Resistencia de Materiales
EL SÓLIDO ELÁSTICO (El tensor de tensiones)
• Introducción.• Componentes intrínsecas del vector tensión.• El tensor de tensiones.• Ecuaciones de equilibrio interno.• Reciprocidad de las tensiones tangenciales.• Lema de Cauchy.• Cambio de sistemas de referencia.• Tensiones y direcciones principales.• Representación gráfica del tensor de tensiones. Círculos de Möhr• Tensiones tangenciales máximas.• Tensiones octaédricas.• Tensor esférico y tensor desviador.• Tensión plana
El Tensor de Tensiones
Castillo López, G. García Sánchez, F. López Taboada, C . Pedraza Rodríguez, C. (2014) Resistencia de Materia les. OCW-Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es Bajo licencia Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Spai n
uuuu
P(x)P(x)P(x)P(x)
PPPP2
PPPP1PPPPi
PPPPn
Ω
Γ
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Diagramade sólido libre
0=∑F
0M =∑
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¿Qué ocurre en el interior?
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z
y
x
¿Qué ocurre en el interior?
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z
y
x z
yx
P(x,y,z)
¿Qué ocurre en el interior?
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z
y
x
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z
y
x
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0limzS
F
S∆ →
∆=∆
T
z
y
x
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z
y
x
z
yx
P(x,y,z)
El tensor de tensiones
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z
y
P(x,y,z)
x
z
y
x
El tensor de tensiones
El Tensor de Tensiones
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z
y
P(x,y,z)
0limyS
F
S∆ →
∆=∆
Tx
z
y
x
El tensor de tensiones
El Tensor de Tensiones
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P(x,y,z)
z
y
x
El tensor de tensiones
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P(x,y,z)
El tensor de tensiones
z
y
x
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z
yx
P(x,y,z)
El tensor de tensiones
z
y
x
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z
y
P(x,y,z)
z
yx
0limxS
F
S∆ →
∆=∆
T
El tensor de tensiones
z
y
x
x
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z
y
x
P(x,y,z)
El tensor de tensiones
z
y
x
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z
y
x
P(x,y,z)
El tensor de tensiones
z
y
x
xyT
xxT
xzT
xT
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( , , )yx zx
yy
xx
xy
xz
zy
yx zz
T T
T T
T
y
T
x
T
z T
T
=
T
El tensor de tensiones
z
y
x
z
y
x
P(x,y,z)xyT
xxT
xzT
xT
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z
y
x
P(x,y,z)
El tensor de tensiones
z
y
x
yT
yxT
yzT
yyT
( , , )yx zx
yy
xx
xy
xz
zy
yx zz
T T
T T
T
y
T
x
T
z T
T
=
T
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z
y
x
P(x,y,z)
El tensor de tensiones
z
y
x
( , , )yx
yy
zx
z
xx
y
zzx yz
xy
z
T
T
T
T
z Tx T
T
T
y
T
=
T
yT
yxT
yzT
yyT
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z
y
x
P(x,y,z)
El tensor de tensiones
z
y
x
zzT
zyT
zxT
zT
( , , )yx
yy
zx
z
xx
y
zzx yz
xy
z
T
T
T
T
z Tx T
T
T
y
T
=
T
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z
y
x
P(x,y,z)
El tensor de tensiones
z
y
x
zzT
zyT
zxT
zT
( , , )yx
yy
zx
z
xx
y
zzx yz
xy
z
T
T
T
T
z Tx T
T
T
y
T
=
T
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z
y
xxxT
