UNIVERSIDAD PERUANA DE CIENCIAS EINFORMATICA
INGENIERIA DE SISTEMAS EINFORMATICA
Solucionario del Taller No 2 de Algebra Lineal
Prof. Pascual Fermn Onofre Mayta.Ciclo Academico: 2009-II
1.
2. (a) El conjunto W = {(1, 1, z) /z R} no es unsubespacio vectorial de R3, puesto que el vec-tor (0, 0, 0) /W .
(b) El conjunto
W = {(x1, . . . , xn) /x1 + . . . + xn = 0}
es un subespacio vectorial de Rn
i. El vector (0, . . . , 0) W , puesto que
0 + . . . + 0 = 0.
ii. Sean u = (x1, . . . , xn) , v = (y1, . . . , yn) W , es decir
x1 + . . . + xn = 0 (1)y1 + . . . + yn = 0 (2)
Por demostrar que u + v W. En efecto,de (1) y (2) se tiene que
(x1 + y1) + . . . + (xn + yn) = 0
esto quiere decir que
u + v = (x1 + y1, . . . , xn + yn) W.
iii. Sean u = (x1, . . . , xn) W y k R.Debemos probar que ku W . En efecto,como u W , entonces
x1 + . . . + xn = 0
As,
k (x1 + . . . + xn) = k 0(kx1) + . . . + (kxn) = 0,
i.e., ku = (kx1, . . . , kxn) W .(c) W es un subespacio vectorial de P2.
i. El polinomio cero pertenece a W , puestoque tomando b = c = 0, se tiene
p (x) = 0 + 0x + 0x2 W.
ii. Sean p y q W , entoncesp (x) = b1x + c1x2, donde b1, c1 Rq (x) = b2x + c2x2, donde b2, c2 R
Luego,
p (x) + q (x) = (b1 + b2)x + (c1 + c2)x2,
i.e., p (x) + q (x) W .iii. Sean p W y k R, entonces
kp (x) = k(bx + cx2
)= (kb)x + (kc)x2
As, kp W .(d) W no es un subespacio de P2, puesto que el
polinomio cero de grado 2, no cumple lapropiedad de los vectores de W , i.e., si p (x) esel polinomio cero se tiene
4p (1) + p (2) = 0 6= 3.
(e) W es un subespacio vectorial de R22.i. La matriz nula O de orden 2 satisface la
propiedad que tienen los elementos de W ,esto es,
OB = O = BO.
ii. Sean A1, A2 W . Debemos probar queA1 + A2 W . En efecto, como A1, A2 W , entonces
A1B = BA1 , A2B = BA2 (3)
Luego, por propiedad de matrices
(A1 + A2)B = A1B + A2B
y usando (3)
A1B + A2B = BA1 + BA2
Entonces,
(A1 + A2)B = B (A1 + A2) ,
i.e., A1 + A2 Wiii. Sean A W y k R. Como A W ,
entoncesAB = BA (4)
Luego, usando propiedades de matrices y(4), tenemos
(kA)B = k (AB) = k (BA) = B (kA) ,
i.e., kA W .
1
3. (a) Como p (x) = ax3 + bx2 + cx + d, entonces
p (x) = 3ax2 + 2bx + cp (x) = 6ax + 2bp (x) = 6a
donde a 6= 0. Supongamos que existen es-calares a1, a2, a3 y a4 tales que
a1p (x)+a2p (x)+a3p (x)+a4p (x) = 0 (5)
Por demostrar que a1 = a2 = a3 = a4 = 0.
En efecto, reemplazando los polinomios p, p,p y p en (5) y ordenando, tenemos
(aa1)x3 + (ba1 + 3aa2)x2 + (ca1 + 2ba2 + 6aa3)x+ (da1 + ca2 + 2ba3 + 6aa4) = 0
Luego, se tiene el siguiente sistema de ecua-ciones lineales homogeneo
aa1 = 0ba1 + 3aa2 = 0ca1 + 2ba2 + 6aa3 = 0da1 + ca2 + 2ba3 + 6aa4 = 0
Como a 6= 0, en la primera ecuacion se tienea1 = 0. Reemplazando a1 = 0 en la segundaecuacion se obtiene a2 = 0. Haciendo elmismo proceso se obtiene a3 = a4 = 0. Portanto {p, p, p, p} es un conjunto l.i.
Otra forma. El sistema de ecuaciones lin-eales homogeneo es equivalente a una ecuacionmatricial
AX = 0,
donde
A =
a 0 0 0b 3a 0 0c 2b 6a 0d c 2b 6a
X =
a1a2a3a4
, 0 =
0000
Dado que
|A| = (a)(3a)(6a)(6a) = 108a4 6= 0,
la solucion de esta ecuacio`n matricial es la tri-vial, i,e., X = 0. Por tanto,
a1 = a2 = a3 = a4 = 0.
(b) Sea v = (x, y, z, t) un vector arbitrario de W .Entonces se tiene que
2x 3y + z t = 0.
Haciendo el despeje de una variable, por ejem-plo t, tenemos que
t = 2x 3y + z
Luego,
v = (x, y, z, 2x 3y + z)= x (1, 0, 0, 2) + y (0, 1, 0,3) + z (0, 0, 1, 1)
As , el conjunto
{(1, 0, 0, 2) , (0, 1, 0,3) , (0, 0, 1, 1)}
es una base de W . Por tanto, dim (W ) = 3.Observacion. Es claro que
{(1, 0, 0, 2) , (0, 1, 0,3) , (0, 0, 1, 1)}
es un conjunto linealmente independiente.Justificar su respuesta.
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