Profesor: Simón Lyon
C.I: 15679532
-1- Prof. S i m ó n L y o n
Unidad de aprendizaje 1 Números enteros ( Z ) __________ CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS
El conjunto de los números enteros están formados por
REPRESENTACIÓN DE Z EN LA RECTA NUMÉRICA
Los enteros positivos se representan a la derecha del cero y los negativos a la izquierda
VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO
En la práctica, para calcular el valor absoluto de un número entero, se toma el número
natural que resulta al prescindir del signo del número.
ORDEN EN Z Todo entero positivo y el cero son mayores que cualquier entero negativo. Cuando se
comparan dos enteros negativos es mayor el que está más cerca del cero.
Ejemplo: a) 3 > -14 b) -42 < 0 c) -2 > -12
I Actividad 1) ¿Cuál de los siguientes números es enteros?
a) -5,2 b) -14 c) 0 d ) 16 e) 1/5 f) 7
3 g) -11
2) Completa con los signos <,> o =, según corresponda.
a) -25 __ -20 b) -17 __ 16 c) 1 __ -13 d) |−15| ___ |15|
3) Representa en la recta numérica
a) 0, -2 , 6, 9 , -9 , -1 , 3 , -5 , 4 , -7
Unidad de aprendizaje 2 Operaciones en (Z) ______________________
ADICIÓN EN (Z)
Para sumar números enteros se deben considerar los signos, si son iguales se suman sus
valores absolutos y se colocan los mismos signos, y si los signos son diferentes se restan y se
coloca el signo del sumando que tiene mayor valor absoluto.
Ejemplo: a) (+3) + (+2) = 5 b) (+15) + (-6) = (+9) c) (-3) + (2) = (-5)
-2- Prof. S i m ó n L y o n
SUSTRACCIÓN EN (Z)
Para restar dos números enteros se le suma al primero el opuesto del segundo. Ejemplo
MULTIPLICACIÓN EN (Z)
Si dos números enteros tienen igual signo el producto será un entero positivo
Si dos enteros tienen diferentes signos su producto será un entero negativo
DIVISIÓN EN (Z) Para dividir dos números enteros se dividen sus valores absolutos y el cociente será positivo si tienen signo igual y negativo si los signos son diferentes.
POTENCIACIÓN EN (Z)
Una potencia es un producto de factores iguales.
Si la base es positiva, el resultado es positivo
Si la base es negativa, el resultado es negativo si el exponente es impar y es positivo si el
exponente es par. Ejemplo:
a) b)
II ACTIVIDAD 1) Efectúa las siguientes operaciones
a) 650 + (-558) = b) 822 – (+13) = c) (-100) . (-105)= d) (-880) ÷ 55 =
e) (-373) + ( -39) = f) (-75) – (-25) = g) (-1) . 990 =
2) calcula cada potencia
a) (-2)3 b) 45 = c) (-2)4 d) (-5) 2 e) (-1)51 f) (75) 0
-3- Prof. S i m ó n L y o n
3) ¿Qué signo tiene el producto de cinco enteros negativos? ¿ Y de ocho enteros
negativos?
4) Resuelve las operaciones y completa la tabla.
A B C A . |𝐵 − 𝐶| |𝐴| . |𝐵 + 𝐶| |𝐴 + 𝐵 | . C (B.C) ÷ 2
2 5 4
-2 -4 -3
Unidad de aprendizaje 3 Propiedades de la adición en (z) __________
Conmutativa: si a y b son números enteros entonces : a + b = b + a
Asociativa: si a y b son números enteros entonces: (a + b) +c = a + ( b + c) esta
propiedad permite efectuar la suma de varios sumandos
Elemento neutro: todo número entero sumado con cero es igual al mismo número.
