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Problemas resueltosProblemas resueltos
La Universidad del La Universidad del ZuliaZulia
Diplomado de Controles Diplomado de Controles e Instrumentación de e Instrumentación de
PlantasPlantas
PROBLEMA N° 1PROBLEMA N° 1
Considere el sistema de control mostrado:Considere el sistema de control mostrado:
- + R(s)
SSSK
2)1(
2
2
θ(S)
B(S)
E(S)
Obtenga el lugar geométrico de las raíces, ganancia, Obtenga el lugar geométrico de las raíces, ganancia, polos y ceros del sistema.polos y ceros del sistema.
PROBLEMA N° 1PROBLEMA N° 1Solución … Solución …
Para obtener la grafica del lugar geométrico de la raíz Para obtener la grafica del lugar geométrico de la raíz de este sistema, se debe introducir el comando de este sistema, se debe introducir el comando “rlocus” en Matlab. “rlocus” en Matlab. Al escribir el vector numerador sus coeficientes no se Al escribir el vector numerador sus coeficientes no se deben multiplicar por la ganancia K.deben multiplicar por la ganancia K.
>> num=[1 0 1];>> num=[1 0 1];>> den=[1 2 0];>> den=[1 2 0];>> rlocus(num,den);>> rlocus(num,den);>> grid>> grid
PROBLEMA N° 1PROBLEMA N° 1 Solución … Solución …
Para obtener la ganancia, polos y ceros de este Para obtener la ganancia, polos y ceros de este sistema, se debe introducir el comando “zpk” en sistema, se debe introducir el comando “zpk” en Matlab. Matlab.
>> [z,p,k]=tf2zp(num,den)>> [z,p,k]=tf2zp(num,den)
z =z = 0 + 1.0000i 0 + 1.0000i 0 - 1.0000i 0 - 1.0000i
p =p = 0 0 -2 -2
k =k = 1 1
PROBLEMA N° 2PROBLEMA N° 2
Considere el sistema de control mostrado:Considere el sistema de control mostrado:
Obtenga el lugar geométrico de las raíces, ganancia, Obtenga el lugar geométrico de las raíces, ganancia, polos y ceros del sistema.polos y ceros del sistema.
- + R(s)
32)2(
2 SS
SK
θ(S)
B(S)
E(S)
PROBLEMA N° 2PROBLEMA N° 2Solución … Solución …
Para obtener la grafica del lugar geométrico de la raíz Para obtener la grafica del lugar geométrico de la raíz de este sistema, se debe introducir el comando de este sistema, se debe introducir el comando “rlocus” en Matlab. “rlocus” en Matlab. Al escribir el vector numerador sus coeficientes no se Al escribir el vector numerador sus coeficientes no se deben multiplicar por la ganancia K.deben multiplicar por la ganancia K.
>> num=[1 2];>> num=[1 2];>> den=[1 2 3];>> den=[1 2 3];>> rlocus(num,den);>> rlocus(num,den);>> grid>> grid
PROBLEMA N° 2PROBLEMA N° 2 Solución … Solución …
Para obtener la ganancia, polos y ceros de este Para obtener la ganancia, polos y ceros de este sistema, se debe introducir el comando “zpk” en sistema, se debe introducir el comando “zpk” en Matlab. Matlab. >> [z,p,k]=tf2zp(num,den)>> [z,p,k]=tf2zp(num,den)
z =z =
-2 -2
p =p =
-1.0000 + 1.4142i -1.0000 + 1.4142i -1.0000 - 1.4142i -1.0000 - 1.4142i
k =k =
1 1
PROBLEMA N° 3PROBLEMA N° 3
Considere el sistema de control mostrado:Considere el sistema de control mostrado:
Grafique el diagrama de bode.Grafique el diagrama de bode.
- + R(s)
)92.1()12.0(9
2
2
SSSSS
θ(S)
B(S)
E(S)
PROBLEMA N° 3PROBLEMA N° 3Solución … Solución …
Para obtener la grafica de bode de este sistema, se Para obtener la grafica de bode de este sistema, se debe introducir el comando “bode” en Matlab. debe introducir el comando “bode” en Matlab. Al escribir el vector numerador sus coeficientes no se Al escribir el vector numerador sus coeficientes no se deben multiplicar por la ganancia K.deben multiplicar por la ganancia K.
