Sucesiones y Series de Funciones
Consideremos una sucesion {fn}, donde fn : I ⊂ R → R, entonces decimos que {fn} es una sucesionde funciones.
Ejemplos:
i) {fn}, donde fn : R → R esta dada por
fn(x) =x2n
1 + x2n
Tenemos
ii) {fn}, donde fn : [0, 1] → R esta dada por fn(x) = nx(1− x)n.
fn alcanza su valor maximo , donde f ′n = 0. Pero f ′n = −n2x(1− x)n−1 + n(1− x)n, de dondese deduce que el valor donde fn alcanza su valor maximo es x = 1
n+1 .
1
iii) {fn}, donde fn : [0, 2] → R, esta dada por
fn(x) =
n2x si 0 ≤ x ≤ 1
n
2n− n2x si 1n ≤ x ≤ 2
n
0 si 2n ≤ x ≤ 2
iv) {fn}, donde fn : [0, 1] → R esta dada por fn(x) = xn.
v) {fn}, donde fn : [−π, 3π] → R esta dada por.
fn(x) = sin x− sin 2x
2+
sin 3x
3− sin 4x
4+ · · ·+ (−1)n−1 sinnx
n
2
Si dada una sucesion de funciones {fn} en un intervalo I, evaluamos cada uno de los terminos de{fn} en x0 ∈ I, obtenemos una sucesion numerica {fn(x0)}.
Ejemplos:
i) fn(x) = xn
Al evaluar fn en 0, se obtiene 0, 0, 0, 0, · · · , si se evalua en x = 1, se obtiene 1, 1, 1, · · · , si seevalua en x = 1
2 , se obtiene 12 , 1
4 , 123 , 1
24 , · · · .
Definicion.- Decimos que una sucesion de funciones {fn}, donde fn : I ⊂ R → R converge enx0 ∈ I a f(x0), si {fn(x0)} converge, es decir, ∀ ε > 0 ∃ N(ε, x0) tal que|fn(x0)− f(x0)| < ε ∀ n > N(ε, x0).
Si fn(x) = xn y x0 = 12 la sucesion de funciones converge a 0, ya que dado ε > 0, 2n > 1
εn > log2
1ε , |0− 1
2n | < ε, ∀ n > N(ε) = [log21ε ] + 1
ii) Sea {fn}, donde fn : [0, 1] → R esta dada por fn(x) = nx(1 − x)n, si x = 0 se obtiene0, 0, 0, 0, · · · , al evaluar cada fn; si x = 1 se obtiene 0, 0, 0, 0, · · · , al evaluar cada fn. Six = 1
n+1 se obtiene (1− 12 )2, (1− 1
3 )3, (1− 14 )4, · · ·
fn
(1
n + 1
)=
n
n + 1
(1− 1
n + 1
)n
=(
1− 1n + 1
)(1− 1
n + 1
)n
=(
1− 1n + 1
)n+1
(1− 1
n + 1
)n
→ 1ε
Definicion.- Decimos que una sucesion de funciones {fn} converge puntualmente a f en I si paracada ε y cada x ∈ I, ∃ N(ε, x) tal que |fn(x)− f(x)| < ε ∀ n < N(ε, x).
Ejemplos:
i) {fn}, donde fn : [0, 1] → R esta dada por fn(x) = xn converge a f : [0, 1] → R dada por
f(x) =
{0 si x 6= 1
1 si x = 1
3
ii) {fn}, donde fn : R → R esta dada por fn(x) = 1nx converge a f(x) = 0.∣∣∣∣0− 1
nx
∣∣∣∣ < ε si n >[x
ε
]+ 1 = N(ε, x)
iii) {fn} donde fn : R → R esta dada por fn(x) = nx no converge a una funcion.
4
Consideremos fn donde fn : R → R esta dada por
fn(x) =x2n
1 + x2n
¿Converge fn?
Definicion.- Decimos que una sucesion de funciones {fn}, donde fn : I ⊂ R → R, converge uniforme-mente a f : I ⊂ R → R, si ∀ ε > 0 ∃ N(ε) tal que |fn(x)− f(x)| < ε. ∀ n > N(ε), ∀ x ∈ I.
