CAMPOS ELECTROMAGNEacuteTICOS
TEMA 1 ndash ANAacuteLISIS VECTORIAL
Ingenieriacutea en Redes y Telecomunicaciones Prof Maacuteximo Domiacutenguez
Ciclo Nov 2009 ndash Ene 2010San Cristoacutebal RD
TABLA DE CONTENIDO
1 ESCALARES Y VECTORES
2 AacuteLGEBRA DE VECTORES
3 EL SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULAR
4 COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS
5 EL PRODUCTO PUNTO
6 EL PRODUCTO CRUZ
7 OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS
ESCALARES Y VECTORES
El teacutermino escalar se refiere a una cantidad cuyo valor puede representarse con un simple nuacutemero real (positivo o negativo) por tanto soacutelo posee magnitudEjemplos tiempo masa distancia temperatura potencial eleacutectrico poblacioacuten
Un vector es una cantidad que posee tanto magnitud como direccioacutenEjemplos velocidad fuerza desplazamiento intensidad de campo eleacutectrico
Un campo es una funcioacuten que especifica una cantidad particular en cualquier parte de una regioacutenEjemplos de Campos Escalares distribucioacuten de la temperatura en un edificio intensidad del sonido en un teatro potencial eleacutectrico en una regioacutenEjemplos de Campos Vectoriales fuerza gravitacional velocidad de las gotas de lluvia en la atmoacutesfera
1
AacuteLGEBRA VECTORIAL
VEAMOS ALGUNAS REGLAS
1La suma vectorial sigue la ley del paralelogramo
La suma vectorial satisface las propiedades conmutativa y asociativa es decir
A + B = B + AA + (B + C) = (A + B) + C
2La sustraccioacuten A ndash B se puede expresar como A + (-B) El signo y la direccioacuten del segundo vector se invierten y se aplica la primera regla
2
Vectores Coplanare
s
AacuteLGEBRA VECTORIAL
VEAMOS ALGUNAS REGLAS (CONT)
3Los vectores pueden multiplicarse por escalares
Si el escalar es positivo entoncesel vector cambia de magnitud pero no de direccioacuten
Si el escalar es negativo entoncesla direccioacuten del vector se invierte
4La divisioacuten de un vector por un escalar consiste en la multiplicacioacuten por el reciacuteproco de dicho escalar
5Dos vectores son iguales si su diferencia es cero es decir A = B si A ndash B = 0
3
La multiplicacioacuten de un vector por un escalar tambieacuten tiene las propiedades asociativa y distributiva es decir
(r + s)(A + B) = r(A + B) + s(A + B)(r + s)(A + B) = rA + rB + sA + sB
EL SISTEMA DE COORDENADASRECTANGULAR O CARTESIANO
4
(a)Un sistema de coordenadas cartesianas de la mano derecha Si los dedos doblados de la mano derecha indican la direccioacuten de giro por medio de la cual el eje x se hariacutea coincidir con el eje y el pulgar muestra la direccioacuten del eje z
(b)Localizacioacuten de los puntos P(123) y Q(2-21)
(c) Elemento diferencial de volumen en coordenadas cartesianas dx dy y dz son en general diferenciales independientes
Un punto P se representa mediante las coordenadas (xyz) Los intervalos de las variables de las coordenadas x y y z van desde -infin hasta + infin
Sistema Ortogonal
COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS
5
Un vector A posee tanto magnitud como direccioacuten La magnitud de A es un escalar el cual se escribe A o |A| Un vector unitario aA a lo largo de A es un vector cuya magnitud = 1 y cuya direccioacuten sigue la direccioacuten de A esto es
Siendo
Normalmente el vector unitario se denota utilizando uno de estos siacutembolosuA aA 1A o simplemente a
Si se tiene en cuenta que | aA |= 1 A se puede expresar
A = AaA
Un vector A se puede expresar en coordenadas cartesianas asiacute (Ax Ay Az) o Axax + Ayay + Azaz
AA
A
A
Aa
2z
2y
2x AAA A
COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)
6
(a)Componentes vectoriales x y y z del vector r
(b)Los vectores unitarios del sistema de coordenadas cartesianas tienen magnitud unitaria y se dirigen hacia donde aumentan los valores de las respectivas variables
(c) El vector RPQ es igual al vector diferencia rQ - rP
COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)
7
Ejemplo 11
Especificar el vector unitario dirigido desde el origen hacia el punto G(2-2-1)
Solucioacuten
1Se construye un vector que se extienda desde el origen hasta el punto G
G = 2ax ndash 2ay ndashaz
2Se determina la magnitud de G
3Se expresa el vector unitario deseado como el cociente
2z
2y
2x GGG G
3122 222 G
zyxG 3
1
3
2
3
2aaaa
G
G
G
G
zyxG 033306670667 aaaa
COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)
8
D11
Dados los puntos M(-121) N(3-30) y P(-2-3-4) encontrar
a)RMN
b)RMN + RMP
c)|rM|
d)aMP
e)|2rP ndash 3rN|
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestasa)4ax ndash 5ay ndash az
b)3ax ndash 10ay ndash 6az
c)245d)-014ax ndash 07ay ndash 07az
e)1556
EL PRODUCTO PUNTO
9
Dados dos vectores A y B el Producto Punto o Producto Escalar se define
El producto escalar obedece a la ley conmutativa esto es
La expresioacuten se lee A punto B
Ej de producto punto
ABCosθBABA
ABBA El signo del aacutengulo no afecta el teacutermino coseno
BA
LF dTrabajo
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
10
El producto punto de dos vectores expresados en componentes cartesianas sigue la ley distributiva como se muestra a continuacioacutenSean los vectores A y B
El producto produce la suma de 9 teacuterminos escalares y en los cuales se involucra el producto punto de dos vectores unitarios Como el aacutengulo entre dos vectores unitarios diferentes es de 90deg en coordenadas cartesianas entonces se cumple que
Resultando que
zzyyxx
zzyyxx
BBB
AAA
bbbB
aaaA
BA
0yzzyxzzxxyyx babababababa
zzyyxx BABABA BA
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
11
Una aplicacioacuten del producto punto consiste en encontrar la componente de un vector en una direccioacuten dada Por ejemplo la componente escalar del vector B en la direccioacuten del vector unitario a se expresa
La componente tiene signo positivo si se cumple que y negativo cuando
Por otro lado para obtener la componente vectorial de B en la direccioacuten de a se multiplica la componente escalar por del vector B por a
BacosθaBaB 900 Ba
18090 Ba
a) La componente escalar de B en la direccioacuten del vector unitario a es Ba
b) La componente vectorial de B en la direccioacuten del vector unitario a es (Ba)a
12
Ejemplo 12
Considere el campo vectorial G = yax ndash 25xay + 3az y el punto Q(452) Se desea encontrar 1G en Q 2La componente escalar de G en Q en la direccioacuten de 3La componente vectorial de G en Q en la direccioacuten de aN
4Y el aacutengulo θGa entre G(rQ) y aN
Solucioacuten
1Se sustituyen las coordenadas del punto Q en la expresioacuten G
G(rQ) = 5ax ndash 10ay + 3az
2Luego se encuentra la componente escalar Utilizando el producto punto se tiene
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
zyxN 223
1aaaa
2610103
122
3
13105 zyxzyxN aaaaaaaG
13
Ejemplo 12 (Cont)
Solucioacuten
3Se obtiene la componente vectorial multiplicando la componente escalar por el vector unitario en la direccioacuten aN
4Y el aacutengulo entre G(rQ) y aN se obtiene
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
zyxzyxNN 333166703331-223
12 aaaaaaaaG
999134
2cosθ
cosθ9100252
cosθ
1Ga
Ga
GaN
GaG
14
D13
Los tres veacutertices de un triaacutengulo se encuentran en A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar
a)RAB
b)RAC
c)El aacutengulo θBAC en el veacutertice A
d)La proyeccioacuten vectorial de RAB
en RAC
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-8ax + 4ay ndash 6az
b)-9ax + 2ay + 3az
c)536degd)-594ax + 1319ay + 1979az
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
EL PRODUCTO CRUZ
15
Dados dos vectores A y B el Producto Cruz o Producto Vectorial se define
En este caso el subiacutendice N hace referencia a la normalLa expresioacuten se lee A cruz B
El producto cruz es un vector cuya magnitud es igual al producto de las magnitudes de A B y el seno del aacutengulo maacutes pequentildeo entre A y B
La direccioacuten de estaacute en la direccioacuten del tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B
ABN SenθBAaBA
BA
BA
BA
EL PRODUCTO CRUZ (CONT)
16
El producto cruz no es conmutativo puesto que
De lo anterior se verifica que
ABBA
0
0
0
zz
yy
xx
yzx
xyz
zxy
yxz
xzy
zyx
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaaBA
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
BABABA
BABABA
BABABA
A continuacioacuten se muestra el desarrollo del producto cruz en coordenadas cartesianas
Este resultado se puede expresar en la forma
zyx aaaBA xyyxzxxzyzzy BABABABABABA
zyx
zyx
BBB
AAAzyx aaa
BA Maacutes Faacutecil Verdad
17
D14
Un triaacutengulo se define por tres puntos A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar
a)RAB x RAC
b)El aacuterea del triaacutenguloc)Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triaacutengulo
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)24ax + 78ay + 20az
b)420c)0286ax + 0928ay + 0238az
EL PRODUCTO CRUZ (CONT)
18
Representacioacuten de un punto P En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z recibe el nombre de aacutengulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy y z es igual en el sistema cartesiano
Intervalos
En coordenadas ciliacutendricas un vector A se puede expresar o
La magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES]
z
z
20
0
zAAA zzφφρρ AAA aaa
2
1222zAAA A
Je Je hellip
iquestCuaacutel es la unidad de aφ
Vectores Unitarios Los vectores unitarios aρ aφ y az son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
z
z
z
zz
0
0
0
1
1
1
z
z
19
a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares
b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular
c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
20
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
zzx
yyx tan 122
zzyx
zyxz
zzyx sincos
21
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten de un Vector Unitario
De las figuras se deduce que
zz
y
x
aa
aaa
aaa
cossin
sincos
zz
yx
yx
aa
aaa
aaa
cossin
sincos Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
22
Ejemplo 13
Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
2Luego
ρφρcosφρsinxcosφysinφ
aaxaayaBB
0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ
aaxaayaBB
22
φyφxφφ
ρyρxρρ
zφ zaρaB
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
23
D15
a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
24
D16
Transformar a coordenadas ciliacutendricas
a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)1281aρ + 6az
b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
25
Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)
Intervalos
En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]
r
r
20
0
0
r
AAAr φφrr AAA aaa
2
1222 AAAr A
Je Je hellip
iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante
Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
r
r
r
r
r
rr
0
0
0
1
1
1
26
a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas
b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas
c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ
d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
27
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
Transformacioacuten Escalar
x
y
z
yxzyxr 1
221222 tantan
rzyx
zyxr
cossinsincossin rzryrx
x
y
zyx
zzyxr 1
222
1222 tancos
28
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Relacioacuten entre Vectores Unitarios
aaa
aaaa
aaaa
sincos
cossincossinsin
sincoscoscossin
rz
ry
rx
yx
zyx
zyxr
aaa
aaaa
aaaa
cossin
sinsincoscoscos
cossinsincossin
Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
29
Ejemplo 14
Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
sin
coscos
coscosaaaGG
sin
coscossin
cossinaaaGG
22
x
2
rxrr
r
y
xz
y
xz
r
y
xz
y
xz
)aacotcacot(sincoscosG r osr
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 Cont Punto anterior
2 Luego
coscos
sinaaaGG x
r
y
xz
y
xz
30
D17
Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar
a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
31
D18
Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados
a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ
b)390ar + 312aθ + 866aφ
c)-342ar ndash 940aθ
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN
TABLA DE CONTENIDO
1 ESCALARES Y VECTORES
2 AacuteLGEBRA DE VECTORES
3 EL SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULAR
4 COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS
5 EL PRODUCTO PUNTO
6 EL PRODUCTO CRUZ
7 OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS
ESCALARES Y VECTORES
El teacutermino escalar se refiere a una cantidad cuyo valor puede representarse con un simple nuacutemero real (positivo o negativo) por tanto soacutelo posee magnitudEjemplos tiempo masa distancia temperatura potencial eleacutectrico poblacioacuten
Un vector es una cantidad que posee tanto magnitud como direccioacutenEjemplos velocidad fuerza desplazamiento intensidad de campo eleacutectrico
Un campo es una funcioacuten que especifica una cantidad particular en cualquier parte de una regioacutenEjemplos de Campos Escalares distribucioacuten de la temperatura en un edificio intensidad del sonido en un teatro potencial eleacutectrico en una regioacutenEjemplos de Campos Vectoriales fuerza gravitacional velocidad de las gotas de lluvia en la atmoacutesfera
1
AacuteLGEBRA VECTORIAL
VEAMOS ALGUNAS REGLAS
1La suma vectorial sigue la ley del paralelogramo
La suma vectorial satisface las propiedades conmutativa y asociativa es decir
A + B = B + AA + (B + C) = (A + B) + C
2La sustraccioacuten A ndash B se puede expresar como A + (-B) El signo y la direccioacuten del segundo vector se invierten y se aplica la primera regla
2
Vectores Coplanare
s
AacuteLGEBRA VECTORIAL
VEAMOS ALGUNAS REGLAS (CONT)
3Los vectores pueden multiplicarse por escalares
Si el escalar es positivo entoncesel vector cambia de magnitud pero no de direccioacuten
Si el escalar es negativo entoncesla direccioacuten del vector se invierte
4La divisioacuten de un vector por un escalar consiste en la multiplicacioacuten por el reciacuteproco de dicho escalar
5Dos vectores son iguales si su diferencia es cero es decir A = B si A ndash B = 0
3
La multiplicacioacuten de un vector por un escalar tambieacuten tiene las propiedades asociativa y distributiva es decir
(r + s)(A + B) = r(A + B) + s(A + B)(r + s)(A + B) = rA + rB + sA + sB
EL SISTEMA DE COORDENADASRECTANGULAR O CARTESIANO
4
(a)Un sistema de coordenadas cartesianas de la mano derecha Si los dedos doblados de la mano derecha indican la direccioacuten de giro por medio de la cual el eje x se hariacutea coincidir con el eje y el pulgar muestra la direccioacuten del eje z
(b)Localizacioacuten de los puntos P(123) y Q(2-21)
(c) Elemento diferencial de volumen en coordenadas cartesianas dx dy y dz son en general diferenciales independientes
Un punto P se representa mediante las coordenadas (xyz) Los intervalos de las variables de las coordenadas x y y z van desde -infin hasta + infin
Sistema Ortogonal
COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS
5
Un vector A posee tanto magnitud como direccioacuten La magnitud de A es un escalar el cual se escribe A o |A| Un vector unitario aA a lo largo de A es un vector cuya magnitud = 1 y cuya direccioacuten sigue la direccioacuten de A esto es
Siendo
Normalmente el vector unitario se denota utilizando uno de estos siacutembolosuA aA 1A o simplemente a
Si se tiene en cuenta que | aA |= 1 A se puede expresar
A = AaA
Un vector A se puede expresar en coordenadas cartesianas asiacute (Ax Ay Az) o Axax + Ayay + Azaz
AA
A
A
Aa
2z
2y
2x AAA A
COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)
6
(a)Componentes vectoriales x y y z del vector r
(b)Los vectores unitarios del sistema de coordenadas cartesianas tienen magnitud unitaria y se dirigen hacia donde aumentan los valores de las respectivas variables
(c) El vector RPQ es igual al vector diferencia rQ - rP
COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)
7
Ejemplo 11
Especificar el vector unitario dirigido desde el origen hacia el punto G(2-2-1)
Solucioacuten
1Se construye un vector que se extienda desde el origen hasta el punto G
G = 2ax ndash 2ay ndashaz
2Se determina la magnitud de G
3Se expresa el vector unitario deseado como el cociente
2z
2y
2x GGG G
3122 222 G
zyxG 3
1
3
2
3
2aaaa
G
G
G
G
zyxG 033306670667 aaaa
COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)
8
D11
Dados los puntos M(-121) N(3-30) y P(-2-3-4) encontrar
a)RMN
b)RMN + RMP
c)|rM|
d)aMP
e)|2rP ndash 3rN|
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestasa)4ax ndash 5ay ndash az
b)3ax ndash 10ay ndash 6az
c)245d)-014ax ndash 07ay ndash 07az
e)1556
EL PRODUCTO PUNTO
9
Dados dos vectores A y B el Producto Punto o Producto Escalar se define
El producto escalar obedece a la ley conmutativa esto es
La expresioacuten se lee A punto B
Ej de producto punto
ABCosθBABA
ABBA El signo del aacutengulo no afecta el teacutermino coseno
BA
LF dTrabajo
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
10
El producto punto de dos vectores expresados en componentes cartesianas sigue la ley distributiva como se muestra a continuacioacutenSean los vectores A y B
El producto produce la suma de 9 teacuterminos escalares y en los cuales se involucra el producto punto de dos vectores unitarios Como el aacutengulo entre dos vectores unitarios diferentes es de 90deg en coordenadas cartesianas entonces se cumple que
Resultando que
zzyyxx
zzyyxx
BBB
AAA
bbbB
aaaA
BA
0yzzyxzzxxyyx babababababa
zzyyxx BABABA BA
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
11
Una aplicacioacuten del producto punto consiste en encontrar la componente de un vector en una direccioacuten dada Por ejemplo la componente escalar del vector B en la direccioacuten del vector unitario a se expresa
La componente tiene signo positivo si se cumple que y negativo cuando
Por otro lado para obtener la componente vectorial de B en la direccioacuten de a se multiplica la componente escalar por del vector B por a
BacosθaBaB 900 Ba
18090 Ba
a) La componente escalar de B en la direccioacuten del vector unitario a es Ba
b) La componente vectorial de B en la direccioacuten del vector unitario a es (Ba)a
12
Ejemplo 12
Considere el campo vectorial G = yax ndash 25xay + 3az y el punto Q(452) Se desea encontrar 1G en Q 2La componente escalar de G en Q en la direccioacuten de 3La componente vectorial de G en Q en la direccioacuten de aN
4Y el aacutengulo θGa entre G(rQ) y aN
Solucioacuten
1Se sustituyen las coordenadas del punto Q en la expresioacuten G
G(rQ) = 5ax ndash 10ay + 3az
2Luego se encuentra la componente escalar Utilizando el producto punto se tiene
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
zyxN 223
1aaaa
2610103
122
3
13105 zyxzyxN aaaaaaaG
13
Ejemplo 12 (Cont)
Solucioacuten
3Se obtiene la componente vectorial multiplicando la componente escalar por el vector unitario en la direccioacuten aN
4Y el aacutengulo entre G(rQ) y aN se obtiene
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
zyxzyxNN 333166703331-223
12 aaaaaaaaG
999134
2cosθ
cosθ9100252
cosθ
1Ga
Ga
GaN
GaG
14
D13
Los tres veacutertices de un triaacutengulo se encuentran en A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar
a)RAB
b)RAC
c)El aacutengulo θBAC en el veacutertice A
d)La proyeccioacuten vectorial de RAB
en RAC
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-8ax + 4ay ndash 6az
b)-9ax + 2ay + 3az
c)536degd)-594ax + 1319ay + 1979az
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
EL PRODUCTO CRUZ
15
Dados dos vectores A y B el Producto Cruz o Producto Vectorial se define
En este caso el subiacutendice N hace referencia a la normalLa expresioacuten se lee A cruz B
El producto cruz es un vector cuya magnitud es igual al producto de las magnitudes de A B y el seno del aacutengulo maacutes pequentildeo entre A y B
La direccioacuten de estaacute en la direccioacuten del tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B
ABN SenθBAaBA
BA
BA
BA
EL PRODUCTO CRUZ (CONT)
16
El producto cruz no es conmutativo puesto que
De lo anterior se verifica que
ABBA
0
0
0
zz
yy
xx
yzx
xyz
zxy
yxz
xzy
zyx
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaaBA
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
BABABA
BABABA
BABABA
A continuacioacuten se muestra el desarrollo del producto cruz en coordenadas cartesianas
Este resultado se puede expresar en la forma
zyx aaaBA xyyxzxxzyzzy BABABABABABA
zyx
zyx
BBB
AAAzyx aaa
BA Maacutes Faacutecil Verdad
17
D14
Un triaacutengulo se define por tres puntos A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar
a)RAB x RAC
b)El aacuterea del triaacutenguloc)Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triaacutengulo
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)24ax + 78ay + 20az
b)420c)0286ax + 0928ay + 0238az
EL PRODUCTO CRUZ (CONT)
18
Representacioacuten de un punto P En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z recibe el nombre de aacutengulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy y z es igual en el sistema cartesiano
Intervalos
En coordenadas ciliacutendricas un vector A se puede expresar o
La magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES]
z
z
20
0
zAAA zzφφρρ AAA aaa
2
1222zAAA A
Je Je hellip
iquestCuaacutel es la unidad de aφ
Vectores Unitarios Los vectores unitarios aρ aφ y az son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
z
z
z
zz
0
0
0
1
1
1
z
z
19
a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares
b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular
c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
20
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
zzx
yyx tan 122
zzyx
zyxz
zzyx sincos
21
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten de un Vector Unitario
De las figuras se deduce que
zz
y
x
aa
aaa
aaa
cossin
sincos
zz
yx
yx
aa
aaa
aaa
cossin
sincos Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
22
Ejemplo 13
Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
2Luego
ρφρcosφρsinxcosφysinφ
aaxaayaBB
0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ
aaxaayaBB
22
φyφxφφ
ρyρxρρ
zφ zaρaB
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
23
D15
a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
24
D16
Transformar a coordenadas ciliacutendricas
a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)1281aρ + 6az
b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
25
Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)
Intervalos
En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]
r
r
20
0
0
r
AAAr φφrr AAA aaa
2
1222 AAAr A
Je Je hellip
iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante
Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
r
r
r
r
r
rr
0
0
0
1
1
1
26
a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas
b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas
c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ
d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
27
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
Transformacioacuten Escalar
x
y
z
yxzyxr 1
221222 tantan
rzyx
zyxr
cossinsincossin rzryrx
x
y
zyx
zzyxr 1
222
1222 tancos
28
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Relacioacuten entre Vectores Unitarios
aaa
aaaa
aaaa
sincos
cossincossinsin
sincoscoscossin
rz
ry
rx
yx
zyx
zyxr
aaa
aaaa
aaaa
cossin
sinsincoscoscos
cossinsincossin
Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
29
Ejemplo 14
Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
sin
coscos
coscosaaaGG
sin
coscossin
cossinaaaGG
22
x
2
rxrr
r
y
xz
y
xz
r
y
xz
y
xz
)aacotcacot(sincoscosG r osr
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 Cont Punto anterior
2 Luego
coscos
sinaaaGG x
r
y
xz
y
xz
30
D17
Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar
a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
31
D18
Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados
a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ
b)390ar + 312aθ + 866aφ
c)-342ar ndash 940aθ
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN
ESCALARES Y VECTORES
El teacutermino escalar se refiere a una cantidad cuyo valor puede representarse con un simple nuacutemero real (positivo o negativo) por tanto soacutelo posee magnitudEjemplos tiempo masa distancia temperatura potencial eleacutectrico poblacioacuten
Un vector es una cantidad que posee tanto magnitud como direccioacutenEjemplos velocidad fuerza desplazamiento intensidad de campo eleacutectrico
Un campo es una funcioacuten que especifica una cantidad particular en cualquier parte de una regioacutenEjemplos de Campos Escalares distribucioacuten de la temperatura en un edificio intensidad del sonido en un teatro potencial eleacutectrico en una regioacutenEjemplos de Campos Vectoriales fuerza gravitacional velocidad de las gotas de lluvia en la atmoacutesfera
1
AacuteLGEBRA VECTORIAL
VEAMOS ALGUNAS REGLAS
1La suma vectorial sigue la ley del paralelogramo
La suma vectorial satisface las propiedades conmutativa y asociativa es decir
A + B = B + AA + (B + C) = (A + B) + C
2La sustraccioacuten A ndash B se puede expresar como A + (-B) El signo y la direccioacuten del segundo vector se invierten y se aplica la primera regla
2
Vectores Coplanare
s
AacuteLGEBRA VECTORIAL
VEAMOS ALGUNAS REGLAS (CONT)
3Los vectores pueden multiplicarse por escalares
Si el escalar es positivo entoncesel vector cambia de magnitud pero no de direccioacuten
Si el escalar es negativo entoncesla direccioacuten del vector se invierte
4La divisioacuten de un vector por un escalar consiste en la multiplicacioacuten por el reciacuteproco de dicho escalar
5Dos vectores son iguales si su diferencia es cero es decir A = B si A ndash B = 0
3
La multiplicacioacuten de un vector por un escalar tambieacuten tiene las propiedades asociativa y distributiva es decir
(r + s)(A + B) = r(A + B) + s(A + B)(r + s)(A + B) = rA + rB + sA + sB
EL SISTEMA DE COORDENADASRECTANGULAR O CARTESIANO
4
(a)Un sistema de coordenadas cartesianas de la mano derecha Si los dedos doblados de la mano derecha indican la direccioacuten de giro por medio de la cual el eje x se hariacutea coincidir con el eje y el pulgar muestra la direccioacuten del eje z
(b)Localizacioacuten de los puntos P(123) y Q(2-21)
(c) Elemento diferencial de volumen en coordenadas cartesianas dx dy y dz son en general diferenciales independientes
Un punto P se representa mediante las coordenadas (xyz) Los intervalos de las variables de las coordenadas x y y z van desde -infin hasta + infin
Sistema Ortogonal
COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS
5
Un vector A posee tanto magnitud como direccioacuten La magnitud de A es un escalar el cual se escribe A o |A| Un vector unitario aA a lo largo de A es un vector cuya magnitud = 1 y cuya direccioacuten sigue la direccioacuten de A esto es
Siendo
Normalmente el vector unitario se denota utilizando uno de estos siacutembolosuA aA 1A o simplemente a
Si se tiene en cuenta que | aA |= 1 A se puede expresar
A = AaA
Un vector A se puede expresar en coordenadas cartesianas asiacute (Ax Ay Az) o Axax + Ayay + Azaz
AA
A
A
Aa
2z
2y
2x AAA A
COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)
6
(a)Componentes vectoriales x y y z del vector r
(b)Los vectores unitarios del sistema de coordenadas cartesianas tienen magnitud unitaria y se dirigen hacia donde aumentan los valores de las respectivas variables
(c) El vector RPQ es igual al vector diferencia rQ - rP
COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)
7
Ejemplo 11
Especificar el vector unitario dirigido desde el origen hacia el punto G(2-2-1)
Solucioacuten
1Se construye un vector que se extienda desde el origen hasta el punto G
G = 2ax ndash 2ay ndashaz
2Se determina la magnitud de G
3Se expresa el vector unitario deseado como el cociente
2z
2y
2x GGG G
3122 222 G
zyxG 3
1
3
2
3
2aaaa
G
G
G
G
zyxG 033306670667 aaaa
COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)
8
D11
Dados los puntos M(-121) N(3-30) y P(-2-3-4) encontrar
a)RMN
b)RMN + RMP
c)|rM|
d)aMP
e)|2rP ndash 3rN|
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestasa)4ax ndash 5ay ndash az
b)3ax ndash 10ay ndash 6az
c)245d)-014ax ndash 07ay ndash 07az
e)1556
EL PRODUCTO PUNTO
9
Dados dos vectores A y B el Producto Punto o Producto Escalar se define
El producto escalar obedece a la ley conmutativa esto es
La expresioacuten se lee A punto B
Ej de producto punto
ABCosθBABA
ABBA El signo del aacutengulo no afecta el teacutermino coseno
BA
LF dTrabajo
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
10
El producto punto de dos vectores expresados en componentes cartesianas sigue la ley distributiva como se muestra a continuacioacutenSean los vectores A y B
El producto produce la suma de 9 teacuterminos escalares y en los cuales se involucra el producto punto de dos vectores unitarios Como el aacutengulo entre dos vectores unitarios diferentes es de 90deg en coordenadas cartesianas entonces se cumple que
Resultando que
zzyyxx
zzyyxx
BBB
AAA
bbbB
aaaA
BA
0yzzyxzzxxyyx babababababa
zzyyxx BABABA BA
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
11
Una aplicacioacuten del producto punto consiste en encontrar la componente de un vector en una direccioacuten dada Por ejemplo la componente escalar del vector B en la direccioacuten del vector unitario a se expresa
La componente tiene signo positivo si se cumple que y negativo cuando
Por otro lado para obtener la componente vectorial de B en la direccioacuten de a se multiplica la componente escalar por del vector B por a
BacosθaBaB 900 Ba
18090 Ba
a) La componente escalar de B en la direccioacuten del vector unitario a es Ba
b) La componente vectorial de B en la direccioacuten del vector unitario a es (Ba)a
12
Ejemplo 12
Considere el campo vectorial G = yax ndash 25xay + 3az y el punto Q(452) Se desea encontrar 1G en Q 2La componente escalar de G en Q en la direccioacuten de 3La componente vectorial de G en Q en la direccioacuten de aN
4Y el aacutengulo θGa entre G(rQ) y aN
Solucioacuten
1Se sustituyen las coordenadas del punto Q en la expresioacuten G
G(rQ) = 5ax ndash 10ay + 3az
2Luego se encuentra la componente escalar Utilizando el producto punto se tiene
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
zyxN 223
1aaaa
2610103
122
3
13105 zyxzyxN aaaaaaaG
13
Ejemplo 12 (Cont)
Solucioacuten
3Se obtiene la componente vectorial multiplicando la componente escalar por el vector unitario en la direccioacuten aN
4Y el aacutengulo entre G(rQ) y aN se obtiene
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
zyxzyxNN 333166703331-223
12 aaaaaaaaG
999134
2cosθ
cosθ9100252
cosθ
1Ga
Ga
GaN
GaG
14
D13
Los tres veacutertices de un triaacutengulo se encuentran en A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar
a)RAB
b)RAC
c)El aacutengulo θBAC en el veacutertice A
d)La proyeccioacuten vectorial de RAB
en RAC
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-8ax + 4ay ndash 6az
b)-9ax + 2ay + 3az
c)536degd)-594ax + 1319ay + 1979az
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
EL PRODUCTO CRUZ
15
Dados dos vectores A y B el Producto Cruz o Producto Vectorial se define
En este caso el subiacutendice N hace referencia a la normalLa expresioacuten se lee A cruz B
El producto cruz es un vector cuya magnitud es igual al producto de las magnitudes de A B y el seno del aacutengulo maacutes pequentildeo entre A y B
La direccioacuten de estaacute en la direccioacuten del tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B
ABN SenθBAaBA
BA
BA
BA
EL PRODUCTO CRUZ (CONT)
16
El producto cruz no es conmutativo puesto que
De lo anterior se verifica que
ABBA
0
0
0
zz
yy
xx
yzx
xyz
zxy
yxz
xzy
zyx
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaaBA
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
BABABA
BABABA
BABABA
A continuacioacuten se muestra el desarrollo del producto cruz en coordenadas cartesianas
Este resultado se puede expresar en la forma
zyx aaaBA xyyxzxxzyzzy BABABABABABA
zyx
zyx
BBB
AAAzyx aaa
BA Maacutes Faacutecil Verdad
17
D14
Un triaacutengulo se define por tres puntos A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar
a)RAB x RAC
b)El aacuterea del triaacutenguloc)Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triaacutengulo
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)24ax + 78ay + 20az
b)420c)0286ax + 0928ay + 0238az
EL PRODUCTO CRUZ (CONT)
18
Representacioacuten de un punto P En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z recibe el nombre de aacutengulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy y z es igual en el sistema cartesiano
Intervalos
En coordenadas ciliacutendricas un vector A se puede expresar o
La magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES]
z
z
20
0
zAAA zzφφρρ AAA aaa
2
1222zAAA A
Je Je hellip
iquestCuaacutel es la unidad de aφ
Vectores Unitarios Los vectores unitarios aρ aφ y az son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
z
z
z
zz
0
0
0
1
1
1
z
z
19
a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares
b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular
c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
20
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
zzx
yyx tan 122
zzyx
zyxz
zzyx sincos
21
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten de un Vector Unitario
De las figuras se deduce que
zz
y
x
aa
aaa
aaa
cossin
sincos
zz
yx
yx
aa
aaa
aaa
cossin
sincos Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
22
Ejemplo 13
Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
2Luego
ρφρcosφρsinxcosφysinφ
aaxaayaBB
0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ
aaxaayaBB
22
φyφxφφ
ρyρxρρ
zφ zaρaB
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
23
D15
a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
24
D16
Transformar a coordenadas ciliacutendricas
a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)1281aρ + 6az
b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
25
Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)
Intervalos
En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]
r
r
20
0
0
r
AAAr φφrr AAA aaa
2
1222 AAAr A
Je Je hellip
iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante
Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
r
r
r
r
r
rr
0
0
0
1
1
1
26
a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas
b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas
c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ
d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
27
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
Transformacioacuten Escalar
x
y
z
yxzyxr 1
221222 tantan
rzyx
zyxr
cossinsincossin rzryrx
x
y
zyx
zzyxr 1
222
1222 tancos
28
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Relacioacuten entre Vectores Unitarios
aaa
aaaa
aaaa
sincos
cossincossinsin
sincoscoscossin
rz
ry
rx
yx
zyx
zyxr
aaa
aaaa
aaaa
cossin
sinsincoscoscos
cossinsincossin
Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
29
Ejemplo 14
Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
sin
coscos
coscosaaaGG
sin
coscossin
cossinaaaGG
22
x
2
rxrr
r
y
xz
y
xz
r
y
xz
y
xz
)aacotcacot(sincoscosG r osr
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 Cont Punto anterior
2 Luego
coscos
sinaaaGG x
r
y
xz
y
xz
30
D17
Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar
a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
31
D18
Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados
a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ
b)390ar + 312aθ + 866aφ
c)-342ar ndash 940aθ
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN
AacuteLGEBRA VECTORIAL
VEAMOS ALGUNAS REGLAS
1La suma vectorial sigue la ley del paralelogramo
La suma vectorial satisface las propiedades conmutativa y asociativa es decir
A + B = B + AA + (B + C) = (A + B) + C
2La sustraccioacuten A ndash B se puede expresar como A + (-B) El signo y la direccioacuten del segundo vector se invierten y se aplica la primera regla
2
Vectores Coplanare
s
AacuteLGEBRA VECTORIAL
VEAMOS ALGUNAS REGLAS (CONT)
3Los vectores pueden multiplicarse por escalares
Si el escalar es positivo entoncesel vector cambia de magnitud pero no de direccioacuten
Si el escalar es negativo entoncesla direccioacuten del vector se invierte
4La divisioacuten de un vector por un escalar consiste en la multiplicacioacuten por el reciacuteproco de dicho escalar
5Dos vectores son iguales si su diferencia es cero es decir A = B si A ndash B = 0
3
La multiplicacioacuten de un vector por un escalar tambieacuten tiene las propiedades asociativa y distributiva es decir
(r + s)(A + B) = r(A + B) + s(A + B)(r + s)(A + B) = rA + rB + sA + sB
EL SISTEMA DE COORDENADASRECTANGULAR O CARTESIANO
4
(a)Un sistema de coordenadas cartesianas de la mano derecha Si los dedos doblados de la mano derecha indican la direccioacuten de giro por medio de la cual el eje x se hariacutea coincidir con el eje y el pulgar muestra la direccioacuten del eje z
(b)Localizacioacuten de los puntos P(123) y Q(2-21)
(c) Elemento diferencial de volumen en coordenadas cartesianas dx dy y dz son en general diferenciales independientes
Un punto P se representa mediante las coordenadas (xyz) Los intervalos de las variables de las coordenadas x y y z van desde -infin hasta + infin
Sistema Ortogonal
COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS
5
Un vector A posee tanto magnitud como direccioacuten La magnitud de A es un escalar el cual se escribe A o |A| Un vector unitario aA a lo largo de A es un vector cuya magnitud = 1 y cuya direccioacuten sigue la direccioacuten de A esto es
Siendo
Normalmente el vector unitario se denota utilizando uno de estos siacutembolosuA aA 1A o simplemente a
Si se tiene en cuenta que | aA |= 1 A se puede expresar
A = AaA
Un vector A se puede expresar en coordenadas cartesianas asiacute (Ax Ay Az) o Axax + Ayay + Azaz
AA
A
A
Aa
2z
2y
2x AAA A
COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)
6
(a)Componentes vectoriales x y y z del vector r
(b)Los vectores unitarios del sistema de coordenadas cartesianas tienen magnitud unitaria y se dirigen hacia donde aumentan los valores de las respectivas variables
(c) El vector RPQ es igual al vector diferencia rQ - rP
COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)
7
Ejemplo 11
Especificar el vector unitario dirigido desde el origen hacia el punto G(2-2-1)
Solucioacuten
1Se construye un vector que se extienda desde el origen hasta el punto G
G = 2ax ndash 2ay ndashaz
2Se determina la magnitud de G
3Se expresa el vector unitario deseado como el cociente
2z
2y
2x GGG G
3122 222 G
zyxG 3
1
3
2
3
2aaaa
G
G
G
G
zyxG 033306670667 aaaa
COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)
8
D11
Dados los puntos M(-121) N(3-30) y P(-2-3-4) encontrar
a)RMN
b)RMN + RMP
c)|rM|
d)aMP
e)|2rP ndash 3rN|
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestasa)4ax ndash 5ay ndash az
b)3ax ndash 10ay ndash 6az
c)245d)-014ax ndash 07ay ndash 07az
e)1556
EL PRODUCTO PUNTO
9
Dados dos vectores A y B el Producto Punto o Producto Escalar se define
El producto escalar obedece a la ley conmutativa esto es
La expresioacuten se lee A punto B
Ej de producto punto
ABCosθBABA
ABBA El signo del aacutengulo no afecta el teacutermino coseno
BA
LF dTrabajo
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
10
El producto punto de dos vectores expresados en componentes cartesianas sigue la ley distributiva como se muestra a continuacioacutenSean los vectores A y B
El producto produce la suma de 9 teacuterminos escalares y en los cuales se involucra el producto punto de dos vectores unitarios Como el aacutengulo entre dos vectores unitarios diferentes es de 90deg en coordenadas cartesianas entonces se cumple que
Resultando que
zzyyxx
zzyyxx
BBB
AAA
bbbB
aaaA
BA
0yzzyxzzxxyyx babababababa
zzyyxx BABABA BA
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
11
Una aplicacioacuten del producto punto consiste en encontrar la componente de un vector en una direccioacuten dada Por ejemplo la componente escalar del vector B en la direccioacuten del vector unitario a se expresa
La componente tiene signo positivo si se cumple que y negativo cuando
Por otro lado para obtener la componente vectorial de B en la direccioacuten de a se multiplica la componente escalar por del vector B por a
BacosθaBaB 900 Ba
18090 Ba
a) La componente escalar de B en la direccioacuten del vector unitario a es Ba
b) La componente vectorial de B en la direccioacuten del vector unitario a es (Ba)a
12
Ejemplo 12
Considere el campo vectorial G = yax ndash 25xay + 3az y el punto Q(452) Se desea encontrar 1G en Q 2La componente escalar de G en Q en la direccioacuten de 3La componente vectorial de G en Q en la direccioacuten de aN
4Y el aacutengulo θGa entre G(rQ) y aN
Solucioacuten
1Se sustituyen las coordenadas del punto Q en la expresioacuten G
G(rQ) = 5ax ndash 10ay + 3az
2Luego se encuentra la componente escalar Utilizando el producto punto se tiene
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
zyxN 223
1aaaa
2610103
122
3
13105 zyxzyxN aaaaaaaG
13
Ejemplo 12 (Cont)
Solucioacuten
3Se obtiene la componente vectorial multiplicando la componente escalar por el vector unitario en la direccioacuten aN
4Y el aacutengulo entre G(rQ) y aN se obtiene
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
zyxzyxNN 333166703331-223
12 aaaaaaaaG
999134
2cosθ
cosθ9100252
cosθ
1Ga
Ga
GaN
GaG
14
D13
Los tres veacutertices de un triaacutengulo se encuentran en A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar
a)RAB
b)RAC
c)El aacutengulo θBAC en el veacutertice A
d)La proyeccioacuten vectorial de RAB
en RAC
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-8ax + 4ay ndash 6az
b)-9ax + 2ay + 3az
c)536degd)-594ax + 1319ay + 1979az
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
EL PRODUCTO CRUZ
15
Dados dos vectores A y B el Producto Cruz o Producto Vectorial se define
En este caso el subiacutendice N hace referencia a la normalLa expresioacuten se lee A cruz B
El producto cruz es un vector cuya magnitud es igual al producto de las magnitudes de A B y el seno del aacutengulo maacutes pequentildeo entre A y B
La direccioacuten de estaacute en la direccioacuten del tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B
ABN SenθBAaBA
BA
BA
BA
EL PRODUCTO CRUZ (CONT)
16
El producto cruz no es conmutativo puesto que
De lo anterior se verifica que
ABBA
0
0
0
zz
yy
xx
yzx
xyz
zxy
yxz
xzy
zyx
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaaBA
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
BABABA
BABABA
BABABA
A continuacioacuten se muestra el desarrollo del producto cruz en coordenadas cartesianas
Este resultado se puede expresar en la forma
zyx aaaBA xyyxzxxzyzzy BABABABABABA
zyx
zyx
BBB
AAAzyx aaa
BA Maacutes Faacutecil Verdad
17
D14
Un triaacutengulo se define por tres puntos A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar
a)RAB x RAC
b)El aacuterea del triaacutenguloc)Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triaacutengulo
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)24ax + 78ay + 20az
b)420c)0286ax + 0928ay + 0238az
EL PRODUCTO CRUZ (CONT)
18
Representacioacuten de un punto P En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z recibe el nombre de aacutengulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy y z es igual en el sistema cartesiano
Intervalos
En coordenadas ciliacutendricas un vector A se puede expresar o
La magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES]
z
z
20
0
zAAA zzφφρρ AAA aaa
2
1222zAAA A
Je Je hellip
iquestCuaacutel es la unidad de aφ
Vectores Unitarios Los vectores unitarios aρ aφ y az son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
z
z
z
zz
0
0
0
1
1
1
z
z
19
