UNIDAD II
Matrices y Sistemas Lineales
Profesor:
Ing. Edgar Rmulo Pinedo Nez
UNIDAD II
Matrices y Sistemas Lineales
(Parte 2) Sistemas de Ecuaciones
Con dos Variables
LOGRO DE SESIN
El estudiante resuelve
ecuaciones de primer grado con
dos variables, para solucionar
diversas situaciones y problemas
relacionados con su carrera
profesional.
2. Cmo se soluciona el sistema ?
1. Qu es un sistema de ecuaciones con dos
variables?
RESPONDA LAS SIGUIENTES PREGUNTAS:
4. En que tipo de problemas se aplican?
3. Cules son los mtodos de eliminacin?
Es la reunin de dos ecuaciones que deben satisfacer para los mismos valores de las incgnitas.
1. DEFINICIN
2. SOLUCIN DEL SISTEMA Es el conjunto de valores numricos o literales que satisfacen las ecuaciones.
Los sistemas de ecuaciones pueden ser Numricos o Literales, segn la naturaleza de las ecuaciones que los constituyen.
Un sistema numrico es: Un sistema literal es:
Cuando la solucin de un sistema es nica, es decir, existe un slo valor para cada incgnita, el sistema se llama Determinado. Por lo general el nmero de incgnitas es igual al nmero de ecuaciones.
7 + 4 = 135 2 = 19
+ =
= 0
3. RESOLUCIN DE SISTEMAS DE ECUACINES
Para la resolucin de sistemas de ecuaciones de primer grado con dos
variables se aplican mtodos de eliminacin, que consisten esencialmente
en eliminar una de las incgnitas y obtener una sola ecuacin de una
incgnita.
Los mtodos de eliminacin ms usuales son:
A. Mtodo por Igualacin
B. Mtodo por Sustitucin
C. Mtodo por Reduccin (Suma y Resta)
D. Mtodo Grfico
E. Mtodo por Determinantes
Sistemas de
Ecuaciones de 2x2
A. Mtodo por Igualacin
B. Mtodo por Sustitucin
C. Mtodo por Reduccin
(Suma y Resta)
D. Mtodo Grfico
E. Mtodo por Determinantes
Para desarrollar todos los mtodos, utilizaremos este problema, pero solo
en su traduccin algebraica:
Una seora compra 10 kilos de huevo y 4 kilos de tomate y paga
S/.62,00. Otra seora compra 3 kilos de huevos y 5 kilos de tomate y
paga S/. 30,00. Cunto cuesta 1 kilo de huevo y kilo de tomate?
PASOS:
1. Traduzcamos este problema que se encuentra en lenguaje comn a
lenguaje algebraico, quedando de la siguiente manera:
2. Donde:
PROBLEMA:
. . . (1)
. . . (2)
X = Costo x kilo de huevo (S/.)
y = Costo x kilo de tomate (S/.)
+ =
+ =
A. MTODO POR IGUALACIN
REGLA: Para la eliminacin por Igualacin, se siguen los siguientes pasos:
1. Se despeja una de las incgnitas en cada una de las ecuaciones, sta
debe ser la misma en ambas.
2. Se igualan los dos valores de las incgnitas as obtenidas.
3. Se resuelve la ecuacin de primer grado con una incgnita que as se
obtiene.
4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales.
5. Se comprueba la solucin, sustituyendo los valores obtenidos en las
ecuaciones dadas.
PROCEDIMIENTO:
PASO1: Para resolver el sistema de ecuaciones de 2x2, por este mtodo, debemos comenzar por elegir cul incgnita vamos a DESPEJAR en ambas ecuaciones (tiene que ser la misma en las dos ecuaciones). Del ejemplo, elegiremos la incgnita x (la eleccin es personal); quedndonos de la siguiente manera:
De la ecuacin 1:
+ =
Retomando:
+ =
+ = 62
= 62 4y
(62 - 4y) () = 1
1
Como elegimos despejar x, entonces empezaremos a
realizar las operaciones para lograrlo
Necesitamos un nmero contrario para poder eliminar
a otro nmero. En nuestro caso es 4y, necesitamos -4y, para
poder eliminarlo (se debe poner en ambos lados de la
ecuacin para no desequilibrarla).
