SUCESIONES
Se llama sucesión a un conjunto de números dados ordenadamente de modo que se
puedan numerar: primero (a1), segundo (a2), tercero(a3), etc…
,...17,13,9,5,1
,...64,32,16,8,4,2
,...a,a,a,a
,...,27,9,31
4321
Los elementos de una sucesión se llaman términos y se suelen designar mediante una
letra con un subíndice a1. El subíndice de cada elemento indica el lugar que ocupa en la
sucesión: a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , …. an
SUCESIONES
Término general de una sucesión
Se llama término general de una sucesión, a, y se representa como an, a la expresión
que representa un término cualquiera de esta.
50n220an
Hay sucesiones cuyo término general puede
expresarse mediante una fórmula, an =f(n),
en la cual, dando a n un cierto valor, se
obtiene el término correspondiente a la
posición que indica ese valor (ver tabla de la
izquierda).
20450220a
70350220a
120250220a
170150220a
4
3
2
1
EJEMPLOS SUCESIÓN A PARTIR DEL TÉRMINO GENERAL
...
53352a
35342a
21332a
11322a
5312a
32na
2
5
2
4
2
3
2
2
2
1
2n
...
12342)(515b
6232)(414b
2122)(313b
0012)(212b
0102)(111b
2n1nb
5
4
3
2
1
n
Para obtener cada uno de los términos, se sustituye la n por el valor correspondiente a
la posición del término, es decir, en a5 se sustituye n por 5
SUCESIONES
Sucesión recurrente
Las sucesiones cuyos términos se obtienen a partir de los anteriores se dice que
están dadas en forma recurrente.
,...13,8,5,3,2,1,1
Famosa Sucesión de Fibonacci, donde se obtiene cada término
de la suma de los dos anteriores y por lo tanto su expresión seria.
2n1nn fff
1223133 fffff
EJEMPLOS SUCESIÓN RECURRENTE
...
10122243112t3t2t3t2t
11381342t3t2t3t2t
4622312t3t2t3t2t
1341322t3t2t3t2t
t3t2t
4526166
3425155
2324144
1223133
2n1nn
En este tipo de sucesión, al comenzar recurriendo a los
anteriores debemos conocer de antemano dichos términos,
en este caso n-1 y n-2, es decir los dos anteriores.
11 t
22 t
EJEMPLOS SUCESIÓN RECURRENTE
...
11-0fffff
011fffff
101fffff
fff
3425155
2324144
1223133
2n1nn
En este tipo de sucesión, al comenzar recurriendo a los
anteriores debemos conocer de antemano dichos términos,
en este caso n-1 y n-2, es decir los dos anteriores.
0f1
1f2
SUCESIONES – PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Una progresión aritmética es una sucesión en la que para pasar de un término al
siguiente se suma una cantidad fija y siempre la misma (positiva o negativa) a la que se
denomina diferencia d de la progresión
,...17,14,11,8,5,2
diferencia
3 3
El término general de una progresión aritmética, conociendo el primer término a1 y la
diferencia d, viene dado por la siguiente expresión:
d1naa 1n
Ya que para obtener el término an tenemos que sumarle (n-1) veces a a1 (primer
término) la diferencia d.
d1naa 1n
Ejemplo:
,...17,14,11,8,5,2
3 3
1a 3a 4a 5a 6a2a
Es decir, para obtener el término a6=17 debemos sumarle a a1=2 la diferencia +3 un
número de veces (n-1=6-1=5), es decir cinco veces.
17532
EJEMPLOS OBTENCIÓN TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Ejemplo 01 ,...22,17,12,7,2na
51n2a5d
2ad1naa n
1
1n
35n55n2a51n2a n
resolvemos
n
2235535na 5
ejemplo
n a
Obtenemos la siguiente expresión con la que podemos calcular cualquiera de los
términos de la sucesión
Ejemplo 02 ,...5,3,1,1,3,5,7,9 nb
21n9b2d
9bd1nbb n
1
1n
2n1122n9b21n9b n
resolvemos
n
314117211211b 7
ejemplo
n bn
Obtenemos la siguiente expresión con la que podemos calcular cualquiera de los
términos de la sucesión
Desde muy pequeño Gauss mostró su talento para los
números y para el lenguaje. Aprendió a leer solo, y sin que
nadie lo ayudara aprendió muy rápido la aritmética desde
muy pequeño.
En 1784 a los siete años de edad ingresó en la escuela
primaria de Brunswick donde daba clases un profesor
llamado Büttner. Se cuenta la anécdota de que a los dos
años de estar en la escuela durante la clase de Aritmética el
profesor propuso el problema de sumar los números de una
progresión aritmética.Gauss halló la respuesta correcta casi
inmediatamente diciendo «Ligget se'» (ya está). Al acabar la
hora se comprobaron las soluciones y se vio que la solución
de Gauss era correcta mientras muchas de las de sus
compañeros no.
ANÉCDOTA DE GAUSS
“…Tenía Gauss 10 años cuando un día en la escuela el profesor manda sumar los
cien primeros números naturales. El maestro quería unos minutos de tranquilidad…
pero transcurridos pocos segundos Gauss levanta la mano y dice tener la solución:
los cien primeros números naturales suman 5.050. Y efectivamente es así. ¿Cómo
lo hizo Gauss? Pues mentalmente se dio cuenta de que la suma del primer término
con el último, la del segundo con el penúltimo, etc., era constante:
1011011011011011011011011011012
12345...979899100
10099989796...4321
n
n
n
S
S
S
50502
1001011001012
nn SS
La suma de la sucesión de los cien números naturales con la misma sucesión
invertida da 101 cada término, es decir, sumaríamos 100 veces 101.
SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA
nn-nn ,a,a,...,a,a,a,aaa 124321
Entonces obtenemos la siguiente expresión general para la suma de los términos
de una progresión aritmética.
nnn
nnnn
nnnnn
aaaaS
aaaaaaaS
aaaaaaaS
11
123421
123321
()()()()()()2
...
...
22 1
1
naaSnaaS n
nnn
Ejemplo 03: Calcula el término general de la siguiente sucesión, el término 7 y la suma
de los 12 primeros términos
,...220,200,180,160,140,120nc
201n801c20d
801cd1ncc n
1
1n
nn 201602020180c201n801c nn
300140160720160c7 n20160cn
Obtenemos el término general de la sucesión y con este obtenemos el término 7, es
decir b7.
2400
2
10360120
2
1010110
ccS
2
10
2
10110
1
ccS
nccS n
n
Para obtener la suma de los 10 primeros términos, sustituimos n en la fórmula de la
suma de los términos de una sucesión aritmética
No tenemos el término 10, por lo que lo tenemos que calcular…
3602001601020160c10
Entonces…
SUCESIONES – PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Una progresión geométrica es una sucesión en la que para pasar de un término al
siguiente se multiplica una cantidad fija y siempre la misma a la que se denomina razón
r de la progresión
243,81,27,9,3,1
razón
3x 3x
El término general de una progresión geométrica, conociendo el primer término a1 y la
razón r, viene dado por la siguiente expresión:
1-n1n raa
Ya que para obtener el término an tenemos que multiplicar el primer término a1 por la
razón r un numero de veces igual a n-1.
Ejemplo:
,...30000,3000,300,30,3
10x 10x
1a 3a 4a 5a2a
Es decir, para obtener el término a5=30000 debemos multiplicar a1=3 por la razón r=10
un número de veces (n-1=5-1=4), es decir cinco veces.
30000103103 415
1-n1n raa
EJEMPLOS OBTENCIÓN TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Ejemplo 04 ,...96,48,24,12,6,3 na
1
n
111n 23a
2
3aaa
nn
rr
48232323a415
5
ejemplo1
n
an
Obtenemos la siguiente expresión con la que podemos calcular cualquiera de los
términos de la sucesión
EJEMPLOS OBTENCIÓN TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Ejemplo 05
1
n
111n 5,080b
5,0
08bbb
nn
rr
5,25,0805,0805,080b516
6
ejemplo1
n
bn
Obtenemos la siguiente expresión con la que podemos calcular cualquiera de los
términos de la sucesión
5,2;5;10;20;40;80
5,0x 5,0x
Dividir entre 2 es igual
a multiplicar por 0,5
5,02
1
SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA
La suma de una progresión geométrica es.
raaSrS
aaaaaaS
raaaaaarS
nnn
nnnn
nnnnn
1
12321
1232
...
...
nnnn aaaaaaS 12321 ...
raaaaaaa
rararararararS
nnnn
nnnn
12432
12321
...
...
Si multiplicamos dicha suma de la sucesión por r nos queda…
Ahora restamos ambas sucesiones…
Es por lo que, podemos deducir que la suma de los n primeros términos de una
progresión geométrica de razón r es:
nnnn aaaaaaS 12321 ...
11 1 ararSaraSrS nnnnn
1111.
11 111.
1 araarrarSararS nnn
raa
nn
nn
1
111 1
1111
r
raSraararS
n
nnn
n
Tras las anteriores operaciones obtenemos…
Ejemplo 06: Calcula el término general de la siguiente sucesión, el término 10 y la
suma de los 10 primeros términos
,...6250,1250,250,50,10,2ne
1
n
111n 52e
5
2eee
nn
rr
3906250525252e 9110
10
1
n
en
Obtenemos la siguiente expresión con la que podemos calcular cualquiera de los
términos de la sucesión
Para obtener la suma de los 10 primeros términos, sustituimos n en la fórmula de la
suma de los términos de una sucesión geométrica.
Entonces…
1
1
1
1 101
101
r
reS
r
reS
n
n
2441406
15
152
1
1 10101
10
r
reS
Ejemplo 07: Calcula el término general, el término 7 y la suma de los 10 primeros
términos de las siguiente sucesión geométrica: b1=2 ; r= 3
.
1
n
111n 32b
3
2bbb
nn
rr
39366323232b 9110
10
1
n
bn
Obtenemos la siguiente expresión con la que podemos calcular cualquiera de los
términos de la sucesión
Para obtener la suma de los 10 primeros términos, sustituimos n en la fórmula de la
suma de los términos de una sucesión geométrica.
Entonces…
1
1
1
1 101
101
r
rbS
r
rbS
n
n
59048
13
132
1
1 10101
10
r
rbS
Ejemplo 08: Halla el término general de una progresión aritmética sabiendo que a5=8 y
a11=17. ¿Qué lugar ocupa el término que vale 152?.
dc
d
10cd11171c
4cd15c8cd1ncc
1111
115
1n
2
3
6
9817410 ddd
dd 10174810d17c
4d8c
10dc17
4dc8
1
1
1
1
2682
348
2
31
481
cd
dc
2
312 ncn
13
22152
2
312152152
nncc nn
1011100n1n100
Un vez que obtenemos el término general de la sucesión aritmética, podemos
obtener la posición que ocupa el término 152.