xzT
xyTP(x,y,z)
yxT
yzT
yyT
zzT
zyT
zxT
La representación gráficade todas las componentes juntas
no tiene ningún sentidoni interés práctico
El tensor de tensiones
z
y
x
( , , )yx
yy
zx
z
xx
y
zzx yz
xy
z
T
T
T
T
z Tx T
T
T
y
T
=
T
El Tensor de Tensiones
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P(x,y,z)P(x,y,z)
yxT
yzTyyT
zzT
zyT
zxT
Pero su representaciónen el llamado
paralelepípedo elementalnos permite “ver”el estado tensional
en el entorno del punto
El tensor de tensiones
z
y
x
xxT
xzT
xyT
( , , )yx
yy
zx
z
xx
y
zzx yz
xy
z
T
T
T
T
z Tx T
T
T
y
T
=
T
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yxT
yzTyyT
zzT
zyT
zxT
Pero su representaciónen el llamado
paralelepípedo elementalnos permite “ver”el estado tensional
en el entorno del punto
P(x,y,z)
z
yx
P(x,y,z)
El tensor de tensiones
z
y
x
xxT
xzT
xyT
( , , )yx
yy
zx
z
xx
y
zzx yz
xy
z
T
T
T
T
z Tx T
T
T
y
T
=
T
El Tensor de Tensiones
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yxT
yzTyyT
zzT
zyT
zxT
Pero su representaciónen el llamado
paralelepípedo elementalnos permite “ver”el estado tensional
en el entorno del punto
P(x,y,z)
El tensor de tensiones
P(x,y,z)
z
y
x
P(x,y,z)
z
yx
xxT
xzT
xyT
( , , )yx
yy
zx
z
xx
y
zzx yz
xy
z
T
T
T
T
z Tx T
T
T
y
T
=
T
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z
y
x
( , , )yx
yy
zxx
zy
x
xy
yzxz zz
x y z
σσσ
=
σ σ
σσ
σσ
σ
yxσ
yxτ
yzσ
yyσ
zzσ
zyσzxσ
yzτ
zzσ
zyτzxτ
P(x,y,z)
P(x,y,z)
Otras notacionesEl tensor de tensiones
xxσ
xzσ
xyσ
xxσ
xzτ
xyτ( , , )
yx
yy
zxx
zy
x
xy
yzxz zz
x y z
σττ
=
τ τ
σσ
ττ
σ
yyσ
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xyτ
El tensor de tensiones Caras ocultas
P(x,y,z)
z
y
x
yxτ
zzσ
zyτ
zxτ
xxσ
xzτ
xyτ
yzτ
yyσ
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yxτ
yzτyyσ
zzσ
zyτzxτ
En las caras ocultas están,OBVIAMENTE,
las mismas componentesdel tensor de tensiones
El tensor de tensiones Caras ocultas
P(x,y,z)
z
y
x
xxσ
xzτ
xyτ
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El vector tensión: componentes intrínsecas
π
TTTT
TTTT
π
σσσσ
ττττ
σσσσ
ττττ
ηηηη
S P
ηηηη
2 2 2= σ + τT
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P(x,y,z)
xyτ
xzτ
El vector tensión: componentes intrínsecas
yxτ
yzτσ
σ
zyτzxτ τ
σ
ττ
2 2 2= σ + τT
π
TTTT
TTTT
π
σσσσ
ττττ
σσσσ
ττττ
ηηηη
S P
ηηηη
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El vector tensión: componentes intrínsecas
P(x,y,z)
π
ηηηη
−−−−ηηηη
Conocidas las c.i.no podemos determinar
ni la dirección ni el sentidodel vector tensión
π
TTTT
TTTT
π
σσσσ
ττττ
σσσσ
ττττ
ηηηη
S P
ηηηη
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Equilibrio interno Tomamos un elemento de volumen diferencial
dxdy
dz
Q(x+dx,y+dy,z+dz)
z
y
x
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Equilibrio interno
dxdy
dz
Q(x+dx,y+dy,z+dz)
z
y
x
P(x,y,z)
Tomamos un elemento de volumen diferencial
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Q(x+dx,y+dy,z+dz)
( )yy Qσ
( )yx Qτ( )yz Qτ
( )zz Qσ( )zx Qτ
( )zy Qτ
Equilibrio interno
( )xx Qσ
( )xy Qτ
( )xz Qτz
y
x
Tensiones en las caras vistas
dx
dy
dz
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( )zz Pσ
( )zx Pτ( )zy Pτ
( )xx Pσ( )xy Pτ
( )xz Pτ
( )yy Pσ ( )yx Pτ
( )yz Pτ
z
y
x
Q(x+dx,y+dy,z+dz)
Equilibrio interno Tensiones en las caras ocultas
dx
dy
dz
