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RDPR-1- 1
TEMA 1: DEFINICIÓN Y FUNDAMENTOS DE ANTENAS
1. Introducción y definición de antena.2. Tipos de antenas y bandas de frecuencia de radio.
3. Fundamentos de radiación y de propagación.4. Distribución de corriente y teorema de Poynting.
5. Potenciales retardados.6. Radiación de un elemento de corriente
7. Campos radiados por una antena: condición de campo lejano.
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ReceptorTransmisor
Medio
Antena RxAntena Tx
Definición de Antena
• Una antena es un “dispositivo generalmente metálico capaz de radiar y recibir ondas de radio” que adapta la entrada/ salida del receptor/ transmisor al medio.
• Las propiedades de una buena antena son:– Buen Rendimiento– Buena direccionalidad u omnidireccionalidad (dependiendo de la aplicación)
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RDPR-1- 3
Analog and Digital Mobile Services
DBS: Direct Broadcasting Services
Bandas de Frecuencia de Radio
RDPR-1- 4
Tipos de Antenas
• Según el “modo de radiación” se definen cuatro grupos de antenas:– elementos de corriente
(eléctrica o magnética),– antenas de onda progresiva,– arrays y – aperturas.
10K 100K 1M 10M 100M 1G 10G 100G
ElementosOnda Progresiva
ArraysAperturas
0.01 0.1 1 10 100 1000
ElementosOnda Progresiva
ArraysAperturas
Frecuencia (Hz)
Tamaño de antena en λλλλ
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RDPR-1- 5
Antenas Lineales(Elementos de Corriente y Onda Progresiva)
RDPR-1- 6
Arrays
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Aperturas (Bocinas)
RDPR-1- 8
Aperturas (Reflectores)
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RDPR-1- 9
Aperturas (Lentes)
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Ecuaciones de Maxwell
EJ
HB
ED
0jJ
0B
D
JDjH
BjE
c
!!
!!
!!
!
!
!
!!!
!!
σ=
µ=
ε=
=ωρ+⋅∇
=⋅∇
ρ=⋅∇
+ω=×∇
ω−=×∇ Ley de FaradayLey de Amper generalizadaLey de GaussContinuidad de Flujo Magnético
Ecuación de ContinuidadEcuacionesConstitutivasde la Materia
FUENTESρ: Densidad de carga eléctrica
J: Densidad de corrienteJc: D. de Corriente de Conducción
MEDIOε: Permitividad eléctrica
µ: Permeabilidad magnéticaσ: Conductividad
CAMPOSE: Intensidad de campo eléctrico
H: Intensidad de campo magnéticoD: Inducción de campo eléctrico
B: Inducción de campo magnético
ωεσ−ε=ε ′′−ε′=ε⇒
+
ωσ+εω=×∇
σ=j1j
JEj
jH
EJ
cext
c
!!!
!!
Permitividad Complejaen un medio con pérdidas
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RDPR-1- 11
Condiciones de contorno deConductor Perfecto.
Condiciones de contorno deConductor Real
Condiciones de contorno
0H0Hn
0E0En
nor
tan
=⇒=⋅
=⇒=×!!
!
Dn
HnJ
s
s!
!!
⋅=ρ
×=
n
∞=σ
sJ
tanH0H
0E
=
=!
!
0H0Hn
HZEn
nor
tans
=⇒=⋅
−=×!!
!!n
∞≠σ
J
tanHδ
−∝
z
eJHE
!
!
!
σδ+=µσπ=δ j1Zf1 s
tanEz
profundidad de penetración
RDPR-1- 12
Distribución de Corriente
• Es la función que define la forma que toma la corriente sobre la antena
• Está fijada por las condiciones de contorno de las E. Maxwell.– En régimen permanente sinusoidal
basta con aplicar:Et (sobre conductores)=0
• El Método de los Momentos se aplica numéricamente sobre esta condición y permite obtener la distribución “exacta” de corriente.
• En algunos casos la distribución se modela utilizando razonamientos muy simples: p.e., la figura justifica la distribución aproximada en onda estacionaria típica de un dipolo.
