5/12/2018 Solución a los problemas propuestos en 4º ESO B - slidepdf.com
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\c 33 \vkf= 79Peb `d|v`wb n` barpia`v n` gkgj`w gkfvb |kv näb y |kv hia÷d`~vk v`gkvvinkw Pegai`e~` |bc÷ 2?< ₡ |kv 7 näbw y ><< hd! y k~vk |bc÷ 230 ₡ |kv 0 näbw y 7<< hdB`vicpb gpâe~k gkfvbe |kv näb y |kv hia÷d`~vk
N`oieidkw abw iegkcei~bw b |bv~iv n` ab|v`cpe~b=z$ Ak rp` gkfvbe |kv näb n` barpia`v ₡y$ Ak rp` gkfvbe |kv hd v`gkvvink ₡N` ab ovbw` ‑Pe gai`e~` |bc÷ 2?< ₡ |kv 7näbw y ><< hd— w` n`npg` ab `g
7z ( ><<y 4 2?< *`g 2)N` ab ovbw` ‑y k~vk |bc÷ 230 ₡ |kv 0 näbwy 7<< hd— w` n`npg` ab `g0z ( 7<<y 4 230 *`g 6)Ap`ck `a wiw~`db rp` ~`e`dkw `w=
7z ( ><<y 42?<0z ( 7<<y 4 230 B|aigbdkw `a dé~knk n` v`npggi÷e8dpa~i|aigbdkw ab |vid`vb `gpbgi÷e |kv 0y ab w`cpenb |kv *‗ 7 )
○ Ap`ck a wiw~ db rp` ~`e`dkw `w=
20z ( 6<<<y 4 :<<‗ 20z ‗ 9<<y 4 ‗ 060
22<<y 4 630 … y 4 630 + 22<<… y 4 <’60
○ Wi wpw~i~pidkw `a bakv n` y `e ab|vid`vb `gpbgi÷e ekw rp`nb=
○ 7z ( ><< ³ <’60 42?< …7z ( 2<< 42?<… 7z 4 2?< ‗ 2<< … 7z 4 ?< … z4 ?< + 7
… z4 6<
○ Wkapgi÷e= Ab `d|v`wb gkfvb 6< ₡
|kv näb n` barpia`v y <’60 ₡ |kv hia÷d`~vk v`gkvvink%
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\c= 33 \vkf= ><Pe ie`vwkv gkd|vb nkw gpbnvkw |kv 6?0< ₡ Ba gbfk n` nkw bòkw! akw `en` |kv 726> ₡ cbebenk `e pek n` `aakw pe 6<% y `e `a k~vk 20% »Gpâe~k a` gkw~÷gbnb gpbnvk;
N`oieidkw abw ieg÷cei~bw=
z$ ak rp` a` gkw~÷ `a |vid`v gpbnvk ₡y$ ak rp` a` gkw~÷ `a w`cpenk gpbnvk₡N` ab ovbw` ‑Pe ie`vwkv gkd|vb nkw gpbnvkw |kv 6?0< ₡ Ba gbfk n` nkw bòkw— `e~`en`dkw rp`akw nkw gpbnvkw a` gkw~bvke 6?0< ₡ Kf~`e`dkwbwä ab `gpbgi÷e= z ( y 4 6?0<N` ab ovbw` ‑ Ba gbfk n` nkw bòkw! akw `en` |kv
726> ₡ cbebenk `e pek n` `aakw pe 6<% y `e `a k~vk 20%— w` n`npg` rp` akw |v`gikw gbdfibvken`w|péw n` nkw bòkw jpfk pe bpd`e~k n` pe|kvg`e~bm` `e akw |v`gikw `w~k w` jbg`dpa~i|aigbenk `a be~icpk |v`gik |kv *2( <¾6<) ÷*2( <¾20)! v`w|`g~ibd`e~`
○ Ap`ck ab w`cpenb `gpbgi÷e `w=○ *2(<’6<)³z ( *2(<’20)³y4 726> … 2’6z ( 2’20y
4726>○ Ap`ck a wiw~ db rp` ~`e`dkw=z ( y 4 6?0<2’6z ( 2’20y4 726>
○ B|aigbdkw `a dé~knk n` v`npggi÷e Widpa~i|aigbdkw ab |vid`vb `gpbgi÷e |kv ‗2’6
|kn`dkw wid|aioigbv ab bvibfa` ‑z— y ekw rp` nbab `gpbgi÷e= ‗<’<0y 4 ‗0? … <’<0y 4 0? … y 4 0? +<’<0 … y4 226<
○ Wpw~i~pidkw `w~` bakv `e ab |vid`vb `gpbgi÷e yw` kf~i`e` z4 6?0< ‗226< … z4 207<
○ WKAPGI×E= Pe gpbnvk gkw~÷ 2%07< ₡ yk~vk gpbnvk gkw~÷ 2%26< ₡%
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\c 33 \vkf= >2Pe mky`vk ~i`e` nkw aieck~`w n` kvk! pek gke pe :<% n` |pv`}b y k~vk gke pe 90%»Gpâe~k n`f` openiv n` gbnb pek |bvb kf~`e`v pe aieck~` n` 0 hc gke pe :?% n`|pv`}b;
○ J`dkw n` ~`e`v `egp`e~b rp`! n`okvdb jbfi~pba! n`ab |v`cpe~b wbgbdkwabw ieg÷cei~bw Wiab |v`cpe~b `w‑»Gpâe~k n`f`openiv n` gbnbpek — `w`rpiba`e~` b rp`w` ekw |v`cpe~`gkdk ‑» Rpé gbe~inbn*hc) n`f` openiv n`gbnb pek ;— Bwä abwieg÷cei~bw wke=
z$ Gbe~inbn b openivn`a |vid`v aieck~` Hc
y$ Gbe~inbn b openivn`a w`cpenk aieck~`Hc
○ Ab |vid`vb`gpbgi÷e! y dâwie~pi~ib! ab~`e`dkw `e ab|v`cpe~b gpbenk w`
nig` ‑ |bvb kf~`e`vpe aieck~` n` 0hc — `w~k rpi`v`
○ z(y40 *`g 2)○ Ab w`cpenb `gpbgi÷e b `egbdiebnb `e akrp` wiceioigb ‑pe b% n` |pv`}b n` pe aieck~`n` kvk— `w~k rpi`v` n`giv rp` n`a |`wk ~k~ban`a aieck~` w÷ak pe b% `w kvk |pvk
○ Ap`ck ab w`cpenb `gpbgi÷e ab kf~`e`dkw n`ab gbe~inbn n` kvk |pvk rp` kf~`e`dkw n` abgbe~inbn openinb n` gbnb aieck~`! rp` jb n`
w`v icpba b ab gbe~inbn n` kvk |pvk n`a aieck~`v`wpa~be~`
○ N`a |vid v aieck~` j`dkw openink peb gbe~inbnn` z hc y n`a w`cpenk aieck~` y hc! ab gbe~inbnn` kvk |pvk kf~`einb ba openiv `a |vid`v aieck~``w `a :<% n` z y n`a w`cpenk 90% n` y8 `w~k`w= <’:<z ( <’90y `w ab gbe~inbn n` kvk |pvk
n`a aieck~` v`wpa~be~`○ \kv k~vk abnk w` ekw nig` n`a aieck~` v`wpa~be~`rp` ‑ |bvb kf~`e`v pe aieck~` n` 0 hc gkepe :?% n` |pv`}b; — ap`ck ab gbe~inbn n` kvk|pvk `w n` <’:?³0 Bwä ab w`cpenb `gpbgi÷e`w=
○ <’:<z ( <’90y 4 <’:?³0 … <’:z ( <’90y 4 >’7*`g)
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\c 33 \vkf= >2Pe mky`vk ~i`e` nkw aieck~`w n` kvk! pek gke pe :<% n` |pv`}b y k~vk gke pe 90%»Gpâe~k n`f` openiv n` gbnb pek |bvb kf~`e`v pe aieck~` n` 0 hc gke pe :?% n`|pv`}b;
○ Ap`ck ~`e`dkw `awiw~`db=
○ z(y40○ <’:z ( <’90y 4 >’7○ B|aigbdkw `a dé~knkn` wpw~i~pgi÷e8n`w|`mbdkw abbvibfa` z `e ab
|vid`vb `gpbgi÷e ykf~`e`dkw z 4 0 ‗y Wpw~i~pidkw `eab w`cpenb`gpbgi÷e=
○ <’:*0‗y) ( <’90y 4>’7 … > ‗<’:y (<’90y4 >’7 … ‗<’:y (<’
90y4 >’7 ‗> … <’20y4<’7 …
y4 <’7 + <’20 … y 4 6
○ \kv ~be~k z 4 0 ‗ 6… z 4 7
○ Wkapgi÷e= Jb n`openivw` 7 hc n`a
aieck~` gke :<% n`|pv`}b y 6 hc n`aaie k~` n` 90% n`
○ z(y40 *`g 2)○ Ab w`cpenb `gpbgi÷e b `egbdiebnb `e akrp` wiceioigb ‑pe b% n` |pv`}b n` pe aieck~`n` kvk— `w~k rpi`v` n`giv rp` n`a |`wk ~k~ban`a aieck~` w÷ak pe b% `w kvk |pvk
○ Ap`ck ab w`cpenb `gpbgi÷e ab kf~`e`dkw n`ab gbe~inbn n` kvk |pvk rp` kf~`e`dkw n` abgbe~inbn openinb n` gbnb aieck~`! rp` jb n`
w`v icpba b ab gbe~inbn n` kvk |pvk n`a aieck~`v`wpa~be~`
○ N`a |vid v aieck~` j`dkw openink peb gbe~inbnn` z hc y n`a w`cpenk aieck~` y hc! ab gbe~inbnn` kvk |pvk kf~`einb ba openiv `a |vid`v aieck~``w `a :<% n` z y n`a w`cpenk 90% n` y8 `w~k`w= <’:<z ( <’90y `w ab gbe~inbn n` kvvk |pvk
n`a aieck~` v`wpa~be~`○ \kv k~vk abnk w` ekw nig` n`a aieck~` v`wpa~be~`rp` ‑ |bvb kf~`e`v pe aieck~` n` 0 hc gkepe :?% n` |pv`}b; — ap`ck ab gbe~inbn n` kvk|pvk `w n` <’:?³0 Bwä ab w`cpenb `gpbgi÷e`w=
○ <’:<z ( <’90y 4 <’:?³0 … <’:z ( <’90y 4 >’7*`g)
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\c 33 \vkf= >6Pe gkd`vgibe~` gkd|vb nkw dk~kgiga`~bw |kv 7<<< ₡ y abw `en` |kv 777< ₡Gbagpab gpâe~k |bc÷ |kv gbnb peb wi `e ab `e~b n` ab |vid`vb cbe÷ pe 60% y`e ab w`cpenb |`vni÷ pe 2<%
○ Abw ieg÷cei~bw wkeoâgia`w n` n`oieivb |bv~iv n` ab|v`cpe~b n`a|vkfa`db=
z$ Ak rp` |bc÷ `agkd`vgibe~` |kv ab|vid`vb dk~kgiga`~b₡
y$ Ak rp` |bc÷ `agkd`vgibe~` |kv abw`cpenb dk~kgiga`~b₡
○ N` ab ovbw`‑ gkd|vb nkwdk~kgiga`~bw |kv7<<< ₡ y abw
`en` — w` n`npg`ab |vid`vb`gpbgi÷e rp` `w=
○ z( y4 7<<< *`g 2)○ Ab w`cpenb w`kf~i`e` b~`eni`enkb akw % n`cbebegib k |`vninb
y ba bakv n` ab`e~b Bwä n` abovbw` ‑`e ab `e~b
○ \kv k~vk abnk w` ekw nig` ‑ab `e~b n` ab |vid`vb cbe÷ pe 60% y `e ab w`cpenb |`vni÷ pe 2<%— |kv ak rp` ab w`cpenb`gpbgi÷e rp`nb=
○ *2(<’60)z (*2 ‗ <’2<)y 4 777<○ … 2’60z (<’9<y 4 777< *`g 6)○ Ap`ck ~`e`dkw a wiw~`db=
○ z( y4 7<<< … z4 7<<<‗
y○ 2’60z (<’9<y 4 777<○ B|aigbdkw `a dé~knk n` wpw~i~pgi÷e
n`w|`mbenk ‑z— `e ab |vid`vb`gpbgi÷e8 z47<<< ‗ y! ap`ck akwpw~i~pidkw `e ab w`cpenb y ekw rp`nb=
○ 2’60³*7<<< ‗ y) (<’9<y 4 777< …○ … 730< ‗ 2’60y (<’9<y 4 777< …
○ … ‗ <’70y 4 ‗ >6< … <’70y 4>6< …○ … y 4>6< + <’70 … y 426<< … z 42:<<○ Wkapgi÷e= @a gkd`vgibe~` |bc÷ 2:<<₡
|kv ab |vid`vb dk~kgiga`~b y 26<<₡ |kv ab w`cpenb%
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\c 33 \vkf= >7\kv ab d`}gab n` 0 hc n` |ie~pvb `vn` y 7 hc n` |ie~pvb fabegb j` |bcbnk ?9 ₡Gbagpab `a |v`gik n` pe hiakcvbdk n` |ie~pvb fabegb y n` |ie~pvb `vn` wbfi`enkrp` wi d`}gabw` pe hiakcvbdk n` gbnb peb `a |v`gik n` ab d`}gab w`väb 20 ₡
○ N`oieidkw abwieg÷cei~bw=