>> num=[9 1.8 9];>> num=[9 1.8 9];>> den=[1 1.2 9 0];>> den=[1 1.2 9 0];>> bode(num,den);>> bode(num,den);
PROBLEMA N° 3PROBLEMA N° 3 Solución … Solución …
Si se desea dibujar el diagrama de bode de 0.01 Si se desea dibujar el diagrama de bode de 0.01 rad/seg a 1000 rad/seg se debe introducir el comando rad/seg a 1000 rad/seg se debe introducir el comando “w=logspace” en Matlab. “w=logspace” en Matlab. >> >> ww==logspace(-2,3,100logspace(-2,3,100))>> >> bode(num,den,w)bode(num,den,w)
Este comando genera Este comando genera 100 puntos espaciados 100 puntos espaciados iguales iguales logaritmicamente logaritmicamente entre 0.01 rad/seg y entre 0.01 rad/seg y 1000 rad/seg1000 rad/seg
PROBLEMA N° 3PROBLEMA N° 3 Solución … Solución …
Para especificar el rango de magnitud y el rango de Para especificar el rango de magnitud y el rango de ángulo de fase se debe introducir el comando ángulo de fase se debe introducir el comando “[mag,phase,w]=bode(num,den,w)” en Matlab. “[mag,phase,w]=bode(num,den,w)” en Matlab. Las matrices y fases contienen las magnitudes y los Las matrices y fases contienen las magnitudes y los ángulos de fase de la respuesta a la frecuencia evaluado ángulos de fase de la respuesta a la frecuencia evaluado en los puntos especificados. El ángulo de fase se lleva a en los puntos especificados. El ángulo de fase se lleva a grados. La magnitud puede ser convertida en decibeles grados. La magnitud puede ser convertida en decibeles con el enunciado:con el enunciado:magdB=20*log10(mag)magdB=20*log10(mag)Si se desea especificar que el rango de magnitud sea, por Si se desea especificar que el rango de magnitud sea, por ejemplo, entre -45 dB y +45 dB, entonces se introduce ejemplo, entre -45 dB y +45 dB, entonces se introduce lineas invisibles en el grafico en -45 dB y +45 dB, lineas invisibles en el grafico en -45 dB y +45 dB, especificando dBmax (magnitud máxima) y dBmin especificando dBmax (magnitud máxima) y dBmin (magnitud mínima) como sigue:(magnitud mínima) como sigue:dBmax=45*ones(1,100);dBmax=45*ones(1,100);dBmin=-45*ones(1,100);dBmin=-45*ones(1,100);Entonces introduzca el siguiente comando de grafico: Entonces introduzca el siguiente comando de grafico: “semilog”“semilog”
PROBLEMA N° 3PROBLEMA N° 3 Solución … Solución …
En Matlab:En Matlab:
>> num=[9 1.8 9];>> num=[9 1.8 9];>> den=[1 1.2 9 0];>> den=[1 1.2 9 0];>> w=logspace(-2,3,100);>> w=logspace(-2,3,100);>> [mag,phase,w]=bode(num,den,w);>> [mag,phase,w]=bode(num,den,w);>> dBmin=-45*ones(1,100);>> dBmin=-45*ones(1,100);>> magdB=20*log10(mag);>> magdB=20*log10(mag);>> dBmax=45*ones(1,100);>> dBmax=45*ones(1,100);>> dBmin=-45*ones(1,100);>> dBmin=-45*ones(1,100);>> semilogx(w,magdB,w,magdB,w,dBmax,w,dBmin)>> semilogx(w,magdB,w,magdB,w,dBmax,w,dBmin)>> title('Diagrama de Bode')>> title('Diagrama de Bode')>> xlabel('Frecuencia rad/seg');>> xlabel('Frecuencia rad/seg');>> ylabel('Gain(dB)')>> ylabel('Gain(dB)')
PROBLEMA N° 3PROBLEMA N° 3 Solución … Solución …
PROBLEMA N° 3PROBLEMA N° 3 Solución … Solución …
Para el ángulo de fase introducimos líneas invisibles en -145° y +115° con pmax (fase máxima) y pmin (fase mínima):
>> pmax=115*ones(1,100);>> dBmin=-45*ones(1,100);>> semilogx(w,phase,w,phase,w,pmax,w,pmin)>> xlabel('Frecuencia rad/seg');>> ylabel('Fase (dB)')>> title('Diagrama de Bode')
PROBLEMA N° 3PROBLEMA N° 3 Solución … Solución …
PROBLEMA N° 4PROBLEMA N° 4
Considere el sistema de control mostrado:Considere el sistema de control mostrado:
Grafique el diagrama de nyquist.Grafique el diagrama de nyquist.
- + R(s)
)18.01
2 SS
θ(S)
B(S)
E(S)
PROBLEMA N° 4PROBLEMA N° 4 Solución … Solución …
Para obtener la grafica de nyquist de este sistema, se Para obtener la grafica de nyquist de este sistema, se debe introducir el comando “nyquist” en Matlab. debe introducir el comando “nyquist” en Matlab.
>> num=[1];>> num=[1];>> den=[1 0.8 1];>> den=[1 0.8 1];>> nyquist(num,den);>> nyquist(num,den);>> grid>> grid
PROBLEMA N° 5PROBLEMA N° 5
Considere el sistema de control mostrado:Considere el sistema de control mostrado:
Grafique el diagrama de nyquist con retroalimentación Grafique el diagrama de nyquist con retroalimentación positiva.positiva.
