Sistemas Lineales II
Material deApoyo
Instituto de Ingeniería EléctricaFacultad de Ingeniería
Universidad de la República
Sistemas Lineales II
Unidad 1
TRANSFORMADADE LAPLACE
Material de apoyo
Unidad 1: Transformada de Laplace2
Indice
1. Introducción.2. Transformada de Laplace en funciones.
2.1 Definición.2.2 Abscisa de convergencia.2.3 Ejemplos:
L[ekt]L[coskt]L[senkt]L[Y(t)]
2.4 Teorema de traslación en el tiempo.2.5 Teorema de traslación en la s.2.6 Teorema de derivación.2.7 Teorema de integración.2.8 La Transformada como integral impropia dependiente de un
parámetro.2.9 Convergencia uniforme.2.10 La Transformada como función analítica en su semiplano de
convergencia.2.11 Teoremas del valor inicial y final.2.12 Transformada de una función periódica.2.13 Aplicación de la Transformada para resolver ecuaciones
diferenciales.3. Transformada de Laplace en distribuciones.
3.1 Consideraciones para su definición.3.2 Transformada de Laplace y convolución. Corolarios:3.3 Teoremas de traslación y derivación.3.4 Datos previos y condiciones iniciales.3.5 Transformadas de Laplace y Fourier. Su vinculación.3.6 Inversión de la Transformada de Laplace.3.7 Ejemplo: Antitransformada de F(s) = 13.8 Métodos para antitransformar funciones racionales3.9 Vinculación entre descripción de ceros y polos de una función
compleja y variación en el tiempo de su antitransformada.4. Recapitulando
Unidad 1: Transformada de Laplace3
1. Introducción
La transformada de Laplace permite pasar del dominio del tiempo al de lafrecuencia compleja.Es decir, que asocia a una función de la variable tiempo f(t), una función devariable compleja F(s), que es la Transformada de Laplace de f(t).La transformada resulta ser (en una zona del plano) una función analítica, contoda la fuerza de las propiedades que tienen estas funciones de variable compleja.La primera aplicación de esta transformación surge de que ecuacionesdiferenciales se convierten en simples ecuaciones algebraicas.En el caso de los circuitos eléctricos, esta simplificación se completa dando unpaso más: las componentes elementales se representan “en Laplace”, con lo que seomite el pasaje por la propia ecuación diferencial.El circuito eléctrico se dibuja en Laplace, y en particular la información de lascondiciones iniciales aparece a través de fuentes.Pero más allá de esta aplicación como herramienta simplificadora, laTransformada de Laplace permite asignar funciones que caracterizan a uncircuito: impedancias driving-point, y transferencias.Estas funciones son de gran importancia conceptual y se emplean en temas talescomo Teoremas de Circuitos, Realimentación, Estabilidad, dentro de SistemasLineales 2, y en las demás asignaturas de la carrera.
2. Transformada de Laplace en funciones2.1. DefiniciónEn primer lugar, consideraremos la teoría clásica para funciones.
Sea f(t) compleja, de variable real t, nula para t < 0; seccionalmente continua (esdecir, con discontinuidades de 1ª especie; hay límite por la izquierda y derecha).
La T de Laplace de f(t) es:
[ ])()(
)()(0
tfLsF
dtetfsF st
=
= ∫+∞ −
En primera instancia señalamos que la T de Laplace es una función de variablecompleja, que es además analítica; la de Fourier es de variable real f, (o λ).
A veces están relacionadas. En otros casos no. Recordar p. ej. F1 = δ, no tienenada que ver con una función analítica.
Unidad 1: Transformada de Laplace4
2.2. Abscisa de convergencia.
Analicemos el integrando, en módulof(t)e-st = f(t)e-xt, si s = x+jy
La convergencia absoluta de la integral de Laplace depende sólo de la parte realde s.
1) “ Si en s = s0, la integral de Laplace C.A. (Converge Absolutamente), entoncesC.A. (y U.-Uniformemente) para todo s con
Re(s) ≥ Re(s0)”.
Pues para esos s, txxt etfetf 0)()( −− ≤ Consecuencias:
- Para estudiar la C.A., alcanza con estudiar para valores realesde s.
- Clasifico los reales en 2 clases, según que la integral deLaplace C.A. o no. Las clases son separadas, por el teoremaanterior. Si son no vacías, definen un elemento de separación,xa, “abscisa de convergencia absoluta”.A la derecha, hay C.A.;a la izquierda no; en xa no se puede decir. Queda definido un“semiplano de convergencia”.Una de las clases puede ser vacía. Hay C.A. en todo (oningún) punto del plano.
( Análogamente, se define abscisa de convergencia simple xs : -∞ ≤ xs ≤ xa ≤ +∞ )
2) “ Si f es integrable localmente y cumple f(t) ≤ Aekt, con A > 0, k real, paratodo t ≥ t0 ≥ 0, entonces xa ≤ k”. Pues para t ≥ t0 f(t)e-xt ≤ Ae-(x-k)t, y esto tiene integral pues x-k > 0. Esdecir que f(t)e-xt es integrable de t0 a +∞. Como de 0 a t0 lo es, laintegral converge.
En particular: si f es acotada: xa ≤ 0
Si f es de soporte acotado, la acotación vale para cualquier k ⇒ xa = -∞
2.3. Ejemplos de uso práctico.
f(t) = ekt, k real o complejo
∫ ∫ −−
−=
−−
−=
−==
−−−−−T TskTskTtskT tskktst
kse
ksskske
ske
dtedtee0
)()(
0
)(
0
)( 11
Unidad 1: Transformada de Laplace5
Tomando límites cuando T → ∞ Distinguimos 3 casos:
1. Re(s) < Re(k) e[Re(k)-Re(s)]T que es el módulo → ∞; no existe la T de Laplace
2. Re(s) > Re(k) el límite es ks −
1
3. Re(s) = Re(k) el módulo vale 1; el argumento varía con T, no hay límite.
Luego: [ ]ks
eL kt
−= 1
, y el semiplano de convergencia es
Re(s) > Re(k)
Para otras f(t) podemos aplicar linealidad.P.ej.