5
Ejemplos:
i) La sucesion de funciones {fn}, donde fn : R → R esta dada por fn(x) = 1n sinnx, converge
uniformemente en R a la funcion identicamente cero.En efecto, dado
1 > ε > 0,
∣∣∣∣ 1n sinnx− 0∣∣∣∣ = 1
n| sinnx| ≤ 1
n< ε ∀n >
1ε
y ∀x ∈ R
ii) La sucesion de funciones {fn}, donde fn : [0, 1] → R esta dada por fn(x) = xn ¿Convergeuniformemente? No converge uniformemente, ya que dado ε > 0, y x ∈ I|xn − 0| = xn < ε, ∀ n > ln ε
ln x , pero lnx → 0 cuando x → 1−, en consecuencia ln εln x → +∞
cuando x → 1−.
Si en lugar de tomar fn : [0, 1] → R, se toma fn : [0, 1− δ] → R donde δ es tan pequeno comose quiera, pero fijo, entonces |xn − 0| < ε, ∀ n > ln ε
ln(1−δ) y ∀ x ∈ I.
Entonces la sucesion de funciones, donde fn(x) : xn esta definida en [0, 1 − δ] converge uni-formemente a la funcion identicamente 0.
iii) La sucesion de funciones {fn}, donde fn : R → R esta dada por fn(x) = 2π arctannx ¿Con-
verge? ¿Converge uniformemente?Sı converge y converge a f : R → R con
f(x) =
−1 si x < 00 si x = 01 si x > 0
No converge uniformemente
= sgnx
6
Definicion.- Si {fn(x)} es una sucesion de funciones en I decimos que {Sn(x)}, donde Sn(x) = f1(x) +f2(x) + · · ·+ fn(x) es una serie de funciones y se denota
∞∑n=1
fn(x)
A fn(x) se le llama termino enesimo de la serie y a Sn(x) se le llama suma parcial enesima de laserie.
Definicion.- Decimos que la serie de funciones
∞∑n=1
fn(x) en I
converge en x0 ∈ I, si la sucesion de sumas parciales {Sn(x)} converge en x0.
Definicion.- Decimos que una serie de funciones
∞∑n=1
fn(x) en I
converge uniformemente en I, si la sucesion de funciones {Sn(x)} converge uniformemente en I.
Teorema
Si se tiene una serie
∞∑n=1
fn(x)
que converge uniformemente en I y cada termino de la serie se multiplica por una funcion acotadaϕ en I, entonces la serie
∞∑n=1
ϕ(x)fn(x)
converge uniformemente en I.
Demostracion:
Como la serie converge uniformemente, entonces dado ε > 0 ∃ N(ε)tal que Sn(x) − S(x) <ε
M ∀ n > N(ε) y ∀ x, es decir, ∣∣∣∣∣∣∞∑
n=N(ε)+1
fnx
∣∣∣∣∣∣ < ε
M
7
en consecuencia
M
∣∣∣∣∣∣∞∑
n=N(ε)+1
fn(x)
∣∣∣∣∣∣ < ε, pero
∣∣∣∣∣∣∞∑
n=N(ε)+1
ϕ(x)fn(x)
∣∣∣∣∣∣ = |ϕ(x)|
∣∣∣∣∣∣∞∑
n=N(ε)+1
fn(x)
∣∣∣∣∣∣−M ≤ ϕ(x) ≤ M ≤ M
∣∣∣∣∣∣∞∑
n=N(ε)+1
fn(x)
∣∣∣∣∣∣ < ε
por lo tanto la serie
∞∑n=1
ϕ(x)fn(x) converge uniformemente en I.
TeoremaSi
∞∑n=1
fn(x) y
∞∑n=1
gn(x)
Son series de funciones que convergen uniformemente en I, entonces la serie
∞∑n=1
fn(x) +∞∑
n=1
gn(x)
converge uniformemente.