4564
2
2
SSSS
PROBLEMA N° 5PROBLEMA N° 5 Solución … Solución …
Para obtener la grafica de nyquist de este sistema, se Para obtener la grafica de nyquist de este sistema, se debe introducir el comando “nyquist” en Matlab. Y la debe introducir el comando “nyquist” en Matlab. Y la realimentacion positiva definiendo de la siguiente realimentacion positiva definiendo de la siguiente manera:manera:
>> num=[-1 -4 -6];>> num=[-1 -4 -6];>> den=[1 5 4];>> den=[1 5 4];>> nyquist(num,den);>> nyquist(num,den);
PROBLEMA N° 5PROBLEMA N° 5 Solución … Solución …
Para obtener la grafica de nyquist de este sistema, se Para obtener la grafica de nyquist de este sistema, se debe introducir el comando “nyquist” en Matlab. Y la debe introducir el comando “nyquist” en Matlab. Y la realimentación positiva definiendo de la siguiente realimentación positiva definiendo de la siguiente manera:manera:>> num=[-1 -4 -6];>> num=[-1 -4 -6];>> den=[1 5 4];>> den=[1 5 4];>> nyquist(num,den);>> nyquist(num,den);
Este sistema es inestable ya que el punto -1 + j0 se encierra una vez en el sentido de las agujas del reloj
PROBLEMA N° 5PROBLEMA N° 5 Solución … Solución …
Para comparar la realimentacion positiva con la Para comparar la realimentacion positiva con la negativa definimos de la siguiente manera:negativa definimos de la siguiente manera:>> num1=[1 4 6];>> num1=[1 4 6];>> den1=[1 5 4];>> den1=[1 5 4];>> num2=[-1 -4 -6];>> num2=[-1 -4 -6];>> den2=[1 5 4];>> den2=[1 5 4];>> v=[-2 2 -1 1];>> v=[-2 2 -1 1];>> nyquist(num1,den1)>> nyquist(num1,den1)>> grid>> grid>> title('Nyquist Gs vs -Gs')>> title('Nyquist Gs vs -Gs')>> hold on>> hold on>> nyquist(num2,den2)>> nyquist(num2,den2)
Considere el sistema de control de la figura, en el cual Considere el sistema de control de la figura, en el cual se usa un controlador tipo PID para controlar el se usa un controlador tipo PID para controlar el sistema. El controlador PID tiene la función de sistema. El controlador PID tiene la función de transferencia:transferencia:
TdS
TiSKpG SC
11)(
PROBLEMA N° 6PROBLEMA N° 6
Obtenga una curva de respuesta escalón unitario y Obtenga una curva de respuesta escalón unitario y verifique si el sistema diseñado exhibe un sobrepaso verifique si el sistema diseñado exhibe un sobrepaso máximo aproximado de 20%. Si el sobrepaso máximo es máximo aproximado de 20%. Si el sobrepaso máximo es excesivo (40% o más), haga una sintonización fina y excesivo (40% o más), haga una sintonización fina y reduzca la cantidad del sobrepaso máximo aproximado reduzca la cantidad del sobrepaso máximo aproximado de 20%.de 20%.
Gc(S) )5)(1(
1 SSS
- +
R(s) C(s)
Controlador PID
PROBLEMA N° 6,PROBLEMA N° 6,Solución.Solución.
Según el método de Ziegler – Nichols, establecemos que Ti = ∞ y Td = 0, y obtenemos la función de transferencia en lazo cerrado:
)5)(1( SSSKp
- + R(s)
C(s)
PROBLEMA N° 6,PROBLEMA N° 6,Solución…Solución…
Y resolviendo la realimentación nos queda:
KpSSSKp
56 23 R(s)
C(s)
Para hallar el valor de oscilación sostenida aplicamos el criterio de Routh. La ecuación característica para el sistema en lazo cerrado es:
056 23 KpSSS
El arreglo de Routh es el siguiente:
PROBLEMA N° 6,PROBLEMA N° 6, Solución… Solución…
S3 1 5 S2 6 Kp
S1 6
30 Kp
S0 Kp Examinando los coeficientes de la primera columna del arreglo de Routh, encontramos que ocurrirá una oscilación sostenida si Kp = 30. por lo tanto, la ganancia critica es:
KCR = 30Entonces la ecuación característica se vuelve:
03056 23 SSS
Para encontrar la frecuencia de la oscilación sostenida, sustituimos S = jw en la ecuación característica:
PROBLEMA N° 6,PROBLEMA N° 6, Solución… Solución…
030)(5)(6)( 23 jwjwjw
03056 23 jwwjw
Igualando imaginarios:
5
0)5(
052
3
w
ww
ww
PROBLEMA N° 6,PROBLEMA N° 6, Solución… Solución…
Con Matlab para hallar la frecuencia de oscilación sostenida introducimos los coeficientes del polinomio característico y aplicando el comando roots de la siguiente manera tenemos:roots([-1 -6 5 30])Arrojando como resultado: ans =
-6.0000 2.2361 -2.2361La frecuencia de oscilación sostenida es 2.2361 así el periodo de oscilación sostenida es:
