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Barranquilla, 6 de noviembre de 2014
UNIVERSIDAD DEL NORTE
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADISTICAS
ECUACIONES DIFERENCIALES - TALLER 14
Tabla 1: Tabla de Transformada de Laplace
L
eat
=1
s− a, s > a L cos at =
s
s2 + a2, s > 0
L tn =n!
sn+1, s > 0 L sin at =
a
s2 + a2, s > 0
L
f ′(t)
= sF (s)− f(0+) L
eatf(t)
= F (s− a)
L f(t− a)U (t− a) = e−asF (s), a > 0
dondeL f(t) = F (s)
GRUPO I
Asuma (la constante de gravedad) g = 10 m/s2
Una masa m2 extiende un resorte una longitud s . A este resorte se le colocauna masa m y se sumerge en un medio que imparte una fuerza viscosa Fβ
cuando la velocidad de la masa es vβ . Si en el instante inicial t = 0 la masase pone en marcha con una velocidad v0 desde una posición x0 y sobre estesistema masa-resorte actúa una fuerza externa F(t) (en N) . Formular el pro-blema de valor inicial que describe el movimiento de la masa y utilizando
únicamente argumentos de transformada de Laplace determine la solucióndel mismo para cada uno de los siguientes casos:
Masa
F(t)
Ejercicios E1
m2 = 0,5 Kg, s = 1 m, m = 5 Kg, Fβ = 4 N, vβ = 2
5, x0 = 0 m, v0 = 1 m/seg
F(t) =
5 cos (t) , 0 ≤ t < π2
5 sin (t) + 5 cos (t) , t ≥ π2
Solución
x (t) =1
2te−t +
1
2sin (t)−
1
4
(
2 cos (t) + e−t+π
2 (−π + 2 t))
U
(
t−π
2
)
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Ejercicios E2
m2 =3
10Kg, s = 1
5m, m = 3 Kg, Fβ = 2 N, vβ = 1
3, x0 = 0 m, v0 = 0 m/seg
F(t) =
90 cos (t) , 0 ≤ t < 1
90 t+ 90 cos (t) , t ≥ 1
Solución
x (t) = 6 cos (t) + 3 sin (t)−3
2e−t (4 cos (2 t) + 3 sin (2 t))
+6
5
(
−2 + 5 t− e1−t (3 cos (2 t− 2) + 4 sin (2 t− 2)))
U (t− 1)
Ejercicios E3
m2 =1
5Kg, s = 1
4m, m = 4 Kg, Fβ = 4 N, vβ = 1
3, x0 = 0 m, v0 = −1 m/seg
F(t) =
120 cos (t) , 0 ≤ t < 2
120 t+ 240 + 120 cos (t) , t ≥ 2
Solución
x (t) = −16 e−t + 3 cos (t) + 9 sin (t) + 13 e−2 t +15
2U (t− 2)
(
1− 12 e2−t + 2 t+ 7e−2 t+4)
Ejercicios E4
m2 =2
5Kg, s = 1
5m, m = 4 Kg, Fβ = 4 N, vβ = 1
4, x0 = 0 m, v0 = 0 m/seg
F(t) =
40 t2 − 40 t, 0 ≤ t < 1
40 t2 − 40, t ≥ 1
Solución
x (t) =84
25−
26 t
5+ 2 t2 −
2
25e−2 t (42 cos (t) + 19 sin (t))
+2
5
(
−9 + 5 t+ e−2 t+2 (4 cos (t− 1) + 3 sin (t− 1)))
U (t− 1)
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GRUPO II
Asuma (la constante de gravedad) g = 10 m/s2
Una masa m2 extiende un resorte una longitud s . A este resorte se le colocauna masa m. Si en el instante inicial t = 0 la masa se pone en marcha con unavelocidad v0 desde una posición x0 y sobre este sistema masa-resorte actúauna fuerza externa F(t) (en N) . Formular el problema de valor inicial quedescribe el movimiento de la masa y utilizando únicamente argumentos de
transformada de Laplace determine la solución del mismo para cada uno delos siguientes casos:
Masa
F(t)
Ejercicios E5
m2 =8
5Kg, s = 1
4m, m = 4 Kg, x0 = 1 m, v0 = 0 m/seg
F(t) =
192 t2 − 192 t, 0 ≤ t < 2
192 t2 − 192, t ≥ 2
Solución
x (t) = −3
8+
11
8cos (4 t) + 3 t2 +
3
4sin (4 t)− 3 t
+3
8U (t− 2)
(
−8 + 8 sin2 (2 t− 4)− sin (4 t− 8) + 4 t)
Ejercicios E6
m2 =9
10Kg, s = 1
3m, m = 3 Kg, x0 = 1 m, v0 = 1 m/seg
F(t) =
15 sin (2 t) 0 ≤ t < π