Elemento opuesto: si es un numero entero el opuesto de a es (-a) esto implica que la
suma de un numero entero mas su opuesto es igual a cero a + (-a) = 0
Ejemplo
Aplicación de las propiedades de adición en z: para efectuar las adiciones de varios
sumandos enteros se pueden efectuar las sumas en el orden dado aplicando la propiedad
asociativa. Por ejemplo = (-24) + 8 +3 + (-18) + ( -6) + 10
= [(-24) + 8] +3 + (-18) + ( -6) + 10
=[-16+3 ] + (-18) + ( -6) + 10
=[-13 + (-18)] + ( -6) + 10
=[-31+ ( -6)] + 10 = -37 + 10 = -27
Unidad de aprendizaje 4 Propiedades de la multiplicación en (Z)___________
Conmutativa: sean a y b números enteros, se cumple: a . b = b . a Asociativa: si a, b y c son números enteros, entonces: a . (b . c) = ( a . b) . c Elemento neutro: el número 1 es el elemento neutro para la multiplicación. 1 . a = a Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición: si a, b y c son
números enteros, entonces: a .(b + c) = a . b + a . c
-4- Prof. S i m ó n L y o n
Ejemplo
Unidad de aprendizaje 5 propiedades de la potenciación en (z) _____
OPERACIONES COMBINADAS CON POTENCIAS EN NÚMEROS ENTEROS (Z)
Para simplificar operaciones combinadas con potencias en los números enteros, es
recomendable ir eliminando elementos semejantes, corchetes y llaves; aplicando definición de
potencia, propiedades de las potencias y operaciones con números enteros.
EJEMPLO
Eliminemos el corchete interno, aplicando potencia de un producto.
Simplifiquemos potencias de igual base:
Cambiemos el signo a (-2) en el denominador, ya que está elevado a una potencia par:
-5-
Simplifiquemos potencias en el numerador y denominador,
aplicando división de potencias de igual base con cada elemento semejante.
Eliminemos corchete, aplicando potencia de una potencia a cada elemento.
III ACTIVIDAD
1) Escribe en el lugar de cada casilla el número correspondiente para que se cumpla cada
igualdad.
A) 25 + __ = 0 B) __ + (-34) = (-34) C) 508 + (-51) = -51 + ___
D) 8 + 6 + (-1) = (-1) + ___ + 6 E) -29 + 29 = ____
2) Escribe cada operación como adición y aplica la propiedad conmutativa para resolverla
A) 500 – 670 = b) -213 – 704 = c) 811 - ( -92) =
3) Calcula aplicando las propiedad de la adición en Z
a) (-2) + 0 + (-10) + (-8) + 4 +1 + 25 + (-2) =
4) Efectúa los siguientes productos aplicando las propiedades
A) (-11) . (-10) . 8 = b) 5 . (-3) . (-15) (-1) = c) (-251) . 1 =
5) Expresa cada operación como una potencia
a) (-5)4 . (-5)3 . (-5)0 . (-5)2 . (-5) b) 511
59 = c) (155)2 d) 20101
20100
b) m4 . m6 m10 .m-3
6) Calcula la siguiente expresión
A) (−2)3 . 32. [(−2). 3 ]2
(−2 .3)3 . 1
Unidad de aprendizaje 6 Ecuaciones en Z _______________________
Una ecuación es una igualdad que se cumple para ciertos valores de la incógnita. La solución
es hallar el valor de la incógnita para los cuales se cumple la igualdad. Ejemplo:
a) b)
IV ACTIVIDAD
1) Resuelve las siguientes ecuaciones
-6- Prof. S i m ó n L y o n
2) Problemas
A) Un pulpo se encuentra dos metros debajo del mar y baja 5 metros más. ¿a qué
profundidad se encuentra?
B) Un tipo de bacteria se reproduce de tal forma que cada hora hay diez veces más
baterías que la hora anterior, si se parte de uno sola bacteria: ¿Cuántas habrá dentro
de una hora?, si en un determinado momento hay 10 millones de bacterias, ¿Cuántas
habrá la hora anterior?, ¿Cuántas horas son necesarias para que haya un millón de
bacterias?
