Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Interpolación
Interpolación
Interpolación polinomial.
Polinomios de Lagrange: cota del error.
Método de Newton: diferencias divididas y finitas.
Tema 1:
Problema
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Interpolación
Problema
Dada una nube de puntos del plano
se pretende encontrar un polinomio de grado mínimo que pase por todos ellos.
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Interpolación
Teorema: Dada una familia de n+1 puntos del plano
F={(x0,y0), (x1,y1), …,(xn,yn)}, con x0<x1<…<xn. Existe un
único polinomio Pn(x), de grado menor o igual a n,
satisfaciendo:
Interpolación Polinomial
( ) ,n i iP x y= 0,...,i n∀ =
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Interpolación
A Pn(x) se le llama polinomio interpolador de la familia de
puntos F.
Al conjunto de abscisas, S={x0,x1,…,xn}, se le llama soporte.
En el caso de que yi=f(xi) para una determinada función f,
se dice que Pn(x) es el polinomio interpolador de f en el
soporte S.
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Interpolación
Interpolación Polinomial
Analisis del error del polinomio interpolador.
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Interpolación
Damos una función f(x).
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Interpolación
Interpolación Polinomial
Analisis del error del polinomio interpolador.
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Interpolación
Elegimos un soporte S, y marcamos sus imágenes en la
Gráfica de f(x).
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Interpolación
Interpolación Polinomial
Analisis del error del polinomio interpolador.
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Interpolación
Calculamos el polinomio interpolador que pasa por esos puntos.
( ) ( )nf x P x−
que nos marca el error que se comete cuando sustituimos
f(x) por Pn(x).
Gráficamente observamos la diferencia
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Interpolación
Interpolación Polinomial
Analisis del error del polinomio interpolador.
Sea S={x0,x1,…,xn}, con x0<x1<…<xn, y sea f(x) una función
n+1 veces derivable tal que su derivada fn+1)(x) es continua,
al menos en [x0,xn]. Entonces se tiene:
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Interpolación
donde Pn(x) es el polinomio interpolador de f(x) en S y c se encuentra
en el intervalo determinado por los puntos x,x0,xn.
OJO: no tiene por qué mejorar los resultados al tomar un número
elevado de puntos para el soporte en un mismo intervalo. Puede
darse el llamado Fenómeno de Runge, en el que el error es aceptable
en la zona central del intervalo pero desproporcionado en los extremos
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Interpolación
Interpolación Polinomial
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Interpolación
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Interpolación
Interpolación Polinomial
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Interpolación
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Interpolación
Interpolación Polinomial
Métodos para obtener el polinomio interpolador.
1. Método directo.
2. Método de Lagrange.
3. Método de la diferencias divididas de Newton.
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Interpolación
3. Método de la diferencias divididas de Newton.
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Interpolación
Cálculo del polinomio interpolador
Dado el conjunto de n+1 puntos del plano {(x0,y0),(x1,y1),…,(xn,yn)}
Buscamos un polinomio, Pn(x)=anxn+an-1x
n-1+···+a0 , tal que
( ) ,n i iP x y= 0,...,i n∀ =
Operando tenemos:
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Interpolación
Operando tenemos:
20 00 0 0
21 11 1 1
2
1
1
1
n
n
nn nn n n
a yx x x
a yx x x
a yx x x
=
L
L
M ML L L L L
L
El método directo consiste en resolver este sistema lineal.
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Interpolación
Método directo para el cálculo del polinomio interpolador
Ejemplo: Dada la nube de puntos (={(0,2), (1,1), (2,0),(3,5)}.
Hallar el polinomio interpolador usando el método directo.
Puesto que hay 4 puntos en el soporte, el polinomio solución
es de la forma: 2 3
3 0 1 2 3( )P x a a x a x a x= + + +
El sistema de ecuaciones que proporciona la solución es:
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Interpolación
El sistema de ecuaciones que proporciona la solución es:
0
1
2
3
1 0 0 0 2
1 1 1 1 1
1 2 4 8 0
1 3 9 27 5
a
a
a
a
=
Su solución es
0
1
2
3
2
1
3
1
a
a
a
a
= −
Por tanto, 2 3
3( ) 2 3P x x x x= + − +
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Interpolación
Método de Lagrange para el cálculo del polinomio interpolador para los puntos F={(x0,y0), (x1,y1), … ,(xn,yn)}
Se definen los polinomio auxiliares de Lagrange para las
abscisas de F como:
1 20
0 1 0 2 0
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
n
n
x x x x x xL x
x x x x x x
− − −=
− − −
L
L
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Interpolación
0 21
1 0 1 2 1
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
n
n
x x x x x xL x
x x x x x x
− − −=
− − −
L
L
M
0 1 1
0 1 1
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
nn
n n n n
x x x x x xL x
x x x x x x
−
−
− − −=
− − −
L
L
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Interpolación
Método de Lagrange para el cálculo del polinomio interpolador para los puntos F={(x0,y0), (x1,y1), … ,(xn,yn)}
Ejemplo: Hallar los polinomios auxiliares de Lagrange para el
Soporte S={1,2,4,5} como:
1 2 30
0 1 0 2 0 3
( )( )( ) ( 2)( 4)( 5)( )
( )( )( ) 12
x x x x x x x x xL x
x x x x x x
− − − − − −= =
− − − −
0 2 31
1 0 1 2 1 3
( )( )( ) ( 1)( 4)( 5)( )
( )( )( ) 6
x x x x x x x x xL x
x x x x x x
− − − − − −= =
− − −
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Interpolación
1 0 1 2 1 3( )( )( ) 6x x x x x x− − −
0 1 32
2 0 2 1 2 3
( )( )( ) ( 1)( 2)( 5)( )
( )( )( ) 6
x x x x x x x x xL x
x x x x x x
− − − − − −= =
− − − −
0 1 23
3 0 3 1 3 2
( )( )( ) ( 1)( 2)( 4)( )
( )( ) ( ) 12
x x x x x x x x xL x
x x x x x x
− − − − − −= =
− − −L
Observa que si añadimos un punto al soporte, S’={1,2,4,5,7},
los Li(x) para S’ son todos distintos a los calculados para S.