○ z$ \v`gik n` pehc n` |ie~pvb`vn` ₡ @w akdiwdk rp` win`gidkw rp` ~`eckrp` |bcbv z ₡ |kvgbnb hc n` |ie~pvb`vn`
○ y$ |v`gik n` pehc n` |ie~pvbfabegb ₡
○ Ab |vid`vb`gpbgi÷e w` n`npg`n` ab |vid`vb
ovbw`= 0z ( 7y 4?9 *2ª `g)
○ N` ab ovbw`‑wbfi`enk rp` wid`}gabw` pehiakcvbdk n` gbnbpeb `a |v`gik n`ab d`}gab w`väb 20₡— kf~`e`dkw abw`cpenb `gpbgi÷e=z ( y 4 20 *6ª
○ WKAPGI×E= @a |v`gik n` pe hiakn` |ie~pvb `vn` `w n` 26 ₡ y n`|ie~pvb fabegb 7 ₡
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\c 33 \vkf= >>Jbaab abw nid`ewike`w n` pe v`g~âecpak n`a rp` gkekg`dkw wp |`väd`~vk! 7> d!y wp âv`b! ?< d6
○ J`dkw nifpmbnk pev`g~âecpak rp` ekwwivb n`
kvi`e~bgi÷e! |`vkw÷ak n`kvi`e~bgi÷e
○ N`oieidkw abwieg÷cei~bw b|bv~iv n` ab ovbw`‑Jbaab abwnid`ewike`w n` pev`g~âecpak — ybrp` `w peb oicpvb|abeb=
○ z$ Akeci~pn n` abfbw` n`av`g~âecpak d
○ y$ akeci~pn n` abba~pvb n`av`g~âecpak d
○ N` ab ovbw` ‑pev`g~âecpak n`a rp`
○ N` ab ovbw` ‑y wp âv`b! ?< d6 — n`npgidkw rp` ab w`cpenb `gpbgi÷e `w=z ³ y 4 ?<
○ Ap`ck ~`e`dkw `a wiw~`db n` `gpbgike`wek aie`ba=
○ 6z (6y 4 7> y 4 *7> ‗ 6z) + 6○ z ³ y 4 ?<
○ Wpw~i~pidkw `a bakv n` y `e ab w`cpenb`gpbgi÷e=
○ z ³ *7> ‗ 6z) + 6 4 ?< …
…*7>z ‗ 6z6) + 6 4 ?< …*7>z ‗ 6z6) + 6 4 26< + 6… 7>z ‗ 6z6 4 26< … ‗ 6z6 ( 7>z ‗ 26< 4 <
… 6z6 ‗ 7>z ( 26< 4 <
∏= 29? 5 < … nkw vbäg`w V y
≬8 Vbä} ∏= 2>○ z2 4 08 z6 4 26
○ Wi z 4 0 … y 4 *7> ‗ 6³0) + 6 … y 4 26○ Wi z 4 26 … y 4 *7> ‗ 6³26) + 6 … y 4 0
y
z
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\c 33 \vkf= >>Jbaab abw nid`ewike`w n` pe v`g~âecpak n`a rp` gkekg`dkw wp |`väd`~vk! 7> d!y wp âv`b! ?< d6
○ J`dkw kf~`eink nkwwkapgike`w|kwifa`w b ab
`gpbgi÷e `bdkwrp` ~i`e`e w`e~ink`e ab v`bainbn=
○ Ab |vid`vbwkapgi÷e! z4 268 y4 0! w`gkvv`w|ken` gke `av`g~âecpak gkcink
|bvb kvi`e~bvekw@w n`giv ab fbw``w dbykv rp` abba~pvb
○ Ab w`cpenbwkapgi÷e! z4 08 y4 26! ek w`gkvv`w|ken` gke `av`g~âecpak gkcink
|bvb kvi`e~bvekw\`vk wi gkc`dkw pe
○ N` ab ovbw` ‑y wp âv`b! ?< d6 — n`npgidkw rp` ab w`cpenb `gpbgi÷e `w=z ³ y 4 ?<
○ Ap`ck ~`e`dkw `a wiw~`db n` `gpbgike`wek aie`ba=
○ 6z (6y 4 7> y 4 *7> ‗ 6z) + 6○ z ³ y 4 ?<
○ Wpw~i~pidkw `a bakv n` y `e ab w`cpenb`gpbgi÷e=
○ z ³ *7> ‗ 6z) + 6 4 ?< …
…*7>z ‗ 6z6) + 6 4 ?< …*7>z ‗ 6z6) + 6 4 26< + 6… 7>z ‗ 6z6 4 26< … ‗ 6z6 ( 7>z ‗ 26< 4 <
… 6z6 ‗ 7>z ( 26< 4 <
∏ = 29? 5 < … nkw vbäg`w V y ≬8 Vbä}∏
= 2>
○ z2 4 268 z6 4 0○ Wi z 4 26 … y 4 *7> ‗ 6³26) + 6 … y 4 0○ Wi z 4 0 … y 4 *7> ‗ 6³0) + 6 … y 4 26
0 d
26 d
y
z
y
z
26 d
0 d
5/12/2018 Solución a los problemas propuestos en 4º ESO B - slidepdf.com
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\c 33 \vkf= >0Pe ~viâecpak iw÷wg`a`w din` 76 gd n` |`väd`~vk y ab ba~pvb gkvv`w|keni`e~` baabnk n`wicpba din` : gd Gbagpab akw abnkw n`a ~viâecpak
○ Jby nkw |kwifiainbn`w n` ~viâecpakwiw÷wg`a`w! `a dâw gkdýe `a |vid`vk rp`j`dkw nifpmbnk
○ Ekw nb icpba `a rp` gkmbdkw j`dkw n`~`e`v wi`d|v` `e gp`e~b rp` aknifpmbdkw gkdk peb d`vb kvi`e~bgi÷e
○ Abw ieg÷cei~bw be b w`v ab akeci~pn n`a
abnk n`wicpba y ab akeci~pn n` akw abnkwicpba`w
○ Ba ~vb~bv ab ba~pvb n`a ~viâecpak ~`e`dkwrp` `w pe ~viâecpak v`g~âecpak y j`dkwn` pwbv `a ~`kv`db n` \i~âckvbw
○ \`vk wi gkc`dkw z gkdk ab akeci~pn n aabnk n`wicpba `w~b `gpbgi÷e w` gkd|aigb
`e `zg`wk \kv `aak n`wicebv`dkw z b abdi~bn n` nigjk abnk○ \kv ~be~k ab akeci~pn n`a abnk n`wicpba `w
6z
z
6z
yy
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\c 33 \vkf= >0Pe ~viâecpak iw÷wg`a`w din` 76 gd n` |`väd`~vk y ab ba~pvb gkvv`w|keni`e~` baabnk n`wicpba din` : gd Gbagpab akw abnkw n`a ~viâecpak
○ Jby nkw |kwifiainbn`w n`~viâecpakw iw÷wg`a`w! `a dâwgkdýe `a |vid`vk rp` j`dkwnifpmbnk
○ Ekw nb icpba a rp` gkmbdkwj`dkw n` ~`e`v wi`d|v` `egp`e~b rp` ak nifpmbdkw gkdkpeb d`vb kvi`e~bgi÷e
○ Abw ieg÷cei~bw be b w`v abakeci~pn n`a abnk n`wicpba y abakeci~pn n` akw abnkw icpba`w
○ Ba ~vb~bv ab ba~pvb n`a ~viâecpak~`e`dkw rp` `w pe ~viâecpakv`g~âecpak y j`dkw n` pwbv `a~`kv`db n` \i~âckvbw
○ \`vk wi gkc`dkw z gkdk abakeci~pn n`a abnk n`wicpba `w~b`gpbgi÷e w` gkd|aigb `e `zg`wk\kv `aak n`wicebv`dkw z b abdi~bn n` nigjk abnk
○ \kv ~be~k ab akeci~pn n`a abnkn`wicpba `w 6z
z
6z
yy
○ Abw ieg÷cei~bw w`vâe=○ z$ Di~bn n` ab akeci~pn n`a abnk
n`wicpba gd○ y$ Akeci~pn n` akw abnkw icpba`w
gd○ \`väd`~vk= 6z( 6y4 76 … z( y4 2?○ Ba~pvb= y6 4 z6 ( :6 … y6 4 z6 ( ?>○ Ap`ck `a wiw~`db `w=○ z ( y4 2? y 4 2? ‗ z○ y6 4 z6 ( ?>○ Wpw~i~pidkw y `e ab w`cpenb
`gpbgi÷e○ *2? ‗ z)6 4 z6 ( :6 …
… 60? ‗ 76z ( z6 4 z6 ( ?> …… z6 ‗ z6 ‗ 76z ( 60? ‗ ?> 4 < …
… ‗ 76z ( 296 4 < … ‗ 76z 4 ‗ 296 …… 76z 4 296 … z 4 296 + 76 … z 4 ?
○ y 4 2? ‗ ? … y 4 2<○ WKAPGI×E= Akw abnkw icpba`w
din`e 2< gd y `a n`wicpba 26gd
2<gd
2<gd
? gd
26 gd
@a nifpmk ekv`|v`w`e~b b abwkapgi÷e! w`väb pe~viâecpak iw÷wg`a`w
dâw bgjb~bnk
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\c 33 \vkf= >?@a âv`b ~k~ba n` pe giaienvk `w 226ό gd6! y `e~v` `a vbnik y ab ba~pvb wpdbe 2>gd Jbaab wp kapd`e
○ z$ vbnik
n`a giaienvkgd
○ y$ ba~pvbn`a giaienvkgd
○ _kapd`e `w_4 όz 6 y
○ \vid`vb
`gpbgi÷e= @aâv`b n`agiaienvk `w`a âv`b n`ab fbw` y~b|bwp|`vikv*rp` wke nkwâv`bw
icpba`w)6 όz 6 ! dâw `aâv`b ab~`vba6 όzy
○ 6 όzy ( 6 όz 6 4 226 ό … ~knkw wke|bv`w y gke
`a ό ap`ck|kn`dkw
○ Wpw~i~pidkw `e ab |vid`vb
`gpbgi÷e y kf~`e`dkw=○ z³*2> ‗ z) ( z6 4 0? …
… 2>z ‗ z6 ( z6 4 0? …
… 2>z 4 0? … z 4 0? + 2> …… z 4 >
○ Wpw~i~py`enk ~`e`dkw=○ y 4 2> ‗ > … y 4 2<○ Wkapgi÷e |bvgiba= @a vbnik
n`a giaienvk `w n` > gd ywp ba~pvb `w n` 2< gd
○ Ap`ck `a kapd`e! rp` `wak rp` w` |in`! `w icpba b=
○ _ 4 ό³>6³2< … _ 4 2?<ό○ WKAPGI×E= @a
kapd`e n`a giaienvk`w icpba b 2?<ό gd7%
y
z
○ Abw ieg÷cei~bwbe b w`v `avbnik y ab ba~pvbn`a giaienvk rp`wke akw nkw`a`d`e~kw n`agiaienvk rp`ekdfvb `a
`epegibnkBn`dâw `a
2?<ό gd7
2< gd
> gd
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\c= 33 \vkf >3Wi `a abnk n` pe gpbnvbnk bpd`e~b 0 gd! wp âv`b w` dpa~i|aigb |kv >»Gpâa `vb `a abnk n`a gpbnvbnk;
○ @a âv`b n`agpbnvbnk |`rp`òk`w B8 rp`wbf`dkw rp` `w=
○ B4z 6 *`g2)○ @a âv`b n`a dbykgpbnvbnk `w >B yjby rp` ~`e`v `egp`e~b rp` `aabnk n` `w~`gpbnvbnk `w*z(0)! gke akrp` rp`nb=
○ *z(0) 6 4 >B ↖
z 6 (2<z(60 4 >B*`g6)
z
0 gd
○ Ap`ck ~`e`dkw `a wiw~`db=
B4z6
z6(2<z(60 4 >B○ Wpw~i~pidkw `a bakv n` B `e
`g 6○ z6(2<z(60 4 >z6 ○ ‗ 7z6(2<z(604<
○ 7z6 ‗ 2<z ‗ 604<
∏= ><< 5 < … nkw vbäg`w V y ≬8 Vbä}∏= 6<
○ z24 ‗ 2!?3 ek ~i`e` w`e~ink`e ab v`bainbn 8
○ z64 0
WKAPGI×E=@a abnk n`agpbnvbnk `w n`0 gd
0 gd
0 gd
0 gd
0 gd
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\c 33 \vkf= >:Pek n` akw gb~`~kw n` pe ~viâecpak v`g~âecpak din` 6: gd y ab ji|k~`epwb `w 2>gd d`ekv rp` ab wpdb n` akw nkw gb~`~kw Gbagpab `a gb~`~k n`wgkekgink
○ N`oieidkw abwieg÷cei~bw Gkdkwbf`dkw akw abnkwn` pe ~viâecpakv`g~âecpak v`gif`e`a ekdfv` n`ji|k~`epwb ygb~`~kw Gkdk pekn` akw gb~`~kwwbf`dkw gpbe~k
din`! abwieg÷cei~bw wkeoâgia`w n`n`npgiv=
○ z$ akeci~pn n`agb~`~kn`wgkekgink gd
○ y$ akeci~pn n` abji|k~`epwb gd
○ N` ab ovbw` ‑abji|k~`epwb `w 2>
○ Ap`ck ~`e`dkw `a wiw~`db ek aie`ba=○ y 4 z ( 2>○ y6 4 z6 ( 3:> ○ Gkdk `e ab |vid`vb `gpbgi÷e yb
`w~â n`w|`mbnb ab ieg÷cei~b y! fbw~bwpw~i~piv `e ab w`cpenb `gpbgi÷e=
○ *z ( 2>)6 4 z6 ( 3:> …… z6 (6:z ( 29? 4 z6 ( 3:> … 6:z 4 3:> ‗29?