P(x,y,z)
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P(x,y,z)
Q(x+dx,y+dy,z+dz)
Equilibrio interno
z
y
x
Fuerzas de volumen
cdg
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P(x,y,z)
Q(x+dx,y+dy,z+dz)
Equilibrio interno
z
y
x
Fuerzas de volumen
cdg
Fv
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P(x,y,z)
Q(x+dx,y+dy,z+dz)
Equilibrio interno
z
y
x
Fuerzas de volumen
Z
YX
cdg
Fv
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0yxxx zx Xx y z
∂τ∂σ ∂τ+ + + =∂ ∂ ∂
0xy yy zy Yx y z
∂τ ∂σ ∂τ+ + + =
∂ ∂ ∂
0yzxz zz Zx y z
∂τ∂τ ∂σ+ + + =∂ ∂ ∂
Equilibrio interno Imponiendo equilibrio elásticode fuerzas
Ecuaciones deequilibrio interno
0xF =∑
0yF =∑
0zF =∑
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 0
xx yx zx
xx yx zx
Q Q Q
P P P
dydz dxdz dxdy
dydz dxdz dxdy X dxdydz
σ + τ + τ −
− σ + τ + τ + =
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( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 0
xx yx zx
xx yx zx
Q Q Q
P P P
dydz dxdz dxdy
dydz dxdz dxdy X dxdydz
σ + τ + τ −
− σ + τ + τ + =
z
y
x
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0yxxx zx Xx y z
∂τ∂σ ∂τ+ + + =∂ ∂ ∂
0xy yy zy Yx y z
∂τ ∂σ ∂τ+ + + =
∂ ∂ ∂
0yzxz zz Zx y z
∂τ∂τ ∂σ+ + + =∂ ∂ ∂
Equilibrio interno Imponiendo equilibrio elásticode fuerzas
0xF =∑
0yF =∑
0zF =∑
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 0
xx yx zx
xx yx zx
Q Q Q
P P P
dydz dxdz dxdy
dydz dxdz dxdy X dxdydz
σ + τ + τ −
− σ + τ + τ + =
Ecuaciones deequilibrio interno
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El problema elásticoEl problema elásticoEl problema elásticoEl problema elásticoEl problema elásticoEl problema elásticoEl problema elásticoEl problema elástico
F(x,y,z) u(x,y,z)
εεεε(x,y,z)
Rel. cinemáticas
Comportamiento
Equilibrio
σσσσ(x,y,z)
0yxxx zx Xx y z
∂τ∂σ ∂τ+ + + =∂ ∂ ∂
0xy yy zy Yx y z
∂τ ∂σ ∂τ+ + + =
∂ ∂ ∂
0yzxz zz Zx y z
∂τ∂τ ∂σ+ + + =∂ ∂ ∂
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yz zyτ = τ
Equilibrio interno Imponiendo equilibrio elásticode momentos
Reciprocidadtensiones
tangenciales
xz zxτ = τ
xy yxτ = τ
El tensor de tensiones esSIMÉTRICO
0xM =∑
0yM =∑
0zM =∑
( , , )xx xy xz
yy yz
zz
x y z
sim
σ τ τ = σ τ σ
σ
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P(x,y,z)
z
yx
Lema de Cauchy
z
y
x
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z
yx
ηηηηP(x,y,z)
Lema de Cauchy
z
y
x
ηηηηcos
cos
cos
l
m
n
α = = β γ
η
γ
βα
El Tensor de Tensiones
Castillo López, G. García Sánchez, F. López Taboada, C . Pedraza Rodríguez, C. (2014) Resistencia de Materia les. OCW-Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es Bajo licencia Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Spai n
Lema de Cauchy
z
y
x
ηηηηcos
cos
cos
l
m
n
α = = β γ
η
γ
βα
z
yx
T ηηηη
El Tensor de Tensiones
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T
Lema de Cauchy
z
y
x
ηηηηcos
cos
cos
l
m
n
α = = β γ
η
γ
βα
z
yx
ηηηη
xx xy xz
yy yz
zz
l
m
sim n
σ τ τ = = σ τ σ
T σ η
Lema deCauchy
Equilibrioen el contorno
2 2 2 1l m n+ + =
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El problema elásticoEl problema elásticoEl problema elásticoEl problema elásticoEl problema elásticoEl problema elásticoEl problema elásticoEl problema elástico
F(x,y,z) u(x,y,z)
εεεε(x,y,z)
Rel. cinemáticas
Comportamiento
