ESCUELA DE INGENIERIAS Y ADMINISTRACION
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS
Introducción al Cálculo DiferencialPRIMER SEMESTRE 2015
Taller 1
PROFESORAYolvi Adriana Córdoba Buitrago
ESPECIALISTA EN EDUCACION MATEMATICA
SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES.
NÚMERO REALES.
Los conjuntos numéricos son los elementos iniciales con los cuales a los largo de la historia se ha hecho matemáticas. El primer conjunto numérico generado, a partir de la necesidad de hacer conteo, fue N0, (notación actual)
N0=N∪{0 } . A medida que evolucionó el pensamiento humano, se fueron concibiendo otros conjuntos numéricos como los siguientes:
N= {1,2,3,4 ,…} Z−={−1 ,−2 ,−3 ,−4 ,−5 ,…}Z={… ,−5 ,−4 ,−3 ,−2 ,−1,0,1,2,3,4,5 ,…}
Q={ab ,a∈Z ,b∈Z ,b≠0}.
Una característica común para cada uno de los elementos de los conjuntos anteriores es que para cada uno de ellos se puede encontrar una expresión decimal (ver diagrama).
Los números racionales también son aquellos que pueden expresarse como la razón,
o cociente, de dos enteros, siendo el divisor un entero no cero. En consecuencia, un
número racional es aquel que puede expresarse en la forma ab
, donde a y b son
enteros y b no es cero (Establecido como b≠0). Los números 15,−27,23455
y 137 (−750 )
son ejemplos de números racionales.
Dado que cualquier entero a puede escribirse en forma de cociente a1
, todos los
enteros son demás números racionales. He aquí ejemplos: −5=−51
y54=541
. Se
Decimales
Finitos Infinitos
Periódicos
Puros Mixtos
No Periódico
s
considera que el cero es un entero (ni negativo ni positivo), y puede escribirse en
forma de cociente 0b=0 , b≠0.
Los números que poseen una expansión decimal infinita no periódica conforman el conjunto de los irracionales, denotado por la letra I
Los Números Irracionales son números reales que no pueden expresarse como la
razón de dos enteros. Números como π=3.14159265… (que es la razón de la
circunferencia de un círculo con su diámetro),
√2=1.4142…√3=1.7321… y √5=2.2361… son ejemplos de números irracionales.X
R: El conjunto de los números reales R, se forma a partir de la unión de los números racionales y
los números irracionales. R=Q∪I. Algunas características de los números reales son:
A cada punto sobre la recta real le corresponde un número real y viceversa (correspondencia biunívoca)
Entre dos números reales siempre es posible encontrar otro número real (densidad)
R es un conjunto ordenado.
DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE LOS NÚMEROS REALES:
Se llama sistema de los números reales a un conjunto no vacío R dotado de las operaciones llamadas adición y multiplicación, denotadas por (+) y (∙), que satisfacen los siguientes axiomas:
Operaciones
Axiomas Adición Multiplicación
Clausuratividad
∀ a ,b∈R , (a+b )∈ R ∀ a ,b∈R , (a⋅b )∈R
Conmutatividad ∀ a ,b∈R ,a+b=b+a ∀ a ,b∈R ,a⋅b=b⋅a
Asociatividad
∀ a ,b , c∈R , (a+b )+c=a+(b+c ) ∀ a ,b , c∈R , (a⋅b )⋅c=a⋅(b⋅c )
Elemento neutro
∃!0∈R∀ a∈R ,demod oquea+0=0+a=a
∃!1∈ R∀a∈R ,demod oquea⋅1=1⋅a=a
Elemento Simétrico
∀ a∈R ,∃! (−a)( opuesto)∈R , tal quea+(−a )=0
∀ a∈R ,excepto el 0 ,
∃!1a
∨a−1( inverso )∈R ,tal que
a⋅(1a )=1Distributivi
dad∀ a ,b , c∈R ,a⋅(b+c )=a⋅b+a⋅c
Axiomas de la igualdad
Dicotomía ∀ a ,b∈R ,a=b¿a≠bReflexividad ∀ a∈R ,a=aSimetría ∀ a ,b∈R ,a=b⇒b=aTransitividad ∀ a ,b , c∈R ,a=b∧b=c⇒a=cUniformidad respecto a la adición a=b⇒a+c=b+c ,∀ c∈ RUniformidad respecto a la multiplicación a=b⇒a⋅c=b⋅c ,∀ c∈R
Sustitución∀ a ,b∈R , si a=b ,entonces a puede ser sustituido por b en cualquier expresión sin que se altere el valor de la expresión.