… 6:z 4 0:: … z4 0:: + 6: … z 4 62
○ Ap`ck y 4 62 ( 2> … y 4 70○ WKAPGI×E= @a gb~`~k n`wgkekgink
din` 62 gd%○ Bperp` ek ak |in`! ~bdfiée j`dkw
kf~`eink ab akeci~pn n` ab ji|k~`epwb rp``w n` 70 gd
6: gd
zy
62 gd
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\c 33 \vkf= >9@a |`väd`~vk n` pe ~viâecpak v`g~âecpak `w 7? gd y pe gb~`~k din` 7 gd d`ekwrp` `a k~vk Jbaab akw abnkw n`a ~viâecpak
○ N`oieidkw abwieg÷cei~bw Gkdkwbf`dkw akw abnkw n`pe ~viâecpakv`g~âecpak v`gif`e`a ekdfv` n`ji|k~`epwb ygb~`~kw Gkdk pek n`akw gb~`~kw wbf`dkwrp` din` 7 gd d`ekw
rp` `a k~vk! abwieg÷cei~bw wkeoâgia`w n` n`npgiv=
○ z$ akeci~pn n`agb~`~k *Dbykv)n`wgkekgink gd
○ y$ akeci~pn n` abji|k~`epwb gd
○ N` ab ovbw` ‑@a|`väd`~vk n` pe~viâecpak v`g~âecpak
○ y6 4 z6 ( *z ‗ 7)6 … y6 4 z6 ( z6 ‗ ?z ( 9 …… y6 4 6z6 ‗ ?z ( 9 *6ª `g)
○ Ap`ck ~`e`dkw `a wiw~`db ek aie`ba=○ 6z ( y 4 79 y 4 79 ‗ 6z○ y6 4 6z6 ‗ ?z ( 9○ N`w|`mbnb ab ieg÷cei~b ‑y— `e ab |vid`vb
`gpbgi÷e! fbw~b wpw~i~piv `e ab w`cpenb
`gpbgi÷e=○ *79 ‗ 6z)6 4 6 z6 ‗ ?z ( 9○ 2062 ‗ 20?z ( >z6 4 6 z6 ‗ ?z ( 9 … …
2062 ‗ 20?z ( >z6 ‗ 6 z6 ( ?z ‗ 9 4 < …… 6z6 ‗ 20<z ( 2026 4 < …
○ niini`enk e~v` nkw … z6 ‗ 30z ( 30? 4 <○ Ξ 4 6?<25 <8 ~i`e` nkw wkapgike`w V y ≬○ Vbä} Ξ 4 02○ z2 4 ?78 z6 4 26○ Wi z 4 ?7 ~`e`dkw rp` y 4 79 ‗ 6 ³ ?7 …○ y 4 79 ‗ 2:? … y 4 ‗ 2>3
z ‗ 7
z
y
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\c 33 \vkf= >9@a |`väd`~vk n` pe ~viâecpak v`g~âecpak `w 7? gd y pe gb~`~k din` 7 gd d`ekwrp` `a k~vk Jbaab akw abnkw n`a ~viâecpak
○ @w~â gabvk rp` j`dkwn` n`wgbv~bv `w~bwkapgi÷e! yb rp` ek~i`e` w`e~ink `e abv`bainbn rp` abji|k~`epwb ~`ecb pebakeci~pn e`cb~ib
○ Wi z 4 26 ~`e`dkwrp` y 4 79 ‗ 6 ³ 26…
○ y 4 79 ‗ 6> … y 4 20○ WKAPGI×E= @a gb~`~kDbykv din` 26 gd!
○ `a gb~`~k d`ekv din`9 gd
○ y ab ji|k~`epwb din`20 gd
○ Ek~b= ab wkapgi÷e z4
○ y6 4 z6 ( *z ‗ 7)6 … y6 4 z6 ( z6 ‗ ?z ( 9 …… y6 4 6z6 ‗ ?z ( 9 *6ª `g)
○ Ap`ck ~`e`dkw `a wiw~`db ek aie`ba=○ 6z ( y 4 79 y 4 79 ‗ 6z○ y6 4 6z6 ‗ ?z ( 9○ N`w|`mbnb ab ieg÷cei~b ‑y— `e ab |vid`vb
`gpbgi÷e! fbw~b wpw~i~piv `e ab w`cpenb
`gpbgi÷e=○ *79 ‗ 6z)6 4 6 z6 ‗ ?z ( 9○ 2062 ‗ 20?z ( >z6 4 6 z6 ‗ ?z ( 9 …○ … 2062 ‗ 20?z ( >z6 ‗ 6 z6 ( ?z ‗ 9 4 <
… … 6z6 ‗ 20<z ( 2026 4 < …○ niini`enk e~v` nkw … z6 ‗ 30z ( 30? 4 <○ Ξ 4 6?<25 <8 ~i`e` nkw wkapgike`w V y ≬○ Vbä} Ξ 4 02○ z2 4 ?78 z6 4 26○ Wi z 4 ?7 ~`e`dkw rp` y 4 79 ‗ 6 ³ ?7 …○ y 4 79 ‗ 2:? … y 4 ‗ 2>3
z ‗ 7
z
y
9 gd
26 gd%
20 gd%
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\c 33 \vkf= >9@a |`väd`~vk n` pe ~viâecpak v`g~âecpak `w 7? d y pe gb~`~k din` 7 gd d`ekwrp` `a k~vk Jbaab akw abnkw n`a ~viâecpak
○ N`oieidkw abwieg÷cei~bw Gkdkwbf`dkw akw abnkw n`pe ~viâecpakv`g~âecpak v`gif`e`a ekdfv` n`ji|k~`epwb ygb~`~kw Gkdk pek n`akw gb~`~kw wbf`dkwrp` din` 7 gd d`ekw
rp` `a k~vk! abwieg÷cei~bw wkeoâgia`w n` n`npgiv=
○ z$ akeci~pn n`agb~`~k *Dbykv)n`wgkekgink gd
○ y$ akeci~pn n` abji|k~`epwb g d
○ _bdkw b ~vbfbmbv `e~knk dkd`e~k gke gd○ N` ab ovbw` ‑@a
○ Ab w`cpenb `gpbgi÷e i`e` b |bv~iv n`a
~`kv`db n` \i~âckvbw rp` nig`=○ *ji|k~ epwb)6 4*gb~`~k D)6 (*gb~`~k d)6
○ y6 4 z6 ( *z ‗ 7)6 … y6 4 z6 ( z6 ‗ ?z ( 9 …… y6 4 6 z6 ‗ ?z ( 9 *6ª `g)
○ Ap`ck ~`e`dkw `a wiw~`db ek aie`ba=○ 6z ( y 4 7093 y 4 *7093 ‗ 6z)○ y6 4 6z6 ‗ ?z ( 9○ N`w|`mbnb ab ieg÷cei~b ‑y— `e ab
|vid`vb `gpbgi÷e fbw~b wpw~i~piv `e abw`cpenb gpbgi÷e=
○ *7093 ‗ 6z)6 4 6z6 ‗ ?z ( 9○ @w peb `gpbgi÷e n` w`cpenk cvbnk!
v`wka`dkw ab in`e~inbn ek~bfa` y~vbw|ke`dkw ~évdiekw y aa`cbdkw b=
○ 6z6 ‗ 2>7:6z ( 26:7<>9< 4 <
○ Niini`enk |kv 6 rp`nb=○ z6 ‗ 3292z ( ?>206>0 4 <○ Ξ 4 6?<>90<25 <8 ~i`e` nkw wkapgike`w
V y ≬ … Vbä} Ξ 4 02<7¾:322○ z2 4 ?2>3¾>700:98 z6 4 2<>7¾0?>>2
z ‗ 7
z
y
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\c 33 \vkf= >9@a |`väd`~vk n` pe ~viâecpak v`g~âecpak `w 7? d y pe gb~`~k din` 7 gd d`ekwrp` `a k~vk Jbaab akw abnkw n`a ~viâecpak
○ z$ akeci~pn n`agb~`~k *Dbykv)n`wgkekgink gd
○ y$ akeci~pn n` abji|k~`epwb g d
○ Ab w`cpenb `gpbgi÷e i`e` b |bv~iv n`a
~`kv`db n` \i~âckvbw rp` nig`=○ *ji|k~ epwb)6 4*gb~`~k D)6 (*gb~`~k d)6
○ y6 4 z6 ( *z ‗ 7)6 … y6 4 z6 ( z6 ‗ ?z ( 9 …… y6 4 6 z6 ‗ ?z ( 9 *6ª `g)
○ Ap`ck ~`e`dkw `a wiw~`db ek aie`ba=○ 6z ( y 4 7093 y 4 *7093 ‗ 6z)○ y6 4 6z6 ‗ ?z ( 9○ N`w|`mbnb ab ieg÷cei~b ‑y— `e ab |vid`vb
`gpbgi÷e fbw~b wpw~i~piv `e ab w`cpenb`gpbgi÷e=
○ *7093 ‗ 6z)6 4 6z6 ‗ ?z ( 9○ @w peb `gpbgi÷e n` w`cpenk cvbnk!
v`wka`dkw ab in`e~inbn ek~bfa` y~vbw|ke`dkw ~évdiekw y aa`cbdkw b=
○ 6z6 ‗ 2>7:6z ( 26:7<>9< 4 <
○ Niini`enk |kv 6 rp`nb=○ z6 ‗ 3292z ( ?>206>0 4 <○ Ξ 4 6?<>90<25 <8 ~i`e` nkw wkapgike`w
V y ≬ … Vbä} Ξ 4 02<7¾:322○ z2 4 ?2>3¾>700:98 z6 4 2<>7¾0?>>2
z ‗ 7
z
y
○ Gkdk abw wkapgike`w i`e`e `e gdn`w|v`gibv`dkw ab |bv~` n`gidba! bwä=
○ z2≊ ?2>38 z6 ≊ 2<>7○ Wi z4 ?2>3 gd … z 4 ?2¾>3 d8 `w~k ek ~i`e`
w`e~ink yb rp` `a |`väd`~vk n`a ~viâecpak `w
n` 7? d○ Wi z ≊ 2<>7 gd … z ≊ 2<¾>7 d8 `w~k wi~i`e` w`e~ink
○ z ‗ 7 ≊ 2<><○ y ≊ 7093 ‗ 6³2<>7 … y ≊ 2022○ WKAPGI×E= @a gb~ ~k dbykv din` 2<>7
gd gb~`~k d`ekv din` 2<>< gd y abji|k~`epwb din` 2022 gd
*b|vkzidbnkw)
≊ 2022gd
≊ 2<>7gd
≊ 2<><gd
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\c 33 \vkf= 0<Peb |`vwkeb ~bvnb 7 jkvbw dâw rp` k~vb `e jbg`v `a diwdk ~vbfbmk Wi ak jbg`e`e~v` abw nkw! ~bvnbe 6 jkvbw »Gpâe~k ~bvnb gbnb peb |kv w`|bvbnk;Ek~b= Wi peb ~bvnb z jkvbw `e jbg`v ~knk `a ~vbfbmk! `e peb jkvb jbvâ 2 + z n`
`w~`○ Ak |vid`vk rp`bdkw b jbg`v `w`z|aigbv ab ek~bJbf`v wi ab`e~`enéiw
○ Wp|kecbdkw rp` pe
|ie~kv |ie~b abwicpi`e~` |bv`ngpbnvbnb `e >jkvbw
○ @a |ie~kv |ie~bgke abw diwdbwcbebw ~knk `a~i`d|k y jkvb ~vbwjkvb! `w~k rpi`v`
n`giv rp` wi`d|v`~i`e` `a diwdkvi~dk Y rp` ab|ie~pvb ek a``wgbw`b `e eiecýedkd`e~k! ei ~i`e`id|v`iw~kw \kvwp|p`w~k ek |`cbpe fvkgjb}k `e peb`wrpieb y ap`ck w`b ba d`nik y |`cb
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\c 33 \vkf= 0<Peb |`vwkeb ~bvnb 7 jkvbw dâw rp` k~vb `e jbg`v `a diwdk ~vbfbmk Wi ak jbg`e`e~v` abw nkw! ~bvnbe 6 jkvbw »Gpâe~k ~bvnb gbnb peb |kv w`|bvbnk;Ek~b= Wi peb ~bvnb z jkvbw `e jbg`v ~knk `a ~vbfbmk! `e peb jkvb jbvâ 2 + z n`
`w~`○ Ak |vid`vk rp`bdkw b jbg`v `w`z|aigbv ab ek~bJbf`v wi ab`e~`enéiw
○ Wp|kecbdkw rp` pe
|ie~kv |ie~b abwicpi`e~` |bv`ngpbnvbnb `e >jkvbw!
