Tema 1 ELEMENTOS DE ÁLGEBRA Y CÁLCULO VECTORIAL
Fundamentos de Física
Facultad de Ciencias del Mar.
Magnitud escalar. Aquéllas cuya medida queda completamente especificada por
un número real y su unidad.
Ejemplos: la masa, la temperatura, la presión.
Magnitud vectorial. Aquéllas en las que para su determinación se necesitan tres
números reales y su unidad. O equivalentemente, un módulo (definido por una
número real positivo y su unidad), una dirección (definida por una recta) y un
sentido. Estas magnitudes se pueden representar por una recta orientada también
llamada vector.
Ejemplos: la velocidad, la fuerza, el campo gravitatorio.
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Álgebra vectorial1.1.
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A
'A
a
dirección
sentido
módulo
Álgebra vectorial1.1.
A
'A
a
dirección
sentido
módulo
Vector. Se denota como . Se define como un segmento orientado
caracterizado por:
• Un origen o punto de aplicación. Punto A.
• Un escalar o módulo, , dado por la longitud del segmento AA’. El módulo
es siempre positivo e independiente de la dirección del vector.
• Una dirección, recta que contiene al segmento AA’.
• Un sentido, que se indica mediante una punta de flecha.
a ó a
aa ó
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Álgebra vectorial1.1.
Suma de vectores.
a
b cd
cbad
a
b
c
Regla del polígono
Regla del paralelogramo
bac
a
b
a
b
c
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Álgebra vectorial1.1.
Vectores opuestos. Vectores con igual módulo y dirección, pero sentidos
opuestos.a
a
Diferencia de vectores.
bacbac
b
a
a
b
c
b
Producto de un vector por un escalar.
aa
0
1
a
0
1
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Álgebra vectorial1.1.
Propiedades de la suma de vectores y producto de un escalar por un vector.
000 :nulo elemento vii)
: vectoresde suma la a respecto producto del vadistributi vi)
:escalares de suma la a respecto producto del vadistributi vi)
:producto el para asociativa v)
es, esto ,0/ , :suma la para simétrico elemento iv)
0 :suma la para neutro elemento iii)
:suma la para aconmutativ ii)
:suma la para asociativa i)
a
baba
aaa
aa
ababbaba
aa
abba
cbacba
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Álgebra vectorial1.1.
aa
ua
Vector unitario. Es un vector de módulo unidad. Un vector unitario en la dirección
de será:a
Eje. Recta orientada. Se toma un sentido como sentido positivo y se asigna un
vector unitario en dicho sentido.
Proyección de un vector sobre un eje.
eu
a
aPe
coscos aaaPe
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Álgebra vectorial1.1.
Triedro de referencia. Tres ejes perpendiculares que se cortan en un punto
denominado origen del triedro.
X
Y
Z
pulgar
índice
corazón
Levógiro (mano izquierda)
Y
X
Z
pulgar
corazón
índice
Dextrógiro (mano derecha)
i
jk
dextrógiroTriedro cartesiano
kji
, ,vectores unitarios:
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Coordenadas cartesianas
Y
X
Z
yx
z
zyxP ,, zrP ,,
Y
X
Z
r
z
Coordenadas cilíndricas
,,P
Y
X
Z
Coordenadas esféricas
Álgebra vectorial1.1.
Sistemas de coordenadas.
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Álgebra vectorial1.1.
Componentes cartesianas.
xa Y
X
Z
a
ya
za a
Y
X
Z
xk
j yz
i
zyx aaaa
kaa
jaa
iaa
zz
yy
xx
zZz
yYy
xXx
aaPa
aaPa
aaPa
cos
cos
cos
Componentes cartesianas Cosenos directores
aa
aa
aa
zz
yy
xx
/cos
/cos
/cos
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Álgebra vectorial1.1.
Componentes cartesianas.
zzyyxx aaaaaa cos cos cos
kaajaaiaa zzyyxx
zyx aaaa kajaia zyx
kjia zyx
coscoscos
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kjia
au zyxa
coscoscos
),,( zyxzyx aaaaaaa
Álgebra vectorial1.1.
Suma y diferencia de vectores en términos de las componentes cartesianas.
kajaiaa zyx
kbjbibb zyx
kbajbaibaba zzyyxx
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kbajbaibababa zzyyxx
)(
Producto escalar de dos vectores.