Demostracion:
Sean
Sn(x) = f1(x) + · · ·+ fn(x)
S′n(x) = g1 + · · ·+ gn(x)
•
•
•
S(x) =∞∑
n=1
fn(x) S′(x) =∞∑
n=1
gn(x)
8
Sea ε > 0, entonces ∃ N(ε) tal que |Sn(x)− S(x)| < ε2 y |S′n(x)− S′(x)| < ε
2 y
|s′n(x)− S′(x)| < ε2 ∀ n > N(ε) y ∀ x ∈ I. Entonces
|Sn(x) + S′n(x)− S(x) + S′(x)| ≤ |Sn − S(x)|+ |S′n(x)− S′(x)|
<ε
2+
ε
2= ε
∀ n > N(ε) y ∀ x ∈ I, por lo tanto
∞∑n=1
fn(x) +∞∑
n=1
gn(x) Converge uniformemente
Definicion.- Dada una serie de funciones
∞∑n=1
fn(x) en I
decimos que una serie numerica
∞∑n=1
Mn (donde Mn > 0)
de numeros positivos domina la serie de funciones si
|fn(x)| ≤ Mn ∀ n y ∀ x ∈ I
A la serie
∞∑n=1
Mn
se le llama serie dominante y a la serie
∞∑n=1
fn(x)
se le llama serie dominada.
9
Teorema
Si
∞∑n=1
fn(x)
es una serie de funciones y
∞∑n=1
Mn
es una serie dominante convergente de la serie de funciones, entonces esta converge uniformemente.
Demostracion:
Como la serie numerica
∞∑n=1
Mn
es convergente, entonces dado ε > 0 ∃ N(ε) |Sm − S| < ε ∀ m > N(ε), es decir∣∣∣∣∣∞∑
n=m+1
Mn
∣∣∣∣∣ < ε ∀ m > N(ε)
es decir
Mm+1 + Mm+2 + · · · < ε ∀ m > N(ε).
En consecuencia |fm+1(x)|+ |fm+2(x)|+ · · · < ε ∀ m > N(ε) y ∀ x ∈ I. Por lo tanto
|fm+1(x) + fm+2(x) + · · · | < ε ∀ m > N(ε) y ∀ x ∈ I, es decir∣∣∣∣∣∞∑
n=m+1
fn(x)
∣∣∣∣∣ < ε ∀ m > N(ε) y ∀ x ∈ I
entonces, la serie de funciones converge uniformemente.
10
Ejemplos:
i) La serie de funciones
∞∑n=1
sinnx
n2Converge uniformemente
En efecto como la serie numerica
∞∑n=1
1n2
es una serie dominante de la serie de funciones y sabemos que
∞∑n=1
1n2
converge, en consecuencia la serie de funciones converge uniformemente∣∣∣∣ sinnx
1
∣∣∣∣ ≤ 1∣∣∣∣ sin 2x
4
∣∣∣∣ ≤ 14· · ·
ii) La serie de funciones
∞∑n=1
x
1 + n4x2, x ∈ [0, 1].
¿Converge uniformemente?. Derivemos fn(x),
f ′n(x) =(1 + n4x2)− 2n4x2
(1 + n4x2)2=
1− n4x2
(1 + n4x2)2
entonces el maximo de fn(x) es x = 1n2 , entonces el valor maximo de fn(x) es
11
fn
(1n2
)=
1n2
1 + n4(
1n2
) =1
2n2
Entonces la serie
∞∑n=1
12n2
es una serie dominante de la serie de funciones, por lo tanto la serie converge uniformemente.
iii) La serie
∞∑n=1
(−1)n 1x + n1
x ∈ [0,∞)
¿Converge uniformemente?. No existe una serie dominante de la serie que sea convergente∣∣∣∣∣∞∑
n=m
fn(x)
∣∣∣∣∣ < ε ∀ m > N(ε) y ∀ x ∈ I
∣∣∣∣∣∞∑
n=m
(−1)n 1x + n
∣∣∣∣∣ ≤ 1x + m
<1m
Criterio M de Weierstrass
Teorema (Criterio de Cauchy)
Una sucesion de funciones {fn(x)} definidas en [a, b] converge uniformemente a una funcion f en[a, b] si y solo si para todo ε > 0 existe N(ε) tal que:
|fn+p(x)−fn(x)| < ε para todo n > N(ε), p > 0 y para todo x ∈ [a, b].
Demostracion:
⇒) Como {fn(x)} converge uniformemente a f en [a, b], dado ε > 0 ∃ N(ε) tal que
|fn(x)− f(x)| < ε
2y |fn−p(x)− f(x)| < ε
2
para todo n > N(ε), p > 0 y para todo x ∈ [a, b].En consecuencia:
|fn+p(x)− fn(x)| = |fn+p(x) + f(x)− f(x)− fn(x)|
12
≤ |fn+p(x)− f(x)|+ |fn(x)− f(x)| < ε
2+
ε
2= ε
para todo n > N(ε), todo p > 0 y ∀ x ∈ [a, b].