a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares
b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular
c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
20
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
zzx
yyx tan 122
zzyx
zyxz
zzyx sincos
21
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten de un Vector Unitario
De las figuras se deduce que
zz
y
x
aa
aaa
aaa
cossin
sincos
zz
yx
yx
aa
aaa
aaa
cossin
sincos Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
22
Ejemplo 13
Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
2Luego
ρφρcosφρsinxcosφysinφ
aaxaayaBB
0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ
aaxaayaBB
22
φyφxφφ
ρyρxρρ
zφ zaρaB
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
23
D15
a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
24
D16
Transformar a coordenadas ciliacutendricas
a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)1281aρ + 6az
b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
25
Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)
Intervalos
En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]
r
r
20
0
0
r
AAAr φφrr AAA aaa
2
1222 AAAr A
Je Je hellip
iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante
Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
r
r
r
r
r
rr
0
0
0
1
1
1
26
a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas
b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas
c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ
d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
27
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
Transformacioacuten Escalar
x
y
z
yxzyxr 1
221222 tantan
rzyx
zyxr
cossinsincossin rzryrx
x
y
zyx
zzyxr 1
222
1222 tancos
28
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Relacioacuten entre Vectores Unitarios
aaa
aaaa
aaaa
sincos
cossincossinsin
sincoscoscossin
rz
ry
rx
yx
zyx
zyxr
aaa
aaaa
aaaa
cossin
sinsincoscoscos
cossinsincossin
Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
29
Ejemplo 14
Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
sin
coscos
coscosaaaGG
sin
coscossin
cossinaaaGG
22
x
2
rxrr
r
y
xz
y
xz
r
y
xz
y
xz
)aacotcacot(sincoscosG r osr
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 Cont Punto anterior
2 Luego
coscos
sinaaaGG x
r
y
xz
y
xz
30
D17
Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar
a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
31
D18
Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados
a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ
b)390ar + 312aθ + 866aφ
c)-342ar ndash 940aθ
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN
AacuteLGEBRA VECTORIAL
VEAMOS ALGUNAS REGLAS (CONT)
3Los vectores pueden multiplicarse por escalares
Si el escalar es positivo entoncesel vector cambia de magnitud pero no de direccioacuten
Si el escalar es negativo entoncesla direccioacuten del vector se invierte
4La divisioacuten de un vector por un escalar consiste en la multiplicacioacuten por el reciacuteproco de dicho escalar
5Dos vectores son iguales si su diferencia es cero es decir A = B si A ndash B = 0
3
La multiplicacioacuten de un vector por un escalar tambieacuten tiene las propiedades asociativa y distributiva es decir
(r + s)(A + B) = r(A + B) + s(A + B)(r + s)(A + B) = rA + rB + sA + sB
EL SISTEMA DE COORDENADASRECTANGULAR O CARTESIANO
4
(a)Un sistema de coordenadas cartesianas de la mano derecha Si los dedos doblados de la mano derecha indican la direccioacuten de giro por medio de la cual el eje x se hariacutea coincidir con el eje y el pulgar muestra la direccioacuten del eje z
(b)Localizacioacuten de los puntos P(123) y Q(2-21)
(c) Elemento diferencial de volumen en coordenadas cartesianas dx dy y dz son en general diferenciales independientes
Un punto P se representa mediante las coordenadas (xyz) Los intervalos de las variables de las coordenadas x y y z van desde -infin hasta + infin
Sistema Ortogonal
COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS
5
Un vector A posee tanto magnitud como direccioacuten La magnitud de A es un escalar el cual se escribe A o |A| Un vector unitario aA a lo largo de A es un vector cuya magnitud = 1 y cuya direccioacuten sigue la direccioacuten de A esto es
Siendo
Normalmente el vector unitario se denota utilizando uno de estos siacutembolosuA aA 1A o simplemente a
Si se tiene en cuenta que | aA |= 1 A se puede expresar
A = AaA
Un vector A se puede expresar en coordenadas cartesianas asiacute (Ax Ay Az) o Axax + Ayay + Azaz
AA
A
A
Aa
2z
2y
2x AAA A
COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)
6
(a)Componentes vectoriales x y y z del vector r
(b)Los vectores unitarios del sistema de coordenadas cartesianas tienen magnitud unitaria y se dirigen hacia donde aumentan los valores de las respectivas variables
(c) El vector RPQ es igual al vector diferencia rQ - rP
COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)
7
Ejemplo 11
Especificar el vector unitario dirigido desde el origen hacia el punto G(2-2-1)
Solucioacuten
1Se construye un vector que se extienda desde el origen hasta el punto G
G = 2ax ndash 2ay ndashaz
2Se determina la magnitud de G
3Se expresa el vector unitario deseado como el cociente
2z
2y
2x GGG G
3122 222 G
zyxG 3
1
3
2
3
2aaaa
G
G
G
G
zyxG 033306670667 aaaa
COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)
8
D11
Dados los puntos M(-121) N(3-30) y P(-2-3-4) encontrar
a)RMN
b)RMN + RMP
c)|rM|
d)aMP
e)|2rP ndash 3rN|
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestasa)4ax ndash 5ay ndash az
b)3ax ndash 10ay ndash 6az
c)245d)-014ax ndash 07ay ndash 07az
e)1556
EL PRODUCTO PUNTO
9
Dados dos vectores A y B el Producto Punto o Producto Escalar se define
El producto escalar obedece a la ley conmutativa esto es
La expresioacuten se lee A punto B
Ej de producto punto
ABCosθBABA
ABBA El signo del aacutengulo no afecta el teacutermino coseno
BA
LF dTrabajo
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
10
El producto punto de dos vectores expresados en componentes cartesianas sigue la ley distributiva como se muestra a continuacioacutenSean los vectores A y B
El producto produce la suma de 9 teacuterminos escalares y en los cuales se involucra el producto punto de dos vectores unitarios Como el aacutengulo entre dos vectores unitarios diferentes es de 90deg en coordenadas cartesianas entonces se cumple que
Resultando que
zzyyxx
zzyyxx
BBB
AAA
bbbB
aaaA
BA
0yzzyxzzxxyyx babababababa
zzyyxx BABABA BA
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
11
Una aplicacioacuten del producto punto consiste en encontrar la componente de un vector en una direccioacuten dada Por ejemplo la componente escalar del vector B en la direccioacuten del vector unitario a se expresa
La componente tiene signo positivo si se cumple que y negativo cuando
Por otro lado para obtener la componente vectorial de B en la direccioacuten de a se multiplica la componente escalar por del vector B por a
BacosθaBaB 900 Ba
18090 Ba
a) La componente escalar de B en la direccioacuten del vector unitario a es Ba
b) La componente vectorial de B en la direccioacuten del vector unitario a es (Ba)a
12
Ejemplo 12
Considere el campo vectorial G = yax ndash 25xay + 3az y el punto Q(452) Se desea encontrar 1G en Q 2La componente escalar de G en Q en la direccioacuten de 3La componente vectorial de G en Q en la direccioacuten de aN
4Y el aacutengulo θGa entre G(rQ) y aN
Solucioacuten
1Se sustituyen las coordenadas del punto Q en la expresioacuten G
G(rQ) = 5ax ndash 10ay + 3az
2Luego se encuentra la componente escalar Utilizando el producto punto se tiene
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
zyxN 223
1aaaa
2610103
122
3
13105 zyxzyxN aaaaaaaG
13
Ejemplo 12 (Cont)
Solucioacuten
3Se obtiene la componente vectorial multiplicando la componente escalar por el vector unitario en la direccioacuten aN
4Y el aacutengulo entre G(rQ) y aN se obtiene
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
zyxzyxNN 333166703331-223
12 aaaaaaaaG
999134
2cosθ
cosθ9100252
cosθ
1Ga
Ga
GaN
GaG
14
D13
Los tres veacutertices de un triaacutengulo se encuentran en A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar
a)RAB
b)RAC
c)El aacutengulo θBAC en el veacutertice A
d)La proyeccioacuten vectorial de RAB
en RAC
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-8ax + 4ay ndash 6az
b)-9ax + 2ay + 3az
c)536degd)-594ax + 1319ay + 1979az
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
EL PRODUCTO CRUZ
15
Dados dos vectores A y B el Producto Cruz o Producto Vectorial se define
En este caso el subiacutendice N hace referencia a la normalLa expresioacuten se lee A cruz B
El producto cruz es un vector cuya magnitud es igual al producto de las magnitudes de A B y el seno del aacutengulo maacutes pequentildeo entre A y B
La direccioacuten de estaacute en la direccioacuten del tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B
ABN SenθBAaBA
BA
BA
BA
EL PRODUCTO CRUZ (CONT)
16
El producto cruz no es conmutativo puesto que
De lo anterior se verifica que
ABBA
0
0
0
zz
yy
xx
yzx
xyz
zxy
yxz
xzy
zyx
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaaBA
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
BABABA
BABABA
BABABA
A continuacioacuten se muestra el desarrollo del producto cruz en coordenadas cartesianas
Este resultado se puede expresar en la forma
zyx aaaBA xyyxzxxzyzzy BABABABABABA
zyx
zyx
BBB
AAAzyx aaa
BA Maacutes Faacutecil Verdad
17
D14
Un triaacutengulo se define por tres puntos A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar
a)RAB x RAC
b)El aacuterea del triaacutenguloc)Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triaacutengulo
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)24ax + 78ay + 20az
b)420c)0286ax + 0928ay + 0238az
EL PRODUCTO CRUZ (CONT)
18
Representacioacuten de un punto P En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z recibe el nombre de aacutengulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy y z es igual en el sistema cartesiano
Intervalos
En coordenadas ciliacutendricas un vector A se puede expresar o
La magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES]
z
z
20
0
zAAA zzφφρρ AAA aaa
2
1222zAAA A
Je Je hellip
iquestCuaacutel es la unidad de aφ
Vectores Unitarios Los vectores unitarios aρ aφ y az son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
z
z
z
zz
0
0
0
1
1
1
z
z
19
a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares
b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular
c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
20
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
zzx
yyx tan 122
zzyx
zyxz
zzyx sincos
21
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten de un Vector Unitario
De las figuras se deduce que
zz
y
x
aa
aaa
aaa
cossin
sincos
zz
yx
yx
aa
aaa
aaa
cossin
sincos Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
22
Ejemplo 13
Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
2Luego
ρφρcosφρsinxcosφysinφ
aaxaayaBB
0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ
aaxaayaBB
22
φyφxφφ
ρyρxρρ
zφ zaρaB
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
23
D15
a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
24
D16
Transformar a coordenadas ciliacutendricas
a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)1281aρ + 6az
b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
25
Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)
Intervalos
En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]
r
r
20
0
0
r
AAAr φφrr AAA aaa
2
1222 AAAr A
Je Je hellip
iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante
Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
r
r
r
r
r
rr
0
0
0
1
1
1
26
a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas
b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas
c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ
d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
27
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
Transformacioacuten Escalar
x
y
z
yxzyxr 1
221222 tantan
rzyx
zyxr
cossinsincossin rzryrx
x
y
zyx
zzyxr 1
222
1222 tancos
28
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Relacioacuten entre Vectores Unitarios
aaa
aaaa
aaaa
sincos
cossincossinsin
sincoscoscossin
rz
ry
rx
yx
zyx
zyxr
aaa
aaaa
aaaa
cossin
sinsincoscoscos
cossinsincossin
Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
29
Ejemplo 14
Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
sin
coscos
coscosaaaGG
sin
coscossin
cossinaaaGG
22
x
2
rxrr
r
y
xz
y
xz
r
y
xz
y
xz
)aacotcacot(sincoscosG r osr
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 Cont Punto anterior
2 Luego
coscos
sinaaaGG x
r
y
xz
y
xz
30
D17
Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar
a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
31
D18
Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados
a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ
b)390ar + 312aθ + 866aφ
c)-342ar ndash 940aθ
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN
EL SISTEMA DE COORDENADASRECTANGULAR O CARTESIANO
4
(a)Un sistema de coordenadas cartesianas de la mano derecha Si los dedos doblados de la mano derecha indican la direccioacuten de giro por medio de la cual el eje x se hariacutea coincidir con el eje y el pulgar muestra la direccioacuten del eje z
(b)Localizacioacuten de los puntos P(123) y Q(2-21)
(c) Elemento diferencial de volumen en coordenadas cartesianas dx dy y dz son en general diferenciales independientes
Un punto P se representa mediante las coordenadas (xyz) Los intervalos de las variables de las coordenadas x y y z van desde -infin hasta + infin
Sistema Ortogonal
COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS
5
Un vector A posee tanto magnitud como direccioacuten La magnitud de A es un escalar el cual se escribe A o |A| Un vector unitario aA a lo largo de A es un vector cuya magnitud = 1 y cuya direccioacuten sigue la direccioacuten de A esto es
Siendo
Normalmente el vector unitario se denota utilizando uno de estos siacutembolosuA aA 1A o simplemente a
Si se tiene en cuenta que | aA |= 1 A se puede expresar
A = AaA
Un vector A se puede expresar en coordenadas cartesianas asiacute (Ax Ay Az) o Axax + Ayay + Azaz
AA
A
A
Aa
2z
2y
2x AAA A
COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)
6
(a)Componentes vectoriales x y y z del vector r
(b)Los vectores unitarios del sistema de coordenadas cartesianas tienen magnitud unitaria y se dirigen hacia donde aumentan los valores de las respectivas variables
(c) El vector RPQ es igual al vector diferencia rQ - rP
COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)
7
Ejemplo 11
Especificar el vector unitario dirigido desde el origen hacia el punto G(2-2-1)
Solucioacuten
1Se construye un vector que se extienda desde el origen hasta el punto G
G = 2ax ndash 2ay ndashaz
2Se determina la magnitud de G
3Se expresa el vector unitario deseado como el cociente
2z
2y
2x GGG G
3122 222 G
zyxG 3
1
3
2
3
2aaaa
G
G
G
G
zyxG 033306670667 aaaa
COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)
8
D11
Dados los puntos M(-121) N(3-30) y P(-2-3-4) encontrar
a)RMN
b)RMN + RMP
c)|rM|
d)aMP
e)|2rP ndash 3rN|
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestasa)4ax ndash 5ay ndash az
b)3ax ndash 10ay ndash 6az
c)245d)-014ax ndash 07ay ndash 07az
e)1556
EL PRODUCTO PUNTO
9
Dados dos vectores A y B el Producto Punto o Producto Escalar se define
El producto escalar obedece a la ley conmutativa esto es
La expresioacuten se lee A punto B
Ej de producto punto
ABCosθBABA
ABBA El signo del aacutengulo no afecta el teacutermino coseno
BA
LF dTrabajo
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
10
El producto punto de dos vectores expresados en componentes cartesianas sigue la ley distributiva como se muestra a continuacioacutenSean los vectores A y B
El producto produce la suma de 9 teacuterminos escalares y en los cuales se involucra el producto punto de dos vectores unitarios Como el aacutengulo entre dos vectores unitarios diferentes es de 90deg en coordenadas cartesianas entonces se cumple que
Resultando que
zzyyxx
zzyyxx
BBB
AAA
bbbB
aaaA
BA
0yzzyxzzxxyyx babababababa
zzyyxx BABABA BA
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
11
Una aplicacioacuten del producto punto consiste en encontrar la componente de un vector en una direccioacuten dada Por ejemplo la componente escalar del vector B en la direccioacuten del vector unitario a se expresa
La componente tiene signo positivo si se cumple que y negativo cuando
Por otro lado para obtener la componente vectorial de B en la direccioacuten de a se multiplica la componente escalar por del vector B por a
BacosθaBaB 900 Ba
18090 Ba
a) La componente escalar de B en la direccioacuten del vector unitario a es Ba
b) La componente vectorial de B en la direccioacuten del vector unitario a es (Ba)a
12
Ejemplo 12
Considere el campo vectorial G = yax ndash 25xay + 3az y el punto Q(452) Se desea encontrar 1G en Q 2La componente escalar de G en Q en la direccioacuten de 3La componente vectorial de G en Q en la direccioacuten de aN
4Y el aacutengulo θGa entre G(rQ) y aN
Solucioacuten
1Se sustituyen las coordenadas del punto Q en la expresioacuten G
G(rQ) = 5ax ndash 10ay + 3az
2Luego se encuentra la componente escalar Utilizando el producto punto se tiene
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
zyxN 223
1aaaa
2610103
122
3
13105 zyxzyxN aaaaaaaG
13
Ejemplo 12 (Cont)
Solucioacuten
3Se obtiene la componente vectorial multiplicando la componente escalar por el vector unitario en la direccioacuten aN
4Y el aacutengulo entre G(rQ) y aN se obtiene
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
zyxzyxNN 333166703331-223
12 aaaaaaaaG
999134
2cosθ
cosθ9100252
cosθ
1Ga
Ga
GaN
GaG
14
D13
Los tres veacutertices de un triaacutengulo se encuentran en A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar
a)RAB
b)RAC
c)El aacutengulo θBAC en el veacutertice A
d)La proyeccioacuten vectorial de RAB
en RAC
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-8ax + 4ay ndash 6az
b)-9ax + 2ay + 3az
c)536degd)-594ax + 1319ay + 1979az
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
EL PRODUCTO CRUZ
15
Dados dos vectores A y B el Producto Cruz o Producto Vectorial se define
En este caso el subiacutendice N hace referencia a la normalLa expresioacuten se lee A cruz B
El producto cruz es un vector cuya magnitud es igual al producto de las magnitudes de A B y el seno del aacutengulo maacutes pequentildeo entre A y B
La direccioacuten de estaacute en la direccioacuten del tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B
ABN SenθBAaBA
BA
BA
BA
EL PRODUCTO CRUZ (CONT)
16
El producto cruz no es conmutativo puesto que
De lo anterior se verifica que
ABBA
0
0
0
zz
yy
xx
yzx
xyz
zxy
yxz
xzy
zyx
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaaBA
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
BABABA
BABABA
BABABA
A continuacioacuten se muestra el desarrollo del producto cruz en coordenadas cartesianas
Este resultado se puede expresar en la forma
zyx aaaBA xyyxzxxzyzzy BABABABABABA
zyx
zyx
BBB
AAAzyx aaa
BA Maacutes Faacutecil Verdad
17
D14
Un triaacutengulo se define por tres puntos A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar
a)RAB x RAC
b)El aacuterea del triaacutenguloc)Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triaacutengulo
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)24ax + 78ay + 20az
b)420c)0286ax + 0928ay + 0238az
EL PRODUCTO CRUZ (CONT)
18
Representacioacuten de un punto P En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z recibe el nombre de aacutengulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy y z es igual en el sistema cartesiano
Intervalos
En coordenadas ciliacutendricas un vector A se puede expresar o
La magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES]
z
z
20
0
zAAA zzφφρρ AAA aaa
2
1222zAAA A
Je Je hellip
iquestCuaacutel es la unidad de aφ
Vectores Unitarios Los vectores unitarios aρ aφ y az son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
z
z
z
zz
0
0
0
1
1
1
z
z
19
a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares
b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular
c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
20
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
zzx
yyx tan 122
zzyx
zyxz
zzyx sincos
21
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten de un Vector Unitario
De las figuras se deduce que
zz
y
x
aa
aaa
aaa
cossin
sincos
zz
yx
yx
aa
aaa
aaa
cossin
sincos Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
22
Ejemplo 13
Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
2Luego
ρφρcosφρsinxcosφysinφ
aaxaayaBB
0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ
aaxaayaBB
22
φyφxφφ
ρyρxρρ
zφ zaρaB
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
23
D15
a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
24
D16
Transformar a coordenadas ciliacutendricas
a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)1281aρ + 6az
b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
25
Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)
Intervalos
En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]
r
r
20
0
0
r
AAAr φφrr AAA aaa
2
1222 AAAr A
Je Je hellip
iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante
Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
r
r
r
r
r
rr
0
0
0
1
1
1
26
a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas
b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas
c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ
d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
27
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
Transformacioacuten Escalar
x
y
z
yxzyxr 1
221222 tantan
rzyx
zyxr
cossinsincossin rzryrx
x
y
zyx
zzyxr 1
222
