ha llegado a ver situaciones en donde la
pantalla se “frizea” ó se queda trabada, esto
ocurre generalmente cuando no esperaste
una respuesta de la misma cuando estaba en
estado BUSY, siempre debes esperar
después de darle un comando de resolución
o respuesta (ya sea ENTER o cualquier otro) a
que te devuelva un valor o mensaje, NO LA
FUERCES, se paciente y siempre fíjate en el
estado de la misma, éste se encuentra
siempre activo en la esquina inferior derecha
de la pantalla, da siempre un teclazo a la vez
y ordenadamente. De todas maneras si se te
llegara a trabar presiona al mismo tiempo
estas 3 teclas “2nd” + ON + tecla de mano:
+ + . Esto reiniciará la
calculadora completamente y sin problemas.
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 20
Ephy
Pensando en el gran número de usos en el
área de Química y sus modalidades
combinadas (Fisicoquímica, Termodinámica,
Química Orgánica, etc.) instalé en todas las
calculadoras una práctica tabla periódica de
los elementos que puedes consultar. Para
entrar a ella estando en HOME teclea en la
línea de entrada la combinación “EPHY()” y
da ENTER:
Da ENTER nuevamente para continuar:
Y verás:
Y puedes desplazarte por cada elemento, y
para ver su información da ENTER sobre el
símbolo del elemento que deseas ver y verás
su ficha completa:
La desventaja es que está en francés, pero
los símbolos químicos no cambian, son
iguales para todos, además de que es
bastante entendible, la información es
explícita, la información de cada elemento es
la siguiente:
• Nombre
• Masa Atómica
• Electronegatividad
• Densidad (gr/cm3)
• Punto de Ebullición (°C)
• Punto de Fusión (°C)
• Valencia
• Configuración Electrónica
• Radio Atómico
• Por quién fue descubierto y en que
año.
Para salir de la tabla simplemente da ESC:
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Índice de Probabilidad y Estadística 2 Página 21
Índice de Probabilidad y Estadística 2
C a p í t u l o 1 Antes de Iniciar
1.1 Estadística Descriptiva.……………………………………………………………………….24
i) (Media, Varianza, Desv. Standard, Sumatorias, etc)
1.2 Calculando datos de distribuciones: Normal, Ji-Cuadrada, t de student, F de
Fisher……….…………………………………..…………………………………………………………………….28
C a p í t u l o 2 Hipótesis relativas a medias
2.1 Prueba Z…………………..………………………………….…………………………………….31
2.2 Prueba T…………………………………………………….…..………………………………….33
2.3 Prueba T & Prueba Z con diferencia entre 2 medias…………………………..36
2.4 Intervalo de confianza 1 muestra Prueba Z & Prueba T………………………39
2.5 Intervalo de confianza para 2 muestras, Prueba Z & Prueba T……………44
C a p í t u l o 3 Hipótesis relativas a varianzas
3.1 Hipótesis relativas a 1 varianza …..………………………………………………………48
3.2 Hipótesis relativas a 2 varianzas ………………………………………………………….49
C a p í t u l o 4 Inferencias relativas a proporciones
4.1 Intervalo de confianza para 1 proporción……………………………………………52
4.2 Intervalo de confianza para 2 proporciones………………………………………..53
4.3 Intervalo unilateral……………………………………………………………………………..54
4.4 Hipótesis relativa a 1 proporción………………………………………………………..55
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Índice de Probabilidad y Estadística 2 Página 22
4.5 Hipótesis relativa a 2 proporciones…………………………………………………..56
4.6 Análisis de tablas IXC…………………………………………………………………………58
4.7 Bondad de Ajuste………………………………………………………………………………62
C a p í t u l o 5 Regresión Lineal
5.1 Regresión lineal…………………………………………………………………………………67
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Índice de Probabilidad y Estadística 2 Página 23
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Estadística Desriptiva Página 24
Estadística Descriptiva
Antes de pasar al tema de distribuciones de
probabilidad que es el tema siguiente, vamos
a dar ejemplo de cómo puedes calcular una
serie de datos de estadística descriptiva
(medidas de tendencia central, medidas de
dispersión) que los solicitan a menudo en
materias como Probabilidad y Estadística 1,
Probabilidad y Estadística 2, Diseño de
Experimentos y Control Estadístico de
Procesos. Veamos un ejemplo sencillo, en el
contexto de un problema nos dan los
siguientes datos:
6 7 7 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 10 10 10 10 10 11
Y para resolverlo debemos encontrar la
mediana, promedio, Desv. Standard, rango,
Cuartil primero, segundo y tercero. Esto a
mano sería algo tedioso de estar haciendo
sobre todo si sólo tenemos una calculadora
científica normal. La TI-V200 te puede ayudar
a resolver todos estos datos rápidamente.
Primero debemos entrar al programa Stat
List/Editor. Para esto presionamos tecla
APPS:
Nos movemos a través de las aplicaciones de
la calculadora y encontramos el programa
que como referencia es un ícono con una
tabla:
Damos ENTER en éste ícono
Luego nos sale una pantalla donde nos va a
preguntar donde deseamos que se guarden
todas las variables que se van a crear cuando
hagamos operaciones, listas, estadística
descriptiva, etc. y es ésta:
Esto depende de cada uno de nosotros
donde queramos que se guarden, por
sencillez vamos a seleccionar una carpeta
que se crea automáticamente que dice
“statvars”, damos un teclazo a la derecha
para seleccionar esta carpeta que se
encuentra casi siempre al final de la lista:
Y damos ENTER 2 veces y nos da acceso al
programa:
Este es el Stat list Editor, es un programa
muy poderoso de estadística y probabilidad,
tiene muchas aplicaciones hasta Control
Estadístico de Proceso y Diseño de
Experimentos. Por ahora nos enfocaremos
en nuestro problema. Lo primero que
debemos hacer es escribir todos los datos en
una lista para que después de un solo golpe
saque todos los datos, nos movemos con el
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Estadística Desriptiva Página 25
cursor al inicio del primer dato de la columna
que dice “list1”:
Vemos que en la parte inferior de la pantalla
hay una línea de entrada en donde se va a
introducir cada dato. Para empezar a
introducir los datos simplemente tecleamos
cada dato espaciado por un ENTER:
Vemos que lo escribe como primer dato en la
lista y así hacemos sucesivamente hasta
llenar los 20 datos.
…
Si lo hiciste correctamente debes estar
posicionado para introducir el dato número
21. Ahora bien ya que has escrito todos los
datos, para calcular todo desplegamos
primero del Menú “Calc” que corresponde a
la tecla F4:
Damos ENTER en la primera opción que hace
relación a “1-Var Stats”:
Aquí en esta pantalla te va a pedir que
introduzcas en primer lugar el nombre de la
lista que creaste en el rubro “List:”, el
nombre de la lista que creas siempre esta
hasta arriba de la columna, como verás se
llama “list1”, así que tecleamos tal cual este
nombre:
La siguiente pregunta de “Freq” hace
referencia a la frecuencia es decir el número
de veces que se repite este dato, como
sabemos que sólo se repite una vez así lo
dejamos tal cual esta, las demás opciones las
dejamos como están, damos ENTER 2 veces:
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Estadística Desriptiva Página 26
Y listo vemos toda la información de la
estadística descriptiva:
Media de los valores x. ∑x Suma de los valores x. ∑x2 Suma de los valores x2. Sx Desviación estándar de muestra de x. σx Desviación estándar de población de x. n Número de puntos de datos. MinX Mínimo de los valores x. Q1X Primer cuartil de x. MedX Mediana de x. Q3X Tercer cuartil de x. MaxX Máximo de los valores x. ∑ (x-)2 Suma de cuadrados de las
desviaciones con respecto a la media de x.
Puedes moverte con el cursor hacia abajo
para ver la información completa:
Damos ENTER para salirnos de ésta pantalla.
De igual forma puedes hacerlo con 2 listas a
la vez, para mostrarlo haremos al mismo
tiempo la estadística descriptiva de éstas 2
series de datos:
Muestra1 Muestra2
5 8
9 9
4 7
6 3
De igual forma posiciónate con el cursor
sobre el primer dato de la columna “list2” y
escribe cada dato, y después lo mismo para
“list3”:
Introducimos los datos:
Lo mismo para la lista 3 correspondiente a la
muestra 2:
Ya que hemos introducido los datos, ahora
en lugar de seleccionar la primera opción de
“1-Var Stats”, seleccionamos la segunda de
“2-Var Stats”:
Solo que ahora la lista X será “list2” y la lista
Y será “list3”, debes recordar siempre el
nombre del título de la lista:
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Estadística Desriptiva Página 27
Para ver los resultados damos ENTER:
Y te deja de igual forma expresados los
datos, solo debes recordar y hacer la
referencia de que los valores de X hacen
referencia a la lista2 que a su vez hace
referencia a la muestra 1 de tu problema:
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Calculando datos de distribuciones (Normal, Ji-Cuadrada, t de student, F de Fisher) Página 28
Calculando datos de distribuciones (Normal,
Ji-Cuadrada, t de student, F de Fisher).
Con la Texas Instruments Voyage 200 jamás
tendrás que usar nuevamente las tediosas y
estorbosas tablas de distribuciones, la
calculadora te permite calcular en algún
intervalo que desees o de área que necesites
el punto a comparar para resolver los
diversos ejercicios del curso de probabilidad
y estadística 2. Entramos al programa Stat
List Editor, damos en tecla APPS y ENTER en
este programa:
Luego nos sale una pantalla donde nos va a
preguntar donde deseamos que se guarden
todas las variables que se van a crear cuando
hagamos operaciones, listas, estadística
descriptiva, etc. y es ésta:
Esto depende de cada uno de nosotros
donde queramos que se guarden, por
sencillez vamos a seleccionar una carpeta
que se crea automáticamente que dice
“statvars”, damos un teclazo a la derecha
para seleccionar esta carpeta que se
encuentra casi siempre al final de la lista:
Y damos ENTER 2 veces y nos da acceso al
programa:
Básicamente para encontrar los puntos a
comparar para resolver tus problemas se
encuentran todos en el menú F5 “Distr”
correspondiente al menú de distribuciones y
luego desplegando el submenú de “Inverse”:
Como verás aquí se encuentran todas las
distribuciones que usarás en ésta materia.
Por ejemplo, tienes un nivel de significancia
de 0.05 en tu problema y estas usando la
prueba Z, para encontrar el punto a
comparar, seleccionamos la opción de
Normal, y en el apartado de “Area”
tecleamos 1- el nivel de significancia que
tengamos, es decir 0.95 y en µ=0 y σ=1
SIEMPRE:
Damos ENTER 2 veces y vemos:
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Calculando datos de distribuciones (Normal, Ji-Cuadrada, t de student, F de Fisher) Página 29
Ahora bien, éste punto a comparar depende
de tu hipótesis alternativa, si tu hipótesis
alternativa la defines como > µ este es el
valor correcto, si lo defines como < µ, debes
usar el mismo valor con signo negativo, es
decir -1.64405, esto se debe a que la
distribución Z es simétrica, por eso en ambos
valores sólo cambia el signo:
Sólo varía cuando tu Hipótesis alternativa la
defines como ≠ es cuando debes hacer un
pequeño cambio en el nivel de significancia y
calcularlo como 1-(0.05/2), es decir repartir
el valor de 0.05 en 0.025 para ambas colas
quedando así:
De igual forma como es simétrica el valor
menor será -1.95996. Y comparas tu valor,
esto depende claro está del nivel de
significancia que tengas, aquí ponemos de
ejemplo 0.05, pero podría ser 0.10, ó 0.01.
De igual forma otra distribución simétrica es
la distribución t de student:
Aquí es en donde te será de gran ayuda la
calculadora, ya que para ésta distribución
generalmente tienen que cargas con varias
hojas de la distribución. De igual forma el
“Area” la introduces como (1- el valor de
significancia) con la misma regla que
acabamos de seguir con la distribución
anterior, es decir dependiendo de tu
hipótesis alternativa. Supongamos que tienes
en tu problema un nivel de significancia de
.01 y 5 datos:
De igual manera introducimos el área como
0.99 y en los “Deg of Freedom” (Grados de
Libertad) como n-1 es decir 4:
Damos ENTER y vemos:
Ese es el valor a comparar de tu prueba,
recuerda que esto es suponiendo que tu
hipótesis alternativa es > µ, si fuera < µ es el
mismo valor pero con signo negativo, debido
a que esta distribución también es simétrica.
