ROTACIONAL.
En coordenadas ortogonales está representado por:
∇× f = 1hr hθ hz [hr er hθ eθ hz e∅
∂∂r
∂∂θ
∂∂ z
hr f r hθ f θ hz f z]
Reemplazando en la transformación:
∇× f =1r [ er ℜθ e∅
∂∂r
∂∂θ
∂∂ z
f r rf θ f z]
EJEMPLO:
Determinar el rotacional de:
f = 1r2
er+r tanθer−z2ez
Solución
∆ ×f =1r [
er ℜθ ez
∂∂r
∂∂θ
∂∂ z
1r2
r2tanθ −z2]∇× f =1
r [er[ ∂∂θ
∂∂ z
r2 tanθ −z2]−ℜθ[ ∂∂θ
∂∂ z
1r2
−z2]+e z[ ∂∂r
∂∂θ
1r2
r2 tanθ ]][ ∂
∂θ∂
∂ zr2tanθ −z2]= ∂
∂θ(−z
2 )− ∂∂ z
r2tanθ=0
[ ∂∂ r
∂∂ z
1
r2−z2]= ∂
∂r(−z2 )− ∂
∂ z1
r2=0
[ ∂∂ r
∂∂θ
1
r2r2tanθ ]= ∂
∂ rr2tanθ−
∂∂θ
1
r2=2 rtanθ
Reemplazando:
∇× f =1r0er+0eθ+2rtanθ ez
∇× f =2 tanθez
LAPLACIANO.
En coordenadas ortogonales está representado por:
∇2. f = 1hr hθ hz
∂∂ r
hθ hz
hr
∂ f∂ r
+ ∂∂θ
hr hz
hθ
∂ f∂θ
+ ∂∂ z
hr hθ
hz
∂ f∂ z
Reemplazando en la transformación:
∇2. f =1r
∂∂ r
r∂ f∂ r
+ ∂∂θ1r
∂ f∂θ
+ ∂∂z
r∂ f∂ z
EJEMPLO:
Determinar el palaciano de:
f = r2
r+zcosθ
Solución:
∇2. f =1r
∂∂ r
r∂ fr
+ ∂∂θ1r
∂ f∂θ
+ ∂∂z
r∂ f∂ z
∂ f∂ r
=2 r (r )+z−r2
r+ z2cosθ= r2+2 rz
r+ z2cosθ
∂ f∂ r
=2 r (r )+z−r2
r+ z2cosθ= r2+2 rz
r+ z2cosθ
∂ f∂θ
=−r2
r+ zsenθ
∂ f∂ z
= −r 2
r+z2cosθ
∂∂ r
r∂ f∂ r
= ∂∂r
r ( r2+2 rzr+z2 )cosθ
∂∂ r
r∂ f∂ r
= ∂∂r
r3+2r 2 zr+z2
cosθ
∂∂ r
r∂ f∂ r
=3 r2+4 rz (r+z2 )−r3+2r 3+2 r2 z2 (r+z )
r+z4cosθ
∂∂ r
r∂ f∂ r
=3 r3+7 r2 z+4 r z2−2r3−4 r 2 zr+z3
cosθ
∂∂ r
r∂ f∂ r
= r3+3 r2 z+4 rz2
r+z3cosθ=
r (r2+3 rz+4 z2 )r+z3
cosθ
∂∂θ1r
∂ f∂θ
= ∂∂θ1r− r2
r+zsenθ= ∂
∂θ− r
r+zsenθ
∂∂θ1r
∂ f∂θ
= −rr+z
cosθ
∂∂ z
r∂ f∂ z
= ∂∂ z
− r3
r+z2cosθ
∂∂ z
r∂ f∂ z
=2 r3 (r+z )
r+z 4cosθ= 2 r3
r+z3cosθ
Reemplazando:
∇2. f =1r
rr 2+3 rz+4 z2
r+z3cosθ− r
r+zcosθ+ 2 r3
r+z3cosθ
∇2. f = r2+3 rz+4 z2
r+ z3cosθ− 1
r+zcosθ+ 2r2
r+z3cosθ
∇2. f =cosθr 2+3 rz+4 z2
r+z3− 1
r+z+ 2 r2
r+ z3
∇2. f = cosθr+z
r2+3rz+4 z2
r+z2−1+ 2 r2
r+z2
∇2. f = cosθr+z
3 r 2+3 rz+4 z2−r2−2 rz−z2
r+z2
∇2. f = cosθr+z
2 r2+rz+3 z2
r+z2
∇2. f =2 r2+rz+3 z2
r+z3cos θ
COORDENADAS ESFERICAS.