( )I z I k L z= −
0 0 2
sen
( )I z I k L z= −
0 0 2
sen
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RDPR-1- 13
Distribución de Corriente: Variación temporal
• Para un dipolo λ/2
( ) ( )zkcosIzI 00=Amplitud compleja:
( ) ( )[ ] ( ) ( )tcoszkcosIezIRet,zI 00tj ω== ω
Corriente instantánea:
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Mecanismo de Radiación
• Generación de las líneas de campo para un dipolo
– (a) Durante el primer cuarto de periodo la corriente acumula carga positiva en el semibrazo superior y negativa en el inferior, cerrándose el circuito a través de las corrientes de desplazamiento que siguen las líneas de campo.
– (b) En el siguiente cuarto de periodo la corriente se invierte generando corrientes de desplazamiento (líneas de campo) de sentido contrario que empujan a las anteriores hacia fuera.
– (c) Finalizado el primer semiperiodo la carga es nula sobre todo el dipolo y las líneas de campo se cierran sobre si mismas.
• Evolución de la onda radiada en régimen permanente sinusoidal.
– Las ondas electromagnéticas radiadas se comportan de un modo parecido a las ondas de agua en un estanque.
( ) ( ) ( )tsenzIt,zI ω=
a) t=T/4 b) t=T/2 c) t>T/2
t=0 T/8
3T/8T/4
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• Para una antena elijamos una superficie S que la rodee.• El campo total es:
– Campo impreso– Campo dispersado
• Balance de Energía mediante el Teorema de Poynting:
• El rendimiento de radiación vale:
• Para que el rendimiento sea próximo a la unidad una de las dimensiones de la antena debe ser, al menos, comparable a λ.
[ ] [ ]∫∫∫∫∫∫∫∫ ⋅+⋅σ=⋅−S
*
Antena s*sv i
*in Sd)HxE(Re
21dVEE
21dVEJRe
21 !!!!!!!
! ! !E E Ei s= +
P P PENTREGADA DISIPADA RADIADA= +
!Es
!Ei
1PP
ENTREGADA
RADIADAR ≤=ξ
Teorema de Poynting y Rendimiento de Radiación
[ ] [ ]∫∫∫∫∫ ⋅+⋅=S
*
V
* Sd)HxE(Re21dVEJRe
210
!!!!!Ei
J(r´)
(V)
S
ε0 µ0σ = 0
σc
inJ!
!Es
Ei
J(r´)
(V)
S
0σ = 0
σc
inJ!
!Es
RDPR-1- 16
• Densidades de Corriente: J = I/dS [A/m2], Js=I/dC [A/m]• Campos: E [V/m], H [A/m]• Densidad de Potencia transportada por la onda radiada=<S>
– [watios/m2]
– Amplitudes complejas de los campos en valores de pico.
• Permitividad del vacío: • Permeabilidad del vacío:• Conductividad:
• Velocidad de propagación:• Impedancia del vacío:
[ ]< >= ×S E H12
Re *! !
! !E y H
[ ]επ0
9136
10= − Faradios m/
[ ]µ π074 10= − Henrios m/
[ ]c m s= = ⋅1 3 100 08µ ε /
[ ]η µ ε π0 0 0 0 120 377= = = = =Z E H Ω
[ ]σ 1/ Ω⋅ =m Siemens
Vector de Poynting y Unidades
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• Los problemas electromagnéticos de geometría abierta como los de antenas se resuelven más fácilmente si se introducen unos potenciales auxiliares derivados de las Ecuaciones de Maxwell– (potencial vector magnético)
– (potencial escalar)
A!
Φ
AB0B!!!
×∇=⇒=⋅∇ ya que ( ) 0A ≡×∇⋅∇!
( ) Φ−∇=ω+⇒=ω+×∇
×∇ω−=×∇
ω−=×∇
AjE0AjE
AjE
BjE
!!!!
!!
!!
Potenciales Retardados
ya que ( ) 0≡Φ∇×∇
AjE!!
ω−Φ−∇=
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Ecuaciones de los Potenciales Retardados
• Las otras dos Ecuaciones de Maxwell se pueden reescribir en función de estos potenciales:
( ) ( )( ) ( )
( )Φεωµ+⋅∇∇+µ−=εµω+∆⇒
∆−⋅∇∇≡×∇×∇
ω−Φ∇−εωµ+µ=×∇×∇
εωµ+µ=µ×∇ωε+=×∇
000002
000
00000
jAJAA
AAA
AjjJA
EjJHEjJH
!!!!
!!!
!!!
!!!!!!
JAA
0jA
002
00!!!