1222 tancos
28
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Relacioacuten entre Vectores Unitarios
aaa
aaaa
aaaa
sincos
cossincossinsin
sincoscoscossin
rz
ry
rx
yx
zyx
zyxr
aaa
aaaa
aaaa
cossin
sinsincoscoscos
cossinsincossin
Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
29
Ejemplo 14
Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
sin
coscos
coscosaaaGG
sin
coscossin
cossinaaaGG
22
x
2
rxrr
r
y
xz
y
xz
r
y
xz
y
xz
)aacotcacot(sincoscosG r osr
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 Cont Punto anterior
2 Luego
coscos
sinaaaGG x
r
y
xz
y
xz
30
D17
Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar
a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
31
D18
Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados
a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ
b)390ar + 312aθ + 866aφ
c)-342ar ndash 940aθ
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN
COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS
5
Un vector A posee tanto magnitud como direccioacuten La magnitud de A es un escalar el cual se escribe A o |A| Un vector unitario aA a lo largo de A es un vector cuya magnitud = 1 y cuya direccioacuten sigue la direccioacuten de A esto es
Siendo
Normalmente el vector unitario se denota utilizando uno de estos siacutembolosuA aA 1A o simplemente a
Si se tiene en cuenta que | aA |= 1 A se puede expresar
A = AaA
Un vector A se puede expresar en coordenadas cartesianas asiacute (Ax Ay Az) o Axax + Ayay + Azaz
AA
A
A
Aa
2z
2y
2x AAA A
COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)
6
(a)Componentes vectoriales x y y z del vector r
(b)Los vectores unitarios del sistema de coordenadas cartesianas tienen magnitud unitaria y se dirigen hacia donde aumentan los valores de las respectivas variables
(c) El vector RPQ es igual al vector diferencia rQ - rP
COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)
7
Ejemplo 11
Especificar el vector unitario dirigido desde el origen hacia el punto G(2-2-1)
Solucioacuten
1Se construye un vector que se extienda desde el origen hasta el punto G
G = 2ax ndash 2ay ndashaz
2Se determina la magnitud de G
3Se expresa el vector unitario deseado como el cociente
2z
2y
2x GGG G
3122 222 G
zyxG 3
1
3
2
3
2aaaa
G
G
G
G
zyxG 033306670667 aaaa
COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)
8
D11
Dados los puntos M(-121) N(3-30) y P(-2-3-4) encontrar
a)RMN
b)RMN + RMP
c)|rM|
d)aMP
e)|2rP ndash 3rN|
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestasa)4ax ndash 5ay ndash az
b)3ax ndash 10ay ndash 6az
c)245d)-014ax ndash 07ay ndash 07az
e)1556
EL PRODUCTO PUNTO
9
Dados dos vectores A y B el Producto Punto o Producto Escalar se define
El producto escalar obedece a la ley conmutativa esto es
La expresioacuten se lee A punto B
Ej de producto punto
ABCosθBABA
ABBA El signo del aacutengulo no afecta el teacutermino coseno
BA
LF dTrabajo
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
10
El producto punto de dos vectores expresados en componentes cartesianas sigue la ley distributiva como se muestra a continuacioacutenSean los vectores A y B
El producto produce la suma de 9 teacuterminos escalares y en los cuales se involucra el producto punto de dos vectores unitarios Como el aacutengulo entre dos vectores unitarios diferentes es de 90deg en coordenadas cartesianas entonces se cumple que
Resultando que
zzyyxx
zzyyxx
BBB
AAA
bbbB
aaaA
BA
0yzzyxzzxxyyx babababababa
zzyyxx BABABA BA
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
11
Una aplicacioacuten del producto punto consiste en encontrar la componente de un vector en una direccioacuten dada Por ejemplo la componente escalar del vector B en la direccioacuten del vector unitario a se expresa
La componente tiene signo positivo si se cumple que y negativo cuando
Por otro lado para obtener la componente vectorial de B en la direccioacuten de a se multiplica la componente escalar por del vector B por a
BacosθaBaB 900 Ba
18090 Ba
a) La componente escalar de B en la direccioacuten del vector unitario a es Ba
b) La componente vectorial de B en la direccioacuten del vector unitario a es (Ba)a
12
Ejemplo 12
Considere el campo vectorial G = yax ndash 25xay + 3az y el punto Q(452) Se desea encontrar 1G en Q 2La componente escalar de G en Q en la direccioacuten de 3La componente vectorial de G en Q en la direccioacuten de aN
4Y el aacutengulo θGa entre G(rQ) y aN
Solucioacuten
1Se sustituyen las coordenadas del punto Q en la expresioacuten G
G(rQ) = 5ax ndash 10ay + 3az
2Luego se encuentra la componente escalar Utilizando el producto punto se tiene
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
zyxN 223
1aaaa
2610103
122
3
13105 zyxzyxN aaaaaaaG
13
Ejemplo 12 (Cont)
Solucioacuten
3Se obtiene la componente vectorial multiplicando la componente escalar por el vector unitario en la direccioacuten aN
4Y el aacutengulo entre G(rQ) y aN se obtiene
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
zyxzyxNN 333166703331-223
12 aaaaaaaaG
999134
2cosθ
cosθ9100252
cosθ
1Ga
Ga
GaN
GaG
14
D13
Los tres veacutertices de un triaacutengulo se encuentran en A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar
a)RAB
b)RAC
c)El aacutengulo θBAC en el veacutertice A
d)La proyeccioacuten vectorial de RAB
en RAC
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-8ax + 4ay ndash 6az
b)-9ax + 2ay + 3az
c)536degd)-594ax + 1319ay + 1979az
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
EL PRODUCTO CRUZ
15
Dados dos vectores A y B el Producto Cruz o Producto Vectorial se define
En este caso el subiacutendice N hace referencia a la normalLa expresioacuten se lee A cruz B
El producto cruz es un vector cuya magnitud es igual al producto de las magnitudes de A B y el seno del aacutengulo maacutes pequentildeo entre A y B
La direccioacuten de estaacute en la direccioacuten del tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B
ABN SenθBAaBA
BA
BA
BA
EL PRODUCTO CRUZ (CONT)
16
El producto cruz no es conmutativo puesto que
De lo anterior se verifica que
ABBA
0
0
0
zz
yy
xx
yzx
xyz
zxy
yxz
xzy
zyx
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaaBA
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
BABABA
BABABA
BABABA
A continuacioacuten se muestra el desarrollo del producto cruz en coordenadas cartesianas
Este resultado se puede expresar en la forma
zyx aaaBA xyyxzxxzyzzy BABABABABABA
zyx
zyx
BBB
AAAzyx aaa
BA Maacutes Faacutecil Verdad
17
D14
Un triaacutengulo se define por tres puntos A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar
a)RAB x RAC
b)El aacuterea del triaacutenguloc)Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triaacutengulo
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)24ax + 78ay + 20az
b)420c)0286ax + 0928ay + 0238az
EL PRODUCTO CRUZ (CONT)
18
Representacioacuten de un punto P En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z recibe el nombre de aacutengulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy y z es igual en el sistema cartesiano
Intervalos
En coordenadas ciliacutendricas un vector A se puede expresar o
La magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES]
z
z
20
0
zAAA zzφφρρ AAA aaa
2
1222zAAA A
Je Je hellip
iquestCuaacutel es la unidad de aφ
Vectores Unitarios Los vectores unitarios aρ aφ y az son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
z
z
z
zz
0
0
0
1
1
1
z
z
19
a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares
b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular
c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
20
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
zzx
yyx tan 122
zzyx
zyxz
zzyx sincos
21
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten de un Vector Unitario
De las figuras se deduce que
zz
y
x
aa
aaa
aaa
cossin
sincos
zz
yx
yx
aa
aaa
aaa
cossin
sincos Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
22
Ejemplo 13
Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
2Luego
ρφρcosφρsinxcosφysinφ
aaxaayaBB
0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ
aaxaayaBB
22
φyφxφφ
ρyρxρρ
zφ zaρaB
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
23
D15
a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
24
D16
Transformar a coordenadas ciliacutendricas
a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)1281aρ + 6az
b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
25
Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)
Intervalos
En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]
r
r
20
0
0
r
AAAr φφrr AAA aaa
2
1222 AAAr A
Je Je hellip
iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante
Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
r
r
r
r
r
rr
0
0
0
1
1
1
26
a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas
b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas
c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ
d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
27
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
Transformacioacuten Escalar
x
y
z
yxzyxr 1
221222 tantan
rzyx
zyxr
cossinsincossin rzryrx
x
y
zyx
zzyxr 1
222
1222 tancos
28
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Relacioacuten entre Vectores Unitarios
aaa
aaaa
aaaa
sincos
cossincossinsin
sincoscoscossin
rz
ry
rx
yx
zyx
zyxr
aaa
aaaa
aaaa
cossin
sinsincoscoscos
cossinsincossin
Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
29
Ejemplo 14
Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
sin
coscos
coscosaaaGG
sin
coscossin
cossinaaaGG
22
x
2
rxrr
r
y
xz
y
xz
r
y
xz
y
xz
)aacotcacot(sincoscosG r osr
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 Cont Punto anterior
2 Luego
coscos
sinaaaGG x
r
y
xz
y
xz
30
D17
Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar
a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
31
D18
Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados
a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ
b)390ar + 312aθ + 866aφ
c)-342ar ndash 940aθ
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN
COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)
6
(a)Componentes vectoriales x y y z del vector r
(b)Los vectores unitarios del sistema de coordenadas cartesianas tienen magnitud unitaria y se dirigen hacia donde aumentan los valores de las respectivas variables
(c) El vector RPQ es igual al vector diferencia rQ - rP
COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)
7
Ejemplo 11
Especificar el vector unitario dirigido desde el origen hacia el punto G(2-2-1)
Solucioacuten
1Se construye un vector que se extienda desde el origen hasta el punto G
G = 2ax ndash 2ay ndashaz
2Se determina la magnitud de G
3Se expresa el vector unitario deseado como el cociente
2z
2y
2x GGG G
3122 222 G
zyxG 3
1
3
2
3
2aaaa
G
G
G
G
zyxG 033306670667 aaaa
COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)
8
D11
Dados los puntos M(-121) N(3-30) y P(-2-3-4) encontrar
a)RMN
b)RMN + RMP
c)|rM|
d)aMP
e)|2rP ndash 3rN|
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestasa)4ax ndash 5ay ndash az
b)3ax ndash 10ay ndash 6az
c)245d)-014ax ndash 07ay ndash 07az
e)1556
EL PRODUCTO PUNTO
9
Dados dos vectores A y B el Producto Punto o Producto Escalar se define
El producto escalar obedece a la ley conmutativa esto es
La expresioacuten se lee A punto B
Ej de producto punto
ABCosθBABA
ABBA El signo del aacutengulo no afecta el teacutermino coseno
BA
LF dTrabajo
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
10
El producto punto de dos vectores expresados en componentes cartesianas sigue la ley distributiva como se muestra a continuacioacutenSean los vectores A y B
El producto produce la suma de 9 teacuterminos escalares y en los cuales se involucra el producto punto de dos vectores unitarios Como el aacutengulo entre dos vectores unitarios diferentes es de 90deg en coordenadas cartesianas entonces se cumple que
Resultando que
zzyyxx
zzyyxx
BBB
AAA
bbbB
aaaA
BA
0yzzyxzzxxyyx babababababa
zzyyxx BABABA BA
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
11
Una aplicacioacuten del producto punto consiste en encontrar la componente de un vector en una direccioacuten dada Por ejemplo la componente escalar del vector B en la direccioacuten del vector unitario a se expresa
La componente tiene signo positivo si se cumple que y negativo cuando
Por otro lado para obtener la componente vectorial de B en la direccioacuten de a se multiplica la componente escalar por del vector B por a
BacosθaBaB 900 Ba
18090 Ba
a) La componente escalar de B en la direccioacuten del vector unitario a es Ba
b) La componente vectorial de B en la direccioacuten del vector unitario a es (Ba)a
12
Ejemplo 12
Considere el campo vectorial G = yax ndash 25xay + 3az y el punto Q(452) Se desea encontrar 1G en Q 2La componente escalar de G en Q en la direccioacuten de 3La componente vectorial de G en Q en la direccioacuten de aN
4Y el aacutengulo θGa entre G(rQ) y aN
Solucioacuten
1Se sustituyen las coordenadas del punto Q en la expresioacuten G
G(rQ) = 5ax ndash 10ay + 3az
2Luego se encuentra la componente escalar Utilizando el producto punto se tiene
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
zyxN 223
1aaaa
2610103
122
3
13105 zyxzyxN aaaaaaaG
13
Ejemplo 12 (Cont)
Solucioacuten
3Se obtiene la componente vectorial multiplicando la componente escalar por el vector unitario en la direccioacuten aN
4Y el aacutengulo entre G(rQ) y aN se obtiene
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
zyxzyxNN 333166703331-223
12 aaaaaaaaG
999134
2cosθ
cosθ9100252
cosθ
1Ga
Ga
GaN
GaG
14
D13
Los tres veacutertices de un triaacutengulo se encuentran en A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar
a)RAB
b)RAC
c)El aacutengulo θBAC en el veacutertice A
d)La proyeccioacuten vectorial de RAB
en RAC
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-8ax + 4ay ndash 6az
b)-9ax + 2ay + 3az
c)536degd)-594ax + 1319ay + 1979az
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
EL PRODUCTO CRUZ
15
Dados dos vectores A y B el Producto Cruz o Producto Vectorial se define
En este caso el subiacutendice N hace referencia a la normalLa expresioacuten se lee A cruz B
El producto cruz es un vector cuya magnitud es igual al producto de las magnitudes de A B y el seno del aacutengulo maacutes pequentildeo entre A y B
La direccioacuten de estaacute en la direccioacuten del tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B
ABN SenθBAaBA
BA
BA
BA
EL PRODUCTO CRUZ (CONT)
16
El producto cruz no es conmutativo puesto que
De lo anterior se verifica que
ABBA
0
0
0
zz
yy
xx
yzx
xyz
zxy
yxz
xzy
zyx
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaaBA
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
BABABA
BABABA
BABABA
A continuacioacuten se muestra el desarrollo del producto cruz en coordenadas cartesianas
Este resultado se puede expresar en la forma
zyx aaaBA xyyxzxxzyzzy BABABABABABA
zyx
zyx
BBB
AAAzyx aaa
BA Maacutes Faacutecil Verdad
17
D14
Un triaacutengulo se define por tres puntos A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar
a)RAB x RAC
b)El aacuterea del triaacutenguloc)Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triaacutengulo
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)24ax + 78ay + 20az
b)420c)0286ax + 0928ay + 0238az
EL PRODUCTO CRUZ (CONT)
18
Representacioacuten de un punto P En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z recibe el nombre de aacutengulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy y z es igual en el sistema cartesiano
Intervalos
En coordenadas ciliacutendricas un vector A se puede expresar o
La magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES]
z
z
20
0
zAAA zzφφρρ AAA aaa
2
1222zAAA A
Je Je hellip
iquestCuaacutel es la unidad de aφ
Vectores Unitarios Los vectores unitarios aρ aφ y az son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
z
z
z
zz
0
0
0
1
1
1
z
z
19
a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares
b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular
c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
20
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
zzx
yyx tan 122
zzyx
zyxz
zzyx sincos
21
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten de un Vector Unitario
De las figuras se deduce que
zz
y
x
aa
aaa
aaa
cossin
sincos
zz
yx
yx
aa
aaa
aaa
cossin
sincos Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
22
Ejemplo 13
Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
2Luego
ρφρcosφρsinxcosφysinφ
aaxaayaBB
0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ
aaxaayaBB
22
φyφxφφ
ρyρxρρ
zφ zaρaB
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
23
D15
a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
24
D16
Transformar a coordenadas ciliacutendricas
a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)1281aρ + 6az
b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
25
Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)
Intervalos
En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]
r
r
20
0
0
r
AAAr φφrr AAA aaa
2
1222 AAAr A
Je Je hellip
iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante
Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
r
r
r
r
r
rr
0
0
0
1
1
1
26
a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas
b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas
c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ
d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
27
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
Transformacioacuten Escalar
x
y
z
yxzyxr 1
221222 tantan
rzyx
zyxr
cossinsincossin rzryrx
x
y
zyx
zzyxr 1
222
1222 tancos
28
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Relacioacuten entre Vectores Unitarios
aaa
aaaa
aaaa
sincos
cossincossinsin
sincoscoscossin
rz
ry
rx
yx
zyx
zyxr
aaa
aaaa
aaaa
cossin
sinsincoscoscos
cossinsincossin
Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
29
Ejemplo 14
Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
sin
coscos
coscosaaaGG
sin
coscossin
cossinaaaGG
22
x
2
rxrr
r
y
xz
y
xz
r
y
xz
y
xz
)aacotcacot(sincoscosG r osr
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 Cont Punto anterior
2 Luego
coscos
sinaaaGG x
r
y
xz
y
xz
30
D17
Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar
a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
31
D18
Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados
a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ
b)390ar + 312aθ + 866aφ
c)-342ar ndash 940aθ
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN
COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)
7
Ejemplo 11
Especificar el vector unitario dirigido desde el origen hacia el punto G(2-2-1)
Solucioacuten
1Se construye un vector que se extienda desde el origen hasta el punto G
G = 2ax ndash 2ay ndashaz
2Se determina la magnitud de G
3Se expresa el vector unitario deseado como el cociente
2z
2y
2x GGG G
3122 222 G
zyxG 3
1
3
2
3
2aaaa
G
G
G
G
zyxG 033306670667 aaaa
COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)
8
D11
Dados los puntos M(-121) N(3-30) y P(-2-3-4) encontrar
a)RMN
b)RMN + RMP
c)|rM|
d)aMP
e)|2rP ndash 3rN|
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestasa)4ax ndash 5ay ndash az
b)3ax ndash 10ay ndash 6az
c)245d)-014ax ndash 07ay ndash 07az
e)1556
EL PRODUCTO PUNTO
9
Dados dos vectores A y B el Producto Punto o Producto Escalar se define
El producto escalar obedece a la ley conmutativa esto es
La expresioacuten se lee A punto B
Ej de producto punto
ABCosθBABA
ABBA El signo del aacutengulo no afecta el teacutermino coseno
BA
LF dTrabajo
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
10
El producto punto de dos vectores expresados en componentes cartesianas sigue la ley distributiva como se muestra a continuacioacutenSean los vectores A y B
El producto produce la suma de 9 teacuterminos escalares y en los cuales se involucra el producto punto de dos vectores unitarios Como el aacutengulo entre dos vectores unitarios diferentes es de 90deg en coordenadas cartesianas entonces se cumple que
Resultando que
zzyyxx
zzyyxx
BBB
AAA
bbbB
aaaA
BA
0yzzyxzzxxyyx babababababa
zzyyxx BABABA BA
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
11
Una aplicacioacuten del producto punto consiste en encontrar la componente de un vector en una direccioacuten dada Por ejemplo la componente escalar del vector B en la direccioacuten del vector unitario a se expresa
La componente tiene signo positivo si se cumple que y negativo cuando
Por otro lado para obtener la componente vectorial de B en la direccioacuten de a se multiplica la componente escalar por del vector B por a
BacosθaBaB 900 Ba
18090 Ba
a) La componente escalar de B en la direccioacuten del vector unitario a es Ba
b) La componente vectorial de B en la direccioacuten del vector unitario a es (Ba)a
12
Ejemplo 12
Considere el campo vectorial G = yax ndash 25xay + 3az y el punto Q(452) Se desea encontrar 1G en Q 2La componente escalar de G en Q en la direccioacuten de 3La componente vectorial de G en Q en la direccioacuten de aN
4Y el aacutengulo θGa entre G(rQ) y aN
Solucioacuten
1Se sustituyen las coordenadas del punto Q en la expresioacuten G
G(rQ) = 5ax ndash 10ay + 3az
2Luego se encuentra la componente escalar Utilizando el producto punto se tiene
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
zyxN 223
1aaaa
2610103
122
3
13105 zyxzyxN aaaaaaaG
13
Ejemplo 12 (Cont)
Solucioacuten
3Se obtiene la componente vectorial multiplicando la componente escalar por el vector unitario en la direccioacuten aN
4Y el aacutengulo entre G(rQ) y aN se obtiene
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
zyxzyxNN 333166703331-223
12 aaaaaaaaG
999134
2cosθ
cosθ9100252
cosθ
1Ga
Ga
GaN
GaG
14
D13
Los tres veacutertices de un triaacutengulo se encuentran en A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar
a)RAB