En coordenadas esféricas la posición del punto P se determina por las siguientes coordenadas:
0≤ r ≤+∞
0≤ θ≤ π
0≤∅ ≤2π
x=rcos∅ senθ
y=rsen∅ senθ
z=rcosθ
Ahora la trasformación de coordenadas ortogonales a esféricas estará dada por:
Vector tangente a la curva:
R=xi+ y j+ zk
R=rcos∅ senθ i+rsen∅ senθ j+rcosθ k
br=∂ R∂r
=cos∅ senθ i+sen∅ senθ j+cosθk
bθ=∂R∂θ
=rcos∅ cosθ i+rsen∅ cosθ j−rsenθ k
b∅=∂R∂z
=−rsen∅ senθ i+rcos∅ senθ j
Factores de escala:hr=br=1hθ=bθ=r
h∅=b∅=rsenθ
Vectores tangentes unitarios:
er=1hr
∂R∂r
=cos∅ senθ i+sen∅ senθ j+cosθk
eθ=1hθ
∂ R∂θ
=cos∅ cosθ i+sen∅ cosθ j−senθk
e∅=1h∅
∂ R∂ z
= 1rsenθ
−rsen∅ senθ i+rcos∅ senθ j=sen∅ i+cos∅ j
GRADIENTE:
En coordenadas ortogonales está representado por:
∇ f = 1hr
∂ f∂ r
er+1hθ
∂ f∂θ
eθ+1h∅
∂ f∂∅
e∅
Reemplazando en la transformación:
∇ f =∂ f∂r
er+1r
∂ f∂θ
eθ+1
rsenθ∂ f∂∅
e∅
Ejemplo:
Determinar el gradiente de:
f =1r
cosθsen∅
Solución:
∂ f∂ r
=−1r2
cosθsen∅
∂ f∂θ
=−1r
senθsen∅
∂ f∂∅
=1r
cosθcos∅
Reemplazando:
∇ f =−1r2
cosθsen∅ er−1
r2senθsen∅ eθ+
1rsenθ
1r
cosθcos∅ e∅
∇ f =−1r2
cosθsen∅ er−1
r2senθsen∅ eθ+
1
r2ctgθcos∅ e∅
∇ f = 1r2
(−cosθsen∅ er−senθsen∅ eθ+ctgθcos∅ e∅)
DEVERGENCIA.
En coordenadas ortogonales está representado por:
f =f r er+f θ eθ+f z e∅
∇ . f= 1hr hθh∅
∂∂r
hθ h∅ f r+∂
∂θhr h∅ f θ+
∂∂∅
hr hθ f ∅
Reemplazando en la transformación:
∇ . f= 1
r2 senθ
∂∂r
r2 senθ f r+∂
∂θrsenθ f θ+
∂∂∅
rf ∅
Ejemplo:
Determinar si el siguiente campo es selenoidal:
f =2cosθ
r3er+
senθ
r3eθ
Solución:
∇ . f=1
r2 senθ ( ∂∂ r
r2senθ
2cosθ
r3+
∂∂θ
rsenθsenθ
r3+
∂∂∅0)
∇ . f= 1r2 senθ ( ∂
∂ r2 senθcosθ
r+ ∂
∂θsen2θ
r2 )∇ . f=
1
r2 senθ (−2 senθcosθ
r2+2 senθcosθ
r2 )∇ . f = 1
r2 senθ(0)
∇ . f=0→esuncampo selenoidal .
ROTACIONAL.
En coordenadas ortogonales está representada por:
∇× f = 1hr hθ h∅ [hr er hθ eθ h∅ e∅
∂∂r
∂∂θ
∂∂∅
hr f r hθ f θ h∅ f ∅]
Reemplazando en la transformación:
∇× f = 1r2 senθ [ e1 r e1 rsenθe1
∂∂r
∂∂θ
∂∂∅
f r r f θ rsenθ f ∅]
Ejemplo:
Determinar si el siguiente campo es conservativo:
f =2cosθ
r3er+
senθ
r3eθ
Solución:
∇×f = 1
r2 senθ [e1 r e1 rsenθ e1∂∂r
∂∂θ
∂∂∅
2cosθr3
rsenθ
r3rsenθ(0)]
∇× f =1
r2 senθe1[ ∂
∂θ∂
∂∅senθ
r20 ]−r e1[ ∂
∂r∂
∂∅2cosθ
r30 ]+rsenθ e1[ ∂
∂r∂
∂θ2cosθ
r3senθ
r2]
[ ∂∂θ
∂∂∅
senθ
r 20 ]=0 ;[ ∂
∂r∂
∂∅2cosθ
r30 ]=0
[ ∂∂r
∂∂θ
2cosθ
r3senθ
r2]= ∂
∂rsenθ
r2−
∂∂θ2cosθ
r3
[ ∂∂r
∂∂θ
2cosθ
r3senθ
r2]=2 senθ
r3+2 senθ
r3=0
Reemplazando:
∇× f = 1
r2 senθ¿¿
∇× f =0→el campo esconservativo .
LAPLACIANO.