○ @a |ie~kv |ie~bgke abw diwdbwcbebw ~knk `a~i`d|k y jkvb ~vbwjkvb! `w~k rpi`v`
n`giv rp` wi`d|v`~i`e` `a diwdkvi~dk Y rp` ab|ie~pvb ek a``wgbw`b `e eiecýedkd`e~k! ei ~i`e`id|v`iw~kw \kvwp|p`w~k ek |`cbpe fvkgjb}k `e peb`wrpieb y ap`ck w`b ba d`nik y |`cb
○ K ak rp` `w ak diwdk »Rpé |bv~` n a~k~ba n`a ~vbfbmk v`|v`w`e~b `wb âv`brp` `w ak rp` jbg` `e peb jkvb; Abgpbv~b |bv~` n`a ~vbfbmk k ak rp` `w akdiwdk 2 + > n`a ~vbfbmk
± n`a~vbfbmk
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\c 33 \vkf= 0<Peb |`vwkeb ~bvnb 7 jkvbw dâw rp` k~vb `e jbg`v `a diwdk ~vbfbmk Wi ak jbg`e`e~v` abw nkw! ~bvnbe 6 jkvbw »Gpâe~k ~bvnb gbnb peb |kv w`|bvbnk;Ek~b= Wi peb ~bvnb z jkvbw `e jbg`v ~knk `a ~vbfbmk! `e peb jkvb jbvâ 2 + z n`
`w~`○ Wp|kecbdkw bjkvbrp` pe |ie~kv|ie~b ab wicpi`e~`|bv`n `e 26 jkvbw!
○ Wi `e |ie~bv ab|bv`n ba gkd|a`~k
a` jb aa`bnk 26jkvbw! kw |v`cpe~k»Gpâe~k jbfvâ|ie~bnk `e pebjkvb; Gv`k rp` abv`w|p`w~b `wied`nib~b
○ Ab wicpi`e~`|v`cpe~b `w kfib!
»Rpé |bv~` n` ab|bv`n v`|v`w`e~b`w~b âv`b *gkdkovbggi÷e); 2 + 26n` ab |bv`n|ie~bnb k n`a~vbfbmk
○ @w~k `w ak diwdk
»Rpé |bv~` n`a~k~ba n`a ~vbfbmkv`|v`w`e~b `wb
2+26 n`a ~vbfbmk
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\c 33 \vkf= 0<Peb |`vwkeb ~bvnb 7 jkvbw dâw rp` k~vb `e jbg`v `a diwdk ~vbfbmk Wi ak jbg`e`e~v` abw nkw! ~bvnbe 6 jkvbw »Gpâe~k ~bvnb gbnb peb |kv w`|bvbnk;Ek~b= Wi peb ~bvnb z jkvbw `e jbg`v ~knk `a ~vbfbmk! `e peb jkvb jbvâ 2 + z n`
`w~`○ N`oieidkw abwieg÷cei~bw b|bv~iv n` ab|v`cpe~b=
○ z$ ^i`d|k rp`~bvnb ab |vid`vb
|`vwkeb `ev`bai}bv `a~vbfbmk n` okvdbieniinpba j
○ y$ ^i`d|k rp`~bvnb ab w`cpenb|`vwkeb `ev`bai}bv `a~vbfbmk n` okvdbieniinpba j
○ N` ab ovbw` ‑Peb|`vwkeb ~bvnb 7jkvbw dâw rp` k~vb`e jbg`v `a diwdk~vbfbmk— w` n`npg`ab |vid`vb`gpbgi÷e rp` `w=
○ z 4 y ( 7 *2ª `g)○ N` ab ovbw` ‑Wi ak
○ Wi ab |vid vb |`vwkeb `e jbg v `a ~vbfbmk*~k~ba) n` okvdb ieniinpba ~bvnb z! `e pebjkvb jbg` 2 + z n`a ~vbfbmk *~k~ba)
○ Wi ab w`cpenb |`vwkeb `e jbg`v `a~vbfbmk *~k~ba) n` okvdb ieniinpba ~bvnb y!`e peb jkvb jbg` 2 + y n`a ~vbfbmk *~k~ba)
○ Bwä kf~`e`dkw rp` `e peb jkvb `e~v` akwnkw jbg`e *2 + z ( 2 + y)
○ Ap`ck ab w`cpenb `gpbgi÷e `w=○ 2 + z ( 2 + y 4 2 + 6 *6ª `g)○ Ap`ck kf~`e`dkw `a wiw~`db ek aie`ba=○ z 4 y ( 7○ 2 + z ( 2 + y 4 2 + 6○ Kfw vbv rp` ab w`cpenb `gpbgi÷e `w
vbgikeba *b|bv`g` ieg÷cei~b+bw `ebacýe+kw n`ekdiebnkv+`w) ap`ck j`dkwn` gkd|vkfbv abw wkapgike`w kf~`einbw
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\c 33 \vkf= 0<Peb |`vwkeb ~bvnb 7 jkvbw dâw rp` k~vb `e jbg`v `a diwdk ~vbfbmk Wi ak jbg`e`e~v` abw nkw! ~bvnbe 6 jkvbw »Gpâe~k ~bvnb gbnb peb |kv w`|bvbnk;Ek~b= Wi peb ~bvnb z jkvbw `e jbg`v ~knk `a ~vbfbmk! `e peb jkvb jbvâ 2 + z n``w~`
○ z 4 y ( 7○ 2 + z ( 2 + y 4 2+ 6
○ Gkdk ab ieg÷cei~bz `w~â n`w|`mbnb`e ab |vid`vb`gpbgi÷e! |bvbv`wka`vwpw~i~pidkw wpbakv `e abw`cpenb `gpbgi÷e=
○ 2 + *y ( 7) ( 2 +y 4 2 + 6
○ Rp` `w peb`gpbgi÷e vbgikeba\kei`enk gkdýe
n`ekdiebnkv!rpi~âenkak n`w|péwy ~vbw|kei`enk~évdiekwkf~`e`dkw=
○ y 6 ‗ y ‗ ? 4 <○ Ξ 4 60 5 < ~i`e`nkw wkapgike`w V y
≬○ y 2 4 78 y 6 4 ‗ 6○ @w~â gabvk p`
○ Gkd|vkfbdkw `e abw `gpbgike`w n`awiw~`db *wkfv` ~knk `e ab `gpbgi÷evbgikeba) rp` wä `w âainb ab wkapgi÷ekf~`einb! b |bv~` n` ~`e`v w`e~ink `e abv`bainbn
○ WKAPGI×E= Ab |vid`vb |`vwkeb ~bvnb? j `e v`bai}bv `a ~vbfbmk n` okvdb
ieniinpba y ab w`cpenb |`vwkeb ~bvnb7 j `e v`bai}bv `a ~vbfbmk n` okvdbieniinpba%
○ Kmk rp` `e ab |vid`vb `gpbgi÷e j`dkw|p`w~k rp` ab |vid`vb |`vwkeb ~bvnb 7jkvbw dâw rp` ab w`cpenb `e v`bai}bv `a~vbfbmk Y `wk n`f` gkegkvnbv gke abwkapgi÷e nbnb Pe `m`d|ak pwpba `w `eakw |vkfa`dbw n` `nbn`w yb rp` pe|bnv` ek `w dbykv rp` wpw jimkw
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\c 33 \vkf= 02Pe cviok ~bvnb `a nkfa` n` ~i`d|k rp` k~vk `e aa`ebv pe gpfk n` bcpb Wi bfvidkwakw nkw! `a gpfk w` aa`eb `e 7 diep~kw »Gpâe~k ~bvnb gbnb pek |kv w`|bvbnk;
○ N`oieidkw abwieg÷cei~bw b|bv~iv n` ab|v`cpe~b=
○ z$ ^i`d|k rp`~bvnb `a |vid`vcviok `e aa`ebv `agpfk n` okvdb
ieniinpbaDiep~kw’
○ y$ ^i`d|k rp`~bvnb `a w`cpenkcviok `e aa`ebv `agpfk n` okvdbieniinpbaDiep~kw’
○ N` ab ovbw` ‑Pecviok ~bvnb `ankfa` n` ~i`d|krp` k~vk `e aa`ebvpe gpfk n` bcpb—
kf~`e`dkw ab|vid`vb gpbgi÷erp` `w=
○ z 4 6y *2ª `g)
○ N` ab ovbw` ‑Wibfvidkw akw nkw!
○ Kfw vbv rp` ab w`cpenb `gpbgi÷e `wvbgikeba ap`ck j`dkw n` gkd|vkfbv abwwkapgike`w kf~`einbw
○ Gkdk ab z w~b n`w|`mbnb ab z n` ab|vid`v `gpbgi÷e y wpw~i~pyéenkab `e abw`cpenb gpbgi÷e kf~`e`dkw=
○ 2 + 6y ( 2 + y 4 2 + 7
○ Rp` `w peb `gpbgi÷e vbgikeba `e y\kei`enk gkdýe n`ekdiebnkv!rpi~âenkak n`w|péw y ~vbw|kei`enk~évdiekw kf~`e`dkw=
○ 6y 4 9 … y 4 9 + 6 … y 4 >’0 *ak `z|v`wkn` okvdb n`gidba |kv rp` w` ~vb~b n`~i`d|k)
○ Ap`ck wi y 4 >’0 w` n`npg` rp` z 4 9○ Gkd|vkfbdkw `e abw `gpbgike`w n`a
wiw~`db rp` wä `w âainb ab wkapgi÷ekf~`einb! b |bv~` n` ~`e`v w`e~ink `e abv`bainbn
○ WKAPGI×E= @a |vid`v cviok ~bvnb 9 j`e aa`ebv `a gpfk n` okvdb ieniinpba y`a w`cpenk cviok >’0 j 4 > j y 7<’%
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\c 33 \vkf= 06Pe cvp|k n` bdickw barpiab peb opvcke`~b |kv >9< ₡ |bvb jbg`v pe ibm` Býa~idb jkvb w` b|pe~be nkw dâw y bwä w` n`p`a`e 6: ₡ b gbnb pek n` akwk~vkw »Gpâe~kw op`vke n` `zgpvwi÷e y gpâe~k |bc÷ gbnb pek;
○ N`oieidkw abwieg÷cei~bw b|bv~iv n` ab|v`cpe~b=
○ z$ Eýd`vk n``zgpvwikeiw~b rp`op`vke
○ y$ \v`gik rp`
|bc÷ gbnb`zgpvwikeiw~b rp`op` `e abopvcke`~b ₡
○ N` ab ovbw`‑barpiab pebopvcke`~b |kv >9<₡ |bvb jbg`v pe
ibm`— kf~`e`dkwab gab` n` `w~`|vkfa`db yb rp` `egpbarpi`v gbwk `a|v`gik n`abarpia`v n` abopvcke`~b `wgkew~be~` >9< ₡
○ N` ab ovbw` ‑B
ýa~idb jkvb — kf~`e`dkw k~vb
○ V`gkvnbenk rp` `a barpia v `w wi`d|v >9<₡
○ Ab |vid`vb `gpbgi÷e rp` `w=○ *z ‗ 6)³*y ( 6:) 4 >9< …
… zy ( 6:z ‗ 6y ‗ 0? 4 >9< …
… zy ( 6:z ‗ 6y 4 0>? *2ª `g)
○ Ab w`cpenb `gpbgi÷e rp` `w=○ z³y 4 >9< *6ª `g)○ Ap`ck v`wpa~b `a wiw~`db ek aie`ba=○ zy ( 6:z ‗ 6y 4 0>?○ zy 4 >9<○ N`w|`mbdkw z `e ab w`cpenb `gpbgi÷e!