Quedndonos as:
Ahora, lo que tenemos que hacer es despejar la x, pero tenemos un nmero 10 que esta
multiplicando; para poder despejar, aplicamos su operacin inversa que es la divisin. Para el 10 ser 1/10 (se debe poner en ambos lados de la ecuacin
para que no vari), y as eliminamos el 10.
= 1 (62 4y) 10
Se tiene:
=
YA TENEMOS EL PRIMER
DESPEJE
Ahora, tomamos la ecuacin 2 y hacemos la misma operaciones para lograr despejar la incgnita x:
De la ecuacin 2: + =
+ = 30
= 30 5y
(30 - 5y) ( ) = 1
1 3
= 1 (30 5y) 3
=
AHORA TENEMOS EL
SEGUNDO DESPEJE
Despejamos x,
Realizamos las operaciones para lograr el
despeje, utilizando las leyes de los signos y las
operaciones inversas (recordando que, de la suma, es la resta y de la
multiplicacin, es la divisin)
PASO 2: Una vez despejadas la incgnita elegida de cada ecuacin, entonces IGUALAMOS ambas ecuaciones
=
=
De la ecuacin 2 De la ecuacin 1 Tenemos entonces lo siguiente:
= =
=
PASO 3: Una vez igualadas las ecuaciones, DESPEJAMOS, la incgnita:
=
=
+ () = () + 10(-5)
= - 50
+ = - 186
= 114
= 114 38
= 3
ENCONTRAMOS EL PRIMER VALOR
PASO 4: Una vez encontrada la primera incgnita, entonces, SUSTITUIMOS el valor en alguna de las dos ecuaciones despejadas, en este caso elegiremos la ecuacin 2:
=
= 3
Como el valor de la variable dependiente es:
Sustituyendo el valor tenemos que:
= ()
=
=
=5
Y eso es todo? Cmo saber si estoy
bien en mis resultados?
PASO 5: Solo nos resta COMPROBAR nuestro resultado, tomamos cualquiera de las dos ecuaciones originales y sustituimos el valor de x y el valor de y (el cual, si satisface la igualdad, los valores son correctos). Tomamos la ecuacin 1:
62 =
+ =
() + () =
50 + 12 =
CORRECTO! CUMPLE LA IGUALDAD
Ejemplo: Resolver por igualacin el sistema: 3 2 7
5 3
x y
x y
1
21. Despejando x en ambas ecuaciones
Ecuacin (1) Ecuacin (2) 3 2 7
3 7 2
7 2
3
x y
x y
yx
5 3
5 3
3
5
x y
x y
yx
2. Igualando ambos despejes
7 2 3
3 5
y y
3. Resolviendo la ecuacin obtenida
5 7 2 3 3
35 10 9 3
10 3 9 35
13 26
26
13
2
y y
y y
y y
y
y
y
4. Sustituyendo y en (1)
3 2 7
3 2 2 7
3 4 7
3 7 4
3 3
3
3
1
x y
x
x
x
x
x
x
5. Comprobando los valores
Ecuacin (1) Ecuacin (2)
3 2 7
3 1 2 2 7
3 4 7
7 7
x y
5 3
5 1 2 3
5 2 3
3 3
x y
R/ La solucin del sistema es: 1 2x y
B. MTODO POR SUSTITUCIN
REGLA: Para la eliminacin por sustitucin, se siguen los siguientes pasos:
1. Se despeja una de las incgnitas de una de las ecuaciones del sistema.
2. Se sustituye este valor obtenido en la otra ecuacin.
3. Se resuelve la ecuacin de primer grado con una incgnita.
4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales
para determinar la otra variable.
5. Se comprueba la solucin, sustituyendo los valores obtenidos en las
ecuaciones dadas.