En coordenadas ortogonales está dado por:
∇2. f = 1hr hθ h∅
( ∂∂r
hθ h∅
hr
∂ f∂ r
+ ∂∂θ
hr h∅
hθ
∂ f∂θ
+ ∂∂∅
hr hθ
h∅
∂ f∂∅ )
Reemplazando en la transformación:
∇2. f = 1
r2 senθ ( ∂∂r
r2 senθ∂ f∂ r
+ ∂∂θ
senθ∂ f∂θ
+ ∂∂∅
1senθ
∂ f∂∅ )
Ejemplo:
Determinar el laplaciano de:
f = r2
∅+θcosθ
Solución:
∂ f∂ r
= 2 r∅+θ
cosθ
∂ f∂θ
=r2−senθ(∅+θ)−cosθ
(∅+θ)2
∂ f∂∅
= −r2
∅+θ2c osθ
∂∂r
r2 senθ∂ f∂r
= ∂∂r
2 r3
∅+θsenθcosθ
∂∂ r
r2 senθ∂ f∂r
= 6 r2
(∅+θ )senθcosθ …….( A)
∂∂θ
senθ∂ f∂θ
= ∂∂θ
r2−sen2θ(∅+θ)−senθcosθ
(∅+θ)2
∂∂θ
senθ∂ f∂θ
=r2−sen2θ (∅+θ )2− (∅+θ )+3 sen2θ (∅+θ )−sen2θ
(∅+θ)3
∂∂θ
senθ∂ f∂θ
=r2(∅+θ ) (−sen2θ (∅+θ )−1+3 sen2θ )−sen 2θ
(∅+θ )3……. (B )
∂∂∅
1senθ
∂ f∂∅
= ∂∂∅
− r2
(∅+θ )2tanθ
∂∂∅
1senθ
∂ f∂∅
= 2r2
(∅+θ )3tanθ……. (C )
Reemplazando:
∇2. f = 1
r2 senθ( A+B+C )
A1
r2 senθ= 6 r2
(∅+θ )senθcosθ( 1
r2 senθ )= 6(∅+θ )
cosθ …….(P)
B1
r2 senθ= 1
(∅+θ )3(∅+θ )−cosθ (∅+θ )− 1
senθ+3 senθ−2cosθ
B1
r2 senθ= 1
(∅+θ )2−cosθ (∅+θ ) 1
senθ+3 senθ−2cosθ …….(Q)
C1
r2 senθ= 2 r2
(∅+θ )3tanθ ( 1
r2 senθ )C
1
r2 senθ= 2
(∅+θ )3tanθsecθ …….(R)
∇2. f =P+Q+R
∇2. f=6
(∅+θ )cosθ+( 1
(∅+θ )2−cosθ (∅+θ ) 1
senθ+3 senθ−2cosθ)+ 2
(∅+θ )3tanθsecθ
WRONSKIANO.
Es una función llamada así por el matemático polaco Josef Hoene – Wronski tiene gran importancia en el estudio de ecuaciones diferenciales.
Dado un conjunto de N funciones está definida por:
W ( f 1… …….. f n )=[ f 1 f 2f '1 f '
2
… f n
⋯ f 'n
⋮ ⋮f 1
(n−1) f 1(n−1)
⋱ ⋮… f 1
(n−1)]El wronskiano es el determinante de la matriz construida al colocar las funciones en el primer reglón, la primera derivada e cada función en el segundo reglón y así sucesivamente hasta la derivada n-1 formando así una matriz llamada cuadrada llamada muchas veces matriz fundamental.
EL WRONSKIANO Y LA INDEPENDENCIA LINEAL.
El wronskiano es usado para determinar si un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo dado.
Si el wronskiano es distinto de cero en algún punto de un intervalo, entonces las funciones asociadas son linealmente independientes en el intervalo.
W f 1……… .. f n≠0
Si un conjunto de funciones es linealmente dependiente es un intervalo eso implica obligatoriamente que el wronskiano es igual a cero, pero esta proposición no implica la primera.Por ejemplo comprobar si las siguientes funciones son linealmente independientes:
y1=ex ; y2=e− x
Solución:
W ( y1 , y2)=[ y1 y2y '1 y ' 2]
y '1=ex
y '2=−e−x
Reemplazando:
W ( y1 , y2)=[e x e−x
e x −e−x ]W ( y1 , y2)=−¿
EL WRONSKIANO Y LA SOLUCION DE EDUCACIONES DIFERENCIALES.
Se usa el método de variación de parámetros donde el wronskiano estará dado por la función complementaria ( yc).
Sea la ecuación diferencial:
y ' '+ p ( x ) y '+q (x ) y=f ( x )
donde : yc= y1+ y2
TENSORES.
TENSORES DE SEGUNDO ORDEN:
Observemos el convenio de sumación de los índices repetidos o también denominado notación indicial, así tendremos:
O todavía mas simplificadamente: ajxj adoptando el convenio de que cuando aparezcan un índice repetido se entenderá como una suma desde el valor uno hasta n.
Se denomina tensor de segundo orden o diacticas cuando la expresión indicial tiene dos índices libres.
La representación de este tensor será: