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MATERIA
CONTROL E INTELIGENCIA COMPUTACIONAL
ALUMNOS
DE LA TORRE MUNIVE OSCAR
FLORES MARTINEZ ROGELIO IGNACIO
PÉREZ DEL ÁNGEL GREGORIO
ROJAS CENTENO ALEJANDRO
CATEDRÁTICO:
Dr. QUINTERO MARMOL MARQUEZ ENRIQUE
REPORTE #4
Cuernavaca, Mor. 25/02/16
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INTRODUCIÓNLos modelos lineales son factibles para analizar, así que convertimos las
funciones no lineales a no lineales, a esto le llamamos linealizacion, esto lo
hacemos mediante una transformaciónes apropiadas de variables, haciendo
simulaciones para comprender el comportamiento de la función, haciéndolo con la
técnica de mínimos cuadrados, llegando al error comparamos el error y podemos
ver que tan desviado esta de los puntos analizados.
Generalmente el modelo que representa un fenómeno natural no es una función
lineal (es decir, su gráfica no es una línea recta). Sin embargo como los modelos
lineales son más fáciles de analizar, se puede tratar de convertir las funciones a la
forma lineal, lo cual en muchas situaciones es posible. A este procedimiento se le
denomina linealización.
Cuando se requiere realizar el análisis dinámico de sistemas no-lineales, puede
tomarse las siguientes alternativas:
1. Transformar el sistema no-lineal en uno lineal haciendo una transformaciónapropiada de sus variables.
2. Simular el sistema no-lineal usando una computadora analógica o digital ycalcular su solución numéricamente.
3. Desarrollar un sistema lineal que aproxime el comportamiento dinámico delsistema no-lineal alrededor del punto específico de operación.
El método más efectivo para determinar los parámetros a y b se conoce como
técnica de mínimos cuadrados. Consiste en someter el sistema a diferentescondiciones, fijando para ello distintos valores de la variable independiente x, y
anotando en cada caso el correspondiente valor medido para la variable
dependiente y. De este modo se dispone de una serie de puntos (x1,y1), ....
(xn,yn) que, representados gráficamente, deberían caer sobre una línea recta. Sin
embargo, los errores experimentales siempre presentes hacen que no se hallen
perfectamente alineados (ver Fig. 1). El método de mínimos cuadrados determina
los valores de los parámetros a y b de la recta ue mejor se ajusta a los datos
experimentales.
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Imagen 1
Las condiciones para que un sistema no lineal se pueda colocar como un sistema
lineal son las siguientes:
1) Superposición
2) Homogeneidad
Superposición
Es la estrategia con que podemos analizar sistemas y señales si una señal de
entrada X[n], que produce una salida Y[n], la descomponemos en señales más
simples X0[n], X1[n], X2[n],….y hacemos pasar cada uno de estos componentes
por el sistema obtenido Y0[n], Y1[n], Y2[n],….
Sintetizando estas señales obtenemos Y[n]
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Imagen 2
Imagen 3
La señal de salida obtenida sintetizando las componentes es igual a la obtenida
pasando la señal de entrada original por el sistema en lugar de tratar de
comprender como se comporta el sistema para señales complicadas, las dividimos
en señales sencillas y sumamos sus respuestas.
A continuación mostraremos una tabla la cual resume el principio de superposición
haciendo más entendible la forma en la que se debe de interpretar.
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SUPERPOSICION
In Out
X1(t) Y1(t)
X2(t) Y2(t)
X1(t)+ Y1(t) Y1(t)+ Y2(t)
Tabla 1
Homogeneidad
Decimos que un sistema es homogéneo cuando un cambio en la amplitud de la
señal de entrada produce una variación proporcional en la señal de salida, si una
señal de entrada X[n], produce una señal de salida Y[n], una señal de entrada
kx[n] dará lugar a una señal ky[n].
Imagen 4
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Un ejemplo muy típico sería el de una resistencia el cual actúa como un sistema
homogéneo con respecto a la corriente.
