Matemática Básica (Ing.) 1
Sesión 13.1
Cónicas: Parábola
Matemática Básica (Ing.) 2
Consideraciones previas
Antena
Reflector parabólico
La señal satelital es recibida porla antena e ingresa al decodificador,y las imágenes se ven en la TV.
Refle
ctor
par
aból
ico
Matemática Básica (Ing.) 3
Generación de cónicas
Parábola Elipse Hipérbola
La ecuación algebraica que define a las cónicas es:
022 FEyDxCyBxyAxdonde A, B y C no son todas cero
Matemática Básica (Ing.) 4
Geometría de la parábolaDefiniciónUna parábola es el conjunto de puntos en un planoque equidistan de una recta fija (la directriz)y un punto fijo (el foco).
Línea directriz
F: Foco
Distancia ala directriz
Punto (x; y) de la parábola
V: Vértice
Distancia al foco
FV
Eje de la parábola
Matemática Básica (Ing.) 5
Comprensión de la definición de la parábola1. Demuestre que el vértice de la parábola con
foco (0; 1) y directriz y = -1 es (0; 0).2. Obtenga una ecuación para la parábola que se
muestra en la figura.
y = -1
Parábola
Foco
Vértice
Eje
Directriz
Matemática Básica (Ing.) 6
Ecuación de la parábola con el eje focal en el eje y
D(P, F) = d(P, directriz)
Gráficas de x2 = 4py con:a) p > 0 b) p < 0
x
y
F(0, p)
y = -p
P(x, y)
|p|
|p|
x2=4py
x2=4py);( yxP
);0( pF
P
P
Py
y
x
x2=4py
Matemática Básica (Ing.) 7
Ejercicios1. Determine el foco, la directriz y el ancho focal
de la parábola:
a) .
b)
214y x
2 6x y
Matemática Básica (Ing.) 8
y
xF(p, 0)
x = -p
P(x, y)
p p
y2=4px
y
xF(p, 0)
x = -p
P(x, y)
|p||p|
y2=4px
D(P, F) = d(P, directriz)
Gráficas de y2 = 4px con:a) p > 0 b) p < 0
Ecuación de la parábola con el eje focal en el eje x
Matemática Básica (Ing.) 9
Ejercicios2. Determine el foco, la directriz y el ancho focal
de la parábola:
y2 = –8x
Matemática Básica (Ing.) 10
Parábolas con vértice en (0; 0)Ecuaciónestándar
Abre
Foco
Directriz
Eje
Longitud focal
Ancho focal
x2 = 4py
Hacia arribao hacia abajo
(0; p)
y = -p
eje y
|p|
|4p|
y2 = 4px
Hacia la der.o hacia la izq.
(p; 0)
x = -p
eje x
|p|
|4p|
Matemática Básica (Ing.) 11
Ejercicios3. Determine la ecuación estándar de una parábola
cuya directriz es la línea x = 2 y cuyo foco es el punto (-2; 0)
4. Determine la ecuación estándar de una parábola que satisface las condiciones dadas:
a) Foco (-4; 0), directriz x = 4.
b) Vértice (0; 0), se abre a la derecha, anchurafocal = 8.
Matemática Básica (Ing.) 12
Traslación de parábolas
(h, k)(h, k+p)
x
y
Parábolas con vértice (h, k) y focos en el punto:a) (h, k+p) b) (h+p, k)
x
y
(h, k)(h+p, k)
Matemática Básica (Ing.) 13
Parábolas con vértice (h, k)Ecuaciónestándar
Abre
Foco
Directriz
Eje
Longitud focal
Ancho focal
(x–h)2 = 4p(y–k)
Hacia arribao hacia abajo
(h, k+p)
y = k – p
x = h
|p|
|4p|
(y–k)2 = 4p(x–h)
Hacia la derechao hacia la izq.
(h+p, k)
x = h – p
y = k
|p|
|4p|
Matemática Básica (Ing.) 14
Ejercicios5. Obtenga la forma estándar de la ecuación de la
parábola con vértice (3; 4) y foco (5; 4).
6. Determine la ecuación estándar de una parábola que satisface la condición dada: Foco (3; 4), directriz y = 1.
7. Pruebe que la gráfica de la ecuación es una parábola y obtenga su vértice, foco y directriz
y2 – 2y + 4x - 12 = 0
Matemática Básica (Ing.) 15
ModelaciónEn las líneas laterales de cada juego de fútbol transmitido por TV, la cadena CMD (Cable MágicoDeportes) utiliza un reflector parabólico con un micrófono en el foco del reflector para captar las conversaciones entre los jugadores en el campo.
Si el reflector parabólico es de 3 pies de anchoy un pie de profundidad, ¿dónde se deberíacolocar el micrófono?
V(0, 0)
(1,5; 1)
x
y(-1,5; 1)
F(0, p)
Matemática Básica (Ing.) 16
Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía.
Ejercicios: 6, 18, 20, 22, 30,34 y 36 de la página 641.
Sobre la tarea, está publicada en el AV Moodle.
Importante