Otra distribución que usarás bastante es la
distribución Ji-Cuadrada:
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Calculando datos de distribuciones (Normal, Ji-Cuadrada, t de student, F de Fisher) Página 30
Esta distribución NO ES SIMÉTRICA, es por
esto que depende mucho de como definas tu
hipótesis alternativa es el valor que debes
buscar, por ejemplo tengo en mi problema
un valor de significancia de 0.05 con 7 datos
(6 grados de libertad, G.L.= n-1) y defino mi
hipótesis alternativa como > µ:
Y veo mi valor a comparar que es 12.5916, si
fuera como < µ sería:
Como puedes ver el valor a comparar cambia
dramáticamente, y cuando es un intervalo es
decir con la prueba ≠ debes encontrar ambos
valores, con la misma regla de 1-(0.05/2) y
para el intervalo menor 0.05/2:
Este sería el límite inferior, y el superior
sería:
La Chi calculada tendría que caer entre
1.2373 y 14.4494 para que se aceptara la
Hipótesis nula.
Exactamente lo mismo ocurre para la
distribución F de Fisher, tampoco es
simétrica y depende de tu hipótesis
alternativa el valor que debes buscar ya sea
en el inicio o fin de la cola.
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Prueba Z Página 31
Prueba Z
Con la TIV200 puedes calcular fácilmente el
valor de la Prueba Z, la probabilidad y si
quieres graficar esta hipótesis relativa a
medias y muchas otras que veremos más
adelante, veamos un ejemplo:
µ= 73.2, n=45, σ = 8.6, >? = 76.8, @ * A. AC
Supongamos que les piden comprobar la
hipótesis alternativa de que µ>73.2.
Enciende tu calculadora tecla “ON” .
Vemos que aparece la pantalla principal
donde nos da opciones de elegir el programa
que queremos utilizar, nos desplazamos con
las flechas de
desplazamiento que se encuentran en la
parte superior derecha de la calculadora, nos
posicionamos sobre la que dice “Stat List
Editor” y damos ENTER:
Luego nos sale una pantalla donde nos va a
preguntar donde deseamos que se guarden
todas las variables que se van a crear cuando
hagamos operaciones, listas, estadística
descriptiva, etc. y es ésta:
Esto depende de cada uno de nosotros
donde queramos que se guarden, por
sencillez vamos a seleccionar una carpeta
que se crea automáticamente que dice
“statvars”, damos un teclazo a la derecha
para seleccionar esta carpeta que se
encuentra casi siempre al final de la lista:
Y damos ENTER 2 veces y nos da acceso al
programa:
Este es el Stat list Editor, es un programa
muy poderoso de estadística y probabilidad,
muy útil en casi todo el curso de
probabilidad y estadística 2, tiene
aplicaciones hasta para Computación 2 y
Control Estadístico de Proceso, ahorra
muchas operaciones tediosas y repetitivas,
pero por ahora nos abocaremos solo a lo
concerniente a este curso.
Presionamos F6 , “Tests”. Vemos que se
despliega un menú con varias opciones,
todas estas son pruebas de hipótesis, unas
relativas a medias, otras a varianza, por
cuestiones de traducción iremos viendo cada
una y lo que significa cada una.
Seleccionamos la primera opción que dice
“Z-Test”, y damos ENTER :
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Prueba Z Página 32
Y nos aparece esta pantalla:
En esta pantalla nos pregunta como
queremos introducir la información, si con la
información estadística ya dada (que es este
caso) ó toda la base de datos de la prueba,
este sería si nos dan una lista de datos muy
grande pero no es el caso, por eso
seleccionamos la opción “Stats” y damos
ENTER :
Aquí es donde debemos introducir en cada
ventanita los datos que tenemos arriba, la µ0
es equivalente a la µ, las demás variables
“n”, σ y �D son iguales, después de escribirlas
nos movemos entre ventanitas con las
flechas de dirección arriba y abajo ,
:
El único valor que no ocupa es E . Luego de
haber tecleado todos los valores y nos
pasamos a la ventana de “Alternate Hyp” y
nos pregunta precisamente cuál es la
hipótesis alternativa, damos a la derecha
y nos despliega las 3 opciones posibles y que
ves en clase, para este caso usaremos la
primera en donde µ >µ0 y damos ENTER:
Y en la última ventana nos pregunta si
queremos graficar la distribución normal
“Draw” a la que se refiere este problema o
solo calcular y mostrar los resultados
“Calculate”, para éste ejemplo usaremos solo
la opción “Calculate”:
Y damos ENTER:
Nos muestra los resultados, los resultados
importantes son “z” y “P”, z que es el valor a
encontrar y P que es la probabilidad de
ocurrencia de esta prueba. Damos ENTER de
nuevo para salirnos de esta pantalla. La
inferencia en este ejemplo es que debido a
que 2.808 > 1.645 la Hipótesis nula se
rechaza. No necesitas usar tablas de nuevo,
otra forma de verlo es comparando la P que
nos da la calculadora con tu nivel de
significancia, si tu nivel de significancia es
mayor que P la hipótesis nula se rechaza.
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Prueba T Página 33
Prueba T
Veamos este ejemplo:
Hay 5 mediciones del contenido de
alquitrán en unos cigarros (mg): 14.3, 14.5,
14.2, 14.4, 14.5. Y se cree que la media es de
14, probar la hipótesis alternativa H1: µF
14 que sea diferente de 14. N.S.= 0.01
Lo primero que hay que hacer es anotar la
lista de los 5 datos, esto es muy sencillo,
damos una vez hacia abajo para
posicionarnos al inicio de la lista1 y
simplemente escribimos dato por dato y un
ENTER después de cada dato:
Ya que terminamos de anotar la lista de
datos presionamos F6 y seleccionamos
la segunda opción “T-Test” o Prueba T en
español y damos ENTER:
De nuevo nos pregunta como queremos
introducir la información, solo que ahora si
vamos a seleccionar la opción “Data” que es
introducir los datos, para esto damos una vez
a la derecha para ver el menú y sombrear
la opción de Data y damos ENTER para
seleccionarla, ENTER de nuevo:
Nos aparece esta pantalla:
Ahora introducimos la información
correspondiente, la µ0, en la ventana de
“List” se refiere a la lista de datos, sobre esta
ventana simplemente escribimos el nombre
de la lista en donde pusimos los datos que se
llama “list1” tecleando:
En la opción de “Freq” se refiere a la
frecuencia de ocurrencia en los datos, en
este caso se deja el 1 que tiene
predeterminado porque ocurre solo una vez
en cada dato, en hipótesis alternativa
seleccionamos la primera opción:
Por último dejamos la opción “Calculate”
para solo ver los resultados:
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Prueba T Página 34
Damos ENTER:
Vemos los resultados:
µ0, es la media a probar
t, es el valor de la prueba t
P value, es el valor de la probabilidad de
ocurrencia.
df, son los grados de libertad (degrees of
freedom)
>?, es la media de la muestra
Sx, es la desviación standard de la muestra
n, es el numero de datos
Como tip podemos decir que si tu “P value”
es menor que tu nivel de significancia E, la
hipótesis nula se rechaza siempre. Damos
ENTER de nuevo para salirnos de esta
pantalla. Como “P value” es < 0.01 se rechaza
Ho. Tu maestro seguramente haga la
comparación con el valor t y en la prueba
zeta con el valor z, pero esta es otra forma
de verlo si así deseas aplicarlo, de ambas
formas es correcto.
Esta aplicación de introducir la información
con lista de datos se puede hacer para
cualquier prueba que así lo admita. Esta es
una gran herramienta cuando hay listas de
datos muy grandes y tediosos de calcular.
Veamos este otro ejemplo:
Se toma una muestra de días de entrega
que hace una empresa a otra y son los
siguientes: 9,10,19,13,14,18,10,12, con un
nivel de significancia de 0.01, probar la
afirmación que la media de los días de
entrega es 10.5 contra la alternativa de que
no sea igual a este valor
Usaremos ésta misma lista para este
problema solo reescribiremos encima de
estos valores los nuevos, nos movemos con
las flechas de dirección
hasta el primer dato, y sombreado
simplemente escribimos el nuevo valor y
damos ENTER:
Y así nos vamos todo la lista hasta tener
nuestros 8 datos:
Ya con nuestros datos completos damos
nuevamente en F6 y seleccionamos la
prueba t:
Nuevamente seleccionamos el modo de
introducir información con datos:
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Prueba T Página 35
Volvemos a llenar la información
correspondiente, pero ahora en la última
opción seleccionamos “Draw” para ver la
gráfica:
Damos ENTER y observamos:
Vemos que grafica la curva de la distribución
t, y sombrea las colas que es el valor p, y
resolvemos que como p > 0.01 se acepta la
Ho.
Para regresar al Stat List Editor presionamos
tecla “2nd” + tecla APPS .
NOTA IMPORTANTE:
Es importante señalar que cuando se
grafique estas funciones de probabilidad no
debe haber ninguna otra función para
graficar en la parte del graficador de
funciones ya que esto podría causar que la
grafica se empalme con otra y no se visualice
correctamente, para asegurarnos que no
haya nada en esta parte antes de hacer lo
anterior simplemente presionamos F2 y
seleccionamos la cuarta opción que dice
“FnOff” y damos ENTER:
Esto desactiva automáticamente cualquier
función que se halle seleccionada en esta
parte.
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Prueba T & Prueba Z con diferencia entre 2 medias Página 36
Prueba T & Prueba Z con diferencia entre 2
medias
También resuelve la tediosa fórmula de la
diferencia entre medias, veamos este
ejemplo:
Hay 2 muestras de producción de 2 minas:
Mina 1: 8260, 8130, 8350, 8070, 8340.
Mina 2: 7950, 7890, 7900, 8140, 7920, 7840.
Se desea probar si hay diferencia
significativa entre ambas muestras, es decir
que sean iguales o que sean diferentes, con
un nivel de significancia de 0.01:
Nos posicionamos de nuevo sobre el primer
dato de la lista 1 y vamos cambiando los
datos a los nuevos, solo de la mina 1, el resto
de datos los borramos con la tecla :
Nos movemos con las flechas de dirección
hasta el primer dato de “list2”:
Hacemos lo mismo para la segunda mina
escribiendo cada dato:
Ahora presionamos F6 para ver nuestro
menú de pruebas y seleccionamos la cuarta
opción “2-SampTTest…”, que significa “2
muestras con prueba T” y damos ENTER,
para saber seleccionar la prueba correcta
recuerda que cuando son datos menores a
30 se usa la prueba T cuando son mayores a
30 se usa la prueba Z:
Seleccionamos el modo de introducir la
información con datos es decir la opción
“Data” y damos ENTER:
Ahora solo llenamos la información con el
nombre de las listas “list1” y “list2” que es
donde se encuentran nuestros datos, la
frecuencia se queda con 1 porque solo
ocurre 1 vez en cada lista de datos:
En la hipótesis alternativa seleccionamos la
primera suponiendo que fueran diferentes y
la opción “Pooled” especifica si las varianzas
deben o no agruparse para el cálculo. YES =
varianzas agrupadas. Se asume que las
poblaciones tienen la misma varianza. NO =
varianzas no agrupadas. Las poblaciones
pueden tener varianzas distintas. En este
caso las dejamos con la opción NO y que solo
nos calcule los resultados:
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Prueba T & Prueba Z con diferencia entre 2 medias Página 37
Damos ENTER y vemos todos los resultados:
t, Valor t de Student calculado a partir de la diferencia entre las medias P Value, Probabilidad mínima con la que puede rechazarse la hipótesis nula. dg, Grados de libertad para el estadístico t x1, x2, Medias de las muestra para las sucesiones de datos de List 1 y List 2. Sx1, Sx2, Desviaciones estándar de las muestras para las sucesiones de datos de List 1 y List 2. n1,n2, Tamaños de las muestras Sxp, Desviación estándar agrupada. Se
calcula cuando Pooled = YES
Debido a que P Value es menor que nuestro
nivel de significancia se rechaza Ho, se infiere
que son diferentes los niveles de producción
de ambas minas.
