Sistemas de control TI-2233
Miguel Rodríguez
16ª clase
Ejemplo de sintonización
Sea un sistema de parámetros concentrados, lineal e invariante con el tiempo descrito mediante la función de transferencia:
)6)(4)(2(
48)(
ssssGp
Se desea calcular los parámetros para los controladores P, PI, PD y PID, mediante los métodos:
Oscilaciones sostenidas Oscilaciones amortiguadas Curva de reacción:
o Ziegler-Nichols o Cohen-Coon o Criterios de desempeño
ISE IAE ITAE
Ejemplo de sintonización
a) Método de oscilaciones sostenidas Para el método de oscilaciones encontraremos la OSK , que es la ganancia para la cual el sistema presenta oscilaciones sostenidas. Es posible obtener este valor mediante el Lugar Geométrico de las Raíces, o a partir del Criterio de Estabilidad de Routh:
Ejemplo de sintonización
Lugar Geométrico de las RaícesEjemplo de sintonización
Los puntos de interés son los que se muestran en la figura:
Ejemplo de sintonización
Ejemplo de sintonización
Por el criterio de Estabilidad de Routh
El polinomio a utilizar es:
)1(484412)(
48484412)(
48)6)(4)(2()(
)()()(
23
23
KssssP
KssssP
KssssP
sKqspsP
Ejemplo de sintonización
Se obtendrá el Valor de KOS que es la ganancia para la cual el sistema presenta oscilaciones sostenidas, a partir del arreglo de Routh:
)1(48
)1(444
)1(4812
441
0
1
2
3
K
K
K
s
s
s
s
K>=-1
K<=10
Ejemplo de sintonización
Después, se elige a partir del arreglo el primer renglón donde aparece K y se genera el polinomio de los polos imaginaros, esto es:
63.612
528
52812)(
)11)(48(12)(
)1(4812)(
2
2
2
js
ssa
ssa
Kssa OS
Ejemplo de sintonización
Este valor de j6.63 es la frecuencia de oscilación, por lo tanto:
Los parámetros de sintonización son:
segT
Tf
OS
OSOSd
9472.063.6
2
2263.6
9472.0
10
OS
OS
T
K
Ejemplo de sintonización
Y los valores finales son:
Tipo de controlador
Kc Ti Td
P 5 - -
PI 3.01 0.7893 -
PID 3.9 0.4736 0.1184
Ejemplo de sintonización
Respuesta del sistema:
0 5 10 15 20 25 300
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Td.s+1
Td/10.s+1
Transfer Fcn3
Kc*Ti.s+Kc
Ti.s
Transfer Fcn2
48
s +12s +44s+483 2
Transfer Fcn1
48
s +12s +44s+483 2
Transfer Fcn
Step
Scope
Ejemplo de sintonizaciónb) Método de oscilaciones amortiguadasEn este método se requiere que los polos dominantes tengan un factor de amortiguamiento relativo de 0.2176. el problema se puede resolver analíticamente en forma simbólica. Primero dividimos el polinomio característico entre los dos polos imaginaros con factor de amortiguamiento 0.2176
El residuo tiene que ser cero0212)1(48
0)2(244432
22
nn
nnn
K
)212)1(48())2(2444(
)212(2)212()212(
)1(48)44()212(
)212(
2
2
)1(484412
3222
22
22
22
223
23
nnnnn
nnnnn
nn
n
nn
nn
Ks
ss
Kss
s
ss
sss
Ksss
Ejemplo de sintonización
3036.12
T
3.7922K4.819679,
661683.7922,43.K
11.262304.819679,-
OA
OA
d
d
n
b) Método de oscilaciones amortiguadas
Al resolver las dos anteriores ecuaciones tenemos :
Métodos de sintonización basados en criterios de desempeño
Y los valores finales son:
Tipo de controlador
Kc Ti Td
P 3.7922 - -
PI 3.7922 1.3036 -
PID 3.7922 0.8690 0.2172
0 5 10 15 20 25 300
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Ejemplo de sintonización
Respuesta del sistema:Td.s+1
Td/10.s+1
Transfer Fcn3
Kc*Ti.s+Kc
Ti.s
Transfer Fcn2
48
s +12s +44s+483 2
Transfer Fcn1
48
s +12s +44s+483 2
Transfer Fcn
Step
Scope
Métodos de sintonización basados en criterios de desempeño
c) Método de la curva de reacción
En este caso es necesario obtener la respuesta al escalón de la planta a partir de:
642)(
1
)6)(4)(2(
48)(
1)()(
s
D
s
C
s
B
s
AsY
sssssY
ssGpsY
esc
esc
esc
Métodos de sintonización basados en criterios de desempeño
Los valores de A,B,C, y D se calculan como sigue:
Así 1)6()(
3)4()(
3)2()(
1)(
1)()(
6
4
2
0
sesc
sesc
sesc
sesc
esc
ssYD
ssYC
ssYB
ssYAs
sGpsY
0,1331)(
6
1
4
3
2
31)(
642
teeety
sssssY
ttt
esc
Ahora determinaremos el punto de inflexión mediante el criterio de la segunda derivada:
Igualamos la 2ª derivada a cero y allí estará el punto de inflexión:
Métodos de sintonización basados en criterios de desempeño
ttt
ttt
eeedt
tyd
eeedt
tdy
6422
2
642
364812)(
6126)(
0364812 642 ttt eee
Métodos de sintonización basados en criterios de desempeño
Haciendo z=e-2t, entonces la ecuacion anterior se puede escribir como:
Cuyas raíces son:
El punto de inflexión está en: t=0.5493, para z3. El valor de la función y(t) =0.2963.
0)143(
03648122
32
zzz
zzz
3/1,1,0 321 zzz
El valor de R es la pendiente de y(t) evaluada en el punto de inflexión.
Y el valor del tiempo de retardo Tm se puede hallar pasando una recta con pendiente Rm por el punto de inflexión.
Métodos de sintonización basados en criterios de desempeño
8889.06126)( 642
5493.0
ttt
t
eeedt
tdy
2159.0)/2963.0(5493.0 mm RT
Tipo de controlador
Kc Ti Td
P 5.2107 - -
PI 4.6896 1.0795 -
PID 6.2529 0.7196 0.1727
0 5 10 15 20 25 300
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Ejemplo de sintonización
Respuesta del sistema:Td.s+1
Td/10.s+1
Transfer Fcn3
Kc*Ti.s+Kc
Ti.s
Transfer Fcn2
48
s +12s +44s+483 2
Transfer Fcn1
48
s +12s +44s+483 2
Transfer Fcn
Step
Scope