Física Geral I1º semestre - 2004/05
1 ◦ TESTE DE AVALIAÇÃO
2668 - ENSINO DE FÍSICA E QUÍMICA1487 - OPTOMETRIA E OPTOTÉCNIA - FÍSICA APLICADA
8 de Novembro, 2004
• Duração: 2 horas + 30 min tolerância
• Indique na folha de teste o tipo de prova que está a realizar: A, B ou C
• Nas primeiras seis perguntas de escolha múltipla indique apenas uma das opções
CONSTANTES FÍSICAS E OUTROS DADOS
Constante Símbolo Valorvelocidade da luz no vácuo c 3, 00× 108 m/sunidade de massa atómica u 1, 66× 10−27 kgconstante de Avogadro NA 6, 02× 1023massa do electrão em repouso me 9, 11× 10−31 kgmassa do protão em repouso mp 1, 67× 10−27 kgmassa do neutrão em repouso mn 1, 67× 10−27 kgaceleração da gravidade à superfície da Terra g 9, 81 m/s2
massa da Terra 5, 98× 1024 kgraio médio da Terra 6, 37× 106 m
Teste de Avaliação - 1 8.Novembro.2004 - TESTE A FÍSICA GERAL I UBI 1
ESCOLHA MÚLTIPLA
1. Considere dois objectos de massas m1 e m2, em que m1 > m2. Quando este objectos sãolargados sob acção da força gravítica, no mesmo instante e à mesma altura h do solo:
(a) o objecto de massa m1 atinge o solo em primeiro lugar;
(b) o objecto de massa m2 atinge o solo em primeiro lugar;
(c) os objectos atingem o solo no mesmo instante;
(d) não é possível determinar qual dos objectos chega em primeiro lugar ao solo sem co-nhecer o valor de h.
(1,0 valor)
2. Num referencial inercial, considere um corpo sobre o qual não actua nenhuma força. Qualdas afirmações é falsa:
(a) caso o corpo esteja em repouso, este permanecerá em repouso;
(b) caso o corpo esteja em movimento a sua velocidade permanece inalterada ;
(c) este corpo está obrigatoriamente em repouso;
(d) é sempre possível determinar a sua aceleração.
(1,0 valor)
3. Qual dos objectos seguintes não está sob acção de uma força resultante com direcção Norte:
(a) um objecto que se move para Sul com a sua velocidade a diminuir;
(b) um objecto que se move para Norte com a sua velocidade a aumentar;
(c) um objecto que se se encontrava inicialmente em repouso e que iniciou o seu movi-mento para Norte;
(d) um objecto que se move para Norte com velocidade constante.
(1,0 valor)
4. Qual das afirmações é a mais correcta:
(a) o movimento circular uniforme causa uma força de intensidade constante com direcçãoradial para o centro da trajectória;
(b) o movimento circular uniforme é provocado por uma força de intensidade constantecom direcção radial para o centro da trajectória;
(c) o movimento circular uniforme é provocado por uma força resultante de intensidadeconstante com direcção radial para o centro da trajectória;
(d) o movimento circular uniforme é provocado por uma força resultante de intensidadeconstante com direcção radial para fora da trajectória.
(1,0 valor)
Teste de Avaliação - 1 8.Novembro.2004 - TESTE A FÍSICA GERAL I UBI 2
Um bloco de massa m = 5, 0 kg encontra-se sobre uma superfície horizontal onde os coefi-cientes de atrito estático e cinético, entre o bloco e a superfície, são µe = 0, 80 e µc = 0, 50respectivamente. Considere que uma força horizontal F = 28 N é aplicada no bloco.
mF
5. Caso o bloco esteja inicialmente em repouso, este:
(a) inicia o movimento com uma força resultante de aproximadamente 3, 5 N;
(b) permanece em repouso e a força de atrito vale aproximadamente 25 N;
(c) permanece em repouso e a força de atrito vale aproximadamente 28 N;
(d) permanece em repouso e a força de atrito vale aproximadamente 39 N.
