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4 Proporcionalidad
4.1. Razones y medición.
4.2. Proporcionalidad y variación.
4.3 Variación directamente proporcional
4.4 Variación inversamente proporcional
Introducción
La proporcionalidad es uno de los conceptos matemáticos ampliamente difundidos en la
población, esto se debe a que es en buena medida intuitiva y de uso muy común. La
proporcionalidad es un caso particular de las variaciones lineales, el factor constante de
proporcionalidad puede utilizarse para expresar las relaciones entre las magnitudes, y
consiste en la relación que existe entre dos magnitudes, si una de ellas aumenta, el valor
de la otra aumenta (o disminuye) en la misma proporción a la otra. l cociente entre los
valores correspondientes de las dos magnitudes es siempre constante y se dice que a es
directamente proporcional con b si!
a
b=k
"l número k es constante y se le llama razón de proporcionalidad.
#or e$emplo% la receta para preparar & 'ot caes especifica que se necesitan los
siguientes ingredientes!
taza de 'arina
taza de lec'e
* 'uevo
cuc'arada de mantequilla
+onsiderando que cada persona se come 'ot caes, estos ingredientes nos servir-an
para * personas, cómo adaptar la receta para / personas0 1egún los estudios, la
mayor-a de la gente calcular-a las cantidades para una persona (dividiendo entre *) y
luego las multiplicar-a por el número real de personas (diez), otras se dar-an cuenta que
bastar-a con multiplicar los ingredientes que son para dos personas por 2, quedando por
1
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e$emplo 2 tazas de 'arina para diez personas. 1e dice entonces que la cantidad de
ingredientes es proporcional al número de personas.
Razón y mediciones
+uando comparamos dos números reales a y b, siendo b3/ a trav4s de una división y en
cualquiera de sus formas!
a
b ; a ÷ b ; a :b
(se debe leer a es a b)
ntonces se tiene la comparación por cociente de dos magnitudes, llamada razón.
Las cantidades a y b que se comparan tiene que ser de la misma naturaleza, por e$emplo
vamos a suponer que tenemos dos listones, de los cuales uno, el listón A, mide */
cent-metros, mientras que el listón B mide / cent-metros, entonces la razón del listón
A respecto al listón B nos dará una idea de qu4 parte es A respecto a B, 'ablando de
listones en los dos casos.
+ontinuando con el mismo e$emplo de los listones, al 'acer la división tenemos!
Raz ó n de A respectoa B=20
10=2
Lo que indica que la longitud de A es dos veces la longitud de B
5ay que tomar en cuenta que no es lo mismo decir la razón de A respecto a B, que decir
la razón de B con respecto a A, en el segundo caso tendr-amos lo siguiente!
Raz ó n de B respecto a A=10
20=
1
2
Lo que indica que B es1
2 de A, en otras palabras B es la mitad de longitud que ".
$emplos!
2
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. n el salón de ro6 'ay 7/ alumnos, de ellos *2 son mu$eres y 2 son 'ombres,
+uál es la razón de mu$eres a 'ombres0
Raz ó n de mujeres respectoa los hombres=25
15
=5
3
La razón es5
3 es decir, *2 mu$eres son cinco tercios de 2 'ombres en el grupo,
en otras palabras por cada 2 mu$eres 'ay 'ombres
*. La longitud de una varilla es de cent-metros y la razón respecto a otra es de a 2
(!2). +uál es la longitud de la otra varilla0
3
5
=33
x
"l realizar el producto cruzado y despe$ando x%
1e concluye que la longitud de la otra varilla es de 22 cent-metros
. La edad de 8ernando es de * a9os y la de "ntonio es de *7 a9os. +uál es la razón
de edad de 8ernando respecto a la de "ntonio0 Razón de la edad de Fernandorespecto a la de Antonio
21
24=
7
8
La razónes 7
8esdecir , que Fernandotiene
7
8dela edadde Antonio .
3
+omo estamos mencionando que la razón de la
varilla de cent-metros está a razón de5
3
con respecto a otra, entendemos que la varilla más
corta es la de cent-metros, entonces
cent-metros son las tres quintas partes de lo que
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Proporcionalidad y variación.
+uando se comparan por igualdad dos razones se llama proporción, si consideramos los
números a, b, c y d forman una proporción si la razón entre a y b es la misma que entre
c y d , la cual se puede representar de las siguientes formas!
a
b=
c
d ; a :b=c : d ; a :b : : c :d
(se lee a es a b como c es a d ) b 3 / y d 3 /
:na proporción está formada por cuatro números llamados términos: a y d se llaman
extremos y b y c se llaman medios.
n todas las proporciones se cumple la siguiente propiedad fundamental! el producto
de los extremos es iual al producto de los medios.