15 sin (2 t) + 45 cos (2 t) , t ≥ π
Solución
x (t) = sin (2 t)−1
3sin (3 t) + cos (3 t) + 3U (t− π) (cos (2 t) + cos (3 t))
Ejercicios E7
m2 =8
5Kg, s = 1
3m, m = 3 Kg, x0 = 0 m, v0 = −1 m/seg
F(t) =
21 sin (3 t) 0 ≤ t < π
21 sin (3 t) + 63 cos (2 t) , t ≥ π
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Solución
x (t) = sin (3 t)− sin (4 t) +7
4U (t− π) (cos (2 t)− cos (4 t))
Ejercicios E8
m2 =8
5Kg, s = 1 m, m = 4 Kg, x0 = 1 m, v0 = −1 m/seg
F(t) =
80 sin (3 t) 0 ≤ t < π
80 sin (3 t) + 240 cos (2 t) , t ≥ π
Solución
x (t) = −4 sin (3 t) + cos (2 t) +1
2(11 + 30U (t− π) (t− π)) sin (2 t)
GRUPO III
Un circuito en serie RLC consiste de una resistencia R
, un inductor (con inductancia) L, un condensador (concapacitancia) C , y una fuerza electromotriz E(t) (en V).Si en el tiempo t = 0 la carga es q0 = 0 C y la corrientees i0 = 0 A , encontrar la carga y la corriente en cualquiermomento t en cada uno de los siguientes casos:
E
R
L
C
Ejercicios E9
L = 2 H, R = 4Ω y C = 1
4F
E(t) =
10 cos (2 t) 0 ≤ t < π
10 cos (2 t) + 10 sin (2 t) , π ≤ t < 2π
10 cos (2 t) + 10 sin (2 t) + 10 sin (t) , t ≥ 2π
Solución
x (t) = −1
2cos (2 t) + sin (2 t) +
1
2(cos (t)− 3 sin (t)) e−t
+(
sin (t)− 2 cos (t) + e−t+2 π (sin (t) + 2 cos (t)))
U (t− 2π)
−1
2
(
2 cos (2 t) + sin (2 t) + 2 e−t+π (cos (t) + 2 sin (t)))
U (t− π)
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Ejercicios E10
L = 2 H, R = 8Ω y C = 1
10F
E(t) =
50 0 ≤ t < 1
50 t, 1 ≤ t < 2
100 t− 100 t ≥ 2
Solución
x (t) = 5− 5 e−2 t (cos (t) + 2 sin (t))
+(
−14 + 5 t+ e−2 t+4 (3 sin (t− 2) + 4 cos (t− 2)))
U (t− 2)
+(
−9 + 5 t+ e−2 t+2 (3 sin (t− 1) + 4 cos (t− 1)))
U (t− 1)
Ejercicios E11
L = 3 H, R = 12Ω y C = 1
24F
E(t) =
48 t− 48 0 ≤ t < 1
96 t− 96, 1 ≤ t < 2
144 t− 192 t ≥ 2
Solución
x (t) = −3 + 2 t+ e−2 t (3 cos (2 t) + 2 sin (2 t))
+ U (t− 2)(
−5 + e−2 t+4 cos (2 t− 4) + 2 t)
+ U (t− 1)(
−3 + e−2 t+2 cos (2 t− 2) + 2 t)
Ejercicios E12
L = 2 H, R = 8Ω y C = 1
26F
E(t) =
338 t2 0 ≤ t < 1
338 t2 + 338 t − 338, 1 ≤ t < 2
338 t2 + 676 t − 1014 t ≥ 2
Solución
x (t) =6
13− 8 t+ 13 t2 +
2
39(−9 cos (3 t) + 46 sin (3 t)) e−2 t
+1
3
(
−90 + 39 t+ (−5 sin (3 t− 6) + 12 cos (3 t− 6)) e−2 t+4)
U (t− 2)
+1
3
(
−51 + 39 t+ (−5 sin (3 t− 3) + 12 cos (3 t− 3)) e−2 t+2)
U (t− 1)
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GRUPO IV
Ejercicios E13
Calcule la transformada de laplace de las siguientes funciones periódicas
1.1
1 2 3 4 5 6 7
2.1
1 2 3 4 5 6 7
3.1
−1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
4.1
−1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
5.1
−1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(t) = 2t2 − 1, t ∈ [0, 1] f(t) = −2t2 + 8t− 7, t ∈ [2, 3]
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Respuestas Ejercicios E13
1. F (s) = −1
1− e−2 s·−1 + e−s + e−ss
s2
2. F (s) =1
1− e−2 s·1− 2 e−s + e−2 s
s2
3. F (s) =1
1− e−3 s·−2 s+ 4− 5 e−s + e−3 s
2s2
4. F (s) =e−s
(
2 s+ 4− 5 e−ss− 5 e−s + e−2 s)
2(1 − e−3 s)s2
5.
F (s) =1
1− e−3 s·
[
(
s2 + 4 + 4 s)
e−3 s
s3
+
(
s2 − 4)
e−2 s
s3
−s2 − 4
s3−
(
s2 + 4 + 4 s)
e−s
s3
]
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