El conjunto de los números reales puede representarse mediante una recta numérica
(Véase la Ilustración 2). La recta numérica tiene un punto cero, denominado origen,
que sirve para representar el número real 0. A cada punto de la recta numérica
corresponde un número real. La correspondencia escriba en que el número real
representado por un punto es igual a la distancia dirigida que se recorre al pasar el
origen a ese punto. Se considera que los movimientos de la izquierda a la derecha a lo
largo de la recta numérica se encuentran en una dirección positiva. Así, los puntos
situados a la derecha del origen corresponden a números reales positivos, y los
situados a la izquierda corresponden a números reales negativos. Obsérvese que a
cada número real corresponde un solo punto en la recta numérica.
Ilustración 2 −√3 √5
+5+4+3+2+10-1-2-3-4-5
ORDEN: Los números reales distintos de cero se separan en forma adecuada en dos conjuntos ajenos – los números reales positivos y los números reales negativos. Esto nos permite introducir la relación de orden
< (se lee: “es menor que”) mediante x< y ⇔ y−x es positivo , de otra
manera se puede ver como x< y ⇔ ∃c∈R+|x+c= y
Propiedades de Orden1. Tricotomía. Si x y y son números reales, se cumple una y sólo una de las
siguientes propiedades: x< y ó x= y ó x> y .2. Transitividad. x< y y y<z⇒ x< z .
3. Aditiva. x< y ⇔ x+z< y+ z .
4. Multiplicativa. Cuando z es positivo, x< y ⇔ xz< yz . Si z es negativo x< y ⇔ xz> yz .
DESIGUALDADES EN R:
Una desigualdad es una expresión de la forma a<b, a>b , a≤b , a≥b , en la que a y b son números reales.
INTERVALO: Un intervalo es un subconjunto (no vacío) de los números reales.
Abierto (a ,b ) Infinitos
(a ,b )={x∈ R /a< x<b } A pesar de que todos los intervalos son infinitos, los siguientes reciben ese nombre dada la naturaleza de sus extensiones.
(a ,∞ )={x∈R /x>a }
[ a ,∞)= {x∈R /x≥a }
(−∞ , a )={x∈R /x<a }
(−∞ , a ]= {x∈R /x≤a }
Semiabierto o semicerrado [ a ,b) (a ,b ]
[ a ,b)={x∈R /a≤x<b }
(a ,b ]={x∈R /a<x≤b }
Cerrado [a ,b ]
[a ,b ]= {x∈R /a≤x≤b }
Ra b
Ra b
Ra b
Ra b
Ra
Ra
Ra
Ra
OPERACIONES ENTRE INTERVALOS: Dados dos intervalos A y B es posible considerar con ellos, las mismas operaciones entre conjuntos. El conjunto universal será el conjunto de los números reales.
VALOR ABSOLUTO.
El Valor Absoluto de un número real es la magnitud o tamaño del número sin el signo.
La notación |a| expresa el valor absoluto de a.
Importante:
Para cualquier número real a,
|a|={a , si aes positiva ocero .−a , si aes negativa .
Ejemplo No 1:
El valor absoluto de +5 es |+5|=5. El valor absoluto de −20 es |−20|=20. El valor
absoluto de 0 es |0|=0.
ACTIVIDAD 1
En los ejercicios 1 a 12, coloque el símbolo de desigualdad ¿ entre los dos números
dados para indicar la relación apropiada de desigualdad.
1. 10¿
2. 8¿
3. −1¿
4. 2¿
5. 20¿
6. −5¿
7. −10¿
8. 5¿
9. −3¿
10. 0¿
11. 1¿
12. 3¿
13. |−5|¿14. |−3|¿
15. |−5−10|¿16. |−10+5|¿17. |16|¿18. |2|¿19. |10−(4−3 )|¿20. |−5−(−5+2 )|¿2
ACTIVIDAD 2.
