Anlisis Estructural
Resumen del mtodo de rigidez
J.T. Celigeta
Introduccin
Resumen del mtodo de rigidez 1
D1
D3 F3D2
F1
F2
F6
F5
F4D4
D5
D6
Grados de
libertad
Fuerzas
generalizadas
Grados de libertad: Deformaciones necesarias para definir la posicin deformada de la estructura
Deformaciones necesarias para definir la posicin deformada de cada una de las barras de la estructura
Fuerzas generalizadas: Las necesarias para producir las deformaciones
J.T. Celigeta
Fundamento terico
Resumen del mtodo de rigidez 2
Conservacin de la energa:
Equilibrio (1 Castigliano): ii
UF
1
2
extj j
j
W F U
D1
D3 F3D2
F1
F2
F6
F5
F4D4
D5
D6
Sustituyendo U: 1
2i j jjiF F
Equivale al PTV
Grados de
libertad
Fuerzas
generalizadas
J.T. Celigeta
Desarrollo terico
Resumen del mtodo de rigidez 3
1 1
2 2j j
i j j j jj j ji i i i
FUF F F
j
i jj i
FF
Resultado:
1
2j
i j ij i
FF F
Desarrollando 1 Castigliano con la U:
jj
UFPero:
2j
i j jj ji j i
F UF
J.T. Celigeta
Resumen terico del mtodo de rigidez
Resumen del mtodo de rigidez 4
2j
i j jj ji j i
F UF
i ij jj
F K
Equilibrio:
1 11 1 1 1
1
.. .. ..
.. .. .. .. .. .. .. ..
.. .. .. .. ..
.. .. .. .. .. .. ..
.. .. .. .. .. .. .. ..
.. .. ..
j n
i ii ij
j
n n nj nn n
F K K K
F K K
F K K K
D1
D3 F3D2
F1
F2
F6
F5
F4D4
D5
D6
Estas expresiones
de K no son tiles
J.T. Celigeta
Significado fsico de [K]
Resumen del mtodo de rigidez 5
D1=1K11
Ki1
D3=1
K33
Ki3
1 11 1 1 1
1
.. .. 0
.. .. .. .. .. .. ..
.. .. .. .. 1
.. .. .. .. .. .. ..
.. .. 0
j n
j jj j
n n nj nn n
F K K K
F K
F K K K
Columna j de [K]:
Fuerzas y momentos que hay
que aplicar sobre los grados de
libertad de la estructura,
para imponer un desplazamiento
unitario en la direccin j, y cero
en todas las dems
No se puede emplear
Para toda la estructura
J.T. Celigeta
Significado fsico de [K] para una viga plana
Resumen del mtodo de rigidez 6
1 11 1 16 1
6 61 6 66 6
.. .. 0
.. .. .. .. .. .. ..
.. .. .. .. 1
.. .. .. .. .. .. ..
.. .. 0
j
j jj j
j
F K K K
F K
F K K K
Se emplea a nivel de una barra sola,
para obtener su matriz de rigidez local.
qIZ qJZ
dIY dJY
dIX dJX
=D3
=D1
=D2
=D4
=D5
=D6
D3=1
K33
K23
K63
K53
D2=1
K32
K62
K52K22
D1=1
K41K11
Resolucin sencilla: T. Mohr,
o ecuacin de la elstica.
J.T. Celigeta
Significado fsico de [K] para una viga plana
Resumen del mtodo de rigidez 7
Se emplea a nivel de una barra sola,
para obtener su matriz de rigidez local.
