TEMA 5 SERIES NUMRICAS
1
Serie numrica Dada una sucesin an , se llama serie numrica aa1, a2 , a3 ,KK : Trminos de la serie
an=1
n
Sumas parciales de una serie Sea an una sucesin. Se llama sucesin de sumas parciales de la serie
an=1
n
a la sucesin
Sn = a1 + a2 + LLL+ an
Carcter de una serie Sea Sn la sucesin de sumas parciales de la serie Si lim Sn = S entoncesn
an=1
n
an=1 n
n
= S y se dice que la serie es convergente
Si lim Sn = entonces nn
an=1
= y se dice que la serie es divergente
Si lim Sn no existe entonces se dice que la serie
an=1
n
es oscilante
2
Series geomtricas Se llama serie geomtrica de razn q a la serie
qn=1
n
, q
Se verifica que Si q < 1 entonces la serie es convergente y Si q 1 entonces la serie es divergente y Si q 1 entonces la serie Nota
n=1 n=1
qn = =
q 1 q
q
n
qn=1
n
es oscilante
qk Si q < 1 entonces q = 1 q n=k Ejemplo Estudiar el carcter de las siguientes series 1 2n n 3 n=1 n=1n
(1)n=1
n
Solucin
3
Ejercicio Estudiar el carcter de las siguientes series 1 an , a 7n 4n n=1 n=1
Serie armnica Se llama serie armnica a la serie Nota La serie armnica1 n n=1
nn=1
1
es divergente
Series telescpicas Se caracterizan por que los trminos (sumandos) se van cancelando, quedando solo unos pocos que nos indican lo que vale la suma. Ejemplo 1 1 Estudiar el carcter de la serie n n +1 n=1 Solucin
Ejercicio Estudiar el carcter de la serie
( n +1 n ) n=1
4
Propiedades Si
an=1
n
y
bn=1 n
n
son series convergentes entonces las
series
(an=1
+ bn ) y
C an=1
n
son convergentes. Adems
(an=1
n
+ bn ) = an +bnn=1 n=1
C an=1
n
= C ann=1 n
Las series
an=1
y
n=n0
a
n
tienen el mismo carcter (no la misma suma)
Ejemplo Estudiar el carcter de la serie Solucin
1+ 2n1 4n n=1
Ejercicio
3n +1 n + n +1 n Estudiar el carcter de la serie 5 n(n + 1) n =1
5
Condicin necesaria de convergencia de una serie Si una serie Ejemplo Estudiar el carcter de la serie Solucin
an=1
n
es convergente entonces lim an = 0n
n =1
1 Log 2 n
Ejercicio Estudiar el carcter de las siguientes series nn 1 n! 3 cos (1 n ) n=1 n =1
Series de trminos positivos Se dice que Nota Una serie de trminos positivos puede ser convergente divergente, pero nunca puede ser oscilante
an=1
n
es una serie de trminos positivos si an 0 , n N
6
Series mayorantes y minorantes Sean
an=1
n
y
bn=1
n
series de trminos positivos. Se dice que
an=1
n
es una mayorante (minorante) de Criterio de comparacin Sean Si Si
bn=1
n
si an bn ( an bn ) para n N0
an=1
n
y
bn=1
n
series de trminos positivos.
