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Resistencia de Materiales
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Tema 6 - Columnas
Tema 6
Columnas
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Consideraciones iniciales
Tema 6 - Columnas
Seccin 1 - Consideraciones iniciales
Una columna es un elemento sometido a compresin, el cual es lo
suficientemente delgado respecto a su longitud para que bajo la accin de
una carga gradualmente creciente se rompa por flexin lateral o pandeo
ante una carga mucho menor que la necesaria para romperlo por
aplastamiento. En esto se diferencia de un elemento corto sometido a
compresin, el cual, aunque este cargado excntricamente, experimentauna flexin lateral despreciable.
Aunque no existe un lmite perfectamente definido entre elemento
corto y columna, se suele considerar que un elemento a compresin es una
columna si su longitud es igual o mayor a diez veces la dimensin menor de
la seccin transversal.
Las columnas se suelen dividir en dos grupos: largas e intermedias.
En algunos casos, los elementos cortos sometidos a compresin se
consideran en un tercer grupo: el de las columnas cortas.______________________________________________________________________________
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Tema 6 - Columnas
Seccin 1 - Consideraciones iniciales
Estabi l idad de estru cturas
Consideremos el montaje que se muestra en la figura. El mismo
esta integrado por dos barras de longitud L/2, apoyadas por articulaciones
que le permiten rotar en sus extremos, siendo solidarias entre s mediante
un pasador.
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Luego, si se mueve dicho pasador
un poco hacia un lado, provocando una
pequea inclinacin q en las barras y
luego se aplica una carga axial P que
mantenga dicha deformacin, tenemos que
la fuerza perturbadora en la direccinhorizontal puede plantearse de la forma::
qtan2 PF raperturbado
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La fuerza restauradora, que sera en este caso la reaccin del
resorte, sera:
Como el ngulo q es muy pequeo, es vlida la aproximacin
tgqsinqq. Entonces, si la fuerza restauradora fuese mayor que la
perturbadora, tendramos:
En esta situacin, las barras volveran a su posicin inicial; a esto
se denomina equilibro estable. Si sucediese lo contrario:
De modo que el mecanismo se deformara hasta una posicin de
equilibrio entre las fuerzas. A esto se llama equilibrio inestable.
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Seccin 1 - Consideraciones iniciales
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4
LKP r
qsin2
LKF rrarestaurado
4
LKP r
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Si ambas fuerzas fuesen iguales, entonces:
La carga axial crtica (Pcri) representa el estado del mecanismo
con el cual ste se mantiene en equilibrio, pues de variar ligeramente dichacarga las barras del mecanismo no sufriran nign desplazamiento, es decir:
el mecanismo no se movera.
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Seccin 1 - Consideraciones iniciales
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4
LKP rcri
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Carga crtica en columnas
articuladas
Tema 6 - Columnas
Seccin 2 - Carga crtica en columnas articuladas
Consideremos una viga articulada en sus extremos mediante
rtulas que permiten la flexin en todas las direcciones, tal como se muestra
en la figura. Si aplicamos una fuerza horizontal Hen un punto medio de la
viga se producir una deflexin, a la que denominaremos d.
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Supondremos que la
deflexin des lo suficientemente
pequea como para que la
proyeccin de la longitud de la
columna sobre un eje vertical seaprcticamente la misma, estando
flexada la viga.
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Puede observarse que en
la seccin transversal que sufre la
mayor deflexin, el momento flectores:
La fuerza Pcri es la carga
necesaria para mantener la viga
flexada sin empuje lateral alguno.Un incremento de esta carga,
implica a su vez un aumento de la
deflexin dy viceversa.
Tema 6 - Columnas
Seccin 2 - Carga crtica en columnas articuladas
Supongamos ahora que aadimos una carga axial cntrica a
compresin P y la hacemos aumentar desde cero, al mismo tiempo quedisminuimos la carga H, de modo que se mantenga constante la deflexin
dconstante.
