Punto 4:
Primero Para resolver esta integral, hay que tener en cuenta que:
tan²(x) = sec²(x) - 1
Por lo tanto:
∫ tan³(x) dx = ∫ tan(x) * [sec²(x) - 1] dx
Distribuimos:
∫ tan³(x) dx = ∫ tan(x) * sec²(x) dx - ∫ tan(x) dx
Para resolver la primera integral, tomamos t = tan(x), de manera que dx = dt / sec²(x)
∫ tan(x) * sec²(x) dx =∫tan(x) dt =∫t dt = [t²]/2 = [tan²(x)]/2
En cuanto a la segunda integral, es directa. Para eso, planteamos la tangente como sen(x) / cos(x), nos queda:
∫ tan(x) dx = ∫ sen(x)/cos(x) dx = -∫-sen(x)/cos(x) dx
que responde a la forma u' / u. Entonces:
∫ tan(x) dx = - Ln|cos(x)|
∫tan³(x) dx = [tan²(x)]/2 - [- Ln|cos(x)|] + c
∫ tan³(x) dx = (1/2) * tan²(x) + Ln|cos(x)| + c