DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ECONOMÍA
MATEMÁTICAS III
SEGUNDO SEMESTRE 2011
Profesores: José Luis Bonifaz (A) Jefes de prácticas: Bill Gee (A)
Oswaldo Velásquez (B) Gonzalo Chávez (B)
Carlos Aparicio (C) Fabricio Chala (C)
Fernando Ruíz
Enrique Valeriano (D) Enrique Chávez (D)
Diego Novoa
Solución de la Práctica Dirigida Nº 5
Sucesiones en Rn, límites y continuidad de funciones, derivadas parciales y direccionales, y
transformaciones de Rn a Rm
1. Sea nna )( la sucesión definida por .1
12
n
nan
a) Determine si nna )( es monótona y especifique el tipo de monotonía de ser el caso.
Solución.
Únicamente, debe iterarse el valor de n desde cero hasta un número natural prudente para
verificar si existe monotonía o no.
b) Muestre que nna )( es convergente y calcule su límite L.
Solución.
2 1lim lim
1n
n n
na
n
Por la regla de L’ Hôpital, deducimos que:
2 1lim lim 2
1n
n n
nL a
n
Por tanto, es convergente y su límite es 2.
c) Determine 0n tal que, 410 Lan para todo .0nn
Solución.
40
0
4 4
0
4 4
0
4 4
0 0
2 12 10
1
110 10
1
110 10
1
10 ( 1) 1 10 ( 1)
n
n
n
n
n n
Como nos interesa saber, únicamente, 0n decidimos por optar por la parte positiva de la
inecuación:
4
0
4
0
0
1 10 ( 1)
10 1
9,999
n
n
n
2. Analice la convergencia o divergencia de la sucesión .)1)(2(
123
0
2
nnn
nn
Solución.
2
123limlim
2
2
nn
nnS
nn
n
Por la regla de L’Hôspital:
32
6lim
12
26limlim
nnn
n n
nS
Por lo tanto, la sucesión converge a 3.
3. Una de las propiedades fundamentales del Análisis Real es el Teorema de Bolzano-Weierstrass
para sucesiones reales: “Toda sucesión acotada de números reales posee una subsucesión
convergente”. Analice solo el caso donde .)( 2mx
Solución.
Por simplicidad en la notación, haremos la demostración para el caso 2n . Sea 2)( mx una
sucesión acotada, luego ))(())(( 21 mm xyx son sucesiones acotadas.
Como ))(( 1 mx es acotada, por el Teorema de Bolzano-Weierstrass para sucesiones reales,
tenemos que existe ))(())(( 11 mk xxm
tal que 11 )(lim xxmk
m
.
Consideremos ahora la sucesión ))(( 2 mkx , la cual es acotada; usando nuevamente el
Teorema de Bolzano-Weierstrass para sucesiones reales, tenemos que existe
))(())(( 22 mmk kj xx tal que 22 ))((lim xxmkjm
.
Observe que ))(())(( 11 mmk kj xx , y se sabe que, si axmm
lim entonces toda subsucesión de
)( mx converge hacia a.
Entonces, tenemos que 11 ))((lim xxmkjm
. Si definimos
2
21 ),( xxx , entonces
)2,1())((lim
ixx ijim mk
, es decir xxmkjm
lim . De esta manera, hemos construido
)()(mmk kj xx subsucesión convergente.
4. Dada la función 2:Gf y )(0 GAdhx si existe Lxfxx
)(lim0
dicho límite es único.
Con el enunciado anterior, demuestre que el límite de la función 2121 ),( xxxxf vale 0, cuando el
vector ),( 21 xx tiende al vector nulo. (Note que )(0,00 GAdhxt )
Solución.
Aplicando directamente la definición dada, consideremos un número positivo y elijamos, a partir
de éste, otro también positivo )( , tal que si se verifica que
0),(
0
021
2
1xxf
x
x
Pues bien, elijamos )( , entonces tenemos
0
0
22
11
xx
xx
Veamos entonces cuánto vale 0),( 21 xxf
2
212121 00),( xxxxxxf
Como queríamos demostrar, ya que
0)(0,,0 xfx
5. Mediante los procedimientos de límites iterados y límites direccionales, demuestre la existencia y la
unicidad del límite de la función 22
32
),(yx
yxyxf
siempre que
0),( tyx y considere, además,
que .0,00
tx
Solución.
Utilizando los límites iterados:
Si 0y , tenemos que
yyx
yxyxf
xx
22
32
00lim),(lim
Si 0y
1lim)(lim2
2
00
0
x
xxf
xx
Por tanto,
01
0)(2
ysi
ysiyyf
Así pues,
0lim)(lim0
20
yyfyy
Por otro lado, calculemos )(1 xf
00
01)(
0lim)0(,0
1lim)(,0
1
2
3
01
22
32
01
xsi
xsixf
y
yfxsi
yx
yxxfxsi
y
y
Por tanto,
11lim)(lim0
10
xx
xf
Por lo cual ambos límites iterados existen y son distintos; no obstante, esto no garantiza que el
límite exista como único.