Equilibrio
σσσσ(x,y,z)
Equilibrio en el contornoEquilibrio interno
0yxxx zx Xx y z
∂τ∂σ ∂τ+ + + =∂ ∂ ∂
0xy yy zy Yx y z
∂τ ∂σ ∂τ+ + + =
∂ ∂ ∂
0yzxz zz Zx y z
∂τ∂τ ∂σ+ + + =∂ ∂ ∂
xx xy xz
yy yz
zz
l
m
sim n
σ τ τ = = σ τ σ
T σ η
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z
yx
xx xy xz
yy yz
zzsim
σ τ τ = σ τ σ
σ
xxσxyτ
yyσ
zzσ
xzτyzτ
Cambio de sistema de referencia
El Tensor de Tensiones
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2
3
1
11 12 13
22 23
33
'
sim
σ τ τ = σ τ σ
σ
22σ
11σ12τ
33σ
23τ13τ
2
3
1
13τ
Cambio de sistema de referencia
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z
yx
xx xy xz
yy yz
zzsim
σ τ τ = σ τ σ
σ
11 12 13
22 23
33
'
sim
σ τ τ = σ τ σ
σxxσxyτ
yyσ
zzσ
xzτyzτ
2
3
1
22σ
11σ 12τ
33σ
23τ13τ
13τ
Cambio de sistema de referencia
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z
yx
xx xy xz
yy yz
zzsim
σ τ τ = σ τ σ
σ
11 12 13
22 23
33
'
sim
σ τ τ = σ τ σ
σ
2
3
1
Cambio de sistema de referencia
¿f , ′ 0?
′ ′′
′
′
Sea una matrizP tal que
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z
yx
xx xy xz
yy yz
zzsim
σ τ τ = σ τ σ
σ
11 12 13
22 23
33
'
sim
σ τ τ = σ τ σ
σ
2
3
1
Cambio de sistema de referencia
¿f , ′ 0?
′ ′′
′
′
Sea una matrizP tal que
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z
yx
xx xy xz
yy yz
zzsim
σ τ τ = σ τ σ
σ
11 12 13
22 23
33
'
sim
σ τ τ = σ τ σ
σ
2
3
1
Cambio de sistema de referencia
¿f , ′ 0?
′ ′′
′
′
Sea una matrizP tal que
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z
yx
xx xy xz
yy yz
zzsim
σ τ τ = σ τ σ
σ
11 12 13
22 23
33
'
sim
σ τ τ = σ τ σ
σ
2
3
1
Cambio de sistema de referencia
¿f , ′ 0?
′ ′′
′
′
Sea una matrizP tal que
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z
yx
xx xy xz
yy yz
zzsim
σ τ τ = σ τ σ
σ
11 12 13
22 23
33
'
sim
σ τ τ = σ τ σ
σ
2
3
1
Cambio de sistema de referencia
′ ′′
′ Si P es una matriztal que
′
′′
Si P es una matriztal que
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z
yx
xx xy xz
yy yz
zzsim
σ τ τ = σ τ σ
σ
11 12 13
22 23
33
'
sim
σ τ τ = σ τ σ
σ
2
3
1
Cambio de sistema de referencia
¿f , ′ 0?
′ ′′
′
Sea una matrizP tal que
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Tensiones y direcciones principales
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Tensiones y direcciones principales
¿Es posible encontrarun plano como este?
π P(x,y,z)
Tl
m
n
=
η
−η
l
m
n
= =
T T η T
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π P(x,y,z)
−η
Tensiones y direcciones principales
Lema de Cauchy
¿Es posible encontrarun plano como este?
l
m
n
=
η
l
m
n
= = λ
T T η
:= λT
=T σ η
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π P(x,y,z)
−η
= = λT σ η η 0− λ =σ η η ( ) 0− λ =σ I η⇒ ⇒
Tensiones y direcciones principales
Lema de Cauchy
¿Es posible encontrarun plano como este?
l
m
n
=
η
l
m
n
= = λ
T T η
=T σ η
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π P(x,y,z)
−η
= = λT σ η η 0− λ =σ η η⇒ ⇒
Tensiones y direcciones principales
Lema de Cauchy
¿Es posible encontrarun plano como este?
l
m
n
=
η
l
m
n
= = λ
T T η
=T σ η
2 2 2 1l m n+ + =
0xx xy xz
xy yy yz
xz yz zz
l
m
n
σ − λ τ τ τ σ − λ τ =
τ τ σ − λ
( ) 0− λ =σ I η
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π P(x,y,z)
⇔∃ solución
Tensiones y direcciones principales
¿Es posible encontrarun plano como este?