8099.25
22
w
Pcr
Por el método de Ziegler – Nichols determinamos Kp, Ti y Td del modo siguiente:• Kp = 0.6*Kcr = 0.6*30 = 18• Ti = 0.5*Pcr = 0.5* 2.8099 = 1.405• Td = 0.125Pcr = 0.125*2.8099 = 0.35124
Por lo tanto la función de transferencia del controlador PID es:
PROBLEMA N° 6,PROBLEMA N° 6, Solución… Solución…
SSSG
SS
G
TdSTiS
KpG
SC
SC
SC
814.12185023.6
35124.0405.11118
11
2
)(
)(
)(
PROBLEMA N° 6,PROBLEMA N° 6, Solución… Solución…
Sustituyendo en el diagrama de bloques, nos queda:
)5)(1(1
SSS
- + R(s)
C(s)
Controlador PID
SSS 814.12185023.6 2
Obtenemos la función de transferencia en lazo cerrado:
)5)(1(814.12185023.6
2
2
SSSSS
- + R(s)
C(s)
PROBLEMA N° 6,PROBLEMA N° 6, Solución… Solución…
Y resolviendo la realimentación nos queda:
814.12185023.116814.12185023.6
234
2
SSSSSS
R(s) C(s)
Introducimos la función de transferencia en Matlab para hallar la respuesta a un escalón unitario:a=tf([6.5023 18 12.814],[1 6 11.5023 18 12.814])
Con el software Matlab tambien podemos resolver el diagrama de bloques aplicando algebra de bloques con los comandos: series(G1,G2), parallel(G1,G3) y feedback(G,H)
PROBLEMA N° 6,PROBLEMA N° 6, Solución… Solución…
Procedemos a graficar la función de transferencia a un escalón unitario aplicando el siguiente comando>> step(a) Se nota en la grafica
que el sobrepaso máximo es de 60.4% el tiempo de estabilización a 9.97 seg, como es excesiva se reduce con una sintonización fina desde el computador utilizando el comando “rltool” en Matlab:
Para determinar el máximo sobre pico o Overshoot, el tiempo de crecimiento y el tiempo de crecimiento en la ventana de la grafica presionamos el clic derecho del Mouse y nos muestra una serie de opciones del cual seleccionamos Characteristics y luego las 4 opciones siguientes.
PROBLEMA N° 6,PROBLEMA N° 6, Solución… Solución…
Como se mostró en problemas anteriores para hallar el lugar geométrico de las raíces aplicamos el siguiente comando:>> rltool(a)
Para hallar la sintonización fina del sistema en la ventana de la grafica del lugar geométrico de las raíces en el menú principal seleccionamos Tools (herramientas) la cual nos proporciona una serie de opciones de la cual seleccionamos Loop Responses y nos muestra una lista de aplicaciones que luego podemos seleccionar y aplicar (step, bode, nichols, nyquist) para poder observar que sucede al cambiar los polos y los ceros del sistema.Esta herramienta que brinda Matlab permite obtener la disminución del tiempo de estabilización, máximo sobrepico, entre otros, interactivamente y de esta forma hallar la sintonización fina del sistema.
Al seleccionar plant output Matlab nos muestra el escalón unitario del sistema y interactivamente moviendo los polos y los ceros podemos observar simultaneamente que sucede con la respuesta, logrando mejorar sus características.
Al seleccionar compensador Bode Matlab nos muestra el diagrma de Bode del sistema e igualmente podemos observar simultaneamente que sucede.
Al seleccionar Open-Loop Nyquist, Matlab nos muestra el diagrama de Nyquist del sistema e igualmente podemos observar simultaneamente que sucede y asi con las otras herramientas adicionales Open-Loop Nichols, control signals (step).
Para cambios en polos y ceros del sistema lo podemos hacer arbitrariamente con el Mouse posicionándonos sobre los polos y ceros (puntos rojos de la grafica), con un clic seleccionamos y movemos recordando que el sistema solo es estable del lado izquierdo del diagrama de lugar geométrico.
También se puede adicional polos, ceros, doble cero y doble polo y observar el comportamiento de la respuesta, si es el caso y se vuelve inestable deshacemos con el borrador .
Para cambios en polos y ceros del sistema también lo podemos hacer seleccionando del menú principal el compensador y edit para modificar o añadir polos y ceros.
PROBLEMA N° 6,PROBLEMA N° 6, Solución… Solución…
La respuesta sintonizada a un escalón unitario es la siguiente:
Se nota en la grafica que el sobrepaso máximo es de 17.1%Y de esta forma se redujo el tiempo de estabilización a 1.87 seg.
PROBLEMA N°7,PROBLEMA N°7,Para mediados de la decada de 1990, Estados Unidos planea tener una estación espacial operativa en orbita. En la figura se muestra una version de esta estación espacial; para esto resulta critico mantener dicha estación en una orientación adecuada hacia el sol y la tierra para generar energia y comunicaciones. El regulador (control) de la orientación se puede representar mediante un sistema con retroalimentación 0.04 con un actuador y un regulador, tal que:
8 20 20 )(0)()( ttt Ddtdt
V(S) = 1θo (S) = ExcitaciónD(S) = Salida del ProcesoGc(S) = Kp
Paneles de energía solar
Cohetes
Cohetes ajustables
Paneles de energía solar
Cohetes
Cohetes ajustables
cia)Transferen de(Función )120(
8 )120(
20
8 20)120(..
)Matematico (Modelo 8 20 20
)(0)()(
)(0)()(
)(0)()(
SSS
SSS
ttt
SD
S
DSLTA
Ddtdt
PROBLEMA N° 7,PROBLEMA N° 7, Solución… Solución…
Resolviendo y aplicando transformada de Laplace tenemos
PROBLEMA N° 7,PROBLEMA N° 7, Solución… Solución…
a) El diagrama de bloques con sus respectivas funciones de transferencia.
Kp
0.04
M(S) E(S)
θo (S)
θ (S)
+
Vd(S)
+ + - 12020
S
1208S
1 V(S) D(S)
H(S)
PROBLEMA N° 7,PROBLEMA N° 7, Solución… Solución…
Simplificando:Haciendo Vd(S) = 0, aplicamos el principio de superposición por tener mas de una entrada
+ - 120
8S
12020
S
Kp 0.04 1
θ (S) θo (S)
PROBLEMA N° 7,PROBLEMA N° 7, Solución… Solución…
Simplificando:
+ -
1208.0
SKp
1208S
θ (S) θo (S)
1208S
KpS
S8.0120
120
θ (S) θo (S)
KpSS
8.0120120
KpS 8.01208
θ (S) θo (S)
PROBLEMA N° 7,PROBLEMA N° 7, Solución… Solución…
b) Hallar el valor de Kp para que el error no sea mayor de 2° de una excitación de 10° en θoT o(S) = 10/S
KpSS
KpS
KpSo
S
S
S
S
S
8.012080
8.01208
8.01208
)(
)(
)(
10*
)(
Aplicando el teorema del valor final:
28.01
808.0120
80
)(0
0)(0)(0
KpSLim
KpSSSLimSLimSFLim
SS
SSSSS
80 < 1+0.8Kp 80 – 2 < 1.6Kp Kp = 78 / 1.6 =48.75
PROBLEMA N° 7,PROBLEMA N° 7, Solución… Solución…
c) Hallar el valor de Kp para que el sistema sea estable.Aplicando el criterio de Routh obtenemos:Ecuación característica:
KpS 8.0120 = 0
El conjunto de coeficientes es
S1 20 0 S0 1+0.8Kp
1+0.8Kp = 0 Kp = -1/0.8 = -1.25 Kcr = -1.25
PROBLEMA N° 7,PROBLEMA N° 7, Solución… Solución…
d) Hallar Ti, Td, frecuencia de oscilación20S = 0Sustituyendo S = jw20W = 0
Por ser un sistema de primer orden no hay oscilación por lo tanto Td = Ti = W = 0
Por el método de Ziegler – Nichols determinamos Kp del modo siguiente: Kp = 0.5*Kcr = 0.5*1.25 = 0.625
PROBLEMA N° 7,PROBLEMA N° 7, Solución… Solución…
Por lo tanto la función de transferencia es:
5.1208
)(0
)(
SS
S
Introducimos la función de transferencia en Matlab para hallar la respuesta a un escalón unitario:
a=tf([8],[20 1.5])
PROBLEMA N° 7,PROBLEMA N° 7, Solución… Solución…
>> step(a)Kp = 0.625
El tiempo de estabilización es de 52.2 seg, como es excesivo se reduce con una sintonización fina desde el computador utilizando el comando “rltool” en Matlab:
PROBLEMA N° 7,PROBLEMA N° 7, Solución… Solución…
>> rltool(a)
PROBLEMA N° 7,PROBLEMA N° 7, Solución… Solución…
>> step(a)Kp = 1
>> step(a)Kp = 3
PROBLEMA N° 7,PROBLEMA N° 7, Solución… Solución…
>> step(a)Kp = 10
PROBLEMA N° 7,PROBLEMA N° 7, Solución… Solución…
Dado el comportamiento del sistema a medida que Kp aumenta mejora la respuesta del sistema con un tiempo de estabilización mas corto.