I. Representar en la recta real cada uno de los siguientes intervalos.
1. [−5,8 ) 2. (2,8 ) 3. (−4,6 ) 4. [5,6 ]∪(7 ,∞ )
5. [5 ,∞)
6. (−∞ ,1 ] 7. [5,6 ]∪(7,8 ) 8. (−∞ ,2 )∪(3 ,∞ ) 9. [2,3 ] 10.
(−∞ ,1 ]∪(2 ,∞ )
II. Expresar como conjunto los siguientes intervalos
11. (−3,3 ) 12. [4,6 ] 13. [−7,6 ) 14. [−1 ,∞) 15. (−∞ ,2 ) 16. (1,4 ]
17. (6,8 )∪(8 ,11) 18. (−∞ ,2 )∪(2 ,∞ ) 19. (−∞ ,7 )∪ (8 ,16 ) 20. (−∞ ,∞ )
III. Escribir como intervalo cada conjunto
21. N= {x /x∈R , x≥8 } 22.M= {x / x∈ R ,−6≤x≤12 }
23. P= {x / x∈R ,16≤x }
IV. Teniendo en cuenta los conjuntos anteriores, realizar las operaciones indicadas entre ellos y escribir los intervalos resultantes.
24. M∪N 25. M∩N 26. M ' 27. N ' 28. (M∪N ) ' 29.
(M∩N ) '
30. M∪N ' 31. M∩N ' 32. M '∪N 33. M '∩N 34. M−N 35. P−N
36. P ' 37. (M∩P ) ' 38. (P∪N ) ' 39. (PΔN ) 40. (M∩P )∪(PΔN ) '
2. POLINOMIOS.
EXPONENTES ENTEROS POSITIVOS.
Cuando un número real a se multiplica por sí mismo, a ese producto se le denota
mediante a ∙a, o bien aa. Si el mismo número se multiplica por sí mismo cinco veces,
el producto se expresa con aaaaa. Una notación abreviada que puede utilizarse para
expresar estos productos es,
aa=a2
aaaaa=a5
Y
El número escrito arriba y a la derecha de a recibe el nombre de exponente. El
exponente indica el número de veces que a se repite como factor.Importante:
Si n es un entero positivo y a es un número real cualquiera,
an=a ∙a ∙a⋯ a ,n factores .
El término an puede expresarse con palabras como “a elevada a la n-ésima potencia”,
donde se considera que a es la base y que n es el exponente o potencia.
Ejemplo:
a. (−2 ) (−2 ) (−2 ) (−2 ) (−2 ) (−2 )= (−2 )6
b. (5 ) (5 ) (5 )=(5 )3
c. aaaabbb=a4b3
d.aa
(bbbb )=a2
b4
Importante:
Si n es un entero positivo y a≠0 ,
a−1= 1
an
Si a es real y no es igual a 0, a0=1.
Ejemplo:
a. a−2= 1a2
b. (2 )3= 1
(2 )3=18
c. (10 )0=1
d. (4 x )0=1
e. −5 y0=−5 (1 )=−5 , y ≠0
Las siguientes leyes de los exponentes son aplicables cuando a y bson números
reales cualesquiera, y m y n son enteros positivos.
Leyes de los Exponentes.
I. am∙ an=am+n
II. (am )n=amn
III. (ab )n=anbn
IV.am
an =am−ndondea≠0
V. ( ab )n
=an
bn dondeb≠0
Ejemplo:
a. (b5 ) (b )=b5+1=b6
b. (−2 )3 (−2 )2=(−2 )3+2=(−2 )5
c. (2 ) (2 )3 (2 )−2=(21+3 ) (2−2 )=(24 ) (2−2 )=22=4
d. (a2 )3=a2∙ 3=a6
e. [ (3 )2 ]4=(3 )2 ∙ 4=38
f. [ (−1 )3 ]5= (−1 )3∙ 5=(−1 )15=−1
g. (ab )4=a4b4
h. (2 x )3=(2 )3 (x )3=8x3
i.a6
a3=a6−3=a3
j.x2
x4=x2−4=x−2= 1
x2
k.(2 )3
(2 )7=(2 )3−7=(2 )−4= 1
(2 )4= 116
l. ( xy )5
= x5
y5
m. ( 2a5b2 )3
=(2a )3
(5b2)3= 8a3
125b6
n.x5
x5=x5−5=x0=1
EXPRESIONES POLINOMIALES.
