DESPACHO ECONÓMICO DE LOS
SISTEMA DE POTENCIA
ING. RICARDO MORENO, PHD
AGOSTO DE 2013
1
DESPACHO ECONÓMICO:
OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES
L G1 G2
p1 p2 min max
1 1 1
min max
2 2 2
p p p
p p p
2 2
1 1 1 2 2 2Minimizar C a b p a b p
1 2
max
1 1
min
1 1
max
2 2
min
2 2
Sujeto a:
0
0
0
0
p p L
p p
p p
p p
p p
Restricciones con igualdad
Restricciones con desigualdad
DESPACHO ECONÓMICO:
OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES
p1max p1
min
p2min
p2max
p1
p2
1 2p p L
A
2 2
1 1 1 2 2 2Minimizar C a b p a b p
DESPACHO ECONÓMICO:
OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES
p1max p1
min
p2min
p2max
p1
p2
1 2p p L
A B
'
1 2p p L
2 2
1 1 1 2 2 2Minimizar C a b p a b p
DESPACHO ECONÓMICO:
OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES
p1max p1
min
p2min
p2max
p1
p2
1 2p p L
A B
'
1 2p p L
C
2 2
1 1 1 2 2 2Minimizar C a b p a b p
DESPACHO ECONÓMICO:
OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES
1 2
i 1 2
j 1 2
Minimizar , ,.. ,
sujeto a:
, ,.. , 0 1,...
, ,.. , 0 1,...
n
n
n
f x x x
x x x i m
g x x x j p
1 1 1 1
1
1
1
1
,.. , , ,..., , ,..., , ,
,.. ,
,.. ,
n m p n
m
i i n
i
p
j j n
j
x x f x x
x x
g x x
l K
Función Lagrangiana:
DESPACHO ECONÓMICO:
OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES
L G1 G2
p1 p2
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
minimizar ,
. . , 0
f p p C p C p
s t p p L p p
max
1 1 2 1 1
min
2 1 2 1 1
, 0
, 0
g p p p p
g p p p p
max
3 1 2 2 2
min
4 1 2 2 2
, 0
, 0
g p p p p
g p p p p
min max
2 2 2p p p
min max
1 1 1p p p
1 2 1 2 3 4 1 1 2 2 1 2
max min
1 1 1 2 1 1
max min
3 2 2 4 2 2
, , , , , ,p p C p C p L p p
p p p p
p p p p
l
Condiciones de KKT:
11 2
1 1
23 4
2 2
1 2
0
0
0
dC
p dp
dC
p dp
L x x
l
l
l
DESPACHO ECONÓMICO:
OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES
Condiciones de KKT:
DESPACHO ECONÓMICO:
OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES
max
1 1
1
0p p
l
min
1 1
2
0p p
l
max
2 2
3
0p p
l
min
2 2
4
0p p
l
max
1 1 1 1( ) 0 ; 0p p
min
2 1 1 2( ) 0 ; 0p p
max
3 2 2 3( ) 0 ; 0p p
min
4 2 2 4( ) 0 ; 0p p
DESPACHO ECONÓMICO:
OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES
Caso 1: la solución óptima ocurre en valores que están
en el rango, ningún generador opera en el límite.
Todos los μ’s son iguales a cero, entonces:
1
1 1
2
2 2
1 2
0
0
0
dC
p dp
dC
p dp
L p p
l
l
l
Todos los generadores operan al mismo costo
incremental.
1 2
1 2
dC dC
dp dp
DESPACHO ECONÓMICO:
OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES
Caso 2: la solución optima requiere que el generador 1
opere en su límite superior.
max
1 1 1 2 3 40 0; 0 p p
11
1 1
2
2 2
0
0
dC
p dp
dC
p dp
l
l
11
1
2
2
dC
dp
dC
dp
Los generadores no operan al mismo costo incremental
DESPACHO ECONÓMICO:
OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES
Caso 3: la solución optima requiere que el generador 1
opere en su límite inferior.
min
1 1 2 1 3 40 0; 0p p
Los generadores no operan al mismo costo incremental
12
1 1
2
2 2
0
0
dC
p dp
dC
p dp
l
l
12
1
2
2
dC
dp
dC
dp
EJEMPLO: DESPACHO ECONÓMICO
Una carga L = 800 MW es suplida por tres unidades de
generación.
Las caracteristicas del costo de las tres unidades son
dadas a continuación:
C1 = 100 + 8 P1 + 0.1 P12 [$/h] 230 ≤ P1 ≤ 400 MW
C2 = 200 + 7 P2 + 0.06 P22 [$/h] 100 ≤ P2 ≤ 500 MW
C3 = 250 + 9 P3 + 0.07 P32 [$/h] 100 ≤ P3 ≤ 260 MW
Calcular el despacho ecónomico óptimo
EJEMPLO: FUNCIÓN LAGRANGIANA
=
5 3 6 3( 260) (100 )P P
100 + 8P1 + 0.1P1
2
+200 + 7P2 + 0.06P2
2
+250 + 9P3 + 0.07P3
2
1 2 3( )L P P P
1 1 2 1( 400) (230 )P P
3 2 4 2( 500) (100 )P P
EJEMPLO:
CONDICIONES DE OPTIMALIDAD Calcular las derivadas parciales de la función
Lagrangiana con respecto a las variables de decisión y
al multiplicador.