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d criPM (6.2.1)
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Tema 6 - Columnas
Seccin 2 - Carga crtica en columnas articuladas
Si para el caso anterior designamos como xal eje vertical (sobreel que se proyecta la longitud de la viga) e yal eje horizontal (sobre el cual
se producen las deflexiones), puede plantearse el momento flector de la
forma:
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El signo (-) se debe a que la deflexin
producida es negativa (segn la orientacin el eje y),
y el momento flector es positivo.
Recordemos la ecuacin de la elstica para
vigas de seccin transversal constante:
yPxM cri )( (6.2.2)
IE
xM
dx
yd
)(2
2
(6.2.3)
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Luego, sustituyendo M(x) de la ecuacin 6.2.2 en la ecuacin
6.2.3, se obtiene:
La solucin general de esta ecuacin es:
Podemos obtener los valores de las constantes C1 y C2
aplicando las condiciones de frontera. Cuando x=0 y=0, de modo que
C2=0. Al plantear la segunda condicin (x=Ly=0) queda:
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Seccin 2 - Carga crtica en columnas articuladas
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(6.2.4)IE
yP
dx
yd cri
2
2
(6.2.5)
xIE
PCx
IE
PCy cricri cossin 21
(6.2.6)
L
IE
PC crisin0 1
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La solucin de la ecuacin anterior sirve para hallar el valor dePcri, pues debe cumplirse:
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Seccin 2 - Carga crtica en columnas articuladas
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(6.2.7)
nLIE
Pcri
Donde n=1,2,3.
En la figura pueden
verse distintas formas en que
puede pandearse la columnautilizando distintos valores de
n.
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Para efectos de diseo, siempre trabajaremos con n=1. De modo
que la carga crtica queda expresada de la forma:
A esta expresin se le conoce como la carga crtica de Euler para
columnas articuladas.
2
2
LIEPcri
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Seccin 2 - Carga crtica en columnas articuladas
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(6.2.8)
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Relac in de esb eltez, esfuerzo c rtic oEl momento de inercia (I) puede expresarse de la forma:
Donde A es el rea de la seccin transversal y r es una
propiedad de rea denominada radio de giro. Si sutituimos esta ecuacin en
la expresin 6.2.8, obtenemos:
Donde la proporcin L/r se conoce como relacin de esbeltez de
la columna. Mas adelante observaremos cmo este parmetro sirve para
clasificar un elemento cargado axialmente a compresin como una columna
corta, larga intermedia.
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Seccin 2 - Carga crtica en columnas articuladas
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2rAI (6.2.9)
2
2
)/( rL
AEPcri
(6.2.10)
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Si en la expresin 6.2.10 enviamos el trmino Aa dividir hacia el
lado izquierdo, obtenemos:
Mediante esta ecuacin se puede determinar el esfuerzo crtico
(scri) en una columna, el cual indica el esfuerzo normal con el cual la
misma comienza a pandearse. Obsrvese que los trminos variables en
esta expresin son la relacin de esbeltez (L/r) y el esfuerzo crtico en
cuestin. De modo que podemos construir una grfica que nos indique
cmo vara dicho esfuerzo en funcin de la relacin de esbeltez encolumnas. Como el mdulo de elasticidad (E) vara para cada material,
tendremos distintas curvas para diferentes materiales.
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Seccin 2 - Carga crtica en columnas articuladas
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cricri
rL
E
A
Ps
2
2
)/((6.2.11)
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Por ejemplo, en se presentan en la figura las curvas del acero
estructural y del aluminio. Es importante observar que para cada materialexiste una esbeltez que se corresponde con su esfuerzo de fluencia, como
se seala en las curvas. A la derecha de estos puntos, puede observarse
que el esfuerzo crtico disminuye a medida que aumenta la relacin de
esbeltez (en otras palabras, se requiere menor carga para que se produzca
el pandeo en la columna). A la izquierda de estos puntos, la grfica no tiene
sentido prctico.