Las constantes son cantidades o magnitudes cuyo valor no cambia. Una constante
puede representarse con una letra o con el número real que equivalga a la constante.
Por ejemplo, 5 es una constante, lo mismo que la letra b si b=−20. Las Variables son
cantidades cuyo valor puede cambiar. Generalmente, se simbolizan mediante letras.
Así, la letra t puede servir para representar la temperatura medida cada hora en una
ciudad mediante la escala Fahrenheit o Celsius. El valor de t diferirá entre una hora y
la siguiente.
Una expresión algebraica es un conjunto de constantes y variables unidas por una
serie de adiciones, sustracciones, multiplicaciones, divisiones, signos radicales y
paréntesis u otros símbolos de agrupamiento. Por ejemplo,
5 x2 y−10 x3+75
Es una expresión algebraica. Esta expresión consta de los tres términos 5 x2 y, 10 x3 y
75. Un término se compone de un solo número o del producto de un número y las
potencias de una o más variables. El término 5, x2 y y. El factor constante 5 recibe el
nombre de coeficiente del término. Coeficiente se referirá siempre a una constante que
sea factor en un término. Por ejemplo, 10 es el coeficiente en el término 10 x3. El
término de la expresión algebraica no contiene variables y se llama término constante.
Un polinomio es la suma de uno o más términos, con las siguientes restricciones:
Los términos de un polinomio consta de un número o del producto de un
número y las potencias enteras positivas de una o más variables. Esta
definición excluye términos que tengan variables bajo un signo de radical o los
que contengan variables en el denominador.
Un polinomio compuesto por un término se denomina monomio. El que tenga
dos términos recibe el nombre de binomio. Si un polinomio consta de tres
términos se llama trinomio. Se da el nombre de polinomio a la expresión
algebraica que tenga más de tres términos.
Ejemplo:
a. La expresión algebraica 25 es un polinomio que tiene un término; por lo tanto
se le llama monomio.
b. La expresión algebraica 5 x2−x+1 es un polinomio compuesto de tres
términos; por eso se le da el nombre de trinomio.
c. La expresión algebraica 2x2 yz
no es un polinomio, porque la variable z aparece
en el denominador del término.
d. La expresión algebraica √ x no es un polinomio, porque la variable aparece
debajo de un radical.
e. La expresión algebraica x5−2 x4−x3+2 x2+x+9 es un polinomio que consta de
seis términos.
El grado de un término es la suma de los exponentes de las variables contenidas en
él. En el caso de uno que incluya una variable, el grado es simplemente el exponente
de esta última. El grado del término 5 x3 es 3, puesto que el exponente es 3. El grado
del término 5 x2 y3 z es 6 porque la suma de los exponentes de x, de yy de zes 6. El
grado de un término constante no cero es 0. Como un ejemplo, el término -20 puede
escribirse en la forma equivalente −20 x0. Así pues, el grado del término es 0.
Además de la clasificación de los términos por el grado, los polinomios pueden
clasificarse atendiendo a su grado. El grado de un polinomio se define como el grado
del término de mayor grado en el polinomio.
Ejemplo:
a. El polinomio 2 x3−4 x2+x−10 tiene términos de grados 3, 2, 1 y 0,
respectivamente. Por tanto, el grado del polinomio es 3.
b. El polinomio 4 x2 y3−6 xy5+2 xy tiene términos de grados 5, 6 y 2,
respectivamente. En consecuencia, el grado del polinomio es 6.
ADICCIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS.