qIZ qJZ
dIY dJY
dIX dJX
=D3
=D1
=D2
=D4
=D5
=D6
D3=1
K33
K23
K63
K53
D2=1
K32
K62
K52K22
D1=1
K41K11
3 2 3 2
2 2
3 2 3 2
2 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
6 4 6 20 0
0 0 0 0
12 6 12 60 0
6 2 6 40 0
IX IX
IY IY
I I
JX JX
JY JY
J
EA EA
L L
EI EI EI EIP
L L L LP EI EI EI EI
M L L L L
P EA EA
L LP
EI EI EI EIML L L L
EI EI EI EI
L L L L
d
d
q
d
d
q
=
J
J.T. Celigeta
Catlogo de elementos (0)
Cada barra tiene unos grados de libertad. Necesarios para:
Definir la deformada
Definir las ecuaciones de comportamiento (equilibrio)
Resumen del mtodo de rigidez 8
v
qIZ qJZ
dIY
qZ
dJY
YL
dIX dJXu
Ecuaciones de comportamiento en la forma: e e eLK P
Incluyen: equilibrio (3 de 6), material, pequeas deformaciones
(6x6)
Los GDL de las barras se acumulan/comparten en los nudos
J.T. Celigeta 9
Catlogo de elementos (1)
XG
ZG
YG
XL
X
Y
Z
PIYPIX
PIZ
PJX
PJY
PJZ
Resumen del mtodo de rigidez
Barras 2D Barras 3D
J.T. Celigeta 10
Catlogo de elementos (2)
dIXdJX
dIY dJY
qI qJ
dIX dJX
dIY dJYy
+ otros en el futuro (MEF)
q1
q2
Resumen del mtodo de rigidez
Muelles
Barras curvas 2D
J.T. Celigeta
Dos cuestiones fundamentales
En cualquier mtodo de anlisis estructural, se deben
garantizar:
Equilibrio de cualquier trozo de la estructura
Compatibilidad de deformaciones
Cmo se garantiza esto en el mtodo de rigidez??
Resumen del mtodo de rigidez 11
J.T. Celigeta
Compatibilidad de deformaciones
En el mtodo de rigidez es automtica:
Las deformaciones de los nudos (grados de libertad) se
comparten entre las barras que llegan a dicho nudo.
Las deformaciones en el interior de las barras se definen en
funcin de los grados de libertad de los nudos.
Resumen del mtodo de rigidez 12
DX DX
DY DY
DY
DXqZ
qZ1
qZ2
A) B) C)
v
qIZ qJZ
dIY
qZ
dJY
YL
dIX dJXu
J.T. Celigeta
Grados de libertad. Ejemplo
Resumen del mtodo de rigidez 13
J.T. Celigeta
Grados de libertad. Ejemplo
Resumen del mtodo de rigidez 14
J.T. Celigeta
Grados de libertad
Resumen del mtodo de rigidez 15
J.T. Celigeta
Equilibrio de cualquier trozo de la estructura
Cualquier trozo es siempre suma de nudos y barras, por lo
tanto basta con cumplir:
Resumen del mtodo de rigidez 16
1,e e eG
e bK F
1,e extI Ie
I NF F
A
B
FIA
FIB
FJA
FKB
Equilibrio de todas las barras
Equilibrio de todos los nudos -FI
A
-FIB
FIext
J.T. Celigeta 17
Equilibrio de cada barra de la estructura
En el sistema general de la estructura
e e eGII GIJ I I
e e eJGJI GJJ J
K K F
K K F
e e eLII LIJ I I
e e eLJI LJJ JJ
K K P
K K P
En el sistema local de la barra
Equilibrio esttico de la barra:
3 ecs. en el plano, 6 en el espacio
Estas 3 o 6 ecuaciones se expresan en funcin
de los grados de libertad y de las fuerzas en los
extremos, mediante la ecuacin de rigidez:
Segn el tipo de barra, slo
cambia el tamao y el valor
de las matrices
Resumen del mtodo de rigidez
e
FIe
DJ
DI
FJe
J.T. Celigeta 18
Equilibrio de los nudos
,e e eGII I GIJ J I
A BeK K F
Fuerzas en el nudo I, en el extremo de la barra e
Equilibrio del nudo I: las
fuerzas exteriores se
equilibran con las fuerzas
interiores en las barras
e extI I
e
F F
e e extGII I GIJ J I
e e
K K F
Sustituyendo las
fuerzas interiores:
Resumen del mtodo de rigidez
A
B
FIA
FIB
FJA
FKB
-FIA
-FIB
FIext
J.T. Celigeta 19
Equilibrio de los nudos
Equilibrio del nudo I
1
1
.. .. .. .. ......
.. .. .. .. .. .. ..
.. ..