⇐) Como ∀ ε > 0, ∃ N(ε) tal que |fn+p(x).fn(x)| < ε · · · · · · (1) ∀ n > N(ε), p > 0 y para todox ∈ [a, b].
Si tomamos x∗ ∈ [a, b] fijo, a partir de (1) se tiene una sucesion numerica de Cauchy paracada x ∈ [a, b] fijo. Sea f : [a, b] → R la funcion lımite de {fn(x)}. Si en (1) se hace tender p ainfinito se obtiene:
|fn(x)− f(x)| < ε ∀ n > N(ε), y ∀ x ∈ [a, b].
Teorema
Una serie de funciones
∞∑n=1
fn(x) en [a, b]
converge uniformemente a una funcion S(x) en [a, b] si y solo si ∀ ε > 0 ∃ N(ε) tal que
|Sn+p(x)− Sn| < ε ∀ n > N(ε), p > 0 y ∀ x ∈ [a, b].
Teorema
Si una sucesion de funciones continuas {fn(x)} en [a, b] converge uniformemente a f : [a, b] → R,entonces f es continua en [a, b].
Demostracion:
Como {fn(x)} converge uniformemente a f en [a, b] dado ε > 0, ∃ N(ε) tal que
|fn(x)− f(x)| < ε
3y |fn(x + h)− f(x + h)| < ε
3
para todo n > N(ε) y ∀ x ∈ [a, b], siempre que (x + h) ∈ [a, b].
Como fn es continua en [a, b], entonces
|fn(x + h)− fn(x)| < ε
3si |h| < δ(ε)
13
En consecuencia
|f(x + h)− f(x)| = |f(x + h) + fn(x)− fn(x) + fn(x + h)− fn(x + h)− f(x)|
≤ |fn(x + h)− f(x + h)|+ |fn(x + h)− fn(x)|+ |fn(x)− f(x)|
<ε
3+
ε
3+
ε
3= ε si |h| < δ(ε)
Por lo tanto f es continua en [a, b].
Teorema
Si una serie
∞∑n=1
fn(x)
de funciones continuas en [a, b] converge uniformemente en [a, b] a S(x), entonces: S : [a, b] → R escontinua.
Demostracion: (*Llegar a que la funcion lımite de la sucesion es continua)
Consideremos la sucesion de sumas parciales {Sn(x)}. Se tiene que Sn ∈ C[a,b] y {Sn(x)} convergeuniformemente a S(x) en [a, b], por lo tanto:
S : [a, b] → R es continua segun el teorema anterior.
1.- Dada la sucesion de funciones {fn(x)}, donde fn : [0, 1] → R esta dada por f(x) = xn.Calcular:
i)
lımn→∞
∫ 1
0
fn(x)dx
ii) ∫ 1
0
lımn→∞
fn(x)dx
2.- Igual que en 1, para la sucesion {fn(x)}, donde fn : [0, 1] → R esta dada porfn(x) = n2x(1− x)n
2.1.- i)
lımn→∞
∫ 1
0
xndx = lımn→∞
1n + 1
xn+1
∣∣∣∣10
14
ii) ∫ 1
0
lımn→∞
fn(x)dx =∫ 1
0
0dx = 0
{xn} → f(x) =
{0 si 0 ≤ x < 11 si x = 1
2.2.- i)
lımn→∞
∫ 1
0
n2x(1− x)ndx =
lımn→∞
n2
(−x
n + 1(1− x)n+1
∣∣∣∣10
+1
(n + 1)(n + 2)xn+2
∣∣∣∣10
)=
lımn→∞
n2
(n + 1)(n + 2)=
n2
n2= 1
ii) ∫ 1
0
lımn→∞
n2x(1− x)ndx =∫ 1
0
0dx = 0
3.- Igual que en 1 para {fn(x)} donde fn(x) = 4nx3e−nx4, en [0, 1]
i)
lımn→∞
∫ 1
0
4nx3e−nx4dx = lım
n→∞
(−e−nx4
∣∣∣10
)=
= lımn→∞
(1− 1
en
)= 1
ii) ∫ 1
0
lımn→∞
4nx3e−nx4dx =
∫ 1
0
0dx = 0
Teorema
Si {fn(x)} es una sucesion de funciones continuas en [a, b] que converge uniformemente af : [a, b] → R, entonces
lımn→∞
∫ x
x0
fn(t)dt =∫ x
x0
lımn→∞
fn(t)dt
=∫ x
x0
f(t)dt
Para todo x0, x ∈ [a, b].