Ahora un ejemplo de prueba Z entre 2
muestras:
n1= 32, n2=32, μ1=0.136, μ2= 0.083,
σ1=0.004, σ2=0.005, NS=0.05
Se desea probar la afirmación de que la
resistencia de cierto alambre puede
reducirse en 0.050. Ho: µ1- µ2=0, H1= µ1- µ2>0.050
Presionamos F6 , se despliega nuestro
menú de pruebas y nos posicionamos sobre
la tercera opción “2-SampZTEST” o en
español “2-Muestras con prueba Z” y damos
ENTER:
Cambiamos la opción que nos da para
introducir la información a “Stats” con las
flechas de dirección y
damos ENTER:
Nos sale una pantalla donde debemos
introducir los datos correspondientes a cada
muestra:
Llenamos la información, vemos que los
símbolos que usa la calculadora son los
mismos que se usan en clase, solo cambia �D1
y 2 por las µ1 y 2. Solo existe una diferencia
sensible en el dato �D1 y es debido a como se
introduce este dato y es porque la
calculadora hace prueba entre medias
directamente y en algunas clases la ven
como la diferencia entre medias, para que
sea consistente debemos restar a la �D1 la
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Prueba T & Prueba Z con diferencia entre 2 medias Página 38
diferencia de prueba del problema, en este
caso es el 0.05, de manera que se vea así:
O también de manera contraria sumando
0.05 a �D2, para que se mantenga la
proporción, con cualquiera de las 2 opciones
sale el resultado correcto.
Y cambiamos la última opción “Alternate
Hyp” y dejamos que solo calcule los
resultados:
Por ultimo damos ENTER para ver los
resultados:
Debido a que nuestra P es menor que el NS,
se rechaza Ho.
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Intervalo de confianza 1 muestra Prueba Z & Prueba T Página 39
Intervalo de confianza 1 muestra Prueba Z &
Prueba T
De igual forma ya entrados en este tema en
ocasiones se te pide construir intervalos de
confianza para un a muestra y generalmente
sólo hay 2 formas en las que te puedan dar la
información para resolver el problema: con
lista de datos ó con estadísticos, la Texas
Instruments Voyage 200 te puede devolver
rápidamente el intervalo resultante y
también introducir los datos de cualquiera
de las 2 formas que tengas el problema, ya
sea con lista de datos o con estadísticos,
vamos a mostrar ambas formas para que
veas como se hace.
Intervalo de confianza prueba Z (1 muestra)
con datos
Veamos un ejemplo:
Los siguientes datos son los puntajes obtenidos para 45 personas de una escala de depresión (mayor puntaje significa mayor depresión):
2 5 6 8 8 9 9 10 11 11 11 13 13 14 14 14 14 14 14 15 15 16 16 16 16 16 16 16 16 17 17 17 18 18 18 19 19 19 19 19 19 19 19 20 20
Construya un intervalo de confianza al 99%
para el puntaje promedio poblacional,
asumamos que los datos tienen distribución
normal, con varianza poblacional
desconocida.
Para resolver este problema debemos como
ya hemos visto primero borrar los datos que
tengamos en nuestras listas de datos:
Luego viene la parte “tediosa”, que es
introducir los 45 datos en una sola lista,
recuerda que aunque los datos te los den en
una tabla representan una sola muestra es
por esto que deben escribirse en 1 sola lista,
tecleamos cada dato seguido de un ENTER
para introducir toda la información:
Se termina:
Ya que hemos introducido correctamente los
45 datos (siempre es bueno checar
rápidamente la información), como no nos
proporcionan la desviación standard
poblacional, debemos calcularla, para esto
desplegamos del menú F4 la opción de “1-
Var Stats” y la seleccionamos dando ENTER:
Y tecleamos tal cual en la pregunta de “List:”
el nombre de la lista 1 que corresponde a
“list1”, lo demás lo dejamos como está y
damos ENTER:
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Intervalo de confianza 1 muestra Prueba Z & Prueba T Página 40
De aquí debemos tomar la información
necesaria, recuerda que el dato de aquí que
nos interesa es Sx que corresponde a la
desviación standard muestral, anótala (o
recuérdala) Sx = 4.32517. Damos ENTER para
salirnos de esta información y ahora
debemos abrir el menú de intervalos
corresponde a la tecla F7 “Ints” (Intervals en
inglés) y seleccionamos la primera opción
que dice “Z-interval” ó intervalo de Z:
Aquí de igual forma te va a preguntar de qué
forma vas a introducir la información, si con
datos (data) o con estadísticos (stats),
seleccionamos que con datos y damos
ENTER:
Luego despliega esta pantalla:
Aquí la información a introducir es muy clara,
la variable de sigma hace referencia a la
desviación estándar poblacional, estimamos
la muestral por esto tecleamos este dato en
esta ventana, en “list:” tecleamos como ya
sabemos el nombre de nuestra lista de datos
que corresponde a “list1”, en “Freq” hace
referencia al número de veces que se repiten
esos datos en la lista, casi siempre será de 1,
así que se deja así tal cual y en la última
opción de “C level” se refiere al nivel de
confianza del intervalo, por default la
calculadora lo configura a 0.95 (95%), aquí
solo debes cambiarlo a 0.99 (99%) y listo ya
que hemos introducido la información
adecuada debe verse de esta forma:
Damos ENTER y vemos:
Aquí es importante que aprendas como
interpretar la información:
C Int Intervalo de confianza se debe leer de
ésta forma:
12.89 G H G 16.22
Siempre de esta forma, éste es el resultado
más importante.
= promedio de la muestra
ME= Margen de Error
Sx = Desv Std. Muestral
n = número de datos de la muestra
σ = Desv. Std. Poblacional
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Intervalo de confianza 1 muestra Prueba Z & Prueba T Página 41
Podemos concluir diciendo:
El puntaje promedio poblacional se
encuentra entre 12.89 y 16.22 con una
confianza 99%.
Recuerda que en general éste tipo de
intervalos se usan para muestras grandes >
de 30 datos y con la desviación standard
poblacional conocida.
Intervalo de confianza prueba Z (1 muestra)
con estadísticos
Se ha tomado una muestra aleatoria de 100
individuos a los que se ha medido el nivel
de glucosa en sangre, obteniéndose una
media muestral de 110 mg/cc. Se sabe que
la desviación típica de la población es de 20
mg/cc.
a) Obtén un intervalo de confianza, al 90%,
para el nivel de glucosa en sangre en la
población
Éste tipo de problemas son los más comunes
y todo procede de igual forma en el menú de
intervalos F7, sólo que ahora en lugar de
introducir la información con datos (data) lo
introducimos con stadísticos (stats):
Ahora bien si has seguido este capítulo verás
en la pantalla que se queda guardada la
información con la que trabajamos hace un
momento. Solo hay que sustituirla por la
nueva información:
Si te das cuenta lo único que tienes que
hacer es relacionar los datos correctamente,
conocer los símbolos de la estadística y los
problemas se te harán muy sencillos. Lo que
queda por cambiar es el nivel de confianza a
0.90 que representa el 90% del nivel de
confianza que piden:
Damos ENTER 2 veces y vemos:
Y de igual forma vemos el intervalo y el
margen de error.
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Intervalo de confianza 1 muestra Prueba Z & Prueba T Página 42
Intervalo de confianza prueba t (1 muestra)
con datos
Los tiempos de reacción, en mili segundos, de 17 sujetos frente a una matriz de 15 estímulos fueron los siguientes: 448, 460, 514, 488, 592, 490, 507, 513, 492, 534, 523, 452, 464, 562, 584, 507, 461 Suponiendo que el tiempo de reacción se distribuye Normalmente, determine un intervalo de confianza para la media a un nivel de confianza del 95%.
De igual forma lo primero que hay que hacer
es introducir en una nueva lista todos
nuestros datos, usemos la lista 2:
Siempre es bueno hacer un chequeo rápido
de que toda la información es correcta.
Luego como ya sabemos del menú F7 que
corresponde a los intervalos seleccionamos
la segunda opción “T-interval”:
Y de igual forma nos hará la pregunta
respecto a de que forma deseamos
introducir la información con datos (data) o
con estadísticos (stats), seleccionamos que
con datos “data”:
Y de igual forma debemos decirle el nombre
de la lista donde se encuentran nuestros
datos y tecleamos tal cual el titulo de nuestra
lista de datos que corresponde a “list2”, la
frecuencia que hace referencia al número de
veces que se repite ese dato lo dejamos con
1 y el “C level” (nivel de confianza) lo
cambiamos a 0.95 y damos ENTER:
Vemos en intervalo de confianza y
concluimos que:
482.8 G H G 527.9
El puntaje promedio poblacional se
encuentra entre 482.8 y 527.9 con una
confianza 95%. Recuerda lo que expresa cada
símbolo en la calculadora:
= promedio de la muestra
ME= Margen de Error
Sx = Desv Std. Muestral
Df = Degrees of Freedom (grados de libertad)
n = número de datos de la muestra
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Intervalo de confianza 1 muestra Prueba Z & Prueba T Página 43
Intervalo de confianza prueba t (1 muestra)
con estadísticos
En una muestra de 65 sujetos las
puntuaciones en una escala de extroversión
tienen una media de 32,7 puntos y una
desviación típica de 12,64.
Calcule a partir de estos datos el
correspondiente intervalo de confianza, a
un nivel del 90%, para la media de la
población.
Quizá para este momento ya sepas como
resolver estos problemas. Tecleamos del
menú de Intervalos F7 la opción 2 que
corresponde al intervalo T:
Sólo que ahora elegimos el método de
introducción de información con STATS:
Y ahora debemos introducir los datos que
nos dan y cambiar el nivel de confianza a
0.90 que representa 90% de confianza:
Damos ENTER 2 veces y vemos:
Y listo vemos el resultado del intervalo,
margen de error y grados de libertad.
Esta es una excelente forma de que
compruebes tus resultados
Recuerda que se usa prueba Z cuando tienes
datos mayores o iguales a 30, si tienes
menos datos se usa la prueba T.
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Intervalo de confianza para 2 muestras Prueba Z & Prueba T Página 44
Intervalo de confianza para 2 muestras
Prueba Z & Prueba T
Ahora pasaremos a problemas un poco más
complejos como lo son los intervalos para
medias con 2 muestras, en general todo es
básicamente lo mismo, sólo que ahora
deberemos hacer 2 listas cuando tengamos
datos e introducir 2 veces los estadísticos
cuando nos den información del estilo.
Intervalo de confianza prueba t (2 muestras)
con datos
Se ha realizado un estudio para investigar el efecto del ejercicio físico en el nivel de colesterol en la sangre. Para ello se midió el nivel de colesterol en 11 personas que no realizan habitualmente ejercicio físico (grupo 1) y otras 11 personas que sí lo realizan (grupo 2). Las mediciones obtenidas, expresadas en mg/dl, fueron las siguientes:
Grupo 1 Grupo 2 182 198 232 210 191 194 200 220 148 138 249 220 276 219 213 161 241 210 480 313 262 226
Construye un intervalo de confianza al 95%
para la media, no se asumen varianzas
iguales.
Vamos a introducir de igual forma en 2 listas
por separado cada grupo, usaremos la lista3
y lista4:
Ya que hemos introducido la información de
igual forma nos vamos al menú F7 de
intervalos y seleccionamos en ésta ocasión la
opción número 4 que hace referencia “2-
SampTInt” (2 muestras intervalo T):
Y de igual forma la introducción de datos
debe ser con DATA o datos:
Damos ENTER:
Igual que antes ahora hace todas las
preguntas al doble, la lista 1 y lista 2, para
nosotros son “list3” y “list4”, es importante
que recuerdes el titulo de la lista donde
metes cada serie de datos, las frecuencias las
dejamos con 1 y en la última pregunta que
dice POOLED hace referencia especifica si las
varianzas deben agruparse para el cálculo.
