George PólyaNació: 13 Dec 1887 in Budapest, HungaryMurió: 7 Sept 1985 in Palo Alto, California, USA
Para involucrar a sus estudiantes en la solución de problemas, generalizó su método en los
siguientes cuatro pasos:
1.- Entender el problema.
2.- Configurar un plan
3.- Ejecutar el plan
4.- Probar el resultado.
Este método está enfocado a la solución de problemas matemáticos, por ello nosparece importante señalar alguna distinción entre "ejercicio" y "problema". Pararesolver un ejercicio, uno aplica un procedimiento rutinario que lo lleva a larespuesta. Para resolver un problema, uno hace una pausa, reflexiona y hastapuede ser que ejecute pasos originales que no había ensayado antes para dar larespuesta
Paso 1: Entender el Problema.
Paso 2: Configurar un Plan.
Paso 3: Ejecutar el Plan.
Paso 4: Mirar hacia atrás.
{¿Entiendes todo lo que dice?
1.-Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura).2.Usar una variable.
Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso.
{¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema?
{ ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?
3.Resolver un problema similar más simple
{No tengas miedo de
volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito.
{¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general?
{¿Distingues cuáles son los datos?
4.Hacer una figura. {¿Adviertes una solución más sencilla?
{¿Sabes a qué quieres llegar? 5.Hacer un diagrama
{¿Hay suficiente información?{¿Hay información extraña?
6.Usar razonamiento indirecto
{¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?
7.Usar razonamiento directo
1. La suma de dos números es 18 y la de sus cuadrados es 180, ¿Cuáles son los números?
Entender el problemaIdentificación de variables
Configurar un plan
Relación de variables
Ejecutar el plan
Resolver las funciones o ecuaciones
Entender el problemaIdentificación de variables
Configurar un planRelación de variables
Ejecutar el planResolver las funciones o ecuaciones
h= altura en (m)t= tiempo en (s)
3. Determina las dimensiones de un rectángulo, si superímetro es de 280m y su área es de 4000m2
Entender el problemaIdentificación de variables
Configurar un planRelación de variables
Ejecutar el planResolver las funciones o ecuaciones
Base = xAltura = yPerímetro= 280mÁrea = 4000m2
P = x+x+y+y = 2x+2yA = x.y
2x + 2y = 280(x) ( y) = 4000
x
y
4. La base de un triángulo es 3 veces su altura. Su área es de 150 m2,¿Cuáles son sus dimensiones de la base y la altura
Entender el problemaIdentificación de variables
Configurar un planRelación de variables
Ejecutar el planResolver las funciones o ecuaciones
b = ?h= ?Datosb=3hÁrea= 150m2
Fórmulas
A = (b x h)/2 1
b=3h 2Sustituyendo 2 en 1150 = (3h x h)/2
3h2 = 300
3h2 = 300
h2 = 300/3
h =
h = 10mb= 3h = 3(10) = 30m
1. La suma de un número y su reciproco es . Hallar los números
Entender el problemaIdentificación de variables
Configurar un planRelación de variables
Ejecutar el planResolver las funciones o ecuaciones
X1/X X + 1/X = 26/5 X2 + 1 = 26/5 X
X2 - 26/5 X + 1 = 0
5X2 – 26X +5 = 0
Por fórmula generala= 5 b= -26 C = 5
Entender el problemaIdentificación de variables
Configurar un planRelación de variables
Ejecutar el planResolver las funciones o ecuaciones
b = Xh = X + 2
X2 + 2X – 80 = 0(X + 10 ) (X – 8 ) = 0(X + 10 ) = 0 X1 = - 10(X – 8 ) = 0 X2 = 8
b = 8h = X + 2 = 8 + 2 = 10
1.- La altura de un rectángulo es 2 metros mayor que su base. Hallar sus dimensiones sabiendo que su área es:a) 80 metros cuadrados
80m2
Entender el problemaIdentificación de variables
Configurar un planRelación de variables
Ejecutar el planResolver las funciones o ecuaciones
b = Xh = X + 2Cada dimensión aumenta en 2m.b = X +2h = X + 2 + 2 = X + 4
X2 + 6X – 40 = 0( x +10)(x – 4 ) = 0
( x +10) = 0 X1 = - 10 (x – 4 ) = 0 X2 = 4
b= X + 2h = X + 4 Los valores negativos se descartanb= X + 2 = 4 + 2 = 6h = X + 4 = 4 + 4 = 8b= 6h= 8
b) 48 metros cuadrados cuando cada dimensión se aumenta en 2 metros
48m 2
Entender el problemaIdentificación de variables
Configurar un planRelación de variables
Ejecutar el planResolver las funciones o ecuaciones
b = 2Xh = X + 2
c) 30 metros cuadrados si se duplica su base
30 m 2
Entender el problemaIdentificación de variables
Configurar un planRelación de variables
Ejecutar el planResolver las funciones o ecuaciones
b = 2Xh = X + 2 - 5
d) Aumenta en 70 metros cuadrados cuando se disminuye su altura en 5 metros y se duplica su base
70 m 2
La sala de la casa de Ronaldo es 2 ft más larga que ancha y tiene un área de 168 ft2
.¿Cuáles son las dimensiones de esa habitación?
Entender el problemaIdentificación de variables
Configurar un planRelación de variables
Ejecutar el planResolver las funciones o ecuaciones
a = XL = X + 2 A = 168 ft 2
168 ft2
Problema: A partir de una pieza cuadrada de hoja de lata o cartón, se desea
construir una caja con base cuadrada y sin tapa, quitando cuadrados en las
esquinas de 2cm por lado y doblando hacia arriba los lados, si la caja debe tener
98 cm 3 ¿ Cuáles son las dimensiones de la pieza de hoja de lata o cartón qué
deberá usarse?