[ ]22
1121
2cos
kss
jksjksee
LktLjktjkt
+=
+
+−
=
+=−
Semiplano de convergencia Re(s) > Re(jk) = -Im(k)
Re(s) > Re(-jk) = Im(k)⇒ Re(s) > Im(k)
[ ]22
1121
2sen
ksk
jksjksjjee
LktLjktjkt
+=
+
−−
=
−=−
Re(s) > Im(k)
Análogamente: [ ]22 ks
kshktL
−= Re(s) > Re(k)
[ ]22 ks
schktL
−= Re(s) > Re(k)
Para el escalón: (ekt con k = 0, o directamente)
[ ]s
tYL1
)( = Re(s) > 0
Unidad 1: Transformada de Laplace6
Ej: g(t) = e-tsent
[ ]tjtjjtjt
tt eejj
eeetetg )1()1(
21
2sen)( +−−
−−− −=
−==
1)1(2
21
)1(1
)1(1
21
11
11
21
)( 2 ++=
++
−−+
=
++
−+−
=s
jjjsjsjjsjsj
sG
1)1(1
)( 2 ++=
ssG
2.4. Teorema de traslación en el tiempo.
Trataremos de vincular el corrimiento de una función en el tiempo con sutransformada de Laplace.
Sea ∫∞ −=
0)()( dttfesF st
Hacemos el cambio de variable: t = τ - a
∫∞ −− −=a
as dafesF τττ )()( )(
∫ ∫∞ ∞ −−− =−=a
sssa dgedafesFe0
)()()( ττττ ττ
en que g(t) es la trasladada hasta “a” que vale 0 entre 0 y a.
Se puede escribir como: g(t) = Y(t-a)f(t-a)
Atención: no es ninguna de éstas: f(t-a)Y(t)f(t-a)Y(t-a)f(t)
Unidad 1: Transformada de Laplace7
Si f(t) → F(s)
g(t) → e-saF(s)
Ej: [ ]s
tYL1
)( =
[ ]s
eatYL
as−
=− )(
[ ]se
thL
atYtYthas−−=
−−=1
)(
)()()(
2.5. Teorema de Traslación en la s.
Veamos ahora a qué corresponde en el dominio del tiempo, la trasladada en s deuna Transformada de Laplace.
∫∞ −=
0)()( dttfesF st Re(s) > xc
s → s-k
[ ] [ ])()()()(00
)( tfeLdttfeedttfeksF ktktsttks ===− ∫∫∞ −∞ −−
f(t) → F(s)
ektf(t) → F(s-k) Re(s-k) > xc
Re(s) > xc + Re(k)
Veamos cómo se aplica este teorema para resolver el ejercicio anterior:
g(t) = e-tsent
Sé que [ ] [ ]1)1(
1sen
11
sen 22 ++=⇒
+= −
steL
stL t
ekt, k = -1
Análogamente: [ ]1)1(
1cos 2 ++
+=−
ss
teL t
Unidad 1: Transformada de Laplace8
Veamos una idea práctica para antitransformar:
Sea 134
3)( 2 ++
+=ss
ssF
La transformamos:9)2(
19)2(
29)2(
12)( 222 ++
+++
+=++
++=ss
sss
sF
Viene de
+= −
33sen
3cos)( 2 ttetf t
2.6. Teorema de derivación.
Trataremos de hallar la transformada de Laplace de una derivada.
Sea f(t) continua con derivada f′(t) seccionalmente continua.
Suponemos que en s = s0 existen las Ts L[f(t)] y L[f′(t)].
Tesis: “En Re(s) > Re(s0), existen las Ts y cumplen:L[f′(t)] = sL[f(t)] - f(0) ”
Es gracias a este teorema que la derivación en funciones se reduce a unaoperación algebraica en transformadas.
∫∫ −−− +=′T st
TT stst dttfestfedttfe000
)()()(
∫ ∫ −−− +−=′T T stsTst dttfesfTfedttfe0 0
)()0()()(
Considerando primero las integrales en s0 . Hacemos T → ∞ , las integralesconvergen. El integrando debe tener límite y el límite debe ser 0.
[ ] [ ] )0()()( ftfsLtfL −=′ El f(0) es f(0+)
Lo anterior se cumplirá para Re(s) > Re(s0)
Se generaliza:
“Si f es continua con n-1 derivadas continuas y la enésima seccionalmentecontinua, y si en s0 existen las Transformadas: [ ] [ ])(,....,)( )( tfLtfL n
Entonces: [ ] [ ] )0(....)0()0()()( )1(21)( −−− −−′−−= nnnnn ffsfstfLstfL ”Para la derivada segunda tendríamos:
[ ] [ ] [ ] )0()0()()0()()( 2 fsftfLsftfsLtfL ′−−=′−′=′′
2.7. Teorema de integración.
Sea f(t) seccionalmente continua. ∫=t
dttftg0
)()(
Si en s0 existen [ ]fL y [ ]gL , entonces:
Unidad 1: Transformada de Laplace9
En Re(s) > Re(s0) también existen y se cumple:
[ ] [ ])(1
)( tfLs
tgL =
Pues g(t) es continua; g′(t) = f(t) y g(0) = 0
[ ] [ ] )0()()( gtgsLtgL −=′[ ]
stfL
dttfLt )(
)(0
=
∫
2.8. La Transformada como integral impropia dependiente deun parámetro.
- Obsérvese que la T de Laplace es una integral impropia dependiente de unparámetro.
Es decir, es del tipo: ∫∞
0),( dttsg
2.9. Convergencia uniforme.
Recordemos que “se dice que una integral C.U. en una región del parámetro s, si
dado ε, ∃A(ε) que no depende de s, tal que para B > A, es ε<∫∞
Bdttsg ),( ”.
- Criterio de C. U. (suficiencia)
“ Una integral ∫∞
0),( dttsg converge U (y también A) si para t > t0
atM
tsg <),( , con M > 0 y a > 1 “
Pues ∫∫∞
−−
∞
−≤
−=<
B aaaB AaM
BaM
tdt
Mdttsg 11 )1()1(),( y esto es tan pequeño
como se quiera (eligiendo A grande) e independiente de s.
En el caso de la integral de Laplace, el e-st permite en general acotar por at
M
2.10.La transformada como función analítica en su semiplanode convergencia.
Sabemos que se puede derivar respecto al parámetro s cuando las dos integrales(la original y la obtenida derivando formalmente) convergen uniformemente.
Entonces: [ ]∫∞ − ==
0)()()( tfLdttfesF st
[ ]∫∞ − −=−=′
0)()()()( ttfLdttfetsF st
En general: [ ])()()( )()( tftLsF mm −=
Unidad 1: Transformada de Laplace10
Se prueba además que la abscisa de convergencia xd de esta T de L es la mismaque la de [ ])(tfL : xa
Sea xa la abscisa de convergencia de [ ])(tfL y xd la de [ ])()( )( tftL m−Como f es localmente integrable, razonamos para t ≥ 1 ⇒ tm ≥ 1 y laintegrabilidad de (-t)mf(t)e-xt implica la de f(t)e-xt
Luego: xa ≤ xd ( Pues )()()( )( tftetfe mstst −≤ −− )
Por otro lado, dado ε > 0, tm < eεt para t suficientemente grande; luego:txxtm etfetft )()()()( ε−−− ≤− desde un t en adelante ⇒ xd ≤ xa + ε
esta converge para x-ε > xa
x > xa + εLuego: xa = xd
Importante:F(s) es analítica en su semiplano de convergencia.