b)RAC
c)El aacutengulo θBAC en el veacutertice A
d)La proyeccioacuten vectorial de RAB
en RAC
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-8ax + 4ay ndash 6az
b)-9ax + 2ay + 3az
c)536degd)-594ax + 1319ay + 1979az
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
EL PRODUCTO CRUZ
15
Dados dos vectores A y B el Producto Cruz o Producto Vectorial se define
En este caso el subiacutendice N hace referencia a la normalLa expresioacuten se lee A cruz B
El producto cruz es un vector cuya magnitud es igual al producto de las magnitudes de A B y el seno del aacutengulo maacutes pequentildeo entre A y B
La direccioacuten de estaacute en la direccioacuten del tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B
ABN SenθBAaBA
BA
BA
BA
EL PRODUCTO CRUZ (CONT)
16
El producto cruz no es conmutativo puesto que
De lo anterior se verifica que
ABBA
0
0
0
zz
yy
xx
yzx
xyz
zxy
yxz
xzy
zyx
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaaBA
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
BABABA
BABABA
BABABA
A continuacioacuten se muestra el desarrollo del producto cruz en coordenadas cartesianas
Este resultado se puede expresar en la forma
zyx aaaBA xyyxzxxzyzzy BABABABABABA
zyx
zyx
BBB
AAAzyx aaa
BA Maacutes Faacutecil Verdad
17
D14
Un triaacutengulo se define por tres puntos A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar
a)RAB x RAC
b)El aacuterea del triaacutenguloc)Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triaacutengulo
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)24ax + 78ay + 20az
b)420c)0286ax + 0928ay + 0238az
EL PRODUCTO CRUZ (CONT)
18
Representacioacuten de un punto P En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z recibe el nombre de aacutengulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy y z es igual en el sistema cartesiano
Intervalos
En coordenadas ciliacutendricas un vector A se puede expresar o
La magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES]
z
z
20
0
zAAA zzφφρρ AAA aaa
2
1222zAAA A
Je Je hellip
iquestCuaacutel es la unidad de aφ
Vectores Unitarios Los vectores unitarios aρ aφ y az son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
z
z
z
zz
0
0
0
1
1
1
z
z
19
a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares
b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular
c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
20
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
zzx
yyx tan 122
zzyx
zyxz
zzyx sincos
21
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten de un Vector Unitario
De las figuras se deduce que
zz
y
x
aa
aaa
aaa
cossin
sincos
zz
yx
yx
aa
aaa
aaa
cossin
sincos Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
22
Ejemplo 13
Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
2Luego
ρφρcosφρsinxcosφysinφ
aaxaayaBB
0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ
aaxaayaBB
22
φyφxφφ
ρyρxρρ
zφ zaρaB
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
23
D15
a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
24
D16
Transformar a coordenadas ciliacutendricas
a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)1281aρ + 6az
b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
25
Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)
Intervalos
En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]
r
r
20
0
0
r
AAAr φφrr AAA aaa
2
1222 AAAr A
Je Je hellip
iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante
Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
r
r
r
r
r
rr
0
0
0
1
1
1
26
a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas
b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas
c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ
d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
27
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
Transformacioacuten Escalar
x
y
z
yxzyxr 1
221222 tantan
rzyx
zyxr
cossinsincossin rzryrx
x
y
zyx
zzyxr 1
222
1222 tancos
28
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Relacioacuten entre Vectores Unitarios
aaa
aaaa
aaaa
sincos
cossincossinsin
sincoscoscossin
rz
ry
rx
yx
zyx
zyxr
aaa
aaaa
aaaa
cossin
sinsincoscoscos
cossinsincossin
Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
29
Ejemplo 14
Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
sin
coscos
coscosaaaGG
sin
coscossin
cossinaaaGG
22
x
2
rxrr
r
y
xz
y
xz
r
y
xz
y
xz
)aacotcacot(sincoscosG r osr
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 Cont Punto anterior
2 Luego
coscos
sinaaaGG x
r
y
xz
y
xz
30
D17
Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar
a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
31
D18
Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados
a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ
b)390ar + 312aθ + 866aφ
c)-342ar ndash 940aθ
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN
COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT)
8
D11
Dados los puntos M(-121) N(3-30) y P(-2-3-4) encontrar
a)RMN
b)RMN + RMP
c)|rM|
d)aMP
e)|2rP ndash 3rN|
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestasa)4ax ndash 5ay ndash az
b)3ax ndash 10ay ndash 6az
c)245d)-014ax ndash 07ay ndash 07az
e)1556
EL PRODUCTO PUNTO
9
Dados dos vectores A y B el Producto Punto o Producto Escalar se define
El producto escalar obedece a la ley conmutativa esto es
La expresioacuten se lee A punto B
Ej de producto punto
ABCosθBABA
ABBA El signo del aacutengulo no afecta el teacutermino coseno
BA
LF dTrabajo
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
10
El producto punto de dos vectores expresados en componentes cartesianas sigue la ley distributiva como se muestra a continuacioacutenSean los vectores A y B
El producto produce la suma de 9 teacuterminos escalares y en los cuales se involucra el producto punto de dos vectores unitarios Como el aacutengulo entre dos vectores unitarios diferentes es de 90deg en coordenadas cartesianas entonces se cumple que
Resultando que
zzyyxx
zzyyxx
BBB
AAA
bbbB
aaaA
BA
0yzzyxzzxxyyx babababababa
zzyyxx BABABA BA
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
11
Una aplicacioacuten del producto punto consiste en encontrar la componente de un vector en una direccioacuten dada Por ejemplo la componente escalar del vector B en la direccioacuten del vector unitario a se expresa
La componente tiene signo positivo si se cumple que y negativo cuando
Por otro lado para obtener la componente vectorial de B en la direccioacuten de a se multiplica la componente escalar por del vector B por a
BacosθaBaB 900 Ba
18090 Ba
a) La componente escalar de B en la direccioacuten del vector unitario a es Ba
b) La componente vectorial de B en la direccioacuten del vector unitario a es (Ba)a
12
Ejemplo 12
Considere el campo vectorial G = yax ndash 25xay + 3az y el punto Q(452) Se desea encontrar 1G en Q 2La componente escalar de G en Q en la direccioacuten de 3La componente vectorial de G en Q en la direccioacuten de aN
4Y el aacutengulo θGa entre G(rQ) y aN
Solucioacuten
1Se sustituyen las coordenadas del punto Q en la expresioacuten G
G(rQ) = 5ax ndash 10ay + 3az
2Luego se encuentra la componente escalar Utilizando el producto punto se tiene
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
zyxN 223
1aaaa
2610103
122
3
13105 zyxzyxN aaaaaaaG
13
Ejemplo 12 (Cont)
Solucioacuten
3Se obtiene la componente vectorial multiplicando la componente escalar por el vector unitario en la direccioacuten aN
4Y el aacutengulo entre G(rQ) y aN se obtiene
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
zyxzyxNN 333166703331-223
12 aaaaaaaaG
999134
2cosθ
cosθ9100252
cosθ
1Ga
Ga
GaN
GaG
14
D13
Los tres veacutertices de un triaacutengulo se encuentran en A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar
a)RAB
b)RAC
c)El aacutengulo θBAC en el veacutertice A
d)La proyeccioacuten vectorial de RAB
en RAC
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-8ax + 4ay ndash 6az
b)-9ax + 2ay + 3az
c)536degd)-594ax + 1319ay + 1979az
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
EL PRODUCTO CRUZ
15
Dados dos vectores A y B el Producto Cruz o Producto Vectorial se define
En este caso el subiacutendice N hace referencia a la normalLa expresioacuten se lee A cruz B
El producto cruz es un vector cuya magnitud es igual al producto de las magnitudes de A B y el seno del aacutengulo maacutes pequentildeo entre A y B
La direccioacuten de estaacute en la direccioacuten del tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B
ABN SenθBAaBA
BA
BA
BA
EL PRODUCTO CRUZ (CONT)
16
El producto cruz no es conmutativo puesto que
De lo anterior se verifica que
ABBA
0
0
0
zz
yy
xx
yzx
xyz
zxy
yxz
xzy
zyx
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaaBA
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
BABABA
BABABA
BABABA
A continuacioacuten se muestra el desarrollo del producto cruz en coordenadas cartesianas
Este resultado se puede expresar en la forma
zyx aaaBA xyyxzxxzyzzy BABABABABABA
zyx
zyx
BBB
AAAzyx aaa
BA Maacutes Faacutecil Verdad
17
D14
Un triaacutengulo se define por tres puntos A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar
a)RAB x RAC
b)El aacuterea del triaacutenguloc)Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triaacutengulo
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)24ax + 78ay + 20az
b)420c)0286ax + 0928ay + 0238az
EL PRODUCTO CRUZ (CONT)
18
Representacioacuten de un punto P En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z recibe el nombre de aacutengulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy y z es igual en el sistema cartesiano
Intervalos
En coordenadas ciliacutendricas un vector A se puede expresar o
La magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES]
z
z
20
0
zAAA zzφφρρ AAA aaa
2
1222zAAA A
Je Je hellip
iquestCuaacutel es la unidad de aφ
Vectores Unitarios Los vectores unitarios aρ aφ y az son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
z
z
z
zz
0
0
0
1
1
1
z
z
19
a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares
b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular
c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
20
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
zzx
yyx tan 122
zzyx
zyxz
zzyx sincos
21
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten de un Vector Unitario
De las figuras se deduce que
zz
y
x
aa
aaa
aaa
cossin
sincos
zz
yx
yx
aa
aaa
aaa
cossin
sincos Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
22
Ejemplo 13
Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
2Luego
ρφρcosφρsinxcosφysinφ
aaxaayaBB
0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ
aaxaayaBB
22
φyφxφφ
ρyρxρρ
zφ zaρaB
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
23
D15
a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
24
D16
Transformar a coordenadas ciliacutendricas
a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)1281aρ + 6az
b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
25
Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)
Intervalos
En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]
r
r
20
0
0
r
AAAr φφrr AAA aaa
2
1222 AAAr A
Je Je hellip
iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante
Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
r
r
r
r
r
rr
0
0
0
1
1
1
26
a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas
b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas
c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ
d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
27
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
Transformacioacuten Escalar
x
y
z
yxzyxr 1
221222 tantan
rzyx
zyxr
cossinsincossin rzryrx
x
y
zyx
zzyxr 1
222
1222 tancos
28
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Relacioacuten entre Vectores Unitarios
aaa
aaaa
aaaa
sincos
cossincossinsin
sincoscoscossin
rz
ry
rx
yx
zyx
zyxr
aaa
aaaa
aaaa
cossin
sinsincoscoscos
cossinsincossin
Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
29
Ejemplo 14
Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
sin
coscos
coscosaaaGG
sin
coscossin
cossinaaaGG
22
x
2
rxrr
r
y
xz
y
xz
r
y
xz
y
xz
)aacotcacot(sincoscosG r osr
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 Cont Punto anterior
2 Luego
coscos
sinaaaGG x
r
y
xz
y
xz
30
D17
Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar
a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
31
D18
Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados
a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ
b)390ar + 312aθ + 866aφ
c)-342ar ndash 940aθ
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN
EL PRODUCTO PUNTO
9
Dados dos vectores A y B el Producto Punto o Producto Escalar se define
El producto escalar obedece a la ley conmutativa esto es
La expresioacuten se lee A punto B
Ej de producto punto
ABCosθBABA
ABBA El signo del aacutengulo no afecta el teacutermino coseno
BA
LF dTrabajo
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
10
El producto punto de dos vectores expresados en componentes cartesianas sigue la ley distributiva como se muestra a continuacioacutenSean los vectores A y B
El producto produce la suma de 9 teacuterminos escalares y en los cuales se involucra el producto punto de dos vectores unitarios Como el aacutengulo entre dos vectores unitarios diferentes es de 90deg en coordenadas cartesianas entonces se cumple que
Resultando que
zzyyxx
zzyyxx
BBB
AAA
bbbB
aaaA
BA
0yzzyxzzxxyyx babababababa
zzyyxx BABABA BA
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
11
Una aplicacioacuten del producto punto consiste en encontrar la componente de un vector en una direccioacuten dada Por ejemplo la componente escalar del vector B en la direccioacuten del vector unitario a se expresa
La componente tiene signo positivo si se cumple que y negativo cuando
Por otro lado para obtener la componente vectorial de B en la direccioacuten de a se multiplica la componente escalar por del vector B por a
BacosθaBaB 900 Ba
18090 Ba
a) La componente escalar de B en la direccioacuten del vector unitario a es Ba
b) La componente vectorial de B en la direccioacuten del vector unitario a es (Ba)a
12
Ejemplo 12
Considere el campo vectorial G = yax ndash 25xay + 3az y el punto Q(452) Se desea encontrar 1G en Q 2La componente escalar de G en Q en la direccioacuten de 3La componente vectorial de G en Q en la direccioacuten de aN
4Y el aacutengulo θGa entre G(rQ) y aN
Solucioacuten
1Se sustituyen las coordenadas del punto Q en la expresioacuten G
G(rQ) = 5ax ndash 10ay + 3az
2Luego se encuentra la componente escalar Utilizando el producto punto se tiene
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
zyxN 223
1aaaa
2610103
122
3
13105 zyxzyxN aaaaaaaG
13
Ejemplo 12 (Cont)
Solucioacuten
3Se obtiene la componente vectorial multiplicando la componente escalar por el vector unitario en la direccioacuten aN
4Y el aacutengulo entre G(rQ) y aN se obtiene
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
zyxzyxNN 333166703331-223
12 aaaaaaaaG
999134
2cosθ
cosθ9100252
cosθ
1Ga
Ga
GaN
GaG
14
D13
Los tres veacutertices de un triaacutengulo se encuentran en A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar
a)RAB
b)RAC
c)El aacutengulo θBAC en el veacutertice A
d)La proyeccioacuten vectorial de RAB
en RAC
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-8ax + 4ay ndash 6az
b)-9ax + 2ay + 3az
c)536degd)-594ax + 1319ay + 1979az
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
EL PRODUCTO CRUZ
15
Dados dos vectores A y B el Producto Cruz o Producto Vectorial se define
En este caso el subiacutendice N hace referencia a la normalLa expresioacuten se lee A cruz B
El producto cruz es un vector cuya magnitud es igual al producto de las magnitudes de A B y el seno del aacutengulo maacutes pequentildeo entre A y B
La direccioacuten de estaacute en la direccioacuten del tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B
ABN SenθBAaBA
BA
BA
BA
EL PRODUCTO CRUZ (CONT)
16
El producto cruz no es conmutativo puesto que
De lo anterior se verifica que
ABBA
0
0
0
zz
yy
xx
yzx
xyz
zxy
yxz
xzy
zyx
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaaBA
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
BABABA
BABABA
BABABA
A continuacioacuten se muestra el desarrollo del producto cruz en coordenadas cartesianas
Este resultado se puede expresar en la forma
zyx aaaBA xyyxzxxzyzzy BABABABABABA
zyx
zyx
BBB
AAAzyx aaa
BA Maacutes Faacutecil Verdad
17
D14
Un triaacutengulo se define por tres puntos A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar
a)RAB x RAC
b)El aacuterea del triaacutenguloc)Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triaacutengulo
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)24ax + 78ay + 20az
b)420c)0286ax + 0928ay + 0238az
EL PRODUCTO CRUZ (CONT)
18
Representacioacuten de un punto P En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z recibe el nombre de aacutengulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy y z es igual en el sistema cartesiano
Intervalos
En coordenadas ciliacutendricas un vector A se puede expresar o
La magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES]
z
z
20
0
zAAA zzφφρρ AAA aaa
2
1222zAAA A
Je Je hellip
iquestCuaacutel es la unidad de aφ
Vectores Unitarios Los vectores unitarios aρ aφ y az son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
z
z
z
zz
0
0
0
1
1
1
z
z
19
a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares
b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular
c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
20
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
zzx
yyx tan 122
zzyx
zyxz
zzyx sincos
21
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten de un Vector Unitario
De las figuras se deduce que
zz
y
x
aa
aaa
aaa
cossin
sincos
zz
yx
yx
aa
aaa
aaa
cossin
sincos Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
22
Ejemplo 13
Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
2Luego
ρφρcosφρsinxcosφysinφ
aaxaayaBB
0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ
aaxaayaBB
22
φyφxφφ
ρyρxρρ
zφ zaρaB
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
23
D15
a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
24
D16
Transformar a coordenadas ciliacutendricas
a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)1281aρ + 6az
b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
25
Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)
Intervalos
En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]
r
r
20
0
0
r
AAAr φφrr AAA aaa
2
1222 AAAr A
Je Je hellip
iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante
Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
r
r
r
r
r
rr
0
0
0
1
1
1
26
a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas
b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas
c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ
d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
27
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
Transformacioacuten Escalar
x
y
z
yxzyxr 1
221222 tantan
rzyx
zyxr
cossinsincossin rzryrx
x
y
zyx
zzyxr 1
222
1222 tancos
28
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Relacioacuten entre Vectores Unitarios
aaa
aaaa
aaaa
sincos
cossincossinsin
sincoscoscossin
rz
ry
rx
yx
zyx
zyxr
aaa
aaaa
aaaa
cossin
sinsincoscoscos
cossinsincossin
Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
29
Ejemplo 14
Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
sin
coscos
coscosaaaGG
sin
coscossin
cossinaaaGG
22
x
2
rxrr
r
y
xz
y
xz
r
y
xz
y
xz
)aacotcacot(sincoscosG r osr
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 Cont Punto anterior
2 Luego
coscos
sinaaaGG x
r
y
xz
y
xz
30
D17
Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar
a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
31
D18
Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados
a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ
b)390ar + 312aθ + 866aφ
c)-342ar ndash 940aθ
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
10
El producto punto de dos vectores expresados en componentes cartesianas sigue la ley distributiva como se muestra a continuacioacutenSean los vectores A y B
El producto produce la suma de 9 teacuterminos escalares y en los cuales se involucra el producto punto de dos vectores unitarios Como el aacutengulo entre dos vectores unitarios diferentes es de 90deg en coordenadas cartesianas entonces se cumple que
Resultando que
zzyyxx
zzyyxx
BBB
AAA
bbbB
aaaA
BA
0yzzyxzzxxyyx babababababa
zzyyxx BABABA BA
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
11
Una aplicacioacuten del producto punto consiste en encontrar la componente de un vector en una direccioacuten dada Por ejemplo la componente escalar del vector B en la direccioacuten del vector unitario a se expresa
La componente tiene signo positivo si se cumple que y negativo cuando
Por otro lado para obtener la componente vectorial de B en la direccioacuten de a se multiplica la componente escalar por del vector B por a
BacosθaBaB 900 Ba
18090 Ba
a) La componente escalar de B en la direccioacuten del vector unitario a es Ba
b) La componente vectorial de B en la direccioacuten del vector unitario a es (Ba)a
12
Ejemplo 12
Considere el campo vectorial G = yax ndash 25xay + 3az y el punto Q(452) Se desea encontrar 1G en Q 2La componente escalar de G en Q en la direccioacuten de 3La componente vectorial de G en Q en la direccioacuten de aN
4Y el aacutengulo θGa entre G(rQ) y aN
Solucioacuten
1Se sustituyen las coordenadas del punto Q en la expresioacuten G
G(rQ) = 5ax ndash 10ay + 3az
2Luego se encuentra la componente escalar Utilizando el producto punto se tiene
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
zyxN 223
1aaaa
2610103
122
3
13105 zyxzyxN aaaaaaaG
13
Ejemplo 12 (Cont)
Solucioacuten
3Se obtiene la componente vectorial multiplicando la componente escalar por el vector unitario en la direccioacuten aN