an=1 n=1
n
es una mayorante de es una minorante de
bn=1
n
y y
an=1
n
< entonces
bn=1
n
1 entonces la serie Ejercicio Estudiar el carcter de las siguientes series n 3 + cos 7 + sen2 (n3 ) 2 n2 + 5 n +1 n =1 n=1
nn=1
1
es divergente
1 n es convergente n=1
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Criterio de comparacin en el lmite Sean
an yn=1
bn series de trminos positivos tales que limn=1
n
Si 0 < < entonces
an=1
n
y
bn=1
an = bn
n
tienen el mismo carcter
Si = 0 entonces an es una minorante de Si Si
b an=1 n=1
n=1
bn=1
n
. Por lo tanto
n
< entonces = entonces
abn=1 n=1
n
0 , la serie Ejercicio
n =1
an es convergente an + bn
Sea a n una sucesin de nmeros reales tal que 0 < a n 13 . Estudiar el carcter de la serie
n =1
1 a n Log 1 + sen 2 n + n + 13
11
Criterio del producto (Pringsheim) Sea
an=1
n
una serie de trminos positivos y tal que lim n an = n
Si 0 < <
> 1 entoncesy
a an=1 n=1
n
es convergente es divergente
1 entoncesSi = 0 y > 1 entonces Si = y 1 entonces Ejemplo
n
a an=1 n=1
n
es convergente es divergente
n
Estudiar el carcter de las siguientes series n+3 n nLog (n ) n6 + n + 3 n=2 n =1
Solucin
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Criterio del cociente Sea
an=1
n
una serie de trminos positivos tal que a lim n+1 = n a n
Si < 1 entonces Si > 1 entonces Ejemplo
a an=1 n=1
n
es convergente es divergente
n
Estudiar el carcter de las siguientes series an 2n a>0 n n! n =1 n =1
Solucin
13
Criterio del Raabe Sea
an=1
n
una serie de trminos positivos tal que a lim n+1 = 1 n a n
Supongamos que a lim n 1 n+1 = a n n Si > 1 entonces an es convergente
Si < 1 entonces
an=1
n=1
n
es divergente
14
Ejemplo Estudiar el carcter de las siguientes series 1 3 5 L L (2 n 1) 2 4 6 L L (2 n ) n =1
n =1
Solucin
( + 1)( + 2 )L L ( + n 1) n x ( + 1)( + 2 )L L ( + n 1)
1 3 n =1
1 1 1 1+ + +LL+ 2 3 n
,,x > 0
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Criterio de la raz Sea
an=1
n
una serie de trminos positivos tal quelim n an = n
Si < 1 entonces Si > 1 entonces Ejemplo
a an=1 n=1
n
es convergente es divergente
n
Estudiar el carcter de la serie
n =1
n + 1 n 6n 2 + 2n + 1 + 2 n 3n + 7 n 8
n
Solucin
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Criterio logartmico Sea
an=1
n
una serie de trminos positivos tal que1 Log a n = lim n Log n
Si > 1 entonces Si < 1 entonces Ejemplo
a an=1 n=1
n
es convergente es divergente
n
Estudiar el carcter de la serie Solucin
n =1
1n
1 1 + n
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Criterio de condensacin Sea an una sucesin montona decreciente de trminos positivos. Entonces las series Ejemplo Estudiar el carcter de la serie 1 >0 2 n = 2 n (Log (n ))
an=1
n
y
2 an n=1
2n
tienen el mismo carcter
Solucin
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Ejercicio Estudiar el carcter de las siguientes series
n =1 n =1
n
2 3
+1
n4 + 7n + 5 2 5 8 L L (3n 1) 3 4 5 L L (n + 2 )
n =1
(n!) 4 (2 n )!2 n =1
1 3 n =1 2n n cos 2n + 4
n
1 1 1 1+ + +LL+ 2 3 n
( n =1
n
n 1
)
n
n =1
1 4 7 L L (3n 2 ) 3 6 9 L L (3n )
2
Ejercicio Estudiar el carcter de las siguientes series segn los valores de los parmetros que se indican: n2 (3 n k + 4 ) b n k , b > 0 a 3 2 e an n + 3n + 2 n n =1 n =1
n =1
( + 1)( + 2 )LL ( + n )n!
>0
n =1
1 1 1 1 + 2 + 4 + 6 L L n + 2 n 2 4 8 2 n k n!
k>0
Log 1
+
Log 2
+
Log 3
+ LL +
Log ( n )
+ LL
>0
n=2
5 n 5 1 + 2 1 n (Log (n ))
>019
Series alternadas Una serie
an=1
n
es alternada si sus trminos son alternativamente
positivos y negativos Nota La forma ms comn de presentar una serie alternada es
(1) an n=1
n
, an 0
Criterio de Leibniz Sea
an=1
n
una serie alternada tal que
lim an = 0n
bn = an
es montona decreciente
Entonces la serie
an=1
n
es convergente
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Ejemplo Estudiar el carcter de la serie Solucin
n =1
( 1)nn
Ejemplo Dgase, justificando la respuesta, si es cierta o falsa la proposicin siguiente: Si a n es una sucesin acotada de nmeros reales tal que para todo n N se an verifica a n a n +1 < 0 y a n +1 < a n , entonces la serie es convergente. n +1 n =1 Solucin
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Ejemplo Dgase razonadamente si es convergente la sucesin a n que verifica que ( 1)n para todo n N a1 = 13 y a n +1 = a n + n Solucin
Ejercicio Estudiar el carcter de la serie Ejercicio
n =1
( 1)nn
Sea a n una sucesin que verifica a1 = 7 y a n +1 = a n Estudiar la convergencia de la sucesin a n Estudiar la convergencia de la serie valores del parmetro real > 0
( 1)n +n2
. Se pide:
n =1
an 3 + n
segn los diversos
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Series de trminos arbitrarios Son series donde los trminos (sumandos) son arbitrariamente positivos y negativos Serie absolutamente convergente Una serie
an=1
an=1
n
es absolutamente convergente si
n
es convergente.