C) La suma de un número y su doble es 69. ¿Cuál es ese número?
Unidad de aprendizaje 7 números racionales _________________ Los números racionales representan al
conjunto de los naturales, enteros y las fracciones.
OPERACIONES EN Q
Adición y sustracción de racionales con iguales denominadores: se suman o restan los
numeradores según sea el caso y se coloca el mismo denominador.
Adición y sustracción de racionales con distintos denominadores: se reducen las
fracciones a común denominador y luego se suman o se restan los numeradores, según sea el
caso y se deja el mismo denominador.
Multiplicación de números racionales: se multiplican numeradores y denominadores entre
sí. Ejemplo
-7- Prof. S i m ó n L y o n
División de números racionales: se multiplica la primera fracción por la inversa de la
segunda, ejemplos.
a) b) c)
Potenciación en q con exponente natural: se multiplica numerador y denominador tantas
veces como indique el exponente.
Ejemplo
V ACTIVIDAD
1) Efectúa y simplifica
a) 18
25 +
7
25 = c)
6
7 .
5
3 = e)
−26
7 ÷ (-9)= g)
9
8 -
3
6 i) 5 . (−
4
5 )
b) 3
5 +
1
2 -
8
3 -
4
5 = d) (-
1
3 ) 3 = f) (
11
8 )2 = h)
13
45
16
j) ( 5 - 3
7) . ( 2 +
1
4 )
2) Ana resolvió 12
21 de los problemas de matemática y Ángel resolvió
2
7 de los problemas
restantes. ¿Qué parte de los problemas quedaron sin resolver?
PROPIEDADES DE ADICION EN Q
Conmutativa: 𝟑
𝟕 +
𝟑
𝟐 =
𝟑
𝟕 +
𝟑
𝟐
27
14 =
27
14
Asociativa:
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN EN Q
Conmutativa: 𝟓
𝟕 .
𝟑
𝟐 =
𝟓
𝟕 .
𝟑
𝟐
15
14 =
15
14
Asociativa:
Propiedad distributiva:
-8- Prof. S i m ó n L y o n
PROPIEDADES DE LA POTENCIACION EN Q
Multiplicación de potencias de igual base
División de potencias de igual base
Potencia de una potencia
Potencia de un producto
VI ACTIVIDAD
1) Resuelve aplicando la propiedad correspondiente
a) 1
2 . (−
3
5) = c) (
7
4 +
3
5 ) +
2
3 = e) (
2
3 )3 . (
2
3 ) . (
2
3 )2 = g)
5
3 . [(−
1
3 ) .
7
3 ] =
b) 2
3 . (
9
4 +
15
8 ) d) (
1
3 )4 ÷ (
1
3 )3 = f) [ (
7
12) 0 ]12 h)
1
9 . (-3 +
2
5)
2) Aplica la propiedad conveniente
a) En un supermercado se venden 200
3 Kg de papas,
63
10 Kg de arroz y
520
6 Kg de azúcar.
¿Cuántos kilos se vendieron entre los tres productos?
Unidad de aprendizaje 8 Funciones __________________
Relación entre conjuntos: una relación entre dos conjuntos A y B se puede establecer como un
conjunto de pares ordenados cuyas primeras componentes están en A y sus segundas
componentes es tan en B.
Par ordenado: es un conjunto formado por dos elementos colocados en orden.
Un par ordenado se representa colocando los dos elementos dentro de paréntesis
separados por una coma.
Ejemplo; (a,1) ; (a,4) ; (b,2) ; (c,3)
Nota: En una relación A en B, el conjunto A se llama conjunto
de partida y el conjunto B se llama codominio o conjunto de llegada
DIAGRAMA SAGITAL
Es un diagrama que representa una relación mediante flechas.