De aquí salen otras transformadas importantes:
)()( sFtf →
s
tY1
)( →
2
1).(
sttY +→+
32 2
).(s
ttY →
- - - - - - - - - - - - - -
nn
sn
ttY)!1(
).( 1 −→− ⇒ n
n
sntY 1
)!1(. 1
→−
−
⇒ n
nkt
ksntetY
)(1
)!1()( 1
−→
−
−
Despejo ns
1Multiplico por ekt
Esta última todavía, se puede generalizar para un exponente no entero sino realcualquiera.
Dejando de lado el factor ekt hasta el final:
[ ] ∫∞ −−− ==0
11).( dtetttYL staa La calculo primero para s real = x.
Con a > 0
Es ∫ ∫∞ −
−
−−− ==
0 1
11
xdu
exu
dtet ua
axta ∫
∞ −− Γ=0
1 )(1a
aua x
aduue
x
uxt = )0( >= xxu
t
para c/x fijoEs integrable: - en 0 pues a > 0
- en ∞, si Re(s) > 0
Unidad 1: Transformada de Laplace11
∫∞ −− Γ=
0
1 )(aduue au
Esto es Γ(a) (Función de Euler)
Para s complejo, la T de Laplace es la función analítica obtenida por
prolongación. Es decir: 1) es analítica; 2) en el eje real da axa)(Γ
. Luego, es:
asa)(Γ
Entonces:
a
a
sattY
L1
)()( 1
=
Γ
−
a > 0
Re(s) > 0
F(s) es analítica a la derecha de la abscisa de convergencia (semiplano derecho)En ese mismo recinto, es uniforme.A esta altura, conviene tener presente los recursos para el manejo de funcionesanalíticas:Si hacemos un tajo, en el recinto que queda, la función es uniforme. Al cruzar eltajo, pasamos de una rama a otra. Al movernos sobre una curva cerrada que cruzael tajo, al volver al punto de partida no tenemos el mismo valor. Dicho de otramanera: como F(s) es multiforme, elegí una determinación.. ¿Cuál? La que sobreel eje real, me da real.
De otra manera: si n es entero, sn es un único valor; pero con a real cualquiera,sa = eaLogs es multiforme.ea[Logs+jargs]
Si a es entero, Γ(a) es el factorial Γ(n) = (n-1)! Y reencontramos el resultadoanterior.
Todavía, podemos multiplicar por ekt:
a
akt
ksatetY
L)(
1)(
)( 1
−=
Γ
−
Unidad 1: Transformada de Laplace12
Análogamente, se llega a:
[ ]1
1)()(
20+
=s
tJtYL En que: ∫+
− −=
1
1 201
cos1)( dx
x
xttJ
πFunción de Bessel
Re(s) > 0También aquí hay multiformidades; la determinación de 12 +s es la obtenida porprolongación a partir de la determinación real y positiva para s real y positivo.
Una aplicación de uso práctico:
Sin necesidad de integrar nada:
ETtYTtTE
TtYtTE
tytf )()()()()( −−−−−=
( )[ ]sTsTsT eTsTsE
esE
esT
EsT
EsF −−− +−=−−= 11
11)( 222
2.11.Teoremas del Valor Inicial y Final.
Estos teoremas permiten conocer los valores límites de la función f(t) para t = 0 yt = ∞, sin necesidad de completar la antitransformación.
Supongamos que [ ]fL y [ ]fL ′ existen y son A.C. en un semiplano derecho.Sabemos que si [ ] )(sFfL =
[ ] ∫∞ +− −=′=′
0)0()()( fssFdtetffL st
Si la integral es U.C., podemos pasar al límite dentro de la integral.Recordemos resultados de integrales impropias dependientes de un parámetro:
∫∞
=0
),()( dttsgsF
Si C.U. ⇒ ε<∫∞
Adttsg ),(
Unidad 1: Transformada de Laplace13
{ } ε2),(),()()(0
+−+<−+ ∫A
dttsgthsgsFhsF
1º) Hacemos s→ ∞ (en rigor, s → ∞) en Re(s) > 0
[ ] ∫∞ − →′=′
00)( dtetffL st si g es continua → 0
por ser continua en s
Luego: )0()(lím +∞→ = fssFs Es el teorema del valor inicial.
2º) Hacemos s → 0
[ ] ∫ ∫∞ ∞ +− −∞=′→′=′
0 0)0()()()( ffdttfdtetffL st
Sustituyendo:
)()(lím 0 ∞=→ fssFs Es el teorema del valor final.
Para que valga eso, de cambiar el orden del pasaje al límite con la integración,debe ser U.C. [ ]fL ′ en una región que incluya s = 0.En otras palabras, los polos de F(s) deben estar a la izquierda.
Ej: Sea f(t) = 3Y(t) + 2Y(t)e-t
)1(35
123
)(++=
++=
sss
sssF
)0(5)(lím
)(3)(lím 0
+∞→
→
==
∞==
fssF
fssF
s
s
Atención: Si f(t) = 2Y(t)et
1
2)(
−=
ssF
)(0)(lím 0 ∞≠=→ fssFs Esto porque F(s) converge para Re(s) > 1 No puedo llegar a 0.
Unidad 1: Transformada de Laplace14
En caso que el semiplano de convergencia sea el semiplano derecho, se pruebaque el teorema se cumple si sF(s) no tiene polos en el eje imaginario.
2.12.Transformada de Laplace de una función periódica.
∑∫∫∫ ∫∞
=
+ −∞ − ==++==0
)1(2
0 0(*))(....)()(
n
Tn
nT
stT
T
Tst dttfedttfesF
Dado un sumando genérico:
∫ ∫ ∫+ −−+−− =+=
Tn
nT
T T ssnTnTsst dfeednTfedttfe)1(
0 0
)( )()()( ττττ ττ
cambio de variable: t = τ + nT a, ar, ar2,….Aquí, la razón es: e-sT
∫∑ ∫ −−
∞−−
−=
=
T ssT
T ssnT dfee
dfee0
00
)(1
1)((*) ττττ ττ cuyo módulo: e-xT es
ra
rr
aSn
n −→
−−=
111
si r < 1 < 1, en x > 0
Es decir que la integración se reduce a un período,
y se multiplica por sTe−−1
1
Puedo poner también sTe
sFsF −−
=1
)()( 1 , con [ ])()( 11 tfLsF =
Unidad 1: Transformada de Laplace15
Ej: La onda cuadrada
)(1
1)( 12 sF
esF
as−−=
y
∫ ∫∫ =−+−=+−=−==−−−−−
−−−a a
a
asasasa
a
staststa stst
se
se
se
sse
se
dtedtedtetfsF2
0
2 22
001
1)()(
( )
se
see asasas 222 11 −−− −=+−=
Entonces:( ) ( )
( )( ) 2.