1 1 2
1
2 3 4
2
3 5 6
3
1 2 3
8 0.2 0
7 0.12 0
9 0.14 0
0
PP
PP
PP
L P P P
l
l
l
l
(1)
(2)
(3)
(4)
EJEMPLO:
CONDICIONES DE OPTIMALIDAD Calcular las derivadas parciales de la función
Lagrangiana con respecto a μ’s
1
1
1
2
2
3
400 0
230 0
500 0
P
P
P
l
l
l
EJEMPLO:
CONDICIONES DE OPTIMALIDAD Calcular las derivadas parciales de la función
Lagrangiana con respecto a μ’s
2
4
3
5
3
6
100 0
260 0
100 0
P
P
P
l
l
l
EJEMPLO:
CONDICIONES DE COMPLEMENTO
1 1 1.( 400) 0; 0 P
2 1 2.(230 ) 0; 0 P
3 2 3.( 500) 0; 0 P
4 2 4.(100 ) 0; 0 P
5 3 5.( 260) 0; 0 P
6 3 6.(100 ) 0; 0 P
EJEMPLO:
CASO 1
Asumir que ninguna de las restricciones de desigualdad
esta en el límite. Esto implica que todos los μ‘s son
iguales a cero.
Entonces, reescribiendo las ecuaciones (1) a (3)
1
1
2
2
3
3
8 0.2 0
7 0.12 0
9 0.14 0
PP
PP
PP
l
l
l
1
8
0.2P
2
7
0.12P
3
9
0.14P
EJEMPLO:
CASO 1
Reemplazando en la ecuación (4),
5( 8) 8.33( 7) 7.14( 9) 0L
Con L = 800MW, 46.96 $/MWh
Reemplazando en las ecuaciones (1), (2) y (3)
P1 = 194.8 MW
P2 = 333.0 MW
P3 = 271.2 MW
< P1
min = 230 MW
> P3
max = 260 MW
No es una solución valida
EJEMPLO:
CASO 2
Combinación de restricciones con solución de frontera
6 restricciones de desigualdad 64 posibilidades!
Utilizando información previa,
P1 = P1
min = 230 MW
P3 = P3
max = 260 MW
2 0
5 0
1 3 4 6 0
EJEMPLO:
CASO 2
P1 = P1
min = 230 MW
P3 = P3
max = 260 MW
1 2 3 0 L P P P
2 310 MW P
Ahora deben verificarse que los μ‘s cumplen
con las condiciones
EJEMPLO:
CASO 2
1 3 4 6 0
1 2
1
2
2
3 5
3
8 0.2 0
7 0.12 0
9 0.14 0
PP
PP
PP
l
l
l
2 9.8 $/MWh
44.2 $/MWh
5 1.2 $/MWh
0!
EJEMPLO:
RESUMEN
P1
P2
P3
P1
min
P2
min
P3
min P3
max
P2
max
P1
max
P2
P1
P3
Caso 1:
EJEMPLO:
RESUMEN
Caso 2:
P1
P2
P3
P1
min
P2
min
P3
min P3
max
P2
max
P1
max
P2
P1
P3
EJEMPLO:
CASO 3
min
1 1 230 MW P P 2 0
1 3 4 5 6 0
2
2
3
3
7 0.12 0
9 0.14 0
PP
PP
l
l
1 2 3 0L P P P
l
2
3
44.75 $/MWh
315 MW
255 MW
P
P
EJEMPLO:
CASO 3
1 2
1
8 0.2 0PP
l2 9.25 $/MWh
Solución que satisface todas las condiciones de
optimalidad
1
2
3
230 MW
315 MW
255 MW
P
P
P
44.75 $/MWh
2 9.25 $/MWh
Valor de reducir P1 por 1MW
EJEMPLO:
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Caso 3:
P1
P2
P3
P1
min
P2
min P2
max
P1
max
P2
P1
P3
ANÁLISIS Y FORMULACIÓN DEL
PROBLEMA DE UNIT COMMITMENT
29
CURVA DE DEMANDA
-
1,000.00
2,000.00
3,000.00
4,000.00
5,000.00
6,000.00
7,000.00
8,000.00
9,000.00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Dem
an
da N
acio
nal (M
Wh
)
Curva de Carga Diciembre 2012
Promedio Dem. Nac. (MWh)
UNIT COMMITMENT, UN EJEMPLO
• Unidad 1:
• PMin = 250 MW, PMax = 600 MW
• C1 = 510.0 + 7.9 P1 + 0.00172 P12 $/h
• Unidad 2:
• PMin = 200 MW, PMax = 400 MW
• C2 = 310.0 + 7.85 P2 + 0.00194 P22 $/h
• Unidad 3:
• PMin = 150 MW, PMax = 500 MW
• C3 = 78.0 + 9.56 P3 + 0.00694 P32 $/h
¿cúal combinación de las unidades 1, 2 and 3 producirá 550 MW a costo mínimo?