YES = las varianzas se agrupan. Se da por
sentado que las varianzas de población son
iguales. NO = las varianzas no se agrupan. Las
varianzas de población pueden ser distintas.
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Intervalo de confianza para 2 muestras Prueba Z & Prueba T Página 45
Esta información en general viene dada en el
contexto del problema, generalmente te
dicen si las varianzas se consideran iguales o
no, en este problema nos dicen que las
varianzas no son iguales por lo tanto lo
dejamos en NO:
C Int Intervalo de confianza que contiene la probabilidad del nivel de confianza de la distribución. x1-x2 Medias de muestra de las sucesiones de datos de la distribución aleatoria normal. ME Margen de error. df Grados de libertad. x1, x2 Medias de muestra de las sucesiones de datos de la distribución aleatoria normal. Sx1, Sx2 Desviaciones estándar de la muestra de List 1 y List 2. n1, n2 Número de muestras de las sucesiones de datos. Sxp Desviación estándar agrupada. Se
obtiene cuando Pooled = YES
Intervalo de confianza prueba t (2 muestras)
con estadísticos
En un estudio sobre los préstamos
realizados por dos entidades financieras se
toma una muestra aleatoria simple de seis
préstamos de la primera entidad,
observando que el importe medio es de
9.972 euros y una desviación típica de 7.470
euros, y otra muestra aleatoria simple,
independiente de la anterior, de nueve
préstamos, tal que su importe medio es de
2.098 euros y su desviación típica de 10.834
euros. Admitiendo que las dos
distribuciones de préstamos son normales
con la misma varianza, obtener al nivel del
95% un intervalo de confianza para la
diferencia entre sus medias poblacionales.
Este problema de igual forma se puede
resolver directamente en la Texas, nos
vamos inmediatamente al menú de
intervalos y seleccionamos la prueba T con 2
muestras:
Ahora cambiamos simplemente a modo de
introducción de información a STATS:
Damos ENTER y vemos:
Vemos que se queda guardada la
información que estábamos usando del
problema anterior, aquí debes tener cuidado
de no revolverte con los datos, te
recomiendo que primero borres todas las
ventanas para luego introducir poco a poco
la nueva
información:
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Intervalo de confianza para 2 muestras Prueba Z & Prueba T Página 46
Ahora simplemente introducimos con
cuidado cada dato, la media de x1 es 9.972,
la desviación standard 1 es 7.470 y n1 es
igual a 6:
Y terminamos con la demás información,
media de x2 es 2.098 su desv. standard 2 es
10.834 y n2 es igual a 9:
Damos ENTER:
Y vemos de igual forma el intervalo en la
parte superior.
Intervalo de confianza prueba Z (2 muestras)
con estadísticos
Supongamos que las notas en la asignatura
de Inferencia siguen una distribución
normal en los dos grupos existentes. Se
selecciona una muestra aleatoria simple de
35 alumnos del primer grupo y otra de 37
alumnos del segundo grupo, ambas
independientes, y se obtienen como
desviaciones poblacionales 1.1180 y 0.9
respectivamente y una media muestral de
7.7 y 8.3 respectivamente. Obtenga un
intervalo de confianza para la diferencia
entre sus medias poblacionales al nivel de
confianza del 90%.
De igual forma si has estado siguiendo este
capítulo deducirás como resolver este
problema, del menú de Intervalos
correspondiente a F7 seleccionamos la
opción de “2-SampZInt” y damos ENTER:
Seleccionamos la opción de introducir la
información con datos estadísticos:
E introducimos los datos adecuadamente
correspondientes a grupo, cuidando de
cambias el nivel de confianza a 0.90:
Damos ENTER:
Y vemos el intervalo de confianza en la parte
superior, recuerda que se interpreta como
�.995 G !1 � !2 G �.205, también
recuerda que el ME es el margen de error de
la prueba. Hasta este punto tu quizás te
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Intervalo de confianza para 2 muestras Prueba Z & Prueba T Página 47
preguntes ¿Cómo voy a saber que intervalo
usar?, ¿el de la prueba T o la prueba Z?,
básicamente lo restringe un par de cosas,
cuando en el problema hay muestras
grandes n>30 se usa la prueba Z y si son más
de 30 datos debes tener también la
desviación estándar poblacional o la varianza
poblacional, de no tener estas características
se usa la prueba T SIEMPRE.
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Hipótesis relativa a 1 varianza Página 48
Hipótesis Relativa a 1 Varianza
Lamentablemente el Stat List Editor no tiene
funciones para este tema, sin embargo te
puede ayudar en gran medida a encontrar
los valores de la distribución Ji-cuadrada,
Normal, F, t, y otras de manera sencilla y sin
utilizar tablas para nada.
Xi-Cuadrada:
Supongamos que te piden encontrar el
límite en donde se rechazaría la Ho, con un
nivel de significancia de .05, con n=15,
sabemos que los grados de libertad = n-1.
En lugar de sacar un montón de tablas de la
distribución Xi-Cuadrada, haz lo siguiente:
Presiona F5 , se despliega el menú de
distribuciones, muévete con las flechas de
dirección y posiciónate
sobre la segunda opción que dice “Inverse” y
despliega el submenú:
Posiciónate sobre la tercera opción que dice
“Inverse Chi-square” y da ENTER:
Nos da 2 opciones, “Area” en este caso le
ponemos 0.95 que es el área que estamos
buscando para el límite superior 1-0.05= 0.95
y en “Deg of Freedom” o grados de libertad
ponemos 14:
Damos ENTER y vemos:
Nos da automáticamente el límite superior el
cual si se pasara la Xi calculada se rechazaría
Ho. De igual manera si el nivel de confianza
que nos pidieran fuera de 0.01, ponemos el
área de 0.99. Este ejemplo aplica solo
cuando la hipótesis alternativa indica que
σ>σ1, si fuera σ<σ1 en la parte de “Área”
tendríamos que poner 0.05 o 0.01
dependiendo del nivel de confianza que nos
pidan. Al igual si la hipótesis nos dice que sea
diferente de σFσ1, dependiendo del
intervalo de confianza sacamos el área hacia
la derecha y también hacia la izquierda. Por
ejemplo si es nivel de confianza de 0.05 con
10 grados de libertad ponemos en Área
0.975 con 10 grados de libertad para el límite
superior y luego calculamos de nuevo con
Área 0.025 con los mismos 10 grados de
libertad para el límite inferior. Y así tenemos
nuestro intervalo.
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Hipótesis relativas a 2 varianzas Página 49
Hipótesis relativas a 2 varianzas
Ejemplo:
Dos técnicas de alumbrado se comparan
midiendo la intensidad de la luz en puntos
determinados situados en áreas iluminadas.
Si 16 mediciones en la primer área tienen
una S1 de 2.7 y 21 mediciones en la segunda
área con una S2 de 4.2, ¿Puede concluirse
que el alumbrado de la segunda área es
menos uniforme? Utilice un nivel de
significancia N.S. 0.01
De acuerdo para resolver este problema con
nuestra calculadora es muy sencillo, primero
vamos a calcular el valor de la prueba F y
luego ver el límite en la gráfica.
Damos en F6 , se despliega nuestro
menú de pruebas, nos desplazamos con las
flechas de dirección hasta
la novena opción que dice “2-SampFTest…” y
damos ENTER:
Nos pregunta como con casi con todas las
pruebas la forma de introducir los datos,
aquí podemos ver que se trata de datos
estadísticos, por eso seleccionamos la opción
“Stats” y damos ENTER:
3Ahora nos sale una pantalla donde nos pide
introducir la información correspondiente,
Sx1 y Sx2 corresponden a S1 y S2 de nuestro
problema y n1 a las primeras 16 mediciones
y 21 a las segundas. Llenamos cada ventanita
de la información adecuada de manera que
quede así:
Al dar a la derecha en la opción de “Alternate
Hyp” o hipótesis alternativa seleccionamos la
primera que es cuando la primera varianza es
mayor a la segunda y damos ENTER y le
pedimos que solo calcule los resultados con
la opción “Calculate”:
Damos ENTER y vemos los resultados:
En esta pantalla lo importante que debemos
copiar es el valor de F calculado y la
probabilidad “P Value”. Ahora para saber el
límite en donde se rechazaría Ho hacemos
esto:
Damos en F5 que es el menú de
distribuciones y desplegamos el submenú de
“Inverse…”
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Hipótesis relativas a 2 varianzas Página 50
Y nos posicionamos sobre la cuarta opción
“Inverese F…” y damos ENTER:
Nos sale esta pantalla:
Nos damos cuenta que la calculadora ya
relacionó ambos problemas, debido a que
hace un momento usamos la prueba F y
ahora nos desplazamos a la distribución F
solita tomó los valores de los grados de
libertad correspondientes a cada muestra y
los asigno al numerador y denominador,
ahora para encontrar el límite superior en la
parte donde dice “Area”, ponemos 0.99 que
es el área que completa el nivel de
significancia de 0.01 y damos ENTER:
Inmediatamente nos da el valor del limite
superior que es 3.08, ahora solo
comparamos nuestro valor encontrado que
fue 0.4132 no es mayor que 3.08, por lo
tanto se acepta Ho y se infiere que ambas
técnicas no varían en intensidad.
Ahora veamos la grafica para que se
entienda lo que se hace:
Nuevamente en el menú de distribuciones
F5, abrimos el submenú de “Shade” y
seleccionamos la cuarta opción “Shade F” y
damos ENTER:
Nos sale una ventana donde nos pregunta el
límite inferior y superior para sombrear, en
el límite inferior ponemos -∞
y en el límite superior ponemos nuestro
valor F calculado, es decir 0.4132, y lo más
importante en la última opción de “Auto-
Scale” le cambiamos a “Yes”:
Damos ENTER y vemos:
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Hipótesis relativas a 2 varianzas Página 51
Observamos que el área sombreada es
mayor al nivel de significancia es por esto
que no rebasa el límite superior que haría
que nuestra Ho se rechazara.
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Intervalo de confianza para 1 proporción Página 52
Intervalo de confianza para 1 proporción
La TIV200 puede encontrar el intervalo de
confianza respecto a proporciones de forma
sencilla en lugar de hacer esa larga tira de
operaciones para ambos intervalos:
Ejemplo: Una muestra aleatoria de 200
demandas hechas contra una compañía de
seguros, 75 excedieron 12,000 pesos.
Construye un intervalo con un N.C. de 95%.
Para la proporción real de demandas hechas
contra esta compañía que exceda a 12,000
pesos.
Presionamos F7 desplegamos el menú
“Ints” que quiere decir intervalos, nos
movemos con las flechas de dirección hasta
posicionarnos en la quinta opción que dice
“1-PropZInt” (Intervalo de una proporción) y
damos ENTER :
Nos despliega esta pantalla:
Debemos llenar los datos adecuados, ahora
bien, en “Successes, X” se refiere al número
de resultados de muestra positivos de las
pruebas, en nuestro ejemplo es 75, y “n” es
el número de muestras, en nuestro caso es
200 y el “C Level” se refiere al porcentaje de
nivel de confianza del intervalo, en nuestro
caso es .95:
Damos ENTER 2 veces:
Y listo el intervalo se lee así
“C Int” Es el intervalo de confianza, se lee
0.3079 < p < 0.4421, La Texas siempre te lo
deja expresado en decimales, para pasarlo a
porcentaje simplemente multiplica por 100 y
queda 30.79 < p < 44.21, una operación muy
sencilla que puedes pasarla mentalmente.
“p_hat” Se refiere a la proporción calculada
de éxitos.
“ME” Es el margen de Error de la prueba,
igualmente para pasarla a porcentaje por
100 y listo.
Una manera sencilla de comprobar tus
resultados en un examen.
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Intervalo de confianza para 2 proporciones Página 53
Intervalo de confianza para 2 proporciones
En una ciudad A se toma una muestra
aleatoria simple de 98 cabezas de familia de
las cuales 48 han sido poseedores de
acciones de telefónica. En otra ciudad B se
selecciona otra muestra aleatoria simple de
tamaño 127 cabezas de familia de las cuales
21 han sido poseedores de acciones de
telefónica. Obtener un intervalo de
confianza al 95.5% para la diferencia entre
proporciones de cabezas de familia que han
sido poseedores de este tipo de acciones en
ambas ciudades.