Teorema Si
an=1
n
es absolutamente convergente entonces es convergente
Serie condicionalmente convergente Una serie
an=1
n
es condicionalmente convergente si es
convergente pero no absolutamente convergente Nota Para analizar la convergencia de una serie
an=1
n
de trminos arbitrarios,
estudiaremos previamente el carcter de la serie
an=1
n
, que es una
serie de trminos positivos mucho mas fcil de tratar
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Ejemplo Estudiar la convergencia de las siguientes series ( 1)n sen (nx ) x 2 n + 2n + 2 n3 n =1 n =1
Solucin
Ejercicio Estudiar la convergencia ( 1)n 1 tg 1 n n n =1
de las siguientes series cos (n ) n2 n =1
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Suma de series Serie geomtrica Es una serie de la forma
qn=k
n
, q n
qk Si q < 1 entonces q = 1 q n =kEjemplo Hallar la suma de la serie Solucin
n=0
2n + 5n 6n
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Serie aritmtico-geomtrica Se llama serie aritmtico-geomtrica de orden k a la serie
P(n) qn=1
n
P(n) : Polinomio de grado k
q : Razn
Nota Si q < 1 entonces Nota
P(n) qn=1
n
es convergente
Si S = P(n) qn , los pasos para calcular S son Hallar S qS que se obtendr sumando una serie geomtrica un serie aritmtico-geomtrica de orden menor que k Despejar S Ejemplo Hallar la suma de las siguientes series 4n 1 n2 2n 3n n =1 n =1 Solucinn=1
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Serie telescpica Se caracteriza por que los trminos (sumandos) se van cancelando, quedando solo unos pocos que nos indican lo que vale la suma. Ejemplo Hallar la suma de las siguientes series 1 n 1 n2 + n n (n + 1)(n + 2 ) n =1 n =1 n +1 (n + 2 )! n =1 1 n Log 1 + (1 + n ) n n +1 nLog (n )Log (n + 1)
n=2
Solucin
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Ejemplo Sea a n una sucesin tal que a1 = 1 y lim an = 14 . Sea la serie n bn = a n a n 1 . Se pide: Estudiar la convergencia de dicha serie En caso afirmativo, hallar su suma Solucin
bn =2
n
donde
Ejercicio Hallar la suma de las siguientes series n n + ( 1) 7 3 n 1 + 2 n 5n 4n2 n =1 n=2
n=2
2 n 1 2 n + 3 3 n n
n =1
1 (n + 1) n + n n + 1
3n + n 2 + n 3n +1 n (n + 1) n =1 1 Log 1 2 n n=2
Ejercicio Estudiar el carcter de la serie Hallar su suma para r = 1
(2 4 6 LL (2n )) r n 6n (n 1)! n =1
, r>0
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Suma de aproximada de series Resto de una serie Se llama resto de orden n de la serieRn =k =n+1
ak
an=1
n
a
Clculo aproximado de la suma Aproximamos
an=1
n
Sn = a1 + a2 +LLL+ an
Error : Rn Estimacin del error cometido Si
an=1
n
es alternada y bn = an es decreciente entoncesRn an+1
Si
an=1
n
es una serie de trminos positivos, acotaremos el
error Rn , en la medida de lo posible, mediante expresiones donde aparezcan series geomtricas.
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Ejemplo Hallar una suma aproximada de las siguientes series con un error menor que una milsima. 1 2n n n +1 ( 1) n n! n! (5n + 3 ) 7 n =1 n =1 n =1
Solucin
Ejercicio Hallar una suma aproximada de las siguientes series con un error menor que una milsima. n ( 1)n n n! n2 + 1 n =1 2 n =1
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