PROBLEMA N° 8,PROBLEMA N° 8,Se desea conocer el control de temperatura de salida T2 del siguiente intercambiador de calor para ajustar la relación de flujo de vapor Ws. La perturbación ocurre en la entrada de la temperatura T1. el comportamiento dinámico puede ser aproximadamente por las siguientes ecuaciones diferenciales:
T2
T1
Vapor TT TC
Condensado
T2
T1
Vapor TT TC
Condensado
)()(22
)(1)()(2)(22
2
)()(
50502525
58.04 32
6 2
)()(
)(
SS
tttt
tt
HHTT
TWsTdtdT
dt
Td
mWsdtdWs
ss
t
PROBLEMA N° 8,PROBLEMA N° 8, Solución… Solución…
Resolviendo y aplicando transformada de Laplace tenemos
5.050502525
432S5
432S8.058.0)43(2S
126Ws
61)Ws(2S
:A.T.L
Proceso )Matematico (Modelo 58.04 32
EFC )Matematico (Modelo 6 2
)(2
)()()(22
)(12)(2)(2)(1)()(22
(S)
(S)(S)(S)
)(1)()(2)(22
2
)()(
)()(
)(
S
SSS
SSSSSS
tttt
tt
TH
HHTT
TS
WsS
TTWsTS
Smm
TWsTdtdT
dt
Td
mWsdtdWs
ss
t
PROBLEMA N° 8,PROBLEMA N° 8, Solución… Solución…
a) El diagrama de bloques con sus respectivas funciones de transferencia.
Kc
0.5
M(S) E(S)
T1 (S)
T2 (S)
+
Vd(S)
+ + - 4328.0
2 SS
12
6S
V(S)
H(S)
4325
2 SS
4328.0
2 SS12
6S
PROBLEMA N° 8,PROBLEMA N° 8, Solución… Solución…
Simplificando:Haciendo Vd(S) = 0, aplicamos el principio de superposición por tener mas de una entrada
+ -
Kc 0.5
T2 (S)
4328.0
2 SS
12
6S
4325
2 SS
T1 (S)
PROBLEMA N° 8,PROBLEMA N° 8, Solución… Solución…
Simplificando:
+ -
)432)(12(4.2
2 SSSKp
T2 (S)
4325
2 SS
T1 (S)
T2(S) T1 (S)
KpSSSSSS
4.2)432)(12()432)(12(
2
2
432
52 SS
KpSSS
SSS4.2)432)(12(
)432)(12(2
2
KpSSSS
4.241184510
23
T2(S) T1 (S)
PROBLEMA N° 8,PROBLEMA N° 8, Solución… Solución…
b) Hallar el valor de Kp para que el error no sea mayor de 1° de una excitación de 10C° en T1T 1(S) = 10/S
KpSSSSST
KpSSSST
KpSSSS
T
S
S
S
S
ST
4.241184)12(50
4.241184)12(5
4.241184)12(5
23)(2
23)(2
23)(1
10*
)(2
Aplicando el teorema del valor final:
1
4.2450
4.241184)12(50
)(0
230)(0)(0
KcSLim
KpSSSSSSLimSLimSFLim
SS
SSSSS
4+2.4Kc>50 50 – 4 <2.4Kc Kp = 46 / 2.4 =19.17
S3 4 11 S2 8 4+2.4Kc
S1 8
6.972 Kc 0
S0 4+2.4Kc
PROBLEMA N° 8,PROBLEMA N° 8, Solución… Solución…
c) Hallar el valor de Kc para que el sistema sea estable.Aplicando el criterio de Routh obtenemos:Ecuación característica:
El conjunto de coeficientes esKpSSS 4.241184 23
5.72.1/92.1908
6.972
KcrKcKcKc
PROBLEMA N° 8,PROBLEMA N° 8, Solución… Solución…
La respuesta del sistema con Kc = 7.5 es:
PROBLEMA N° 8,PROBLEMA N° 8, Solución… Solución…
Para encontrar la frecuencia de la oscilación sostenida, sustituimos S = jw en la ecuación característica:
022)(11)(8)(4 23 jwjwjw
0221184 23 jwwjw
Con Matlab la frecuencia de oscilación es:roots([-4 -8 11 22])ans = 1.6583 -2.0000 -1.6583 W=1.6583
PROBLEMA N° 8,PROBLEMA N° 8, Solución… Solución…
Así el periodo de oscilación sostenida es:
segw
Pcr 7889.36583.122
Por el método de Ziegler – Nichols determinamos Kp, Ti y Td del modo siguiente:• Kp = 0.6*Kcr = 0.6*3.7889 = 1.8945• Ti = 0.5*Pcr = 0.5* 3.7889 = 0.4736• Td = 0.125Pcr = 0.125*7.5 = 4.6875
PROBLEMA N° 8,PROBLEMA N° 8, Solución… Solución…
SS
SSSS
SSG
SS
G
TdSTiS
KpG
SC
SC
SC
2
22
)(
)(
)(
)0557.1(22.2
222.2
6875.4
:Cuadrados deón Completaci
22.24743.26875.422.24743.26875.4
4736.08945.1
116875.4
11
Por lo tanto la función de transferencia del PID es:
PROBLEMA N° 8,PROBLEMA N° 8, Solución… Solución…
SS
22.24743.2
6875.4
0.5
M(S) E(S)
T1 (S)
T2 (S)
+
Vd(S)
+ + - 4328.0
2 SS
12
6S
V(S)
H(S)
4325
2 SS
Sustituyendo en el diagrama de bloques, nos queda:
PROBLEMA N° 8,PROBLEMA N° 8, Solución… Solución…
Obtenemos la función de transferencia en lazo cerrado utilizando Matlab:
a=tf([4.8],[4 8 11 4])
Transfer function:
4.8
------------------------
4 s^3 + 8 s^2 + 11 s + 4
rltool(a)
PROBLEMA N° 9,PROBLEMA N° 9,Dado el siguiente sistema:
)12(1
2 SS
- + R(s)
Y(s)
)5(1
SS
Dibuje el lugar geométrico de las raíces y el diagrama de bode
PROBLEMA N° 9,PROBLEMA N° 9, Solución… Solución…
Simplificando y aplicando algebra de bloques obtenemos la función de transferencia del sistema:
160175
234
SSSSS
R(s) Y(s)
La respuesta a este sistema ante una perturbación tipo escalón unitario es la siguiente:>> a=tf([1],[1 12 0 0]);>> b=tf([1 1],[1 5]);>> c=feedback(a,b) Transfer function: s + 5-----------------------------s^4 + 17 s^3 + 60 s^2 + s + 1
PROBLEMA N° 9,PROBLEMA N° 9, Solución… Solución…
>> step(c)
En la grafica podemos apreciar que el tiempo de estabilización es muy largo por lo tanto con el comando “rltool” de matlab podemos para mejorar la respuesta y compensar el sistema.