1.
111
111
.1
)(22
222
2
2as
ths
ee
eesees
eee
ssF
asas
asas
asas
as
as
as
=+
−=+−
−=−−=
−
−
−−
−
−
−
Ver que F1 se pudo calcular también como L[ Y(t) - 2Y(t-a) + Y(t-2a) ]
Unidad 1: Transformada de Laplace16
Muchas veces, el teorema se aplica al revés: conozco la T de L de la periódica yquiero calcular la T de L de algo así: , que es justamente la
∫=T
sF01 )(
En rigor, el teorema visto valdría para esto otro:
f1
2π[ ]
[ ]1
1)()(
1)(
11
sen
2
2
1
21
2
+−==
−=
+=
−
−
se
tfLsF
esF
stYL
s
s
π
π
O también: la resta del seno y del seno corrido.
En general, la moraleja es: recurrir poco a la memoria y mucho al ingenio.
Ej:
Esto es la suma del seno y el seno corrido.
Unidad 1: Transformada de Laplace17
11
2 +s
12 +
−
se sπ
11
2 ++ −
se sπ
Obtenida la de por el teorema de la periódica,podemos hallar la de la ondasinusoidal rectificada:
Simple onda ( )( )111
11
.1
1222 +−
=−+
+−−
−
seese
ss
s
ππ
π
Onda completa s
s
ese
π
π
−
−
−++
11
.1
12
Estas son las formas de onda que se obtienen en los circuitos rectificadores:
Unidad 1: Transformada de Laplace18
2.13. Aplicación de Laplace para resolver ecuacionesdiferenciales.
Veamos cómo se aplica la T de L para resolver ecuaciones diferenciales.Sea la ecuación: f′′ + 3 f′ +2f = 2, con las condiciones iniciales:
f(0) = 2 f′(0) = 1
La resolución clásica es:
1) Homogénea: Ecuación característica: p2 +3p +2 = 0 ⇒ 2
13 ±−=p
-1 e-t
-2 e-2t
Solución general de la homogénea: C1e-t + C2e-2t
2) No homogénea: Solución particular: 2f = 2 ⇒ f = 1
Luego: solución general: f = 1 + C1e-t + C2e-2t
Para determinar las constantes C1 y C2, juego con las condiciones iniciales:f(0) = 1 + C1 + C2 = 2f′(0) = - C1 -2 C2 = 1 - C2 = 2 ⇒ C2 = -2 C1 = 3 ⇒
f(t) = 1 + 3 e-t -2e-2t
La resolución por Laplace consiste en escribir una ecuación en transformadas:[ ][ ][ ] [ ] 12)()0(
2)()0()()(
2 −−=′−′=′′−=−=′
=
ssFsffsLfL
ssFfssFfL
sFfL
Tomando transformadas en la ecuaciónoriginal:
( )
( )
tt eetfsss
sF
C
B
As
Cs
BsA
sssss
sssss
F
sss
ssFss
sFsFsFs
2
2
2
2
22
2
231)(2
21
31)(
22
2148
31
272
121)2)(1(
27223272
27227223
226312
−− −+=⇒+
−+
+=
−=+−=
=−
+−=
=+
++
+=++++=
++++=
++=++=++
=+−+−−
Obsérvese que la ecuación en transformadas contiene incorporada la informaciónde las condiciones iniciales.
Nos quedan dos grandes temas: generalizar a distribuciones y antitransformar.
Unidad 1: Transformada de Laplace19
3.Transformada de Laplace en distribuciones.
3.1. Consideraciones para su definición.
Aun trabajando con funciones, se ve que la T de L está asociada a distribuciones.Si dos funciones difieren en un conjunto de medida nula (coinciden comodistribuciones), tienen la misma T de L.
( La T de L del escalón es s1
, cualquiera sea el valor de Y en 0 ).
Vamos a estudiar T de L sólo para distribuciones de D′+.
No consideraremos sent sino Y.sent; no habrá T de L de 1 sino de Y(t).
Además de restringirnos a T ∈ D′+, supondremos que existe cierto número a talque para x > a, e-xtT es temperada: e-xtT ∈ S′Decimos que T es "temperable" por el factor e-xt. No exigimos que T seatemperada, con tal que el producto lo sea. Así, et entra en esta categoría;
2te no.Hay pues muchas distribuciones con T de L.
La definición es: [ ] ⟩⟨== −steTsFTL ,)( , definida para Re(s) > aLa idea rigurosa es que: si Re(s) > a, elijo un x1 intermedio: Re(s) > x1 > aConsidero Te tx1− , que es temperada, y la aplico a txset )( 1)( −−α α(t) vale 1 enel soporte de T; es ∞y derivable y luego cae a 0.Entonces: ⟩⟨ −−− txstx etTe )( 11 )(,α está bien definido.
∈ S′ ∈ S, si Re(s) > x1, y α(t) la anula para t < 0No depende de x1. El x1 me sirve para asegurar la existencia, pero no aparece enel resultado. Tampoco depende de α.Cuando escribo <T,e-st> en rigor quiero decir lo otro.
Si T es una función, la definición coincide con la vista en funciones, pues T serádel tipo Y(t)f(t). Decir T∈ D′+ corresponde en funciones a integrar de 0 a +∞.
Volviendo al tema de la definición:Si defino apresuradamente L[T] = <T,e-st> = F(s), tengo el problema de quedistribución y función deben pertenecer a espacios correspondientes. Y si T∈D’esto no marcha porque e-st no pertenece a D (soporte acotado e infinitamentederivable).Como e-st∈ C∞, con T∈(C∞)’, es decir de soporte acotado, la definición funciona.Pero son pocas las T de soporte acotado. Queremos tener más distribuciones conT de Laplace.Inspirados por lo que sabemos de funciones, digo que , con Re(s)>0, e-st decrece al+∞ con fuerza exponencial, (Tipo S). A -∞ crece, pero eso lo arreglo si T∈ D’+
Con más precisión: si T es temperada y D’+, escribo: L[T] = <T , α(t)e-st>, conα(t)∈C∞ y que vale 1 en el Sop T. S’ S
Unidad 1: Transformada de Laplace20
α(t) 1
Ahora la definición funciona, y no depende de α, por argumento similar al que yavimos alguna vez: tomo otra función β(t) y la resta es <T,(α-β)e-st> = 0porque los soportes están separados.Todavía, puedo ampliar el campo de las distribuciones.Sea T no temperada, pero “ temperable” por un factor e-xt.O sea, supongo que para x > a, se cumple e-xtT∈S’Estoy pensando en la exponencial Yekt; no es temperada, pero Ye-xtekt = e-(x-k)t estemperada para x>k.Para ese tipo de T defino:
[ ] >=< −−− txstx etTeTL )( 11 )(,αCon x1>a: ⇒
S’ S para Re(s)>x1
El factor txe 1− desaparece en el cálculo, pero me asegura la existencia.
De [ ] )(, sFeTTL st =⟩⟨= −
Sale: ⟩⟨−=⟩−⟨=′ −− stst eTtteTsF ,.,)(
⟩−⟨= −stmm eTtsF ,)()()(
F(s) es analítica.
T de L de δs.[ ][ ][ ][ ] as
mm
tsts
ts
eatL
sL
sseeL
eL
−
−−
−
=−
==⟩−−⟨=⟩′⟨=′
=⟩⟨=
(
,,
1,
)(
δδ
δδδδδ
Unidad 1: Transformada de Laplace21
3.2.Transformada de Laplace y Convolución.
Con distribuciones de D′+ siempre existe la convolución.Si [ ]=UL U(s) y [ ]=VL V(s)
[ ] =⟩⟩⟨⟨=⟩⊗⟨=⟩⊗⟨=⟩∗⟨=∗ −−−−+−− syy
sxx
sysxyx
yxsyx
st eVeUeeVUeVUeVUVUL ,,.,,, )(
[ ] [ ]== VLUL U(s).V(s)El semiplano de convergencia es el que está más a la derecha de los dos factores.
3.3. Corolarios: Teoremas de traslación y derivación.
Corolario 1: Teorema de traslación: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]x
asxaxxaxaxax TLeTLLTLTLTL −
−−−− ==∗=∗= .δδδ
Corolario 2: Teorema de Derivación:
" Si [ ] [ ] )()( )()( sFsTLsFTL mm =⇒= "
En efecto: [ ] [ ] [ ] [ ] )(.)()()( sFsTLLTLTL mmmm ==∗= δδ
Ej:
1) [ ] [ ] 11
.1
)( ==⇒=s
sLs
tYL δ
2) Sabemos que [ ]22sen
ωωω+
=s
tYL
Derivo: [ ] [ ]2222 coscos
ωω
ωωωω
+=⇒
+=
ss
tYLs
stYL
Derivo otra vez:
[ ]22
2
senω
ωωδ+
=−s
stYL
[ ] [ ]22
2
22
2
22
2
1sensen1ω
ωω
ωωω
ωω+
=+
−=⇒+
=−ss
stYL
ss
tYL ⇒
[ ]22sen
ωωω+
=s
tYL
3.4. Datos previos y condiciones iniciales.
Hay que tener cuidado al aplicar el teorema de derivación: si T es una función, se debe derivar como distribución de D′+.
f [ ] )(ssFfL =′ distribución
{ }[ ] { }[ ] { }[ ] )0()()()0(0( +++ −=′⇒=+′=+′ fssFfLssFffLffL δque es el resultado que conocíamos.
Unidad 1: Transformada de Laplace22
¿Qué pasa si la función no valía 0?Si yo tengo una función f(t) que no es nula para t < 0, tengo dos opciones:
f(t) 1º) Como función, no tengo problemas para latransformada,
pues es ∫∞ −=
0)()( dtetfsF st
Y vale: [ ] )0()( +−=′ fssFfL , en que f′ es derivada función.
2º) Como distribución, me tengo que poner en D′+ Tf = Y.f
Tf [ ] [ ] )(ssFTsLTL ==′{ }[ ] )()0( ssFffYL =+′ + δ{ }[ ] )0()( +−=′ fssFfYL ; equivalente al planteo
anterior.
Interesa otra interpretación para el caso en que la f(t) tenga un salto en el origen:
f(t) g(t) h(t)
σ
σ
El análisis de f(t) y su transformada como función, siempre vale pero con f(0+).Interesa conservar, de la historia anterior de f(t) solamente el valor previo f(0-)Considero g(t) y h(t)
h(t) = g(t) - f(0-)h(t) tiene transformada sin problema, como función y como distribución; g(t)como función.
sf
sGsH)0(
)()(−
−=
Por otro lado, g′ y h′ como distribuciones son de D′+ y son iguales:[ ] [ ] )0()()( −−==′=′⇒′=′ fssGssHhLgLhg como distribución
{ }[ ] )0()( −−=+′ fssFfYL σδf(0-) es el dato previo.f(0+) es la condición inicial.
Unidad 1: Transformada de Laplace23
Probamos que hay coherencia entre: trabajar en Laplace con f(0-) y obtener lafunción con el salto real σo que da entre f(0-) y f(0+).
Veamos con un ejemplo:
)1(12
111
)(
1)(
++=
++=
+= −
sss
sssF
Yetf t
1ª interpretación:
{ } tetYfss
ssss
fssF −+ −=′→+
−=+
−−+=−++=− )(
11
12212
2112
)0()(
2ª interpretación:tetYf
ssss
ss
sss
ss
fssF −− −=′→+
−=+
−++=
+=
+−−+=−
++=− )(
11
11
111
11112
1112
)0()( δ
Resumiendo:Tenemos tres formas, aparentemente distintas para el teorema de derivación:Funciones como distribuciones de D′+: [ ] )(ssFfL =′Derivando la función f como distribución de D′+: { }[ ] )0()( +−=′ fssFfYL
Estas dos interpretaciones borran el pasado de f(t)Nos interesa conservar información del pasado -reciente- de f(t); a saber: f(0-)Para eso hacemos el razonamiento visto (o con menos rigor, sumamos y restamosf(0-) )
{ }[ ] )0()( −−=+′ fssFfYL σδEn esta 3ª interpretación, el f(0-) ocupa el lugar de f(0+)Ello corresponde a interpretar la derivada de la función con el salto que realmenteda la función.En los problemas de circuitos, esto encuentra su gran aplicación: lo queconocemos son los datos previos (antes de abrir o cerrar una llave).Si parto de las condiciones iniciales, obtengo las "funciones" solución. Pero dealguna manera tengo que calcular esas condiciones iniciales.Si parto de los datos previos, obtengo todo: las funciones con su salto real de 0- a0+.