(1,0 valor)
6. Caso o bloco esteja inicialmente em movimento e a força horizontal F tenha sido aplicadano sentido do movimento, este:
(a) vai acelerar sob acção de uma força resultante de aproximadamente 3, 5 N;
(b) vai desacelerar sob acção de uma força resultante de aproximadamente 3, 5 N;
(c) vai acelerar sob acção de uma força resultante de aproximadamente 11 N;
(d) vai desacelerar sob acção de uma força resultante de aproximadamente 11 N.
(1,0 valor)
Teste de Avaliação - 1 8.Novembro.2004 - TESTE A FÍSICA GERAL I UBI 3
PARTE PRÁTICA
7. Uma molécula de Dióxido de Carbono (CO2) contém um átomo de Carbono e dois de Oxi-génio. Sabendo que o átomo de Carbono tem uma massa de 12, 011 u e o de Oxigénio de15, 9944 u, determine:
(a) a massa de uma molécula de CO2, expressa na unidade padrão do Sistema Internacio-nal usando apenas 3 algarismo significativos;
(b) o número de moléculas de oxigénio em 10,0 kg de CO2.
(3,5 valores)
8. Considere um projéctil que é lançado a partir do solo com uma velocidade vo = 22, 3 m/scom uma direcção que faz um ângulo de 60◦ com a horizontal. Considerando apenas ainteracção gravítica, determine:
(a) a altura máxima alcançada pelo projéctil;
(b) o alcance horizontal do projéctil, quando este atinge o solo à mesma altura do lança-mento;
(c) os instantes em que o projéctil atinge uma altura de 9, 5 m.
(3,5 valores)
9. Considere dois blocos de massa m em repouso, ligados por um fio inextensível de massadesprezável e que passa por uma roldana, também esta de massa desprezável. Um dos blo-cos está sobre um plano inclinado que faz um ângulo θ = 30◦ com a horizontal, ver Figura.
(a) Despreze qualquer força de atrito e de-termine a aceleração dos blocos indi-cando o sentido do movimento;
(b) Considere que existe atrito entre o planoinclinado e o bloco. Qual deve o valormínimo que coeficiente de atrito estáticodeve ter para manter os blocos em re-pouso?
mm
θ
(3,5 valores)
10. Considere um pêndulo cónico composto por um fio de massa despre-zável de comprimento l = 1, 0 m e uma partícula de massa m presa nasua extremidade.
(a) Determine a velocidade que é necessária imprimir à partícula demodo a que este pêndulo rode em torno do eixo vertical fazendoum ângulo θ = 25◦ com a vertical, ver Figura.
(b) Determine o período do pêndulo.
(c) Poderá este pêndulo rodar com o valor exacto de θ = 90◦? Justifi-que a sua resposta.
lθ
(3,5 valores)
Física Geral I1º semestre - 2004/05
1 ◦ TESTE DE AVALIAÇÃO
2668 - ENSINO DE FÍSICA E QUÍMICA1487 - OPTOMETRIA E OPTOTÉCNIA - FÍSICA APLICADA
8 de Novembro, 2004
• Duração: 2 horas + 30 min tolerância
• Indique na folha de teste o tipo de prova que está a realizar: A, B ou C
• Nas primeiras seis perguntas de escolha múltipla indique apenas uma das opções
CONSTANTES FÍSICAS E OUTROS DADOS
Constante Símbolo Valorvelocidade da luz no vácuo c 3, 00× 108 m/sunidade de massa atómica u 1, 66× 10−27 kgconstante de Avogadro NA 6, 02× 1023massa do electrão em repouso me 9, 11× 10−31 kgmassa do protão em repouso mp 1, 67× 10−27 kgmassa do neutrão em repouso mn 1, 67× 10−27 kgaceleração da gravidade à superfície da Terra g 9, 81 m/s2
massa da Terra 5, 98× 1024 kgraio médio da Terra 6, 37× 106 m
Teste de Avaliação - 1 8.Novembro.2004 - TESTE B FÍSICA GERAL I UBI 1
ESCOLHA MÚLTIPLA
1. Considere dois objectos de massas m1 e m2, em que m2 > m1. Quando este objectos sãolargados sob acção da força gravítica, no mesmo instante e à mesma altura h do solo:
(a) o objecto de massa m1 atinge o solo em primeiro lugar;
(b) o objecto de massa m2 atinge o solo em primeiro lugar;
(c) os objectos atingem o solo no mesmo instante;
(d) não é possível determinar qual dos objectos chega em primeiro lugar ao solo sem co-nhecer o valor de h.