z4>9<+y *--_`v ek~b ba oieba)! y w` wpw~i~py`
`e ab |vid`vb `gpbgi÷e rp`nbenk=
E½ n``zgpvwikeiw~bw
\v`gikrp`|bcbgbnb
`zgpvwikeiw~
b
Ba|viegi
|ikB
ýa~idbjkvb
*z‗ 6) *y ( 6:)
yz
\c 33 \vkf= 06Pe cvp|k n` bdickw barpiab peb opvcke`~b |kv >9< ₡ |bvb jbg`v pe ibm` Býa~idb jkvb w` b|pe~be nkw dâw y bwä w` n`p`a`e 6: ₡ b gbnb pek n` akwk~vkw »Gpâe~kw jbe ink n` `zgpvwi÷e y gpâe~k jb |bcbnk gbnb pek n` akw rp`jbe ink oiebad`e~` n` `zgpvwi÷e;
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\c 33 \vkf= 06Pe cvp|k n` bdickw barpiab peb opvcke`~b |kv >9< ₡ |bvb jbg`v pe ibm` Býa~idb jkvb w` b|pe~be nkw dâw y bwä w` n`p`a`e 6: ₡ b gbnb pek n` akwk~vkw »Gpâe~kw jbe ink n` `zgpvwi÷e y gpâe~k jb |bcbnk gbnb pek n` akw rp`jbe ink oiebad`e~` n` `zgpvwi÷e;
○ >9< ( 6: ³ *>9<+y)‗ 6y 4 0>?
○ Rp` `w peb`gpbgi÷e vbgikeba`e y \kei`enkgkdýe n`ekdiebnkv!rpi~âenkak n`w|péwy ~vbw|kei`enk
~évdiekwkf~`e`dkw=
○ 6y 6 ( 0?y ‗ 2736<4 <
○ Ξ 4 226:9? 5 <~i`e` nkwwkapgike`w V y ≬
○ Vbä} n` Ξ `w 77?
○ y 2 4 3<8 y 6 4 ‗ 9:○ @w~â gabvk rp`j`dkw n` n`wgbv~bvab w`cpenbwkapgi÷e! yb rp`ek ~i`e` w`e~ink`e ab v`bainbn pe|bck e`cb~ik
○Ap`ck wi y 4 3< w`n`npg` rp` z 4>9<+3<
○ V`gkvnbenk rp` `a barpia v `w wi`d|v >9<₡
○ Ab |vid`vb `gpbgi÷e rp` `w=○ *z ‗ 6)³*y ( 6:) 4 >9< …
… zy ( 6:z ‗ 6y ‗ 0? 4 >9< …
… zy ( 6:z ‗ 6y 4 0>? *2ª `g)
○ Ab w`cpenb `gpbgi÷e rp` `w=○ z³y 4 >9< *6ª `g)○ Ap`ck v`wpa~b `a wiw~`db ek aie`ba=○ zy ( 6:z ‗ 6y 4 0>?○ zy 4 >9<○ N`w|`mbdkw z `e ab w`cpenb `gpbgi÷e!
z4>9<+y *--_`v ek~b ba oieba)! y w` wpw~i~py`
`e ab |vid`vb `gpbgi÷e rp`nbenk=
E½ n``zgpvwikeiw~bw
\v`gikrp`|bcbgbnb
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b
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*z ‗ 6) *y (6:)
B
ýa~idbjkvb
z y
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\c 33 \vkf= 07Pe gkd`vgibe~` rpi`v` `en`v |kv ?< <<< ₡ akw kvn`ebnkv`w rp` ~i`e` `e wpbadbgée \`vk w` a` `w~vk|`be nkw y ~i`e` rp` `en`v akw k~vkw 0< ₡ dâw gbvkw|bvb v`gbpnbv ak diwdk »Gpâe~kw kvn`ebnkv`w ~`eäb y b rpé |v`gik akw `eni÷;
○ N`oieidkw abwieg÷cei~bw b|bv~iv n` ab|v`cpe~b=
○ z$ Eýd`vk n`kvn`ebnkv`w rp`~`eäb
○ y$ \v`gik ba rp`
`eni÷ gbnbkvn`ebnkv *rp`|pnk `en`v) ₡
○ N` ab ovbw` ‑Pegkd`vgibe~` rpi`v``en`v |kv ?< <<<₡ |bvb v`gbpnbvak diwdk—
kf~`e`dkw ab gab`n` `w~` |vkfa`dbyb rp` `egpbarpi`v gbwk abcbebegib n`agkd`vgibe~` b bw`v ?< <<< ₡
○ N` ab ovbw` ‑\`vkw` a` `w~vk|`be
nkw y ~i`e` rp``en`v akw k~vkw —
○ V`gkvnbenk rp` `e gpbarpi v gbwk abcbebegib n`a gkd`vgibe~` b b w`v ?< <<<₡
○ Ab |vid`vb `gpbgi÷e rp` `w=○ *z ‗ 6)³y 4 ?< <<< …
… zy ‗ 6y 4 ?< <<< *2ª `g)
○ Ab w`cpenb `gpbgi÷e rp` `w=○ z³*y ‗ 0<) 4 ?<<<< … zy ‗ 0<z 4 ?<<<< *6ª
`g)○ Ap`ck v`wpa~b `a wiw~`db ek aie`ba=○ zy ‗ 6y 4 ?< <<<○ zy ‗ 0<z 4 ?<<<<
E½ n`kvn`ebnkv`
w
\v`gik|kv `a
rp` `en`gbnb
kvn`ebnkv
Ba|viegi|ik
Baoieba
z *y ‗ 0<)
y*z ‗ 6)
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\c 33 \vkf= 07Pe gkd`vgibe~` rpi`v` `en`v |kv ?< <<< ₡ akw kvn`ebnkv`w rp` ~i`e` `e wpbadbgée \`vk w` a` `w~vk|`be nkw y ~i`e` rp` `en`v akw k~vkw 0< ₡ dâw gbvkw|bvb v`gbpnbv ak diwdk »Gpâe~kw kvn`ebnkv`w ~`eäb y b rpé |v`gik akw `eni÷;
○ D` biw b |`vdi~ivrp` `w~` wiw~`dbak v`wkabdkw gkeback n` bw~pgibdb~`dâ~igbOimbvkw rp` `e abwnkw `gpbgike`wb|bv`g`e ‑zy— y
‑?<<<<—! ap`ckbdkw b b|aigbvv`npggi÷e |bvbrpi~bv `a zy \bvb`aak dpa~i|aigbdkwab w`cpenb`gpbgi÷e |kv *‗2)
○ zy ‗ 6y 4 ?<<<<
○ ‗ zy ( 0<z 4 ‗?<<<<
○ 0<z ‗ 6y 4 <
N`w|`mbdkw n` brpä abieg÷cei~b y
○ … ‗ 6y 4 ‗ 0<z …
… 6y 4 0<z … y 4 0<z +
6 … y 4 60z○ Y wpw~i~pidkw `e
○ V`gkvnbenk rp` `e gpbarpi v gbwk abcbebegib n`a gkd`vgibe~` b b w`v ?< <<<₡
○ Ab |vid`vb `gpbgi÷e rp` `w=○ *z ‗ 6)³y 4 ?< <<< …
… zy ‗ 6y 4 ?< <<< *2ª `g)
○ Ab w`cpenb `gpbgi÷e rp` `w=○ z³*y ‗ 0<) 4 ?<<<< … zy ‗ 0<z 4 ?<<<< *6ª
`g)○ Ap`ck v`wpa~b `a wiw~`db ek aie`ba=○ zy ‗ 6y 4 ?< <<<○ zy ‗ 0<z 4 ?<<<<
E½ n`kvn`ebnkv`
w
\v`gik|kv `arp` `en`
gbnbkvn`ebnkv
Ba|viegi|ik
z *y ‗ 0<)
Ba
oieba
*z ‗ 6)
y
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\c 33 \vkf= 07Pe gkd`vgibe~` rpi`v` `en`v |kv ?< <<< ₡ akw kvn`ebnkv`w rp` ~i`e` `e wpbadbgée \`vk w` a` `w~vk|`be nkw y ~i`e` rp` `en`v akw k~vkw 0< ₡ dâw gbvkw|bvb v`gbpnbv ak diwdk »Gpâe~kw kvn`ebnkv`w ~`eäb y b rpé |v`gik akw `eni÷;
○ D` biw b |`vdi~ivrp` `w~` wiw~`dbak v`wkabdkw gkeback n` bw~pgibdb~`dâ~igbOimbvkw rp` `e abwnkw `gpbgike`wb|bv`g`e ‑zy— y
‑?<<<<—! ap`ckbdkw b b|aigbvv`npggi÷e |bvbrpi~bv `a zy \bvb`aak dpa~i|aigbdkwab w`cpenb`gpbgi÷e |kv *‗2)
○ zy ‗ 6y 4 ?<<<<
○ ‗ zy ( 0<z 4 ‗?<<<<
○ 0<z ‗ 6y 4 <
N`w|`mbdkw n` brpä abieg÷cei~b y
○ … ‗ 6y 4 ‗ 0<z …
… 6y 4 0<z … y 4 0<z +
6 … y 4 60z○ Y wpw~i~pidkw `e
○ Ξ 4 9?<> 5 < ~i`e` nkw wkapgike`w V y ≬○ Vbä} n` Ξ `w 9:○ z2 4 0<8 z6 4 ‗ >:○ @w~â gabvk rp` j`dkw n` n`wgbv~bv ab
w`cpenb wkapgi÷e! yb rp` ek ~i`e` w`e~ink
`e ab v`bainbn pe |v`gik e`cb~ik○ Ap`ck wi z 4 0< w` n`npg` rp` y 4 60 ³ 0<… … z 4 260<
○ WKAPGI×E= @a gkd`vgibe~` ~`eäb 0<kvn`ebnkv`w% Akw kvn`ebnkv`w rp``eni÷! akw `eni÷ b 260< ₡ gbnb pek%
E½ n`kvn`ebnkv`
w
\v`gik|kv `arp` `en`
gbnbkvn`ebnkv
Ba|viegi|ik
z *y ‗ 0<)
Ba
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*z ‗ 6)
y
5/12/2018 Solución a los problemas propuestos en 4º ESO B - slidepdf.com
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\c 33 \vkf= 0>Pe ~vbew|kv~iw~b b b peb gipnbn rp` `w~â b 7<< hd n` niw~begib Ba ka`v! wp`akginbn d`nib jb wink wp|`vikv `e 2< hd+j b ab `akginbn n` inb! y jb ~bvnbnkpeb jkvb d`ekw Gbagpab abw `akginbn`w y akw ~i`d|kw `d|a`bnkw b ab inb y b ab
p`a~b○ N`oieidkw abwieg÷cei~bw b|bv~iv n`a`epegibnk=
○ z$ _`akginbn n`inb Hd+j
○y$ ^i`d|k n`inb j
○ N` ab ovbw` ‑Pe~vbew|kv~iw~b bb peb gipnbn rp``w~â b 7<< hd n`niw~begib Baka`v—
kf~`e`dkw abgab` n` `w~`|vkfa`db yb rp``e gpbarpi`vgbwk abniw~begib `e~v`abw nkwgipnbn`w! `a
`w|bgikv`gkvvink! `w
○ V`gkvnbenk rp` `a `w|bgik v`gkvvink `wgkew~be~`! 7<< hd Y rp` ³~ 4 `
○ Ab |vid`vb `gpbgi÷e rp` `w=○ z³y 4 7<< *2ª `g)○ Ab w`cpenb `gpbgi÷e rp` `w=○ *z(2<)³*y ‗ 2) 4 7<< …
… zy ( 2<y ‗ z ‗ 2< 4 7<< …
… zy ‗ z ( 2<y 4 72< *6ª `g)○ Ap`ck v`wpa~b `a wiw~`db ek aie`ba=
○ zy 47<< ‗ zy 4 ‗ 7<<○ zy ‗ z (2<y 4 72< zy ‗ z (2<y 4 72<○ ‗ z (2<y 4 2<○ N`w|`mbdkw n` brpä ab bvibfa` ‑z—=○ ‗ z4 2< ‗ 2<y … z4 ‗ 2< (2<y … z4 2<y ‗
2<○ Wpw~i~pidkw `e ab |vid vb `gpbgi÷e y
rp`nb=
`akginbn
~i`d|k
Inb
p`a~b *z ( 2<) *y ‗ 2)
yz
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\c 33 \vkf= 0>Pe ~vbew|kv~iw~b b b peb gipnbn rp` `w~â b 7<< hd n` niw~begib Ba ka`v! wp`akginbn d`nib jb wink wp|`vikv `e 2< hd+j b ab `akginbn n` inb! y jb ~bvnbnkpeb jkvb d`ekw Gbagpab abw `akginbn`w y akw ~i`d|kw `d|a`bnkw b ab inb y b ab
p`a~b○ z$ _`akginbn n`inb Hd+j
○ y$ ^i`d|k n`inb j
○ V`gkvnbenk rp` `a `w|bgik v`gkvvink `wgkew~be~`! 7<< hd Y rp` ³~ 4 `
○ Ab |vid`vb `gpbgi÷e rp` `w=○ z³y 4 7<< *2ª `g)○ Ab w`cpenb `gpbgi÷e rp` `w=○ *z(2<)³*y ‗ 2) 4 7<< …
… zy ( 2<y ‗ z ‗ 2< 4 7<< …
… zy ‗ z ( 2<y 4 72< *6ª `g)○ Ap`ck v`wpa~b `a wiw~`db ek aie`ba=
○ zy 47<< ‗ zy 4 ‗ 7<<○ zy ‗ z (2<y 4 72< zy ‗ z (2<y 4 72<○ ‗ z (2<y 4 2<○ N`w|`mbdkw n` brpä ab bvibfa` ‑z—=○ ‗ z4 2< ‗ 2<y … z4 ‗ 2< (2<y … z4 2<y ‗
2<○ Wpw~i~pidkw `e ab |vid vb `gpbgi÷e y
rp`nb=
`akginbn
~i`d|k
Inb
p`a~b *z ( 2<) *y ‗ 2)
yz
○ *2<y ‗ 2<)³y 4 7<< … 2< y 6 ‗ 2<y 4 7<< …
○ … 2< y 6 ‗ 2<y ‗ 7<<
4 < … niinidkw |kv2< y ekw rp`nb … y 6 ‗ y ‗ 7< 4 <
○ Ξ 4 2625 <8 ab `g~i`e` nkwwkapgike`w V y ≬8Vbä} Ξ 4 22
○ y 2 4 ‗ 08 y 6 4 ?