Álgebra vectorial1.1.
cosb
ab
cosabba
Propiedades.
kaajaaiaauaaP
aaaa
ikkjjikkjjii
bababa
baba
bcacbac
abba
zyxee
, , ia,consecuencEn . vii)
vi)
0 ,1 v)
0y 0, si iv)
:escalares a respecto asociativa iii)
:vadistributi ii)
:aconmutativ i)
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Producto escalar de dos vectores.
a
cosb
b
cosabba
Producto escalar en términos de las componentes cartesianas.
zzyyxx babababa
Ángulo que forman dos vectores.
ab
bababa
ab
ba zzyyxx
cos
Álgebra vectorial1.1.
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Álgebra vectorial1.1.
Y
X
Z
ab
bac
• Vector perpendicular al plano determinado por .
• Sentido el que da la regla de la mano derecha al hacer girar
• Módulo dado por
ba y
ba sobre
senabbac
Propiedades.
bababa
bcacbac
bababa
cbacba
abba
|| 0y 0, Si v)
:suma la a respecto vodistributi iv)
:escalarun por producto el para asociativo iii)
:asociativo-no ii)
:ativoanticonmut i)
c
Producto vectorial de dos vectores.
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Producto vectorial de dos vectores.
Álgebra vectorial1.1.
Producto vectorial en términos de las componentes cartesianas.
kbabajbabaibaba
bbb
aaa
kji
ba zyyxzxxzyzzy
zyx
zyx
Y
X
Z
ab
bac
• Vector perpendicular al plano determinado por .
• Sentido el que da la regla de la mano derecha al hacer girar
• Módulo dado por
ba y
ba sobre
senabbac
c
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Producto mixto de tres vectores.
Álgebra vectorial1.1.
Y
X
Z
a
b
c
ba
cosabcsenbac
Volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores
Propiedades.
acbbaccba
:cíclica i)
Producto mixto en términos de coordenadas cartesianas.
zzyyxyzxxzxyzzy
zyx
zyx
zyx
cbabacbabacbaba
bbb
aaa
ccc
bac
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Momento de un vector con respecto a un punto.
r a
d
OM
O
P
araMO
adarMO sen
El momento de un vector con respecto
a un punto no varía al cambiar el punto
de aplicación del vector sobre la recta
soporte.
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Álgebra vectorial1.1.
ja
límia
lím yx
00
Cálculo vectorial1.2.
Función vectorial con respecto a un escalar.
1a
2a
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kajaiaaa zyx
12 aaa
a
aaa
2
1
12
Cálculo vectorial1.2.
Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.
a
a
a
a
dad
dad
dad
dad
aalím
alím
d
ad
00
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aaa
aaa
Cálculo vectorial1.2.
Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.
j
d
dai
d
daj
alími
alím
jaa
límiaa
lím
aalím
alím
d
ad
yxyx
yyxx
00
00
00
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Cálculo vectorial1.2.
Derivada de una función vectorial con respecto al escalar tiempo.
dt
ad
dt
ad
dt
ad
k
dt
tdaj
dt
tdai
dt
tda
t
alím
dt
tad zyx
t
0
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k
dt
tdaj
dt
tdai
dt
tda
t
alím
dt
tad zyx
t
0
Cálculo vectorial1.2.
Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.
Propiedades.
dbd
abdad
badd
dbd
abdad
badd
ddf
adad
fafdd
dλbd
dλad
λbλadλd
:es vectorialfunciones dos de vectorialproducto del Derivada iv)
:es vectorialfunciones dos deescalar producto del Derivada iii)
:escalarun por ctorialfunción ve una de producto del Derivada ii)
: vectoresde suma la de Derivada i)
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Cálculo vectorial1.2.
Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.
Algunas consecuencias.
auaa
Si iii)
|| Si ii)
general,En i)
aa
aaa
aa
udad
dud
adad
ctea
udad
udda
dad
cteu
dud
audda
dad
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Cálculo vectorial1.2.
Integral de una función vectorial.
2
112
/ , Dadas
dbaa
cdbab
dad
ba
Propiedades.
1
2
2
1
2
1
2
1
v)
:y Si iv)
:, Si iii)
: Si ii)
:y Si i)
21
dada
dd
dada
dadacte
dadada
dakdakctek
dbdadbabbaa
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Cálculo vectorial1.2.
Integral en función de las componentes cartesianas.
kajaiaa zyx
kdajdaidada zyx
Integral de una función vectorial.
2
112
/ , Dadas
dbaa
cdbab
dad
ba
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