.. .... .. .. .. ..
exte e eI IGI GII GIN
e
N
FK K K
Tantas ecuaciones de equilibrio esttico como g.d.l. tiene el nudo
Se repite el proceso para todos los nudos I=1, N
e e extGII I GIJ J I
e e
K K F
Resumen del mtodo de rigidez
A
B
FIext
DJDI
DK
J.T. Celigeta 20
Ensamblado de la matriz de rigidez de la estructura
Se ensamblan una tras otra las ecuaciones de equilibrio de todos los nudos
Sumando (ensamblando) la rigidez de cada barra a los grados de libertad a los
que se conecta la barra
.... .. .. .. .. ..
.. .. ..
.... .. .. .. .. ..
.. .. ..
.... .. .. .. .. ..
exte eIGII GIJ I
e e extJGJI GJJ J
FK K
K K F
Contribucin de la barra e a la ecuacin de equilibrio total
Resumen del mtodo de rigidez
eFIext
DJ
DI
FJext
J.T. Celigeta
Ejemplo
Resumen del mtodo de rigidez 21
A1
2
3B
CD E 11 11 12
21 22 22 22 23
32 33 33
A C AG G G
A A B D BG G G G G
B B EG G G
K K K 0
K K K K K K
0 K K K
J.T. Celigeta
Ejemplo
Resumen del mtodo de rigidez 22
A
B C
D
E
F
1
3
2 4
11 11 13
22 22 22 23 24
31 32 33 33
42 44 44
A B B
G G GC D E C E
G G G G GB C B C
G G G GE E F
G G G
K K 0 K 0
0 K K K K KK
K K K K 0
0 K 0 K K
J.T. Celigeta
Propiedades matemticas de [K]
Simtrica: teoremas de reciprocidad de deformaciones
Definida positiva. Define la energa:
Resumen del mtodo de rigidez 23
1
2
TU K
Conservacin de la energa: 1
2
ext TU W F
Equilibrio: F K
Energa en funcin de D:
0 0 det ) 0U K
Nota. Ahora se
comprueba que:
2
ij
i j
UK
1
2 ij i ji jU K
J.T. Celigeta 24
Propiedades topolgicas de [K]
Su estructura topolgica depende de la numeracin de los nudos.
Slo hay trminos no nulos en las celdas (nudos) donde se conectan barras
Estructura dispersa, o de banda compacta.
Los programas reordenan la numeracin de los nudos para obtener una
estructura de banda compacta de [K]
Se necesita menos memoria para almacenarla
Se facilita su factorizacin
Resumen del mtodo de rigidez
Celosa plana 10 nudos
n=20 ecs. Cada celdilla es 2 x 2
1
2
4
3
5
768 10
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
J.T. Celigeta
Propiedades topolgicas de [K]
Resumen del mtodo de rigidez 25
1
24
3 5 7
6 810
9
1 2 43 5
76
810
9
Operaciones para factorizar K
Algoritmo A B C
Llena
Simtrica n3/6 1330 1330 1330
Banda
Simtrica n m2/2-m3/3 1330 864 288
A B C
Llena n2 400 400 400
Llena
Simtrica n2/2+n/2 210 210 210
Banda
Simtrica n m m2/2 210 168 102
Dispersa 98 98 98
Almacenamiento de K
C) n=20 Matriz banda m=6
1
2
4
3
5
768 10
9
A) n=20 Matriz llena
B) n=20 Matriz banda m=12
J.T. Celigeta 26
Fuerzas aplicadas sobre los elementos
Se transforman en fuerzas nodales equivalentes,
mediante la fase de empotramiento perfecto (fase 0)
Las fuerzas de fase 0 pasan
con signo (-) al vector de
fuerzas exteriores
Resumen del mtodo de rigidez
Situacin
real
Fase 0 Fase 1
F0
-F0
J.T. Celigeta
Fases 0 y 1
Fase 0: no hay deformaciones de los nudos.
Todas las barras son biempotradas.