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Seccin 2 - Carga crtica en columnas articuladas
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Columnas con varios
tipos de soporte
Tema 6 - Columnas
Seccin 3 - Columnas con varios tipos de soporte
En la deduccin de la ecuacin de Euler, se utiliz como base para
el desarrollo de las ecuaciones una columna soportada mediante
articulaciones en sus extremos, de manera que la deflexin fuese nula en
los mismos. Dependiendo de los apoyos a los que se sujete una columna,dichas condiciones de extremo pueden variar, alterando a su vez el
desarrollo de las ecuaciones. Con el objeto de compensar esto, se utiliza en
la ecuacin de Euler una longitud denominada Longitud efectiva (Le), la
cual representa la distancia entre dos puntos de la columna en los cuales el
momento flector es nulo, y se puede determinar mediante la relacin:
Donde K es el factor de correccin de longitud efectiva y est
tabulado para distintas condiciones de apoyo de columnas.______________________________________________________________________________
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LKLe (6.3.1)
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De manera que la ecuacin del esfuerzo crtico en una columna
quedara planteada de la forma:
Los valores de Kpara las condiciones de apoyo ms comunes se
ilustran en la figura.
Tema 6 - Columnas
Seccin 3 Columnas con varios tipos de soporte
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2
2
2
2
)/()/( rLK
E
rL
E
e
cri
s (6.3.2)
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La ecuacin de Euler se obtiene a partir de la hiptesis de que la
carga (P) siempre se aplica en el centroide de la seccin transversal de la
columna, y que sta es perfectamente recta (antes de aplicar dicha carga).
Esta situacin es ajena a la realidad, pues las columnas fabricadas
no son perfectamente rectas, ni suele conocerse con exactitud el punto de
aplicacin de la carga.
Por tanto, las columnas no se pandean repentinamente sino que
comienzan a flexionarse, si bien de modo ligero, inmediatamente despus
de la aplicacin de la carga.
Tema 6 - Columnas
Seccin 4 - Columnas sometidas a carga excntrica
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Columnas sometidas a cargaexcntrica
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Consideremos entonces una columna sometida a una carga
ejercida con una pequea excentricidad e respecto al centroide de laseccin transversal, como se muestra.
Podemos plantear una expresin para determinar el momento
flector en cualquier seccin transversal:
Tema 6 - Columnas
Seccin 4 - Columnas sometidas a carga excntrica
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)( yePM cri (6.4.1)
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Al plantear la ecuacin de la elstica de la viga, queda:
La solucin general de esta ecuacin es:
Al plantear los lmites de frontera, se obtiene que cuando x=0
y=e, de modo que C2=e . Luego, cuando x=L
y=e, de modo que:
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Seccin 4 - Columnas sometidas a carga excntrica
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IE
yeP
IE
xM
dx
yd cri
)()(2
2
(6.4.2)
exIE
PCx
IE
PCy
cossin 21 (6.4.3)
2tan1
L
IE
PeC (6.4.4)
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Finalmente, la ecuacin 6.4.3 queda de la forma:
La deflexin mxima en la viga ocurre cuando x=0,5L. Siintroducimos este valor en la ecuacin, obtenemos:
En esta ecuacin puede observarse que y=0 cuando e=0. Sinembargo, si la excentricidad e es muy pequea, y el trmino dentro de la
funcin trigonomtrica la hiciese tender a infinito, y tendra un valor no
nulo.
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Seccin 4 - Columnas sometidas a carga excntrica
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1cossin
2tan x
IE
Px
IE
PL
IE
Pey (6.4.5)
2secmax
L
IE
Pey (6.4.6)
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Entonces, como sec(x)cuando x/2, podemos plantear:
Finalmente, se puede determinar el valor de la carga crtica:
Ntese que ste es el mismo resultado arrojado para el caso de
carga excntrica (ec. 6.2.8). Es preciso recordar que en caso de trabajarcon condiciones de apoyo distintas, se debe trabajar con la longitud efectiva
(Le) en vez de la longitud nominal (L) de la columna.