PROCEDIMIENTO:
PASO1: Elegimos alguna de las dos ecuaciones y decidimos cul es la incgnita que vamos a despejar:
10 + 4 = 62 3 + 5 = 30
. . . (1)
. . . (2)
En este caso, elegimos la ecuacin 1 y despejamos la incgnita y
+ =
+ + = 62
= 62
= 62 10x 4
ENCONTRAMOS EL VALOR DE Y
PASO 2: En este paso lo que haremos es SUSTITUIR, el valor y encontrado, en la ecuacin 2:
+
=
3x + () + () = 30 4
De la ecuacin 2: + = Sustituimos el valor de y de la ecuacin 1,
en la ecuacin 2
3x + = 30 4
PASO 3: Resolvemos
Encontramos el PRIMER VALOR
3x + = 30 4
= 30 - 3x 4
= ( 30 - 3x ) 4
= 120 12x
+ 12 = 120 310
= 190
= 190
=5
PASO 4: Una vez encontrada la primera incgnita, entonces, SUSTITUIMOS el valor encontrado en alguna de las dos ecuaciones, en este caso elegiremos la ecuacin 1:
= 3
Y eso es todo? Cmo saber si estoy
bien en mis resultados?
+ =
() + =
+ =
= -
=
PASO 5: Solo nos resta COMPROBAR nuestro resultado, tomamos cualquiera de las dos ecuaciones originales y sustituimos el valor de x y el valor de y (el cual, si satisface la igualdad, los valores son correctos). Tomamos la ecuacin 1:
62 =
+ =
() + () =
50 + 12 =
CORRECTO! CUMPLE LA IGUALDAD
Ejemplo: Resolver por sustitucin el sistema: 3 6
5 2 13
m n
m n
1
21. Despejando m de la (1)
3 6
6 3
m n
m n
2. Sustituyendo m en la (2)
5 2 13
5 6 3 2 13
m n
n n
3. Resolviendo la ecuacin obtenida
5 6 3 2 13
30 15 2 13
15 2 13 30
17 17
17
17
1
n n
n n
n n
n
n
n
4. Sustituyendo n en (1)
3 6
3 1 6
3 6
6 3
3
m n
m
m
m
m
5. Comprobando los valores
Ecuacin (1) Ecuacin (2)
3 6
3 3 1 6
3 3 6
6 6
m n
5 2 13
5 3 2 1 13
15 2 13
13 13
m n
R/ La solucin del sistema es: 3 1m n
C. MTODO POR REDUCCIN (SUMA Y RESTA)
REGLA: Para la eliminacin por REDUCCIN, se siguen los siguientes pasos:
1. Determinamos que variable eliminar, luego el coeficiente de dicha
variable en la ecuacin (1) se ha de multiplicar a la ecuacin (2), y el
coeficiente de la variable a eliminar de la ecuacin (2) se ha de
multiplicar a la ecuacin (1). Procurando que los coeficientes de la
variable a eliminar tengan signos contrarios.
2. Reducimos los trminos y resolvemos la ecuacin resultante.
3. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales
para determinar la otra variable.
4. Se comprueba la solucin, sustituyendo los valores obtenidos en las
ecuaciones dadas.
PROCEDIMIENTO:
PASO1: Tomamos ambas ecuaciones:
10 + 4 = 62 3 + 5 = 30
. . . (1)
. . . (2)
+ =
Elegimos que incgnita eliminar, ya sea x o y
En este caso elegiremos a x.
En nuestro problema, tenemos que tener un mismo numero, en su aceptacin positiva y negativa.
+ =
3
-10
PASO 2: Realizamos las operaciones:
[ + = ]
[ + = ]
3
-10
+ = 186
=-300
=-114
=-114 -38
= 3
PASO 3: Sustituimos el valor encontrado en algunas de las ecuaciones:
+ =
= 15
= 5
+ () =
+ =
PASO 4: Solo nos resta COMPROBAR nuestro resultado, tomamos cualquiera de las dos ecuaciones originales y sustituimos el valor de x y el valor de y (el cual, si satisface la igualdad, los valores son correctos). Tomamos la ecuacin 1:
62 =
+ =
() + () =
50 + 12 =
CORRECTO! CUMPLE LA IGUALDAD
Ejemplo: Resolver por reduccin el sistema: 6 7 17
5 9 11
x y
x y
1
2
Vamos a eliminar la variable x y notemos que los signos de los coeficientes de dicha variable son iguales, por tanto hemos de multiplicar una de las ecuaciones por un coeficiente negativo.
1. Multiplicando ambas ecuaciones
5 6 7 17
6 5 9 11
por x y
por x y
30 35 85
30 54 66
x y
x y
2. Reduciendo trminos
19 19
19
19
1
y
y
y
30x 35 85
30
y
x
54 66y
3. Sustituyendo y en (1)
6 7 17
6 7 1 17
6 7 17
6 17 7
6 24
24
6
4
x y
x
x
x
x
x
x
4. Comprobando los valores
Ecuacin (1) Ecuacin (2)
6 7 17
6 4 7 1 17
24 7 17
17 17
x y
5 9 11
5 4 9 1 11
20 9 11
11 11
x y
R/ La solucin del sistema es: 4 1x y
D. MTODO GRAFICO
Resolver grficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas, consiste en hallar el punto de interseccin de las grficas de Las ecuaciones lineales, para ello es necesario graficar las dos ecuaciones en un mismo sistema de coordenadas cartesianas.
1. Se despeja la variable y en cada una de las ecuaciones, y luego se elabora una tabla, asignndole valores a x.
2. Se grafican ambas ecuaciones en un mismo plano cartesiano.
3. Se observa el punto de interseccin de ambas grficas.
4. Se comprueba la solucin, sustituyendo los valores del punto de
interseccin observado en las ecuaciones dadas.
PROCEDIMIENTO:
PASO1: En ambas ecuaciones, despejamos la variable dependiente, y:
+ =
10 + 4 = 62 3 + 5 = 30
. . . (1)
. . . (2)
=
Despejando y en la ecuacin (1):
=
Despejando y en la ecuacin (2):
+ =
=
=
PASO 2: Teniendo despejadas las ecuaciones, TABULAMOS. Le damos valores a x (de -3 a +3).
=
=
x y
-3 23
-2 20,5
-1 18
0 15,5
1 13
2 10,5
3 8
x y
-3 7,8
-2 7,2
-1 6,6
0 6
1 5,4
2 4,8
3 4,2
PASO 3: Ahora graficamos los puntos de cada ecuacin.
=
=
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 0
-5
5
10
15
20
25
30
(-3,23)
(-2,20.5)
(-1,18) (0,15.5)
(1,13)
(2,10.5)
(3,8)
P(x,y)=(5,3) (-3,7.8) (-2,7.2) (-1,6.6) (0,6)
(1,5.4) (2,4.8) (3,4.2)
. . . (1)
. . . (2)
PASO 4: Nos resta COMPROBAR nuestro resultado:
Hay que recordar que, un punto en el plano cartesiano est dado por (x,y), del grafico obtenemos:
P(x,y) = (5,3)
Por lo tanto: X = 5 Y = 3
30 =
+ =
() + () = CORRECTO!
CUMPLE LA IGUALDAD
Para comprobar, vamos a tomar la ecuacin 2 y verificamos:
+ =
Ejemplo: Resolver grficamente el sistema: 3
3 2 4
x y
x y
1
2
1. Tabulando ambas ecuaciones
Despejando y en (1)
3
3
3
x y
y x
y x
3 2 4
2 4 3
4 3
2
x y
y x
xy
3y x ,x y
3 0y 0, 3
3 1y 1, 4
3 2y 2, 5
4 3
2
xy
,x y
4 3 02
y
2 0, 2
4 3 12
y
7
2
71,
2
4 3 22
y
5 2, 5
1
2
0
1
2
0
x xy
y
4
5
3
Despejando y en (2)
2. Graficando ambas ecuaciones en un mismo sistema
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
x
y
,
3. Observando el grfico,
notamos que la interseccin
se da en el punto 2, 1
4. Comprobando los valores
Ecuacin (1) Ecuacin (2)
3
2 1 3
3 3
x y
3 2 4
3 2 2 1 4
6 2 4
4 4
x y
R/ La solucin del sistema es: 2 1x y
En dicho punto, 2 1x y
E. MTODO POR DETERMINANTES REGLA:
1. El valor de cada incgnita del sistema de dos ecuaciones de
primer grado con dos incgnitas, es una fraccin que tiene por
denominador el determinante formado por los coeficientes de las
incgnitas x e y, llamado Determinante del Sistema, y por
numerador el determinante que se obtiene al sustituir en el
determinante del sistema la columna de los coeficientes de la
incgnita buscada los trminos independientes de las ecuaciones
dadas.