;e lo anterior podemos concluir que si una proporción es una igualdad entre dos
razones, entonces una proporción se puede convertir en una ecuación al desconocer uno
de los valores, por e$emplo!2
3=6
9
sta proporción se lee! dos es a tres como seis es a nueve.
#odemos comprobar que el producto de *(
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espejando quedar!a x=6 (10)12
=5
l valor de x para que la igualdad se cumpla es 2.
n el caso de que la incógnita se encuentre ubicada en otro lugar, podemos cambiar de
posición el producto de los extremos, por e$emplo!
2
x=
8
12
"ntonces8 x=2(12)
espejando x=2(12)8
=3
$emplo!
1. "ncontrar el #alor de x en32
x =
4
5
"ntonces4 x=5(32)
espejando x=5(32)4
=40
#ara que la igualdad se cumpla x tiene que valer 7/
2. "ncontrar el #alor de x en 3:12= x : 24 "ntonces12 x=3(24)
espejando x=3(24)12
=6
#ara que la igualdad se cumpla x tiene que valer &
3. "ncontrar el #alor de x en 7
15=21
x
"ntonces7 x=15(21)
espejando x=15(21)
7=45
#ara que la igualdad se cumpla x tiene que valer 72
La variación proporcional cuenta con múltiples aplicaciones en diferentes áreas, por
e$emplo en f-sica, se expresa la velocidad de un automóvil como el cociente entre dos
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magnitudes distintas! el espacio recorrido y el tiempo empleado en recorrerlo. +uando
estas magnitudes var-an proporcionalmente, el móvil describe un movimiento uniforme.
>tro e$emplo lo encontramos en el área de qu-mica donde la masa de las sustancias
obtenidas en una reacción siempre es proporcional a la masa de las sustancias que
reaccionan.
n general, cuando deseamos comparar dos magnitudes, establecemos relaciones
matemáticas entre ellas a trav4s de los modelos como el de proporcionalidad, basta con
considerar si es un modelo de proporcionalidad directa o un modelo de proporcionalidad
inversa.
Variación directamente proporcional
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#ara que dos magnitudes sean directamente proporcionales a otras dos, se debe cumplir
que si una de ellas aumenta, el valor de la otra aumenta en la misma proporción a la otra
o viceversa, por e$emplo si un auto gasta en promedio / litros de gasolina por cada */
m. de recorrido, quiere decir que el número de litros consumidos por el auto es
directamente proporcional a los ilómetros recorridos o viceversa (los ilómetros
recorridos es directamente proporcional al número de litros consumidos), a mayor
número de litros consumidos, mayor será la distancia recorrida, o a mayor distancia
recorrida mayor el consumo de litros.
/ litros ? */ m.
*/ litros ? *7/ m.
*2 litros ? // m. . . . .
@omando en cuenta la relación anterior se deduce que si se forman razones con los
valores de ambas magnitudes, la constante de proporcionalidad es siempre la misma,
por tanto es otra forma de ver las magnitudes directamente proporcionales.
La gráfica de dos magnitudes que están en proporción directa, es un con$unto de puntos
que están sobre una recta creciente que pasa por el origen del sistema de coordenadas.
"nalizando el gráfico se visualiza que si una magnitud aumenta, la otra tambi4n
aumenta.
$emplos!
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. xiste una relación directa entre el número de naran$as y el peso entre ellas. 1i una
naran$a pesa = gramos, podemos observar que entre más naran$as, más peso!
naran$a ? = gramos
* naran$as ? & gramos
naran$as ? 27 gramos
. .
. .
. .
La razón en este caso es 1
18
#artiendo de la razón anterior podemos resolver algunos cuestionamientos
relacionados con estos dos valores, por e$emplo si tenemos 2 naran$as +uál es el
peso correspondiente0
+omo los valores se encuentran en proporciones directas podemos escribir la
siguiente igualdad!
1
15=
18
x
Al resol#er para x x=15 (18 )=270
ncontrando que el peso correspondiente es de *A/ gramos.
;e igual manera si conocemos el peso podemos encontrar el número de naran$as
correspondientes, por e$emplo si sabemos que una bolsa de naran$as pesa //
gramos +uántas naran$as se encuentran dentro de la bolsa0
n este caso la igualdad quedar-a de la siguiente manera!