Unidad 1: Transformada de Laplace24
3.5. Transformada de Fourier y de Laplace. Su vinculación.
En el caso funciones:
[ ] [ ]∫ ∫ ∫+∞ +∞ +∞
∞−
−−−−+− ===+=0 0
)( )()()()()()( dteetftYdteetfdtetfjyxFsF jytxtjytxttjyx
Si f es nula en t < 0Con x fijo, esto es esencialmente como función de y, una T de Fourier, a menos deun 2π.( Tenemos y donde en Fourier tenía 2ππλλ )." La T de Laplace equivale a una familia de Ts de Fourier, las T de Fourier defunciones Y(t)f(t)e-xt, con x > a ".
Esto tiene muchas consecuencias:1) Permite calcular Ts de Fourier a partir de T de Laplace, que son más simples
de calcular, y que se manejan con todas las armas de funciones analíticas.Si tenemos la T de Laplace, y podemos llegar al eje imaginario (x = 0),obtenemos la T de Fourier de Y.f
P.ej: [ ]as
YeL at
+=− 1
Podemos llegar sin problemas al eje imaginario.
0>a
[ ]aj
YeF at
+=−
πλ21
" Fourier es Laplace en el eje imaginario -si podemos llegar ".
Pero Fourier existe para funciones definidas en toda la recta, que no tienenLaplace.Hay muchas funciones que tienen T de Fourier, todas aquellas que dan en latransformada conductas no admisibles en una función analítica (saltos, δs, etc.) Elseno, p.ej., definido en toda la recta, tiene δs en su T de F.Por otro lado, hay funciones no temperadas pero temperables, que tienen T deLaplace, pero no de Fourier.
Laplace
Fourier
Unidad 1: Transformada de Laplace25
3.6. Inversión de Laplace.
2) De la inversión de Fourier, deducimos la inversión de Laplace.Veamos primero cuál es la idea.
Recordamos las fórmulas de funciones:
∫ ∫+∞
∞−
+∞
∞−
− =⇒= λλλ πλπλ deCtfdtetfC tjtj 22 )()()()(
∫∞+
∞−= dyeyCtf jyt)(*
21
)(π
poniendo como variable t, mejor que x.Para la T de Laplace ahora:
[ ]∫+∞ −−=+=
0)()()( dtetfejyxFsF jytxt
Fijado x, podemos aplicar inversión de Fourier:
∫∞+
∞−
− += dyejyxFtfe jytxt )(21
)(π
El 2π aparece pues en la fórmula de inversión tenemos dλ, que es π2y
d
Siempre con x fijo: ∫∞+
∞−
++= dyejyxFtf tjyx )()(21
)(π
Esto lo podemos escribir comointegral en el campo complejo:
Volviendo a la variable s Γ
∫Γ= dssFe
jtf st )(
21
)(π
s = x+jyds = jdy
Para que esto exista, debe ser x > a, es decir que Γdebe estar a la derecha de la abscisa de convergencia.Esto da un camino para antitransformar: ¿Cómo se calcula esa integral sobre Γ?
Unidad 1: Transformada de Laplace26
Sabemos que completo el camino de integración y usamos un resultado de Jordan:En ∫ dssFe st )( , la integral sobre el arco tiende a 0, si 0)(lím =∞→ sFs
Se calcula sumando los residuos, como usualmente en teoría de variable compleja.El resultado es atractivo, pero limitado a funciones.
Veamos con más rigor:Queremos saber cuándo una F(s) será T de L de alguna distribución." Para que una función analítica F(s) sea T de L de una distribución T ∈ D′+, escondición N y S que en algún semiplano derecho, F(s) < C sn, es decir, estéacotada en módulo por un polinomio en s”.
[ ] nsCsFDTTLsF <⇔∈= + )(,)( '
as >)Re(De acuerdo con este teorema, es no es T de L de nada.1) Necesaria. No lo probamos. Veamos sólo que es plausible. Si T es una función f, y si a es la abscisa de convergencia de su Integral deLaplace, entonces f(t)e-st es integrable a la derecha de a, y
CdtetfsF at =≤ −+∞
∫0)()(
Luego, F está acotada por una constante.Si T es una derivada (como distribución) de orden m de una función:
)()(1 sFssF m=m
sCsF ≤)(1
Entonces, la condición se cumple para funciones y sus derivadas endistribuciones.
2) Suficiente. No sólo veremos la suficiencia.Veremos un método para antitransformar.Supongamos en una primera etapa que F(s) no sólo está acotada por unpolinomio.
Supongamos más: que decrece como 2
1
s
"F(s) está acotada en Re(s) > a > 0; 2)(sC
sF ≤ en Re(s) > a"
En ese caso, digo que F(s) proviene de una función continua (en particular, sinsalto en el origen).
Considero ∫Γ= dsesF
jtf st)(
21
)(π
, con Γ a la derecha de a.
Unidad 1: Transformada de Laplace27
a ΓΓ
Vamos a probar que esa f(t) es la antitransformada de F(s) [ ])()( 1 sFLtf −=O sea: [ ] )()( sFtfL =
1º) La integral tiene sentido pues fijado x y t, F(x+jy) es integrable en y de -∞ a+∞ ya que
22 yxC
F+
≤
2º) La integral es independiente de x. En efecto:
∫ ∫ ∫Γ
∞+
∞−
+
−
+∞→
+ +=+==A
A
tjyxA
tjyxst dyejyxFlímdyejyxFdsesFj
tf )()( )(21
)(21
)(21
)(πππ
Esta es lo mismo calcularla en x1 o x2. En efecto:
En el camino cerrado la integral es 0, pues elintegrando no tiene polos (F(s) estáacotada)En los tramos horizontales, se acotafácilmente:
a x1 x2
P.ej. 2212
2
21
1
)()(
AaCexx
dxs
eCdxesF
txstjAx
jAx
st
+−≤≤ ∫∫
+
− y esto tiende a 0 para A → ∞.
Si la integral no depende de x, paso la ext al otro miembro:
Unidad 1: Transformada de Laplace28
∫∞+
∞−
− += dyejyxFtfe jytxt )(21
)(π
(a)
Para x fijo, esto es una T de F (conjugada) de una función integrable, y la T de Fes continua y acotada.
3º) Probemos que la f(t) es nula para t < 0.
πππππ a
Ceay
ArcaCe
dyya
Cedy
yxCe
tfxtxtxtxt
2tg
222)( 2222 =≤
+≤
+≤
+∞
∞−
∞+
∞−
∞+
∞−∫ ∫
xtea
Ctf
2)( ≤ , x > a
Esto vale para todo x > a, y para todo t.- Si t < 0, con x → ∞ llego a que f es < ε. Luego f(t) es 0 para t < 0.
- Si t > 0, atea
Ctf
2)( <
taxxt ea
Cetf )(
2)( −−− < , que es integrable para x > a.