De igual forma el intervalo para 2
proporciones se encuentra en el menú F7
correspondiente a intervalos y
seleccionamos la opción número 6 de “2-
PropZInt” correspondiente a intervalo de
proporciones y damos ENTER:
Aquí debemos introducir la información
adecuada, solo debes hacer la relación de
que “Successes, x1” hace referencia al
número de éxitos de la muestra 1, es este
caso corresponde a 48, debes introducir éste
número tal cual y lo mismo para la muestra
2, y el nivel de confianza cambiarlo a 0.955
ya que corresponde al 95.5% de nivel de
confianza requerido:
Damos ENTER 2 veces y vemos el resultado:
Aquí es bueno hacer una pausa para que
identifiques cada dato, como ya sabes el
primer valor hace referencia al intervalo, que
es el resultado, “phatdiff” es la diferencia de
“p1 hat” y “p2 hat”, p1 hat y p2 hat hacen
referencia a la proporción calculada de éxitos
de la muestra 1 y la muestra 2
respectivamente. El “ME” es el margen de
error del intervalo.
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Intervalo unilateral Página 54
Intervalo Unilateral
Hay 4 fallas en 2000 partes utilizadas
continuamente, construye un intervalo
unilateral con un nivel de confianza del 99%
para la probabilidad de que 1 de tales
partes falle en las condiciones establecidas
No existe una función como tal para resolver
directamente este problema, sin embargo, la
parte difícil la resuelve la Texas. Sabemos
que los grados de libertad para este
problema se dan por G.L= 2*(x+1), x es el
número de fallas en el problema, por lo tanto
GL=10. Damos en F5 , en el menú de
distribuciones, desplegamos el submenú de
“Inverse” y nos posicionamos sobre la
tercera opción “Inverse Chi-square” y damos
ENTER:
En Área ponemos 0.99 (porque corresponde
también al pocentaje de confianza) y en “Deg
of Freedom” o grados de libertad escribimos
el 10 calculado anteriormente:
Damos ENTER 2 veces y obtenemos:
Ahora este resultado 23.20925 lo
multiplicamos por la relación “1/(2*n))” que
es la otra parte de la fórmula donde n es
2000 o el número de muestras y obtenemos
el resultado.
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Hipótesis Relativa a 1 Proporción Página 55
Hipótesis Relativa a 1 Proporción
Un fabricante de bombas de pozo profundo
asegura que como máximo el 30 % de sus
bombas requieren reparación en sus
primeros 5 años de operación. Si una
muestra aleatoria de 120 bombas incluye 47
que requieren reparación en los primeros 5
años, Prueba la Ho de que p=0.30 contra la
H1 de que p > 0.30 a un N.S. de 0.05
Detectamos inmediatamente que n=120,
x=47 y p=0.30. Damos en F6 y nos
posicionamos con las flechas de dirección
sobre la quinta opción “1-
PropZTest” y damos ENTER:
Nos despliega la pantalla para introducir la
información correspondiente, p0 es la p de
nuestro problema “Successes, X”, es 47 y
“n”, es 120:
La opción de “Alternate Hyp”, o hipótesis
alternativa la cambiamos a “prop > p0”. Todo
esto con las flechas de dirección
.
Y por último dejando que solo calcule los
resultados en la opción “Calculate”. Damos
ENTER y vemos:
Z, es Valor normal estándar calculado para la
proporción.
P Value, es la Probabilidad mínima con la
que puede rechazarse la hipótesis nula
p_hat, es la proporción de muestra estimada
n, es el tamaño de la muestra.
Con estos resultados podemos comparar que
como P Value .0142167 < .05 (el nivel de
significancia) se rechaza Ho. O visto de otra
forma, como Z 2.1912 es > 1.645 se rechaza
Ho.
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Hipótesis Relativa a 2 Proporciones Página 56
Hipótesis relativa a 2 proporciones
Veamos un ejemplo:
Un artículo del New York Times en 1987
reportó que se puede reducir el riesgo de
sufrir ataques al corazón ingiriendo aspirina.
Para llegar a esta conclusión el cronista se
basó en los resultados de un experimento
diseñado, en donde participaron dos grupos
de personas. A un grupo de 11,034 personas
se le suministró una dosis diaria de una
pastilla que no contenía ninguna droga (un
placebo), y de estos 189 sufrieron
posteriormente ataques corazón, mientras
que al otro grupo de 11,037 se les
suministró una aspirina, y sólo 104 lo
sufrieron. Usando una prueba de hipótesis y
un nivel de significancia del 1%, considera
Usted que el cronista del New York Times
estaba en lo correcto?
Para éste problema debemos usar la prueba
de proporciones para 2 muestras, recuerda
que las pruebas están en el menú F6 que
corresponde a las pruebas “Tests” y
corresponde a la opción 6 “2-PropZTest”:
Y damos ENTER:
Aquí de igual forma se introduce la
información adecuada, cada muestra, y el
successes 1 y 2 correspondientes al número
de éxitos de la muestra 1 y 2
respectivamente, en éste caso n1=11034
successes, x1 = 189, n2=11037 y successes,
x2=104. Para la hipótesis alternativa
recuerda que la Texas maneja una
nomenclatura diferente, sólo hay 3 como
podrás ver:
Para tu problema en clase quizá lo veas
como una H1: p1-p2 > 0, esto tú lo defines,
tú defines tu hipótesis alternativa, este
proceso de pensamiento no te lo puede
sustituir nadie, debes leer el problema y
entender que se desea probar, nos dice que
quizá haya una diferencia significativa en la
diferencia de proporciones, es por esto que
se resta y se dice que p1-p2>0, despejando
esta expresión queda p1>p2, que es como lo
maneja la Texas. Y ponemos que sólo calcule
los datos:
Damos ENTER 2 veces y vemos:
Vemos que nos calcula el valor de la prueba Z
que es el resultado a comparar. En la
siguiente imagen se muestra que representa
cada valor cuando lo haces a mano:
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Hipótesis Relativa a 2 Proporciones Página 57
Ahora para terminar de resolver el problema
ya que tenemos el estadístico Z, calculamos
el punto Z para comparar, para esto lo
calculamos en el menú de distribuciones, en
el submenú de “Inverse“ y luego inverse
Normal:
Ya en la pantalla de introducción de
información simplemente tecleamos como
ya sabemos σ=1 y µ=0 y en “Área” hace
referencia al nivel de significancia, como es
1% el área restante es 0.99:
Damos ENTER y vemos:
Y vemos el punto a comparar que es 2.326.
Concluimos diciendo que debido a que
nuestra Zcalculada es > Ztablas (5>2.326) se
rechaza la hipótesis nula de que no hay
diferencia entre las proporciones de las
personas que sufren infarto con relación a la
toma o no de la aspirina, y por lo tanto se
concluye que el tomar una aspirina diaria
reduce las posibilidades de sufrir infarto en
el futuro.
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Análisis de tablas IXC Página 58
Análisis de tablas IXC
Éste les va a encantar, en este tema se hacen
muchos cálculos tediosos y cansados a mano
en tablas, la Texas las resuelve fácilmente y
te devuelve las tablas resueltas cada una.
Veamos un ejemplo:
Se desea determinar si en realidad existe
una reacción entre el aprovechamiento de
unos empleados en el programa de
capacitación y su rendimiento en el trabajo.
Se considera una muestra de 400 casos que
se muestra en la siguiente tabla:
<prom promedio >prom
Deficiente 23 60 29
Promedio 28 79 60
Muy Bueno
9 49 63
Con un NS.=0.01 prueba la Ho de que el
aprovechamiento en el programa de
capacitación y el éxito en el trabajo son
independientes.
Bien lo primero que hay que hacer es crear la
matriz de datos, que es la tabla misma de
datos que nos dan, es decir una matriz de
3x3, es muy sencillo y nos tomará menos
tiempo que hacer todos los cálculos a mano.
Para esto hay 2 formas, te mostraré primero
la más sencilla:
Estando en “Stat List Editor” damos en tecla
APPS para ir al menú general de los
programas y damos ENTER sobre el
programa Data/Matrix Editor:
Le damos en New:
Y aquí tenemos que cambiar el primer
apartado de “Type” de Data a Matrix:
Luego en el apartado de “Folder” nos hace la
pregunta de donde quieres que se guarde
ésta matriz, es muy importante que la
pongas en el mismo folder donde vayas a
trabajar con el Stat/List Editor, ya que de lo
contrario no reconocerá la matriz, por
comodidad yo te recomiendo que siempre lo
pongas en el folder “statvars” que se crea
por default cuando empiezas a trabajar en el
Stat/list Editor. El apartado de “Variable” es
el nombre que le deseas poner a la matriz
puede ser cualquier combinación de letras
no mayor de 8 caracteres, para este ejemplo
le pondremos “p”:
Y por último si hiciste todo bien, en “Row
dimensión” y “Col dimensión” hace
referencia a número de renglones y número
de columnas respectivamente, vemos
nuestra tabla problema y vemos que es de
3x3, así que solo tecleamos estos 2 valores:
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Análisis de tablas IXC Página 59
Damos ENTER 2 veces y vemos:
Aquí solo debemos teclear la información del
problema en cada ventana:
Y listo ya se ha guardado la matriz, para
regresar al Stat/List Editor puedes regresar
dando “2nD”+ tecla APPS ó simplemente
dando en tecla APPS para luego buscar éste
programa. Ésta es la forma más sencilla de
crear la matriz, si quieres ver la otra forma
sigue leyendo esta parte ó si no para
continuar con el problema continua en la
página siguiente.
Para la otra forma de guardar la matriz nos
tenemos que pasar a HOME primero, para
esto presionamos tecla DIAMANTE +
letra “Q” del teclado extendido :
Bien ahora en Home lo que tenemos que
hacer es lo siguiente: para crear una matriz
debemos abrir corchetes y separar con
comas cada elemento o dato por fila y para
indicar un salto a la siguiente fila con “;”
(punto y coma, sale con “2nd” + letra M),
todo esto se introduce en la línea de entrada
debe quedar así:
K23,60,29; 28,79,60; 9,49,63M
Te mostrare tecla por tecla:
Debe verse así en la línea de entrada:
Ahora le ponemos antes de finalizar:
, con esto le estamos diciendo a la
calculadora que queremos que esta matriz se
llame “p”:
Ahora si damos ENTER y vemos:
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Análisis de tablas IXC Página 60
Vemos que la matriz se creo con los datos
correctos, es hora de regresar al “Stat List
Editor”, para esto presionamos tecla “2nd”
+ tecla APPS :
Ahora presionamos F6 , se despliega
nuestro menú de Pruebas y nos
posicionamos sobre la octava opción “Chi2 2-
way” y damos ENTER:
Nos despliega esta pantalla:
Ahora tomaré un momento para explicarles
lo que significa cada información “Observed
Mat” es la matriz de entrada la cual la
llamamos “p” solo tenemos que poner esta
letra en esta línea de entrada, en “Store
Expected to” pregunta donde deseas que se
guarde la matriz calculada de valores
esperados, por default la Texas la guarda en
una matriz que se llama “expmat”, así la
vamos a dejar luego mostrare como la
puedes leer, en “Store CompMat to”
pregunta donde deseas que guarde la Matriz
calculada de contribuciones, por default la
guarda en una matriz llamada “compmat”,
igualmente así la dejamos, y en “Results”, lo
dejamos en “Calculate”. Solo escribimos la
“p” en la primera ventana y damos ENTER 2
veces:
Vemos los resultados:
Chi-2, es Estadística Ji cuadrado:
suma((observado - esperado)^2/esperado,
es el resultado más importante y que
debemos copiar inmediatamente por el que
tanto tiempo se tardan en encontrar a mano
y el que se compara para rechazar o aceptar
Ho; P Value, es la Probabilidad mínima con
la que puede rechazarse la hipótesis nula
df, son los grados de libertad (degrees of
freedom).