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Seccin 4 - Columnas sometidas a carga excntrica
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22
L
IE
Pcri (6.4.7)
(6.4.8)2
2
L
IEPcri
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22/33
Podemos entonces plantear la ecuacin del esfuerzo mximo en la
seccin de mayor deflexin de la viga:
Recordando que I=Ar2, podemos reescribir esta ecuacin de la
forma:
A esta ecuacin se le conoce como la frmula de la secante, y sirve
para determinar el valor del esfuerzo mximo producido tanto por flexin
como por compresin que se produce en la viga. Debe cumplirse: PPcri.
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Seccin 4 - Columnas sometidas a carga excntrica
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I
cL
IE
PeP
A
P
I
cyP
A
P
2sec
)( maxmaxs (6.4.9)
r
L
AE
P
r
ce
A
P
2sec1
2maxs (6.4.10)
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Mediante ensayos mecnicos realizados en columnas se ha
demostrado que la carga crtica sealada por las ecuaciones de Euler y de
la secante puede ser superior a la carga crtica real necesaria para pandear
la columna, como muestra el grfico.
Tema 6 - Columnas
Seccin 5 - Columnas largas, cortas e intermedias
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Columnas largas, cortas
e intermedias
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De la grfica anterior pueden verse con claridad tres zonas que, en
funcin de la relacin de esbeltez, permiten clasificar las columnas en tres
grupos:
Columnas Cortas. A este grupo pertenecen elementos cargados
axialmente a compresin con relaciones de esbeltez muy pequeas, en los
que no se produce pandeo y la falla ocurre cuando smax sy.
Columnas Intermedias. Cuando en los elementos cargados
comienza a presentarse el fenmeno de pandeo al stos experimentar
esfuerzos menores a sy. La ecuacin de Euler no se aproxima
satisfactoriamente al comportamiento de la columna, requiriendo esta zona
de ecuaciones experimentales complejas para predecir con cierta precisin
el valor del esfuerzo crtico (con el cual comienza el pandeo en la columna).
Columnas Largas. Referida a aquellos elementos con grandes
relaciones de esbeltez. La ecuacin de Euler describe con precisin
aceptable el comportamiento de estas columnas.
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Seccin 5 - Columnas largas, cortas e intermedias
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En la figura que se muestran algunas tendencias que pueden
usarse para determinar el esfuerzo crtico en columnas intermedias. Nteseque la dificultad en el uso de estos criterios radica en determinar con
exactitud los lmites de la relacin de esbeltez en los cuales son vlidos.
Frmula de Gordon-Rankine:
Aproximacin lineal:
Aproximacin parablica:
Tema 6 - Columnas
Seccin 5 - Columnas largas, cortas e intermedias
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)/(22 rLk ecri ss
)/(1 11
rLk ecri
s
s
2
33 )/( rLk ecri ss
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Como se mencion anteriormente, el uso de la frmula de Euler
para el diseo es completamente vlido si la columna a tratar es
perfectamente recta, hechas de un material completamente homogneo, en
las que los puntos de aplicacin de la carga son perfectamente conocidos.
En realidad, esto no ocurre as. Para compensar todas
imperfecciones que tienen las columnas reales, se utilizan cdigos de
diseo, los cuales son productos de ensayos mecnicos que se llevan a
cabo simulando condiciones reales de construccin y trabajo de elementos
sometidos a cargas axiales de compresin.
A continuacin mostraremos algunos ejemplos de cdigos de
diseo para columnas hechas de distintos materiales.