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Interpolación
Método de Lagrange para el cálculo del polinomio interpolador para los puntos F={(x0,y0), (x1,y1), … ,(xn,yn)}
El polinomio 0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( )n n nP x y L x y L x y L x= + + +L
Satisface:
grado(Pn(x)) ≤ n•
P (x) interpola a F.
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Interpolación
( ) ,n i iP x y i= ∀
A Pn(x) se le llama polinomio interpolador de Lagrange
•
Pn(x) interpola a F.
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Interpolación
Método de Lagrange para el cálculo del polinomio interpolador para los puntos F={(x0,y0), (x1,y1), … ,(xn,yn)}
Ejemplo: Determinar el polinomio interpolador por el método
de Lagrange para los puntos {(1,0), (2,6), (4,12), (5,24)}.
3 0 0 1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )P x y L x y L x y L x y L x= + + +
Este viene dado por:
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Interpolación
3 0 0 1 1 2 2 3 3
Los Li(x) han sido ya calculados en el ejemplo anterior. Por tanto:
3 28 23 16x x x− + −
3 0 1 2 3( ) 0 ( ) 6 ( ) 12 ( ) 24 ( )P x L x L x L x L x= + + + =
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Interpolación
Método de Lagrange para el cálculo del polinomio interpolador para los puntos F={(x0,y0), (x1,y1), … ,(xn,yn)}
Inconveniente del método de Lagrange
Supongamos que tenemos calculado el polinomio interpolador
Pn(x) para F, usando Lagrange.
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Interpolación
{ }' ( , )F F x y= USi ahora, consideramos
Para calcular el polinomio interpolador para F’, Pn+1(x),
usando el método de Lagrange; no podemos construirlo
a partir de Pn(x).
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Interpolación
Método de las diferencias divididas de �ewton para el cálculo del polinomio interpolador para los puntos F={(x0,y0), (x1,y1), … ,(xn,yn)}
El polinomio
( )nP x = 0 0 1 0 0 1 0 1[ ] [ , ]( ) [ , , , ]( ) ( )n nf x f x x x x f x x x x x x x−
+ − + + − −L K L
donde1 0 1
0 1
0
[ , , ] [ , , ][ , , , ] k k
k
k
f x x f x xf x x x
x x
−−
=−
K KK y [ ]i if x y=
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Interpolación
Satisface:
grado(Pn(x)) ≤ n
( ) ,n i iP x y i= ∀
A Pn(x) se le llama polinomio interpolador de F según el método
de las diferencias divididas de �ewton.
•
•
Pn(x) interpola a F.
Además, 1 0 1 0 1( ) ( ) [ , , , ]( ) ( )n n n nP x P x f x x x x x x x− −
= + − −K L
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Interpolación
Ejemplo: Determinar el polinomio interpolador por el método
de las diferencias divididas de Newton para los puntos
{(1,0), (2,6), (4,12), (5,24)}.
ix
0 1x =
2x =
iy
0
[ , ]i jf x x
1 0
1 0
[ ] [ ]6
f x f x
x x
−=
−
[ , , ]i j kf x x x
1 2 0 1[ , ] [ , ]1
f x x f x x−= −
[ , , , ]i j k hf x x x x
V.Álvarez
J.A. Armario
F. Muñoz
Cál
culo
�u
mér
ico
Tema 1: Interpolación
1 2x =
2 4x =
3 5x =
6
12
24
1 0x x−
2 1
2 1
[ ] [ ]3
f x f x
x x
−=
−
3 2
3 2
[ ] [ ]12
f x f x
x x
−=
−
1 2 0 1
2 0
[ , ] [ , ]1
f x x f x x
x x
−= −
−
2 3 1 2
3 1
[ , ] [ , ]3
f x x f x x
x x
−=
−
1
3( ) 0 6( 1) ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 4)P x x x x x x x= + − − − − + − − −