(1,0 valor)
2. Num referencial inercial, considere um corpo sobre o qual não actua nenhuma força. Qualdas afirmações é falsa:
(a) é sempre possível determinar a sua aceleração.
(b) caso o corpo esteja em repouso, este permanecerá em repouso;
(c) caso o corpo esteja em movimento a sua velocidade permanece inalterada ;
(d) este corpo está obrigatoriamente em repouso;
(1,0 valor)
3. Qual dos objectos seguintes não está sob acção de uma força resultante com direcção Norte:
(a) um objecto que se se encontrava inicialmente em repouso e que iniciou o seu movi-mento para Norte;
(b) um objecto que se move para Sul com a sua velocidade a diminuir;
(c) um objecto que se move para Norte com a sua velocidade a aumentar;
(d) um objecto que se move para Norte com velocidade constante.
(1,0 valor)
4. Qual das afirmações é a mais correcta:
(a) o movimento circular uniforme é provocado por uma força resultante de intensidadeconstante com direcção radial para o centro da trajectória;
(b) o movimento circular uniforme é provocado por uma força resultante de intensidadeconstante com direcção radial para fora da trajectória.
(c) o movimento circular uniforme causa uma força de intensidade constante com direcçãoradial para o centro da trajectória;
(d) o movimento circular uniforme é provocado por uma força de intensidade constantecom direcção radial para o centro da trajectória;
(1,0 valor)
Teste de Avaliação - 1 8.Novembro.2004 - TESTE B FÍSICA GERAL I UBI 2
Um bloco de massa m = 4, 0 kg encontra-se sobre uma superfície horizontal onde os coefi-cientes de atrito estático e cinético, entre o bloco e a superfície, são µe = 0, 80 e µc = 0, 50respectivamente. Considere que uma força horizontal F = 28 N é aplicada no bloco.
mF
5. Caso o bloco esteja inicialmente em repouso, este:
(a) inicia o movimento com uma força resultante de aproximadamente 8, 4 N;
(b) permanece em repouso e a força de atrito vale aproximadamente 20 N;
(c) permanece em repouso e a força de atrito vale aproximadamente 28 N;
(d) permanece em repouso e a força de atrito vale aproximadamente 31 N.
(1,0 valor)
6. Caso o bloco esteja inicialmente em movimento e a força horizontal F tenha sido aplicadano sentido do movimento, este:
(a) vai acelerar sob acção de uma força resultante de aproximadamente 8, 4 N;
(b) vai desacelerar sob acção de uma força resultante de aproximadamente 8, 4 N;
(c) vai acelerar sob acção de uma força resultante de aproximadamente 3, 4 N;
(d) vai desacelerar sob acção de uma força resultante de aproximadamente 3, 4 N.
(1,0 valor)
Teste de Avaliação - 1 8.Novembro.2004 - TESTE B FÍSICA GERAL I UBI 3
PARTE PRÁTICA
7. Uma molécula de Dióxido de Carbono (CO2) contém um átomo de Carbono e dois de Oxi-génio. Sabendo que o átomo de Carbono tem uma massa de 12, 011 u e o de Oxigénio de15, 9944 u, determine:
(a) a massa de uma molécula de CO2, expressa na unidade padrão do Sistema Internacio-nal usando apenas 3 algarismo significativos;
(b) o número de moléculas de oxigénio em 10,0 kg de CO2.
(3,5 valores)
8. Considere um projéctil que é lançado a partir do solo com uma velocidade vo = 22, 3 m/scom uma direcção que faz um ângulo de 60◦ com a horizontal. Considerando apenas ainteracção gravítica, determine:
(a) a altura máxima alcançada pelo projéctil;
(b) o alcance horizontal do projéctil, quando este atinge o solo à mesma altura do lança-mento;
(c) os instantes em que o projéctil atinge uma altura de 9, 5 m.