Tema 6 - Columnas
Seccin 6 - Diseo de columnas sometidas a carga axial cntrica
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Diseo de columnas bajo cargaaxial cntrica
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Columnas de acero
Las columnas de acero estructural se disean con base enfrmulas propuestas por el Structural Stability Research Council(SSRC). A
dichas formulas se le ha aplicado factores de seguridad convenientes, y el
American Institute of Steel Construction (AISC) las ha adoptado como
especificaciones para la industria de construccin. Para columnas largas, se
utiliza la ecuacin de Euler con un factor de seguridad de 12/23:
para
Donde el valor mnimo de relacin de esbeltez efectiva vlido para
la relacin viene dado por:
Tema 6 - Columnas
Seccin 6 - Diseo de columnas bajo carga axial cntrica
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)/(23
12 2
rKL
Eperm
s 200
r
LK
r
LK
c
yc
E
r
LK
s
2
(6.6.1)
(6.6.2)
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28/33
En columnas con relaciones de esbeltez menores se usa un ajusteparablico, con un factor de seguridad dictado por una compleja relacin:
para
Tema 6 - Columnas
Seccin 6 - Diseo de columnas bajo carga axial cntrica
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3
3
2
2
)/(
)/(
8
1
)/(
)/(
8
3
3
5)/(
)/(1
cc
cperm
rKL
rKL
rKL
rKLrKL
rKL
scr
LK
r
LK
(6.6.3)
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29/33
Columnas de alumin io
La Aluminium Association especifica el diseo de columnas dealuminio por medio de tres ecuaciones. Par cada tipo de aluminio hay un
juego especfico de ecuaciones. Por ejemplo, para el caso de la aleacin
comn de aluminio (2014-T6) se usa:
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Seccin 6 - Diseo de columnas bajo carga axial cntrica
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ksiperm 28s 120
r
LK
(6.6.4)para
ksirKLperm )/(23,07,30 s 5512
r
LK(6.6.5)para
2)/(
54000
rKL
ksiperm s
r
LK55 (6.6.6)para
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Columnas de madera
Las Aluminium Association especifica el diseo de columnas dealuminio por medio de tres ecuaciones. Par cada tipo de aluminio hay un
juego especfico de ecuaciones. Por ejemplo, para el caso de la aleacin
comn de aluminio (2014-T6) se usa:
Tema 6 - Columnas
Seccin 6 - Diseo de columnas bajo carga axial cntrica
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ksiperm 20,1s 110
d
LK
(6.6.7)para
ksidKL
perm
2
0,26
/
3
1120,1s 2611
d
LK(6.6.8)para
2)/(
5400
dKL
ksiperm s 5026
d
LK(6.6.9)para
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Tema 6 - Columnas
Seccin 7 - Diseo de columnas sometidas a carga axial excntrica
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Diseo de columnas bajo cargaaxial excntrica
Existen varias formas de tratar casos donde la carga en la columna
es excntrica. Trataremos en esta ocasin los mtodos ms comunes: el
mtodo del esfuerzo admisible y el mtodo de interaccin.
Mtodo del esfuerzo adm is ib le. En este caso, se comparan del
esfuerzo mximo producido en la viga y el esfuerzo admisible dictado por la
ecuacin de Euler. El esfuerzo mximo vendra dado por:
I
cM
A
P maxs (6.7.1)
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Tema 6 - Columnas
Seccin 7 - Diseo de columnas sometidas a carga axial excntrica
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El esfuerzo admisible segn la ecuacin de Euler:
Y debe cumplirse:
Mtodo de In teracc in . Se llama as pues en l se observancmo interactan las tensiones producidas por la carga de compresin y por
el momento flector ejercidos en la viga.
2
2
)/( rL
Eadm
s (6.7.2)
admss max(6.7.3)
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Tema 6 - Columnas
Seccin 7 - Diseo de columnas sometidas a carga axial excntrica
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Facultad de Ingeniera
En este caso, la condicin que debe cumplirse es:
Donde [sadm]axial y [sadm]flexin se calculan a partir de cdigos de
diseo estipulados para carga axial y carga excntrica respectivamente.
Note que a diferencia del caso anterior, los esfuerzos producidos por carga
axial y flexin se comparan por separado con el esfuerzo crtico para cadacaso. Segn el mtodo anterior se comparan ambos esfuerzos respecto al
esfuerzo admisible proporcionado por la ecuacin de Euler.
1
flexinadmaxialadm
I
cM
A
P
ss
(6.7.4)