Largo(cm)
Ancho(cm)
Área (cm2)
Altura(cm)
Volumen(cm3)
Dimensiones de la placa (cm2)
1 49 49 2 98 5 X 53 = 265
2 24 48 2 96 6 x 28 = 168
3 16 48 2 96 7 x 20 = 140
4 12 48 2 96 8 x 16 = 128
5 9 45 2 90 9 x 13 = 117
6 8 48 2 96 10 x 12 = 120
7 7 49 2 98 11 x 11 = 121
1.- ¿Qué puedes concluir con los datos de la tabla?
2.-¿Con qué dimensiones de la placa se obtiene un mejor rendimiento?R= 11cm x 11cm3.-¿Con qué dimensiones se obtiene mayor volumen?R= 1cm x 49cm y 7 cm x 7 cm4.-¿Qué caja recomendarías fabricar?R= 7 cm x 7 cm5.- El volumen ¿De qué depende?R= Del Área6.- El área ¿De qué depende?R= Del largo y ancho7.- Se cumple lo siguiente:• A mayor área, mayor volumenR= Si se cumple• A mayor dimensión de la placa, mayor volumenR= No se cumple• A mayor dimensión de la placa, mayor áreaR= No se cumple
En matemática, una función (f) es una relación entre un conjuntodado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) deforma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) delcodominio
Dominio
X
Codominio
f(x)
En matemática, Relación es la correspondencia de un primer conjunto,llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, demanera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos delRecorrido o Rango.
Por su parte, una Función es una relación a la cual se añade la condición de que acada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido.
Clasifica las siguientes situaciones en relaciones (R) o funciones ( f )
________ Asientos en un camión------- Personas en una parada de autobús.
________ Número de alumnos --------- Bancas en un salón de clases.
________ El balón de futbol ------------ Partido de futbol.
________ La televisión en una casa-------Integrantes de la familia.
________ El número de tortas en una tienda ------- Ganancias por venderlas
________ El n de padres de familia o tutores_____ n de alumnos de una
escuela
________ Kilos de corte de café______ Salario pagado por el corte
________ Desayunos del comedor _____Alumnos de la escuela
________ Vendedoras del bachillerato_______ Alumnos de la escuela
________ Maestros del bachillerato ________ Plan de estudios (56 Materias
correspondientes al bachillerato)
________ Asignación de áreas verdes_______ Grupos de la escuela
________ Baños de la escuela _______ Alumnos de la escuela
Clasifica las siguientes situaciones en relaciones (R) o funciones ( f )
___R_____ Asientos en un camión------- Personas en una parada de
autobús.
___f_____ Número de alumnos --------- Bancas en un salón de clases.
___f_____ El balón de futbol ------------ Partido de futbol.
___R_____ La televisión en una casa-------Integrantes de la familia.
___f_____ El número de tortas en una tienda ------- Ganancias por
venderlas
___f_____ El n de padres de familia o tutores_____ n de alumnos de
una escuela
___f_____ Kilos de corte de café______ Salario pagado por el corte
___R_____ Desayunos del comedor _____Alumnos de la escuela
___R_____ Vendedoras del bachillerato_______ Alumnos de la escuela
___R_____ Maestros del bachillerato ________ Plan de estudios (56
Materias correspondientes al bachillerato)
___f_____ Asignación de áreas verdes_______ Grupos de la escuela
___R_____ Baños de la escuela _______ Alumnos de la escuela
VALOR 20%
EJEMPLO:
1.- Asientos en un camión------- Personas en una parada de autobús.
El n de personas depende del n de asientos
Variable independiente: Asientos en un camión
Variable dependiente: N de personas
Actividad: De las anteriores situaciones, menciona quien depende de quien.
Identifica la variable dependiente e independienteNúmero de alumnos: Variable independiente
Bancas en un salón de clases: Variable dependiente
El balón de futbol: Variable independiente
Partido de futbol: Variable dependiente
La televisión en una casa: Variable dependiente
Integrantes de la familia: Variable Independiente
El número de tortas en una tienda: Variable independiente
Ganancias por venderlas: Variable dependiente
El n de padres de familia o tutores: Variable dependiente
N de alumnos de una escuela: Variable independiente
Kilos de corte de café: Variable independiente
Salario pagado por el corte: Variable dependiente
Desayunos del comedor: Variable dependiente
Alumnos de la escuela: Variable independiente
Vendedoras del bachillerato: Variable dependiente
Alumnos de la escuela: Variable independiente
Maestros del bachillerato: Variable dependiente
Plan de estudios : Variable independiente
(56 Materias correspondientes al bachillerato)
Asignación de áreas verdes: Variable dependiente
Grupos de la escuela: Variable independiente
Baños de la escuela: Variable dependiente
Alumnos de la escuela: Variable independiente
Número de alumnos: Variable independiente
Bancas en un salón de clases: Variable dependiente
f(x) = X
X = Variable independiente
f(x) = variable independiente
F(x) = x
Si x = 4, entonces f(x) = 4
Si x= 10, entonces f(x) = 10
Si f(x) = 5x2
El balón de futbol: Variable independiente
Partido de futbol: Variable dependiente
La televisión en una casa: Variable dependiente
Integrantes de la familia: Variable Independiente
Actividad: Construir 10 ejemplos, donde se reflejen claramente la variable independiente y dependiente
Ejemplo:
1.- Kilowatts consumidos contra el pago de luz
2.- Calificaciones obtenidas contra promedio
3.- # de faltas a una clase contra aprendizaje obtenido
Vi
Vi
Vi Vd
Vd
Vd