(3,5 valores)
9. Considere dois blocos de massa m em repouso, ligados por um fio inextensível de massadesprezável e que passa por uma roldana, também esta de massa desprezável. Um dos blo-cos está sobre um plano inclinado que faz um ângulo θ = 30◦ com a horizontal, ver Figura.
(a) Despreze qualquer força de atrito e de-termine a aceleração dos blocos indi-cando o sentido do movimento;
(b) Considere que existe atrito entre o planoinclinado e o bloco. Qual deve o valormínimo que coeficiente de atrito estáticodeve ter para manter os blocos em re-pouso?
mm
θ
(3,5 valores)
10. Considere um pêndulo cónico composto por um fio de massa despre-zável de comprimento l = 1, 5 m e uma partícula de massa m presa nasua extremidade.
(a) Determine a velocidade que é necessária imprimir à partícula demodo a que este pêndulo rode em torno do eixo vertical fazendoum ângulo θ = 25◦ com a vertical, ver Figura.
(b) Determine o período do pêndulo.
(c) Poderá este pêndulo rodar com o valor exacto de θ = 90◦? Justifi-que a sua resposta.
lθ
(3,5 valores)
Física Geral I1º semestre - 2004/05
1 ◦ TESTE DE AVALIAÇÃO
2668 - ENSINO DE FÍSICA E QUÍMICA1487 - OPTOMETRIA E OPTOTÉCNIA - FÍSICA APLICADA
8 de Novembro, 2004
• Duração: 2 horas + 30 min tolerância
• Indique na folha de teste o tipo de prova que está a realizar: A, B ou C
• Nas primeiras seis perguntas de escolha múltipla indique apenas uma das opções
CONSTANTES FÍSICAS E OUTROS DADOS
Constante Símbolo Valorvelocidade da luz no vácuo c 3, 00× 108 m/sunidade de massa atómica u 1, 66× 10−27 kgconstante de Avogadro NA 6, 02× 1023massa do electrão em repouso me 9, 11× 10−31 kgmassa do protão em repouso mp 1, 67× 10−27 kgmassa do neutrão em repouso mn 1, 67× 10−27 kgaceleração da gravidade à superfície da Terra g 9, 81 m/s2
massa da Terra 5, 98× 1024 kgraio médio da Terra 6, 37× 106 m
Teste de Avaliação - 1 8.Novembro.2004 - TESTE C FÍSICA GERAL I UBI 1
ESCOLHA MÚLTIPLA
1. Considere dois objectos de massas m1 e m2, em que m1 > m2. Quando este objectos sãolargados sob acção da força gravítica, no mesmo instante e à mesma altura h do solo:
(a) os objectos atingem o solo no mesmo instante;
(b) o objecto de massa m1 atinge o solo em primeiro lugar;
(c) o objecto de massa m2 atinge o solo em primeiro lugar;
(d) não é possível determinar qual dos objectos chega em primeiro lugar ao solo sem co-nhecer o valor de h.
(1,0 valor)
2. Num referencial inercial, considere um corpo sobre o qual não actua nenhuma força. Qualdas afirmações é falsa:
(a) este corpo está obrigatoriamente em repouso;
(b) caso o corpo esteja em repouso, este permanecerá em repouso;
(c) caso o corpo esteja em movimento a sua velocidade permanece inalterada ;
(d) é sempre possível determinar a sua aceleração.
(1,0 valor)
3. Qual dos objectos seguintes não está sob acção de uma força resultante com direcção Norte:
(a) um objecto que se move para Norte com velocidade constante.
(b) um objecto que se move para Sul com a sua velocidade a diminuir;
(c) um objecto que se move para Norte com a sua velocidade a aumentar;
(d) um objecto que se se encontrava inicialmente em repouso e que iniciou o seu movi-mento para Norte;
(1,0 valor)
4. Qual das afirmações é a mais correcta:
(a) o movimento circular uniforme é provocado por uma força resultante de intensidadeconstante com direcção radial para o centro da trajectória;
(b) o movimento circular uniforme causa uma força de intensidade constante com direcçãoradial para o centro da trajectória;
(c) o movimento circular uniforme é provocado por uma força de intensidade constantecom direcção radial para o centro da trajectória;
(d) o movimento circular uniforme é provocado por uma força resultante de intensidadeconstante com direcção radial para fora da trajectória.