PROBLEMA N° 9,PROBLEMA N° 9, Solución… Solución…
>> rltool(c)
PROBLEMA N° 9,PROBLEMA N° 9, Solución… Solución…
Con el comando rltool podemos observar interactivamente el comportamiento del sistema al cambiar la ganancia, al igual que los diagramas de niquist y bode.
PROBLEMA N° 9,PROBLEMA N° 9, Solución… Solución…
Diagrama de bode:margin(c)
Este diagrama nos indica una ganancia de 4.6234
PROBLEMA N° 9,PROBLEMA N° 9, Solución… Solución…
nyquist(c)
PROBLEMA N° 9,PROBLEMA N° 9, Solución… Solución…
El comportamiento del sistema ante una perturbación tipo escalón con una ganancia de 1, es la siguiente:
PROBLEMA N° 9,PROBLEMA N° 9, Solución… Solución…
Con el comando rltool (lugar geometrico de las raices) se compensa el sistema y de esta forma podemos hallar la ganancia optima y la función de transferencia del controlador:Agregamos un doble cero, para optimizar la respuesta y obtenemos:
PROBLEMA N° 9,PROBLEMA N° 9, Solución… Solución…
Cuya respuesta es la siguiente:
Podemos observar directamente en la grafica que el tiempo de estabilización es mucho mas corto y el sobre paso es de 76.6%Sin embargo esta respuesta se puede mejorar.
Ganancia y función de transferencia del controlador
PROBLEMA N° 9,PROBLEMA N° 9, Solución… Solución…
Ganancia y función de transferencia del PID
PROBLEMA N° 9,PROBLEMA N° 9, Solución… Solución…
El tiempo de estabilización bajo a 0.145 seg. Por lo tanto esta es la respuesta óptima del sistema.
PROBLEMA N° 10PROBLEMA N° 10
Considere el siguiente sistema de control, en el cual se usa un controlador Considere el siguiente sistema de control, en el cual se usa un controlador tipo PID para controlar el sistema. Para evitar el fenómeno de la reacción tipo PID para controlar el sistema. Para evitar el fenómeno de la reacción del punto de ajuste, se pretende operar la acción derivativa solo en la del punto de ajuste, se pretende operar la acción derivativa solo en la trayectoria de realimentación, a fin de que la diferenciación ocurra trayectoria de realimentación, a fin de que la diferenciación ocurra únicamente en la señal de realimentación y no en la señal de referencia.únicamente en la señal de realimentación y no en la señal de referencia.