15
Demostracion:
Como {fn(x)} converge uniformemente a f en [a, b], entonces dado ε > 0 existe N(ε) tal que|fn(x)− f(x)| < ε si n > N(ε) ∀ x ∈ [a, b];
Como fn ∈ C[a,b] y f ∈ C[a,b] existen∫ x
x0
fn(t)dt y
∫ x
x0
f(t)dt
Se tiene: ∣∣∣∣∫ x
x0
fn(t)dt−∫ x
x0
f(t)dt
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∫ x
x0
(fn(t)− f(t))dt
∣∣∣∣≤∫ x
x0
|fn(t)− f(t)| dt
<
∫ x
x0
ε
b− adt =
ε
b− a(x− x0) < ε
Por lo tanto,
lımn→∞
∫ x
x0
fn(t)dt =∫ x
x0
f(t)dt
∫ x
x0
lımn→∞
fn(t)dt
Teorema
Si una serie de funciones continuas
∞∑n=1
fn(x) en [a, b]
converge uniformemente a S(x) en [a, b], entonces
∫ x
x0
∞∑n=1
fn(t)dt =∞∑
n=1
∫ x
x0
fn(t)dt
para todo x0, x ∈ [a, b].
16
Demostracion:
Sn(x) = f1(x) + · · · + fn(x) es continua en [a, b] ∀ n ∈ N, entonces {Sn(x)} es una sucesion defunciones continuas que converge uniformemente a S(x).
En consecuencia
lımn→∞
∫ x
x0
Sn(t)dt =∫ x
x0
S(t)dt
Es decir
lımn→∞
∫ x
x0
(f(t) + f2(t) + · · ·+ fn(t)) dt =∫ x
x0
S(t)dt
de donde se obtiene
lımn→∞
(∫ x
x0
f1(t)dt +∫ x
x0
f2(t)dt + · · ·∫ x
x0
fn(t)dt
)=∫ x
x0
S(t)dt
Por lo tanto
∞∑n=1
∫ x
x0
fn(t)dt =∫ x
x0
∞∑n=1
fn(t)dt
Teorema
Si {fn(x)} es una sucesion de funciones donde fn ∈ C[a,b] tal que {fn(x)} converge uniformemente,entonces:
lımn→∞
f ′n(x) = (lım fn(x))′ para cada x ∈ [a, b]
Teorema
Si {fn(x)} es una sucesion de funciones donde fn ∈ C[a,b], que converge a una funcion f en [a, b] y{f ′n(x)} converge uniformemente a una funcion ϕ, entonces f ′(x) = ϕ(x).
Demostracion:
Como {f ′n(x)} converge uniformemente a ϕ, entonces
lımn→∞
∫ x
x0
f ′n(t)dt =∫ x
x0
lımn→∞
f ′n(t)dt
17
es decir
lımn→∞
∫ x
x0
f ′n(t)dt =∫ x
x0
ϕ(t)dt
de donde se obtiene
lımn→∞
(fn(x)− fn(x0)) =∫ x
x0
ϕ(t)dt
En consecuencia
f(x)− f(x0) =∫ x
x0
ϕ(t)dt, luego f(x) = f(x0) +∫ x
x0
ϕ(t)dt
Como f es la suma de funciones continuas, es continua. Entonces f ′(x) = ϕ(x), es decir
(lım
n→∞fn(x)
)′= lım
n→∞f ′n(x)
Si una sucesion de funciones {fn(x)} no satisface el que {f ′n(x)} converja uniformemente, no nece-sariamente se cumple el resultado.
