CÁLCULO 3
Departamento de CienciasJuan Carlos Broncano Torres
Derivada Parcial, Direccional, Plano Tangente y Gradiente
¿Qué dirección debe tomar el esquiador si quiere bajar la montaña rápidamente?
En 1696 el matemático Johann Bernoulli anunció a la comunidad matemática la solución al problema de la braquistocrona (curva que sigue el descenso más rápido cuando existe gravedad y que es objeto de estudio en el cálculo de variaciones), mostrando que la solución era una cicloide. Leibniz, Newton, Jakob Bernoulli y Guillaume de l'Hôpital, encontraron la solución del problema enunciado por Bernoulli.
¿Es posible Encontrar una dirección de descenso mas rápido sobre una
superficie ?
Curva Maravillosa: Braquistócrona
Un curva braquistócrona, o curva del descenso más rápido, es la curva entre dos puntos que es recorrida en menor tiempo, por un cuerpo que comienza en el punto inicial con velocidad cero, y que debe desplazarse a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción.
Cicloide generada por una circunferencia.
Comparación entre una trayectoria braquistócrona, y otras dos trayectorias posibles.
Logros de la sesión:
Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas vinculados a la gestión e ingeniería a partir de la derivada parcial y direccional usando el cálculo de la gradiente, e interpretando su resultado con las propiedades físicas que el tiene.
DERIVADAS PARCIALES
NOTACIÓN DE LAS DERIVADAS PARCIALES
Ejemplo
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
PLANO TANGENTE
Se llama plano tangente a una superficie en un punto P de la misma, al plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto P.
ECUACIÓN DEL PLANO TANGENTE
Ejemplo Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloide en el punto
RECTA NORMAL Se llama recta normal a una superficie a la recta que pasa por un punto P y es perpendicular al plano tangente.
LA GRADIENTE
PROPIEDADES DE LA GRADIENTE
Ejemplo
Determine la ecuación del plano tangente y la recta normal al hiperboloide de dos mantos en el puntoSoluciónHaciendo: 1),,( 222 yxzzyxFtenemos que:
6
2
1
2
42
22
zz
yy
xx
zF
yF
xF
Por tanto, la ecuación del plano tangente es: 062 zyx
Por otro lado, la ecuación de la recta normal es :
626
42
21
tz
ty
tx
Ejemplo
Ejemplo Hallar el o los puntos de la esfera en los cuales el plano
tangente es paralelo al planoSolución
Sea uno de estos puntos, entonces por estar en la esfera: Por otro lado, por ser el plano tangente a la esfera en el punto
paralelos, sus vectores normales son paralelos, es decir : y el plano
Entonces se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
De donde obtenemos que los puntos que buscamos son:
Ejemplo ¿En qué punto de la superficie la recta normal es paralela al vector
?
Solución Sea el punto que buscamos. Si la recta normal es paralela al vector entonces su vector director también es paralelo a ;con lo cual, si :
entonces :
Evaluando en esta sobre la superficie, por lo que satisface su ecuación :
Obtenemos el siguiente sistema:
Y así, el punto buscado es:
DERIVADA DIRECCIONAL
La derivada direccional de f en la dirección dada por el vector unitario u está dada por:
s
y)f(x, - ) suy ,su x( f lim y)f(x, 21
0s
u
D
si el límite existe.
Teorema: Si f tiene sus primeras derivadas parciales continuas entonces tiene derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario u y se cumple:
2y1x u y)(x, f u y)(x, f y)f(x, u
D
# CÓDIGO AUTOR TÍTULO EDITORIAL
1515.33 PURC
PURCELL, EDWIN J.
Cálculo Diferencial E Integral
Pearson Educación
2515
STEW/M 2002
STEWART, JAMES
Cálculo Multivariable
Cuarta edición, Mexico 2001, Edit. Thomson
3 515 HOFF/C 2006
HOFFMANN, LAURENCE D.
Cálculo Aplicado Para Administración,
Economía Y Ciencias Sociales
Octava edición, México
2007,.Mcgrawhill
BIBLIOGRAFÍA
http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/SUPERIOR/derivada-direccional/node1.html