Tienen M, Q, N y deformaciones locales, segn el tipo de carga
Fase 1: los nudos se deforman bajo la accin de las cargas
exteriores aplicadas sobre ellos (las de fase 0 con signo -)
Todas las barras se deforman segn cbicas
Las barras tienen M (lineal), Q (constante) y N (constante)
Resumen del mtodo de rigidez 27
Fase 0 Fase 1
D0=0
F0 -F
0
K D1=-F0
v(x3)
u(x)
J.T. Celigeta 28
Tipos de fuerzas sobre los elementos (I)
Puntuales y distribuidas sobre las barras.
Tablas para vigas empotradas en todos sus grados de
libertad
Trmicas sobre las barras.
Temperatura media y gradiente en el canto de la barra
Tablas para vigas empotradas en todos sus g.d.l.
Resumen del mtodo de rigidez
EAaTm EAaTm
EIaTg EIaTg
EAaTm EAaTm
0
TP
J.T. Celigeta
Tipos de fuerzas sobre los elementos (II)
Errores en la forma de las barras (deformaciones de
montaje)
Se conoce la diferencia (error) entre:
la forma natural (descargada) de la barra y
la forma en la que se le obliga a ser montada en la
estructura
Resumen del mtodo de rigidez 29
E
Fuerzas de fase 0: las fuerzas necesarias para obligar a
la barra a montarse en la estructura
Aplicar dE
0
E L EP K
XL
YL
Forma
natural
Barra montada
en la estructura
Errores
de forma
J.T. Celigeta 30
Tipos de fuerzas sobre los elementos (III)
Fuerzas de montaje de las barras (Pretensiones)
Puede ser cualquier sistema de fuerzas que se est
aplicando sobre la barra en el momento del montaje de la
misma en la estructura
Deben estar en equilibrio entre s.
Son directamente las fuerzas de fase 0
0pretP
Resumen del mtodo de rigidez
Forma
natural
Barra montada
J.T. Celigeta 31
Tipos de fuerzas sobre los elementos (IV)
Fuerzas de montaje de las barras (Pretensiones)
habituales
Dos fuerzas iguales y de sentido contrario.
Fuerzas aplicadas desde el exterior
P
D
0pretP
N0 N0
Resumen del mtodo de rigidez
J.T. Celigeta
Esfuerzos interiores finales en las barras
Esfuerzos interiores son la suma de las dos fases:
Fase 0: no hay deformaciones de los nudos.
Todas las barras son biempotradas.
Esfuerzos interiores M, Q, N segn el tipo de carga (tablas o R.Mat.)
Fase 1: los nudos se deforman
Todas las barras se deforman segn cbicas
Las barras tienen M (lineal), Q (constante) y N (constante)
Resumen del mtodo de rigidez 32
Fase 0 Fase 1
F0
F1 = K D
1
M0
q L2
12
1 1e e eF K
0eF
J.T. Celigeta
Deformaciones finales en las barras
Deformacin real es la suma de las dos fases:
Fase 0: Todas las barras son biempotradas
No hay deformaciones de los nudos.
Deformaciones u,v de la barra segn el tipo de carga (tablas o R.M.)
Fase 1: los nudos se deforman
Todas las barras se deforman:
Lateralmente a flexin, segn cbicas v(x3)
Axial: linealmente u(x)
Resumen del mtodo de rigidez 33
Fase 0 Fase 1
D0=0
F0 -F
0
K D1=-F0
v(x3)
u(x)
v0
40 5
384CqL
vEI
J.T. Celigeta Lneas de influencia 34
Deformacin de las barras en la fase 1
Deformacin lateral v de una viga sin cargas, en funcin de las 2 deformaciones laterales y los 2 giros extremos
qJ
qI vdIY dJY
2 3 2 3 2 3 3 2(1 3 2 ) ( 2 ) (3 2 ) ( )IY I JY Jv L L
x
L
qJ
qIvC
dIY dJY
L/2 L/2
( )2 8
IY JYC I J
Lv
1
2Deformacin lateral en el centro vC
J.T. Celigeta Lneas de influencia 35
Deformacin de las barras en la fase 1 (cont)
Deformacin axial u de una viga sin cargas, en funcin de las 2 deformaciones axiales en los extremos
udIX
dJX
( )IX JX IX
u x
L