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PROBLEMAS DE ÓPTICA GEOMÉTRICA
2
O
d
S
P
Q
PROBLEMA 1. REFRACCIÓN DE LA LUZ.Un rayo luminoso incide sobre el plano ecuatorial de una esfera transparente de radio R e índice de refracción n con un ángulo de incidencia i. Calcular la distancia d medida desde el centro de la esfera hasta el punto S donde el rayo refractado corta al eje del sistema (ver figura).
i
R
3
i
rir
P
Q
O
180-ii
r21800
iri 2180 0
d
S
)(2)180(180 rii
sen)180sen(
R
i
d
Teorema del seno:
R
El triángulo OPQ es isósceles porque las distancias OP y OQ son iguales al radio R de la esfera
0
)(2sen
sen)180sen(
sen ri
iRi
Rd
Dado el índice de refracción n, el ángulo r se calcula por la ley de Snell:
rni sensen
n
ir
sensen 1
4
i
PROBLEMA 2. REFLEXIÓN TOTAL INTERNA.Una muestra de un material transparente, en forma de lámina, se ilumina con un delgado haz de una radiación monocromática que incide en el punto A de la figura. El ángulo de incidencia de la radiación se va aumentando hasta que al alcanzar el valor i = 78.5º se produce el fenómeno de reflexión total en el interior de la lámina. ¿Cuál es el índice de refracción del material para la longitud de onda utilizada?
A
5
90-r
90sen)90sen( rn
rr cos
1
sen
º5.78sen
irA
i=78.5º rn senº5.78sen r
nsen
º5.78sen
1cos rnr
ncos
1
9799.0º5.78sentg r r=44.4º
40.1º4.44sen
º5.78senn
6
i r r’ i’
PROBLEMA 3. DESVIACIÓN DE LA LUZ POR UN PRISMA
Un prisma de vidrio tiene forma de triángulo isósceles con un ángulo = 30º en su vértice superior. Cuando un rayo de luz monocromática incide sobre el prisma bajo un ángulo i = 35º, éste sufre una desviación = 17º. ¿Cuál es el índice de refracción del prisma para la longitud de onda del rayo incidente?
Sugerencia: encuentre la relación entre la desviación y el ángulo de incidencia en función de los ángulos r, i’, r’ indicados en el esquema.
7
i r r’ i’
i-r
90+i-
i-
90+-i
90+r-
90-i
i’=-r
rni sensen
ir
º12º30º35º17 ir
ri
rrn sen)sen(
rrrn sen)sencoscos(sen
r
in
sen
sen
rrrr
i sen)sencoscos(sensen
sen
º35iº30 º17
rri sen)coscot(sensen
i
ir
i
rr
sen
cossensencos
sen
sencotsen
4070.0cossensen
sensentg
ir
ir
53.1º22sen
º35sen
sen
sen
r
in º22r
rin sensen
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La imagen de L1 actúa como objeto de la segunda lente L2. El valor absoluto de la distancia de ese objeto a L2 es
cm 30015045012 dss
Pero el objeto de L2 se encuentra en el lado opuesto al de procedencia de la luz (lado B), por tanto el signo que le corresponde es cm 3002 s
PROBLEMA 4. SISTEMA ÓPTICO (CONVERGENTE + DIVERGENTE)Un sistema óptico centrado consta de una lente convergente, de focal 45 cm, y una lente divergente situada a 1,50 m a su derecha. A 0,50 m a la izquierda de la lente convergente hay un objeto de 4 mm de altura que forma una imagen virtual y derecha a 60 cm a la izquierda de la lente divergente.Determínese la distancia focal de la lente divergente y el tamaño de la imagen.