1
TiS1
Gp(s) - + +
+ + +
+
+
+
TdS
Kp R(S)
E(S)
B(S)
U(S)
D(S)
N(S)
θ(S)
PROBLEMA N° 10,PROBLEMA N° 10, Solución… Solución…
ciaTransferen deFunción
2494
4249
: tenemosigualdad la de lados ambos acomun factor sacando
4249
: tenemosLaplace de daTransforma aplicando
Matematico Modelo 4249
23)(
)()(
)()(23
)()()()(2
)(3
)()()(
2)(
2
3)(
3
SSSUGp
USSS
USSS
Udtd
dt
d
dt
d
S
SS
SS
SSSSS
TTTTT
El modelo matemático de la planta es el siguiente:El modelo matemático de la planta es el siguiente:
PROBLEMA N° 10,PROBLEMA N° 10, Solución… Solución…
1
TiS1 249
423 SSS
- + +
+ + +
+
+
+
TdS
Kp R(S)
E(S)
B(S)
U(S)
D(S)
N(S)
θ(S)
El diagrama de bloques es:
PROBLEMA N° 10,PROBLEMA N° 10, Solución… Solución…
Por el método de superposición haciendo N(S) y D(S) igual a cero, y según el método de Ziegler – Nichols, establecemos que Ti = ∞ y Td = 0, y obtenemos:
Kp - +
R(s) 249
423 SSS
θ(S)
B(S)
E(S) U(S)
PROBLEMA N° 10,PROBLEMA N° 10, Solución… Solución…
Y resolviendo la realimentación nos queda:
KpSSSKp
SSSKpSSS
SSSKp
SSSKpSSS
Kp
42494
2494249249
4
24941
2494
23
23
23
23
23
23
KpSSSKp
4294
23
R(s) θ (s)
PROBLEMA N° 10,PROBLEMA N° 10, Solución… Solución…
Para hallar el valor de oscilación sostenida aplicamos el criterio de Routh. La ecuación característica para el sistema en lazo cerrado es: 0429 23 KpSSS
El arreglo de Routh es el siguiente:S3 1 1
S2 9 2+4Kp
S1 947 Kp
0
S0 2+4Kp
77.144.0/78.0044.078.00947
KpKpKp
PROBLEMA N° 10,PROBLEMA N° 10, Solución… Solución…
Para encontrar la frecuencia de la oscilación sostenida, sustituimos S = jw en la ecuación característica:
01.99 23 SSS
01.99
01.9)()(9)(23
23
www
jwjwjw
Resolviendo con Matlab obtenemos.>> roots([-i -9 i 2])ans = -0.0000 + 8.9130i 0.4717 + 0.0435i -0.4717 + 0.0435i w = 0.4717
PROBLEMA N° 10,PROBLEMA N° 10, Solución… Solución…
Así el periodo de oscilación sostenida es:
32.134717.022
wPcr
Por el método de Ziegler – Nichols determinamos Kp, Ti y Td del modo siguiente:Kp = 0.6*Kcr = 0.6*1.77= 1.06Ti = 0.5*Pcr = 0.5* 13.32 = 6.66 seg.Td = 0.125Pcr = 0.125*13.32 = 1.67 seg.
PROBLEMA N° 10,PROBLEMA N° 10, Solución… Solución…
Utilizando Matlab para resolver el diagrama de bloques tenemos:
1
TiS1 249
423 SSS
- + +
+ + +
+
+
+
TdS
Kp R(S)
E(S)
B(S)
U(S)
D(S)
N(S)
θ(S)
1.06
1.67S
1
6.66S
PROBLEMA N° 10,PROBLEMA N° 10, Solución… Solución…
Establecemos la funcion de transferencia del controlador PID:
>> c=tf([1.7703 1.06 0.1592],[1 0]) Transfer function:1.77 s^2 + 1.06 s + 0.1592-------------------------- s Establecemos la funcion de transferencia de la planta:
>> Gs=tf([4],[1 9 4 2]) Transfer function: 4---------------------s^3 + 9 s^2 + 4 s + 2
PROBLEMA N° 10,PROBLEMA N° 10, Solución… Solución…
Resolvemos los bloques en serie:>> g=series(c,Gs) Transfer function:7.081 s^2 + 4.24 s + 0.6368--------------------------- s^4 + 9 s^3 + 4 s^2 + 2 s
La realimentacion: >> H=feedback(g,1) Transfer function: 7.081 s^2 + 4.24 s + 0.6368-----------------------------------------s^4 + 9 s^3 + 11.08 s^2 + 6.24 s + 0.6368
PROBLEMA N° 10,PROBLEMA N° 10, Solución… Solución…
Obtenemos la respuesta a un escalón unitario:>> step(H) En la grafica
podemos apreciar que el tiempo de estabilización es muy largo por lo tanto con el comando “rltool” de matlab podemos para mejorar la respuesta y compensar el sistema con una sintonización fina.
PROBLEMA N° 10,PROBLEMA N° 10, Solución… Solución…
>> rltool(H)
PROBLEMA N° 10,PROBLEMA N° 10, Solución… Solución…
En la grafica podemos apreciar que el tiempo de estabilización bajo pero podemos mejorar esta respuesta aumentando la ganancia del sistema
PROBLEMA N° 10,PROBLEMA N° 10, Solución… Solución…
PROBLEMA N° 10,PROBLEMA N° 10, Solución… Solución…
Se puede observar que el tiempo de estabilización bajo de 16.5 a 0.946 seg. Siendo esta una respuesta optima del sistema
Conclusiones:Conclusiones:
•Al aumentar la ganancia del controlador y bajar el valor del cero doble se optimiza la respuesta del sistema.•La ganancia proporcional al incrementarse mejora la velocidad de respuesta del sistema pero se sacrifica estabilidad.•El doble cero al decrementarse disminuye el sobrepaso.•Al variar el doble cero se busca cancelar el efecto de los polos dominantes del proceso para mejorar la respuesta del sistema.