4Y el aacutengulo entre G(rQ) y aN se obtiene
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
zyxzyxNN 333166703331-223
12 aaaaaaaaG
999134
2cosθ
cosθ9100252
cosθ
1Ga
Ga
GaN
GaG
14
D13
Los tres veacutertices de un triaacutengulo se encuentran en A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar
a)RAB
b)RAC
c)El aacutengulo θBAC en el veacutertice A
d)La proyeccioacuten vectorial de RAB
en RAC
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-8ax + 4ay ndash 6az
b)-9ax + 2ay + 3az
c)536degd)-594ax + 1319ay + 1979az
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
EL PRODUCTO CRUZ
15
Dados dos vectores A y B el Producto Cruz o Producto Vectorial se define
En este caso el subiacutendice N hace referencia a la normalLa expresioacuten se lee A cruz B
El producto cruz es un vector cuya magnitud es igual al producto de las magnitudes de A B y el seno del aacutengulo maacutes pequentildeo entre A y B
La direccioacuten de estaacute en la direccioacuten del tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B
ABN SenθBAaBA
BA
BA
BA
EL PRODUCTO CRUZ (CONT)
16
El producto cruz no es conmutativo puesto que
De lo anterior se verifica que
ABBA
0
0
0
zz
yy
xx
yzx
xyz
zxy
yxz
xzy
zyx
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaaBA
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
BABABA
BABABA
BABABA
A continuacioacuten se muestra el desarrollo del producto cruz en coordenadas cartesianas
Este resultado se puede expresar en la forma
zyx aaaBA xyyxzxxzyzzy BABABABABABA
zyx
zyx
BBB
AAAzyx aaa
BA Maacutes Faacutecil Verdad
17
D14
Un triaacutengulo se define por tres puntos A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar
a)RAB x RAC
b)El aacuterea del triaacutenguloc)Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triaacutengulo
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)24ax + 78ay + 20az
b)420c)0286ax + 0928ay + 0238az
EL PRODUCTO CRUZ (CONT)
18
Representacioacuten de un punto P En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z recibe el nombre de aacutengulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy y z es igual en el sistema cartesiano
Intervalos
En coordenadas ciliacutendricas un vector A se puede expresar o
La magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES]
z
z
20
0
zAAA zzφφρρ AAA aaa
2
1222zAAA A
Je Je hellip
iquestCuaacutel es la unidad de aφ
Vectores Unitarios Los vectores unitarios aρ aφ y az son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
z
z
z
zz
0
0
0
1
1
1
z
z
19
a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares
b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular
c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
20
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
zzx
yyx tan 122
zzyx
zyxz
zzyx sincos
21
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten de un Vector Unitario
De las figuras se deduce que
zz
y
x
aa
aaa
aaa
cossin
sincos
zz
yx
yx
aa
aaa
aaa
cossin
sincos Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
22
Ejemplo 13
Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
2Luego
ρφρcosφρsinxcosφysinφ
aaxaayaBB
0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ
aaxaayaBB
22
φyφxφφ
ρyρxρρ
zφ zaρaB
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
23
D15
a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
24
D16
Transformar a coordenadas ciliacutendricas
a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)1281aρ + 6az
b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
25
Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)
Intervalos
En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]
r
r
20
0
0
r
AAAr φφrr AAA aaa
2
1222 AAAr A
Je Je hellip
iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante
Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
r
r
r
r
r
rr
0
0
0
1
1
1
26
a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas
b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas
c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ
d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
27
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
Transformacioacuten Escalar
x
y
z
yxzyxr 1
221222 tantan
rzyx
zyxr
cossinsincossin rzryrx
x
y
zyx
zzyxr 1
222
1222 tancos
28
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Relacioacuten entre Vectores Unitarios
aaa
aaaa
aaaa
sincos
cossincossinsin
sincoscoscossin
rz
ry
rx
yx
zyx
zyxr
aaa
aaaa
aaaa
cossin
sinsincoscoscos
cossinsincossin
Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
29
Ejemplo 14
Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
sin
coscos
coscosaaaGG
sin
coscossin
cossinaaaGG
22
x
2
rxrr
r
y
xz
y
xz
r
y
xz
y
xz
)aacotcacot(sincoscosG r osr
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 Cont Punto anterior
2 Luego
coscos
sinaaaGG x
r
y
xz
y
xz
30
D17
Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar
a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
31
D18
Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados
a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ
b)390ar + 312aθ + 866aφ
c)-342ar ndash 940aθ
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
11
Una aplicacioacuten del producto punto consiste en encontrar la componente de un vector en una direccioacuten dada Por ejemplo la componente escalar del vector B en la direccioacuten del vector unitario a se expresa
La componente tiene signo positivo si se cumple que y negativo cuando
Por otro lado para obtener la componente vectorial de B en la direccioacuten de a se multiplica la componente escalar por del vector B por a
BacosθaBaB 900 Ba
18090 Ba
a) La componente escalar de B en la direccioacuten del vector unitario a es Ba
b) La componente vectorial de B en la direccioacuten del vector unitario a es (Ba)a
12
Ejemplo 12
Considere el campo vectorial G = yax ndash 25xay + 3az y el punto Q(452) Se desea encontrar 1G en Q 2La componente escalar de G en Q en la direccioacuten de 3La componente vectorial de G en Q en la direccioacuten de aN
4Y el aacutengulo θGa entre G(rQ) y aN
Solucioacuten
1Se sustituyen las coordenadas del punto Q en la expresioacuten G
G(rQ) = 5ax ndash 10ay + 3az
2Luego se encuentra la componente escalar Utilizando el producto punto se tiene
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
zyxN 223
1aaaa
2610103
122
3
13105 zyxzyxN aaaaaaaG
13
Ejemplo 12 (Cont)
Solucioacuten
3Se obtiene la componente vectorial multiplicando la componente escalar por el vector unitario en la direccioacuten aN
4Y el aacutengulo entre G(rQ) y aN se obtiene
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
zyxzyxNN 333166703331-223
12 aaaaaaaaG
999134
2cosθ
cosθ9100252
cosθ
1Ga
Ga
GaN
GaG
14
D13
Los tres veacutertices de un triaacutengulo se encuentran en A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar
a)RAB
b)RAC
c)El aacutengulo θBAC en el veacutertice A
d)La proyeccioacuten vectorial de RAB
en RAC
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-8ax + 4ay ndash 6az
b)-9ax + 2ay + 3az
c)536degd)-594ax + 1319ay + 1979az
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
EL PRODUCTO CRUZ
15
Dados dos vectores A y B el Producto Cruz o Producto Vectorial se define
En este caso el subiacutendice N hace referencia a la normalLa expresioacuten se lee A cruz B
El producto cruz es un vector cuya magnitud es igual al producto de las magnitudes de A B y el seno del aacutengulo maacutes pequentildeo entre A y B
La direccioacuten de estaacute en la direccioacuten del tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B
ABN SenθBAaBA
BA
BA
BA
EL PRODUCTO CRUZ (CONT)
16
El producto cruz no es conmutativo puesto que
De lo anterior se verifica que
ABBA
0
0
0
zz
yy
xx
yzx
xyz
zxy
yxz
xzy
zyx
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaaBA
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
BABABA
BABABA
BABABA
A continuacioacuten se muestra el desarrollo del producto cruz en coordenadas cartesianas
Este resultado se puede expresar en la forma
zyx aaaBA xyyxzxxzyzzy BABABABABABA
zyx
zyx
BBB
AAAzyx aaa
BA Maacutes Faacutecil Verdad
17
D14
Un triaacutengulo se define por tres puntos A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar
a)RAB x RAC
b)El aacuterea del triaacutenguloc)Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triaacutengulo
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)24ax + 78ay + 20az
b)420c)0286ax + 0928ay + 0238az
EL PRODUCTO CRUZ (CONT)
18
Representacioacuten de un punto P En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z recibe el nombre de aacutengulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy y z es igual en el sistema cartesiano
Intervalos
En coordenadas ciliacutendricas un vector A se puede expresar o
La magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES]
z
z
20
0
zAAA zzφφρρ AAA aaa
2
1222zAAA A
Je Je hellip
iquestCuaacutel es la unidad de aφ
Vectores Unitarios Los vectores unitarios aρ aφ y az son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
z
z
z
zz
0
0
0
1
1
1
z
z
19
a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares
b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular
c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
20
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
zzx
yyx tan 122
zzyx
zyxz
zzyx sincos
21
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten de un Vector Unitario
De las figuras se deduce que
zz
y
x
aa
aaa
aaa
cossin
sincos
zz
yx
yx
aa
aaa
aaa
cossin
sincos Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
22
Ejemplo 13
Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
2Luego
ρφρcosφρsinxcosφysinφ
aaxaayaBB
0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ
aaxaayaBB
22
φyφxφφ
ρyρxρρ
zφ zaρaB
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
23
D15
a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
24
D16
Transformar a coordenadas ciliacutendricas
a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)1281aρ + 6az
b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
25
Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)
Intervalos
En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]
r
r
20
0
0
r
AAAr φφrr AAA aaa
2
1222 AAAr A
Je Je hellip
iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante
Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
r
r
r
r
r
rr
0
0
0
1
1
1
26
a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas
b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas
c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ
d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
27
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
Transformacioacuten Escalar
x
y
z
yxzyxr 1
221222 tantan
rzyx
zyxr
cossinsincossin rzryrx
x
y
zyx
zzyxr 1
222
1222 tancos
28
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Relacioacuten entre Vectores Unitarios
aaa
aaaa
aaaa
sincos
cossincossinsin
sincoscoscossin
rz
ry
rx
yx
zyx
zyxr
aaa
aaaa
aaaa
cossin
sinsincoscoscos
cossinsincossin
Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
29
Ejemplo 14
Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
sin
coscos
coscosaaaGG
sin
coscossin
cossinaaaGG
22
x
2
rxrr
r
y
xz
y
xz
r
y
xz
y
xz
)aacotcacot(sincoscosG r osr
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 Cont Punto anterior
2 Luego
coscos
sinaaaGG x
r
y
xz
y
xz
30
D17
Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar
a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
31
D18
Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados
a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ
b)390ar + 312aθ + 866aφ
c)-342ar ndash 940aθ
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN
12
Ejemplo 12
Considere el campo vectorial G = yax ndash 25xay + 3az y el punto Q(452) Se desea encontrar 1G en Q 2La componente escalar de G en Q en la direccioacuten de 3La componente vectorial de G en Q en la direccioacuten de aN
4Y el aacutengulo θGa entre G(rQ) y aN
Solucioacuten
1Se sustituyen las coordenadas del punto Q en la expresioacuten G
G(rQ) = 5ax ndash 10ay + 3az
2Luego se encuentra la componente escalar Utilizando el producto punto se tiene
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
zyxN 223
1aaaa
2610103
122
3
13105 zyxzyxN aaaaaaaG
13
Ejemplo 12 (Cont)
Solucioacuten
3Se obtiene la componente vectorial multiplicando la componente escalar por el vector unitario en la direccioacuten aN
4Y el aacutengulo entre G(rQ) y aN se obtiene
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
zyxzyxNN 333166703331-223
12 aaaaaaaaG
999134
2cosθ
cosθ9100252
cosθ
1Ga
Ga
GaN
GaG
14
D13
Los tres veacutertices de un triaacutengulo se encuentran en A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar
a)RAB
b)RAC
c)El aacutengulo θBAC en el veacutertice A
d)La proyeccioacuten vectorial de RAB
en RAC
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-8ax + 4ay ndash 6az
b)-9ax + 2ay + 3az
c)536degd)-594ax + 1319ay + 1979az
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
EL PRODUCTO CRUZ
15
Dados dos vectores A y B el Producto Cruz o Producto Vectorial se define
En este caso el subiacutendice N hace referencia a la normalLa expresioacuten se lee A cruz B
El producto cruz es un vector cuya magnitud es igual al producto de las magnitudes de A B y el seno del aacutengulo maacutes pequentildeo entre A y B
La direccioacuten de estaacute en la direccioacuten del tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B
ABN SenθBAaBA
BA
BA
BA
EL PRODUCTO CRUZ (CONT)
16
El producto cruz no es conmutativo puesto que
De lo anterior se verifica que
ABBA
0
0
0
zz
yy
xx
yzx
xyz
zxy
yxz
xzy
zyx
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaaBA
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
BABABA
BABABA
BABABA
A continuacioacuten se muestra el desarrollo del producto cruz en coordenadas cartesianas
Este resultado se puede expresar en la forma
zyx aaaBA xyyxzxxzyzzy BABABABABABA
zyx
zyx
BBB
AAAzyx aaa
BA Maacutes Faacutecil Verdad
17
D14
Un triaacutengulo se define por tres puntos A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar
a)RAB x RAC
b)El aacuterea del triaacutenguloc)Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triaacutengulo
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)24ax + 78ay + 20az
b)420c)0286ax + 0928ay + 0238az
EL PRODUCTO CRUZ (CONT)
18
Representacioacuten de un punto P En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z recibe el nombre de aacutengulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy y z es igual en el sistema cartesiano
Intervalos
En coordenadas ciliacutendricas un vector A se puede expresar o
La magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES]
z
z
20
0
zAAA zzφφρρ AAA aaa
2
1222zAAA A
Je Je hellip
iquestCuaacutel es la unidad de aφ
Vectores Unitarios Los vectores unitarios aρ aφ y az son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
z
z
z
zz
0
0
0
1
1
1
z
z
19
a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares
b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular
c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
20
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
zzx
yyx tan 122
zzyx
zyxz
zzyx sincos
21
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten de un Vector Unitario
De las figuras se deduce que
zz
y
x
aa
aaa
aaa
cossin
sincos
zz
yx
yx
aa
aaa
aaa
cossin
sincos Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
22
Ejemplo 13
Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
2Luego
ρφρcosφρsinxcosφysinφ
aaxaayaBB
0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ
aaxaayaBB
22
φyφxφφ
ρyρxρρ
zφ zaρaB
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
23
D15
a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
24
D16
Transformar a coordenadas ciliacutendricas
a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)1281aρ + 6az
b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
25
Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)
Intervalos
En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]
r
r
20
0
0
r
AAAr φφrr AAA aaa
2
1222 AAAr A
Je Je hellip
iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante
Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
r
r
r
r
r
rr
0
0
0
1
1
1
26
a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas
b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas
c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ
d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
27
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
Transformacioacuten Escalar
x
y
z
yxzyxr 1
221222 tantan
rzyx
zyxr
cossinsincossin rzryrx
x
y
zyx
zzyxr 1
222
1222 tancos
28
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Relacioacuten entre Vectores Unitarios
aaa
aaaa
aaaa
sincos
cossincossinsin
sincoscoscossin
rz
ry
rx
yx
zyx
zyxr
aaa
aaaa
aaaa
cossin
sinsincoscoscos
cossinsincossin
Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
29
Ejemplo 14
Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
sin
coscos
coscosaaaGG
sin
coscossin
cossinaaaGG
22
x
2
rxrr
r
y
xz
y
xz
r
y
xz
y
xz
)aacotcacot(sincoscosG r osr
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 Cont Punto anterior
2 Luego
coscos
sinaaaGG x
r
y
xz
y
xz
30
D17
Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar
a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
31
D18
Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados
a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ
b)390ar + 312aθ + 866aφ
c)-342ar ndash 940aθ
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN
13
Ejemplo 12 (Cont)
Solucioacuten
3Se obtiene la componente vectorial multiplicando la componente escalar por el vector unitario en la direccioacuten aN
4Y el aacutengulo entre G(rQ) y aN se obtiene
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
zyxzyxNN 333166703331-223
12 aaaaaaaaG
999134
2cosθ
cosθ9100252
cosθ
1Ga
Ga
GaN
GaG
14
D13
Los tres veacutertices de un triaacutengulo se encuentran en A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar
a)RAB
b)RAC
c)El aacutengulo θBAC en el veacutertice A
d)La proyeccioacuten vectorial de RAB
en RAC
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-8ax + 4ay ndash 6az
b)-9ax + 2ay + 3az
c)536degd)-594ax + 1319ay + 1979az
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
EL PRODUCTO CRUZ
15
Dados dos vectores A y B el Producto Cruz o Producto Vectorial se define
En este caso el subiacutendice N hace referencia a la normalLa expresioacuten se lee A cruz B
El producto cruz es un vector cuya magnitud es igual al producto de las magnitudes de A B y el seno del aacutengulo maacutes pequentildeo entre A y B
La direccioacuten de estaacute en la direccioacuten del tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B
ABN SenθBAaBA
BA
BA
BA
EL PRODUCTO CRUZ (CONT)
16
El producto cruz no es conmutativo puesto que
De lo anterior se verifica que
ABBA
0
0
0
zz
yy
xx
yzx
xyz
zxy
yxz
xzy
zyx
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaaBA
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
BABABA
BABABA
BABABA
A continuacioacuten se muestra el desarrollo del producto cruz en coordenadas cartesianas
Este resultado se puede expresar en la forma
zyx aaaBA xyyxzxxzyzzy BABABABABABA
zyx
zyx
BBB
AAAzyx aaa
BA Maacutes Faacutecil Verdad
17
D14
Un triaacutengulo se define por tres puntos A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar
a)RAB x RAC
b)El aacuterea del triaacutenguloc)Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triaacutengulo
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)24ax + 78ay + 20az
b)420c)0286ax + 0928ay + 0238az
EL PRODUCTO CRUZ (CONT)
18
Representacioacuten de un punto P En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z recibe el nombre de aacutengulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy y z es igual en el sistema cartesiano
Intervalos
En coordenadas ciliacutendricas un vector A se puede expresar o
La magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES]
z
z
20
0
zAAA zzφφρρ AAA aaa
2
1222zAAA A
Je Je hellip
iquestCuaacutel es la unidad de aφ
Vectores Unitarios Los vectores unitarios aρ aφ y az son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
z
z
z
zz
0
0
0
1
1
1
z
z
19
a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares
b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular
c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
20
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
zzx
yyx tan 122
zzyx
zyxz
zzyx sincos
21
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten de un Vector Unitario
De las figuras se deduce que
zz
y
x
aa
aaa
aaa
cossin
sincos
zz
yx
yx
aa
aaa
aaa
cossin
sincos Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
22
Ejemplo 13
Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
2Luego
ρφρcosφρsinxcosφysinφ
aaxaayaBB
0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ
aaxaayaBB
22
φyφxφφ
ρyρxρρ
zφ zaρaB
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
23
D15
a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
24
D16
Transformar a coordenadas ciliacutendricas
a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)1281aρ + 6az
b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
25
Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)
Intervalos
En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]
r
r
20
0
0
r
AAAr φφrr AAA aaa
2
1222 AAAr A
Je Je hellip
iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante
Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
r
r
r
r
r
rr
0
0
0
1
1
1
26
a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas
b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas
c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ
d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
27
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