l
m
n
=
η
−η
l
m
n
= = λ
T T η
0xx xy xz
xy yy yz
xz yz zz
l
m
n
σ − λ τ τ τ σ − λ τ =
τ τ σ − λ
det 0xx xy xz
xy yy yz
xz yz zz
σ − λ τ τ τ σ − λ τ = τ τ σ − λ 2 2 2 1l m n+ + =
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π P(x,y,z)
−η
ECUACIÓNCARACTERÍSTICA
Tensiones y direcciones principales
¿Es posible encontrarun plano como este?
l
m
n
=
η
l
m
n
= = λ
T T η
det 0xx xy xz
xy yy yz
xz yz zz
σ − λ τ τ τ σ − λ τ = τ τ σ − λ 3 2
2 31 0II Iλ − λ + λ − =
( ) xx yy zztr = σ + σ + σσ
[ ]det σ2 2 2( ) ( ) ( )xx yy xy xx zz xz yy zz yzσ σ − τ + σ σ − τ + σ σ − τ
2 2 2 1l m n+ + =
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π P(x,y,z)
−η
⇒ 1 2 3, ,η η η
⇒∃ ( ) 0i i− λ =σ I η1 2 3, ,λ λ λ
ECUACIÓNCARACTERÍSTICA
Tres raíces reales
Tensiones y direcciones principales
¿Es posible encontrarun plano como este?
l
m
n
=
η
l
m
n
= = λ
T T η
3 22 31 0II Iλ − λ + λ − =
1 0 0
0 1 0 0
0 0 1
xx xy xz i
xy yy yz i i
xz yz zz i
l
m
n
σ τ τ τ σ τ − λ =
τ τ σ
2 2 2 1l m n+ + =
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π P(x,y,z)
−η
SÍ
Tres planos
¿Es posible encontrarun plano como este?
l
m
n
=
η
l
m
n
= = λ
T T η
Tensiones y direcciones principales
, ,I II IIIη η η
El Tensor de Tensiones
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π P(x,y,z)
−η
SÍ
Tres planos
¿Es posible encontrarun plano como este?
l
m
n
=
η
l
m
n
= = λ
T T η
Tensiones y direcciones principales
, ,I II IIIη η η
Además las direcciones forman una base
0i j⋅ =η η
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π P(x,y,z)
−η
SÍ
Tres planos
¿Es posible encontrarun plano como este?
l
m
n
=
η
l
m
n
= = λ
T T η
Tensiones y direcciones principales
, ,I II IIIη η η
Además las direcciones forman una base
Iσ
IIσ
IIIσ0 0
0 0
0 0
I
II
III
σ σ σ
0i j⋅ =η η
El Tensor de Tensiones
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π P(x,y,z)
−η
SÍ
Tres planos
¿Es posible encontrarun plano como este?
l
m
n
=
η
l
m
n
= = λ
T T η
Tensiones y direcciones principales
, ,I II IIIη η η
Además las direcciones forman una base
III
III Iσ
IIσ
IIIσ
Iη
IIIη
IIη
0 0
0 0
0 0
I
II
III
σ σ σ
0i j⋅ =η η
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Representación gráfica del tensor de tensiones.Circunferencias de Möhr
P(x,y,z)
π
ηηηη
2 2 2= σ + τTz
y
x
ηηηη
γ
βα
T στ
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P(x,y,z)
π
ηηηη
2 2 2= σ + τT
T στ
Representación gráfica del tensor de tensiones.Circunferencias de Möhr
( )T η
σ
τ
z
y
x
ηηηη
γ
βα
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Representación gráfica del tensor de tensiones.Circunferencias de Möhr
¿Estos puntos describen algúnlugar geométrico variando la normal?
P(x,y,z)
π
ηηηη
2 2 2= σ + τT
T στ
1( )T η
6( )T η5( )T η
4( )T η
3( )T η
2( )T η
( )nT η
σ
τ
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Representación gráfica del tensor de tensiones.Circunferencias de Möhr
SÍ
¿Estos puntos describen algúnlugar geométrico variando la normal?
P(x,y,z)
π
ηηηη
2 2 2= σ + τT
T στ
σ
τ
El Tensor de Tensiones
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Representación gráfica del tensor de tensiones.Circunferencias de Möhr
SÍ
¿Estos puntos describen algúnlugar geométrico variando la normal?