Entonces, puedo integrar la inversa de Fourier de (a)
∫+∞
∞−
− = )()( sFdtetf st
Esto es por Fourier, y como f(t) es nula para t < 0, queda: ∫+∞ −=
0)()( dtetfsF st
Hasta aquí probamos que si 2s
CF < , es la T de L de una función continua, nula
para t < 0.
Ahora vayamos al caso general. F(s) es analítica en Re(s) > a >0, acotada por m
sm
sCsF ≤)(
Consideramos 2
)()( += ms
sFsG
Por lo ya visto, esta G es T de L de una función continua f.Pero entonces, F corresponde a la derivada (m+2) de esa función (derivada endistribuciones).
3.7. Antitransformada de F(s) = 1.
Como ejemplo del análisis anterior, queremos calcular la antitransformada deF(s) = 1(Ya sabemos que es δ).
Dividimos por s tantas veces como se necesite para acotar por 2sC
En ese caso,
sabemos que proviene de una función continua.
2
1)(
ssG =
Unidad 1: Transformada de Laplace29
∫Γ= ds
se
jtf
st
221
)(π
El integrando tiene un polo doble en el origen. Circulamos como indica la flecha:
A
x
longitud = πA -A
Sobre la circunferencia: 22 )( xAe
se xtst
−≤
Luego, la integral sobre el arco se acota por 2)( xAAe xt
−π
Para x fijo, y para todo t > 0, tiende a 0 con A→ ∞.
Luego ==ππ
22
)(jj
tf Σ Residuos = Residuo en 0.
Como ....!2
122
+++= sttse st
....!2
1 2
22 +++= tst
sse st
⇒ el residuo es t.
Para t < 0, tendría que tomar la semicircunferencia derecha (para acotar est). Séque da 0.
Luego: 2
1).()(
sttYtf ↔=
Veamos otro ejemplo: el mismo que vimos en los teoremas de valor inicial y final.
)1(35
123
)(
)(2)(3)(
++=
++=
+= −
sss
sssF
etYtYtf t
1)(
1)()(
↔=′′
↔=′
δtfs
tYtf
Unidad 1: Transformada de Laplace30
Antitransformar F(s).
De acuerdo al teorema, tendríamos que dividir por s para tener del orden de 2
1s
Pero no es necesario. Si dividimos por s, vamos a dar a una función continua.Si no dividimos, simplemente aparece el salto, pero igual vale la fórmula deinversión¿Por qué? Por el lema de Jordan.
∑=)(tf residuos de )1(
)35(+
+ss
se st
Esta F(s) → 0 con ∞→s , y esto es lo
que exige Jordan para asegurar que la integral en el arco → 0.
Residuo en s = 0: 31
)35(
0
=+
+
=s
st
sse
Residuo en s = -1: t
s
st
esse −
−=
=+2
)35(
1
Luego ( ) )(23)( tYetf t−+= pues esto vale para t > 0.
En los casos usuales, no se aplica la fórmula de antitransformar, sino que se llevaa transformadas conocidas.En el caso de funciones racionales (cocientes de polinomios), se llevan a suexpresión como suma de fracciones simples.Para ello, hay métodos sistemáticos, pero como siempre, es preferible la habilidad.
Ej:( )22
5)(
++=
s
ssF
La quiero descomponer en fracciones simples.
( ) ( )22 2225
)(+
++
=++=
s
Bs
A
s
ssF
3.8. Métodos formales para antitransformar funcionesracionales.
Sea un cociente de polinomios)()(
sDsN
Si el grado del Numerador > Grado del Denominador, dividimos de modo detener:
( )[ ] [ ] ttt ettYteetYtf
ssss
s
s
222
222
31)(3)()(
)2(3
21
)2(32
25
−−− +=+=
⇒+
++
=+
++=++
Unidad 1: Transformada de Laplace31
DN
sPDN 1)( += con Gr N1 < Gr D
P(s) se antitransforma término a término [ ] δ=− 11L[ ] )(1 nnsL δ=−
Podemos entonces estudiar el caso )()(
sDsN
con Gr N < Gr D
1er caso.- Raíces simples del denominador.a) Reales.
( )( )( ) 210210
)()(
ssC
ssB
ssA
sssssssN
sF−
+−
+−
=−−−
=
El método consiste en: multiplicar por 0ss − ambos miembros y hacer 0ss =( )
0)(0 ss
sFssA=
−=
Ej: ( )( ) 323222
)(2
−+
++=
−+−+=
sC
sB
sA
sssss
sF
1513
51
31
=
−=
=
C
B
A
Es el método popularmente conocido como de la "tapadita".
b) Complejas.Se puede aplicar el mismo método pero, si todos los coeficientes son reales (locomún), las raíces vienen en parejas conjugadas. Conviene agruparlas.Veámoslo con un ejemplo:
( )( ) ( ) ( ) 52252219104
)( 22
2
++++
+=
−−+
+−+=
+++++=
ssEDs
sA
jsC
jsB
sA
sssss
sFβαβα
Mejor
( Ni calculamos las raíces: jj
212
42 ±−=±− )
A lo encontramos por la “tapadita” : 35
15 == A
Para D y E identificamos: coeficiente de s2: 4 = A + D ⇒ D = 1coeficiente de s0: 19 = 5A + 2E ⇒ E = 2
522
23
)( 2 ++++
+=
sss
ssF
Para antitransformar esto, ya sabemos que es mejor hacer así:
4)1(1)1(
2 ++++
ss
→
+− tte t 2sen
21
2cos
2º caso.- Raíces múltiples del denominador.Veremos dos métodos.a) Si s0 es raíz de orden n
Unidad 1: Transformada de Laplace32
( ) ( ) ( ) )()(
....)(
)()(
1
1
0
11
0
1
0
0
10 sDsN
ssA
ss
A
ss
A
sDss
sNsF n
nnn+
−++
−+
−=
−= −
−
El método de la tapadita solamente me serviría para A0.Considero
nnn
n sssRssAssAssAAsFsssF ))(()(....)()()()()( 01
012
0201001 −+−++−+−+=−= −−
001 )( AsF =
Derivo una vez:1
002
010211 ))(())(())(1(....)(2
)( −−− −+−′+−−++−+= nnn
n sssnRsssRssnAssAAds
sdF
En 0ss = 11
0
)(A
dssdF
ss
==
Derivo otra vez: ....2)(
221
2
+= Ads
sFd
0
21
2
2
)(21
ssds
sFdA
=
=
En general:0
)(!