1
x=
18
300
Al resol#er para x x=300
18=20
1e obtiene que el número de naran$as dentro de la bolsa corresponde a */.
*. 1i compramos una canastilla de seis refrescos por 7= pesos y queremos saber el
costo de sólo un refresco, su valor seria más de 7= pesos o menos0, +uál es el
precio de un refresco0
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#or deducción lógica sabemos que el precio de un refresco será menor de 7= pesos,
sin embargo, este valor lo podemos calcular mediante proporciones directas, porque
a menos refrescos menos dinero!
61=48 x
Al resol#er para x x=48
6=8
+on lo que se encuentra que un refresco tiene un costo de = pesos.
. :n comerciante compra cierta cantidad de pantalones para vender, los cuales le
cuestan &/// pesos. ;espu4s compra y le cuestan
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ayuda a calcular el valor de una cuarta cantidad conociendo el valor de las otras tres.
Las dos magnitudes deben ser directamente proporcionales.
#ara resolver una regla de tres simple directa se aplica el mismo m4todo de las
proporciones directas, los problemas son similares, pero a menudo los resultados en
razones y proporciones se relacionan con los de porcenta$e, los cuales siguen una
proporción directa, por e$emplo la expresión =B significa que de cada // partes se
tomarán =, esto es =C// y, por consiguiente se pueden resolver utilizando el mismo
procedimiento de las proporciones directas.
$emplos!
. :na persona que gana D2*// por quincena, invierte D&A& quincenales en pagar un
pr4stamo al banco, qu4 porcenta$e de su sueldo gasta en pagar al banco0
#ara resolver este problema se plantea una proporción como la siguiente! si de
D2*// que gana ocupa D&A& en pagar el pr4stamo, entonces ganando D// ocupará
x cantidad.
Eotemos que se 'a utilizado // como base para plantear dic'a proporción, ya quese pide el porcenta$e (cuánto por cada //) utilizado en pagar al banco
quincenalmente.
"s decir : 5200
676=100
x
Al resol#er para x x=676(100)
5200=13
F determinamos entonces que el porcenta$e de su sueldo quincenal que destina para
pagar al banco es del B
*. n un salón de 7= alumnos de la clase de razonamiento lógico, el porcenta$e de
aprobados fue de un A2B. +uántos alumnos aprobaron el curso0
#ara responder el cuestionamiento primero razonamos que A2B implica que de
cada // alumnos, A2 'an aprobado el curso, pero como en el salón 'ay 7=, x
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representar-a a los aprobados, y para encontrar este valor, se plantear-a la siguiente
proporción!
75
10=
x
48
Al resol#er para x x=75(48)100
=36
Lo cual significa que & alumnos de los 7= que 'ab-a en el salón de la clase de
razonamiento lógico aprobaron el curso.
. n el súper se ofrece un /B de descuento en pantalones para caballeros al pagar
en ca$a% si se pagó en ca$a por un pantalón A2 pesos. cuál es el precio del
pantalón marcado originalmente0
175
70=
x
100
Al resol#er para x x=175(100)
70=250
1e concluye que *2/ pesos es el precio marcado originalmente en el pantalón.
Variación inversamente proporcional
#ara que dos magnitudes sean inversamente proporcionales a otras dos, se debe cumplir
la siguiente regla! si una de ellas aumenta" el valor de la otra disminuye en la misma
proporción a la otra o viceversa. l producto entre los valores correspondientes de las
11
n este caso 'ay que tener en cuenta que los A2
pesos ya tienen incluido el descuento, por lo que
realmente se está pagando A/B del valor marcado
en el pantalón, y que este precio es mayor a los
A2 pesos, por lo que realmente se tiene que
buscar el //B que es el valor original del
pantalón, quedando la proporción de la siguiente
manera!
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dos magnitudes se mantienen siempre constante y se dice que a es inversamente
proporcional con b si!
ab=k
"l número k se le llama constante o razón de proporcionalidad inversa. Getomando ele$emplo del auto, si a'ora nos dicen que el auto tarda en trasladarse de un lugar a otro, &
'oras via$ando a una velocidad de 7/ mC'rs. Hu4 pasa si aumenta la velocidad a &/
mC'rs0, como el auto via$ara más rápido razonamos que el tiempo en recorrer la misma
distancia será menor, entre más rápido via$a el auto menos tiempo tarda en recorrer la
misma distancia, esto quiere decir que la velocidad del auto es inversamente
proporcional al tiempo consumido o viceversa (el tiempo consumido es inversamente
proporcional a la velocidad del auto).