P(x,y,z)
π
ηηηη
2 2 2= σ + τT
T στ
IσIIσIIIσ σ
τ
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Representación gráfica del tensor de tensiones.Circunferencias de Möhr
0 0 0( , , )xx xy xz
xy yy yz
xz yz zz
x y z
σ τ τ = τ σ τ τ τ σ
σ
0 0 0
0 0
( , , ) 0 0
0 0
I
II
III
x y z
σ = σ σ
σ
El Tensor de Tensiones
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Representación gráfica del tensor de tensiones.Circunferencias de Möhr
¿Máxima?tensión normal
¿Mínima?tensión normal
σ
τ
IIIσ IIσ Iσ
0 0 0( , , )xx xy xz
xy yy yz
xz yz zz
x y z
σ τ τ = τ σ τ τ τ σ
σ
0 0 0
0 0
( , , ) 0 0
0 0
I
II
III
x y z
σ = σ σ
σ
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Representación gráfica del tensor de tensiones.Circunferencias de Möhr
¿Máxima?tensión normal
¿Mínima?tensión normal
σ
τ
IIIσ IIσ Iσ
0 0 0( , , )xx xy xz
xy yy yz
xz yz zz
x y z
σ τ τ = τ σ τ τ τ σ
σ
0 0 0
0 0
( , , ) 0 0
0 0
I
II
III
x y z
σ = σ σ
σ
El Tensor de Tensiones
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Representación gráfica del tensor de tensiones.Circunferencias de Möhr
¿Máxima?tensión normal
¿Mínima?tensión normal
Cuidadocon el signo
σIIIσ IIσ Iσ
0 0 0( , , )xx xy xz
xy yy yz
xz yz zz
x y z
σ τ τ = τ σ τ τ τ σ
σ
0 0 0
0 0
( , , ) 0 0
0 0
I
II
III
x y z
σ = σ σ
σ
!!!
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Representación gráfica del tensor de tensiones.Circunferencias de Möhr
Máximatensión
tangencial
0 0 0( , , )xx xy xz
xy yy yz
xz yz zz
x y z
σ τ τ = τ σ τ τ τ σ
σ
0 0 0
0 0
( , , ) 0 0
0 0
I
II
III
x y z
σ = σ σ
σ
IIIσ IIσ Iσσ
τ
maxτmax 2
I IIIσ − στ =
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Representación gráfica del tensor de tensiones.Circunferencias de Möhr
I
II
III
cos
0
sen
α = α
η
Sea una normalcontenida
en un plano principal
sen
0
cos
α = − α
t
0 0
0 0
0 0
I
II
III
σ = σ σ
σ
α
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Representación gráfica del tensor de tensiones.Circunferencias de Möhr
I
II
III
cos
0
sen
α = α
η
Sea una normalcontenida
en un plano principal
sen
0
cos
α = − α
t
0 0
0 0
0 0
I
II
III
σ = σ σ
σ
cos
0
sen
I
III
σ α = = σ α
T σ ηα
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Representación gráfica del tensor de tensiones.Circunferencias de Möhr
I
II
III
cos
0
sen
α = α
η
Sea una normalcontenida
en un plano principal
sen
0
cos
α = − α
t
Componentesintrínsecas
0 0
0 0
0 0
I
II
III
σ = σ σ
σ
cos
0
sen
I
III
σ α = = σ α
T σ η
2 2( ) cos sentI IIIσ = = σ α + σ α =σ η η
2 1 cos2cos
2
+ αα =
2 1 cos2sen
2
− αα =
sen 2sen cos
2
αα α =
α
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Representación gráfica del tensor de tensiones.Circunferencias de Möhr
I
II
III
cos
0
sen
α = α
η
Sea una normalcontenida
en un plano principal
sen
0
cos
α = − α
t
Componentesintrínsecas
0 0
0 0
0 0
I
II
III
σ = σ σ
σ
cos
0
sen
I
III
σ α = = σ α
T σ ηα
cos22 2
I III I IIIσ + σ σ − σ= + α
2 2( ) cos sentI IIIσ = = σ α + σ α =σ η η
2 1 cos2cos
2
+ αα =
2 1 cos2sen
2
− αα =
sen 2sen cos
2
αα α =