(1,0 valor)
Teste de Avaliação - 1 8.Novembro.2004 - TESTE C FÍSICA GERAL I UBI 2
Um bloco de massa m = 5, 5 kg encontra-se sobre uma superfície horizontal onde os coefi-cientes de atrito estático e cinético, entre o bloco e a superfície, são µe = 0, 80 e µc = 0, 50respectivamente. Considere que uma força horizontal F = 28 N é aplicada no bloco.
mF
5. Caso o bloco esteja inicialmente em repouso, este:
(a) inicia o movimento com uma força resultante de aproximadamente 1, 0 N;
(b) permanece em repouso e a força de atrito vale aproximadamente 27 N;
(c) permanece em repouso e a força de atrito vale aproximadamente 28 N;
(d) permanece em repouso e a força de atrito vale aproximadamente 43 N.
(1,0 valor)
6. Caso o bloco esteja inicialmente em movimento e a força horizontal F tenha sido aplicadano sentido do movimento, este:
(a) vai acelerar sob acção de uma força resultante de aproximadamente 1, 0 N;
(b) vai desacelerar sob acção de uma força resultante de aproximadamente 1, 0 N;
(c) vai acelerar sob acção de uma força resultante de aproximadamente 15 N;
(d) vai desacelerar sob acção de uma força resultante de aproximadamente 15 N.
(1,0 valor)
Teste de Avaliação - 1 8.Novembro.2004 - TESTE C FÍSICA GERAL I UBI 3
PARTE PRÁTICA
7. Uma molécula de Dióxido de Carbono (CO2) contém um átomo de Carbono e dois de Oxi-génio. Sabendo que o átomo de Carbono tem uma massa de 12, 011 u e o de Oxigénio de15, 9944 u, determine:
(a) a massa de uma molécula de CO2, expressa na unidade padrão do Sistema Internacio-nal usando apenas 3 algarismo significativos;
(b) o número de moléculas de oxigénio em 10,0 kg de CO2.
(3,5 valores)
8. Considere um projéctil que é lançado a partir do solo com uma velocidade vo = 22, 3 m/scom uma direcção que faz um ângulo de 60◦ com a horizontal. Considerando apenas ainteracção gravítica, determine:
(a) a altura máxima alcançada pelo projéctil;
(b) o alcance horizontal do projéctil, quando este atinge o solo à mesma altura do lança-mento;
(c) os instantes em que o projéctil atinge uma altura de 9, 5 m.
(3,5 valores)
9. Considere dois blocos de massa m em repouso, ligados por um fio inextensível de massadesprezável e que passa por uma roldana, também esta de massa desprezável. Um dos blo-cos está sobre um plano inclinado que faz um ângulo θ = 30◦ com a horizontal, ver Figura.
(a) Despreze qualquer força de atrito e de-termine a aceleração dos blocos indi-cando o sentido do movimento;
(b) Considere que existe atrito entre o planoinclinado e o bloco. Qual deve o valormínimo que coeficiente de atrito estáticodeve ter para manter os blocos em re-pouso?
mm
θ
(3,5 valores)
10. Considere um pêndulo cónico composto por um fio de massa despre-zável de comprimento l = 2, 0 m e uma partícula de massa m presa nasua extremidade.
(a) Determine a velocidade que é necessária imprimir à partícula demodo a que este pêndulo rode em torno do eixo vertical fazendoum ângulo θ = 25◦ com a vertical, ver Figura.
(b) Determine o período do pêndulo.