Damos ENTER para salirnos de esta pantalla y
ahora, ya se podría resolver rápidamente el
problema comparando el resultado Chi-2 de
la calculadora con el valor donde se
rechazaría Ho, para calcular este valor sin las
estorbosas tablas damos en F5 ,
desplegamos el segundo menú de “Inverse”
y seleccionamos la tercera opción de
“Inverse Chi-square” y damos ENTER:
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Análisis de tablas IXC Página 61
Inmediatamente nos da los grados de
libertad que se tienen que usar porque la
Texas relaciona ambos problemas porque los
guarda en la misma expresión “df”, en área
damos 0.99 porque es el complemento del
nivel de significancia:
Damos ENTER 2 veces:
Vemos que el número de prueba es 13.2767,
con esto resolvemos rápidamente diciendo:
Dado que 20.1789 es > 13.2767 se infiere
que el aprovechamiento en el programa de
capacitación y el éxito en el trabajo son
dependientes. Esto sería muy fácil sin
necesidad de anotar nada en el cuaderno, sin
embargo debido a que algunos profesores
piden procedimiento vamos a observar las
matrices calculadas para que las copies en tu
cuaderno y compruebes tus propios
resultados:
Regresamos a Home presionamos tecla
DIAMANTE + letra “Q” del teclado
extendido , borramos todo de la línea de
entrada con la tecla CLEAR :
Para ver las matrices que se calcularon
simplemente escribe en la línea de entrada la
palabra “expmat” y da ENTER:
Y ahora borramos la línea de entrada con
CLEAR y escribimos “compmat” y damos
ENTER:
Vemos las 2 matrices, la esperada y la de
contribuciones, ambas que tendrías que
hacer a mano haciendo dato por dato.
Es una herramienta excelente para tablas
grandes y para comprobar tus resultados.
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Bondad de Ajuste Página 62
Bondad de Ajuste
En una partida de Rol se lanza 200 veces un dado de cuatro caras obteniéndose 60 veces el número 1, 45 veces el número 2, 38 veces el número 3 y 57 veces el número 4. Se puede aceptar, a un nivel de confianza del 95%, que estos resultados corresponden a un dado homogéneo.
xi ni
1 60
2 45
3 38
4 57
Para la bondad de ajuste de igual forma se
debe hacer un par de listas una es la lista de
observaciones (Observed List) y la otra es la
lista de esperados (Expected List),
generalmente en los problemas que te
dejarán te dan por default la lista de
observaciones, ésta ya es una lista preparada
para introducirse, y la “expected list”
generalmente debes calcularla y en algunos
casos (como este) obviarla, y generalmente
esta lista tiene que ver con probabilidades. Si
se supone que un dado de 4 caras (difícil de
imaginar) es homogéneo la probabilidad de
que salga cualquier número debe ser la
misma es decir 0.25 cada una y si se lanzó
200 veces la lista de esperados o “expected
list” debería ser 200 x .25 en cada caso. Ok
ya que tenemos la información pensada
debemos introducirla, primero introducimos
en una lista1 normal el número de valores
posibles:
Ahora en la lista2 introducimos los datos de
la lista observada:
Ya tenemos una lista de datos lista para que
la calculadora resuelva, falta la “expected
list”, ahora introducimos en una tercera lista
el número de probabilidad que tiene el
experimento en cada caso de que salga ese
número suponiendo que el dado fuera
homogéneo, es decir 0.25 en cada caso:
Luego nos posicionamos sobre el título de la
“list4” y damos ENTER:
Ahora bien ya que estamos posicionados
sobre la línea de entrada, como puedes darte
cuenta dice “lis4=”, quiere decir que le
puedes introducir una formula o expresión
cualquiera para que la opere y te de cómo
resultado otra lista, vamos a indicarle que
esta lista4 va ser igual a la lista3 multiplicado
por 200:
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Bondad de Ajuste Página 63
Damos ENTER y vemos:
Esta list4 es nuestra lista de esperados, ya
que tenemos nuestras 2 listas debemos
desplegar del menú de pruebas que
corresponde al menú F6 “Tests” y
seleccionar la opción 7 “Chi2 GOF”:
GOF hace referencia a las siglas “Goodness of
Fit” (“Bondad de ajuste” en inglés), damos
ENTER y vemos:
Ahora lo único que debemos hacer es teclear
el nombre del título de nuestra lista
observada y el titulo de la lista esperada, que
corresponde a “list2” y “list4”
respectivamente:
Ahora bien para terminar debemos
introducir Deg of Freedom que hace
referencia a los grados de libertad de la
prueba, generalmente los grados de libertad
es igual a n-1; nuestra prueba nos dice que
son 4 posibilidades por lo tanto nuestros
grados de libertad son 3, entonces
introducimos este dato y por último le
pedimos que solo calcule los resultados:
Damos ENTER y vemos:
Y listo vemos el resultado de la Chi calculado
que es 6.36 y al Pvalue que es .09535, la
“complist” aparecerá del lado derecho de las
listas y corresponde a (ni-npi)2/npi.
Ahora bien para decidir debemos encontrar
el valor de la Chi-2 con 3 grados de libertad
para comparar la prueba, para esto damos
en el menú de distribuciones F5 y
desplegamos el submenú de “inverse” y
seleccionamos nuestra distribución “Chi-
square” (ji-cuadrada):
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Bondad de Ajuste Página 64
Como el nivel de significancia que nos piden
es de .05 el área corresponde a 0.95 y en Deg
of Freedom, corresponde a los grados de
libertad de la prueba que habíamos dicho es
3:
Damos ENTER 2 veces y vemos:
El valor crítico es 7.81, como el valor del
estadístico (6.36) es inferior al valor crítico,
aceptamos la hipótesis nula. Estos resultados
son compatibles con el hecho de que el dado
sea homogéneo.
Para que quede claro veremos otro ejemplo:
En la encuesta telefónica realizada el pasado curso por los alumnos los resultados fueron muy dispares, mientras algunos realizaron las cuatro entrevistas programadas otros no consiguieron cumplimentar ninguna de ellas. La distribución del número de entrevistas conseguidas por los 57 alumnos que participaron en el proyecto fue la siguiente:
No. Entrevistas No. Alumnos
0 6
1 16 2 24
3 9
4 2
Total 57
A un nivel de confianza del 90% ¿Puede afirmarse que estas diferencias han sido debidas al azar? O por el contrario están motivadas por alguna otra causa.
De igual forma empezamos primeramente
borrando los datos que teníamos en las listas
anteriores. Ahora introducimos ambas listas,
las de No. de entrevistas y las de No. de
alumnos:
Nuevamente lo primero es suponer que los
resultados obtenidos son debidos al azar lo
cual implicaría que en todas las llamadas hay
la misma probabilidad de conseguir
respuesta y que el resultado de cada llamada
es independiente de las restantes. Entonces
el número de entrevistas conseguidas por
cada alumno es la suma de cuatro variables
de Bernoulli y por consiguiente, la
distribución sería una Binomial con n = 4 y P
desconocida. La probabilidad de éxito de la
binomial va a ser la proporción de éxitos:
El total de llamadas ha sido 57·4 = 228.
Las llamadas con éxito han sido 1·16 + 2·24 +
3·9 + 4·2 = 99.
La proporción es 99/228 = 0.4342
Ahora bien para calcular estas probabilidades
rápidamente nos posicionamos sobre el
título de la lista 3 y damos ENTER:
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Bondad de Ajuste Página 65
Ahora bien aquí de igual forma que en el
ejercicio anterior debemos introducir la
fórmula deseada, vamos a llamar la función
binomial, para esto tecleamos “2nd” +
número 2 de la parte numérica que dice
CATALOG en azul:
Este es el catálogo general de funciones de
toda la calculadora ordenados
alfabéticamente del software AMS, la
función que buscamos está en la aplicación
estadística del Stat List Editor, para encontrar
estas funciones presionamos tecla F3 que
dice “Flash Apps” (aplicaciones flash):
Aquí de igual forma están todas las funciones
de las aplicaciones ordenadas
alfabéticamente, y del lado derecho indican
el nombre del programa al que pertenecen,
para encontrar rápido nuestra función
tecleamos letra B y nos desplazamos al inicio
de ésta letra:
Y vemos que la función que buscamos ahí
esta en “BinomPdf(”, y en la parte inferior
nos dice como debemos introducir las
variables:
Vemos que nos dice que debe introducirse N
(que es 4), P que la calculamos y
corresponde a 0.4342 y X que va a ser la
lista1, damos ENTER para que se copie a la
línea de entrada:
Vemos que llama la función del programa
estadístico y debemos introducir en el orden
que pide la información N,P,X, y cerramos
con paréntesis al final :
Damos ENTER y vemos:
Las binomiales calculadas para el numero de
entrevistas, es aquí donde se ve la
versatilidad de la calculadora, tu puedes
llamar cualquier función de algún otro
programa o aplicación y usarla para resolver
tu problema, sólo debes fijarte en como
introducir los datos. Ahora bien ya que
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Bondad de Ajuste Página 66
tenemos la lista de probabilidades nos
posicionamos sobre el titulo de la lista4 y
damos ENTER:
Y ahora como ya sabemos debemos
multiplicar las probabilidades de la lista 3 por
el total de llamadas que es 57:
Damos ENTER y vemos:
Vemos inmediatamente los datos calculados
de la lista esperada. Ahora lo que sigue es ya
encontrar el valor de la Ji-calculada que
corresponde como ya sabemos del menú F6
de pruebas la opción número 7:
De nuevo le decimos el titulo de las listas que
corresponden a list2 y list4 de observados y
esperados respectivamente y los grados de
libertad igual a 3 debido a que como ya
calculamos un parámetro lo reducimos en 1
más, (5-1-1), damos ENTER y vemos:
Y vemos el resultado inmediatamente de la
Chi-Calculada que equivale a 0.989745.
Damos ENTER de nuevo.
Ahora como ya sabemos solo resta calcular la
Chi cuadrada a comparar, solo que ahora lo
calculamos con 0.90 en el apartado de área:
Damos ENTER y vemos:
Como el valor del estadístico 0,989 es menor que el valor crítico, 6,25 se acepta la hipótesis nula. Los resultados obtenidos por los alumnos
pueden ser fruto del azar.
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Regresión Lineal Página 67
Regresión lineal
Esta es otra gran herramienta cuando Excel
no esta cerca o en un examen complejo.
También lo llegarás a usar en la materia de
Computación 2.
Ejemplo:
La siguiente tabla muestra producción de
soja, en millones de toneladas, en la región
Cerrados de Brasil, como función del área
cultivada en millones de acres.
Área 25 30 32 40 52
Producción 15 25 30 40 60
Obtener la ecuación de la recta de regresión
en la que x= área y y= producción.
Coeficientes deben ser exactos hasta al
menos dos posiciones decimal.
Esto como sabemos a mano es mucho
trabajo tedioso, la Texas lo hace más sencillo
y muestra la ecuación de regresión
fácilmente, primero regresamos al “STAT
LIST EDITOR” presionando “2nd” + tecla
APPS :
Lo primero que debemos hacer es borrar los
datos de las 2 listas de los ejercicios
anteriores, para esto nos posicionamos con
las flechas de desplazamiento
sobre el primer dato de la
lista 1 y damos en la tecla cuantas veces
sea necesario para quitar todos los datos de
la lista ó bien posiciónate sobre el titula de
cada lista, da ENTER una vez luego CLEAR y
ENTER nuevamente, lo mismo hacemos con
la lista2:
Para nosotros “list1” va a ser la lista de las
equis X y “list2” va a ser la lista de las Y, nos
posicionamos sobre el primer valor a
introducir en “list1” y tecleamos cada dato
seguido de un ENTER, recordemos que las
Áreas son la lista equis:
Ahora nos movemos con las flechas de
dirección hasta el inicio de list2 y tecleamos
de igual manera cada dato seguido de un
ENTER de los datos Producción:
Presionamos F4 y desplegamos el menú
“Calc”, ahora desplegamos el submenú
“Regressions” que es la tercera opción y
seleccionamos la segunda opción de este
submenú que dice “LinReg(ax+b)” y damos
ENTER:
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Regresión Lineal Página 68
Ahora bien nos despliega la siguiente
pantalla:
Aquí la calculadora nos pregunta cual es la
lista de datos del eje X y del eje Y “X List”
escribimos simplemente “list1” y en “Y List”
escribimos “list2”:
Ahora la siguiente opción dice “Store RegEqn
to” nos pregunta si deseamos guardar la
ecuación de regresión a encontrar en la lista
de graficador de funciones, desplegamos y
cambiamos la opción a “y1(x)” que es donde
vamos a poder ver la grafica de la ecuación
lineal:
Las demás opciones no las vamos a utilizar,
solo damos ENTER y vemos:
Se lee así:
y= ax+b ,
“a=”, es el coeficiente de la equis
“b=” es el valor del termino independiente
en la ecuación
“r^2=” , es el Coeficiente de determinación
“r”, es el coeficiente de correlación para el
modelo lineal.