○\kn`dkw n`wgbv~bvy 2 yb rp` ek ~i`e`w`e~ink pe ~i`d|ke`cb~ik8 bn`dâwnbväb peb `akginbnn` ‗ ?< hd+ j rp`~bd|kgk ~i`e`w`e~ink
○ Wi y 4 ? … z 4 7<<+?
… z 4 0<○ WKAPGI×E= Ab
\ 33 \ f 00
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\c 33 \vkf= 00^`e`dkw peb |bvg`ab v`g~becpabv Wi wp fbw` niwdiepy` `e :< d y wp ba~pvbbpd`e~b `e ><d! w` gkei`v~` `e pe gpbnvbnk Wi niwdiepy` `e ?< d wp fbw` ywp ba~pvb bpd`e~b `e 6< d! `e~keg`w wp âv`b niwdiepy` `e ><< d6 »Gpâa`wwke abw nid`ewike`w n` ab |bvg`ab;
○ N`oieidkw abwieg÷cei~bw b|bv~iv n` ab|v`cpe~b! bwä=
○ z$ Fbw` n` ab|bvg`ab d
○ y$ Ba~pvb n` ab|bvg`ab d
○ N` ab ovbw`‑^`e`dkw peb|bvg`abv`g~âecpabv Wi wp
fbw` niwdiepy`Wi niwdiepy` `e wp fbw` —
○ N` ab |vid`vb ovbw` gkenigikeba w` ‑Wi wp fbw` niwdiepy` `e :< d y wp ba~pvbbpd`e~b `e ><d! w` gkei`v~` `e pegpbnvbnk— y oimâenkekw rp` ab |babfvbgab` `w gpbnvbnk kf~`e`dkw ab |vid`vb`gpbgi÷e=
○ J`dkw n` |`ewbv `e peb |vk|i`nbn n` akw
abnkw n` pe gpbnvbnk○ Gi`v~k rp` wke icpba w! ap`ck ~`e`dkw=○ * z ‗ :<) 4 *y ( ><) … z ‗ :< 4 y ( >< … … z‗ y 4 26< *2ª `g)
○ N` ab w`cpenb ovbw` gkenigikeba w` ‑Wi niwdiepy` `e ?< d wp fbw` y wp ba~pvbbpd`e~b `e 6<d! `e~keg`w wp âv`bniwdiepy` `e ><<d6 — y oimâenkekw rp` ab
|babfvb gab` `w âv`b kf~`e`dkw abw`cpenb gpbgi÷e
○ J`dkw n` ~`e`v `e gp`e~b rp` `a âv`b n`ab |bvg`ab `w zy! ap`ck=
○ * z ‗ ?<)³*y ( 6<) 4 zy ‗ ><< …○ … zy ( 6<z ‗ ?<y ‗ 26<< 4 zy ‗ ><< …○ … zy ( 6<z ‗ ?<y ‗ zy 4 ‗ ><< ( 26<< …○ … 6<z ‗ ?<y 4 :<< … niini`enk |kv 6< …
y(><
z ‗ :<
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\ 33 \ f 00
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\c 33 \vkf= 00^`e`dkw peb |bvg`ab v`g~becpabv Wi wp fbw` niwdiepy` `e :< d y wp ba~pvbbpd`e~b `e ><d! w` gkei`v~` `e pe gpbnvbnk Wi niwdiepy` `e ?< d wp fbw` ywp ba~pvb bpd`e~b `e 6< d! `e~keg`w wp âv`b niwdiepy` `e ><< d6 »Gpâa`wwke abw nid`ewike`w n` ab |bvg`ab;
○ z$ Fbw` n` ab|bvg`ab d
○ y$ Ba~pvb n` ab|bvg`ab d
○ z ‗ 7y 4 >< *6ª`g)
○ Ap`ck kf~`e`dkw `awiw~`db=
○ z ‗ y 4 26< z ‗ y4 26<
○ z ‗ 7y 4 >< ‗ z (7y 4 ‗ ><
○ 6y 4 :<○ Ap`ck y 4 :<+6 … y
○ N` ab |vid`vb ovbw` gkenigikeba w` ‑Wi wp fbw` niwdiepy` `e :< d y wp ba~pvbbpd`e~b `e ><d! w` gkei`v~` `e pegpbnvbnk— y oimâenkekw rp` ab |babfvbgab` `w gpbnvbnk kf~`e`dkw ab |vid`vb`gpbgi÷e=
○ J`dkw n` |`ewbv `e peb |vk|i`nbn n` akw
abnkw n` pe gpbnvbnk○ Gi`v~k rp` wke icpba w! ap`ck ~`e`dkw=○ * z ‗ :<) 4 *y ( ><) … z ‗ :< 4 y ( >< … … z‗ y 4 26< *2ª `g)
○ N` ab |vid`vb ovbw` gkenigikeba w` ‑Wi niwdiepy` `e ?< d wp fbw` y wp ba~pvbbpd`e~b `e 6<d! `e~keg`w wp âv`bniwdiepy` `e ><<d6 — y oimâenkekw rp` ab
|babfvb gab` `w âv`b kf~`e`dkw abw`cpenb gpbgi÷e
○ J`dkw n` ~`e`v `e gp`e~b rp` `a âv`b n`ab |bvg`ab `w zy! ap`ck=
○ * z ‗ ?<)³*y ( 6<) 4 zy ‗ ><< …○ … zy ( 6<z ‗ ?<y ‗ 26<< 4 zy ‗ ><< …○ … zy ( 6<z ‗ ?<y ‗ zy 4 ‗ ><< ( 26<< …○ … 6<z ‗ ?<y 4 :<< … niini`enk |kv 6< …
y(><
z ‗ :<
z
y
2?< d
>< d
5/12/2018 Solución a los problemas propuestos en 4º ESO B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/solucion-a-los-problemas-propuestos-en-4o-eso-b 33/49
\c 33 \vkf= 0?Jbaab abw nid`ewike`w n` pe v`g~âecpak gpyb nibckeba din` 27 d! y wp âv`b!?< d6
○ N`oieidkw abwieg÷cei~bw b |bv~ivn`a `epegibnk! bwä=
○ z$ Fbw` n`av`g~âecpak d○ y$ Ba~pvb n`av`g~âecpak d
○ N` ab ovbw` ‑ pev`g~âecpak gpybnibckeba din` 27d — kf~`e`dkw ab|vid`vb gpbgi÷eb|aigbenk `a~`kv`db n`\i~âckvbw=*ji|k~`epwb) 6 4*gb~`~k D) 6 (*gb~`~k d) 6
○ z 6 ( y 6 4 27 6 … z 6 (y 6 4 2?9 *2ª `g)
○ N` ab ovbw` ‑ pev`g~âecpak ! y wp
—
○ N`w|`mbdkw ab ieg÷cei~b ‑y— `e abw`cpenb `gpbgi÷e y rp`nb y 4 ?<+z*kfw`vbv rp` |bvb jbg`v `w~` n`w|`m`j`dkw rpi~bnk ab |kwifa` wkapgi÷e z 4 <! ybrp` |bvb |bwbv ‑z— ba n`ekdiebnkv j`dkw n` wp|ke`v rp` z ≬ < \`vk ekrpi~bdkw eiecpeb |kwifa` wkapgi÷e yb rp`z 4 < ek |p`n` w`v wkapgi÷e)
○ Wpw~i~pidkw `e ab |vid vb `gpbgi÷e ykf~`e`dkw=
○ * ?< + z)6 ( z6 4 2?9…○ `g Vbgikeba *ap`ck j`dkw n` gkd|vkfbv
wkapgike`w rp` kf~`ecbdkw b |bv~iv n``aab)
○ @g Figpbnvbnb8 jbg`dkw `a gbdfik } 4 z6 …
○ }6 ‗ 2?9} (7?<< 4 < `g 6½ cvbnk○ Ξ 4 2>2?2 5 < ~i`e` nkw wkapgike`w V y ≬○ Vbä} n` Ξ `w 229
○ }2 4 608 }6 4 2>>
z
y27 d?< d6
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\c 33 \vkf= 0?Jbaab abw nid`ewike`w n` pe v`g~âecpak gpyb nibckeba din` 27 d! y wp âv`b!?< d6
○ z$ Fbw` n`av`g~âecpak d
○ y$ Ba~pvb n`a
v`g~âecpak d
○ Gkd|vkfbv`dkw `e ab`gpbgi÷e vbgikebabrp`aabw wkapgike`wrp` `e |viegi|ik~i`e`e w`e~ink `e
ab v`bainbn @w~âgabvk rp` j`dkw n`n`w v`gibv abw
○ `g Vbgikeba *ap`ck j`dkw n`gkd|vkfbv wkapgike`w rp`kf~`ecbdkw)
○ @g Figpbnvbnb8 jbg`dkw `agbdfik } 4 z6 …
○ }6 ‗ 2?9} (7?<< 4 < `g 6½ cvbnk
○ Ξ 4 2>2?2 5 <○ ~i`e` nkw wkapgike`w V y ≬○ Vbä} n` Ξ `w 229○ }2 4 608 }6 4 2>>
z
y27 d?< d6
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\c 33 \vkf= 0?Jbaab abw nid`ewike`w n` pe v`g~âecpak gpyb nibckeba din` 27 d! y wp âv`b!?< d6
○ z$ Fbw` n`av`g~âecpak d
○ y$ Ba~pvb n`a
v`g~âecpak d
○ Gkd|vkfbv`dkw `e ab`gpbgi÷e vbgikebabrp`aabw wkapgike`wrp` `e |viegi|ik~i`e`e w`e~ink `e
ab v`bainbn @w~âgabvk rp` j`dkw n`n`w v`gibv abw
○ Ap`ck j`dkw n` gkd|vkfbv abwwkapgike`w *z2!y2) y *z7!y7) `e ab`gpbgi÷e vbgikeba=
○ _`dkw rp` bdfbw! z2
○ y z7! wke wkapgike`w○ âainbw |kv ~be~k ~`e`dkw=○ WKAPGI×E= Ab fbw`○ n`a v`g~âecpak din`○ 0 d y ab ba~pvb 26 d
○ K ab fbw` din` 26 d y wp ba~pvb 0d
z
y27 d?< d6
0 d
26 d
0 d
26 d
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\c 33 \vkf= 03@a abnk n` pe vkdfk din` 0 gd! y wp âv`b! 6> gd6 Gbagpab ab akeci~pn n` wpwnibckeba`w
○ Gkdk |kn`dkw v`|v`w`e~bv pe vkdfk y`v ak rp` ekw |in`e! j`dkw n` jbg`vakbe~`w n` n`oieiv abw ieg÷cei~bw
○ _`dkw rp` w` ekw jbfab `e `a `epegibnkn`a abnk! y n` abw nibckeba`w n`a vkdfk
○ Ab v`abgi÷e `e~v `aakw `w rp` okvdbe pe~vibecpak v`g~âecpak
○ ap`ck b|bv`g vâ `a ~`kv`db n` \i~âckvbwv`abgikeâenkakw! gkdk yb j`dkw j`gjk `e
k~vkw `m`vgigikw bdkw b n`oieiv z ` y n`okvdb gke`ei`e~` |bvb rp` ekw b|bv`}gbpebw `gpbgike`w wie n`ekdiebnkv`w yoâgia`w n` pwbv
○ N`oieidkw bwä abw ieg÷cei~bw gkdk=○ z$ DI^BN n` ab akeci~pn n` ab nibckeba
dbykv n`a vkdfk gd○ y$ DI^BN n` ab akeci~pn n` ab nibckeba
d`ekv n`a vkdfk gd○ Kfw vb rp` `a `epegibnk `d|i`}b |kv ‑`a abnk n` pe vkdfk — `a j`gjk n`rp` ‑`a— w`b pe n`~`vdiebe~` bv~igpakn`~`vdiebnk ekw rpi`v` n`giv rp` abakeci~pn n` ~knkw akw abnkw n`a vkdfk `w abdiwdb \kv ak ~be~k nb icpba rp` ~viâecpak
w`òba`dkw
abnk
z
y
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\c 33 \vkf= 03@a abnk n` pe vkdfk din` 0 gd! y wp âv`b! 6> gd6 Gbagpab ab akeci~pn n` wpwnibckeba`w