cm 501 s
cm 451 f 111
111
fss
cm 4501 s
9
cm 10
mm 4
1s
1F
1f
2F
2f
d
L1 L2
Como la imagen formada de este objeto por L2 está a su izquierda, Por tanto la focal de L2 es:
cm 602 s
18000
360
60
1
300
1111
222
ssfcm 502 f
950
450
1
11
s
sm 2.0
300
60
2
22
s
sm
8.1)2.0(9211
2
mmy
ym
2s
mm 2.74)2.0(91212 ymmy
cm 501 s
cm 451 f
cm 150d
cm 602 s
cm 502 f
10
Véase esquema gráfico en página siguiente Imagen virtual e invertida.mm 3.102 s
mm 27.22 y
1
1tg sy
2
2tg sy
tg
tg86.3
4.07
3.1027.2
1
1
2
2
ys
sy
PROBLEMA 5. SISTEMA ÓPTICO (CONVERGENTE + CONVERGENTE)Un pequeño objeto de 0.4 mm de altura se observa utilizando un sistema formado por dos lentes convergentes. La primera lente es de focal 5 mm, y el objeto se sitúa 7 mm a su izquierda. La segunda lente es de focal 8 mm, y ésta se sitúa 22 mm a la derecha de la primera lente. Utilícese papel milimetrado para resolver gráficamente el problema de la formación de la imagen de este objeto y a partir de la representación gráfica construida contéstese a las siguientes preguntas:1º) Dónde se forma la imagen y cuál es su tamaño.2º) ¿Qué tipo de imagen es y qué orientación tiene?3º) Estímese a partir de la construcción gráfica el aumento angular de este sistema.
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1F1F
2F2F
L1L2
mm 51 fmm 82 f
mm 27.22 y
mm 4.01 y
mm 3.102 s
mm 71 s
1 mm
10 mm
Imagen virtual e invertida.
1
1tg sy
2
2tg sy
tg
tg
86.34.0
73.10
27.21
1
2
2
ys
sy
12
Un sistema óptico está formado por una lente convergente de focal 90 cm y un espejo cóncavo de 80 cm de radio. Ambos elementos se alinean de modo que el centro del espejo coincida con el foco imagen de la lente. ¿Dónde se formará y de qué tipo y tamaño será la imagen de un objeto rectilíneo de 6 cm de altura situado en el espacio objeto de la lente y a 60 cm de ésta? Resuelva el problema gráfica y analíticamente.
PLA
NO
FOC
AL
D
EL
ESPE
JO
C F
PLA
NO
FOC
AL
D
E L
A L
EN
TE
10 cm
2 cm
PROBLEMA 6. SISTEMA ÓPTICO (CONVERGENTE + ESPEJO CÓNCAVO)
1f R
2
Rfe
13
111
111
fss
11
11
111
111
fs
fs
sfs
11
111 fs
fss
Lente: elemento óptico 1 cm 90
cm 60
1
1
f
s
cm 180
Esta imagen es el objeto del espejo (elemento óptico 2) y está situado del polo del mismo a una distancia s2:
1
1
1
11 s
s
y
ym
3 Imagen virtual,
derecha y tres veces mayor que el objeto
cm 18111 ymy
cm 3508090180112 Rfss
222
111
fss
cm 40
cm 350
2
2
f
s
22
22
222
111
fs
fs
sfs
22
222 fs
fss
cm 2.4540350
40350
2
2
2
22 s
s
y
ym
1112 ymyy donde
129.0350
2.45
2
22
s
sm
Imagen real, invertida y de tamaño 12.9% del tamaño de su objeto
Imagen combinada de ambos elementos: 387.021 mmm
Imagen virtual, invertida y de tamaño 38.7% del tamaño del objeto original
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CF
PLA
NO
FOC
AL
D
EL
ESPE
JO
PLA
NO
FOC
AL
D
E L
A L
EN
TE
20 cm
10 mm
C
cm 1401 f
cm 120d cm 802 f
L1E2
cm1
cm 40
1
1
y
s
1s
cm 160R
PROBLEMA 7. SISTEMA ÓPTICO (DIVERGENTE + ESPEJO CONVEXO)
Determinar gráficamente la imagen de un objeto de 1 mm de altura situado a 40 cm a la izquierda del sistema óptico formado por una lente divergente de focal 140 cm seguida a 120 cm por un espejo convexo de focal 80 cm.