1 1
ssj
j
j dssFd
jA
=
=
Ej: sB
sA
sA
sA
sss
sF ++
++
++
=+−=
1)1()1()1(2
)( 22
13
03
B sale por la tapadita: B = -2Para los otros:
sss
sF2
12
)(1 −=−=
2)4(
21
21
22)(
3)(
13
12
12
2
12
1
11
110
=−==
===
==
−=−=
−=−=
−=
ss
ss
s
sdsFd
A
sdssdF
A
sFA
O sea:ssss
sF2
12
)1(2
)1(3
)( 23 −+
++
++
=
Y recordando que:n
n
snttY
L1
)!1()( 1
=
−
−
−
++= − 222
23
)()(2
tt
etYtf t
Unidad 1: Transformada de Laplace33
b) Sin necesidad de derivar :La idea es escribir la F1(s) como F1(p) con p = s - s0 y dividir F1(p)ordenando en potencias crecientes.Veámoslo mejor con el mismo ejemplo.
pp
pp
ss
sF
sss
sF
−−=
−−=−=
+−=
13
132
)(
)1(2
)(
1
3
11 −=⇒=+ psps 3 - p / 1 – p . -3 + 3p 3 + 2p + 2p2
2p -2p + 2p2
2p2
-2p2 + 2 p3
2p3
¿Hasta cuándo sigo la división?Hasta tener grado 3 (en este caso, raíz triple) en el resto.
12223
12
223)(
2331
32
1
−−++==
−−++=
pppppF
F
pp
pppF
Volviendo a s:
sssssF
21
2)(
2)1(
3)( 23 −
++
++
+= , como en el otro método.
En cada caso, conviene siempre ver si lo mejor es: - el método general- la habilidad de
manejo- las tablas
Ej: 22 )1(1
)(+
=s
sF
1) Tiene raíces del denominador ±j, dobles.Se puede aplicar el método general. Si bien puede ser interesante verlo comoejercicio, resulta engorroso, sobre todo por el manejo de los j. Aplicando encambio el método recién expuesto:
pjsjs
sFsFjs
jsjssF
=−+
==−
−+=
212
22
)(1
)()()(
)()(1
)(
1 / -4 + 4jp + p2
-1 + jp +p2/4 -1/4 –jp/4
Unidad 1: Transformada de Laplace34
jp + p2/4 - jp – p2 + jp3/4 - 3/4p2 + jp3/4
js
j
jsjs
j
js
js
jsj
js
j
jsjs
jsj
js
j
jssF
jp
pj
p
j
ppF
jp
pj
p
pj
jppjppFpFp
++
+
−+
−
−+
−
−=
=+
+++−+
−
−+
−
−=
+
−+−+
−
−+
−
−=
+
+−+
−+
−=
+
+−+−−=
−+=
+==
4)(
41
4)(
41
)(4
1)(421
4)(
41
)(
)(443
4)(
41
)(
)2(44
344
1)(
)2(44
3
441
441
)2(1
)()(
22
2222
22
2
32
2212
[ ] [ ]jtjtjtjtjtjejtjt eet
eej
ej
teej
tetf −−− +−−−=+−−−−=4444
144
1)(
[ ]j
t2
sen = [ ]2
cos =t
ttttt
tj
tf cos21
sen21
cos42
sen4
2)(
2
−=−−=
2) Sabemos que: ts
sen1
12 →
+
Derivamos en s: tts
ssen
)1(2
22 +→+
+
derivamos como distribución
Multiplicamos por s: ttts
ssencos
)1(2
22
2
+→+
Transformamos: 22222
2
22
2
)1(2
)1(2
)1(2)1(2
)1(2
+−
+=
+−+=
+ ssss
ss
O sea: [ ] [ ] [ ]tttLss
tLtttL cossen)1(
2)1(
2sen2sencos 2222 −=
+⇒
+−=+
( )
−=
+tttL
scossen
21
)1(1
22
2) Otra idea: convolución de sen t ∗ sen t.
Unidad 1: Transformada de Laplace35
3.9. Vinculación entre descripción de ceros y polos de unafunción compleja y variación en el tiempo de suantitransformada.
La descripción de Ceros y Polos de una función racional con coeficientes realesF(s) tiene muchas consecuencias.Del examen visual de la ubicación de los ceros y polos podemos saber mucho dela respuesta en el tiempo.Veamos algunos diagramas de ceros y polos de funciones conocidas.
El escalón Y(t) → s1
Polo en el origen
La exponencial decrecienteσ
σ
+→−
sYe t 1
Polo real negativo
La sinusoide 22senω
ωω+
→s
tY Polos imaginarios puros
conjugados
Unidad 1: Transformada de Laplace36
La sinusoide amortiguada 22)(sen
ωσωωσ
++→−
stYe t Polos: -σ ± jω
El valor de σ da la amortiguación. Cuanto más lejos estén los polos del ejeimaginario (a la izquierda), más fuerte será la amortiguación.
(s)
←
En el caso de las sinusoides, la distancia al eje real es una medida de la frecuencia.
Si los polos se van hacia laizquierda, aumenta laamortiguación. Si se alejandel eje real, aumenta lafrecuencia.
Todo esto tendrá aplicación en el estudio de la estabilidad. Polos en el semiplanoderecho corresponden a exponenciales crecientes.Exponencial creciente para polo real positivo.Sinusoide creciente para polos conjugados a la derecha.Otro caso de sinusoide creciente se tendría con algo así: tt ωsen¿Cuál es la transformada?
22senω
ωω+
→s
t
Unidad 1: Transformada de Laplace37
( )222
2sen
ωωω
+
+→+s
stt
O sea que polos dobles en el eje jω dan lugar a sinusoides crecientes: es inestable.
4. Recapitulando:
La Transformada de Laplace es una herramienta que permite pasar del dominiode las funciones del tiempo a funciones analíticas de variable compleja.A nivel de la transformada, muchos problemas son de manejo más sencillo: enparticular las ecuaciones diferenciales lineales se convierten en ecuacionesalgebraicas ordinarias.Los diversos teoremas y los ejemplos vistos, así como los ejercicios del cursopráctico, permiten pasar con facilidad de funciones a transformadas y viceversa.Vimos además que las condiciones iniciales, que a nivel de las ecuacionesdiferenciales constituyen una información complementaria, aparecen entransformadas como fuentes, integradas a la propia ecuación.Más allá de su aplicación como herramienta simplificadora, la transformada deLaplace permite asociar a los sistemas lineales funciones analíticas como latransferencia, y en el caso de los circuitos eléctricos las impedancias vistas(driving-point).La presentación de la transformada se ha hecho a dos niveles: la teoría clásica enfunciones, y su generalización a distribuciones. En este campo, hemos seguido decerca nuestra principal referencia bibliográfica:
Laurent Schwartz – Méthodes mathématiques pour les Sciences Physiques