(c) Poderá este pêndulo rodar com o valor exacto de θ = 90◦? Justifi-que a sua resposta.
lθ
(3,5 valores)
Teste de Avaliação - 1 8.Novembro.2004 - SOLUÇÕES FÍSICA GERAL I UBI 0
UMA RESOLUÇÃO POSSÍVEL
ESCOLHA MÚLTIPLA
1. Teste A → (c) Teste B → (c) Teste C → (a)
2. Teste A → (c) Teste B → (d) Teste C → (a)
3. Teste A → (d) Teste B → (d) Teste C → (a)
4. Teste A → (c) Teste B → (a) Teste C → (a)
5. Teste A → (c) Teste B → (c) Teste C → (c)
6. Teste A → (a) Teste B → (a) Teste C → (a)
Teste de Avaliação - 1 8.Novembro.2004 - SOLUÇÕES FÍSICA GERAL I UBI 1
PARTE PRÁTICA
7. Uma molécula de CO2 tem uma massa de
1×mC + 2×mO2 = 1× 12, 011 u + 2× 15, 9944 u = 43, 9998 u .
(a) A unidade padrão do sistema internacional para a massa é o kilograma (kg). Umaunidade de massa atómica tem 1 u = 1, 66 × 10−27 kg, logo a massa de uma moléculade CO2 expressa em kilogramas é:
mCO2 = 43, 9998× 1, 66× 10−27 = 7, 3039668× 10−26 = 7, 30 × 10−26 kg .
(b) O número de moléculas de CO2 em 1 kg é dado por:
1mCO2
= 1.36912× 1025 kg−1 ,
em 10 kg temos:
10× 1.36912× 1025 = 1.37× 1026 .
Por cada molécula de CO2 temos uma molécula de O2, logo o número de moléculas deO2 em 10 kg de CO2 é de:
1.37× 1026 .
8. Considerando apenas a interacção gravítica temos que a única força que actua no projéctildurante o voo é a força gravítica. Sendo m a massa do projéctil, aplicando a segunda lei deNewton temos:
∑~F = m~a
m~g = m~a
~g = ~a
d
θO
voh
y
x
t=t'
t=t''
y=9,5 m t=t''' t=t'''
O movimento do projéctil é bidimensional e pode ser descrito usando coordenadas cartesi-anas (xy) tal como ilustrado na figura. De acordo com a segunda lei de Newton, o projéctiltem apenas aceleração devido à gravidade, i.e., aceleração na vertical e sentido para baixo,~a = −g ĵ, o que corresponde a ay = −g e ax = 0.
Nessa conformidade, temos segundo a direcção y e direcção x as seguinte equações do mo-vimento:
ay = −gvy(t) = voy − g t
y(t) = voy t−12
g t2 ,
ax = 0
vx(t) = voxx(t) = vox t ,
Teste de Avaliação - 1 8.Novembro.2004 - SOLUÇÕES FÍSICA GERAL I UBI 2
em que xo = yo = 0 uma vez que consideramos que o projéctil é lançado da origem noinstante t = 0 (ver Figura).
As componentes vertical e horizontal da velocidade são:
vox = vo cos θ
voy = vo sin θ .
(a) O projéctil atinge a sua altura máxima, h, quando a componente vertical da velocidadeé nula. O tempo, t′, necessário para o projéctil atingir a sua altura máxima pode sercalculado através da equação da velocidade segundo a direcção y:
vy(t′) = 0
voy − g t′ = 0
t′ =voyg
.
No instante t′ a posição do projéctil segundo o eixo y corresponde à altura máxima, h:
y(t′) = h
voy t′ − 1
2g t′
2 = h
h =v2oy2 g
h =v2o sin
2 θ
2 g
A altura máxima, h, é dada por:
h =22, 32 × sin2(60◦)
2× 9, 81= 19, 0 m .
(b) O alcance máximo pode ser calculado tendo em atenção que a trajectória é parabólicae que a altura de colisão com o solo é o mesma do lançamento. Nessa conformidade otempo de subida até a altura máxima é igual ao tempo de descida. Logo o tempo, t′′,necessário para que o projéctil atinja o solo é de:
t′′ = 2 t′ = 2voyg
.O alcance, d, do projéctil corresponde à posição do projéctil segundo o eixo x no ins-tante t = t′′, i.e.:
x(t′′) = d
vox t′′ = d
d = 2voxvoy
g
d =v2o 2 sin θ cos θ
g
d =v2o sin (2θ)
g.
Teste de Avaliação - 1 8.Novembro.2004 - SOLUÇÕES FÍSICA GERAL I UBI 3
Alternativamente o alcance do projéctil no problema em questão também pode ser de-terminado, calculando a posição no eixo x quando o projéctil tem a posição y = 0.