El diagrama contiene dos conjuntos encerrados mediante óvalos, conjunto
de partida y de llegada
-9- Prof. S i m ó n L y o n
EJEMPLO
Dados los conjuntos A=(4,5,6,7) Y B=(2,4,6,8) y la relación R: ”es mayor que”
Hallar: a) conjunto de pares ordenados b) diagrama sagital
Pares ordenados:
(4,2); (5,2) ;(5,4);(6,2);(6,4) ;(7,2);(7,4);(7,6)
DIAGRAMA SAGITAL
Función: es una relación que cumple con dos condiciones:
Todos los elementos del conjunto de partida están relacionados
Cada elemento del conjunto de partida solo, tiene relación con un elemento del
conjunto de llegada
Ejemplos:
Diferencia entre relación y función
Es función porque todos los elementos del
conjunto de partida están
relacionados una sola vez,
Es función porque todos los elementos del
conjunto de partida están
relaciona
dos una sola vez
Es función porque todos los elementos del
conjunto de partida están
relacionados una sola vez
No es función porque, el elemento a del
conjunto de partida está relacionado dos
veces.
dos una sola vez
Es función porque todos los elementos del
conjunto de partida están
relacionados una sola vez
No es función porque, el elemento b del
conjunto de partida no está relacionado.
Dominio: son los elementos del
conjunto de partida. Dom f.
Rango: son los elementos del
conjunto de partida que están
relacionados. Rg f
Nota: toda función es una
relación, pero toda
relación no es función
A B
1
2
3
4
1
3
5
7
9
f
f(x)= 2x – 1
f(1)= 2(1) – 1 = 1
f(2)= 2(2) – 1 = 3
f(3)= 2(3) – 1=5
f(4)= 2(4) – 1 = 7
-10- Prof. S i m ó n L y o n
Función numérica
Cuando una función está dada por una fórmula matemática y se desea hallar la imagen de
cualquier elemento del dominio, bastara sustituir la variable independiente por dicho elemento, y
efectuar las operaciones indicadas.
EJEMPLO
Dados los conjuntos A=(1,2,3,4) Y B=(1,3,5,7) y la si se define f: A -> B de la siguiente manera:
f(x)= 2x – 1, Hallar: dominio, rango, diagrama sagital y pares ordenados.
Diagrama sagital
Dominio: {1,2,3,4}
Rango: {1.3.5.7}
Pares ordenados; (1,1); (2,3) ;(3,5);(4,7)
Clasificación de las funciones
Función inyectiva: La función f es inyectiva si cada elemento del conjunto de llegada Y
tiene un único elemento del conjunto de partida X al que le corresponde. Es decir, no
pueden haber más de un valor de X que tenga la misma imagen Y.
Ejemplo
Función sobreyectiva: Una función f es sobreyectiva si todo elemento del conjunto de
llegada Y tiene al menos un elemento del conjunto de partida X al que le corresponde.
Ejemplo:
Función biyectiva: Una función f es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva.
-11- Prof. S i m ó n L y o n
Ejemplo:
VII ACTIVIDAD
1) Observa los siguientes diagramas e indica si son función y explica, por qué.
2) Halla una relación en la que cada elemento del primer conjunto esté relacionado con su
doble en el segundo conjunto.
3) Realiza un diagrama sagital en el que se establezca la relación entre 5 estados y sus
capitales.
4) Dados los conjuntos A=(1,2,3,4,5) y la si se define f: A -> B de la siguiente manera:
f(x)= x + 1, Hallar: Conjunto B. dominio, rango, diagrama sagital y pares ordenados
5) Dados los conjuntos C=(5.6.7.8) y la si se define f: C -> D de la siguiente manera:
f(x)= 2x - 1, Hallar: Conjunto D. dominio, rango, diagrama sagital y pares ordenados
6) Dados los conjuntos A y B si f define una función de A en B, ¿Cuál es la fórmula que
representa esta funcion?
7) Determina la clasificación de las siguientes funciones
a) f(x) = x + 2 b) f(x) = x2
c) d) e)
A B
1
2
3
4
2
4
6
8
f