!
µ−=εµω+∆
=Φεωµ+⋅∇• Condición de Lorentz (fijación de ∇⋅ A)• Ecuación de Helmholtz para A
( )
000
2
00
0
0
0 0jA
Aj
AjED
ερ−=Φεµω+∆Φ
⇓
=Φ∇εωµ+⋅∇
ερ−=⋅∇ω+∆Φ
ρ=ω−Φ∇−ε⋅∇ρ=ε⋅∇ρ=⋅∇
!
!
!
!!
!
"
( )0000
jAAjE
0jA
AjEεωµ
⋅∇∇+ω−=⇒
=Φεωµ+⋅∇
ω−Φ−∇=!
!!!
!!# H
j1E
0
!!×∇
ωε=Fuera de
las Fuentes
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RDPR-1- 19
• La fuente de radiación más simple es un elemento lineal de corriente situado en el seno de un medio isótropo, homogéneo, indefinido y sin pérdidas.
• Como en la Ec. escalar la fuente se puede considerar puntual, el problema presenta simetría esférica y queda:
• La parte homogénea es la ecuación esférica de Bessel cuyas soluciones son:
( ) ( ) ( ) ( ) z0z20
0022
0
020 JAk
krJrAkrA
µ−=+∆
εµω=′µ−=+∆!!!!!!
Idl
x y
z !r
00 ,εµJ I dSdV dl dS
z == ⋅
Ec. escalar, con fuente Jz puntual
Radiación de un Elemento de Corriente
z0z20
z22 JAk
drdAr
drd
r1 µ−=+
[1]
( )
( )r
eCrA
reCrA
rjk
22z
rjk
11z
0
0
=
=−
Propagación hacia el ∞
Propagación hacia el origen
La solución física de nuestro problema
Idl4
dVJ4
C 0z
01 π
µ=π
µ=Integrando la Ecuación Completa [1]sobre una esfera de r → 0
RDPR-1- 20
• Para visualizar la onda radiada conviene comparar las expresiones instantáneas de la fuente de corriente y el potencial generado:
– r/c=tiempo de propagación o retardo que tarda la onda en viajar desde el foco emisor al punto de observación.
– A gran distancia, en un intervalo ∆r<<r, la onda esférica se comporta como plana de longitud de onda (distancia entre dos puntos equifásicos consecutivos)
( ) ( )[ ] ( )I t I j t I t= =Re exp cosω ω
( ) [ ] ( )
−ω=−ω=
== ω
−ω
crtcos
rCzrktcos
rCze
reCzReeARet,rA 1
01tj
rjk
1tj
0!!!
( ) ( )GHzf30cm:cmenondadeLongitud
2knpropagaciodeconstante
k212fccT
0
000
=λ
λπ==
π=εµω
π===λ
Concepto de Onda y Longitud de Onda
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RDPR-1- 21
Campos Radiados por un Elemento de Corriente
• Los campos que produce el elemento de corriente son:
• La densidad de Potencia Radiada (dada por el vector de Poynting) está dirigida radialmente hacia afuera y decrece como 1/r2 (onda esférica progresiva):
Hj
1E
A1H
0
0!!
!!
×∇ωε
=
×∇µ
=( )
"" #"" $%!z
senˆcosrIdlr
e4
Arjk
00
θθ−θπ
µ=−
( )
rjk32
020
320
0
rjk0r
0
0
er1
rjk
rk
2senˆ
r1
rjkcosr
k2IdljE
er1jk
r4senIdlˆArA
rˆH
−
−θ
++−θθ+
+θ
πη=
+
πθφ=
∂θ∂−
∂∂φ=
!
!
θπ
θη=
φπ
θ=−
−
ˆr4
esendlIkjE
ˆr4
esendlIjkHrjk
0
rjk
0
0
0
!
!
Sustituyendo
Si k0r>>1 (r>>λ) predominan los términos en 1/r frente a 1/r2 o 1/r3
Campos de radiación:E ⊥ r, H⊥ r, E⊥ H
RDPR-1- 22
• Una distribución real de corrientese supone formada por infinitos elementosdV de corriente J situados en r’.
• El potencial total radiado será la superposición.
( ) ( )∫ ′
′−−
′′−
′
π
µ=V
rrjk0 Vd
rr
erJ
4rA
0
!!
!!!!
!!