2. Se comprueba la solucin, sustituyendo los valores obtenidos en
las ecuaciones dadas.
FORMA GENERAL:
Tambin se conoce como Regla de Cramer.
Veremos a continuacin este otro mtodo para darle solucin a un sistema de ecuaciones de 2x2.
Primero, resolveremos la forma general, para despus solamente tomarlos y sustituirlos.
+ = + =
Donde: x y y, son incgnitas y a, b, c, d, r y s, son nmeros reales.
Ecuacin General:
Determinante de x: det(x)
+ = + =
Las incgnitas x e y se determinan de la siguiente manera:
bsdrds
br
ds
brx ..det)det(
=()
() =
()
()
Determinante del Sistema: det(s)
Determinante de y: det(y)
rcsasc
ra
sc
ray ..det)det(
bcdadc
ba
dc
bas ..det)det(
Para nuestro problema:
10 + 4 = 62 3 + 5 = 30
. . . (1)
. . . (2)
Identificamos los valores correspondientes a cada letra de la ecuacin general:
a= 10 b= 4 r= 62 c= 3 d= 5 s= 30
+ = + =
190120310)4(30)5(62530
462det)det(
ds
brx
PASO 1: Hallando el determinante de x
114186300)62(3)30(10303
6210det)det(
sc
ray
PASO 2: Hallando el determinante de y
381250)4(3)5(1053
410det)det(
dc
bas
PASO 3: Hallando el determinante del sistema
PASO 4: Hallamos x e y
=()
()=
= =
()
()=
=
PASO 5: Solo nos resta COMPROBAR nuestro resultado, tomamos cualquiera de las dos ecuaciones originales y sustituimos el valor de x y el valor de y (el cual, si satisface la igualdad, los valores son correctos). Tomamos la ecuacin 1:
62 =
+ =
() + () =
50 + 12 =
CORRECTO! CUMPLE LA IGUALDAD
Ejemplo: Resolver por determinantes el sistema: 4 9 3
3 7 2
x y
x y
1
2
1. Calculando valores para cada variable
3 9
3 7 2 92 7 21 18 33
4 9 4 7 3 9 28 27 1
3 7
x
4 3
4 2 3 33 2 8 9 11
4 9 4 7 3 9 28 27 1
3 7
y
2. Comprobando los valores
Ecuacin (1) Ecuacin (2)
4 9 3
4 3 9 1 3
12 9 3
3 3
x y
3 7 2
3 3 7 1 2
9 7 2
2 2
x y
R/ La solucin del sistema es: 3 1x y
EJERCICIOS
5 3 22
2 0
x y
x y
2 12
3 16
x y
x y
5 9
2 4 8
x y
x y
Resolver utilizando el mtodo de Sustitucin los siguientes sistemas
Resolver utilizando el mtodo de Igualacin los siguientes sistemas
5
2 8
x y
x y
3 6
5 2 13
x y
x y
4 3 8
8 9 77
n m
m n
Resolver utilizando el mtodo de Reduccin los siguientes sistemas
2 2 10
2 4
x y
x y
3 4
2 3
x y
x y
0
5 18
x y
x y
Resolver utilizando el mtodo Grfico los siguientes sistemas
1
7
x y
x y
5 3 0
7 16
x y
x y
2 3
1
x y
x y
Resolver utilizando el mtodo por Determinates los siguientes sistemas
3 8 38
7 2 6
x y
x y
4 26
5 31 3
x y
y x
2 3 8
2 2 10
x y
x y
Fin de la Unidad 2 Parte 2