Ejemplos:
Sea {fn(x)}, donde fn : R → R esta dada por fn(x) = 1n ln(nx +
√n2x2 + 1) ¿Cual es la fun-
cion limite de {fn(x)}? ¿A que converge? Para calcular el limite de fn(x), usemos el teorema deL´Hopital.
lımn→∞
1n
ln(nx +√
n2x2 + 1) = lımn→∞
(ln(nx +
√n2x2 + 1)
)′(n)′
=
= lımn→∞
1nx +
√n2x2 + 1
(x +
nx2
√n2x2 + 1
)= lım
n→∞
x√
n2x2 + 1 + nx2
√n2x2 + 1(nx +
√n2x2 + 1)
=
= lımn→∞
x√n2x2 + 1
= 0
Por otro lado
f ′n(x) =1√
n2x2 + 1
18
Por lo tanto
lımn→∞
f ′n(0) = 1 6=(
lımn→∞
fn(x))′
x0
= 0
Teorema
Si una serie
∞∑n=1
fn(x)
de funciones, donde fn ∈ C[a,b] converge a una funcion S(x) y la serie
∞∑n=1
f ′n(x)
converge uniformemente a una funcion σ(x) en [a, b], entonces S′(x) = σ(x).
Demostracion:
Si consideramos la sucesion de sumas parciales {Sn(x)} de la serie
∞∑n=1
fn(x) con Sn(x) ∈ C[a,b] ∀ n ∈ N
Ademas {S′n(x)} converge uniformemente a σ(x). Por lo tanto S′(x) = σ(x), es decir
( ∞∑n=1
fn(x)
)′=
∞∑n=1
f ′n(x)
Teorema
Si
∞∑n=1
fn(x)
es una serie de funciones que converge uniformemente y
lımx→x0
fn(x) = Cn
en un intervalo alrededor de x0, entonces la serie:
19
∞∑n=1
Cn
tambien converge y :
lımx→x0
∞∑n=1
fn(x) =∞∑
n=1
Cn
Demostracion:
Sea ε > 0, entonces existe N(ε) tal que
|fm+1(x) + fm+2(x) + · · ·+ fm+p(x)| < ε
2· · · · · · (1)
∀ m > N(ε), p > 0 y todo x en el intervalo alrededor de x0.
Si hacemos tender x hacia x0, se obtiene:
|Cm+1 + Cm+2 · · ·+ Cm+p| ≤ε
2· · · · · · (2)
Si en · · · (1) y · · · (2) se hace tender p a infinito, se obtiene∣∣∣∣∣∞∑
n=m+1
fn(x)
∣∣∣∣∣ ≤ ε
3y
∣∣∣∣∣∞∑
n=m+1
Cn
∣∣∣∣∣ < ε
3
Elijamos δ(ε) > 0 tal que∣∣∣∣∣∞∑
n=1
fn(x)−∞∑
n=1
Cn
∣∣∣∣∣ < ε
3si 0 < |x− x0| < δ(ε)
Entonces, ∣∣∣∣∣∞∑
n=1
fn(x)−∞∑
n=1
Cn
∣∣∣∣∣ ≤≤
∣∣∣∣∣∞∑
n=1
fn(x)−∞∑
n=1
Cn
∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣
∞∑n=m+1
fn(x)
∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣
∞∑n=m+1
Cn
∣∣∣∣∣<
ε
3+
ε
3+
ε
3= ε
20
para 0 < |x− x0| < δ(ε). Por lo tanto.
lımx→x0
∞∑n=1
fn(x) =∞∑
n=1
Cn
Teorema
Si {fn(x)} es una sucesion de funciones que converge uniformemente y
lımx→x0
fn(x) = ln
entonces:
lımx→x0
lımn→∞
fn(x) = lımn→∞
lımx→x0
fn(x)
Demostracion:
1. Construir una serie como resultado anterior2. Aplicarla3. Demostrar teorema
Consideremos la serie de funciones :
f1(x) + (f2(x)− f1(x)) + (f3(x)− f2(x)) + · · · (fn(x)− fn−1(x)) + · · ·
converge uniformemente por lo tanto c/resultado anterior.
Demostracion:
Por el resultado anterior:
lımx→x0
(f1(x) +
∞∑n=2
|fn(x)− fn−1(x)|
)=
=
(f1(x) +
∞∑n=1
(ln − ln−1)
)=
(l1 +
∞∑n=2
(ln − ln−1)
)es decir
lımx→x0
lımn→∞
fn(x) = lımn→∞
Ln = lımn→∞
lımx→x0
fn(x)
21