Se construye como dice:
< * 1.6164� � 23.069
Y este es la ecuación buscada.
Damos ENTER se nuevo y vemos que se creo
al final de las listas una columna con el
nombre “resid” que son valores residuales
del ajuste de curvas: y =(a*x+b).
Ahora nos regresamos al inicio de nuestra
lista con las flechas de dirección y damos en
F2 el menú de “Plots” que quiere decir
graficas o planos, seleccionamos la primera
opción que dice “Plot Setup” y damos
ENTER:
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Regresión Lineal Página 69
Nos despliega esta pantalla:
Ahora damos en F1 para definir el
primer dibujo y se ve:
En la primera opción que dice “Plot Type”,
lo dejamos tal cual con la opción de
“Scatter”, nos desplazamos hacia abajo y en
la opción “Mark” es el tipo de marca es decir
como quieres que la calculadora marque
cada punto de dato, puedes ver que hay 5
opciones, 1: Box (que lo marque cada punto
con una caja), 2: Cross (con una cruz), 3: Plus
(con un signo mas +), 4: Square (con un
cuadro), 5: Dot (con un punto). Por sencillez
dejaremos la primera opción:
En la opción “x” tecleamos simplemente
como ya sabemos “list1” y en “y” tecleamos
“list2”:
Damos ENTER 2 veces y vemos:
Vemos que ya hay algo que graficar en “Plot
1”, con una palomita del lado izquierdo
señalando que se esta usando para graficar,
ahora simplemente damos en F5 que
dice “Zoom Data” y vemos:
Los puntos que ves con cuadritos son los 5
puntos xy de la tabla del problema y la línea
es la ecuación resultante que encontró la
calculadora. Presionamos F3 y aparece
un cursor parpadeando, te puedes mover
con las flechas de dirección derecha e
izquierda para moverte sobre los puntos y
arriba y abajo para cambiarte de los puntos a
la ecuación graficada:
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Regresión Lineal Página 70
Ahora supongamos que nos preguntan
cuanta producción habría si usaran 54.5
millones de acres (podemos ver no está en la
tabla), es decir una estimación futura de
cuanta producción habría. Damos en F5
el menú “Math” y seleccionamos la primera
opción que dice “Value” y damos ENTER:
Nos pregunta en la parte inferior “Eval x=?”,
es decir, “evaluar equis en?” y escribimos
simplemente 54.5:
Y damos ENTER:
Inmediatamente podemos leer en “yc” en la
parte de abajo 64.2277, con esto podemos
deducir que si se sembraran 54.5 millones de
acres se producirían 60.2277 millones de
toneladas de soja. Este es un ejemplo de un
comportamiento lineal en un fenómeno
común de la vida real. Y como vemos sirve
para estimar en un futuro su
comportamiento con datos históricos.
Con esto concluimos el curso para
Probabilidad y Estadística 2 apoyado con la
TI-V200, espero que te haya sido de utilidad
y que le des un buen uso, te recomiendo que
resuelvas los problemas que se dejan a
continuación de cada tema para que
adquieras habilidad a la hora de resolver tus
ejercicios.
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Ejercicios Propuestos Página 71
Ejercicios Propuestos
Intervalos de Confianza
1. Una máquina de refrescos está ajustada
de tal manera que la cantidad de líquido
despachada se distribuye aproximadamente
en forma normal con una desviación
estándar igual que .15 decilitros. Encuentra
un intervalo de confianza del 95% para la
media de todos los refrescos que sirve esta
máquina si una muestra aleatoria de 36
refrescos tiene un contenido promedio de
2.25 decilitros.
2. Las alturas de una muestra aleatoria de 50
estudiantes mostraron una media de 174.5
centímetros y una desviación estándar de 6.9
centímetros.
a) Determina un intervalo de confianza de
98% para la altura promedio de todos los
estudiantes.
b) ¿Qué se puede afirma con un 98% de
confianza acerca del posible tamaño del
error si se estima que las alturas promedio
de los estudiantes es de 174.5 cm?
3. Una máquina produce piezas metálicas de
forma cilíndrica. Se toma una muestra de
piezas cuyos diámetros son: 1.01, 0.97, 1.03,
1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01 y 1.03
centímetros. Encuentre un intervalo de
confianza del 99% para el diámetro
promedio de las piezas de esta máquina, si
supone una distribución aproximadamente
normal.
4. Una muestra aleatoria de 12 alumnas
graduadas de una escuela secretarial
mecanografió un promedio de 79.3 palabras
por minuto. Suponiendo una distribución
normal para la cantidad de palabras
mecanografiadas por minuto, encuentre un
intervalo de confianza del 95% para el
número promedio de palabras
mecanografiadas por todas las graduadas de
esta escuela, calcula también el margen de
error.
5. Se realizó un estudio para determinar si
determinado tratamiento metálico tenía
algún efecto en la cantidad de metal
eliminado en una operación de inmersión en
ácido. Se sumergió una muestra de 100
piezas en un baño durante 24 hrs sin el
tratamiento, dando un promedio de 12.2
milímetros de metal removido y una
desviación estándar muestral de 1.1
milímetros. Una segunda muestra de 200
piezas se expuso al tratamiento y después
una inmersión en el baño durante 24 hrs, lo
que resultó en una eliminación promedio de
9.1 milímetros de metal con una desviación
estándar muestral de 0.9 milímetros. Calcula
una estimación del intervalo de confianza del
98% para la diferencia de las medias
poblacionales. ¿El tratamiento reduce la
cantidad promedio de metal removido?
Calcula el margen de error del intervalo
6. En un estudio que se realizó en los Virginia
Polytechnic Institute and State University en
1983 sobre el desarrollo de una relación
simbiótica entre las raíces de los árboles y un
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Ejercicios Propuestos Página 72
hongo que transfiere minerales a los árboles
y absorbe azúcares de los árboles, se
plantaron 20 robles rojos con el hongo
Pisolithus tindtorus en un invernadero.
Todos los árboles se plantaron en el mismo
tipo de terreno y recibieron la misma
cantidad de sol y agua. La mitad no recibió
nitrógeno al momento de plantarse con
objeto de que sirviera como control y la otra
mitad recibió 368 ppm de nitrógeno de la
forma NaNO3. Al final de 140 días, se
registraron los siguientes valores en gramos
para los pesos de los troncos:
Sin Nitrógeno Con nitrógeno
0.32 0.26
0.53 0.43
0.28 0.47
0.37 0.49 0.47 0.52
0.43 0.75
0.36 0.79
0.42 0.86
0.38 0.62
0.43 0.46
Calcula un intervalo de confianza del 95%
para la diferencia de los pesos promedio de
los troncos entre aquellos que no recibieron
nitrógeno y los que recibieron 368 ppm del
mismo. Asuma que las poblaciones están
normalmente distribuidas con varianzas
iguales.
7. Se registraron los siguientes datos en días,
que representan los tiempos de
recuperación de pacientes tratados
aleatoriamente con uno de 2 medicamentos
para aliviarlos de graves infecciones en la
vesícula:
Medicamento 1 Medicamento 2
n1=14 n2=16 1=17 2=19 S1
2=1.5 S22=1.8
Encuentra un intervalo de confianza del 99%
para la diferencia µ2 - µ1 en el tiempo
promedio de recuperación para los 2
medicamentos, suponiendo poblaciones
normales con varianzas iguales.
Tip. Recuerda que la Texas siempre hace la
diferencia de medias como µ1 – µ2, considera
esto cuando introduzcas la información.
8. Una muestra aleatoria de tamaño n1=25
que se toma de una población normal con
una desviación estándar σ1=5, tiene una
media 1=80. Una segunda muestra
aleatoria de tamaño n2=36, tomada de una
población normal diferente con una
desviación estándar σ2=3, tiene una media
2=75. Encuentre un intervalo de confianza
del 94% para µ1 – µ2.
9. Los siguientes datos representan los
tiempos de duración de las películas que
producen por 2 compañías cinematográficas.
CIA Tiempo (minutos)
1 103 94 110 87 98
2 97 82 123 92 175 88 118
Calcula un intervalo de confianza del 90%
para la diferencia entre los tiempos
promedio de duración de las películas que
producen las 2 compañías. Suponga que las
diferencias del tiempo de duración tienen
una distribución aproximadamente normal.
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Ejercicios Propuestos Página 73
10. Se selecciona una muestra aleatoria de
500 fumadores de cigarro y se encuentra que
86 de ellos prefieren la marca X. Encuentra
un intervalo de confianza de 90% para la
fracción de la población de fumadores que
prefieren la marca X. ¿Qué se puede afirmar
con una confianza de 90% acerca de la
posible magnitud del error si se estima que la
fracción de fumadores que prefieren la
marca X es 0.172?
11. Se está considerando un nuevo sistema
de lanzamiento de cohetes para el
despliegue de cohetes pequeños de corto
alcance. El sistema actual tiene una p = 0.8
como probabilidad de lanzamiento exitoso.
Una muestra de 40 lanzamientos
experimentales se realiza con el nuevo
sistema y 34 de ellos tienen éxito. Determina
un intervalo de confianza del 95% para p.
¿Consideras que el nuevo sistema es mejor?
12. Un especialista en genética está
interesado en la proporción de hombres y
mujeres en la población que tienen un leve
desorden sanguíneo. En una muestra
aleatoria de 1000 hombres 250 presentan
esta afección, mientras que en otra del
mismo número de mujeres, 275 de ellas lo
padecían. Calcula un intervalo de confianza
de 95% para la diferencia entre la proporción
de hombres y mujeres que sufren este
desorden sanguíneo.
13. Una firma productora de cigarros asegura
que su marca A de cigarros sobrepasa en
ventas a su marca B en 8%. Si se encuentra
que 42 de 200 fumadores prefieren la marca
A y 18 de 150 fumadores la B, calcula un
intervalo de confianza del 94% para la
diferencia entre las proporciones de ventas
de las 2 marcas y determina si la diferencia
del 8% es una afirmación válida.
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Ejercicios Propuestos Página 74
Pruebas de Hipótesis
1. Una muestra aleatoria de 36 refrescos de
una máquina despachadora promedio de
21.9 decilitros, con una desviación estándar
de 1.42 decilitros. Prueba la hipótesis de que
µ = 22.2 decilitros, en contraposición a la
hipótesis alternativa, µ<2.2, en el nivel de
significancia de 0.05.
2. La altura promedio de las mujeres en el
grupo de primer año de una institución de
enseñanza superior es de 162.5 cm con una
desviación estándar de 6.9 cm. ¿Hay alguna
razón para creer que existe un cambio en la
altura promedio si una muestra aleatoria de
50 mujeres del grupo actual tiene una altura
promedio de 165.2 cm? Utiliza un valor de P
para tu conclusión.
3. Prueba la hipótesis de que el contenido
promedio en recipientes de un lubricante en
particular es de 10 litros si los contenidos de
una muestra aleatoria de 10 recipientes son:
10.2, 9.7, 10.1, 10.3, 10.1, 9.8, 9.9, 10.4, 10.3
y 9.8 litros. Utiliza un nivel de significancia de
0.01 y suponga que la distribución de los
contenidos es normal.
4. Una muestra aleatoria de 8 cigarros de
una marca determinada tiene un contenido
promedio de nicotina de 4.2 miligramos.