Al sumar y restar polinomios se combinan términos semejantes. Los términos
semejantes son aquellos que contienen las mismas variables elevadas a una misma
potencia. Se considera que los términos 3 x y −4 x son semejantes por contener
ambos la variable x elevada (implícitamente) a su primera potencia. El hecho de que
sus coeficientes (3 y -4) sean diferentes no influye en la semejanza de los términos.
Todas las constantes reales son consideradas como términos semejantes. Las
constantes -5 y 18 pueden considerarse que tienen la forma −5 x0 y 18 x0 que las
califica como términos semejantes.
Cuando se suman o restan polinomios, pueden combinarse términos y obtenerse una
forma más simple. Así, los términos semejantes 4 x y 3 x se sumarán del siguiente
modo,
4 x+3 x= (4+3 ) x
¿7 x
De manera análoga,
5 y2−2 x y2+6 x y2=[15+(−2 )+6 ] x y2
¿9 x y2
Los términos que no son semejantes no pueden combinarse en una forma más simple
(el conocido problema de sumar “manzanas y naranjas”). La suma 5 x+2 y no puede
escribirse en una forma más simple.
Cuando se suman o restan polinomios, se identificarán y combinarán los términos
semejantes. Los términos no semejantes se suman o restan como se ha indicado. Con
los siguientes ejemplos se explica este proceso.
Ejemplos:
(2 x2−5 x+10 )+(4 x2+3 x−5 )=2 x2−5x+10+4 x2+3x−5
¿2 x2+4 x2−5 x+3 x+10−5
¿6 x2−2 x+5
(5 x2 y+2 x y2−4 y3 )−(−3 x2 y+ y3−10 )=5 x2 y+2 x y2−4 y3+3 x2 y− y3+10
¿5 x2 y+3 x2 y+2 x y2−4 y3− y3+10
¿8 x2 y+2 x y2−5 y3+10
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS.
Todas las reglas y propiedades de la multiplicación para números reales se aplican
cuando se multiplican polinomios. Se expondrá dos casos de multiplicación: 1) la
multiplicación de dos monomios y 2) la multiplicación de dos polinomios.
1) Para multiplicar dos monomios, se multiplican sus coeficientes y luego los
términos variables usando las reglas de los exponentes.
a. (2 x ) (3 x )=(2 ) (3 ) xx=6 x2
b. (5 x2 ) (−2x3 )=(5 ) (−2 ) x2 x3=−10x5
c. (3ab2 ) (6a3b )=(3 ) (6 )aa2b2b=18a4b3
d. (mn2 ) (4m2n3 ) (−3m3n )=−12m6n6
2) Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada término de un polinomio por
todo término del otro polinomio.
a. (2 ) (4 x−2 y )=(2 ) (4 x )+(2 ) (−2 y )=8 x+4 y
b. 4 x2 y (x2+2 x−1 )=4 x2 y (x2 )+(4 x2 y ) (2 x )+ (4 x2 y ) (−1 )=4 x4 y+8x3−4 x2 y
c.
(2 x−6 ) (4 x+7 )=(2 x ) (4 x+7 )−6 (4 x+7 )=8x2+14 x−24 x−42=8 x2−10x−42
d.
(5 x2−2 x ) (x3+2 x2−5x )=(5 x2) (x3+2 x2−5x )−2x (x3+2x2−5 x )=5x2+10 x4−25 x3−2 x4−4 x3+10 x2=5x5+8 x4−29x3+10 x2
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
El púnico tipo de división de polinomios requerido explícitamente en este libro será la
división de un polinomio entre un monomio. Cuando se necesite dividir dos polinomios,
el cociente puede obtenerse con sólo simplificar las formas factorizadas de ambos. La
factorización de polinomios se repasa en la siguiente sección.
Para dividir un monomio entre otro monomio, se dividen los coeficientes de cada
monomio y las variables haciendo uso de las reglas apropiadas de los exponentes.
Ejemplos:
a.12x5
3x2=( 123 )( x5x2 )=4 x5−2=4 x3
b.−8 x3 y2
2 x y2=(−82 )( x
3
x )( y2y2 )=4 x3−1 y2−2=−4 x2 (1 )=−4 x2
Para dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada término del polinomio entre
el monomio y se obtiene la suma algebraica de cada cociente.
