PROFESOR: JULIO C BARRETO G TRAYECTO: INICIAL MUCHOS ÉXITOS
MATEMÁTICA. EVALUACIÓN DEL TEMA III. EXAMEN (Valor 20%)
APELLIDOS Y NOMBRES: _______________________________________________________
CI: ___________ CARRERA: _________FECHA: _________ FIRMA: ___________________
INSTRUCCIONES GENERALES: Este examen es estrictamente individual, cualquier actitud
sospechosa por parte del estudiante es motivo para la anulación del mismo. Por favor responda
únicamente lo que se le está preguntando y de una manera pulcra y muy ordenada.
1. Hallar y representar el valor de ,1z 2z y ,3z donde ,.4612 415302213
1 iiiz
823491502
2 .623 iiiz y ..696 1001467822
3 iiiz Calcular en forma binómica
.231
3
1 zzzz
zz (Valor 4%)
Solución:
Para ,.4612 415302213
1 iiiz realizamos las divisiones:
Tenemos que:
i
ii
ii
ii
iiiiiiz
86
4612
1.4116112
1.4116112
4612
1037553
3103427541534
1
Para ,.623 823491502
2 iiiz realizamos las divisiones:
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Tenemos que:
i
ii
ii
ii
iiiiiiz
43
623
1.612113
1612113
.623
20712350
32074112423754
2
Para ,.696 1001467822
3 iiiz realizamos las divisiones:
Tenemos que:
i
i
i
i
iiiiiiz
912
6`96
1.6916
11619116
.696
25366205
02543366422054
3
Representados:
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Luego:
i
i
i
iii
iii
iii
iii
iii
iiiii
iii
iiiiiiii
iiii
iiiiii
i
i
i
iiii
i
zzzz
zz
3
136147
3
136147
3
121262147
4423
23144
43421443
2
4342144225
150
434214481144
7215072
43724272181144
17215072
43172427281108108144
72965472
4372965472991299121212
9812896126
439812896126912
912
912
86
4391286912
86
2
2
2
231
3
1
2. Hallar las raíces de la ecuación .=x + x 08104 2 (Valor 2%)
Solución:
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Sean 10,4 ba y ,8c usemos la resolvente:
a
acbbx
2
42
Luego, sustituyendo los valores:
4
75
8
752
8
7210
8
17410
8
17410
8
2810
8
12810010
42
8441010 2
i
i
i
x
De aquí, Las raíces son:
4
751
i x
Y
4
752
i x
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3. Verificar para cuales valores de x e y los números complejos iyx
z
2
21 y
iyxz 222 sean iguales. (Valor 2%)
Solución:
Para que ,21 zz se debe cumplir que 21 ReRe zz y .ImIm 21 zz
Esto es:
22
yx
y yx 22
De aquí, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
IIyx
Iyx
22
22
Resolviendo por el método de reducción, multipliquemos la ecuación I por 2:
22
42
22
222
2
yx
yx
yx
yx
1
2
222 xxx
Luego, sustituyendo en la ecuación II este valor de tenemos:
2
3
2
3
32
122221
y
y
y
yy
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4. Realiza las siguientes operaciones: (Valor 10%)
a)
0
00
125
25
4
60
4
57
b) 9912 i
c) 4
2
2
i
i
Solución:
Parte a)
restas.y cocientes ientescorrespond los Realizando4
12005
polar. formaen complejos números de Cociente 4
12005
suma.y productos ientescorrespond los Realizando 4
12005
polar. formaen complejos números de Producto 4
52401
productos. ientescorrespond los Realizando 4
52401
polar. formaen complejos números de Potencia 4
57
4
57
0
00
0
0
0
00
0
00
0
00
0
00
140
125265
125
265
125
25240
125
25240
125
25460
4
125
25
4
60
Parte b)
Convirtamos al número complejo de forma binómica dado por iz 912 a forma polar:
El módulo es:
1522581144912 22 zr
Y el argumento es:
36,11253612
9 0
arctg
Como el número esta en el segundo cuadrante:
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A este ángulo hay que sumarle ,1800 así:
73,48714318036,112536180 0000