Os instantes t′′ em que o projéctil se encontra em y = 0 são:
y(t′′) = 0
voy t′′ − 1
2g t′′
2 = 0
t′′ = 0 ∨ t′′ = 2 voyg
,
As posições do projéctil segundo x nos instantes em que y = 0, são:
x(t′′) = d
vox t′′ = d
d = 0 ∨ d = v2o sin (2θ)
g.
O alcance do projéctil, é:
v2o sin 2θg
=22, 33 sin(2× 60◦)
9, 81= 43, 9 m
(c) Os instantes , t′′′, em que o projéctil atinge uma altura de 9, 5 m é dado pela equaçãoda posição segundo o eixo y. Para tal determinando os instantes em que a posiçãosegundo y tem o valor de 9, 5 m:
9, 5 = y(t′′′)
9, 5 = voy t′′′ −12
g t′′′2
9, 5 = 22, 3× sin(60◦) t′′′ − 12
9, 81 t′′′2
t′′′ = 0.576 s ∨ t′′′ = 3, 36 s .
9. Desprezando qualquer força de atrito, analisamos a força resultante que actua em cada umadas massas e aplicamos a lei segunda lei de Newton para cada caso usando os referenciaisindicados no diagrama do corpo livre (ver Figura).
Dada a geometria do problema, a aceleração resultante ~a1 no bloco da esquerda tem a di-recção do plano inclinado e a aceleração resultante ~a2 no bloco da direita é verticalmentepara baixo. Uma vez que o fio é inextensível estas duas acelerações têm intensidades iguais,|~a1| = |~a2| = a. Como hipótese consideramos que o sentido do movimento é da esquerdapara a direita. Repare que os sentidos das duas acelerações são coerentes com o movimento,i.e. o bloco da esquerda tem aceleração na direcção e sentido da subida do plano inclinadoe o bloco da direita tem aceleração na direcção vertical, sentido para baixo.
Teste de Avaliação - 1 8.Novembro.2004 - SOLUÇÕES FÍSICA GERAL I UBI 4
Bloco da esquerda:
∑~F = m~a1
~N + ~P + ~T1 = m~a1 .
Bloco da direita:
∑~F = m~a2
~P + ~T2 = m~a2 .
P
mm
θ
T1 T2
Pθ
y x
a1 a2
yN
Uma vez que tanto o fio como a roldana têm massas desprezáveis podemos aplicar a terceiralei de Newton e concluir que as intensidades das tensões são idênticas:
|~T1| = |~T2| = T .
(a) De acordo com os referencias indicados na Figura, temos:bloco da esquerda, segundo y,∑
Fy = 0
−m g cos θ + N = 0 ,
bloco da esquerda, segundo x,∑Fx = m a
−m g sin θ + T = m a .
bloco da direita, segundo y,∑Fy = −m a
−m g + T = −m a ,
Subtraindo as duas últimas equações temos:
−m g sin θ + T + m g − T = 2m a
a =12
g (1− sin θ)
a =12
g {1− sin(30◦)}
a =14
g .
Uma vez que a aceleração é positiva, significa que o sistema move-se com aceleraçãoconstante de,
a =14× 9, 81 = 2, 4525 m/s2 ,
no sentido da esquerda para a direita.
(b) Existindo atrito no plano inclinado ele deve actuar contrariando o movimento. Da alí-nea anterior concluímos que na ausência de atrito o sistema tem tendência a deslocar-seda esquerda para a direita, logo a força de atrito deve actuar ao longo do plano incli-nado, sentido para baixo, ver Figura.
Ao pretendemos determinar o valor mínimo do coeficiente de atrito estático que fazcom que o sistema permaneça em repouso, devemos considerar que a força de atritoestático tem o seu valor máximo que é dado por,
Fae,max = µe N .
Teste de Avaliação - 1 8.Novembro.2004 - SOLUÇÕES FÍSICA GERAL I UBI 5
Assim, considerando que o sistema está em repouso, temos:
bloco da esquerda, segundo y,∑Fy = 0
N = m g cos θ ,
bloco da esquerda, segundo x,∑Fx = 0
−m g sin θ − Fae + T = 0 ,
bloco da direita, segundo y,∑Fy = 0
T = m g .