Utilizando los límites direccionales:
Tomando límites direccionales según rectas nos quedaría:
mxyyxfx
);,(lim0
222
332
0lim
xmx
xmx
x
)1(
)1(lim
22
32
0 mx
xmx
x
222
32
0 1
1lim
myx
yx
x
El límite depende de la pendiente de la recta; por ende, el límite no existe.
6. Demuestre que la función real 2
2
2
121 ),( xxxxf es definida continua para todo
.),( 2
21 txx Puede utilizar para su facilidad la composición de funciones.
Solución.
Obsérvese cómo puede obtenerse f como composición de dos funciones, la primera f1 de 2
R en R
definida de tal manera que a todo par de elementos de le hace corresponder la suma de sus
cuadrados:
1 2 2
1 2 1 2( , )f
x x x x
Y la segunda, f2 de
R en R definida de tal manera que a todo número real positivo, le hace
corresponder su raíz cuadrada.
2fy y
Es, por tanto, una función continua, puesto que f1 y f2 lo son.
7. Dada la función de producción, obtenga mediante límites:
,),( 2
2
121 xxxxf
a) La productividad marginal del primer factor utilizando la derivada parcial, si se sabe que el
segundo factor no varía.
Solución.
La productividad marginal del primer favor vendrá dada por
),()(lim 21211
0
xxfxxf
2
2
12
2
1
0
)(lim
xxxx
212
2
21
02
2lim xx
xxx
b) La productividad marginal conjunta utilizando la noción de derivada direccional, si el primer
factor aumenta en una unidad y el segundo se reduce en dos unidades.
Solución.
La derivada direccional de f según el vector nv en el punto Gx 0 se define como:
)()(lim)( 00
00
xfvxfxfDv
Nuestro problema enuncia que las productividades marginales irán en dirección del vector t)2,1( :
)()(lim)(
0
xfvxfxfDv
),())2,1(),((lim 2121
0
xxfxxf
),()2,(lim 2121
0
xxfxxf
2
2
12
2
1
0
)2()(lim
xxxx
)2()4()22(lim
3
12
22
121
0
xxxxx
2
121 22 xxx
2
121 )2()2(1 xxx
)2,1(),2( 2
121
txxx
vxf t))((
Es decir, cuando estamos en el punto ),( 21 xxx y nos movemos en la dirección definida por el
vector )2,1( la tendencia de la variación que sufre la función f vendrá dada por 2
121 22 xxx .
8. Si la función mnGf : es diferenciable en ,Dx entonces la diferencial viene
caracterizada por la matriz jacobiana, de forma que:
vxJfvxDfv
xDf
t
mn
)()()(
:)(
Solución.
Revisar los libros y apuntes. Esta relación entre la matriz jacobiana y el vector gradiente de una
función vectorial y escalar, respectivamente, ha sido expuesta en clase. No olvidar sus notables
diferencias para el cálculo de la diferencial de una función.
9. Dadas las funciones responden a las transformaciones lineales: 33: F y
23: G y,
t
ty
vuwvuwvuG
zyxzxzyxF
3/12
2/12
,),,(
)ln(,,),,(
a) Si se forma la composición de funciones ,FG calcule la diferencial de dicha composición
evaluada en el vector .1,1,1t
Solución.
Primero que nada, vemos los órdenes de las transformaciones:
33: F y 23: G
Dado que existe concordancia entre el output de F y el input de G, entonces es factible realizar
la composición. Así:
t
GF
zyxxdondexFGxFG ,,),()(
233
Jacobiano de F:
zyz
xxyx
zx
fDfDfD
fDfDfD
fDfDfD
xFJ yy
zyx
zyx
zyx
1ln0
0ln
5.002
)( 1
5.0
333
222
111
Jacobiano de G:
uvw
u
gDgDgD
gDgDgDxGJ
mvu
mvu3/2
222
111
3
1012
)(
Por la regla de la cadena:
FDGDFGD
El punto de evaluación es .1,1,1t
Para ello, debemos tener en cuenta que:
1,10,1,00,1,01,1,1 GyF
Por tanto: )1,1(1,1,1 FG
003/1
001
100
001
2/102
03/10
0101,1,1
1,1,10,1,01,1,1
FGD
FDGDFGD
b) Halle el vector aproximado de la composición FG en el punto .02.1,99.0,01.1t
Solución.
La aproximación se da alrededor del punto .1,1,1t
)1,1,1(1,1,102.1,99.0,01.1 FGdFGFG
El vector de cambios: x
02.0
01.0
01.0
102.1
199.0
101.1
xd
La matriz diferencial de la función compuesta es:
)3/1(01.0
01.0
02.0
01.0
01.0
003/1
001
xdFGDFGd
Finalmente, dado que de a), sabemos que :)1,1(1,1,1 FG
003.1
01.1
)3/1(01.0
01.0
1
102.1,99.0,01.1FG
Sujeto a errores del autor
BG / bg