Gestión deInvestigación de
Operaciones
Profesor: Pedro Peña CarterIngeniero Comercial UTFSM
MBA IEDE ESPAÑA
Departamento de Industrias Universidad Técnica Federico Santa Maria
Sensibilidad
Una vez graficada una región de puntos factibles,
determinada por un conjunto de restricciones,
podríamos variar o modificar los costos reducidos
(Ganancias o costos), asociados a las variables
en la función objetivo. Esto necesariamente, nosen la función objetivo. Esto necesariamente, nos
mostrará como cambian los puntos óptimos en
función de cuando se modifican los precios,
utilidades y costos en la función objetivo.
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SensibilidadMáx Z = C1X1 + X2
s.a -X1 + 2X2 ≤ 6X2 ≤ 4
X1 ≥ 0; X2 ≥ 0
Supongamos que tenemos elsiguiente modelo
Queremos, determinar para qué valores de C el siguiente modelo de
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Queremos, determinar para qué valores de C1 el siguiente modelo de
Programación Lineal:
a) No tiene solución óptima.
b) Posee una única solución óptima.
c) Posee infinitas soluciones
Sensibilidad
3
4
56
78
(1)
C1 = 1
C1 = 10e6No hay solución
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En la medida que voy aumentando el valor de C1 ≥ 0, la pendiente va volviéndose
cada vez más negativa empujando la función objetivo hacia un problema
no acotado.
1 2 3 4 5 6 7 8
123
(2)
-1-6 -5 -4 -3 -2
C1 = 0
Sensibilidad
4
56
78
(1)C1> -1/2
Única solución
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Cuando -1/2 < C1 < 0, es claro que el punto óptimo es la intersección
de las rectas (1) y (2), Es decir: X = 2 e Y = 4.
1 2 3 4 5 6 7 8
123
4
(2)
-1-6 -5 -4 -3 -2
C1 ≤ 0
C1 = -1/3
Sensibilidad
4
56
78
(1)C1 < -1/2
Única solución
Departamento de Industrias Universidad Técnica Federico Santa Maria
1 2 3 4 5 6 7 8
123
4
(2)
-1-6 -5 -4 -3 -2
Cuando C1 < -1/2, es claro que el punto óptimo es la intersección
de las rectas (1) y con el eje Y, Es decir: X = 0 e Y = 3.
Sensibilidad
4
56
78
(1)
∞ solución
A
B C
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1 2 3 4 5 6 7 8
123
4
(2)
-1-6 -5 -4 -3 -2
Mención aparte merecen los valores:
C1 = -1/2, en este caso hay infinitas soluciones entre A y B.
C1 = 0, en este caso hay infinitas soluciones entre B y C.
A
Sensibilidad de CR
Utilizando un ejercicio ya resuelto,
realizaremos un análisis de cuanto pueden
variar los costos reducidos (Precios o
costos) de manera que la actual solución
óptima permanezca y sobre que rangos la
función objetivo determina óptimos distintos
modificando la perspectiva del ejercicio.
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Sensibilidad de CRSillas y Mesas
3.5
4
Óptimo4.5
Máx Z = 15X + 20Ys.a
1X + 2Y ≤ 62X + 2Y ≤ 8
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0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
(1)(2)
4.5 5 5.5 6
2X + 2Y ≤ 8X ≥ 0 ; Y ≥ 0
Sensibilidad de CRSillas y Mesas Determinar: ¿Cuanto
puede variar el precio delas sillas, manteniendo
constante el de las mesasde forma que la actual
solución óptimapermanezca?3.5
4
Óptimo4.5
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permanezca?
Máx Z = C1X + 20Y
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
(1)(2)
4.5 5 5.5 6
Sensibilidad de CRSillas y Mesas
XCZ
Y2020
1
Despejando Y, para determinar lapendiente de la recta:
Sabemos que:
4
Óptimo4.5
201C
X
Ym
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Es decir permanece fijo el valorasociado a X y varia el valorasociado a Y.
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
(1)(2)
4.5 5 5.5 6
20Xm
Sensibilidad de CR
3
3.5
4
Óptimo
4.5
En este casocambia el puntoóptimo, de esta
maneradeterminamos que
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0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0.5
1
1.5
2
2.5
3
(1)(2)
4.5 5 5.5 6
m < ½, pendiente
menor que la recta (1)
determinamos queno puede ser
menor que ½, lapendiente.
Sensibilidad de CR
3
3.5
4
4.5
En este casocambia el puntoóptimo, de esta
maneradeterminamos que
no puede sermayor que 1, la
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0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0.5
1
1.5
2
2.5
3
(1)(2)
Óptimo
4.5 5 5.5 6
m> 1, pendiente
mayor que la recta (2)
mayor que 1, lapendiente.
Sensibilidad de CR
3
3.5
4
4.5
m= 1/2, pendiente
igual que la recta (1)
En este caso esindiferente, ya que sila FO tiene la misma
pendiente que la recta(1) o (2), cualquier
punto sobre esa rectarespectivamente es
óptimo y podría
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0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0.5
1
1.5
2
2.5
3
(1)(2)
Óptimo
4.5 5 5.5 6
óptimo y podríapermanecer el que ya
teníamosoriginalmente.
m= 1, pendiente
igual que la recta (2)
Sensibilidad de CR
1202
1 1 C
En conclusión, para que el óptimo
permanezca la pendiente de la función
objetivo, Z = C1X + 20Y, es decir
m=C1/20, deberá estar entre ½ y 1.
3.5
4
Óptimo4.5
)20(/1202
1 1 xC
202
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Esto significa que mientras el precio
de las sillas este por sobre 10 y bajo
20, la solución óptima seguirá siendo
(2,2), lo que efectivamente cambiará
será el valor de la función objetivo.
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
(1)(2)
4.5 5 5.5 6
202
2010 1 C
Sensibilidad de CR
XCC
ZY
22
15
El análisis para una variación de el precio de las mesas manteniendo
constante el de las sillas, cambia la pendiente, pero las pendientes dadas
por las restricciones seguirán siendo las mismas, es decir, debe estar
entre ½ y 1.
Máx Z = 15X + C2Y
)15(/115
2 2 xC
115
2
1
2
C
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Esto significa que mientras el precio de las mesas este por sobre 15 y
bajo 30, la solución óptima seguirá siendo (2,2), lo que efectivamente
cambiará será el valor de la función objetivo.
3015
1530
2
2
C
C
Sensibilidad Recursos
En el ejemplo anterior estudiamos el caso de
variación de los precios asociados a la
función objetivo. En adelante, analizaremos
la posibilidad de la variación de la
disponibilidad de los recursos, asumiendo
como constante los precios.
Departamento de Industrias Universidad Técnica Federico Santa Maria
Sensibilidad RecursosSupongamos en el mismo ejercicio anterior, que
varia la cantidad de horas disponibles de mano de
obra de 6H-H a 8H-H, esto necesariamente
impactará sobre los valores óptimos, base óptima
y valor objetivo.
Algunas Definiciones:
Base óptima: Las variables que son solución del problema
original.
Valores óptimos: Numero asociado a las variables del
problema original.
Valor Objetivo: Valor, una vez reemplazados los valores
óptimos en la función objetivo.
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Sensibilidad RecursosCabe destacar, un concepto fundamental en la variación de
los recursos y dicha definición dice relación con si una recta
(Restricción) esta activa o no. Para efectos de este curso,
entenderemos que una recta (Restricción) esta activa, ssi:
Se ocupa todo el recurso de una restricción.Se ocupa todo el recurso de una restricción.
o
La recta (Restricción) pasa por el punto óptimo.
En caso contrario se dice que la recta (Restricción) esta
desactivada
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Sensibilidad RecursosPara analizar el impacto de un recurso sobre la base
óptima, los valores óptimos y el valor objetivo definiremos
una variable, a la cual llamaremos: “Precio Sombra”
Precio Sombra (πi) = Es la cantidad adicional que sei
ganaría o costaría, una unidad adicional del recurso i
(Restricción i) o lo que estaría dispuesto a pagar por una
unidad adicional del recurso i (Restricción i).
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Sensibilidad Recursos
Se dice que cuando una restricción esta activa, su
precio sombra es igual a un numero real
distinto de cero. Esto tiene mucho sentido en
relación que, si ocupa todo un recurso, se entiende
valioso dicho recurso para el modelo.
En cambio, cuando la restricción no esta activa,
es decir hay recurso no utilizado, el precio sombra
asociado a dicho recursos será cero. Es decir,
como no ocupa todo el recurso, aumentar más ese
recurso, no tiene ningún impacto en el valor objetivo.
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Sensibilidad Recursos
Tomaremos como referente el ejercicio de las
Sillas y Mesas.
Óptimo4.5
Como estamos incrementando el recurso
asociado a la mano de obra debemos
trabajar sobre esa recta. El concepto es
que en el punto óptimo están ambas
Departamento de Industrias Universidad Técnica Federico Santa Maria
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
(1)(2)
4.5
4.5 5 5.5 6
rectas activas. Por lo tanto para saber
cuanto puedo incrementar un recurso
debo desplazar dicha recta (Mano de
obra), lo más afuera posible de manera
que ambas rectas siguen estando activas,
equivalente para una disminución.
Sensibilidad Recursos
Tomaremos como referente el ejercicio de las
Sillas y Mesas.
Máx Variación: X = 0 e Y = 4
B1 = (0)+(2x4)= 8
Esto significa que lo más que puede
Óptimo4.5
Recta : X + 2Y = B1
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Esto significa que lo más que puede
aumentar la mano de obra es 2 (8-6).
Z(0,4) = (15x0)+(20x4) = 80
Mín Variación: X = 4 e Y = 0
B*1 = (4)+(0x4)= 4
Esto significa que lo más que puedeDisminuir la mano de obra es 2 (6-4).Z(4,0) = (15x4)+(20x0) = 60
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
(1)(2)
4.5
4.5 5 5.5 6
Sensibilidad Recursos
Tomaremos como referente el ejercicio de las Sillas y
Mesas.
Finalmente el precio sombra
asociado a la mano de obra será:Óptimo4.5
Recta : X + 2Y = B1
Departamento de Industrias Universidad Técnica Federico Santa Maria
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
(1)(2)
4.5
4.5 5 5.5 6
54
20
48
6080
)()(
1
*11
1
BB
MinVarZMáxVarZ
Sensibilidad Recursos
Este π1 = 5, significa que por cada hora adicional de mano de
obra, el valor objetivo se incrementará en USD 5.
Visto de otra forma: USD 5 es lo más que estaría dispuesto a
pagar por una hora adicional de mano de obra.
Finalenmente:W: Incremento /Disminución
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Finalenmente:
ZN = ZA + π1 x w
ZN = USD 70 + (USD5 x 2)
ZN = USD 80
W: Incremento /Disminución
de recurso en la unidad que se
mide dicho recurso.
ZN: Valor objetivo nuevo.
ZA: Valor objetivo Antiguo.
Sensibilidad Recursos
Algunas consideraciones:
No se puede aumentar un recurso infinitamente y
asumir que el precio sombra seguirá siendo el mismo,
en la medida que se incrementa el recurso el precio
sombra ira acercándose a cero, hasta que un
incremento adicional no provoque ningún impacto en
el valor objetivo.
Por ejemplo en el ejercicio anterior lo más que puedo
incrementar la mano de obra son 2 Horas y disminuir 2
horas igualemente.
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EJERCICIOS DE CARTERAS
3
3.5
4
Óptimo4.5
(4)
Máx Z = 40X + 50Ys.a(1) 1X + 1Y ≤ 460(2) 2X + 2Y ≤ 640
Departamento de Industrias Universidad Técnica Federico Santa Maria
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0.5
1
1.5
2
2.5
3
(1)
(2)
4.5 5 5.5 6
(3)
(2) 2X + 2Y ≤ 640(3) Y = 120(4) X ≥ 150
X ≥ 0 ; Y ≥ 0
EJERCICIOS DE CARTERAS
3
3.5
4
4.5
(4)
Determinar: ¿Cuanto puede variar el
precio de las Carteras normales,
manteniendo constante el de las
juveniles de forma que la actual
solución óptima permanezca?
Departamento de Industrias Universidad Técnica Federico Santa Maria
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0.5
1
1.5
2
2.5
3
(1)
(2)
4.5 5 5.5 6
(3)
Máx Z = C1X + 50Y
50
0 1C)50(/
500 1 x
C
10 C
EJERCICIOS DE CARTERAS
(1) 1X + 1Y ≤ 460 ; 200 + 120 = 460 NO , por lo tanto esta Inactiva π1 = 0.
(2) 2X + 2Y ≤ 640 ; 400 + 240 = 640 OK , por lo tanto esta activa π ≠ 0.
Sabemos que el punto óptimo es (200,120), revisemos
cuales restricciones se cumplen y cuales no.
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(2) 2X + 2Y ≤ 640 ; 400 + 240 = 640 OK , por lo tanto esta activa π2 ≠ 0.
(3) Y = 120 ; 120 = 120 OK , por lo tanto esta activa π3 ≠ 0.
(4) X ≥ 150 ; 150 = 150 NO , por lo tanto esta inactiva π4 = 0.
EJERCICIOS DE CARTERASDetermine cuanto es el impacto
sobre el valor objetivo en términos
de ganancias, aumentar la mano de
obra en 60 horas – hombres.
3
3.5
4
4.5
(4)
Máx Var
Máx Variación: X = 340 e Y = 120
B2 = (2x340)+(2x120)= 920
Esto significa que lo más que puede aumentar
Departamento de Industrias Universidad Técnica Federico Santa Maria
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0.5
1
1.5
2
2.5
3
(1)
(2)
4.5 5 5.5 6
(3)
Máx Var
Mín Var
Esto significa que lo más que puede aumentar
la mano de obra es 280 (920-640).
Z(340,120) = (40x340)+(50x120)= 19.600
Mín Variación: X = 150 e Y = 120
B*2 = (2x150)+(2x120)= 540
Esto significa que lo más que puede Disminuirla mano de obra es 100 (640-540).Z(150,120) = (40x150)+(50x120) = 12.000
EJERCICIOS DE CARTERAS
3
3.5
4
4.5
(4)
Máx Var
Finalmente el precio sombra
asociado a la mano de obra será:
Recta : 2X + 2Y = B2
20380
600.7
540920
000.12600.19
)()(
2
*22
2
BB
MinVarZMáxVarZ
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0.5
1
1.5
2
2.5
3
(1)
(2)
4.5 5 5.5 6
(3)
Máx Var
Mín Var
20380540920
2
Este π2 = 20, significa que por cada hora
adicional de mano de obra, el valor
objetivo se incrementará en USD 20. Como
en este caso se aumenta las horas en 60.
ZN = ZA + π2 x w
ZN = 14.000 + (20 x 60)
ZN = 14.000 + 1200 = 15.200
EJERCICIOS DE CARTERAS
Adicionalmente si tuviésemos la posibilidad de tener más
capacidad ociosa, ¿Cuánto es lo más que podríamos ganar?
ZN = ZA + π2 x w
ZN = 14.000 + (20 x 280)
ZN = 14.000 + 5.600 = 19.600
¿Determine cuanto es el impacto sobre el valor objetivo en
términos de ganancias, aumentar la capacidad de producción
conjunta de ambas carteras de 460 a 500?.
En este caso como la recta 1 no esta activa, π1 = 0.
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