Ejemplos:
a.4 x3−8 x2+6 x
2 x=4 x
3
2 x−8 x
2
2x+ 6 x2 x
=2x2−4 x+3
b.24 a4b5
−3a2b4= 24a4b5
−3a2b4+ 18a
2b3
−3a2b4=−8a2b−6
b
Nota: siempre se puede verificar la respuesta en una división con sólo multiplicar la
respuesta por el divisor. Si la respuesta es correcta, este producto deberá ser igual al
dividendo (numerador).
ACTIVIDAD 3
I. En los ejercicios 1 a 12, exprese como exponentes las operaciones
indicadas.
1. (5 ) (5 ) (5 ) (5 )=¿
2. (−1 ) (−1 ) (−1 ) (−1 ) (−1 ) (−1 ) (−1 )=¿
3. (3 ) (3 ) (−2 ) (−2 ) (−2 )=¿
4.(7 ) (7 ) (7 )
(3 ) (3 )=¿
5. (−x ) (−x ) (−x )=¿
6.aaabb
=¿
7.xxyyyyzzz
=¿
8. aabbbcc=¿
9.xxxxyyzzzz
=¿
10.ppqqqrrrrss
=¿
11. ( xy ) ( xy ) ( xy ) ( xy )=¿
12.(abc ) (abc ) (abc )
(3 ) (3 ) (3 ) (3 ) (3 )=¿
II. En los ejercicios 13 a 32 realice las operaciones indicadas.
13. (2 )3 (2 )4=¿
14. (3 )3 (3 )2=¿
15. x3 x5=¿
16. y y4 y3=¿
17. x2 y3 x3 y=¿
18. (x2 )3=¿
19. (a2 )5=¿
20. a a3a2a=¿
21. (x3 )2 (x2 )4=¿
22. a3 (a3 )4=¿
23. [ (a2 )3 ]2=¿
24. [ (−1 )4 ]3=¿
25. (3 x2 )3=¿
26. (5a3)2=¿
27. (2m3 )2=¿
28. (4b4 )3=¿
29. 12 (a2 )4 (b )3=¿
30. 2 (2x2 )3 (3 y3 )2=¿
31. [ (2 x2 )3 ]4=¿
32. [2 (3a2)3 ]2=III .En los ejercicios 33 a 40 reescriba la expresión, empleando exponentes
positivos.
33. a−4=¿
34. ( xy )−2=¿
35. ( 12 )−3
=¿
36. x−1=¿
37. ( 13 )−4
=¿
38. (abc )−3=¿
39. ( xy )−5=¿
40. (4 x )−2=¿
IV.En los ejercicios 41 a 60 efectúe la operación indicada.
41.x3
x=x3−1=¿
42.m7
m4=¿
43.(2 )5
(2 )8=¿
44.x6
x6=¿
45.(3 )4
(3 )3
46.(2x2 )2
2 (x2 )
47. ( xy )0=¿
48. −(25 x0 )2=¿
49. ( xy )3
=¿
50. ( 45 )3
=¿
51. ( x2y )4
=¿
52. ( xyz )3
=¿
53. ( a2bc3 )4
=¿
54. ( 2 x25 y z3 )3
=¿
55. ( 3 x y2z3 )3
=¿
56. [( x2y )3]2
=¿
57. −5 [2 (x0 )5 ]2
58. 2a2[ a34b ]2
59. ( a2b3 )2
=¿
60. ( abc )3
( cab )
3
=¿
VI. En los ejercicios 61 a 94 efectúe la operación,
61. 10 x+3x=¿
62. 5 x2−4 x2+2 x2
63. (5 y3−2 y2+ y )+(4 y2−5 y )=¿
64. (2m2−3m )+(4m2+2m )−(m2+6 )
65. (40x3 y2−25 x y3 )−(15 x3 y2 )=25x3 y2−25 x y3=¿
66. abc−cab−4bac=¿
67. ( x−2 y )−(2 x−3 y )+( x− y )=2x−2 x+3 y−3 y=¿
68. (−5 x ) (4 x2 )=¿
69. (7 x3 ) (3 x y2 )=¿
70. (3 x2 ) (2 x ) (−4 x3 )=¿
71. (a2 ) (4 a5 ) (−2a3 )=¿
72. 5 x ( x−10 )=¿
73. (−2 x2 ) (x2− y )=¿
74. 2a (a2−2a+5 )=¿
75. x2 y (x2−2 xy+ y2 )=¿
76. ( x−5 ) ( x+6 )=¿
77. (a+b ) (a+b )=¿
78. (2 x−3 ) (2x−3 )=¿
79. (a−b ) (a−b )=¿
80. ( x+4 ) (x−4 )=¿
81. ( x−2 ) (x2−4 x+4 )=¿
82.21x5
3 x=¿
83.16 x2 y3
4 x y2
84.10a4b2
(5ab2 c4 )
85.−9 x y2
3 x y3=¿
86.25a2bc3
5 ab2 c4=¿
87.(15 x2−24 x )
(−3 x )
88.(4 x3 y−2 x2 y+8 xy )
2 x=¿
89.(12a3−9 a2+6a )
−3a=¿
90.(3 x2 y z3−4 x y2 z )
(−xyz )=¿
91.(4 x6+6 x3−8x2 )
2x=¿
92.(8a3b2 c−4a2b3 c2 )
4a2bc=¿
93.(48 x3 y2−16 x2 y4+24 x y3 )
−4 x y2=¿