¿Está esto de acuerdo con la afirmación del
fabricante de que el contenido promedio de
nicotina no excede de 3.5 miligramos? Utiliza
un valor P para tu conclusión y supón que la
distribución de los contenidos de nicotina es
normal.
5. Una muestra aleatoria de tamaño n1=25,
tomada de una población normal con una
desviación estándar de σ1=5.2, tiene una
media 1=81. Una segunda muestra aleatoria
de tamaño n2=36, tomada de una diferente
población normal con una desviación
estándar de σ2=3.4, tiene una media 2= 76.
Prueba la hipótesis de que µ1 = µ2 en
contraposición a la alternativa µ1 ≠ µ2. Utiliza
un valor P en tu conclusión.
6. Un fabricante afirma que la resistencia
promedio a la tensión de los tornillos A
exceden la de los tornillos B al menos en 12
kg. Para probar esta afirmación, se examinan
50 piezas de cada tipo de tornillo bajo
condiciones similares. El tornillo tipo A tuvo
una resistencia promedio a la tensión de 86.7
kg, con una desviación estándar de 6.28 kg,
mientras para el tornillo B, estos mismos
parámetros fueron de 77.8 kg y 5.61 kg
respectivamente. Comprueba la afirmación
del fabricante utilizando un nivel de
significancia de 0.05.
7. Se realizó un estudio para determinar si el
material que se trata en un curso de física se
entiende mejor cuando un laboratorio forma
parte del curso. Se seleccionaron
aleatoriamente estudiantes para participar
en, ya sea, un curso de 3 semestres/hora sin
laboratorio ó un curso de 4 semestres/hora
con laboratorio. En la sección con laboratorio
11 estudiantes tuvieron una calificación
promedio de 85 con una desviación estándar
de 4.7, y en la sección sin laboratorio, 17
tuvieron una calificación promedio de 79,
con una desviación estándar de 6.1. ¿Dirías
que el curso con laboratorio incrementa la
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Ejercicios Propuestos Página 75
calificación promedio hasta 8 puntos como
máximo? Utiliza un valor P en tu conclusión
y supón que las poblaciones tienen
distribuciones aproximadamente normales
con varianzas iguales.
8. Para determinar si un nuevo suero detiene
la leucemia, se seleccionan 9 ratones, los
cuales ya la han contraído y están en una
etapa avanzada de la enfermedad. Cinco
reciben el tratamiento y 4 no. Los tiempos de
supervivencia, en años, desde el momento
en que comenzó el experimento son los
siguientes:
C/Tratamiento 2.1 5.3 1.4 4.6 0.9
S/Tratamiento 1.9 0.5 2.8 3.1
En el nivel de significancia de 0.05, ¿puede
afirmarse que el suero es eficaz? Asume que
las 2 distribuciones son normales con
varianzas iguales.
9. Los siguientes datos dan las mediciones de
densidad, en número de organismos por
metro cuadrado, de 2 estaciones
recolectoras de drenaje, una ubicada en
Cedar Run y otra en Roanoke River:
Cantidad de organismos por m2
Estación 1 Estación 2
5030 4930 2800 2810
13700 11910 4670 1330
10730 8130 6890 3320
11400 26850 7720 1230
860 17660 7030 2130
2200 22800 7330 2190
4250 1130
15040 1690
Puede concluirse, en el nivel de significancia
de 0.05, ¿que las densidades promedio en las
2 estaciones son iguales? Supón que las
observaciones vienen de poblaciones
normales con varianzas diferentes.
10. Se llevó a cabo un experimento con 15
estudiantes hombres, a quienes se les
entrenó para realizar un movimiento
horizontal continuo del brazo, de derecha a
izquierda, desde un microinterruptor hasta
una barrera, golpeándola coincidentemente
a la llegada de la manecilla de un reloj a la
posición de las 6 en punto. Se registró el
valor absoluto de la diferencia entre el
tiempo, en milisegundos, que toma el
golpear la barrera y el momento en el que la
manecilla llega a la posición de las 6 en
punto (500 ms). Cada participante realizó la
prueba 5 veces bajo condiciones de no fatiga
y con fatiga, y las sumas de las diferencias
delos 5 intentos se registró como sigue:
Sujeto Diferencias absolutas
Sin fatiga Con fatiga 1 158 91
2 92 59
3 65 215
4 98 226
5 33 223
6 89 91
7 148 92
8 58 177
9 142 134
10 117 116
11 74 153 12 66 219
13 109 143
14 57 164
15 85 100
[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009
Ejercicios Propuestos Página 76
Un incremento de la diferencia absoluta de
tiempo promedio cuando la tarea se lleva a
cabo bajo condiciones de fatiga respaldaría la
afirmación e que la práctica bajo condiciones
de fatiga distorsiona los mecanismos que
gobiernan el comportamiento. Suponga que
las poblaciones están normalmente
distribuidas y compruebe esta afirmación.
11. Supón que, en el pasado, 40% de todos
los adultos favorecían la pena capital. ¿Se
tiene alguna razón para creer que la
población de adultos que favorece la pena
capital hoy en día ha aumentado si, en una
muestra aleatoria de 15 adultos 8 la
favorecen?, Utiliza un nivel de significancia
de 0.05
12. Se está considerando utilizar un nuevo
sistema de radar para un misil de defensa. El
sistema está verificándose mediante la
experimentación con un simulador en el cual
se fingen las situaciones de muerte ó no
muerte. Si en 300 intentos, ocurren 250
muertes, acepta ó rechaza, en el nivel de
significancia de 0.04, la afirmación de que la
probabilidad de una muerte con el nuevo
sistema no excede la probabilidad de 0.8 del
sistema existente.
13. En un estudio de fertilidad de la mujer se
seleccionó un grupo con menos de 2 años de
asadas y el otro de esposas con 5 años de
casadas. Supón que de 240 de 300 esposas
con menos de 2 años de casadas planeaba
tener hijos algún día en comparación con 288
de 400 esposas con 5 años de casadas.
¿Puede concluirse que la proporción de
esposas con menos de 2 años de casadas y
que planeaban tener niños es
significativamente más grande que la
proporción de esposas con 5 años de
casadas? Haz uso del valor P.
14. Una firma manufacturera de cigarros
distribuye dos marcas. Si se encuentra que
56 de 200 fumadores prefieren la marca A y
que 29 de 150 fumadores prefieren la marca
B, ¿puede concluirse en el nivel de
significancia de 0.06 que la marca A aventaja
en ventas a la marca B?
15. Se lleva a cabo un estudio para comparar
el tiempo que tardan hombres y mujeres en
armar un producto determinado. Las
experiencias anteriores indican que la
distribución de tiempos tanto para hombres
como para mujeres es aproximadamente
normal, pero la varianza de los tiempos para
las mujeres es menor que la de los hombres.
Una muestra aleatoria de tiempos para 11
hombres y 14 mujeres arroja los siguientes
datos:
Hombres Mujeres
n1= 11 n2=14
S1=6.1 S2=5.3
Prueba la hipótesis de que σ12=σ2
2 en
contraposición a la alternativa σ12>σ2
2.
Utiliza un nivel de significancia de 0.01.
16. Los siguientes datos representan los
tiempos de duración de las películas que
producen por 2 compañías cinematográficas.
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Ejercicios Propuestos Página 77
CIA Tiempo (minutos)
1 102 86 98 109 92
2 81 165 97 134 92 87 114
Prueba la hipótesis de que σ12=σ2
2 en
contraposición a la alternativa σ12≠σ2
2,
donde σ12 y σ2
2 son las varianzas para los
tiempos de duración de la películas
producidas por las compañías 1 y 2,
respectivamente. Utiliza un nivel de
significancia de 0.10.
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Ejercicios Propuestos Página 78
Análisis de Tablas
1. Un estudio transversal para conocer la
prevalencia de osteoporosis y su relación con
algunos factores de riesgo potenciales
incluyó a 400 mujeres con edades entre 50 y
54 años. A cada una se le realizó una
densitometría de columna y en cada caso se
completó un cuestionario de antecedentes.
Antecedente de dieta pobre en calcio
Osteoporosis
Si No
Expuestos 58 62
No Expuestos 22 258
Se desea determinar si en realidad existe una
relación entre la dieta pobre en calcio y la
osteoporosis.
Con un NS.=0.01 prueba la Ho de que el
antecedente de una dieta pobre en calcio y
los factores de riego de osteoporosis son
independientes.
2. Para evaluar el efecto de la exposición a asbesto sobre el riesgo de fallecer por cáncer de pulmón, un estudio comparó un grupo de 6.245 trabajadores expuestos a este agente con otro grupo de 7.895 trabajadores sin exposición a este factor. A lo largo de 22 años de seguimiento, en el primer grupo se presentaron 76 defunciones por cáncer en el aparato respiratorio, en tanto que en el grupo no expuesto el número de defunciones por esta causa fue 28. El tiempo total de seguimiento del grupo expuesto fue de 116.157 personas-año, mientras que en el segundo grupo fue de 177.636.
Defunción por Cáncer
Exposición a Asbesto
Si No Total
Expuestos 76 6129 6245
No Expuestos 28 7867 7895 Total 104 14036 14140
Con un nivel de significancia de 0.05 prueba
la Ho de que la exposición al asbesto y la
defunción por cáncer son independientes.
3. Considere la siguiente tabla de 2x2, que
contiene los resultados de un estudio que
analiza la efectividad del uso de cascos de
seguridad en ciclistas, para prevenir lesiones
en la cabeza en caso de accidentes.
Lesión en Cabeza
Uso de casco
Si No Total
Si 17 218 235
No 130 428 558
Total 147 646 793
Con un nivel de significancia de 0.05 prueba
la Ho de que el uso del casco y la lesión en la
cabeza en los ciclistas son independientes.
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Ejercicios Propuestos Página 79
Regresión Lineal
1. Los datos de la siguiente tabla representan las estaturas (X, cm) y los pesos (Y, kg) de una muestra de 12 hombres adultos. Para cada estatura fijada previamente se observó el peso de una persona seleccionada de entre el grupo con dicha estatura, resultando:
X 152 155 152 155 157 152 157 165 162 178 183 178
Y 50 61.5 54.5 57.5 63.5 59 61 72 66 72 84 82
Con estos datos plantear una ecuación de regresión simple que permita pronosticar los pesos conociendo las tallas.
2. De los siguientes datos halla la ecuación de regresión simple:
Xi Yi
0.8 1
1 2
1.2 3
1.3 5
3. Si representamos los datos como puntos de coordenadas (xi yi) en el plano los siguientes pares de puntos vemos que, efectivamente, estos podrán ajustarse a una recta, lo que nos indica que la velocidad de reacción aumenta linealmente con la concentración de la glucógenasa.
Xi Yi
0.2 8 0.5 10
1 18
2 35
3 60
Halla la ecuación de regresión lineal de la
recta que representa ésta relación y grafica
ésta ecuación resultante.
4. Encuentra la recta de regresión de los
siguientes pares de puntos y grafica la
ecuación resultante:
Xi Yi
-6 2
-3 2.8
0 3.9
3 4.2
6 5.8
9 6.2
12 7.5
15 8.2
20 9.3
25 10.9
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Ejercicios Propuestos Página 80
Bondad de Ajuste
1. En una encuesta preelectoral realizada a 500 personas se obtuvo la siguiente distribución en función de sus edades y de su intención de voto: Edad Partido 18 – 35 35 – 50 50 o más A 10 40 60 B 15 70 90 C 45 60 35 D 30 30 15 A un nivel de confianza del 90% ¿Puede afirmarse que la intención de voto es independiente de la edad?
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Bibliografía Página 81
Bibliografía
Sitio Web:
http://www.ugr.es/~jsalinas/weproble/T9res.PDF
http://www.monografias.com/trabajos27/regresion-simple/regresion-simple.shtml
http://www.um.es/docencia/jpastor/miweb_files/ficheros/ambientales/ambientales_2005_2006/
regresion_resueltos.pdf
http://dta.utalca.cl/estadistica/ejercicios/obtener/descriptiva2/Ejerciciosresueltosdescripcualitati
vas.pdf
http://www.ugr.es/~jsalinas/weproble/T12res.PDF