( ) ( )dVrJrr
e
4rAd
rrjk0
0 !!
!!!!
!!
′′−π
µ=′−−
( ) ( )∫ ′
′−−
′′−
′
π
µ=S
rrjks0 Sd
rr
erJ
4rA
0
!!
!!!!
!!
( ) ( )∫ ′
′−−
′′−
′
π
µ=L
rrjk0 ld
rr
erI
4rA
0 !
!!
!!!
!!
Volumen Superficie Línea
Campos de Radiación de una Antena
′!r
P
x y
z
j
!r
( )! !J r ′ ! !r r− ′
'r!dV
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RDPR-1- 23
• El espacio que envuelve una antena se subdivide en tres regiones:– Región de Campo Próximo Reactivo (r<λ):
– Región de Campo Próximo Radiante (incluye la Zona de Fresnel):
– Región de Campo Lejano (Zona de Radiación, Zona de Fraunhofer):
r D y r≥ >>2 2
λλ
D: Dimensión máxima de la Antena
Campos de Radiación de una Antena: Regiones
Las condiciones de campo lejano son:
RDPR-1- 24
Campos de Radiación de una AntenaAproximaciones de Campo Lejano
• Estamos en Campo lejano cuando k0 r >>1 y r>>r’max ⇔ r >>λ , r ≥ (2D2)/λ
[ ]212
2122
r
rr2
r
r1rrr2rrrrR
′⋅−
′+=′⋅−′+=′−=
!!!!!
( ) ( )∫∫ ′′π
µ= ′⋅−
S
rrjks
rjk0 SderJ
r
e
4rA 0
0 !!!!!rrr
r
rr2
2
11rR !!
′⋅−=
′⋅−≈
( ) ( )∫ ′
′−′
πµ=
′−−
S
rrjks0 Sd
rrerJ
4rA
0
!!
!!!!
!!
( )( )( ) ( )rHErArjE
ErHArjH
×η=××ω−=η
×=×η
ω−=
!!!!
!!!!
! !
!
!
E HE rH r
⊥⊥⊥&
&
• Los campos de Radiación cuando k0r >>1 valen:
P
x y
z
!r'r!
'rr!!
−( )'J!!
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RDPR-1- 25
Interpretación Geométrica de la Aproximación
• La interpretación geométrica de la aproximación de campo lejano es la que se da en la figura– Si el punto de observación se considera a distancia infinita el vector de distancia R se
considera paralelo a la dirección de observación r por lo que entonces:
! ′r
&r r⋅ ′!
R r r= − ′! !
!r
!Js
PR r r r r r= − ′ ≈ − ⋅ ′! ! !
&
RDPR-1- 26
• El máximo error de fase cometido permite definir una condición de distancia mínima. Dandole un valor de π/8 (=22,5º), que introduce poco error en los cálculos.
• Este criterio de rmin=2D2/λ es necesario aplicarlo a la hora de realizar medidas de antenas, si bien a veces es insuficiente para medir lóbulos secundarios muy bajos.
Condición de Campo Lejano
R r D= +22
4
DrrrrR aprox =′⋅−= !
′!r
P
8r8
Dkrr4
D
2
11rkr4
Drk2
2
222
faseπ=≈
−
++=
−+=ε '
r DMinima ≈ 2 2
λ dB
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RDPR-1- 27
Campos de Radiación de una AntenaPropiedades
• Los campos de radiación de cualquier antena cumplen:– La dependencia de E y H con r es la de una onda esférica e-jk0r/r.– Los campos E y H dependen de θ y φpuesto que la onda
esférica es no homogénea.– La onda esférica radiada se comporta localmente como plana:
– Los campos E y H no poseen componente radiales:
– La densidad de potencia que transporta la onda decrece como 1/r2. Si el medio no tiene pérdidas toma el valor:
( )( )! !
! !A r A r A A
E j r A rr( ) & & &
& &
= + +
= − × ×
θ φθ φ
ω η=−ω−=η=ω−=
==
θφφφ
φθθθ
HEAjEHEAjE
0H0E rr
!! !E r
H rE H
⊥⊥
=&
&η
[ ] ( ) ( )[ ] r,,rE,,rE2
1HERe2
1S22* φθ+φθ
η=×>=< φθ
!!!
φ
θ
&r
&φ
&θ
00 2
≤ ≤≤ <
θ πφ π
x y
z