Transformacioacuten Escalar
x
y
z
yxzyxr 1
221222 tantan
rzyx
zyxr
cossinsincossin rzryrx
x
y
zyx
zzyxr 1
222
1222 tancos
28
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Relacioacuten entre Vectores Unitarios
aaa
aaaa
aaaa
sincos
cossincossinsin
sincoscoscossin
rz
ry
rx
yx
zyx
zyxr
aaa
aaaa
aaaa
cossin
sinsincoscoscos
cossinsincossin
Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
29
Ejemplo 14
Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
sin
coscos
coscosaaaGG
sin
coscossin
cossinaaaGG
22
x
2
rxrr
r
y
xz
y
xz
r
y
xz
y
xz
)aacotcacot(sincoscosG r osr
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 Cont Punto anterior
2 Luego
coscos
sinaaaGG x
r
y
xz
y
xz
30
D17
Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar
a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
31
D18
Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados
a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ
b)390ar + 312aθ + 866aφ
c)-342ar ndash 940aθ
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN
14
D13
Los tres veacutertices de un triaacutengulo se encuentran en A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar
a)RAB
b)RAC
c)El aacutengulo θBAC en el veacutertice A
d)La proyeccioacuten vectorial de RAB
en RAC
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-8ax + 4ay ndash 6az
b)-9ax + 2ay + 3az
c)536degd)-594ax + 1319ay + 1979az
EL PRODUCTO PUNTO (CONT)
EL PRODUCTO CRUZ
15
Dados dos vectores A y B el Producto Cruz o Producto Vectorial se define
En este caso el subiacutendice N hace referencia a la normalLa expresioacuten se lee A cruz B
El producto cruz es un vector cuya magnitud es igual al producto de las magnitudes de A B y el seno del aacutengulo maacutes pequentildeo entre A y B
La direccioacuten de estaacute en la direccioacuten del tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B
ABN SenθBAaBA
BA
BA
BA
EL PRODUCTO CRUZ (CONT)
16
El producto cruz no es conmutativo puesto que
De lo anterior se verifica que
ABBA
0
0
0
zz
yy
xx
yzx
xyz
zxy
yxz
xzy
zyx
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaaBA
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
BABABA
BABABA
BABABA
A continuacioacuten se muestra el desarrollo del producto cruz en coordenadas cartesianas
Este resultado se puede expresar en la forma
zyx aaaBA xyyxzxxzyzzy BABABABABABA
zyx
zyx
BBB
AAAzyx aaa
BA Maacutes Faacutecil Verdad
17
D14
Un triaacutengulo se define por tres puntos A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar
a)RAB x RAC
b)El aacuterea del triaacutenguloc)Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triaacutengulo
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)24ax + 78ay + 20az
b)420c)0286ax + 0928ay + 0238az
EL PRODUCTO CRUZ (CONT)
18
Representacioacuten de un punto P En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z recibe el nombre de aacutengulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy y z es igual en el sistema cartesiano
Intervalos
En coordenadas ciliacutendricas un vector A se puede expresar o
La magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES]
z
z
20
0
zAAA zzφφρρ AAA aaa
2
1222zAAA A
Je Je hellip
iquestCuaacutel es la unidad de aφ
Vectores Unitarios Los vectores unitarios aρ aφ y az son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
z
z
z
zz
0
0
0
1
1
1
z
z
19
a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares
b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular
c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
20
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
zzx
yyx tan 122
zzyx
zyxz
zzyx sincos
21
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten de un Vector Unitario
De las figuras se deduce que
zz
y
x
aa
aaa
aaa
cossin
sincos
zz
yx
yx
aa
aaa
aaa
cossin
sincos Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
22
Ejemplo 13
Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
2Luego
ρφρcosφρsinxcosφysinφ
aaxaayaBB
0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ
aaxaayaBB
22
φyφxφφ
ρyρxρρ
zφ zaρaB
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
23
D15
a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
24
D16
Transformar a coordenadas ciliacutendricas
a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)1281aρ + 6az
b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
25
Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)
Intervalos
En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]
r
r
20
0
0
r
AAAr φφrr AAA aaa
2
1222 AAAr A
Je Je hellip
iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante
Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
r
r
r
r
r
rr
0
0
0
1
1
1
26
a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas
b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas
c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ
d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
27
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
Transformacioacuten Escalar
x
y
z
yxzyxr 1
221222 tantan
rzyx
zyxr
cossinsincossin rzryrx
x
y
zyx
zzyxr 1
222
1222 tancos
28
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Relacioacuten entre Vectores Unitarios
aaa
aaaa
aaaa
sincos
cossincossinsin
sincoscoscossin
rz
ry
rx
yx
zyx
zyxr
aaa
aaaa
aaaa
cossin
sinsincoscoscos
cossinsincossin
Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
29
Ejemplo 14
Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
sin
coscos
coscosaaaGG
sin
coscossin
cossinaaaGG
22
x
2
rxrr
r
y
xz
y
xz
r
y
xz
y
xz
)aacotcacot(sincoscosG r osr
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 Cont Punto anterior
2 Luego
coscos
sinaaaGG x
r
y
xz
y
xz
30
D17
Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar
a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
31
D18
Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados
a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ
b)390ar + 312aθ + 866aφ
c)-342ar ndash 940aθ
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN
EL PRODUCTO CRUZ
15
Dados dos vectores A y B el Producto Cruz o Producto Vectorial se define
En este caso el subiacutendice N hace referencia a la normalLa expresioacuten se lee A cruz B
El producto cruz es un vector cuya magnitud es igual al producto de las magnitudes de A B y el seno del aacutengulo maacutes pequentildeo entre A y B
La direccioacuten de estaacute en la direccioacuten del tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B
ABN SenθBAaBA
BA
BA
BA
EL PRODUCTO CRUZ (CONT)
16
El producto cruz no es conmutativo puesto que
De lo anterior se verifica que
ABBA
0
0
0
zz
yy
xx
yzx
xyz
zxy
yxz
xzy
zyx
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaaBA
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
BABABA
BABABA
BABABA
A continuacioacuten se muestra el desarrollo del producto cruz en coordenadas cartesianas
Este resultado se puede expresar en la forma
zyx aaaBA xyyxzxxzyzzy BABABABABABA
zyx
zyx
BBB
AAAzyx aaa
BA Maacutes Faacutecil Verdad
17
D14
Un triaacutengulo se define por tres puntos A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar
a)RAB x RAC
b)El aacuterea del triaacutenguloc)Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triaacutengulo
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)24ax + 78ay + 20az
b)420c)0286ax + 0928ay + 0238az
EL PRODUCTO CRUZ (CONT)
18
Representacioacuten de un punto P En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z recibe el nombre de aacutengulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy y z es igual en el sistema cartesiano
Intervalos
En coordenadas ciliacutendricas un vector A se puede expresar o
La magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES]
z
z
20
0
zAAA zzφφρρ AAA aaa
2
1222zAAA A
Je Je hellip
iquestCuaacutel es la unidad de aφ
Vectores Unitarios Los vectores unitarios aρ aφ y az son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
z
z
z
zz
0
0
0
1
1
1
z
z
19
a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares
b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular
c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
20
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
zzx
yyx tan 122
zzyx
zyxz
zzyx sincos
21
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten de un Vector Unitario
De las figuras se deduce que
zz
y
x
aa
aaa
aaa
cossin
sincos
zz
yx
yx
aa
aaa
aaa
cossin
sincos Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
22
Ejemplo 13
Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
2Luego
ρφρcosφρsinxcosφysinφ
aaxaayaBB
0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ
aaxaayaBB
22
φyφxφφ
ρyρxρρ
zφ zaρaB
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
23
D15
a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
24
D16
Transformar a coordenadas ciliacutendricas
a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)1281aρ + 6az
b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
25
Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)
Intervalos
En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]
r
r
20
0
0
r
AAAr φφrr AAA aaa
2
1222 AAAr A
Je Je hellip
iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante
Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
r
r
r
r
r
rr
0
0
0
1
1
1
26
a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas
b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas
c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ
d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
27
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
Transformacioacuten Escalar
x
y
z
yxzyxr 1
221222 tantan
rzyx
zyxr
cossinsincossin rzryrx
x
y
zyx
zzyxr 1
222
1222 tancos
28
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Relacioacuten entre Vectores Unitarios
aaa
aaaa
aaaa
sincos
cossincossinsin
sincoscoscossin
rz
ry
rx
yx
zyx
zyxr
aaa
aaaa
aaaa
cossin
sinsincoscoscos
cossinsincossin
Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
29
Ejemplo 14
Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
sin
coscos
coscosaaaGG
sin
coscossin
cossinaaaGG
22
x
2
rxrr
r
y
xz
y
xz
r
y
xz
y
xz
)aacotcacot(sincoscosG r osr
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 Cont Punto anterior
2 Luego
coscos
sinaaaGG x
r
y
xz
y
xz
30
D17
Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar
a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
31
D18
Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados
a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ
b)390ar + 312aθ + 866aφ
c)-342ar ndash 940aθ
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN
EL PRODUCTO CRUZ (CONT)
16
El producto cruz no es conmutativo puesto que
De lo anterior se verifica que
ABBA
0
0
0
zz
yy
xx
yzx
xyz
zxy
yxz
xzy
zyx
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaaBA
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
BABABA
BABABA
BABABA
A continuacioacuten se muestra el desarrollo del producto cruz en coordenadas cartesianas
Este resultado se puede expresar en la forma
zyx aaaBA xyyxzxxzyzzy BABABABABABA
zyx
zyx
BBB
AAAzyx aaa
BA Maacutes Faacutecil Verdad
17
D14
Un triaacutengulo se define por tres puntos A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar
a)RAB x RAC
b)El aacuterea del triaacutenguloc)Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triaacutengulo
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)24ax + 78ay + 20az
b)420c)0286ax + 0928ay + 0238az
EL PRODUCTO CRUZ (CONT)
18
Representacioacuten de un punto P En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z recibe el nombre de aacutengulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy y z es igual en el sistema cartesiano
Intervalos
En coordenadas ciliacutendricas un vector A se puede expresar o
La magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES]
z
z
20
0
zAAA zzφφρρ AAA aaa
2
1222zAAA A
Je Je hellip
iquestCuaacutel es la unidad de aφ
Vectores Unitarios Los vectores unitarios aρ aφ y az son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
z
z
z
zz
0
0
0
1
1
1
z
z
19
a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares
b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular
c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
20
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
zzx
yyx tan 122
zzyx
zyxz
zzyx sincos
21
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten de un Vector Unitario
De las figuras se deduce que
zz
y
x
aa
aaa
aaa
cossin
sincos
zz
yx
yx
aa
aaa
aaa
cossin
sincos Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
22
Ejemplo 13
Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
2Luego
ρφρcosφρsinxcosφysinφ
aaxaayaBB
0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ
aaxaayaBB
22
φyφxφφ
ρyρxρρ
zφ zaρaB
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
23
D15
a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
24
D16
Transformar a coordenadas ciliacutendricas
a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)1281aρ + 6az
b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
25
Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)
Intervalos
En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]
r
r
20
0
0
r
AAAr φφrr AAA aaa
2
1222 AAAr A
Je Je hellip
iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante
Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
r
r
r
r
r
rr
0
0
0
1
1
1
26
a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas
b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas
c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ
d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
27
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
Transformacioacuten Escalar
x
y
z
yxzyxr 1
221222 tantan
rzyx
zyxr
cossinsincossin rzryrx
x
y
zyx
zzyxr 1
222
1222 tancos
28
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Relacioacuten entre Vectores Unitarios
aaa
aaaa
aaaa
sincos
cossincossinsin
sincoscoscossin
rz
ry
rx
yx
zyx
zyxr
aaa
aaaa
aaaa
cossin
sinsincoscoscos
cossinsincossin
Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
29
Ejemplo 14
Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
sin
coscos
coscosaaaGG
sin
coscossin
cossinaaaGG
22
x
2
rxrr
r
y
xz
y
xz
r
y
xz
y
xz
)aacotcacot(sincoscosG r osr
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 Cont Punto anterior
2 Luego
coscos
sinaaaGG x
r
y
xz
y
xz
30
D17
Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar
a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
31
D18
Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados
a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ
b)390ar + 312aθ + 866aφ
c)-342ar ndash 940aθ
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN
17
D14
Un triaacutengulo se define por tres puntos A(6-12) B(-23-4) y C(-315) encontrar
a)RAB x RAC
b)El aacuterea del triaacutenguloc)Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triaacutengulo
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)24ax + 78ay + 20az
b)420c)0286ax + 0928ay + 0238az
EL PRODUCTO CRUZ (CONT)
18
Representacioacuten de un punto P En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z recibe el nombre de aacutengulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy y z es igual en el sistema cartesiano
Intervalos
En coordenadas ciliacutendricas un vector A se puede expresar o
La magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES]
z
z
20
0
zAAA zzφφρρ AAA aaa
2
1222zAAA A
Je Je hellip
iquestCuaacutel es la unidad de aφ
Vectores Unitarios Los vectores unitarios aρ aφ y az son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
z
z
z
zz
0
0
0
1
1
1
z
z
19
a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares
b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular
c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
20
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
zzx
yyx tan 122
zzyx
zyxz
zzyx sincos
21
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten de un Vector Unitario
De las figuras se deduce que
zz
y
x
aa
aaa
aaa
cossin
sincos
zz
yx
yx
aa
aaa
aaa
cossin
sincos Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
22
Ejemplo 13
Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
2Luego
ρφρcosφρsinxcosφysinφ
aaxaayaBB
0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ
aaxaayaBB
22
φyφxφφ
ρyρxρρ
zφ zaρaB
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
23
D15
a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
24
D16
Transformar a coordenadas ciliacutendricas
a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)1281aρ + 6az
b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
25
Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)
Intervalos
En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]
r
r
20
0
0
r
AAAr φφrr AAA aaa
2
1222 AAAr A
Je Je hellip
iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante
Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
r
r
r
r
r
rr
0
0
0
1
1
1
26
a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas
b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas
c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ
d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
27
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
Transformacioacuten Escalar
x
y
z
yxzyxr 1
221222 tantan
rzyx
zyxr
cossinsincossin rzryrx
x
y
zyx
zzyxr 1
222
1222 tancos
28
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Relacioacuten entre Vectores Unitarios
aaa
aaaa
aaaa
sincos
cossincossinsin
sincoscoscossin
rz
ry
rx
yx
zyx
zyxr
aaa
aaaa
aaaa
cossin
sinsincoscoscos
cossinsincossin
Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
29
Ejemplo 14
Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
sin
coscos
coscosaaaGG
sin
coscossin
cossinaaaGG
22
x
2
rxrr
r
y
xz
y
xz
r
y
xz
y
xz
)aacotcacot(sincoscosG r osr
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 Cont Punto anterior
2 Luego
coscos
sinaaaGG x
r
y
xz
y
xz
30
D17
Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar
a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
31
D18
Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados
a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ
b)390ar + 312aθ + 866aφ
c)-342ar ndash 940aθ
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN
18
Representacioacuten de un punto P En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z recibe el nombre de aacutengulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy y z es igual en el sistema cartesiano
Intervalos
En coordenadas ciliacutendricas un vector A se puede expresar o
La magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES]
z
z
20
0
zAAA zzφφρρ AAA aaa
2
1222zAAA A
Je Je hellip
iquestCuaacutel es la unidad de aφ
Vectores Unitarios Los vectores unitarios aρ aφ y az son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
z
z
z
zz
0
0
0
1
1
1
z
z
19
a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares
b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular
c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
20
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
zzx
yyx tan 122
zzyx
zyxz
zzyx sincos
21
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten de un Vector Unitario
De las figuras se deduce que
zz
y
x
aa
aaa
aaa
cossin
sincos
zz
yx
yx
aa
aaa
aaa
cossin
sincos Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
22
Ejemplo 13
Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
2Luego
ρφρcosφρsinxcosφysinφ
aaxaayaBB
0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ
aaxaayaBB
22
φyφxφφ
ρyρxρρ
zφ zaρaB
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
23
D15
a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
24
D16
Transformar a coordenadas ciliacutendricas
a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)1281aρ + 6az
b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
25
Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)
Intervalos
En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]
r
r
20
0
0
r
AAAr φφrr AAA aaa
2
1222 AAAr A
Je Je hellip
iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante
Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
r
r
r
r
r
rr
0
0
0
1
1
1
26
a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas
b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas
c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ
d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
27
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
Transformacioacuten Escalar
x
y
z
yxzyxr 1
221222 tantan
rzyx
zyxr
cossinsincossin rzryrx
x
y
zyx
zzyxr 1
222
1222 tancos
28
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Relacioacuten entre Vectores Unitarios
aaa
aaaa
aaaa
sincos
cossincossinsin
sincoscoscossin
rz
ry
rx
yx
zyx
zyxr
aaa
aaaa
aaaa
cossin
sinsincoscoscos
cossinsincossin
Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
29
Ejemplo 14
Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
sin
coscos
coscosaaaGG
sin
coscossin
cossinaaaGG
22
x
2
rxrr
r
y
xz
y
xz
r
y
xz
y
xz
)aacotcacot(sincoscosG r osr
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 Cont Punto anterior
2 Luego
coscos
sinaaaGG x
r
y
xz
y
xz
30
D17
Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar
a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
31
D18
Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados
a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ
b)390ar + 312aθ + 866aφ
c)-342ar ndash 940aθ
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN
19
a) Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares
b) Los tres vectores unitarios de un sistema ciliacutendrico circular
c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas ciliacutendricas circulares dρ ρdφ y dz son elementos de longitud
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
20
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
zzx
yyx tan 122
zzyx
zyxz
zzyx sincos
21