Por tanto, la forma polar del número complejo es:
productos. ientescorrespond los Realizando 03844335937
polar. formaen complejos números de Potencia 15
15912
51011288
973,4871439
9
73,487143
9
0
0
0
i
Parte c)
4
2
2
i
i
Convirtamos cada número complejo de forma binómica a forma polar:
El módulo de iz 21 es: 3121222
11 zr
Y el argumento de este número que está en el cuarto cuadrante es:
2.8443243608,5151353602
1 0000
1
arctg
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El módulo de iz 22 es: 3121222
22 zr
Y el argumento de este número que está en el primer cuadrante es:
8,5151352
1 0
2
arctg
Así, nos queda que:
s.operacione las Realizando 1
polar. formaen complejos deDivisión 3
3
3
3
2
2
44.692289
4
8,5151352.844324
4
8,515135
2.8443244
0
00
0
0
i
i
Luego, el modulo es .114 r
Y el argumento es:
6,16223423
0
3
6,16222522
0
2
6,16221621
0
1
6,1622720
0
0
000
0
0
0
0
16,16223423
16,16222522
16,16221621
16,1622720
4
3604.692289
rk
rk
rk
rk
k
Y la grafica es:
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5. Expresa en función de cos y :sen a5cos y .5asen (Valor 2%)
Solución:
De la FÓRMULA DE MOIVRE: nisennisenn
coscos
Tenemos que:
55coscos5
isenisen
Desarrollando el producto notable del lado izquierdo:
isensensen
sensenisen
isenseniisen
sensenisen
isensen
senisenisenisen
isensen
senisenisenisen
seniseni
seniseniisenisen
isenisen
isenisenisenisen
5324
42355
5324
42355
54
3223455
54
3223455
5544
332223455
54
3223455
cos10cos5
cos5 cos10coscos
cos10cos5
cos5 cos10coscos
cos5
cos10cos10cos5coscos
1cos5
cos101cos10cos5coscos
cos5
cos10cos10cos5coscos
cos5
cos10cos10cos5coscos
Luego, tenemos que:
isensensen
sensenisen
5324
4235
cos10cos5
cos5 cos10cos55cos
De aquí tenemos que estos números complejos son iguales si sus correspondientes partes reales
e imaginarias son iguales:
5324
4235
cos10cos55
cos5 cos10cos5cos
sensensensen
sensen
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Opcional:
1. Halla el valor de k para que el cociente ik
ki
2sea: a) Un número imaginario puro.
b) Un número real. (Valor 4%)
Solución:
Realicemos la división de los números complejos, para obtener uno solo numero complejo:
r.denominado igualcon fracciones de sumaPor
1
2
1
32
común.factor sacando o vadistributi propiedadPor 1
232
s.operacione Realizando 1
222
.1 Porque 1
1222
s.operacione Realizando 222
va.distributi propiedadPor 222
r.denominado del conjugado elpor ndoMultiplica 22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
22
k
ik
k
k
ik
ki
k
ikk
ik
ki
k
kikik
ik
ki
ik
kikik
ik
ki
iikkik
kiikik
ik
ki
iikiikkk
ikikkiik
ik
ki
ik
ik
ik
ki
ik
ki
De aquí tenemos que como , 012 Rkk ocurre que:
El número es imaginario puro si .003 kk
El número es real puro si .2202 22 kkk
2. Del circuito en paralelo mostrado en la figura siguiente: (Valor 4%)
Obtener la impedancia total Z si .3,3,4,4 21 LC XXRR
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Solución:
En este caso:
;3411 iiXRZ C
;3422 iiXRZ L
Ya que gráficamente:
Puesto que los circuitos están en paralelo, entonces:
21
111
ZZZ
Esto implica que:
21
21
ZZ
ZZZ
Esto es:
i = =i + i
i iZ 0
8
25
8
916
3434
3434
La magnitud y ángulo de desfasamiento de esta impedancia son:
8
25
64
625
64
6250
64
6250
8
25 2
2
Z
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.0 = 0arctan =
8
25
0arctan = Zarg = 0
Y nos queda que la impedancia total es:
Gráficamente:
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