7/ mC'rs. ? & 'rs.
&/ mC'rs ? 7 'rs.
=/ mC'rs ? 'rs.
. .
>bservando la relación anterior podemos inferir que si se forman productos entre las
dos magnitudes I7/(&)J*7/, &/(7)J*7/ y =/()J*7/K, surge una constante llamada
razón de proporcionalidad inversa.
La gráfica de dos magnitudes que están en proporción inversa, es un con$unto de puntos
que están sobre una 'ip4rbola.
"nalizando el gráfico anterior, se visualiza que si una magnitud aumenta, la otra
disminuye.
$emplos!
. +onsideremos a dos alba9iles, los cuales terminan un traba$o en / d-as.
n este caso existe una relación inversamente proporcional entre el número dealba9iles y el número de d-as en que terminan el traba$o.
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* alba9iles ? / d-as
7 alba9iles ? 2 d-as
= alba9iles ? *.2 d-as. .. .
1e observar que entre más alba9iles se tienen en la construcción, menos d-as
tardaran en 'acer el mismo traba$o, o si se utilizan más d-as para realizar el traba$o,
quiere decir que se utilizaron menos traba$adores.
La razón de proporcionalidad inversa en este caso es */)/(* = .
+onociendo este valor podemos resolver algunos cuestionamientos relacionados
con estos dos valores, por e$emplo si tenemos / alba9iles +uál será el número de
d-as en terminar la obra0
+omo los valores se encuentran en proporciones inversas podemos escribir la
siguiente igualdad!
2
10=
10
x
La solución será igual que en las proporciones directas0
La respuesta a este cuestionamiento es Eo,
obser#a elresultado : x=10(10)
2=50
"l resolver de esta manera, podemos observar que estamos equivocados, porque si
tenemos más alba9iles 4stos se tardaran menos d-as en realizar el mismo traba$o,
por lo cual no puede dar una respuesta de 2/.
La solución correcta se obtiene de la siguiente manera! al identificar que es una
proporción inversa, debemos invertir (cambiar) el orden en que escribimos la parte
de la proporción en la que se encuentra la incógnita!
s decir si tenemos2
10=
10
xdebemos de invertir las posiciones en donde se
encuentra la x, quedando%2
10=
x
10 y resolvemos para x el producto cruzado
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espejando x=2(10)10
=2
;ándonos como resultado dos d-as, la cual es una respuesta lógica.
#ota: algunos catedráticos recomienda invertir (cambiar) el orden en donde no se
encuentra la incógnita, pero al final el resultado es el mismo, por e$emplo
retomando los datos del problema anterior, si sabemos que una obra se termino en
*/ d-as, +uántos traba$adores la realizaron0
l planteamiento de la proporción inversa es!2
x=
10
20
+ambiando la razón en donde no se encuentra la incógnita.
2
x=
20
10
Al resol#er para x tenemos x=2(10)20
=1
1i una obra se termina en */ d-as, el número de alba9iles que traba$o fue de uno.
*. :n barco petrolero cargado tarda & d-as en llegar a su destino a una velocidad
constante de */ nudos. " cuántos nudos realizó el via$e de regreso sin carga, si
tardo 7 d-as en completarlo0
n este caso existe una proporción inversa, porque si tardó menos d-as en realizar
el via$e de regreso, indica que lo 'izo a mayor velocidad.
l planteamiento de la proporción inversa es!6
4=
20
x
+ambiando la razón en donde se encuentra la incógnita.
6
4=
20
x
Al resol#er para x tenemos x=6(20)
4=30
Lo cual indica que al regresar el barco ten-a una velocidad de / nudos.
. ;urante un 'uracán, protección civil ten-a en un alberge alimento pensado para 2/ personas durante una semana (A d-as), en el momento de la contingencia los
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alimentos sólo duraron 2 d-as. +uántas personas acudieron al alberge en el
momento de la contingencia0
1e trata de otro problema de proporcionalidad inversa, porque a menor d-as que
duro los alimentos, indica que fue mayor el número de personas que acudieron al
alberge en el momento de la contingencia.
l planteamiento de la proporción inversa es!350
x =
7
5
+ambiando la razón en donde se encuentra la incógnita.
x
350=
7
5
Al resol#er para x tenemos x=7(350)
5=490
Lo cual indica que en el momento de la contingencia acudieron 7