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten de un Vector Unitario
De las figuras se deduce que
zz
y
x
aa
aaa
aaa
cossin
sincos
zz
yx
yx
aa
aaa
aaa
cossin
sincos Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
22
Ejemplo 13
Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
2Luego
ρφρcosφρsinxcosφysinφ
aaxaayaBB
0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ
aaxaayaBB
22
φyφxφφ
ρyρxρρ
zφ zaρaB
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
23
D15
a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
24
D16
Transformar a coordenadas ciliacutendricas
a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)1281aρ + 6az
b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
25
Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)
Intervalos
En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]
r
r
20
0
0
r
AAAr φφrr AAA aaa
2
1222 AAAr A
Je Je hellip
iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante
Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
r
r
r
r
r
rr
0
0
0
1
1
1
26
a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas
b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas
c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ
d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
27
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
Transformacioacuten Escalar
x
y
z
yxzyxr 1
221222 tantan
rzyx
zyxr
cossinsincossin rzryrx
x
y
zyx
zzyxr 1
222
1222 tancos
28
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Relacioacuten entre Vectores Unitarios
aaa
aaaa
aaaa
sincos
cossincossinsin
sincoscoscossin
rz
ry
rx
yx
zyx
zyxr
aaa
aaaa
aaaa
cossin
sinsincoscoscos
cossinsincossin
Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
29
Ejemplo 14
Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
sin
coscos
coscosaaaGG
sin
coscossin
cossinaaaGG
22
x
2
rxrr
r
y
xz
y
xz
r
y
xz
y
xz
)aacotcacot(sincoscosG r osr
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 Cont Punto anterior
2 Luego
coscos
sinaaaGG x
r
y
xz
y
xz
30
D17
Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar
a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
31
D18
Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados
a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ
b)390ar + 312aθ + 866aφ
c)-342ar ndash 940aθ
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN
20
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
Transformacioacuten Escalar
De la figura se deduce que
zzx
yyx tan 122
zzyx
zyxz
zzyx sincos
21
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten de un Vector Unitario
De las figuras se deduce que
zz
y
x
aa
aaa
aaa
cossin
sincos
zz
yx
yx
aa
aaa
aaa
cossin
sincos Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
22
Ejemplo 13
Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
2Luego
ρφρcosφρsinxcosφysinφ
aaxaayaBB
0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ
aaxaayaBB
22
φyφxφφ
ρyρxρρ
zφ zaρaB
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
23
D15
a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
24
D16
Transformar a coordenadas ciliacutendricas
a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)1281aρ + 6az
b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
25
Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)
Intervalos
En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]
r
r
20
0
0
r
AAAr φφrr AAA aaa
2
1222 AAAr A
Je Je hellip
iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante
Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
r
r
r
r
r
rr
0
0
0
1
1
1
26
a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas
b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas
c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ
d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
27
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
Transformacioacuten Escalar
x
y
z
yxzyxr 1
221222 tantan
rzyx
zyxr
cossinsincossin rzryrx
x
y
zyx
zzyxr 1
222
1222 tancos
28
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Relacioacuten entre Vectores Unitarios
aaa
aaaa
aaaa
sincos
cossincossinsin
sincoscoscossin
rz
ry
rx
yx
zyx
zyxr
aaa
aaaa
aaaa
cossin
sinsincoscoscos
cossinsincossin
Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
29
Ejemplo 14
Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
sin
coscos
coscosaaaGG
sin
coscossin
cossinaaaGG
22
x
2
rxrr
r
y
xz
y
xz
r
y
xz
y
xz
)aacotcacot(sincoscosG r osr
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 Cont Punto anterior
2 Luego
coscos
sinaaaGG x
r
y
xz
y
xz
30
D17
Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar
a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
31
D18
Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados
a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ
b)390ar + 312aθ + 866aφ
c)-342ar ndash 940aθ
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN
21
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
Transformacioacuten de un Vector Unitario
De las figuras se deduce que
zz
y
x
aa
aaa
aaa
cossin
sincos
zz
yx
yx
aa
aaa
aaa
cossin
sincos Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
22
Ejemplo 13
Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
2Luego
ρφρcosφρsinxcosφysinφ
aaxaayaBB
0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ
aaxaayaBB
22
φyφxφφ
ρyρxρρ
zφ zaρaB
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
23
D15
a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
24
D16
Transformar a coordenadas ciliacutendricas
a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)1281aρ + 6az
b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
25
Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)
Intervalos
En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]
r
r
20
0
0
r
AAAr φφrr AAA aaa
2
1222 AAAr A
Je Je hellip
iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante
Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
r
r
r
r
r
rr
0
0
0
1
1
1
26
a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas
b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas
c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ
d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
27
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
Transformacioacuten Escalar
x
y
z
yxzyxr 1
221222 tantan
rzyx
zyxr
cossinsincossin rzryrx
x
y
zyx
zzyxr 1
222
1222 tancos
28
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Relacioacuten entre Vectores Unitarios
aaa
aaaa
aaaa
sincos
cossincossinsin
sincoscoscossin
rz
ry
rx
yx
zyx
zyxr
aaa
aaaa
aaaa
cossin
sinsincoscoscos
cossinsincossin
Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
29
Ejemplo 14
Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
sin
coscos
coscosaaaGG
sin
coscossin
cossinaaaGG
22
x
2
rxrr
r
y
xz
y
xz
r
y
xz
y
xz
)aacotcacot(sincoscosG r osr
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 Cont Punto anterior
2 Luego
coscos
sinaaaGG x
r
y
xz
y
xz
30
D17
Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar
a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
31
D18
Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados
a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ
b)390ar + 312aθ + 866aφ
c)-342ar ndash 940aθ
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN
22
Ejemplo 13
Transformar el vector B = yax ndashxay + zaz en coordenadas ciliacutendricas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
2Luego
ρφρcosφρsinxcosφysinφ
aaxaayaBB
0ρcosφsinφρsinφcosφxsinφycosφ
aaxaayaBB
22
φyφxφφ
ρyρxρρ
zφ zaρaB
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
23
D15
a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
24
D16
Transformar a coordenadas ciliacutendricas
a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)1281aρ + 6az
b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
25
Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)
Intervalos
En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]
r
r
20
0
0
r
AAAr φφrr AAA aaa
2
1222 AAAr A
Je Je hellip
iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante
Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
r
r
r
r
r
rr
0
0
0
1
1
1
26
a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas
b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas
c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ
d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
27
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Transformacioacuten Escalar
Transformacioacuten Escalar
x
y
z
yxzyxr 1
221222 tantan
rzyx
zyxr
cossinsincossin rzryrx
x
y
zyx
zzyxr 1
222
1222 tancos
28
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Relacioacuten entre Vectores Unitarios
aaa
aaaa
aaaa
sincos
cossincossinsin
sincoscoscossin
rz
ry
rx
yx
zyx
zyxr
aaa
aaaa
aaaa
cossin
sinsincoscoscos
cossinsincossin
Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
29
Ejemplo 14
Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
sin
coscos
coscosaaaGG
sin
coscossin
cossinaaaGG
22
x
2
rxrr
r
y
xz
y
xz
r
y
xz
y
xz
)aacotcacot(sincoscosG r osr
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 Cont Punto anterior
2 Luego
coscos
sinaaaGG x
r
y
xz
y
xz
30
D17
Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar
a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629
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31
D18
Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados
a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ
b)390ar + 312aθ + 866aφ
c)-342ar ndash 940aθ
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN
23
D15
a)Deacute las coordenadas cartesianas del punto C (ρ=44 φ=-115deg z=2)b)Deacute las coordenadas ciliacutendricas del punto D(x=-31 y=26 z=-3)c)Especifique la distancia de C a D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(x=-1860 y=-399 z=2)b)D(ρ=405 φ=1400deg z=-3)c)836
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
24
D16
Transformar a coordenadas ciliacutendricas
a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)1281aρ + 6az
b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
25
Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)
Intervalos
En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]
r
r
20
0
0
r
AAAr φφrr AAA aaa
2
1222 AAAr A
Je Je hellip
iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante
Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
r
r
r
r
r
rr
0
0
0
1
1
1
26
a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas
b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas
c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ
d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
27
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
Transformacioacuten Escalar
x
y
z
yxzyxr 1
221222 tantan
rzyx
zyxr
cossinsincossin rzryrx
x
y
zyx
zzyxr 1
222
1222 tancos
28
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Relacioacuten entre Vectores Unitarios
aaa
aaaa
aaaa
sincos
cossincossinsin
sincoscoscossin
rz
ry
rx
yx
zyx
zyxr
aaa
aaaa
aaaa
cossin
sinsincoscoscos
cossinsincossin
Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
29
Ejemplo 14
Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
sin
coscos
coscosaaaGG
sin
coscossin
cossinaaaGG
22
x
2
rxrr
r
y
xz
y
xz
r
y
xz
y
xz
)aacotcacot(sincoscosG r osr
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 Cont Punto anterior
2 Luego
coscos
sinaaaGG x
r
y
xz
y
xz
30
D17
Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar
a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
31
D18
Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados
a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ
b)390ar + 312aθ + 866aφ
c)-342ar ndash 940aθ
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN
24
D16
Transformar a coordenadas ciliacutendricas
a)F= 10ax - 8ay + 6az en el punto P(10-86)b)G= (2x+y)ax ndash (y-4x)ay en el punto Q(ρφz)c)Dar las componentes cartesianas del vector H= 20aρ - 10aφ + 3az en el punto P(x=5 y=2 z=-1)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)1281aρ + 6az
b)(2ρ cos2φ - ρ sin2φ + 5ρ sinφ cosφ) aρ + (4ρ cos2φ - ρ sin2φ - 3ρ sinφ cosφ) aφ c)Hx = 223 Hy = -1857 Hz = 3
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
25
Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)
Intervalos
En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]
r
r
20
0
0
r
AAAr φφrr AAA aaa
2
1222 AAAr A
Je Je hellip
iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante
Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
r
r
r
r
r
rr
0
0
0
1
1
1
26
a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas
b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas
c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ
d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
27
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Transformacioacuten Escalar
Transformacioacuten Escalar
x
y
z
yxzyxr 1
221222 tantan
rzyx
zyxr
cossinsincossin rzryrx
x
y
zyx
zzyxr 1
222
1222 tancos
28
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Relacioacuten entre Vectores Unitarios
aaa
aaaa
aaaa
sincos
cossincossinsin
sincoscoscossin
rz
ry
rx
yx
zyx
zyxr
aaa
aaaa
aaaa
cossin
sinsincoscoscos
cossinsincossin
Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
29
Ejemplo 14
Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
sin
coscos
coscosaaaGG
sin
coscossin
cossinaaaGG
22
x
2
rxrr
r
y
xz
y
xz
r
y
xz
y
xz
)aacotcacot(sincoscosG r osr
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 Cont Punto anterior
2 Luego
coscos
sinaaaGG x
r
y
xz
y
xz
30
D17
Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar
a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
31
D18
Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados
a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ
b)390ar + 312aθ + 866aφ
c)-342ar ndash 940aθ
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN
25
Representacioacuten de un punto P En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P (llamado colatitud) es el aacutengulo entre el eje z y el vector de posicioacuten P y se mide desde el eje x (igual que el aacutengulo azimutal en las coordenadas ciliacutendricas)
Intervalos
En coordenadas esfeacutericas un vector A se puede expresar oLa magnitud de A es
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFEacuteRICAS]
r
r
20
0
0
r
AAAr φφrr AAA aaa
2
1222 AAAr A
Je Je hellip
iquestQueacute soacutelido de revolucioacuten formamos con θ = Constante
Vectores Unitarios Los vectores unitarios ar aθ y aφ son mutuamente perpendiculares por tanto se cumple
aaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
r
r
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0
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1
1
1
26
a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas
b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas
c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ
d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
27
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Transformacioacuten Escalar
Transformacioacuten Escalar
x
y
z
yxzyxr 1
221222 tantan
rzyx
zyxr
cossinsincossin rzryrx
x
y
zyx
zzyxr 1
222
1222 tancos
28
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Relacioacuten entre Vectores Unitarios
aaa
aaaa
aaaa
sincos
cossincossinsin
sincoscoscossin
rz
ry
rx
yx
zyx
zyxr
aaa
aaaa
aaaa
cossin
sinsincoscoscos
cossinsincossin
Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
29
Ejemplo 14
Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
sin
coscos
coscosaaaGG
sin
coscossin
cossinaaaGG
22
x
2
rxrr
r
y
xz
y
xz
r
y
xz
y
xz
)aacotcacot(sincoscosG r osr
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 Cont Punto anterior
2 Luego
coscos
sinaaaGG x
r
y
xz
y
xz
30
D17
Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar
a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629
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31
D18
Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados
a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ
b)390ar + 312aθ + 866aφ
c)-342ar ndash 940aθ
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GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN
26
a) Muestra las tres coordenadas esfeacutericas
b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfeacutericas
c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfeacutericas ar x aθ x aφ
d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfeacutericas
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1 iquestCuaacuteles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en (c)
2 iquestY el volumen
27
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Transformacioacuten Escalar
Transformacioacuten Escalar
x
y
z
yxzyxr 1
221222 tantan
rzyx
zyxr
cossinsincossin rzryrx
x
y
zyx
zzyxr 1
222
1222 tancos
28
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Relacioacuten entre Vectores Unitarios
aaa
aaaa
aaaa
sincos
cossincossinsin
sincoscoscossin
rz
ry
rx
yx
zyx
zyxr
aaa
aaaa
aaaa
cossin
sinsincoscoscos
cossinsincossin
Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
29
Ejemplo 14
Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
sin
coscos
coscosaaaGG
sin
coscossin
cossinaaaGG
22
x
2
rxrr
r
y
xz
y
xz
r
y
xz
y
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)aacotcacot(sincoscosG r osr
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 Cont Punto anterior
2 Luego
coscos
sinaaaGG x
r
y
xz
y
xz
30
D17
Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar
a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
31
D18
Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados
a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ
b)390ar + 312aθ + 866aφ
c)-342ar ndash 940aθ
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN
27
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Transformacioacuten Escalar
Transformacioacuten Escalar
x
y
z
yxzyxr 1
221222 tantan
rzyx
zyxr
cossinsincossin rzryrx
x
y
zyx
zzyxr 1
222
1222 tancos
28
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Relacioacuten entre Vectores Unitarios
aaa
aaaa
aaaa
sincos
cossincossinsin
sincoscoscossin
rz
ry
rx
yx
zyx
zyxr
aaa
aaaa
aaaa
cossin
sinsincoscoscos
cossinsincossin
Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
29
Ejemplo 14
Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
sin
coscos
coscosaaaGG
sin
coscossin
cossinaaaGG
22
x
2
rxrr
r
y
xz
y
xz
r
y
xz
y
xz
)aacotcacot(sincoscosG r osr
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 Cont Punto anterior
2 Luego
coscos
sinaaaGG x
r
y
xz
y
xz
30
D17
Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar
a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
31
D18
Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados
a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ
b)390ar + 312aθ + 866aφ
c)-342ar ndash 940aθ
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GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN
28
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
Relacioacuten entre Vectores Unitarios
aaa
aaaa
aaaa
sincos
cossincossinsin
sincoscoscossin
rz
ry
rx
yx
zyx
zyxr
aaa
aaaa
aaaa
cossin
sinsincoscoscos
cossinsincossin
Ejercicio para la casa
Expresar ecuaciones de transformacioacuten en notacioacuten matricial
29
Ejemplo 14
Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
sin
coscos
coscosaaaGG
sin
coscossin
cossinaaaGG
22
x
2
rxrr
r
y
xz
y
xz
r
y
xz
y
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)aacotcacot(sincoscosG r osr
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 Cont Punto anterior
2 Luego
coscos
sinaaaGG x
r
y
xz
y
xz
30
D17
Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar
a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629
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31
D18
Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados
a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ
b)390ar + 312aθ + 866aφ
c)-342ar ndash 940aθ
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN
29
Ejemplo 14
Transformar el vector G = (xzy)ax en coordenadas esfeacutericas
Solucioacuten
1Se determinan las nuevas componentes
sin
coscos
coscosaaaGG
sin
coscossin
cossinaaaGG
22
x
2
rxrr
r
y
xz
y
xz
r
y
xz
y
xz
)aacotcacot(sincoscosG r osr
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[ESFEacuteRICAS] (CONT)
1 Cont Punto anterior
2 Luego
coscos
sinaaaGG x
r
y
xz
y
xz
30
D17
Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar
a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629
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31
D18
Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados
a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ
b)390ar + 312aθ + 866aφ
c)-342ar ndash 940aθ
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN
30
D17
Dados los puntos C(-321) y D(r=5 θ=20deg φ=-70deg) encontrar
a)Las coordenadas esfeacutericas en Cb)Las coordenadas cartesianas de Dc)La distancia desde C hasta D
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)C(r = 374 θ = 745deg φ = 1463degb)D(x = 0585 y = -1607 z = 47)c)629
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
31
D18
Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados
a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ
b)390ar + 312aθ + 866aφ
c)-342ar ndash 940aθ
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN
31
D18
Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfeacutericas en los puntos dados
a)10ax en el punto P(x=-3 y=2 z=4)b)10ay en el punto Q(ρ=5 φ=30deg z=4)c)10az en el punto M(r=4 θ=110deg φ=120deg)
Ejercicio para realizar en el saloacuten
Respuestas
a)-557ar ndash 618aθ ndash 555aφ
b)390ar + 312aθ + 866aφ
c)-342ar ndash 940aθ
OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS[CILIacuteNDRICAS CIRCULARES] (CONT)
GRACIAS POR SU ATENCIOacuteNGRACIAS POR SU ATENCIOacuteN
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