○ z$ DI^BN n` ab akeci~pn n` ab nibckebadbykv n`a vkdfk gd
○ y$ DI^BN n` ab akeci~pn n` ab nibckebad`ekv n`a vkdfk gd
○ Ab wkapgi÷e n a |vkfa`db w`vâ 6z y 6y○ N` ab ovbw`= ‑`a abnk n` pe vkdfk din` 0
gd — kf~`e`dkw ab |vid`vb `gpbgi÷e|kv `a ~`kv`db n` \i~âckvbw=
○ z6 ( y6 4 06 … z6 ( y6 4 60 *2ª `g)
○ N` ab ovbw`= ‑ y wp âv`b! 6> gd6 — w`n`npg` ab w`cpenb `gpbgi÷e○ Wi ek ~` bgp vnbw n` ab o÷vdpab n a âv`b n`
pe vkdfk oämb~` `e `a nifpmk=○ Ap`ck kf~`e`dkw rp` `a âv`b `w=
○ Bwä ab w`cpenb gpbgi÷e `w=
abnk
z
y
6y
6z
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\c 33 \vkf= 03@a abnk n` pe vkdfk din` 0 gd! y wp âv`b! 6> gd6 Gbagpab ab akeci~pn n` wpwnibckeba`w
○ z$ DI^BN n` ab akeci~pn n` ab nibckebadbykv n`a vkdfk gd
○ y$ DI^BN n` ab akeci~pn n` ab nibckebad`ekv n`a vkdfk gd
○ Kf~`e`dkw a wiw~`db ek aie`ba=○ z6 ( y6 4 60○ zy 4 26○ Wi n`w| mbdkw `e ab w`cpenb `gpbgi÷e ab
bvibfa` y! rp`nb y 4 26 + z *Kfw`vbv rp`
|bvb jbg`v `w~` n`w|`m` j`dkw rpi~bnk ab|kwifa` wkapgi÷e z 4 <! yb rp` |bvb |bwbv ‑z— ba n`ekdiebnkv j`dkw n` wp|ke`v rp` z ≬ < \`vk ek rpi~bdkw eiecpeb|kwifa` wkapgi÷e yb rp` z 4 < ek |p`n` w`v wkapgi÷e)
○ Wpw~i~pidkw `e ab |vid vb `gpbgi÷e ykf~`e`dkw=
○ z6 ( *26 + z)6 4 60…
○ `g Vbgikeba *ap`ck j`dkw n` gkd|vkfbv wkapgike`w rp` kf~`ecbdkw b |bv~iv n``aab)
abnk
z
y
6y
6z
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\c 33 \vkf= 03@a abnk n` pe vkdfk din` 0 gd! y wp âv`b! 6> gd6 Gbagpab ab akeci~pn n` wpwnibckeba`w
○ z$ DI^BN n` ab akeci~pn n` ab nibckebadbykv n`a vkdfk gd
○ y$ DI^BN n` ab akeci~pn n` ab nibckebad`ekv n`a vkdfk gd
○ Kf~`e`dkw a wiw~`db ek aie`ba=○ z6 ( y6 4 60○ zy 4 26○ Wi n`w| mbdkw `e ab w`cpenb `gpbgi÷e ab
bvibfa` y! rp`nb y 4 26 + z *Kfw`vbv rp`
|bvb jbg`v `w~` n`w|`m` j`dkw rpi~bnk ab|kwifa` wkapgi÷e z 4 <! yb rp` |bvb |bwbv ‑z— ba n`ekdiebnkv j`dkw n` wp|ke`v rp` z ≬ < \`vk ek rpi~bdkw eiecpeb|kwifa` wkapgi÷e yb rp` z 4 < ek |p`n` w`v wkapgi÷e)
○ Wpw~i~pidkw `e ab |vid vb `gpbgi÷e ykf~`e`dkw=
○ z6 ( *26 + z)6 4 60…
○ `g Vbgikeba *ap`ck j`dkw n` gkd|vkfbv wkapgike`w rp` kf~`ecbdkw b |bv~iv n``aab)
○ @g figpbnvbnb jbg`dkw `a gbdfik } 4z6
○ Rp`nbenk= }6 ‗ 60} (2>> 4 < `g 6½ cvbnk○ Ξ 4 >9 5 < ~i`e` nkw wkapgike`w V y ≬○ Vbä} n` Ξ `w 3○ }2 4 2?8 }6 4 9
○ Gkd|vkfbv`dkw `e ab `gpbgi÷e vbgikebabrp`aabw wkapgike`w rp` `e |viegi|ik ~i`e`ew`e~ink `e ab v`bainbn @w~â gabvk rp` j`dkw n`n`w|v`gibv abw wkapgike`w *z6!y6) y *z>!y>) |kv rp`wp|kenväb peb akeci~pn e`cb~ib
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http://slidepdf.com/reader/full/solucion-a-los-problemas-propuestos-en-4o-eso-b 40/49
\c 33 \vkf= 03@a abnk n` pe vkdfk din` 0 gd! y wp âv`b! 6> gd6 Gbagpab ab akeci~pn n` wpwnibckeba`w
○ z$ DI^BN n` ab akeci~pn n` ab nibckebadbykv n`a vkdfk gd
○ y$ DI^BN n` ab akeci~pn n` ab nibckebad`ekv n`a vkdfk gd
○ Ap`ck j`dkw n` gkd|vkfbv abw wkapgike`w*z2!y2) y *z7!y7) `e ab `gpbgi÷e vbgikeba=
○ _`dkw rp` bdfbw! z2 y z7! wke wkapgike`wâainbw \bvb ab `gpbgi÷e vbgikeba
○ \`vk j`dkw n` n`w|v`gibv ab wkapgi÷e *z7!y7)
○ \p`w j`dkw wp|p`w~k rp` z 5 y y `e `w~b
wkapgi÷e ek kgpvv`○ \kv ~be~k ab ýeigb wkapgi÷e |kwifa` `w *z2!y2)
○ z24> 8 y247
○ @g figpbnvbnb jbg`dkw `a gbdfik } 4z6
○ Rp`nbenk= }6 ‗ 60} (2>> 4 < `g 6½ cvbnk○ Ξ 4 >9 5 < ~i`e` nkw wkapgike`w V y ≬○ Vbä} n` Ξ `w 3○ }2 4 2?8 }6 4 9
○ Gkd|vkfbv`dkw `e ab `gpbgi÷e vbgikebabrp`aabw wkapgike`w rp` `e |viegi|ik ~i`e`ew`e~ink `e ab v`bainbn @w~â gabvk rp` j`dkw n`n`w|v`gibv abw wkapgike`w *z6!y6) y *z>!y>) |kv rp`wp|kenväb peb akeci~pn e`cb~ib
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\c 33 \vkf= 03@a abnk n` pe vkdfk din` 0 gd! y wp âv`b! 6> gd6 Gbagpab ab akeci~pn n` wpwnibckeba`w
○ z$ DI^BN n` ab akeci~pn n` ab nibckebadbykv n`a vkdfk gd
○ y$ DI^BN n` ab akeci~pn n` ab nibckebad`ekv n`a vkdfk gd
○ z24> 8 y247○ WKAPGI×E=○ Ab nibckeba dbykv din`○ 6z 46 ³ > 4: gd○ y ab nibckeba d`ekv din`○ 6y 4 6 ³ 7 4 ? gd
abnk
z
y
6y
6z
>gd
7gd :gd
?gd
5/12/2018 Solución a los problemas propuestos en 4º ESO B - slidepdf.com
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\c 33 \vkf= 0:Ab wpdb n` abw nkw giovbw n` pe eýd`vk `w : Wi ba eýd`vk w` a` bòbn`e 2:peinbn`w! `a eýd`vk v`wpa~be~` `w~â okvdbnk |kv abw diwdbw giovbw `e kvn`eie`vwk »Gpâa `w `w` eýd`vk;
○ Oimbvkw rp` `a|vkfa`db `d|i`}bjbfabenk n` abw giovbwn` pe eýd`vk y ab|v`cpe~b ekw |in`gbagpabv `w` eýd`vkJby nkw ~i|kw n`|vkfa`dbw n` eýd`vkw!`e pek w÷ak jbg`ed`egi÷e b nkw eýd`vkw‑z— ` ‑y— rp` wke akwrp` jby rp` gbagpabv8`e akw k~vkw w÷ak jbg`d`egi÷e b pe eýd`vk yjbfab n` wpw giovbw!`w `a eýd`vk `a rp`jby rp` gbagpabv |`vkb |bv~iv n`a gâagpakn` wpw giovbw! `wn`giv abw ieg÷cei~bwwke abw giovbw rp`okvdbe `a eýd`vk @w~`|vkfa`db `w pe `m`d|akgabvk n`a w`cpenk~i|k Bn`v~iv rp` `e`w~` w`cpenk ~i|k n`|vkfa`db `w dpy pwbnkrp` wi pe eýd`vk ~i`e`giegk giovbw! |kv`m`d|ak `a 0?7>7! `wk`e peinbn`w `w`rpiba`e~` b=
○ Ekw g`e~vbdkw `e `a |vkfa db y oimbvkw rp`ekw |in`e pe eýd`vk n` nkw giovbw w`b e `aeýd`vk fpwgbnk8 e 4 zy8 wi`enk=
○ z$ ab giovb n` abw n`g`ebw n`a eýd`vk e○ y$ ab giovb n` abw peinbn`w n a eýd`vk e○ N` ab ovbw` ‑Ab wpdb n` abw nkw giovbw n` pe
eýd`vk `w : — kf~`e`dkw ab |vid`vb`gpbgi÷e rp` `w= z(y 4 : *2ª `g)
○ N` ab ovbw` ‑Wi ba eýd`vk w` a` bòbn`e 2: peinbn`w! `a eýd`vk v`wpa~be~` `w~â okvdbnk |kv abw diwdbw giovbw `e kvn`e ie`vwk— kf~`e`dkw ab w`cpenb `gpbgi÷e \vid`vk»g÷dk wpdbdkw 2: peinbn`w ba eýd`vkfpwgbnk e;! |p`w |kei`enk `a eýd`vk `eokvdb n` peinbn`w gkdk idkw be~`w=
○ e 4 zy 4 z ³ 2< ( y 4 2<z ( y○ e (2: 4 zy (2: 4 z ³ 2< ( y ( 2: 4 2<z ( y(2:
○ W` ekw nig` rp` — `a eýd`vk v`wpa~be~``w~â okvdbnk |kv abw diwdbw giovbw `e kvn`eie`vwk— ap`ck wi `w~` eýd`vk `w d! wpwgiovbw wke ‑z— ` ‑y—! |`vk d 4 yz Gkdkj`dkw z|v`wbnk e `e peinbn`w! j`dkw n`jbg`v ak diwdk gke d! `w~k `w= d 4 yz 4 y ³2< ( z 4 2< ( z
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\c 33 \vkf= 0:Ab wpdb n` abw nkw giovbw n` pe eýd`vk `w : Wi ba eýd`vk w` a` bòbn`e 2:peinbn`w! `a eýd`vk v`wpa~be~` `w~â okvdbnk |kv abw diwdbw giovbw `e kvn`eie`vwk »Gpâa `w `w` eýd`vk;
○ Ap`ck ab w`cpenb`gpbgi÷e rp`nb=
○ e ( 2: 4 d`z|v`wbnk `epeinbn`w=
○ 2<z (y (2: 4 2<y(z …
…2<z (y ‗ 2<y ‗ z 4
‗2: …9z ‗ 9y 4 ‗2: … niini`enk |kv 9 … z‗ y 4 ‗6 *6ª `g)
○ Ap`ck ~`e`dkw `awiw~`db aie`ba=
○ z ( y 4 :○ z ‗ y 4 ‗6
○ 6z 4 ? … z 4 ? + 6… z 4 7○ y 4 : ‗ 7 … y 4 0○ Wkapgi÷e= `aeýd`vk fpwgbnk `we 4 70
○ \bvb akw bdbe~`wn`a n`~baa`!