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Representación gráfica del tensor de tensiones.Circunferencias de Möhr
I
II
III
cos
0
sen
α = α
η
Sea una normalcontenida
en un plano principal
sen
0
cos
α = − α
t
Componentesintrínsecas
0 0
0 0
0 0
I
II
III
σ = σ σ
σ
cos
0
sen
I
III
σ α = = σ α
T σ η
( ) ( )sen costI IIIτ = = σ − σ α α =σ η t
α
cos22 2
I III I IIIσ + σ σ − σ= + α
2 2( ) cos sentI IIIσ = = σ α + σ α =σ η η
2 1 cos2cos
2
+ αα =
2 1 cos2sen
2
− αα =
sen 2sen cos
2
αα α =
El Tensor de Tensiones
Castillo López, G. García Sánchez, F. López Taboada, C . Pedraza Rodríguez, C. (2014) Resistencia de Materia les. OCW-Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es Bajo licencia Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Spai n
Representación gráfica del tensor de tensiones.Circunferencias de Möhr
I
II
III
cos
0
sen
α = α
η
Sea una normalcontenida
en un plano principal
sen
0
cos
α = − α
t
Componentesintrínsecas
0 0
0 0
0 0
I
II
III
σ = σ σ
σ
cos
0
sen
I
III
σ α = = σ α
T σ η
sen 22
I IIIσ − σ= α
cos22 2
I III I IIIσ + σ σ − σ= + α
α
2 2( ) cos sentI IIIσ = = σ α + σ α =σ η η
( ) ( )sen costI IIIτ = = σ − σ α α =σ η t
2 1 cos2cos
2
+ αα =
2 1 cos2sen
2
− αα =
sen 2sen cos
2
αα α =
El Tensor de Tensiones
Castillo López, G. García Sánchez, F. López Taboada, C . Pedraza Rodríguez, C. (2014) Resistencia de Materia les. OCW-Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es Bajo licencia Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Spai n
Representación gráfica del tensor de tensiones.Circunferencias de Möhr
sen 22
I IIIσ − στ = α
cos22 2
I III I IIIσ + σ σ − σσ = + α
El Tensor de Tensiones
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Representación gráfica del tensor de tensiones.Circunferencias de Möhr
sen 22
I IIIσ − στ = α
cos22 2
I III I IIIσ + σ σ − σσ = + α
0xx
y
0yR
2 2 20 0( ) ( )x x y y R− + − =
El Tensor de Tensiones
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2 22 2 2(cos 2 sen 2 )
2 2I III I IIIσ + σ σ − σ σ − + τ = α + α
Representación gráfica del tensor de tensiones.Circunferencias de Möhr
1
sen 22
I IIIσ − στ = α
cos22 2
I III I IIIσ + σ σ − σσ = + α
0xx
y
0yR
2 2 20 0( ) ( )x x y y R− + − =
El Tensor de Tensiones
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Representación gráfica del tensor de tensiones.Circunferencias de Möhr
2 22
2 2I III I IIIσ + σ σ − σ σ − + τ =
sen 22
I IIIσ − στ = α
cos22 2
I III I IIIσ + σ σ − σσ = + α
0xx
y
0yR
2 2 20 0( ) ( )x x y y R− + − =
El Tensor de Tensiones
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Representación gráfica del tensor de tensiones.Circunferencias de Möhr
2 22
2 2I III I IIIσ + σ σ − σ σ − + τ =
sen 22
I IIIσ − στ = α
cos22 2
I III I IIIσ + σ σ − σσ = + α2
I IIIRσ − σ=
2I IIIσ + σ
0xx
y
0yR
IσIIIσ0 0τ =
τ
σ
2 2 20 0( ) ( )x x y y R− + − =
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Representación gráfica del tensor de tensiones.Circunferencias de Möhr
I
II
III
cos
0
sen
α = α
η
α0 0
0 0
0 0
I
II
III
σ = σ σ