UNIT COMMITMENT, VARIAS
COMBINACIONES
1 2 3 Pmin Pmax P1 P2 P3 Ctotal
Off Off Off 0 0 ------------
Off Off On 150 500 ------------
Off On Off 200 400 ------------
Off On On 350 900 0 400 150 5418
On Off Off 250 600 550 0 0 5389
On Off On 400 1100 400 0 150 5613
On On Off 450 1000 295 255 0 5471
On On On 600 1500 ------------
UNIT COMMITMENT,
PERFIL DE CARGA
Carga (MW)
Tiempo (h) 12 6 0 18 24
500
1000
UNIT COMMITMENT, COMBINACIÓN
ÓPTIMA PARA CADA HORA
Carga Unidad 1 Unidad 2 Unidad 3
1100 On On On
1000 On On Off
900 On On Off
800 On On Off
700 On On Off
600 On Off Off
500 On Off Off
UNIT COMMITMENT,COMBINACIÓN
ÓPTIMA PARA CADA HORA
12 6 0 18 24
Unidad 1
Unidad 2
Unidad 3
Tiempo (h)
Carga (MW)
UNIT COMMITMENT,
111
110
101
100
011
010
001
000
• Ejemplo
– 3 unidades: 8 posibles
estados
– N unidades: 2N posibles
estados
UNIT COMMITMENT,
1 2 3 4 5 6 T=
Optimización en un
horizonte de tiempo
dividido en intervalos.
La solución es un camino.
UNIT COMMITMENT,
1 2 3 4 5 6 T=
¿cuantas soluciones hay?
2 2 2 2 TN N N NK
UNIT COMMITMENT,
DIMENSIONALIDAD DEL PROBLEMA
Ejemplo: 5 unidades, 24 horas
Sin embargo, muchas de estas combinaciones no
satisfacen las restricciones.
24
5 352 2 6.2 10T
N
UNIT COMMITMENT EJEMPLO
Pmin (MW)
Pmax (MW)
Min up (h)
Min down
(h)
No-carga costo
($)
Costo marginal ($/MWh)
Costo de arranque
($)
Estado inicial
A 150 250 3 3 0 10 1,000 ON
B 50 100 2 1 0 12 600 OFF
C 10 50 1 1 0 20 100 OFF
Características de las unidades
UNIT COMMITMENT EJEMPLO
0
50
100
150
200
250
300
350
1 2 3
Horas
Carga
Requerimiento de reserva no son considerados
Demanda horaria
UNIT COMMITMENT EJEMPLO
Combinaciones
Pmin Pmax A B C
1 1 1 210 400
1 1 0 200 350
1 0 1 160 300
1 0 0 150 250
0 1 1 60 150
0 1 0 50 100
0 0 1 10 50
0 0 0 0 0
1 2 3
150 300 200
UNIT COMMITMENT EJEMPLO
A B C
1 1 1
1 1 0
1 0 1
1 0 0
0 1 1
1 2 3
Estado inicial
UNIT COMMITMENT EJEMPLO
Estado inicial
TD TU
A 3 3
B 1 2
C 1 1
1 2 3
A B C
1 1 1
1 1 0
1 0 1
1 0 0
0 1 1
UNIT COMMITMENT EJEMPLO
A B C
1 1 1
1 1 0
1 0 1
1 0 0
0 1 1
Estado inicial
1 2 3
UNIT COMMITMENT EJEMPLO
1 1 1
1 1 0
1 0 1
1 0 0 1
4
3
2
5
6
7
UNIT COMMITMENT EJEMPLO
Estado Demanda PA PB PC Costo
1 150 150 0 0 1500
2 300 250 0 50 3500
3 300 250 50 0 3100
4 300 240 50 10 3200
5 200 200 0 0 2000
6 200 190 0 10 2100
7 200 150 50 0 2100
UNIT COMMITMENT EJEMPLO
1 1 1
1 1 0
1 0 1
1 0 0 1
4
3
2
5
6
7
$1500
$3500
$3100
$3200
$2000
$2100
$2100
Costos de operación
UNIT COMMITMENT EJEMPLO
1 1 1
1 1 0
1 0 1
1 0 0 1
4
3
2
5
6
7
$1500
$3500
$3100
$3200
$2000
$2100
$2100
Unidad Costos de
arranque
A 1000
B 600
C 100
$0
$0
$0
$0
$0
$600
$100
$600
$700
Costos de arranque
UNIT COMMITMENT EJEMPLO
1 1 1
1 1 0
1 0 1
1 0 0 1
4
3
2
5
6
7
$1500
$3500
$3100
$3200
$2000
$2100
$2100
$1500
$5100
$5200
$5400
$7300
$7200
$7100 $0
$0
$0
$0
$0
$600
$100
$600
$700
Costos acumulados
UNIT COMMITMENT EJEMPLO
Costos totales
1 1 1
1 1 0
1 0 1
1 0 0 1
4
3
2
5
6
7
$7300
$7200
$7100
UNIT COMMITMENT EJEMPLO
Solución optima
1 1 1
1 1 0
1 0 1
1 0 0 1
2
5
$7100