○ Ekw g`e~vbdkw `e `a |vkfa db y oimbvkw rp`ekw |in`e pe eýd`vk n` nkw giovbw w`b e `aeýd`vk fpwgbnk8 e 4 zy8 wi`enk=
○ z$ ab giovb n` abw n`g`ebw n`a eýd`vk e○ y$ ab giovb n` abw peinbn`w n a eýd`vk e○ N` ab ovbw` ‑Ab wpdb n` abw nkw giovbw n` pe
eýd`vk `w : — kf~`e`dkw ab |vid`vb`gpbgi÷e rp` `w= z(y 4 : *2ª `g)
○ N` ab ovbw` ‑Wi ba eýd`vk w` a` bòbn`e 2: peinbn`w! `a eýd`vk v`wpa~be~` `w~â okvdbnk |kv abw diwdbw giovbw `e kvn`e ie`vwk— kf~`e`dkw ab w`cpenb `gpbgi÷e \vid`vkg÷dk wpdbdkw 2: peinbn`w ba eýd`vkfpwgbnk e! |p`w |kei`enk `a eýd`vk `eokvdb n` peinbn`w gkdk idkw be~`w=
○ e 4 zy 4 z ³ 2< ( y 4 2<z ( y○ e (2: 4 zy (2: 4 z ³ 2< ( y ( 2: 4 2<z ( y(2:
○ W` ekw nig` rp` — `a eýd`vk v`wpa~be~``w~â okvdbnk |kv abw diwdbw giovbw `e kvn`eie`vwk— ap`ck wi `w~` eýd`vk `w d! wpwgiovbw wke ‑z— ` ‑y—! |`vk d 4 yz Gkdkj`dkw z|v`wbnk e `e peinbn`w! j`dkw n`jbg`v ak diwdk gke d! `w~k `w= d 4 yz 4 y ³2< ( z 4 2< ( z
5/12/2018 Solución a los problemas propuestos en 4º ESO B - slidepdf.com
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\c 33 \vkf= 09Abw nkw giovbw n` pe eýd`vk w` nio`v`egibe `e peb peinbn Wi niinidkw nigjkeýd`vk `e~v` `a v`wpa~bnk n` ie`v~iv wpw giovbw! `a gkgi`e~` `w 2¾6 »Gpâa `w `w`eýd`vk;
○ Fpwgbdkw pe eýd`vk n` nkw giovbw! w`b e `aeýd`vk fpwgbnk8 e 4 zy8 wi`enk=
○ z$ ab giovb n` abw n`g`ebw n`a eýd`vk e○ y$ ab giovb n` abw peinbn`w n`a eýd`vk e○ _bdkw b n`w~bgbv pe n`~baa 8 n` ab ovbw` ‑Wi
niinidkw nigjk eýd`vk `e~v` `a v`wpa~bnk n`ie`v~iv wpw giovbw! `a gkgi`e~` `w 2¾6—
○ W` ekw nig` rp` — `a v`wpa~bnk n` ie`v~iv wpw giovbw— ap`ck wi `w~` eýd`vk `w d! wpwgiovbw wke ‑z— ` ‑y—! |`vk d 4 yz
○ \vid`vk! gkd`e~bv rp` e y d wke eýd`vkweb~pvba`w! |kv ~be~k |kwi~ikw
○ W`cpenk! wi ~`e`dkw e + d 4 2¾6 … e + d 52 … e 5 d … zy 5 yz
○ @w~k ýa~idk `w ab gkd|bvbgi÷e `e~v nkw
eýd`vkw eb~pvba`w n` nkw giovbw Wbf`dkwrp` `a eýd`vk zy `w dbykv rp` yz wi z 5 y *kfw`vb rp` z≬y) \ke`vkw `m`d|akw= ?0 50?8 :> 5 >:
○ N` ab ovbw` ‑Abw nkw giovbw n` pe eýd`vk w`nio`v`egibe `e peb peinbn— y n`a n`~baa`be~`w gkd`e~bnk kf~`e`dkw ab |vid`vb`gpbgi÷e rp` `w= z 4 y ( 2 *2ª `g)
○ _bdkw b n`w~bgbv pe n`~baa`8 n` ab ovbw` ‑Wi niinidkw nigjk eýd`vk `e~v` `a v`wpa~bnk n`ie`v~iv wpw giovbw! `a gkgi`e~` `w 2¾6— kf~`e`dkw ab w`cpenb gpbgi÷e e + d 4 2¾6 …… zy + yz 4 2¾6
○ \bvb wbgbv |bv~ink b `w~b `z|v`wi÷e |ke`dkwakw eýd`vkw `e okvdb n` peinbn`w gkdk
idkw be~`w=○ e 4 zy 4 z ³ 2< ( y 4 2<z ( y○ d 4 yz 4 y ³ 2< ( z 4 2<y ( z
○ @gpbgi÷e vbgikeba ap`ck abw wkapgike`w
kf~`einbw b |bv~iv n` `aab jbfvâe n` w`v gkd|vkfbnbw Wid|aioigbdkw ab `z|v`wi÷e=
○ 2<z ( y 4 2¾6 ³ *2<y ( z) … 2<z ( y 4 26y (2¾6z … 2<z ( y ‗ 26y ‗ 2¾6z 4 < … :¾:z ‗ 22y4 < *6ª `g)
○ Ap`ck ~`e`dkw `a wiw~`db aie`ba=○ z 4 y ( 2○ :¾:z ‗ 22y 4 <
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\c 33 \vkf= 09Abw nkw giovbw n` pe eýd`vk w` nio`v`egibe `e peb peinbn Wi niinidkw nigjkeýd`vk `e~v` `a v`wpa~bnk n` ie`v~iv wpw giovbw! `a gkgi`e~` `w 2¾6 »Gpâa `w `w`eýd`vk;
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○ z$ ab giovb n` abw n`g`ebw n`a eýd`vk e○ y$ ab giovb n` abw peinbn`w n`a eýd`vk e○ Gkdk ab ieg÷cei~b ‑z— `w~â n`w|`mbnb `e ab
|vid`vb `gpbgi÷e fbw~b gke wpw~i~pivab `e abw`cpenb=
○ :¾: ³ *y (2) ‗ 22y 4 < … :¾:y ( :¾: ‗ 22y 4 <… … :¾:y ‗ 22y 4 ‗ :¾: … ‗ 6¾6y 4 ‗ :¾: … …6¾6y 4 :¾: … y 4 :¾: + 6¾6 … y 4 >
○ Ap`ck z4 > ( 2 … z 4 0○ Wi jbg`dkw ab gkd|vkfbgi÷e `e ab `gpbgi÷e
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idkw be~`w=○ e 4 zy 4 z ³ 2< ( y 4 2<z ( y○ d 4 yz 4 y ³ 2< ( z 4 2<y ( z
○ @gpbgi÷e vbgikeba ap`ck abw wkapgike`w
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○ Ap`ck ~`e`dkw `a wiw~`db aie`ba=○ z 4 y ( 2○ :¾:z ‗ 22y 4 <
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\c 33 \vkf= ?<Jbaab `a vbnik y ab c`e`vb~vi} n` pe gkek rp` ~i`e` 20 gd n` ba~pvb y gpyb âv`bab~`vba `w n` 27?ό gd6
○ N`oieidkw abw ieg÷cei~bw b |bv~iv n`a`epegibnk=
○ v$ Vbnik n`a gkek gd○ c$ c`e`vb~vi} n a gkek gd○ @a âv`b ab~ vba n` pe gkek `w `a âv`b n` peb
w`ggi÷e n` pe gävgpak |kv ~be~k
○ _i`enk ab w`cpenb idbc`e ~`e`dkw rp` `w=
○ Ap`ck Âv`b ab~`vba n`a gkek ≢ ό³c³v ○ \kv k~vk abnk j`dkw n` ~vbfbmbv gke ab ba~pvb
rp` wi a` |`cbdkw pe gkv~` ba w`cd`e~kn`wn` wp év~ig` y n` okvdb |`v|`enigpabv bawp fbw` v`wpa~b `a ~viâecpak nifpmbnk
○ Pe ~viâecpak v`g~âecpak Ap`ck b|bv`g` `a~`kv`db n` \i~âckvbw
20 gd
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v
\ 33 \ f ?<
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\c 33 \vkf= ?<Jbaab `a vbnik y ab c`e`vb~vi} n` pe gkek rp` ~i`e` 20 gd n` ba~pvb y gpyb âv`bab~`vba `w n` 27?ό gd6
○ N`oieidkw abw ieg÷cei~bw b |bv~iv n`a`epegibnk=
○ v$ Vbnik n`a gkek gd○ c$ c`e`vb~vi} n a gkek gd○ N` ab ovbw` ‑pe gkek rp` ~i`e` 20 gd n`
ba~pvb — y b|aigbenk `a ~`kv`db n` \i~âckvbw~`e`dkw=
○ c6 4 v 6 ( 206 … c6 ‗ v 6 4 660 *2ª `g)○ N` ab ovbw` ‑pe gkek rp` ~i`e` y gpyb
âv`b ab~`vba `w n` 27? ό — y wbfi`enk rp` `aÂv`b ab~`vba n`a gkek ≢ ό³c³v ○ Kf~`e`dkw ab w`cpenb `gpbgi÷e=○ ό³c³v 4 27? ό … Niini`enk |kv ό … cv 4 27?○ ^`e`dkw `a wiw~`db ek aie`ba=○ c6 ‗ v 6 4 660○ cv 4 27?○ N`w|`mbdkw ‑c— `e ab w`cpenb `gpbgi÷e!
yb wbf`dkw rp` v ≬<! yb rp` cv 4 27?! gke akgpba ba jbg`v `a n`w|`m` ek niinidkw |kv g`vkei rpi~bdkw eiecpeb |kwifa` wkapgi÷e n`a|vkfa`db
○ c 4 27? + v … wpw~i~pidkw `e ab w`cpenb `g20 gd
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\c 33 \vkf= ?<Jbaab `a vbnik y ab c`e`vb~vi} n` pe gkek rp` ~i`e` 20 gd n` ba~pvb y gpyb âv`bab~`vba `w n` 27?ό gd6
○ N`oieidkw abw ieg÷cei~bw b |bv~iv n`a`epegibnk=
○ v$ Vbnik n`a gkek gd○ c$ c`e`vb~vi} n`a gkek gd○ N` ab ovbw` ‑pe gkek rp` ~i`e` 20 gd n`
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○ c6 4 v 6 ( 206 …c6 ‗ v 6 4 660 *2ª `g)○ N` ab ovbw` ‑pe gkek rp` ~i`e` y gpyb
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○ ^`e`dkw peb gpbgi÷e figpbnvbnb! jbg`dkw`a gbdfik= v 6 4 }
○ Rp`nbenk= }6 (660} ‗ 2:>9? 4 < `g 6½cvbnk○ Ξ 4 26>?<9 5 < ~i`e` nkw wkapgike`w V y ≬○ Vbä} n` Ξ `w 707○ }2 4 ‗ 6:98 }6 4 ?>
○ Ab wkapgi÷e *v 6! c6) j`dkw n` n`w|v`gibvab ybrp` `e ab v`bainbn ek ~i`e` w`e~ink pebakeci~pn e`cb~ib Gkd|vkfbdkw ab wkapgi÷e*v 2! c2) `e ab `gpbgi÷e vbgikeba=
\ 33 \ f ?<
5/12/2018 Solución a los problemas propuestos en 4º ESO B - slidepdf.com
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\c 33 \vkf= ?<Jbaab `a vbnik y ab c`e`vb~vi} n` pe gkek rp` ~i`e` 20 gd n` ba~pvb y gpyb âv`bab~`vba `w n` 27?ό gd6
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○ Ab wkapgi÷e *v 6! c6) j`dkw n` n`w|v`gibvab ybrp` `e ab v`bainbn ek ~i`e` w`e~ink pebakeci~pn e`cb~ib Gkd|vkfbdkw ab wkapgi÷e*v 2! c2) `e ab `gpbgi÷e vbgikeba=
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