σ
σ
τ
IσIIIσ2
I IIIσ − σ
2I IIIσ + σ
El Tensor de Tensiones
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Representación gráfica del tensor de tensiones.Circunferencias de Möhr
I
II
III
cos
0
sen
α = α
η
α0 0
0 0
0 0
I
II
III
σ = σ σ
σ
sen22
I IIIσ − στ = α
cos22 2
I III I IIIσ + σ σ − σσ = + α
σ
τ
IσIIIσ2
I IIIσ − σ
2I IIIσ + σ
El Tensor de Tensiones
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Representación gráfica del tensor de tensiones.Circunferencias de Möhr
I
II
III
cos
0
sen
α = α
η
α0 0
0 0
0 0
I
II
III
σ = σ σ
σ
sen22
I IIIσ − στ = α
cos22 2
I III I IIIσ + σ σ − σσ = + α
2α
σ
τ
IσIIIσ2
I IIIσ − σ
2I IIIσ + σ
El Tensor de Tensiones
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1
1
1
3
3
3
xx xy xz
Dxy yy yz
xz yz zz
I
I
I
σ − τ τ = τ σ − τ τ τ σ −
σ
1
1 0 0
0 1 03
0 0 1
O I =
σ
Tensores esférico y desviador de tensión
Tensor esféricode tensión
1 1
3 3
I I = + −
σ I σ I
Tensor desviadorde tensión
1 / 3I
1 / 3I1 / 3I
1
3O Iσ = 0Oτ =
21 2
2 2
9 3O I Iτ = −
0Oσ =
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P
I
II
III
2 2 21 2
2 2
9 3O O O I Iτ = − σ = −T
1·3 3
( )O O t O I II III Iσ + σ + σσ = = =T η
0 0 11 1
0 0 13 3
0 0 1
I I
OII II
III III
σ σ ± ± = σ = σ
σ σ
T
11
13
1
O
± =
η
INVARIANTES!!!
Planos octaédricos
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Tensión plana0
0
0 0 0
xx xy
xy yy
σ τ = τ σ
σ
yyσxyτxxσ
z
x y
El Tensor de Tensiones
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Tensión plana0
0
0 0 0
xx xy
xy yy
σ τ = τ σ
σ
yyσxyτxxσ
z
x y
El Tensor de Tensiones
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Tensión plana
Lajas
0
0
0 0 0
xx xy
xy yy
σ τ = τ σ
σ
yyσxyτxxσ
z
x y
x
y
El Tensor de Tensiones
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0 0
0 0
0 0 0
I
II
σ = σ
σ
Tensión plana
AnalíticamenteAutovalores
Autovectores
0
0
0 0 0
xx xy
xy yy
σ τ = τ σ
σ
yyσxyτxxσ
z
x y
yyσ
xyτ
xxσ
x
y
x
yIσ
IIσ
φ
El Tensor de Tensiones
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0 0
0 0
0 0 0
I
II
σ = σ
σ
Tensión plana
¿Gráficamente?
0
0
0 0 0
xx xy
xy yy
σ τ = τ σ
σ
yyσxyτxxσ
z
x y
yyσ
xyτ
xxσ
x
y
x
yIσ
IIσ
φ
El Tensor de Tensiones
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Tensión plana
xσyσ
xyτ
xyτ
yyσ
xyτ
xxσ
x
y
2I IIσ + σ
2I IIσ − σ
τ
σ
0
0
0 0 0
xx xy
xy yy
σ τ = τ σ
σ
El Tensor de Tensiones
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x
y
Tensión plana
IIσIσ
¿ ?φ
IσIIσ xσyσ
xyτ
xyτ
yyσ
xyτ
xxσ
x
y
2I IIσ + σ
2I IIσ − σ
τ
σ
0
0
0 0 0
xx xy
xy yy
σ τ = τ σ
σ
0 0
0 0
0 0 0
I
II
σ = σ
σ
El Tensor de Tensiones
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Tensión plana
IσIIσ
2φ
xσyσ
xyτ
xyτ
yyσ
xyτ
xxσ
x
y
2I IIσ + σ
2I IIσ − σ
τ
σ
0
0
0 0 0
xx xy
xy yy
σ τ = τ σ
σ
x
y
IIσIσ
¿ ?φ0 0
0 0
0 0 0
I
II
σ = σ
σ
El Tensor de Tensiones
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Tensión plana
IσIIσ
2φ
xσyσ
xyτ
xyτ 2φ
yyσ
xyτ
xxσ
x
y
2I IIσ + σ
2I IIσ − σ
τ
σ
0
0
0 0 0
xx xy
xy yy
σ τ = τ σ
σ
x
y
IIσIσ
¿ ?φ0 0
0 0
0 0 0
I
II
σ = σ
σ