94.(−12x8 y6 z2+28 x5 y4 z5 )
(−4 x3 y )=¿
VII. Solucione los siguientes problemas:1.GANANCIAS Los ingresos totales obtenidos por la venta de x unidades de la máquina fotocopiadora Lectro Copy son de 0.04x2+2000x dólares por semana, y el costo total por la producción de x unidades de estas máquinas es 0,000002x3-0.02x2+1000x+120000 dólares por semana (0≤x≤50000).Determine una expresión que proporcione la ganancia mensual total de la compañía. Sugerencia: La ganancia es igual a los ingresos menos el costo
2. GANANCIAS Un fabricante de raquetas de tenis determina que el costo total de producción de x raquetas por día está dado por 0,0001x2+4x+400 dólares. Cada raqueta se vende a un precio de p dólares, donde p=-0,0004x+10.Encuentre una expresión para la ganancia diaria del fabricante, suponiendo que se pueden vender todas las raquetas fabricadas.Sugerencia: El ingreso total está dado por el número total de raquetas vendidas, multiplicado por el precio de cada raqueta. La ganancia esta dada por el ingreso menos el costo3. GASTOS EN SALUD El gasto en salud por persona (en dólares) por parte del sector privado incluye los pagos realizados por individuos, corporaciones y sus compañías de seguro, y es aproximadamente 2,5t2+18,5t+509 (0≤t≤6) donde t se mide en años y t=0 corresponde al inicio de 1994.El gasto gubernamental correspondiente (en dólares) que comprende los gastos médicos federales, estatales y locales, es 1,1t2+29.1t+429 (0≤t≤6) donde t tiene el significado anterior. De una expresión para la diferencia entre los gastos privados y gubernamental por persona en cualquier instante t. ¿Cuál era la diferencia entre estos gastos al principio de 1998 y de 2000?4. HACINAMIENTO EN PRISIONES Durante la década de los ochenta se vivió una tendencia hacia el castigo y detención tradicionales, opuesta a las políticas penales más liberales y los métodos correccionales de políticas que estuvieron en boga en las dos décadas anteriores. Cómo resultado las cárceles se sobrepoblaron y la diferencia entre el número de personas en prisión y la capacidad de estas se redujo. Con base en las cifras proporcionadas por el departamento de Justicia de Estados Unidos, el número de prisioneros (en miles )en las cárceles federales y estatales es aproximadamente3,5t2+26.7t+436.2 (0≤t≤10) y el numero de internos (en miles ) para los cuales se diseñaron las cárceles esta dado por 24,3t+365 (0≤t≤10)donde t se mide en años y t =0 corresponde a 1984.De una expresión que proporcione la diferencia entre el número de prisioneros y el número para el cuál se diseñaron las presiones en cada tiempo t.
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