P
mm
θ
T1 T2
Pθ
y x
a=0
yN
Fa e
Fazendo uso das três equações em cima, obtemos:
−m g sin θ − µe m g cos θ + m g = 0
µe =1− sin θ
cos θ
µe =1− sin (30◦)
cos (30◦)
µe =√
33
.
10. O pêndulo cónico executa movimento circular uniforme. Nessa conformidade, aplicandoa segunda lei de Newton, a força resultante sobre a massa m deve ser igual ao produto damassa com a aceleração centrípeta que aponta para o centro da trajectória.
Segunda lei de Newton∑~F = m~ac
~T + ~P = m~ac .
De acordo com o referencial no diagrama docorpo livre (ver Figura) a trajectória circularestá sobre o plano xOy, centrada no eixo z ecom raio R = l sin θ. Logo, a aceleração cen-trípeta deve ser dada por:
~ac = −v2
Rûr ,
i.e., a aceleração resultante e consequente-mente a força resultante tem apenas umacomponente radial.
lθ
T
P
z
θ
r
θ
Ol sinθ
ac Rz
Da aplicação da segunda lei de Newton, obtemos:
Teste de Avaliação - 1 8.Novembro.2004 - SOLUÇÕES FÍSICA GERAL I UBI 6
segundo z, ∑Fz = 0
T cos θ −m g = 0T =
m g
cos θ,
segundo r (direcção radial),
∑Fr = −m
v2
l sin θ
−T sin θ = −m v2
l sin θ
T = mv2
l sin2 θ,
onde T representa a tensão n o fio.
(a) A intensidade da velocidade do pêndulo em função do ângulo θ pode ser determinadaa partir das duas equações anteriores:
m g
cos θ= m
v2
l sin2 θv =
√g l tan θ sin θ .
A velocidade, v, necessária para que o pêndulo rode fazendo um ângulo θ = 25◦ coma vertical é:
v =√
9, 81× l × sin (25◦)× tan (25◦) ,
Teste A → l = 1, 0 m, v = 1, 4 m/sTeste B → l = 1, 5 m, v = 1, 7 m/sTeste C → l = 2, 0 m, v = 2, 0 m/s
(b) O pêndulo executa um movimento circular uniforme, i.e. a intensidade da velocidadeé constante em qualquer instante e a sua velocidade instantânea é igual à velocidademédia. Logo, sendo o período o tempo, τ , necessário para a massa m executar um ciclo,temos
v = vmed =∆s∆t
=2 π R
τ=
2 π l sin θτ
,
onde ∆s representa o espaço percorrido durante um ciclo (o perímetro da trajectória).O período, τ , do pêndulo é dado por:
τ =2 π l sin θ
v=
2 π l sin θ√g l sin θ tan θ
= 2 π
√l cos θ
g,
τ = 2π ×
√l × cos(25◦)
9, 81,
Teste A → l = 1, 0 m, τ = 1, 9 sTeste B → l = 1, 5 m, τ = 2, 3 sTeste C → l = 2, 0 m, τ = 2, 7 s
(c) O pêndulo não poderá rodar com o ângulo θ = 90◦ uma vez que nessa situação atensão ~T no fio não tem componente vertical de modo a anular o peso da massa m emanter o pêndulo da sua trajectória circular no plano xOy.
De uma outra forma podemos verificar na expressão deduzida na alínea anterior,
v =√
g l sin θ tan θ ,
que à medida que θ → 90◦, l sin θ → l e tan θ → ∞, i.e. o raio da trajectória tendepara l, a velocidade necessária para manter o pêndulo nessa posição tende para ∞ e a
Teste de Avaliação - 1 8.Novembro.2004 - SOLUÇÕES FÍSICA GERAL I UBI 7
tensão no fio também tende para ∞ (ver início da resolução). O pêndulo poderá rodarcom o ângulo θ muito próximo de 90◦, onde "ainda"existe a componente vertical datensão T para anular o peso, mas nunca com valor exacto de θ = 90◦.