La señal de entrada es el voltaje aplicado y la señal de salida es la intensidad de
corriente, si duplicamos el voltaje entonces también duplicamos la corriente, cabe
aclarar que este elemento no es homogéneo con respecto a la potencia.
La respuesta de un sistema lineal a una constante múltiplo βk da como resultado:
Entrada X resultado
Βx1 Βy1
Tabla 2
Así mismo los resultados del proceso de linealización son los siguientes:
Si utilizamos señales pequeñas (∆y ∆x) para linealizar ecuaciones diferenciales:
1) Las condiciones iniciales deben de ser Zero si el punto inicial es el punto de
operación alrededor del cual las ecuaciones fueron linealizadas.
2) Las constantes se eliminan.
3) Los coeficientes de la ecuación linealizada son las derivadas parciales de
una función con respecto a cada variable (jacobiano)
“Cada que se obtiene el jacobiano las variables son las variables de perturbación.”
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EJERCICIOS
A continuación se desarrollaran los ejercicios propuestos de la tarea 4.
CONTROL E INTELIGENCIA COMPUTACIONAL
09MCIEO. Cenidet.eqm. Ene-junio-2016
TAREA 4 PROBLEMAS
5.9, 5.15 (b) (JANG); problema 5 anexo incisos (b)(d).
Problema 5
Derive the weighted LSE in equation 5.26 directriz by setting the derivative of theweighted error measure in equation 5.25 to zero.
b) construir la aproximación de mínimos cuadrados de grado 2 y calcular el error.
d) construir la aproximación de mínimos cuadrados de grado 3 y calcular el error.
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Imagen 5
Problema 5 inciso (b)
Se realizo el siguiente programa para el calculo de la aproximacion de minimos
cuadrados partiendo de la siguiente formula y utilizando los datos mostrados en la
tabla anterior.
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Imagen 6
En la ventana de comandos se muestra el resultado de aproximación de mínimos
cuadrados de grado dos obtenidos asi como también el resultado del error
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Imagen 7
Grafica donde se muestra el estimador de los mínimos cuadrados de cadadato dado se muestra en la siguiente imagen 8
Imagen 8
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Problema 5 inciso
programa realizado en matlab
Inciso (d).
Superposición
Imagen 9
Aproximación de mínimos cuadrados de la forma
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Imagen 10
Problema 5.9
The recursive LSE in equation (5.47) can be derived in another way. From
Exercise 4, it is clear that the error measure after k data pairs have been observedcan be expressed as:
Based on , the error measure after observing the kth data pair (a;y) can be
formulated as
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Solución:
Para poder hacer la demostración se cambia la variable .
Se divide la siguiente la ecuación y queta de la siguiente manera
Del libro Neuro-Fuzzy and Soft Computing, se utiliza la siguiente ecuación,
,
Sustituyéndolo en el resultado de la derivada, así también evaluando cuando
De acuerdo al libro Neuro-Fuzzy and Soft Computing
Para demostrar la respuesta de la derivada que sea igual al valor de la ecuación del libro,se hace uso de las siguientes ecuaciones.
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De la se sustituye la
Se sustituye la ecuación anterior en la ,
Se sustituye la ecuación anterior en la respuesta de la derivada
Haciendo un cambio de variable en la ecuación anterior tenemos que entonces seobtiene:
Problema 5.15 (b)
Show that the following two non linears models are intrinsically linear (a):
Tabla 3
Solución:
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1. Conclusión
Los modelos lineales son factibles para analizar, así que convertimos las
funciones no lineales a no lineales, a esto le llamamos linealizacion, esto lo
hacemos mediante una transformaciónes apropiadas de variables, haciendo
simulaciones para comprender el comportamiento de la función, haciéndolo con latécnica de mínimos cuadrados, llegando al error comparamos el error y podemos
ver que tan desviado esta de los puntos analizados.
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